Fiche de mathématiques

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Bac S Liban 2019

5 points

exercice 1 Commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O; I, J).

1. On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; 1] par

$f (x) = x(1-\ln x)^2$
1.a. Déterminer une expression de la fonction dérivée de f et vérifier que pour tout x de ]0 ; 1] , $f'(x)=(\ln x + 1)(\ln x - 1)$

1.b. Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations sur l'intervalle ]0 ; 1] (on admettra que la limite de la fonction f en 0 est nulle).
On note gammamaj

la courbe représentative de la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; 1] par $g(x)=\ln x$ .

Soit a un réel de l'intervalle ]0 ; 1]. On note $M_a$ le point de la courbe gammamaj

d'abscisse a et $d_a$ la tangente à la courbe gammamaj

au point $M_a$ . Cette droite $d_a$ coupe l'axe des abscisses au point $N_a$ et l'axe des ordonnées au point $P_a$ .
On s'intéresse au triangle $ON_aP_a$ quand le réel a varie dans l'intervalle ]0 ; 1].

2. Dans cette question, on étudie le cas particulier où $a=0,2$ et on donne la figure ci-dessous :

2.a. Déterminer graphiquement une estimation de l'aire du triangle $ON_{0,2}P_{0,2}$ en unités d'aire.
2.b. Déterminer une équation de la tangente $d_{0,2}$ .
2.c. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle $ON_{0,2}P_{0,2}$ .

Dans ce qui suit, on admet que pour tout réel a de l'intervalle ]0 ; 1], l'aire du triangle $ON_aP_a$ en unités d'aire est donnée par $\mathscr{A}(a)=\dfrac 1 2 a(1-\ln a)^2$

3. A l'aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de a l'aire $\mathscr{A}(a)$ est maximale. Déterminer cette aire maximale.

4 points

exercice 2 Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(0~;~\vec u~,~\vec v\right)$ d'unité 2 cm. On appelle f la fonction qui, à tout point M distinct de O et d'affixe un nombre complexe z, associe le point M' d'affixe z' tel que

$z'=-\dfrac 1 z$

1. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_A=-1+\text i$ et $z_B=\dfrac 1 2 \text{e}^{\text i \frac {\pi}{3}}$

1.a. Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point A' image de A par la fonction f .
1.b. déterminer la fonction exponentielle de l'affixe du point B' image de B par la fonction f .
1.c. Sur la copie, placer les points A, B, A', B' dans le repère orthonormé $\left(0~;~\vec u~,~\vec v\right)$ .
Pour les points B et B', on laissera les traits de construction apparents.

2. Soit r un réel strictement positif et theta

un réel. On considère le complexe z défini par $z=r\text{e}^{\text i \theta}$

2.a. Montrer que $z'=\dfrac 1 r \text{e}^{\text i (\pi-\theta)}$
2.b. Est-il vrai que si un point M, distinct de O, appartient au disque de centre O et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre O et de rayon 1, alors son image M' par la fonction f est à l'extérieur de ce disque ? Justifier.

3. Soit le cercle gammamaj

de centre K d'affixe $z_K=-\dfrac 1 2$ et de rayon $\dfrac 1 2$ .

3.a. Montrer qu'une équation cartésienne du cercle gammamaj

est $x^2+x+y^2=0$ .
3.b. Soit $z=x+\text i y$ avec x et y non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de z' en fonction de x et y .
3.c. Soit M un point, distinct de O, du cercle gammamaj

. Montrer que l'image M' du point M par la fonction f appartient à la droite d'équation x=1 .

6 points

exercice 3 Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Dans un plan P, on considère un triangle ABC rectangle en A.
Soit d la droite orthogonale au plan P et passant par le point B. On considère un point D de cette droite distinct du point B.

1. Montrer que la droite (AC) est orthogonale au plan (BAD).

On appelle bicoin un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles.
2. Montrer que le tétraèdre ABCD est un bicoin.

