Fiche de mathématiques

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Bac S Nouvelle Calédonie 2019

Obligatoire

Durée : 4 heures

5 points

exercice 1 Commun à tous les candidats

Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.

Partie A
Une société de location de voitures s'intéresse à l'état mécanique de son parc automobile afin d'anticiper les frais d'entretien.
On dispose des données suivantes :
$\bullet$ 20 % des voitures sont sous garantie ;
$\bullet$ pour 1 % des voitures sous garantie, une réparation est nécessaire ;
$\bullet$ pour 10 % de celles qui ne sont plus sous garantie, une réparation est nécessaire.
On choisit une voiture au hasard dans le parc et on considère les évènements suivants :
$\bullet\;\;$ G : « la voiture est sous garantie » ;
$\bullet$ R : « une réparation est nécessaire ».
1. a. Traduire la situation par un arbre pondéré.
1. b. Calculer la probabilité que la voiture choisie soit sous garantie et nécessite une réparation.
1. c. Justifier que P (R) = 0,082.
1. d. Il s'avère que la voiture choisie nécessite une réparation.
Quelle est la probabilité qu'elle soit sous garantie ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ .
2. La société de location fait appel à un garage pour l'entretien de son parc automobile.
L'entretien consiste en une révision à laquelle s'ajoutent d'éventuelles réparations. Les conditions commerciales du garage sont les suivantes :
$\bullet$ si la voiture est encore sous garantie, l'entretien est gratuit ;
$\bullet$ si la voiture n'est plus sous garantie, l'entretien est facturé de la manière suivante : la révision coûte 100 euros et, si une réparation est nécessaire, il faut rajouter 400 euros.
Sachant que son parc automobile compte 2 500 voitures, est-il raisonnable pour la société de location de prévoir un budget annuel de 250 000 euros pour l'entretien de l'ensemble des voitures ?
On pourra introduire la variable aléatoire X qui représente le coût d'entretien d'une voiture.

Partie B
La société de location propose à ses clients deux contrats de location : un contrat de courte durée (inférieure à 2 jours) et un contrat de longue durée (de 3 à 7 jours).
La directrice de cette société affirme que 80 % des clients demandent un contrat de courte durée.
Sur les 600 derniers contrats signés l'année précédente, 550 étaient des contrats de courte durée.
1. En supposant que l'affirmation de la directrice est correcte, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des contrats de courte durée.
2. Que peut-on penser de l'affirmation de la directrice ?

Partie C
On modélise le nombre de kilomètres parcourus par les clients louant une voiture pour une semaine par une variable aléatoire Y suivant la loi normale d'espérance $\mu = 450$ et d'écart-type $\sigma = 100$ .
1. Quelle est la probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre 500 km et 600 km ? On arrondira le résultat à $10^{ -3}$ .
2. La société de location souhaite faire une offre promotionnelle aux 15 % de ses clients parcourant le moins de kilomètres en une semaine.
En-dessous de quel kilométrage hebdomadaire, arrondi à l'unité, un client sera-t-il concerné par cette offre ?

6 points

exercice 2 Commun à tous les candidats

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur R par
$g(x)=(x+2)\text{e}^{x-4}-2$
1. Déterminer la limite de g en $+\infty$ .
2. Démontrer que la limite de g en $-\infty$ vaut -2.
3. On admet que la fonction g est dérivable sur R et on note g' sa dérivée.
Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ puis dresser le tableau de variations de g.
4. Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique alpha

sur R.
5. En déduire le signe de la fonction g sur R.
6. A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude $10^{-3}$ de alpha

.

Partie B : Etude de la fonction f
Soit f la fonction définie sur R par :
$f(x)=x^2-x^2\text{e}^{x-4}$ .
1. Résoudre l'équation $f(x)=0$ sur R.
2. On admet que la fonction f est dérivable sur R et on note $f\,'$ sa fonction dérivée.
On admet par ailleurs que, pour tout réel x, $f'(x)=-xg(x)$ où la fonction g est celle définie à la partie A.
Etudier les variations de la fonction f sur R.
3. Démontrer que le maximum de la fonction f sur [0 ; + infini

[ est égal à $\dfrac{\alpha ^3}{\alpha + 2}$

Partie C : Aire d'un domaine
Dans un repère orthonormé $(O;\,\vec i , \vec j )$ , on note $\mathcal{D}$ le domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction f, la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$ et les droites d'équation x=0 et x=4.
1. Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{P}$ .
2. On admet qu'une primitive de la fonction f sur R est définie par :

$F(x)=\dfrac{x^3}{3} - (x^2-2x+2)\text{e}^{x-4}$ .
Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en unité d'aire. On donnera la valeur exacte.

