Fiche de mathématiques
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Bac S 2019 Métropole

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Durée : 4 heures

Coefficients : 7 (enseignement obligatoire)- 9 (enseignement de spécialité)



6 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

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4 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 4 : Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

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5 points

exercice 4 : Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

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Bac S obligatoire et spécialité Métropole 2019

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6 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonction f  définie sur l'ensemble R des nombres réels par : f(x)= \dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}(\text{e}^x+\text{e}^{-x}).

1. a.  D'une part,  {\red{\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty}}.

D'autre part,  \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-x)=-\infty\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\underset{\text{ en posant }X=-x}{\text{par composition}}}{\Longrightarrow}\ \ \ {\red{\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0}}.

Dès lors  \lim\limits_{x\to+\infty}-\dfrac{1}{2}(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x})=-\infty , soit  \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x})\right)=-\infty. 

Par conséquent,  \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}

1. b.  Nous montrerons que la fonction f  est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; +infini[ en montrant que sa dérivée f'  est négative sur [0 ; +infini[.

f'(x)= \left(\dfrac{7}{2}\right)'-\dfrac{1}{2}\left(\overset{}{\text{e}^x+\text{e}^{-x}}\right)' \\\phantom{f'(x)}= 0-\dfrac{1}{2}\left(\overset{}{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-\dfrac{1}{2}\left(\overset{}{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}\right)}

\text{D'une part }\ f'(0)=-\dfrac{1}{2}\left(\overset{}{\text{e}^0-\text{e}^{0}}\right)\Longrightarrow f'(0)=0 \\\\\text{D'autre part }\ x>0\Longrightarrow x>-x \\\phantom{\text{D'autre part }\ x>0}\Longrightarrow \text{e}^{x}>\text{e}^{-x}\ \ \ \ (\text{par la croissance de la fonction exponentielle sur }\R) \\\phantom{\text{D'autre part }\ x>0}\Longrightarrow \text{e}^{x}-\text{e}^{-x}>0 \\\phantom{\text{D'autre part }\ x>0}\Longrightarrow -\dfrac{1}{2}\left(\overset{}{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}\right)<0 \\\\\phantom{\text{D'autre part }\ x>0}\Longrightarrow f'(x)<0

Par conséquent, la fonction f  est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; +infini[.

1. c.  La fonction f  est continue et strictement décroissante sur [0 ; +infini[.

f(0)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}(\text{e}^0+\text{e}^{0})=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}(1+1)=\dfrac{7}{2}-1\Longrightarrow {\red{f(0)=\dfrac{5}{2}=2,5}} \\\\ {\red{\lim\limits_{x\to+\infty}}\ f(x)=-\infty}\ \ \ \ \text{(voir question 1. a.)}

Or 0 appartient ]-infini ; 2,5].
Donc 0 est compris entre f  (0) et  \lim\limits_{x\to+\infty}}\ f(x) .
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution   alpha  appartenant à l'intervalle [0 ; +infini[.

2.  Pour tout réel x,  f(-x)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}(\text{e}^{-x}+\text{e}^{x})\Longrightarrow\boxed{f(-x)=f(x)}
Nous en déduisons que la fonction f  est paire.
La courbe représentative de la fonction f  est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Nous avons montré dans la question 1. c. que l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution  alpha  appartenant à l'intervalle [0 ; +infini[.
Dès lors, par symétrie, l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution  -alpha  appartenant à l'intervalle ]-infini ; 0].
Par conséquent, l'équation f (x ) = 0 admet exactement deux solutions opposées  alpha  et  -alpha  dans R.

Partie B

1.  La hauteur d'un arceau se détermine en calculant f (0).
Or f (0) = 2,5.  (voir question 1. c.)
D'où la hauteur d'un arceau est de 2,5 mètres.

2. a.  La longueur de la courbe  \mathscr{C}  sur l'intervalle [0 ; alpha] est donnée par  I=\int\limits_0^{\alpha}\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx
où  f'(x)=-\dfrac{1}{2}\left(\overset{}{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}\right)   (voir question 1. b.)
\text{Pour tout réel }x\text{, on a : }\ 1+(f'(x))^2=1+\left[-\dfrac{1}{2}\left(\overset{}{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}\right)\right]^2 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}=1+\dfrac{1}{4}\left(\overset{}{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}\right)^2=1+\dfrac{1}{4}\left(\overset{}{(\text{e}^x)^2-2\,\text{e}^x\,\text{e}^{-x}+(\text{e}^{-x})^2}\right) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}=1+\dfrac{\text{e}^{2x}-2+\text{e}^{-2x}}{4}=\dfrac{4+\text{e}^{2x}-2+\text{e}^{-2x}}{4} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}=\dfrac{\text{e}^{2x}+2+\text{e}^{-2x}}{4}=\dfrac{1}{4}\left(\overset{}{\text{e}^{2x}+2+\text{e}^{-2x}} \right) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}=\dfrac{1}{4}\left(\overset{}{(\text{e}^x)^2+2\,\text{e}^x\,\text{e}^{-x}+(\text{e}^{-x})^2}\right) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}=\dfrac{1}{4}\left(\overset{}{\text{e}^x+\text{e}^{-x}}\right)^2 \\\\\Longrightarrow\boxed{1+(f'(x))^2=\dfrac{1}{4}\left(\overset{}{\text{e}^x+\text{e}^{-x}}\right)^2}