3.a. Justifier que l'arête [CD] est la plus longue arête du bicoin ABCD.
3.b. On note I le milieu de l'arête [CD]. Montrer que le point I est équidistant des quatre sommets du bicoin ABCD.

Partie B

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le point A(3 ; 1 ; -5) et la droite d de représentation paramétrique $\left\lbrace\begin{matrix} x &= & 2t+1\\ y&= &-2t+9 \\ z&= & t-3 \end{matrix}\right.$ où $t \in \textbf R$

1. Déterminer une équation cartésienne du plan P orthogonal à la droite d et passant par le point A.

2. Montrer que le point d'intersetion du plan P et de la droite d est le point B(5 ; 5 ; -1).

3. Justifier que le point C(7 ; 3 ; -9) appartient au plan P puis montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A.

4. Soit t un réel différent de 2 et M le point de paramètre t appartenant à la droite d.

4.a. Justifier que le triangle ABM est rectangle.
4.b. Montrer que le tringle ABM est isocèle en B si et seulement si le réel t vérifie l'équation $t^2-4t=0$ .
4.c. En déduire les coordonnées des points $M_1$ et $M_2$ de la droite d tels que les triangles rectangles ABM₁ et ABM₂ soient isocèles en B.

Partie C

On donne le point D(9 ; 1 ; 1) qui est un des deux points solutions de la question 4.c de la partie B.
Les quatre sommets du tétraèdre ABCD sont situés sur une sphère.
En utilisant les résultats des questions des parties A et B précédentes, déterminer les coordonnées du centre de cette sphère et calculer son rayon.

5 points

exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les deux parties 1. et 2. sont indépendantes.

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruit. Dans un esprit de développement durable, il a fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.
On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant.
Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :
$\bullet$ à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille de son panier est 0,9 ;
$\bullet$ si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est 0,95 ;
$\bullet$ si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est 0,2.

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur. Pour tout entier n non nul, on note R_n l'événement "le client rapporte la bouteille de son panier de la n^ième semaine".

1.a. Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l'aide d'un arbre pondéré qui fera intervenir les évènements R₁ et R₂.
1.b. Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.
1.c. Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à 0,875.
1.d. Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? On arrondira à 10^-3.

2. Pour tout entier naturel n non nul, on note $r_n$ la probabilité que le client rapporte la bouteille de son panier de la n^ième semaine. On a alors $r_n=p(R_n)$ .

2.a. recopier et compléter l'arbre pondéré (aucune justification n'est attendue) :

2.b. Justifier que pour tout entier naturel n non nul, $r_{n+1}=0,75\,r_n+0,2$
2.c. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, $r_n=0,1\times 0,75 ^{n-1}+0,8$
2.d. Calculer la limite de la suite $(r_n)$ . Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

5 points

exercice 4 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans un jardin public, un artiste doit installer une oeuvre aquatique commandée par la mairie. Cette oeuvre sera constituée de deux bassins A et B ainsi que d'une réserve filtrante R. Au départ, les deux bassins contiennent chacun 100 litres d'eau. Un système de canalisations devra alors permettre de réaliser, toutes les heures et dans cet ordre, les transferts d'eau suivants :
dans un premier temps, la moitié du bassin A se vide dans la réserve R ;
ensuite, les trois quarts du bassin B se vident dans le bassin A ;
enfin, on rajoute 200 litres d'eau dans le bassin A et 300 litres d'eau dans le bassin B.

Une étude de faisabilité du projet amène à étudier la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour éviter tout débordement.

On modèlise les quantités d'eau des deux bassins A et B à l'aide de deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ : plus précisèment pour tout entier naturel n, on note $a_n$ et $b_n$ les quantités d'eau en centaines de litres qui seront respectivement contenues dans les bassins A et B au bout de n heures. On suppose pour cette étude mathématique que les bassins sont a priori suffisamment grands pour qu'il n'y ait pas de débordement.

Pour tout entier naturel n, on note $U_n=\begin{pmatrix} a_n\\ b_n \end{pmatrix}$ . Ainsi $U_0=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$ .