4 points

exercice 3 Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué 1 point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une abscence de réponse n'est pas pénalisée.
Pour les questions 1 à 3, on se place dans un repère orthonormé direct $(O;\,\vec u , \vec v )$

1. Soit (E) l'équation d'inconnue le nombre complexe z

$z(z^2-8z+32)=0$
Affirmation 1 : Les points dont les affixes sont les solutions de (E) sont les sommets d'un triangle d'aire égale à 16 unités d'aire.

2. Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des points dont les affixes z vérifient
$|z-3|=|z+3|$ .
Affirmation 2 : L'ensemble $\mathcal{E}$ est le cercle de centre O et de rayon 3.

3. On considère la suite de nombres complexes $(z_n)$ dfinie pour tout entier n par :
$z_n=\left(1-i\sqrt 3\right)^n$ .
Pour tout entier naturel n, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$ .
Affirmation 3 : Pour tout entier naturel n, les points $M_n\,, O\,, M_{n+3}$ sont alignés.

4. On considère l'équation d'inconnue le nombre réel x
$\sin (x)\left( 2 \cos ^2(x) - 1\right) = 0$ .
Affirmation 4 : Cette équation admet exactement quatre solutions sur l'intervalle $]-\pi\,;\,\pi]$ qui sont : $-\dfrac{\pi}{4}\,;\, 0\,; \,\dfrac{\pi}{4} \text{ et } \pi$ .

5 points

exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite $(u_n)$ à valeurs réelles définie par $u_0=1$ , et pour tout entier naturel n,
$u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}$ .

Partie A : Conjectures
Les premières valeurs de la suite $(u_n)$ ont été calculées à l'aide d'un tableur dont voici une capture d'écran :

Bac S obligatoire Nouvelle Calédonie 2019 : image 1

1. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule B3 et copier vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite $(u_n)$ ?
2. Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite $(u_n)$ ?
3. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $(u_n)$ ?
4. Ecrire un algorithme calculant $u_{30}$ .

Partie B : Etude générale
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, $u_n > 0$ .
2. Etudier les variations de la suite $(u_n)$ .
3. La suite $(u_n)$ est-elle convergente ? Justifier.

Partie C : Recherche d'une expression du terme général
On définit la suite $(v_n)$ en posant, pour tout entier naturel n,
$v_n=1+\dfrac{7}{u_n}$ .
1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 8 dont on déterminera le premier terme.
2. Justifier que, pour tout entier naturel n,
$u_n= \dfrac{7}{8^{n+1}-1}$
3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .
4. On cherche dans cette questionle plus petit entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à $n_0$ , $u_n < 10 ^{-18}$ .
Justifier l'existence d'un tel entier $n_0$ et déterminer sa valeur.

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Bac S obligatoire Nouvelle Calédonie 2019

5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Partie A

1. a. Arbre pondéré traduisant la situation.

Bac S obligatoire Nouvelle Calédonie 2019 : image 2

1. b. L'événement "la voiture choisie est sous garantie et nécessite une réparation" est représenté par $G\cap R.$
$\overset{.}{P(G\cap R)=P(G)\times P_G(R)} \\\phantom{P(N\cap S)}=0,2\times0,01 \\\phantom{P(N\cap S)}=0,002 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(G\cap R)=0,002}$
Donc la probabilité que la voiture choisie soit sous garantie et nécessite une réparation est égale à 0,002.

1. c. En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
$\overset{.}{P(R)= P(G\cap R)+P(\overline{G}\cap R)} \\\phantom{P(S)}=0,002+P(\overline{G})\times P_{\overline{G}}(R) \\\phantom{P(S)}=0,002+0,8\times0,1 \\\phantom{P(S)}=0,082 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(R)=0,082}$

1. d. Nous devons calculer $P_R(G).$

$P_R(G)=\dfrac{P(G\cap R)}{P(R)} =\dfrac{0,002}{0,082} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_R(G)\approx0,024}$
Par conséquent, sachant que la voiture choisie nécessite une réparation, la probabilité qu'elle soit sous garantie est environ égale à 0,024 (valeur arrondie au millième).

2. Soit X la variable aléatoire dont les valeurs représentent les divers coûts d'entretien d'une voiture.
La valeurs possibles de X sont 0, 100 et 500.