{\red{2.\ \text{b. }}}\ I=\int\limits_0^{\alpha}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\,dx=\int\limits_0^{\alpha}\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\text{e}^{x}+\text{e}^ {-x}\right)^2}\,dx \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a. }}}\ I}=\int\limits_0^{\alpha}\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{x}+\text{e}^ {-x}\right)\,dx\ \ \ \ \ \ \ \ {\blue{(\text{Remarque : }\sqrt{\left(\text{e}^{x}+\text{e}^ {-x}\right)^2}=\text{e}^{x}+\text{e}^ {-x}\ \ \text{car }\ \text{e}^{x}+\text{e}^ {-x}>0)}} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a. }}}\ I}=\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{\text{e}^{x}-\text{e}^ {-x}}\right]\limits_0^{\alpha}\ \ \ \ \ \ \ \ {\blue{\text{car : }(\text{e}^{x}-\text{e}^ {-x})'=(\text{e}^ {-x})'-(\text{e}^ {-x})'}}\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWW}{\blue{=\text{e}^{x}-(-x)'\text{e}^ {-x}\blue{=\text{e}^{x}-(-1)\,\text{e}^ {-x}}}
                                                                                                               {\blue{=\text{e}^{x}+\text{e}^ {-x}}}
                   =\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{(\text{e}^{\alpha}-\text{e}^ {-\alpha})-(\text{e}^{0}-\text{e}^ {0})}\right]

\Longrightarrow\boxed{I=\dfrac{1}{2}\left(\overset{}{\text{e}^{\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}}\right)}
Puisque la courbe  \mathscr{C}  est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, la longueur de l'arceau, en mètre, est  \overset{.}{\boxed{\ell=2\times I=\text{e}^{\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}}}

Partie C

1.  Aire de la bâche de la façade nord
La fonction f  est continue et positive sur l'intervalle [-alpha ; alpha].
L'aire du domaine compris entre la courbe  \mathscr{C} , l'axe des abscisses et les droites d'équations x  = -alpha et x  = alpha est donnée par  \int\limits_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\,dx  ou encore en utilisant la symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées, cette aire est égale à  2\times\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx.
D'où, l'aire en m2 de la bâche de la façade nord est  2\times\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx.

Aire de la bâche de la façade sud
L'aire de la bâche de la façade sud est égale à l'aire de la bâche de la façade nord diminuée de l'aire de l'ouverture rectangulaire ABCD.
L'aire du rectangle ABCD = 2 multiplie 1 = 2 m2.
D'où, l'aire en m2 de la bâche de la façade sud est  2\times\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx-2.

Par conséquent, la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en m2 par  \overset{.}{\mathscr{A}=2\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx+(2\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx-2)} , soit par  \overset{.}{\boxed{\mathscr{A}=4\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx-2}}

2.  La bâche recouvrant le dessus de la serre est constituée par un rectangle dont les dimensions sont respectivement la longueur de l'arceau et 3 multiplie 1,50 mètres.
Or la longueur de l'arceau, en mètre, est égale à  \text{e}^{\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}  (voir question 2. b.)
Donc l'aire , en m2, de la partie recouvrant la serre est donnée, en m, par  3\times1,5\times(\text{e}^{\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}) , soit par  \overset{.}{\boxed{4,5(\text{e}^{\alpha}-\text{e}^ {-\alpha})}}

Nous en déduisons que l'aire totale, en m2 de la bâche est donnée en fonction de alpha par  \overset{.}{\boxed{\mathscr{A}_{\text{tot}}=4\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx-2+4,5(\text{e}^{\alpha}-\text{e}^ {-\alpha})}}

\text{Or }\ \int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx=\int\limits_0^{\alpha}\left(\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}(\text{e}^x+\text{e}^{-x})\right)\,dx  \\\\\phantom{\text{Or }\ \int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx}=\left[\dfrac{7}{2}x-\dfrac{1}{2}(\text{e}^x-\text{e}^{-x})\right]\limits_0^{\alpha} \\\\\phantom{\text{Or }\ \int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx}=\left[\dfrac{7}{2}\alpha-\dfrac{1}{2}(\text{e}^{\alpha}-\text{e}^{-\alpha})\right]-\left[0-\dfrac{1}{2}(\text{e}^{0}-\text{e}^{0})\right] \\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx=\dfrac{7}{2}\alpha-\dfrac{1}{2}(\text{e}^{\alpha}-\text{e}^{-\alpha})}

\text{D'où }\ \mathscr{A}_{\text{tot}}=4\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx-2+4,5(\text{e}^{\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}) \\\phantom{WWWW..}=4\times\left[\dfrac{7}{2}\alpha-\dfrac{1}{2}(\text{e}^{\alpha}-\text{e}^{-\alpha})\right]-2+4,5(\text{e}^{\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}) \\\phantom{WWWW..}=14\alpha-2(\text{e}^{\alpha}-\text{e}^{-\alpha})\right]-2+4,5(\text{e}^{\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}) \\\phantom{WWWW..}=14\alpha+2,5(\text{e}^{\alpha}-\text{e}^{-\alpha})\right]-2

\text{Si }\alpha\approx1,92,\text{ alors } \mathscr{A}_{\text{tot}}\approx14\times1,92+2,5(\text{e}^{1,92}-\text{e}^{-1,92})\right]-2 \\\\\Longrightarrow\boxed{ \mathscr{A}_{\text{tot}}\approx41,57}

Par conséquent, l'aire totale de la bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre est environ égale
à 42 m2 (valeur arrondie au m2 près).


5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

Partie A

1. a.  La variable aléatoire XA  suit la loi uniforme sur l'intervalle [9 ; 25].
L'espérance mathématique de cette variable aléatoire XA  est donnée par  E(X_A)=\dfrac{9+25}{2}=17.
Par conséquent, la durée moyenne d'une partie de type A est de 17 minutes.

1. b.  L'axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction de densité de la loi normale suivie par la variable aléatoire XB  est la droite d'équation x  = 17.
Par conséquent, la durée moyenne d'une partie de type B est de 17 minutes.