1. Justifier que pour tout entier naturel n, $U_{n+1}=MU_n+C$ où $M=\begin{pmatrix} 0,5 &0,75 \\ 0& 0,25 \end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$

2. On considère la matrice $P=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 0& -1 \end{pmatrix}$ .
2.a Calculer $P^2$ . En déduire que la matrice $P$ est inversible et préiser sa matrice inverse.

2.b. Montrer que $PMP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.

2.c. Calculer $PDP$ .

2.d. démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, $M^n=PD^nP$ .

On admet par la suite que pour tout entier naturel n, $M^n=\begin{pmatrix} 0,5^n& 3\times 0,5^n-3\times 0,25^n\\ 0& 0,25^n \end{pmatrix}$ .

3. Montrer que la matrice $X=\begin{pmatrix} 10\\ 4 \end{pmatrix}$ vérifie $X=MX+C$ .

4. Pour tout entier naturel n, on définit la matrice $V_n$ par $V_n=U_n-X$ .

4.a. Montrer que pour tout entier naturel n, $V_{n+1}=MV_n$

4.b. On admet que, pour tout entier naturel n, $V_n=M^nV_0$ .
Montrer que, pour tout entier naturel n, $U_n=\begin{pmatrix} -18\times 0,5^n+9\times 0,25^n + 10 \\ -3\times 0,25^n + 4 \end{pmatrix}$

5.a. Montrer que la suite $(b_n)$ est croissante et majorée. Déterminer sa limite.

5.b. Déterminer la limite de la suite $(a_n)$ .

5.c. On admet que la suite $(a_n)$ est croissante. En déduire la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour la faisabilité du projet, c'est-à-dire pour éviter tout débordement.

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Avertissement

ceci n'est en rien une correction rédigée, mais uniquement des éléments qui vous permettront de vous vérifier.

exercice 1.

1.a. $f'(x)=x\times 2\times \dfrac {-1}{x}(1-\ln (x) )+(1-\ln (x) )^2$
On factorise par $1-\ln (x)$ et on obtient le résultat souhaité.

1.b Sur l'ensemble d'étude, $\ln (x) \le 0$ ; et $\ln (x) -1 < 0$
de plus $\ln (x) +1 > 0$ pour $x > \dfrac {1}{\text{e}}$
On en déduit le tableau de variations suivant :

$\begin{array} {|c|cccccc|}\hline x & 0 & & \frac 1 e & & 1 & \\ {f'(x)} & ||~ & + & 0 & - & & \\ {f} & ||_0 & \nearrow &^{\frac 4 e} & \searrow &_1 & \\ \hline \end{array}$

2.a. $\mathscr{A}\approx\dfrac 1 2 \times 2,6\times 0,52$ soit environ 0,676 u.a

2.b. $y=g(a)+g'(a)(x-a)$ soit pour $a=0,2$
$d_{0,2} : y=\ln (0,2)+\dfrac{1}{0,2}(x-0,2)$ ou $y=5x-1+\ln (0,2)$

2.c. La courbe est située sous l'axe des abscisses
On cherche l'abscisse du point d'intersection de $d_{0,2}$ avec l'axe des abscisses.
On obtient $x=0,2-0,2\ln (0,2)$

$\mathscr{A}(0,2)=\displaystyle{\int_0^{0,2-0,2\ln (0,2)}-5x+1-\ln (0,2) \text d x} = \left[-\dfrac 5 2 x^2+x(1-\ln (0,2))\right]_0^{0,2-0,2\ln (0,2)}=0,1(1-\ln (0,2))^2$ u.a

3. L'aire est maximale pour $a=\dfrac {1}{\text e }$ et vaut $\dfrac {4}{\text e }$ u.a

exercice 2.

1.a. $f(A)=A'$ d'affixe $\dfrac{-1}{-1+i}=\dfrac{1}{1-i}=\dfrac{1+i}{2} = \dfrac 1 2 + \text i \dfrac 1 2$

1.b. $f(B)=B'$ d'affixe $\dfrac{-1}{\frac 1 2 \text e^{\text i \frac{\pi}{3}}} = -2 \text e^{-\text i \frac{\pi}{3}}=2\text e^{\text i \pi}\text e^{-\text i \frac{\pi}{3}} =2 \text e^{\text i \frac{2\pi}{3}}$

1.c.