Le cas X = 0 est réalisé si la voiture est sous garantie.
Donc $\overset{.}{P(X=0)=P(G)=0,2.}$

Le cas X = 100 est réalisé si la voiture n'est plus sous garantie et ne nécessite pas de réparation.
Donc $\overset{.}{P(X=100)=P(\overline{G}\cap \overline{R}) =P(\overline{G})\times P_{\overline{G}}\overline{R} =0,8\times 0,9 =0,72}$

Le cas X = 500 est réalisé si la voiture n'est plus sous garantie et nécessite une réparation.
Donc $\overset{.}{P(X=500)=P(\overline{G}\cap R) =P(\overline{G})\times P_{\overline{G}}R =0,8\times 0,1 =0,08}$

Nous obtenons ainsi la loi de probabilité de X :

$\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|}\hline x_i&&0&&&100&&&500& \\\hline P(X=x_i)&&0,2&&&0,72&&&0,08&\\\hline \end{array}$

Le coût moyen d'une voiture est donné par l'espérance mathématique E (X ) de la variable aléatoire X .

$E(X)=\sum\limits_{i=1}^3x_i\times P(X=x_i) \\\\\phantom{E(X)}=0\times0,2+100\times0,72+500\times0,08 \\\phantom{E(X)}=112 \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=112}$

Le coût moyen d'une voiture s'élève donc à 112 euros.
D'où le coût total des 2500 voitures s'élève à 2500 multiplie

112 = 280 000 euros.
Le budget annuel prévu par la société de location s'élève à 250 000 euros, ce qui est moindre que le coût total des voitures.
Par conséquent, le budget prévu par la société de location est insuffisant.

Partie B

1. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I₆₀₀ au seuil de 95 % de la fréquence des contrats de courte durée dans l'échantillon des 600 derniers contrats signés l'année précédente.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=600\ge30 \\ p=0,8\Longrightarrow np=600\times0,8=480>5 \\n(1-p)= 600\times(1-0,8)= 600\times0,2=120>5 \end{array}$

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I₆₀₀ au seuil de 95% est :

$I_{600}=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8 (1-0,8)}{600}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8 (1-0,8)}{600}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{600}\approx[0,768;0,832]}$

2. Sur les 600 derniers contrats signés l'année précédente, 550 étaient des contrats de courte durée.
La fréquence observée des contrats de courte durée est $\overset{.}{\boxed{f=\dfrac{550}{600}\approx0,917}}$
Nous remarquons que $f\notin I_{600}.$
Par conséquent au risque de se tromper de 5%, l'affirmation de la directrice est incorrecte.

Partie C

On modélise le nombre de kilomètres parcourus par les clients louant une voiture pour une semaine par une variable aléatoire Y suivant la loi normale d'espérance

= 450 et d'écart-type sigma

= 100.

1. Par la calculatrice, nous obtenons $P(500\le Y\le600)\approx0,242$
D'où la probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre 500 km et 600 km est environ égale à 0,242 (arrondie à 10^-3).

2. Nous devons trouver la valeur de a vérifiant la relation P (Y infegal

a ) = 0,15.
Par la calculatrice, nous obtenons $\overset{.}{P(Y\le a)=0,15\Longrightarrow a\approx346,35661.}$
Par conséquent, un client sera concerné par cette offre promotionnelle pour un kilométrage hebdomadaire inférieur à 346 km (valeur arrondie à l'unité).

6 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire

$g(x)=(x+2)\,\text{e}^{x-4}-2\ \ \ \ \text{où }\ x\in\R.$

1. Limite de la fonction g en + infini

.

$\text{D'une part, }{\red{\lim\limits_{x\to +\infty}(x+2)=+\infty}} \\\\\text{D'autre part, }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x \to +\infty}(x-4)=+\infty \\\\ \lim\limits_{X \to +\infty} \text{e} ^X=+\infty\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{ par composée }}{\Longrightarrow}\ \ \ \ \ \ {\red{\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e} ^{x-4}=+\infty}} \\\\\text{D'où, par produit, }\lim\limits_{x \to +\infty} (x+2)\,\text{e} ^{x-4}=+\infty \\\\\phantom{\text{D'où, ........... }}\Longrightarrow\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\overset{}{(x+2)\,\text{e} ^{x-4}-2}\right)=+\infty \\\\\phantom{\text{D'où, ........... }}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty}$

2. Limite de la fonction g en - infini

.

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x \to -\infty}(x+2)=-\infty \\\\ \lim\limits_{X \to -\infty} X\times\text{e} ^X=0\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{ par composée (X=x+2) }}{\Longrightarrow}\ \ \ \ \ \ {\red{\lim\limits_{x \to -\infty} (x+2)\text{e} ^{x+2}=0}} \\\\\text{D'où, }\lim\limits_{x \to -\infty} (x+2)\,\text{e} ^{x-4}=\lim\limits_{x \to -\infty} (x+2)\,\text{e} ^{x+2-6} =\lim\limits_{x \to -\infty} (x+2)\,\text{e} ^{x+2}\times\,\text{e} ^{-6} \\\\\phantom{\text{D'où, }\lim\limits_{x \to -\infty} (x+2)\,\text{e} ^{x-4}}=\left({\red{\lim\limits_{x \to -\infty} (x+2)\,\text{e} ^{x+2}}}\right)\times\,\text{e} ^{-6}=0\times\,\text{e} ^{-6} \\\\\phantom{\text{D'où, }\lim\limits_{x \to -\infty} (x+2)\,\text{e} ^{x-4}}=0$