2.  Soit  X  la variable aléatoire exprimant la durée d'une partie exprimée en minutes.
                 A  l'événement : la partie jouée est de type A.
                 B  l'événement : la partie jouée est de type B.
Nous devons déterminer P (X  infegal 20).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(X\le 20)=P(A)\times P_A(X\le20)+P(B)\times P_B(X\le20) \\\\\Longrightarrow \boxed{P(X\le 20)=P(A)\times P(X_A\le20)+P(B)\times P(X_B\le20)} \\\\\text{Or }{\red{P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2}}}\\\\P(X_A\le20)=\dfrac{20-9}{25-9}\Longrightarrow{\red{P(X_A\le20)=\dfrac{11}{16}}} \\\\P(X_B\le20)=P(X_B\le17)+P(17\le X_B\le20) \\\phantom{P(X_B\le20)}=P(X_B\le\mu)+P(\mu\le X_B\le\mu+\sigma) \\\phantom{P(X_B\le20)}=P(X_B\le\mu)+\dfrac{1}{2}\times P(\mu-\sigma \le X_B\le\mu+\sigma) \\\phantom{P(X_B\le20)}\approx\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times0,6827\approx0,84135 \\\\\Longrightarrow{\red{P(X_B\le20)\approx0,84135}}

\text{D'où }\ P(X\le 20)\approx\dfrac{1}{2}\times \dfrac{11}{16}+\dfrac{1}{2}\times 0,84135\Longrightarrow\boxed{P(X\le20)\approx0,764425}
Par conséquent, la probabilité que la durée d'une partie soit inférieure à 20 minutes est environ égale à 0,76 (valeur arrondie au centième).

Partie B

1. a.  Arbre pondéré complété :
                
Bac S obligatoire et spécialité Métropole 2019 : image 14


1. b.  En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(A_{n+1})=P(A_n\cap A_{n+1})+P(B_n\cap A_{n+1}) \\\phantom{P(A_{n+1})}=P(A_n)\times P_{A_n}(A_{n+1})+P(B_n)\times P_{B_n}(A_{n+1}) \\\phantom{P(A_{n+1})}=a_n\times0,8+(1-a_n)\times0,3 \\\phantom{P(A_{n+1})}=0,8\,a_n+0,3-0,3\ a_n \\\phantom{P(A_{n+1})}=0,5\,a_n+0,3 \\\\\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}=0,5\,a_n+0,3}

Dans la suite de l'exercice, nous notons a  la probabilité que le joueur joue au jeu A lors de sa première partie, où a  est un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; 1].

La suite (an ) est donc définie par :  \left\lbrace\begin{matrix}a_1=a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\a_{n+1}=0,5\,a_n+0,3\ \ \ \ \ (\text{avec }\  n\ge 1)\end{matrix}\right.

2.  Etude d'un cas particulier  : Soit a  = 0,5.

2. a.  Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n  supegal 1, nous avons la relation :  0 infegal an  infegal 0,6.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 1.
Montrons donc que 0 infegal a1 infegal 0,6.
La démonstration est évidente puisque  a1 = a  = 0,5 et que 0 infegal 0,5 infegal 0,6.
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Si pour un entier n  fixé strictement positif la relation 0 infegal an  infegal 0,6 est vraie au rang n , montrons que cette relation est encore vraie au rang n + 1.
Montrons alors que 0 infegal an+1 infegal 0,6.

\text{En effet : }\ 0\le a_n\le0,6\Longrightarrow{\red{0,5\ \times}}\ 0\le {\red{0,5\ \times}}\ a_n\le{\red{0,5\ \times}}\ 0,6 \\\\\phantom{\text{En effet : }\ 0\le a_n\le0,6}\Longrightarrow0\le 0,5\,a_n\le0,3 \\\\\phantom{\text{En effet : }\ 0\le a_n\le0,6}\Longrightarrow0\ {\red{+\ 0,3}}\le 0,5\,a_n\ {\red{+\ 0,3}}\le0,3\ {\red{+\ 0,3}} \\\\\phantom{\text{En effet : }\ 0\le a_n\le0,6}\Longrightarrow0,3\le 0,5\,a_n+0,3\le 0,6 \\\\\phantom{\text{En effet : }\ 0\le a_n\le0,6}\Longrightarrow0\le 0,5\,a_n+0,3\le 0,6 \\\\\phantom{\text{En effet : }\ 0\le a_n\le0,6}\Longrightarrow\boxed{0\le a_{n+1}\le 0,6}

Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier n  supegal 1, nous avons la relation : 0 infegal an  infegal 0,6.

2. b.  Montrons que pour tout n supegal 1,   a_{n+1}-a_n\ge0.

a_{n+1}-a_n=(0,5\,a_n+0,3)-a_n \\\\\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}-a_n=-0,5\,a_n+0,3}

Or, par la question 2. a, nous savons que pour tout n supegal 1,  0\le a_{n}\le0,6.

0\le a_{n}\le 0,6\Longrightarrow {\red{-0,5\ \times\ }}0,6\le{\red{-0,5\ \times\ }}a_n\le{\red{-0,5\ \times\ }}0 \\\phantom{0\le a_{n}\le 0,6}\Longrightarrow-0,3\le-0,5\,a_n\le0 \\\phantom{0\le a_{n}\le 0,6}\Longrightarrow-0,3\ {\red{+\ 0,3}}\le-0,5\,a_n\ {\red{+\ 0,3}}\le0\ {\red{+\ 0,3}} \\\phantom{0\le a_{n}\le 0,6}\Longrightarrow0\le-0,5\,a_n+0,3\le0,3 \\\phantom{0\le a_{n}\le 0,6}\Longrightarrow0\le a_{n+1}-a_n\le0,3 \\\\\text{D'où\ }\boxed{ a_{n+1}-a_n\ge0}
Par conséquent, la suite (an ) est croissante.

2. c.  Nous avons montré que la suite (an ) est croissante et majorée par 0,6.
Cette suite est donc convergente vers une limite L .