2.a. Si $z=r\text e ^{\text i \theta}$ , alors $z'=-\dfrac 1 r \text e ^{-\text i \theta}=\dfrac 1 r \text e ^{\text i \pi}\text e ^{-\text i \theta} = \dfrac 1 r \text e ^{\text i (\pi -\theta)}$
2.b. Si $r< 1$ alors $\dfrac 1 r > 1$ et le point image est à l'extérieur du disque.

3.a. $M(z)\in \Gamma$ équivaut à dire $|z+\dfrac 1 2 |=\dfrac 1 2$
soit $(x+\dfrac 1 2)^2+y^2=\dfrac 1 4$ ou $x^2+x+y^2=0$

3.b. $z'=-\dfrac{1}{x+iy}=-\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}=-\dfrac{x}{x^2+y^2}+ i\dfrac {y}{x^2+y^2}$
$M(z)\in\Gamma \Longleftrightarrow x^2+y^2=-x$
donc $\text{Re}(z')=\dfrac{-x}{-x}=1$ ce qui montre que le point M' appartient à la droite d'équation $x=1$

exercice 3

Partie A

1. $(AC)\perp (AB)$ car le triangle ABC est rectangle en A
$(AC)\perp (BD)$ car la droite (BD) est orthogonale au plan (ABC)
(AC) est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan (BAD). (AC) est donc orthogonale au plan (BAD)

2. De plus, $(BD)\perp (BC)$ et $(AC)\perp (AD)$
et ABCD est un bicoin.

3.a. Il suffit de remarquer que dans chaque triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours le côté le plus long. On montre alors facilement que [CD] est la plus longue arête du bicoin.

3.b. IC=ID=IA=IB en remarquant que dans un triangle rectangle, la médiane passant par le milieu de l'hypoténuse a pour longueur la moitié de la longueur de cette hypoténuse.

Partie B

1. Un vecteur directeur de la droite d est $\vec n (2\,;-2\,;1)$ .
Une équation de P est donc : $2x-2y+z+d=0$ avec $d\in \textbf R$
En écrivant que le point A est dans P, on trouve d=1. Une équation de P est donc : $2x-2y+z+1=0$ .

2. $B(x,y,z)\in P\cap d \Longleftrightarrow$ $\left\lbrace\begin{matrix} x &= & 2t+1\\ y&= &-2t+9 \\ z&= &t-3 \\ 2x-2y+z+1 &= &0 \end{matrix}\right.$
En remplaçant x, y et z dans la dernière équation, on trouve t=2 ce qui donne pour les coordonnées du point B : $(5\,; 5\,; -1)$ .

3. $C\in P$ car ses coordonnées vérifient l'équation de P.
$\overrightarrow{AB}(2; 4; 4)$ et $\overrightarrow{AC}(4;2;-4)$
On montre que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ et que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont même norme.
Le triangle ABC est donc rectangle isocèle en A.

4.a. $\overrightarrow{BM}(2t-4; -2t+4 ; t-2$ et $\overrightarrow{BA} (-2; -4 ; -4)$ donc $\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BA}=0$ et ABM est rectangle en B.

4.b. Ce triangle sera isocèle pour $BM^2=BA^2$ soit $(-2t+4)^2+(2t-4)^2+(t-2)^2=4+16+16$ soit après simplification $9t(t-4)=0$ ce qui donne pour t=0 le point $M_1 (1; 9; -3)$ et pour t=4 le point $M_2(9; 1; 1)$ qui est le point D (de la partie C).

Partie C

Le centre de la sphère est le milieu I de [CD]. Ses coordonnées sont (8; 2; -4). Le rayon de cette sphère vaut IC soit $3\sqrt 3$ .

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1.a.