$\Longrightarrow\lim\limits_{x \to -\infty} \left(\overset{}{(x+2)\,\text{e} ^{x-4}-2}\right)=0-2 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x \to -\infty}g(x)=-2}$

3. Calcul de g' (x ).

$g'(x)=[(x+2)\,\text{e}^{x-4}]'-2' \\\phantom{g'(x)}=(x+2)'\,\text{e}^{x-4}+(x+2)\,(\text{e}^{x-4})'-0 \\\phantom{g'(x)}=1\times\,\text{e}^{x-4}+(x+2)\,(x-4)'\text{e}^{x-4} \\\phantom{g'(x)}=\text{e}^{x-4}+(x+2)\,\times1\times\text{e}^{x-4} \\\phantom{g'(x)}=\text{e}^{x-4}+(x+2)\,\text{e}^{x-4} \\\phantom{g'(x)}=(1+x+2)\,\text{e}^{x-4} \\\phantom{g'(x)}=(x+3)\,\text{e}^{x-4} \\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=(x+3)\,\text{e}^{x-4}}$

Pour tout réel x , nous savons que e^{x - 4} > 0.
Donc le signe de g' (x ) est le signe de (x + 3).

x + 3 < 0 equivaut

x < -3.
x + 3 = 0 equivaut

x = -3.
x + 3 > 0 equivaut

x > -3.

D'où le tableau de signes de g' (x ) et le tableau de variations de la fonction g .

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&&x&-\infty&&-3&&+\infty\\&&&&& \\\hline x+3&&-&0&+&\\\hline&&&&&& g'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline \end{array}$

$\underline{\text{Calculs préliminaires }}\\\\\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=-2\ \ \ (\text{voir question 2.})\\\\g(-3)=(-3+2)\,\text{e}^{-3-4}-2=-\,\text{e}^{-7}-2\approx-2,001\\\\\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty\ \ \ (\text{voir question 1.})\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\\underline{\text{Tableau de variations de la fonction }g\ \text{sur }\R}\\ \\\phantom{.........}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&&x&-\infty&&-3&&+\infty\\&&&&& \\\hline g'(x)&&-&0&+&\\\hline&-2&&&&+\infty& g(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&-\,\text{e}^{-7}-2\approx-2,001&&\\\hline \end{array}$

4. Montrons que l'équation g (x ) = 0 admet une solution unique alpha

sur

.

Sur l'intervalle ]-oo ; -3] , l'équation g (x ) = 0 n'admet pas de solution car g est strictement décroissante sur cet intervalle et donc, pour tout x appartenant à ]- infini

; -3], g (x) < -2 implique

g (x)

0.
Sur l'intervalle [-3 ; +oo[, la fonction g est continue et strictement croissante.
$\overset{.}{g(-3)\approx-2,001<0}$ et $\overset{.}{\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=+\infty}$ .
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle [-3 ; + infini

[, l'équation g (x ) = 0 admet une solution unique alpha

. .
En conclusion, l'équation g (x ) = 0 admet une solution unique sur .

5. Nous en déduisons le signe de la fonction g sur

.

* Sur l'intervalle ]- infini

;

[, g (x ) < 0
* g ( ) = 0
* Sur l'intervalle ] alpha

; +

[, g (x ) > 0.

6. En utilisant le tableur de la calculatrice, nous obtenons les résultats suivants :

Avec un pas de 1 , g(3) environegal

-0,16 < 0 et g(4) = 4 > 0.
implique

3 < < 4.

Avec un pas de 0,1 , g(3) environegal

-0,16 < 0 et g(3,1) environegal

0,0735 > 0.
implique

3 < < 3,1.

Avec un pas de 0,01, g(3,06) environegal

-0,023 < 0 et g(3,07) environegal

0,000387 > 0.
implique

3,06 < < 3,07.

Avec un pas de 0,001, g(3,069) environegal

-0,002006 < 0 et g(3,070) environegal

0,000387 > 0.
implique

3,069 < < 3,070.

