Fiche de mathématiques
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Bac S Nouvelle Calédonie 2019

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Obligatoire

Durée : 4 heures

5 points

exercice 1 Commun à tous les candidats


Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.

Partie A
Une société de location de voitures s'intéresse à l'état mécanique de son parc automobile afin d'anticiper les frais d'entretien.
On dispose des données suivantes :
\bullet 20 % des voitures sont sous garantie ;
\bullet pour 1 % des voitures sous garantie, une réparation est nécessaire ;
\bullet pour 10 % de celles qui ne sont plus sous garantie, une réparation est nécessaire.
On choisit une voiture au hasard dans le parc et on considère les évènements suivants :
\bullet\;\; G : « la voiture est sous garantie » ;
\bullet R : « une réparation est nécessaire ».
1. a. Traduire la situation par un arbre pondéré.
1. b. Calculer la probabilité que la voiture choisie soit sous garantie et nécessite une réparation.
1. c. Justifier que P (R) = 0,082.
1. d. Il s'avère que la voiture choisie nécessite une réparation.
Quelle est la probabilité qu'elle soit sous garantie ? On arrondira le résultat à 10^{-3} .
2. La société de location fait appel à un garage pour l'entretien de son parc automobile.
L'entretien consiste en une révision à laquelle s'ajoutent d'éventuelles réparations. Les conditions commerciales du garage sont les suivantes :
\bullet si la voiture est encore sous garantie, l'entretien est gratuit ;
\bullet si la voiture n'est plus sous garantie, l'entretien est facturé de la manière suivante : la révision coûte 100 euros et, si une réparation est nécessaire, il faut rajouter 400 euros.
Sachant que son parc automobile compte 2 500 voitures, est-il raisonnable pour la société de location de prévoir un budget annuel de 250 000 euros pour l'entretien de l'ensemble des voitures ?
On pourra introduire la variable aléatoire X qui représente le coût d'entretien d'une voiture.

Partie B
La société de location propose à ses clients deux contrats de location : un contrat de courte durée (inférieure à 2 jours) et un contrat de longue durée (de 3 à 7 jours).
La directrice de cette société affirme que 80 % des clients demandent un contrat de courte durée.
Sur les 600 derniers contrats signés l'année précédente, 550 étaient des contrats de courte durée.
1. En supposant que l'affirmation de la directrice est correcte, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des contrats de courte durée.
2. Que peut-on penser de l'affirmation de la directrice ?

Partie C
On modélise le nombre de kilomètres parcourus par les clients louant une voiture pour une semaine par une variable aléatoire Y suivant la loi normale d'espérance \mu = 450 et d'écart-type  \sigma = 100.
1. Quelle est la probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre 500 km et 600 km ? On arrondira le résultat à 10^{ -3} .
2. La société de location souhaite faire une offre promotionnelle aux 15 % de ses clients parcourant le moins de kilomètres en une semaine.
En-dessous de quel kilométrage hebdomadaire, arrondi à l'unité, un client sera-t-il concerné par cette offre ?

6 points

exercice 2 Commun à tous les candidats


Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur R par
g(x)=(x+2)\text{e}^{x-4}-2

1. Déterminer la limite de g en +\infty.
2. Démontrer que la limite de g en -\infty vaut -2.
3. On admet que la fonction g est dérivable sur R et on note g' sa dérivée.
Calculer g'(x) pour tout réel x puis dresser le tableau de variations de g.
4. Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique alpha sur R.
5. En déduire le signe de la fonction g sur R.
6. A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude 10^{-3} de alpha.

Partie B : Etude de la fonction f
Soit f la fonction définie sur R par :
f(x)=x^2-x^2\text{e}^{x-4}.

1. Résoudre l'équation f(x)=0 sur R.
2. On admet que la fonction f est dérivable sur R et on note f\,' sa fonction dérivée.
On admet par ailleurs que, pour tout réel x, f'(x)=-xg(x) où la fonction g est celle définie à la partie A.
Etudier les variations de la fonction f sur R.
3. Démontrer que le maximum de la fonction f sur [0 ; +infini[ est égal à \dfrac{\alpha ^3}{\alpha + 2}

Partie C : Aire d'un domaine
Dans un repère orthonormé (O;\,\vec i , \vec j ), on note \mathcal{D} le domaine compris entre la courbe \mathcal{C}_f de la fonction f, la parabole \mathcal{P} d'équation y=x^2 et les droites d'équation x=0 et x=4.
1. Déterminer la position relative des courbes \mathcal{C}_f et \mathcal{P}.
2. On admet qu'une primitive de la fonction f sur R est définie par :

F(x)=\dfrac{x^3}{3} - (x^2-2x+2)\text{e}^{x-4}.

Calculer l'aire du domaine \mathcal{D} en unité d'aire. On donnera la valeur exacte.

4 points

exercice 3 Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué 1 point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une abscence de réponse n'est pas pénalisée.
Pour les questions 1 à 3, on se place dans un repère orthonormé direct (O;\,\vec u , \vec v )

1. Soit (E) l'équation d'inconnue le nombre complexe z

z(z^2-8z+32)=0

Affirmation 1 : Les points dont les affixes sont les solutions de (E) sont les sommets d'un triangle d'aire égale à 16 unités d'aire.

2. Soit \mathcal{E} l'ensemble des points dont les affixes z vérifient
|z-3|=|z+3|.

Affirmation 2 : L'ensemble \mathcal{E} est le cercle de centre O et de rayon 3.

3. On considère la suite de nombres complexes (z_n) dfinie pour tout entier n par :
z_n=\left(1-i\sqrt 3\right)^n.

Pour tout entier naturel n, on note M_n le point d'affixe z_n.
Affirmation 3 : Pour tout entier naturel n, les points M_n\,, O\,, M_{n+3} sont alignés.

4. On considère l'équation d'inconnue le nombre réel x
\sin (x)\left( 2 \cos ^2(x) - 1\right) = 0.

Affirmation 4 : Cette équation admet exactement quatre solutions sur l'intervalle ]-\pi\,;\,\pi] qui sont : -\dfrac{\pi}{4}\,;\, 0\,; \,\dfrac{\pi}{4} \text{ et } \pi.

5 points

exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite (u_n) à valeurs réelles définie par u_0=1 , et pour tout entier naturel n,
u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}.


Partie A : Conjectures
Les premières valeurs de la suite (u_n) ont été calculées à l'aide d'un tableur dont voici une capture d'écran :
Bac S obligatoire Nouvelle Calédonie 2019 : image 1

1. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule B3 et copier vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite (u_n) ?
2. Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite (u_n) ?
3. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (u_n) ?
4. Ecrire un algorithme calculant u_{30}.

Partie B : Etude générale
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n > 0.
2. Etudier les variations de la suite (u_n).
3. La suite (u_n) est-elle convergente ? Justifier.

Partie C : Recherche d'une expression du terme général
On définit la suite (v_n) en posant, pour tout entier naturel n,
v_n=1+\dfrac{7}{u_n}.

1. Démontrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 8 dont on déterminera le premier terme.
2. Justifier que, pour tout entier naturel n,
u_n= \dfrac{7}{8^{n+1}-1}

3. Déterminer la limite de la suite (u_n).
4. On cherche dans cette questionle plus petit entier naturel n_0 tel que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à n_0, u_n < 10 ^{-18}.
Justifier l'existence d'un tel entier n_0 et déterminer sa valeur.
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