1.b. $p(R_1\cap R_2)=0,9\times0,95=0,855$

1.c. $p(R_2)=p(R_1\cap R_2)+p(\overline{R_1}\cap R_2)=0,875+0,1\times 0,2=0,875$

1.d. $p_{R_2}(R_1)=\dfrac{p(\overline{R_1}\cap R_2)}{p(R_2)}= \dfrac{0,02}{0,875}\approx 0,023$

2.a.

2.b. $r_{n+1}=p(R_{n+1})=0,95r_n+0,2(1-r_n)=0,75r_n+0,2$

2.c Cette égalité se démontre très facilement par récurrence.
On vérifie que l'égalité est vraie pour n=1
Supposons $r_p=0,1\times 0,75^{p-1}+0,8$ vraie, alors $r_{p+1}=0,75(0,1\times 0,75^{p-1}+0,8)+0,2=0,1\times 0,75^p + 0,75\times 0,8+0,2 = 0,1\times 0,75 ^ p + 0,8$ , et donc l'égalité est vraie au rang suivant.
En conclusion, elle est toujours vraie.

2.d. $\lim r_n=0,8$
A long terme, la probabilité que le client rapporte sa bouteille est de 0,8.

exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

$a_0=100$ soit 1 centaine, et $b_0=100$ soit 1 centaine
On a bien $U_0=\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$

1. A la lecture de l'énoncé, $a_{n+1}=0,5a_n+0,75b_n+2$ et $b_{n+1}=0,25b_n+3$
ce qui s'écrit

$\begin{pmatrix} a_{n+1}\\b_{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5&0,75\\0&0,25 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{n}\\b_{n} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}$

ce qui s'écrit : $U_{n+1}=MU_n+C$

2. $P=\begin{pmatrix} 1&3\\0&-1 \end{pmatrix}$

2.a. $P^2= \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}=\text{Id}_2$
$P\times P=\text{Id}_2$ donc P est inversible et $P^{-1}=P$

2.b. $PMP=(PM)P=\begin{pmatrix} 0,5&1,5\\0&-0,25 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&3\\0&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5&0\\0&0,25 \end{pmatrix}=D$

2.c. $PDP=P(PMP)P=P^2MP^2=M$

2.d. La proposition est vraie au rang 0 car : $M^0=\text{Id}_2$ et $PD^0P=P\text{Id}_2P=P^2=\text{Id}_2$

Supposons $M^k=PD^kP$ alors :

$M^{k+1}=M^k\times M=PD^kP(PDP)=PD^kP^2DP=PD^KDP=PD^{k+1}P$

La proposition est vraie au rang 0, elle est héréditaire, elle est donc toujours vraie.

3. $MX+C=\begin{pmatrix} 0,5&0,75\\0&0,25 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8\\1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix}=X$

4. Soit $V_n=U_n-X$

4.a. $V_{n+1}=U_{n+1}-X=MU_n+C-X=MU_n-MX=M(U_n-X)=MV_n$

4.b. $U_n=V_n+X=M^nV_0+X=\begin{pmatrix} 0,5^n&3\times 0,5^n-3\times 0,25^n\\0&0,25^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -9\\-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -9\times 0,5^n-9\times 0,5^n+9\times 0,25^n+10\\ -3\times 0,25^n+4 \end{pmatrix} \\ U_n=\begin{pmatrix} -18\times 0,5^n+9\times 0,25^n+10\\ -3\times 0,25^n+4 \end{pmatrix}$

5.a. $b_n=-3\times 0,25^n+4$
$b_{n+1}-b_n=-3\times 0,25^{n+1}-3\times 0,25^n = 3\times 0,25^n(1-0,25)= \dfrac 9 4 \times 0,25^n > 0$ donc $(b)$ est croissante.
Or, $b_n< 4$ Donc $(b)$ converge.
lim $-3\times 0,25^n = 0$ donc $(b)$ converge vers 4.

5.b. lim $a_n=10$
Pour éviter tout débordement, on prévoira 1000 litres pour A et 400 litres pour B.

Publié par malou le 11-03-2020

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