\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}a_{n+1}=0,5\,a_n+0,3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\L=\lim\limits_{n\to+\infty}a_n =\lim\limits_{n\to+\infty}a_{n+1}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \ \left|\left.\begin{matrix}L=0,5L+0,3\\\\L-0,5L=0,3\\\\0,5L=0,3\\\\\boxed{L=0,6}\end{matrix}

Par conséquent,  \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=0,6}

3.  Etude du cas général  : le réel a  appartient à l'intervalle [0 ; 1].

Soit la suite (un ) définie par  u_n=a_n-0,6\ \ \ \ \ \ (n\ge1)

3. a.  Montrons que la suite (un ) est une suite géométrique.

u_{n+1}=a_{n+1}-0,6 \\\phantom{u_{n+1}}=(0,5\,a_{n}+0,3)-0,6 \\\phantom{u_{n+1}}=0,5\,a_{n}-0,3 \\\phantom{u_{n+1}}=0,5\,a_{n}-0,5\times0,6 \\\phantom{u_{n+1}}=0,5\,(a_{n}-0,6) \\\phantom{u_{n+1}}=0,5\,u_n \\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=0,5\,u_n} \\\\\text{Remarque : }u_1=a_1-0,6\Longrightarrow\boxed{u_1=a-0,6}

Nous en déduisons que la suite (un ) est une suite géométrique de raison q  = 0,5 dont le premier terme
est u1 = a  - 0,6.


3. b.  Le terme général de la suite (un ) est  u_n=u_1\times q^{n-1} .
Donc, pour tout n  supegal 1,  \overset{.}{\boxed{u_n=(a-0,6)\times0,5^{n-1}}}

\left\lbrace\begin{matrix}u_{n}=a_{n}-0,6\ \ \ \ \ \ \\u_n=(a-0,6)\times0,5^{n-1}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}a_n={\red{u_n}}+0,6\ \ \ \ \ \ \\ {\red{u_n}}=(a-0,6)\times0,5^{n-1}\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{ a_n=(a-0,6)\times0,5^{n-1}+0,6}

{\red{3.\ \text{c.}}}\ \ 0<0,5<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}0,5^{n-1}=0\\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d.}}}\ \ 0<0,4<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\overset{}{(a-6)\times0,5^{n-1}}\right)=0 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d.}}}\ \ 0<0,4<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\overset{}{(a-6)\times0,5^{n-1}+0,6}\right)=0,6  \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d.}}\ \ 0<0,8<1}}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=0,6}
Cette limite ne dépend donc pas de a .

3. d.  A long terme, la probabilité que le joueur joue au jeu A est proche de 0,6.
Puisque 0,6 > 0,5, le joueur jouera davantage au jeu A et par conséquent, une publicité insérée en début des parties de type A sera la plus vue par un joueur s'adonnant intensivement aux jeux vidéo.

4 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats


{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ 1\ :\ }\text{Le triangle OAB est équilatéral}} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie.}}}

Résolvons l'équation  (E):z^2-2\sqrt{3}z+4=0.

\text{Discriminant : }\ \Delta=(-2\sqrt{3})^2-4\times1\times4=12-16=-4<0 \\\\\text{Solutions : }\ z_1=\dfrac{2\sqrt{3}+2\text{i}}{2}=\dfrac{2 (\sqrt{3}+\text{i})}{2}\Longrightarrow\boxed{z_1=\sqrt{3}+\text{i}} \\\\\phantom{Solutions : }\ z_2=\dfrac{2\sqrt{3}-2\text{i}}{2}=\dfrac{2 (\sqrt{3}-\text{i})}{2}\Longrightarrow\boxed{z_2=\sqrt{3}-\text{i}=\overline{z_1}}

Si z 1 est l'affixe du point A, alors  OA=|z_1|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
Si z 2 est l'affixe du point B, alors  OB=|z_2|=|\overline{z_1}|=2.
De plus,  AB=|z_B-z_A|=|(\sqrt{3}-\text{i})-(\sqrt{3}+\text{i})|=|\sqrt{3}-\text{i}-\sqrt{3}-\text{i}|=|-2\text{i}|=2.
Donc OA = OB = AB = 2.
Nous en déduisons que le triangle OAB est équilatéral.
Par conséquent, l'affirmation 1 est vraie.


{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ 2\ :\ }u^{2019}+\overline{u}\,^{2019}=2^{2019}} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation fausse.}}}

u=\sqrt{3}+\text{i}=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\,\text{i}\right)=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+\text{i}\,\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\Longrightarrow\boxed{u=2\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}}

u^{2019}+\overline{u}^{2019}=(2\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}})^{2019}+(2\,\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}})^{2019} \\\\\phantom{u^{2019}+\overline{u}^{2019}}=2^{2019}\text{e}^ {\frac{2019}{6}\text{i}\pi}+2^{2019}\text{e}^ {-\frac{2019}{6}\text{i}\pi}   \\\\\phantom{u^{2019}+\overline{u}^{2019}}=2^{2019}\text{e}^ {\frac{2016}{6}\text{i}\pi+\frac{3}{6}\text{i}\pi}+2^{2019}\text{e}^ {-\frac{2016}{6}\text{i}\pi-\frac{3}{6}\text{i}\pi}   \\\\\phantom{u^{2019}+\overline{u}^{2019}}=2^{2019}\text{e}^ {336\text{i}\pi+\frac{\pi}{2}\text{i}}+2^{2019}\text{e}^ {-336\text{i}\pi-\frac{\pi}{2}\text{i}}

  \\\\\phantom{u^{2019}+\overline{u}^{2019}}=2^{2019}\text{e}^ {336\text{i}\pi}\text{e}^ {\frac{\pi}{2}\text{i}}+2^{2019}\text{e}^ {-336\text{i}\pi}\text{e}^ {-\frac{\pi}{2}\text{i}} \\\\\phantom{u^{2019}+\overline{u}^{2019}}=2^{2019}(\text{e}^ {168\times2\text{i}\pi}\times\text{e}^ {\frac{\pi}{2}\text{i}}+\text{e}^ {-168\times2\text{i}\pi}\times\text{e}^ {-\frac{\pi}{2}\text{i}}) \\\\\phantom{u^{2019}+\overline{u}^{2019}}=2^{2019}\left(\overset{}{1\times\text{i}}+1\times(-\text{i})\right) \\\\\phantom{u^{2019}+\overline{u}^{2019}}=2^{2019}(\text{i}-\text{i}) \\\\\phantom{u^{2019}+\overline{u}^{2019}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{u^{2019}+\overline{u}^{2019}=0\ {\red{\neq2^{2019}}}}
Par conséquent, l'affirmation 2 est fausse.