D'où, un encadrement d'amplitude 10^-3 de alpha

est 3,069 < < 3,070.
Par conséquent, $\overset{.}{\boxed{\alpha\approx3,070}}$

Partie B : Etude de la fonction $f$

$f(x)=x^2-x^2\,\text{e}^{x-4}\ \ \ \ \text{où }\ x\in\R.$

${\red{1.\ }}\ f(x)=0\Longleftrightarrow x^2-x^2\,\text{e}^{x-4}=0 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f(x)=0}\Longleftrightarrow x^2(1-\,\text{e}^{x-4})=0 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f(x)=0}\Longleftrightarrow x^2=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ 1-\,\text{e}^{x-4}=0 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f(x)=0}\Longleftrightarrow x=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ \text{e}^{x-4}=1 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f(x)=0}\Longleftrightarrow x=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ \text{e}^{x-4}=\text{e}^{0} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f(x)=0}\Longleftrightarrow x=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ x-4=0 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f(x)=0}\Longleftrightarrow x=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ x=4$

D'où l'ensemble des solutions de l'équation f (x ) = 0 est S = {0 ; 4}.

2. $f'(x)=-x\,g(x)\ \ \ \ \text{où }\ x\in\R.$

Le signe de g (x ) est donné dans la question 5 de la partie A.
Nous avons donc le tableau de signes de f' (x ) et de variations de f :

$\underline{\text{Calculs préliminaires }}\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x \to -\infty} x^2=+\infty\\\lim\limits_{x \to -\infty} x^2\,\text{e}^{x-4}=0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\lim\limits_{x \to -\infty} (x^2-x^2\,\text{e}^{x-4})=+\infty\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=+\infty}\\\\f(0)=0-0\times\,\text{e}^{-4}\Longrightarrow\boxed{f(0)=0}\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x \to+\infty} x^2=+\infty\\\lim\limits_{x \to +\infty} (1-\text{e}^{x-4})=-\infty\end{matrix}\right.\Longrightarrow\lim\limits_{x \to +\infty} (x^2(1-\text{e}^{x-4}))=-\infty\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty}\\\\\\\underline{\text{Tableau de variations de la fonction }f\ \text{sur }\R}$

$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&&x&-\infty&&0&&\alpha&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline -x&&+&0&-&-&-&\\ g(x)&&-&-&-&0&+&\\\hline &&&&&&&&f'(x)=-x\,g(x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&f(\alpha)&&& f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\&&&0&&&&-\infty\\\hline \end{array}$

3. Le tableau de variations de f nous permet de déduire que sur l'intervalle [0 ; + infini

[, le maximum de f est f ( alpha

).

$f(\alpha)=\alpha^2-\alpha^2\,\text{e}^{\alpha-4}$

Or, par la question 4 de la partie A, nous savons que alpha

est une solution de l'équation g (x ) = 0, soit que g ( alpha

)=0

$g(\alpha)=0\Longleftrightarrow (\alpha+2)\,\text{e}^{\alpha-4}-2=0 \\\phantom{g(\alpha)=0}\Longleftrightarrow (\alpha+2)\,\text{e}^{\alpha-4}=2 \\\phantom{g(\alpha)=0}\Longleftrightarrow {\red{\,\text{e}^{\alpha-4}=\dfrac{2}{\alpha+2}}}$

$\text{D'où }\ f(\alpha)=\alpha^2-\alpha^2 {\red{\,\text{e}^{\alpha-4}}} =\alpha^2-\alpha^2\times\ {\red{\dfrac{2}{\alpha+2}}} \\\\\phantom{\text{D'où }\ f(\alpha)}=\alpha^2-\dfrac{2\alpha^2}{\alpha+2} =\dfrac{\alpha^2(\alpha+2)-2\alpha^2}{\alpha+2} \\\\\phantom{\text{D'où }\ f(\alpha)}=\dfrac{\alpha^3+2\alpha^2-2\alpha^2}{\alpha+2}=\dfrac{\alpha^3}{\alpha+2} \\\\\Longrightarrow\boxed{f(\alpha)=\dfrac{\alpha^3}{\alpha+2}}$

Partie C : Aire d'un domaine

Le domaine $\mathscr{D}$ est représenté sur le graphique ci-dessous.

Bac S obligatoire Nouvelle Calédonie 2019 : image 3

1. Etudions le signe de la fonction d définie sur

par $d(x)=x^2-f(x).$

$d(x)=x^2-f(x)=x^2-(x^2-x^2\,\text{e}^{x-4}) \\\\\phantom{d(x)}=x^2-x^2+x^2\,\text{e}^{x-4}=x^2\,\text{e}^{x-4} \\\\\Longrightarrow\boxed{d(x)=x^2\,\text{e}^{x-4}} \\\\\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}x^2\ge0\\\\\text{e}^{x-4}>0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ x^2\,\text{e}^{x-4}\ge0\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{d(x)\ge0}.$

Donc la parabole $\mathscr{P}$ est au-dessus de la courbe $\mathscr{D}$ sur l'intervalle [0 ; 4].