{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ 3\ :\ }\text{Pour tout entier naturel }n\ge1,\text{ la fonction }f_n\text{ admet un maximum}}}\\\phantom{................................}{ \blue{\longrightarrow}}{\red{\text{Affirmation vraie.}}}

Pour tout entier naturel n  supegal 1, la fonction fn  est dérivable sur l'intervalle [0 ; +infini[ comme produit de fonctions dérivables sur [0 ; +infini[.

Etudions le signe de la dérivée f'n  et les variations de la fonction fn sur l'intervalle [0 ; +infini[.

f'_n(x)=(x\,\text{e}^{-nx+1})'=x'\times\text{e}^{-nx+1}+x\times(\text{e}^{-nx+1})' \\\\\phantom{f'_n(x)=(x\,\text{e}^{-nx+1})'}=1\times\text{e}^{-nx+1}+x\times(-nx+1)'\,\text{e}^{-nx+1} \\\\\phantom{f'_n(x)=(x\,\text{e}^{-nx+1})'}=\text{e}^{-nx+1}+x\times(-n)\,\text{e}^{-nx+1} \\\\\phantom{f'_n(x)=(x\,\text{e}^{-nx+1})'}=(1-nx)\,\text{e}^{-nx+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'_n(x)=(1-nx)\,\text{e}^{-nx+1}}
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R, le signe de f'n (x ) sera le signe de (1 - nx ) .

\begin{matrix}1-nx=0\Longleftrightarrow nx=1 \\\phantom{1-nx=}\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{n}\end{matrix} \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\end{matrix} \begin{matrix}\ 1-nx<0\Longleftrightarrow nx>1 \\\phantom{-14x+28}\Longleftrightarrow x>\dfrac{1}{n}\end{matrix} \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\end{matrix} \begin{matrix}\ 1-nx>0\Longleftrightarrow nx<1 \\\phantom{-14x+28}\Longleftrightarrow x<\dfrac{1}{n}\end{matrix}

D'où le tableau de signes de f'n (x ) sur [0 ; +infini[ :

          \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&0&&\dfrac{1}{n}&&+\infty&&&&&&\\\hline 1-nx&&+&0&-&\\\hline f'_n (x)&&+&0&-&\\\hline \end{array}

Nous en déduisons le tableau de variations de fn  sur [0 ; +infini[

\underline{\text{Calculs préliminaires}} \\\\f_n(0) =0\,\text{e}^{1}= 0 \\\\f_n(\dfrac{1}{n})=\dfrac{1}{n}\,\text{e}^0=\dfrac{1}{n} \\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f_n(x)=0 \\\\\underline{\text{Tableau de variations de }f\text{ sur }[0\,;+\infty[} \\\\\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&\frac{1}{n}&&+\infty\\\hline f'_n(x)&&+&0&-&\\\hline&&&&&&&&&\dfrac{1}{n}&&& f_n(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&0&&&&{\red{\text{Maximum}}}&&\\\hline \end{array}

Nous en déduisons que la fonction fn  admet un maximum.
Par conséquent, l'affirmation 3 est vraie.


{\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ 4\ :\ }\text{La courbe }\mathscr{C}\text{ admet une asymptote en }+\infty} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie.}}}

Pour tout nombre réel x ,

\left\lbrace\begin{matrix}-1\le\cos(x)\le1\\\\\text{e}^{-x}>0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ -\text{e}^{-x}\le\cos(x)\,\text{e}^{-x}\le\text{e}^{-x}\ \ \ \Longrightarrow\ \ \boxed{-\text{e}^{-x}\le f(x)\le\text{e}^{-x}} \\\\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-x)=-\infty\\\\\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e} ^X=0\ \ \ \ \ \ \ \  \end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{ par composée (X=-x) }}{\Longrightarrow}\ \ \ \ \ \  \boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e} ^{-x}=0} \\\\\\\text{D'où } \left\lbrace\begin{matrix}-\text{e}^{-x}\le f(x)\le\text{e}^{-x}\\\\\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e} ^{-x}=0\ \ \ \ \ \ \ \  \end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{ par le théorème des gendarmes }}{\Longrightarrow}\ \ \ \ \ \  \boxed{{\red{\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0}} }
Nous en déduisons que la courbe  \mathscr{C} admet une asymptote en +infini.
Par conséquent, l'affirmation 4 est vraie.


{\red{\text{5. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ 5\ :\ }15\ln(2)\le\ln(A)\le16\ln(2)} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation fausse.}}}

En fin d'exécution de l'algorithme, la variable I  contient la valeur 15 .
Donc nous obtenons les relations suivantes :  2^{14}\le A  et  2^{15}>A,  soit  2^{14}\le A<2^{15}
Puisque la fonction ln est strictement croissante sur [0 ; +infini[, nous obtenons alors :  \overset{.}{\boxed{14\ln(2)\le\ln(A)<15\ln(2)}}
Par conséquent, l'affirmation 5 est fausse.


5 points

exercice 4 : Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de                                spécialité

Partie A

1.  Le plan (FHK) coupe la droite (AE) en un point noté M.
Construction du point M :
Dans le plan (AEH), les droites (HK) et (AE) sont concourantes.
Le point d'intersection de ces droites est un point noté M.
M est le point d'intersection demandé.
En effet :
 M appartient à la droite (HK) et appartient donc au plan (FHK).
M appartient à la droite (AE).
D'où le plan (FHK) coupe la droite (AE) en ce point M.
Voir figure ci-dessous.

                
Bac S obligatoire et spécialité Métropole 2019 : image 16


2.  Construction de la section du cube par le plan  \mathscr{P}.

Rappelons le théorème suivant :
Si deux plans sont parallèles , tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.