2. Puisque la parabole $\mathscr{P}$ est au-dessus de la courbe $\mathscr{D}$ sur l'intervalle [0 ; 4], l'aire $\mathscr{A}$ du domaine $\mathscr{D}$ est donnée par :

$\mathscr{A}=\int\limits_0^4(x^2-f(x))\,dx \\\phantom{...}=\left[\dfrac{x^3}{3}-F(x)\right]\limits_0^4 \\\phantom{...}=\left[\dfrac{4^3}{3}-\left(\dfrac{4^3}{3}-(4^2-2\times4+2)\,\text{e}^{4-4}\right) \right]-\left[\dfrac{0^3}{3}-\left(\dfrac{0^3}{3}-(0^2-2\times0+2)\,\text{e}^{0-4}\right) \right] \\\\\phantom{...}=\left[\dfrac{4^3}{3}-\dfrac{4^3}{3}+10\,\text{e}^{4-4} \right]-2\,\text{e}^{-4} \\\\\phantom{...}=10 -2\,\text{e}^{-4}\ (\text{u.a.})$

Par conséquent, l'aire $\mathscr{A}$ du domaine $\mathscr{D}$ est égale à 10 - 2e^-4 u.a.

4 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

${\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ vraie }}$

Résolvons dans l'ensemble

l'équation $(E) : z(z^2-8z+32)=0$

$z(z^2-8z+32)=0\Longleftrightarrow z=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ z^2-8z+32=0 \\\\\bullet\ \boxed{z=0} \\\\\bullet\ z^2-8z+32=0 \\\ \ \Delta=(-8)^2-4\times1\times32=64-128=-64=64\,\text{i}^2 \\\\\ \ z_1=\dfrac{8+8\,\text{i}}{2}=\dfrac{2(4+4\,\text{i})}{2}\Longrightarrow \boxed{z_1=4+4\,\text{i}} \\\\\ \ z_2=\dfrac{8-8\,\text{i}}{2}=\dfrac{2(4-4\,\text{i})}{2}\Longrightarrow \boxed{z_2=4-4\,\text{i}}$

Nous désignons par A et B les points d'affixes respectives z ₁ et z ₂.

Puisque $z_2=\overline{z_1}$ , les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe réel.
D'où le triangle OAB est isocèle en O.
Soit H le milieu du segment [AB].
L'aire $\mathscr{A}$ du triangle OAB se calcule par

$\mathscr{A}=\dfrac{AB \times OH}{2}\ \ \ \text{avec}\ \left\lbrace\begin{matrix}AB=|(4+4\,\text{i})-(4-4\,\text{i})|=|4+4\,\text{i}-4+4\,\text{i})|=|8\,\text{i}|=8\\\\OH=4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\phantom{...}=\dfrac{8 \times 4}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=16}$

${\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ fausse }}$

Nous désignons par M, A et B les points d'affixes respectives z _M = z , z _A = 3 et z _B = -3.

$|z-3|=|z+3|\Longleftrightarrow|z-3|=|z-(-3)| \\\phantom{|z-3|=|z+3|}\Longleftrightarrow|z_M-z_A|=|z_M-z_B| \\\phantom{|z-3|=|z+3|}\Longleftrightarrow \boxed{AM=BM}$

Nous en déduisons que M appartient à la médiatrice du segment [AB].
Par conséquent, l'ensemble $\mathscr{E}$ est la médiatrice du segment [AB] et non pas un cercle de centre O et de rayon 3.

${\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ vraie }}$

$z_{n+3}=(1-\text{i}\sqrt{3})^{n+3} \\\phantom{z_{n+3}}=(1-\text{i}\sqrt{3})^{n}\times(1-\text{i}\sqrt{3})^{3} \\\phantom{z_{n+3}}=z_n\times(1-\text{i}\sqrt{3})^{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_{n+3}=(1-\text{i}\sqrt{3})^{3}\times z_n} \\\\\text{Or }\ z_1=1-\text{i}\sqrt{3}=r\,\text{e}^{\text{i}\theta}\ \ \text{avec }\ \left\lbrace\begin{matrix}r=|z_1|=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2\Longrightarrow\boxed{r=2}\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \ \\\sin\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\theta=-\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

$\text{D'où }\ z_1=1-\text{i}\sqrt{3}=2\,\text{e}^{\text{i}(-\frac{\pi}{3})} \\\\\Longrightarrow(1-\text{i}\sqrt{3})^3=\left(2\,\text{e}^{\text{i}(-\frac{\pi}{3})}\right)^3 =8\,\text{e}^{\text{i}(-\pi)}=8\times(-1) \\\\\Longrightarrow\boxed{(1-\text{i}\sqrt{3})^3=-8}$

Nous en déduisons que $\boxed{z_{n+3}=-8z_n}$

Par conséquent, pour tout entier naturel n, les points M_n , O et M _n +3 sont alignés.

${\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ fausse }}$

$\sin(x)(2\cos^2(x)-1)=0\Longleftrightarrow\sin(x)=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ \ 2\cos^2(x)-1=0 \\\\\bullet\ \left\lbrace\begin{matrix}\sin(x)=0\\x\in\ ]-\pi\,;\pi]\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\boxed{x=0}\ \ \ \text{ou}\ \ \ \ \boxed{x=\pi}\\x\in\ ]-\pi\,;\pi]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\bullet\ \left\lbrace\begin{matrix}2\cos^2(x)-1=0\\x\in\ ]-\pi\,;\pi]\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos^2(x)=\dfrac{1}{2}\\x\in\ ]-\pi\,;\pi]\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos(x)=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\x\in\ ]-\pi\,;\pi]\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\boxed{x=\pm\dfrac{\pi}{4}}\ \ \ \text{ou}\ \ \ \ \boxed{x=\pm\dfrac{3\pi}{4}}\\x\in\ ]-\pi\,;\pi]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

Par conséquent, l'équation possède 6 solutions dans l'intervalle ]-

;

] :
$\overset{.}{\boxed{x=0}\ \ \ \text{ou}\ \ \ \ \boxed{x=\pi}\ \ \ \text{ou}\ \ \ \ \boxed{x=\dfrac{\pi}{4}}\ \ \ \text{ou}\ \ \ \ \boxed{x=-\dfrac{\pi}{4}}\ \ \ \text{ou}\ \ \ \ \boxed{x=\dfrac{3\pi}{4}}\ \ \ \text{ou}\ \ \ \ \boxed{x=-\dfrac{3\pi}{4}}}$

L'affirmation est donc fausse.

5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit la suite (u_n ) définie par $\left\lbrace\begin{matrix}u_0=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}\ \ \ (n\in\N)\end{matrix}\right.$

Partie A : Conjectures

1. Dans la cellule B3, nous pouvons entrer la formule suivante : $\boxed{{\red{=B2/(B2+8)}}}$

2. La lecture du tableau nous porte à conjecturer que la suite (u_n ) est décroissante.

3. La suite (u_n ) semble tendre vers 0.

4. Algorithme calculant (u ₃₀).

Variables :        i est entier, u est réel
Initialisation : u prend la valeur 1
Traitement :   Pour i allant de 1 à 30
                                    u prend la valeur $\overset{.}{\dfrac{u}{u+8}}$
                               Fin Pour
Sortie : Afficher u

Partie B : étude générale

1. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , u_n > 0.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
Par définition de la suite (u_n ), $u_0=1>0.$
La propriété est donc vraie pour n = 0.
D'où l'initialisation est vraie.

Hérédité : Si pour un nombre entier n donné, la propriété est vraie au rang n, montrons qu'elle est encore vraie au rang n + 1.
Supposons que la propriété est vraie au rang n, soit que $u_n>0.$

Nous savons que $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}$

$\text{Or }\ u_n>0\Longrightarrow u_n+8>0 \\\\\text{D'où }\ \dfrac{u_n}{u_n+8}>0,\ \ \text{soit }\boxed{u_{n+1}>0}$

La propriété est donc vraie au rang n + 1.
D'où l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n > 0.

2. Variations de la suite (u_n )

Pour tout entier n , nous obtenons :

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n}{u_n+8}-u_n \\\\\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{u_n-u_n(u_n+8)}{u_n+8} \\\\\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{u_n(1-u_n-8)}{u_n+8} \\\\\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{u_n(-u_n-7)}{u_n+8} \\\\\text{Or }\ u_n>0\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}u_n>0\\-u_n-7<0\\u_n+8>0\end{matrix}\right.\\\\\phantom{\text{Or }\ u_n>0}\Longrightarrow\dfrac{u_n(-u_n-7)}{u_n+8}<0 \\\\\phantom{\text{Or }\ u_n>0}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}-u_n<0}$

Par conséquent, la suite (u_n ) est décroissante.

3. La suite (u_n ) est décroissante et minorée par 0.
Cette suite (u_n ) est donc convergente.

Partie C : Recherche d'une expression du terme général.