Les plans  \mathscr{P}  et (FHK) sont parallèles.
Le plan (HEF) coupe le plan (FHK) selon la droite (FH).
D'après le théorème en rappel, le plan (HEF) coupera le plan  \mathscr{P}  selon une droite parallèle à la droite (FH).
Dès lors, par le point I, traçons une droite parallèle à la droite (FH).
Selon la réciproque du théorème des milieux, si cette droite passe par le milieu I du côté [EF] du triangle EFH et si elle est parallèle au côté [FH],alors elle coupe le troisième côté [EH] en son milieu J.
D'où le segment [IJ] fait partie de la section demandée.

De même, les plans \mathscr{P} et (FHK) sont parallèles.
Le plan (ADH) coupe le plan (FHK) selon la droite (HK), soit la droite (HM).
D'après le théorème en rappel, le plan (ADH) coupera le plan \mathscr{P} selon une droite parallèle à la droite (HM).
Dès lors, par le point J, traçons une droite parallèle à la droite (HM).
Selon la réciproque du théorème des milieux, si cette droite passe par le milieu J du côté [EH] du triangle EHM et si elle est parallèle au côté [HM],alors elle coupe le troisième côté [EM] en son milieu que nous notons M'.
D'où le segment [JM'] fait partie de la section demandée.
Par évidence, le segment [IM'] fait partie de la section demandée.

Par conséquent, la section du cube par le plan  \mathscr{P}  est le triangle IJM'.
Voir figure ci-dessus.

Partie B

1. a.  Montrons que le vecteur  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\4\\-3\end{pmatrix}  est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires  \overrightarrow{FH}  et  \overrightarrow{FK}  du plan (FHK).

\left\lbrace\begin{array}l F(1\ ;\,0\ ;\,1))\\H(0\,;\,1\,;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{FH}\begin{pmatrix}0-1\\1-0\\1-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{FH}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}

\left\lbrace\begin{array}l F(1\ ;\,0\ ;\,1))\\K(0\,;\,\dfrac{1}{4}\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{FK}\begin{pmatrix}0-1\\\dfrac{1}{4}-0\\0-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{FK}\begin{pmatrix}-1\\\dfrac{1}{4} \\-1\end{pmatrix}}

Manifestement, les vecteurs \overrightarrow{FH}   et  \overrightarrow{FK}   ne sont pas colinéaires.

De plus,

\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{FH}\ \ &\ 4\times(-1)+4\times1-3\times0\\\ \ &\ -4+4-0\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{FH}}

\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{FK}\ \ &\ 4\times(-1)+4\times\dfrac{1}{4}-3\times(-1)\\\ \ &\ -4+1+3\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{FK}}

Par conséquent, le vecteur  \overrightarrow{n}   étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires  \overrightarrow{FH}   et  \overrightarrow{FK}   du plan (FHK), nous en déduisons que le vecteur  \overrightarrow{n}   est normal au plan (FHK).

1. b.   Nous savons que tout plan de vecteur normal  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}   admet une équation cartésienne de la
forme  ax   + by   + cz   + d   = 0.

Puisque le vecteur  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\4\\-3\end{pmatrix}   est normal au plan (FHK), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (FHK) est de la forme 4x + 4y   - 3z   + d   = 0.

Or le point F(1 ; 0 ; 1) appartient au plan (FHK).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 4 + 0 - 3 + d   = 0  , soit d   = -1.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (FHK) est  \boxed{4x+4y-3z-1=0}.

1.  c.  Puisque les plans  \mathscr{P}  et (FHK) sont parallèles, le vecteur  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\4\\-3\end{pmatrix}   est également normal au plan  \mathscr{P} .
Donc une équation cartésienne du plan  \mathscr{P}  est de la forme 4x + 4y - 3z + d' = 0.

Or le point  I(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1)  appartient au plan  \mathscr{P} .
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où  4\times\dfrac{1}{2}+4\times0-3\times1+d'=0  , soit d' = 1.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan  \mathscr{P}  est \boxed{4x+4y-3z+1=0}.

1. d.  Déterminons une représentation paramétrique de la droite (AE).

La droite (AE) est dirigée par le vecteur  \overrightarrow{AE} .

\left\lbrace\begin{array}l A(0\,;\,0\,;\,0)\\E(0\,;\,0\,;\,1)\end{array}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}{\red{0}}\\ {\red{0}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix}}

La droite (AE) passe par le point A({\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}).

D'où une représentation paramétrique de la droite (AE) est donnée par :

 \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{0}}+{\red{0}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{0}}\times t\\z={\blue{0}}+{\red{1}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})

soit \boxed{(AE):\left\lbrace\begin{array}l x=0\\y=0\\z=t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}

Les coordonnées du point M' sont les solutions du système composé par les équations de la droite (AE) et du plan  \mathscr{P} , soit du système :

\left\lbrace\begin{array}l x=0\\y=0\\z=t\\4x+4y-3z+1=0 \end{array}\ \ \ \  \left\lbrace\begin{array}l x=0\\y=0\\z=t\\ 4\times0 +4\times0-3t+1=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=0\\y=0\\z=t\\-3t+1=0 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l x=0\\y=0\\z=t\\3t=1 \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=0\\y=0\\z=t\\\\t=\dfrac{1}{3} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=0\\y=0\\\\z=\dfrac{1}{3}\\\\t=\dfrac{1}{3}\end{array}

D'où les coordonnées du point M' sont \boxed{M'(0\,;\,0\, ;\, \dfrac{1}{3})}.

2.  Nous notons deltamaj la droite passant par le point E et orthogonale au plan  \mathscr{P} .

2. a.   Déterminons une représentation paramétrique de la droite deltamaj.

La droite deltamaj est orthogonale au plan  \mathscr{P}  .
Cette droite est donc dirigée par le vecteur  \boxed{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}{\red{4}}\\ {\red{4}}\\ {\red{-3}}\end{pmatrix}}  .