Soit la suite (v_n ) définie par $v_n=1+\dfrac{7}{u_n}\ \ \ (n\in\N)$

1. Montrons que la suite (v_n ) est géométrique.

$v_{n+1}=1+\dfrac{7}{u_{n+1}}=1+\dfrac{7}{\dfrac{u_n}{u_n+8}} \\\\\phantom{v_{n+1}}=1+\dfrac{7(u_n+8)}{u_n} =\dfrac{u_n+7(u_n+8)}{u_n} \\\\\phantom{v_{n+1}}=\dfrac{u_n+7u_n+56}{u_n}=\dfrac{8u_n+56}{u_n} \\\\\phantom{v_{n+1}}=\dfrac{8u_n}{u_n}+\dfrac{56}{u_n}=8+\dfrac{56}{u_n} \\\\\phantom{v_{n+1}}=8(1+\dfrac{7}{u_n})=8v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=8v_n}$

N. B. : $v_{0}=1+\dfrac{7}{u_{0}}=1+\dfrac{7}{1}=1+7=8\Longrightarrow\boxed{v_0=8}.$

Par conséquent, la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison q = 8 dont le premier terme est v₀ = 8.

2. Le terme général de la suite (v_n ) est donné par $v_n=v_0\times q^n.$
Donc $v_n=8\times 8^n\Longrightarrow \boxed{v_{n}=8^{n+1}}$

$\text{D'où }\ v_n=1+\dfrac{7}{u_n}\Longleftrightarrow \dfrac{7}{u_n}=v_n-1 \\\\\phantom{\text{D'où }\ v_n=1+\dfrac{7}{u_n}}\Longleftrightarrow \dfrac{7}{u_n}=8^{n+1}-1 \\\\\phantom{\text{D'où }\ v_n=1+\dfrac{7}{u_n}}\Longleftrightarrow \dfrac{u_n}{7}=\dfrac{1}{8^{n+1}-1} \\\\\phantom{\text{D'où }\ v_n=1+\dfrac{7}{u_n}}\Longleftrightarrow \boxed{u_n=\dfrac{7}{8^{n+1}-1}}$

${\red{3.\ }}\ 8>1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}8^{n+1}=+\infty \\\\\phantom{{\red{3.\ }}\ 8>1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(8^{n+1}-1)=+\infty \\\\\phantom{{\red{3.\ }}\ 8>1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{7}{8^{n+1}-1}=0 \\\\\phantom{{\red{3.\ }}\ 8>1}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}$

4. $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$ signifie par définition que pour tout nombre réel epsilon

> 0, il existe un nombre entier n₀ tel que pour tout entier n supérieur à n ₀, la relation suivante est réalisée : - epsilon

< u_n <

.

Soit

= 10^-18.
Dans ce cas, il existe un nombre entier n ₀ tel que pour tout entier n supérieur à n ₀, la relation suivante est réalisée : -10^-18 < u_n < 10^-18.
Or nous savons par la question 1. de la Partie B que u_n est positif.
Dès lors il existe un nombre entier n ₀ tel que pour tout entier n supérieur à n ₀, la relation suivante est réalisée : u_n < 10^-18.

Déterminons la valeur du plus petit entier naturel n ₀.
$0<u_n<10^{-18}\Longleftrightarrow0<\dfrac{7}{8^{n+1}-1}<10^{-18} \\\\\phantom{0<u_n<10^{-18}}\Longleftrightarrow\dfrac{8^{n+1}-1}{7}>10^{18}\ \ \ \ \ \text{(passage aux inverses de deux nombres positifs)} \\\\\phantom{0<u_n<10^{-18}}\Longleftrightarrow8^{n+1}-1>7\times10^{18} \\\\\phantom{0<u_n<10^{-18}}\Longleftrightarrow8^{n+1}>7\times10^{18}+1 \\\\\phantom{0<u_n<10^{-18}}\Longleftrightarrow\ln(8^{n+1})>\ln(7\times10^{18}+1)\ \ \ \ \ \text{(la fonction ln est strictement croissante)} \\\\\phantom{0<u_n<10^{-18}}\Longleftrightarrow(n+1)\ln(8)>\ln(7\times10^{18}+1)\ \ \ \ \ \text{(propriété de la fonction ln)} \\\\\phantom{0<u_n<10^{-18}}\Longleftrightarrow n+1>\dfrac{\ln(7\times10^{18}+1)}{\ln(8)}\ \ \ \ \ \text{(conservation du sens de l'intégalité car }\ln(8)>0) \\\\\phantom{0<u_n<10^{-18}}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(7\times10^{18}+1)}{\ln(8)}-1 \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(7\times10^{18}+1)}{\ln(8)}-1\approx19,867$

Puisque n est un nombre entier naturel, l'inéquation est vérifiée pour n supegal

20.
D'où le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation u_n < 10^-18 est n₀ = 20.
Par conséquent, pour tout entier n supérieur ou égal à 20, u_n < 10^-18.

Publié par malou le 06-12-2019

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