La droite deltamaj passe par le point E({\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{1}}).

D'où une représentation paramétrique de la droite deltamaj est donnée par :

 \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{0}}+{\red{4}}\times t'\\y={\blue{0}}+{\red{4}}\times t'\\z={\blue{1}}+{\red{(-3)}}\times t' \end{array}\ \ \ (t'\in\mathbb{R})

soit \boxed{\Delta :\left\lbrace\begin{array}l x=4t'\\y=4t'\\z=1-3t' \end{array}\ \ \ (t'\in\mathbb{R})}

2. b.  Les coordonnées du point L sont les solutions du système composé par les équations de la droite deltamaj et du plan (ABC) d'équation z  = 0, soit du système :

\left\lbrace\begin{array}l x=4t'\\y=4t' \\z=1-3t'\\z=0 \end{array}\ \ \ \  \left\lbrace\begin{array}l x=4t'\\y=4t' \\z=1-3t'\\ 1-3t'=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=4t'\\y=4t' \\z=1-3t'\\t'=\dfrac{1}{3} \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l x=4\times\dfrac{1}{3}\\\\y=4\times\dfrac{1}{3} \\z=0\\t'=\dfrac{1}{3}\end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{4}{3}\\\\y=\dfrac{4}{3}\\\\z=0\\\\t'=\dfrac{1}{3} \end{array}

D'où les coordonnées du point L sont \boxed{(\dfrac{4}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}\, ;\, 0)}.

2. c.  Représentation graphique de la droite deltamaj.

                
Bac S obligatoire et spécialité Métropole 2019 : image 15


2. d.  Le point E est commun à la droite deltamaj et au plan (ABF).
Puisque le point L n'appartient pas au plan (ABF), la droite deltamaj n'est donc pas incluse dans le plan (ABF).
D'où le point E est l'unique point de deltamaj commun à la droite deltamaj et au plan (ABF).
Etant donné que le point E n'appartient pas à la droite (BF), cette droite (BF) ne peut pas être sécante à la droite deltamaj.

Les droites deltamaj et (CG) sont sécantes si le système composé par leurs équations admet une solution unique.
Résolvons le système suivant :

\left\lbrace\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=t\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (t\in\R)\\\left\lbrace\begin{matrix}x=4t'\ \ \ \ \\y=4t'\ \ \ \ \\z=1-3t'\end{matrix}\right.\ \ \ (t'\in\R)\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=t\\4t'=1\\1-3t'=t\end{matrix}\right.\\\\\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=t\\t'=\dfrac{1}{4}\\1-\dfrac{3}{4}=t\end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=t\\t'=\dfrac{1}{4}\\\\t=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=\dfrac{1}{4}\\\\t'=\dfrac{1}{4}\\\\t=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.
D'où le système admet une solution unique et par conséquent, les droites deltamaj et (CG) sont sécantes en un point de coordonnées (1\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{4}).

5 points

exercice 4 : Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l'ensemble S


{\red{1.\ }}\ \ A=\begin{pmatrix}6&5\\-5&-4\end{pmatrix} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}6\in\Z\ \ ;\ \ 5\in\Z\ \ ;\ \ -5\in\Z\ \ ;\ \ -4\in\Z. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\\

{\red{2.\ }}\ \ A=\begin{pmatrix}a&2\\3&d\end{pmatrix} \\\\A\in S\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a\in\Z\ \ ;\ \ d\in\Z  \\ad-6=1\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a\in\Z\ \ ;\ \ d\in\Z  \\ad=7\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\phantom{A\in S}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a\in\Z\ \ ;\ \ d\in\Z\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ (a\,;\,d)=(1\,;\,7)\ \ \text{ou }\ (a\,;\,d)=(-1\,;\,7)\ \ \text{ou }\ (a\,;\,d)=(1\,;\,-7)\ \ \text{ou }\ (a\,;\,d)=(-1\,;\,-7)\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.
D'où, les quatre matrices de la forme  A=\begin{pmatrix}a&2\\3&d\end{pmatrix}  appartenant à l'ensemble S sont :
\overset{.}{\boxed{A_1=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}\ \ \ ;\ \ \ A_2=\begin{pmatrix}-1&2\\3&7\end{pmatrix} \ \ \ ;\ \ \ A_3=\begin{pmatrix}1&2\\3&-7\end{pmatrix}\ \ \ ;\ \ \ A_4=\begin{pmatrix}-1&2\\3&-7\end{pmatrix}}}

3. a.  Résolvons dans Z l'équation (E ) : 5x  - 2y  = 1.

Le couple (1 ; 2) est une solution particulière de l'équation (E)  car   5\times1-2\times2=5-4=1.
Résolvons l'équation (E) pour x et y appartenant à Z.

5x-2y=1\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 5x-2y=1\\ {\red{5\times1-2\times2}}={\red{1}} \end{array}

                            \Longleftrightarrow5x\ {\red{-\ 5\times1}}-2y\ {\red{-\ (-2\times2)}}=1\ {\red{-\ 1}}

                            \\\phantom{5x-2y=1}\Longleftrightarrow5x- 5\times1-2y+2\times2=0 \\\phantom{5x-2y=1}\Longleftrightarrow5(x-1)-2(y-2)=0 \\\phantom{5x-2y=1}\Longleftrightarrow5(x-1)=2(y-2)  \\\\\phantom{5x-2y=1}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}5(x-1)=2(y-2)\\\text{5 et 2 sont premiers entre eux.}\end{matrix}\right.
D'après le théorème de Gauss, 5 divise (y  - 2).
Donc il existe un entier k tel que y - 2 = 5k .

 \begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} 5(x-1)=2(y-2)\ &\ \left\lbrace\begin{array}l 5(x-1)=2(y-2)\\y-2=5k \end{array} \\&\ \left\lbrace\begin{array}l 5(x-1)=2\times5k\\y=2+5k \end{array} \\&\ \left\lbrace\begin{array}l x-1=2k\\y=2+5k \end{array}\\&\ \left\lbrace\begin{array}l x=1+2k\\y=2+5k \end{array} \end{array}

Par conséquent,
les solutions entières de l'équation 5x  - 2y  = 1 sont les couples de la forme (1+2k  ; 2+5k ) avec k  appartient Z.

{\red{3.\ \text{b. }}}\ A=\begin{pmatrix}a&b\\2&5\end{pmatrix}\in S\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} a\in\Z\ \ ;\ \ b\in\Z\\5a-2b=1\end{matrix}\right. \\\\\phantom{.=\begin{pmatrix}a&b\\2&5\end{pmatrix}\in S}\underset{\text{ (par la question 3. a. )}}{\Longleftrightarrow}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}a=1+2k\\b=2+5k\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ (\text{avec }\ k\in\Z) \\\\\text{D'où }\ \boxed{A=\begin{pmatrix}1+2k&2+5k\\2&5\end{pmatrix}\in S\ \ \ \ \ (\text{avec }\ k\in\Z)}
Par conséquent, il existe une infinité de matrices de la forme  A=\begin{pmatrix}a&b\\2&5\end{pmatrix}  appartenant à l'ensemble S .
Ces matrices sont du type  \begin{pmatrix}1+2k&2+5k\\2&5\end{pmatrix}\ \ \ \ \ (\text{avec }\ k\in\Z).


Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l'ensemble S

1.  Nous savons que A  appartient à l'ensemble S.
Dès lors, ad  - bc  = 1, soit ad  + b multiplie(-c ) = 1.
Par l'identité de Bézout, nous en déduisons que pgcd(a ,b ) = 1, soit que a  et b  sont premiers entre eux.

{\red{2.\ \text{a. }}}\ AB=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{b. }}}\ AB}=\begin{pmatrix}ad-bc&-ab+ab\\cd-cd&-bc+ad\end{pmatrix} \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{b. }}}\ AB}=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}\ \ \ \ (\text{avec }ad-bc=1\ \text{car }A\in S) \\\\\text{D'où }\ \boxed{AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}
De plus, l'énoncé indique que AB  = BA .

2. b.  Dans l'exercice 2. a., nous avons montré que AB  = BA  = I .
Donc la matrice A  est inversible et la matrice inverse est  A^{-1}=B=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} .

2. c.   A^{-1}=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\in S\ \text{car }\ \left\lbrace\begin{matrix}d\in\Z\ \ ;\ \ -b\in\Z\ \ ;\ \ -c\in\Z\ \ ;\ \ a\in\Z.\\d\times a-(-b)\times(-c)=ad-bc=1\end{matrix}\right.

{\red{3.\ \text{a. }}}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\Longleftrightarrow A^{-1}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=A^{-1}A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \\\\\phantom{WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=I\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \\\\\phantom{WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \\\\\phantom{WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}dx'-by'\\-cx'+ay'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \\\\\phantom{WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=dx'-by'\\y=ay'-cx'\end{matrix}\right.}

{\red{3.\ \text{b. }}}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \\\\\phantom{WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix} \\\\\phantom{WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x'=ax+by\\y'=cx+dy\end{matrix}\right.}

D  est le PGCD de x  et de y .
     Nous en déduisons que D  divise x  et divise y .
     Dès lors, puisque  \left\lbrace\begin{matrix}x'=ax+by\\y'=cx+dy\end{matrix}\right. , il en découle que D  divise x'  et divise y' .
     Donc D  divise le PGCD de x'  et y'  c'est-à-dire D  divise D' .

D'  est le PGCD de x'  et de y' .
     Nous en déduisons que D'  divise x'  et divise y' .
     Dès lors, puisque  \left\lbrace\begin{matrix}x=dx'-by'\\y=ay'-cx'\end{matrix}\right. , il en découle que D'  divise x  et divise y .
     Donc D'  divise le PGCD de x  et y  c'est-à-dire D'  divise D .

Par conséquent, puisque D  divise D'  et que D'  divise D , nous pouvons conclure que D  = D' .

4.  Considérons les suites (xn ) et (yn ) définie par x0 = 2019 et y0 = 673 et pour tout entier naturel n  :

\left\lbrace\begin{matrix}x_{n+1}=2x_n+3y_n\\y_{n+1}=x_n+2y_n\end{matrix}\right.


Traduisons le système par une égalité matricielle.

\left\lbrace\begin{matrix}x_{n+1}=2x_n+3y_n\\y_{n+1}=x_n+2y_n\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} \\\\\text{Si }\ A=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix},\ \text{alors }\ \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{1}\end{pmatrix} \\\\\text{Or }\ A\in S\ \text{car  }\left\lbrace\begin{matrix}2\in\Z\ \ ;\ \ 3\in\Z\ \ ;\ \ 1\in\Z\ \ ;\ \ 2\in\Z.\\2\times 2-3\times1=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.
Par la question 3. b., nous déduisons que PGCD(xn  ; yn ) = PGCD(xn+1  ; yn+1 ).
D'autre part, vu que 2019 = 3 multiplie 673, nous obtenons : PGCD(2019 ; 673) = 673, soit PGCD(x0 ; y0) = 673.
Montrons alors par récurrence que PGCD(xn ; yn ) = 673.

Initialisation : Montrons que l'égalité est vraie pour n  = 0.
Nous venons de montrer que PGCD(x0 ; y0) = 673.
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Si pour un entier n  fixé positif la relation PGCD(xn ; yn ) = 673 est vraie au rang n , montrons que cette relation est encore vraie au rang n + 1.
Montrons alors que PGCD(xn +1 ; yn +1 ) = 673.
Cette relation est évidente puisque nous avons montré que PGCD(xn  ; yn ) = PGCD(xn+1 ; yn+1 ) et que par hypothèse de récurrence, nous avons : PGCD(xn ; yn ) = 673.
Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n , le PGCD de xn  et yn  est égal à 673.
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