Bac S obligatoire et spécialité Nouvelle Calédonie
Novembre 2019
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5 points
exercice 1 : Commun à tous les candidats
Partie A
1. Arbre pondéré complété à ce stade de la résolution :
2. Nous devons déterminer
Par conséquent, sachant que le carreau prélevé est fissuré, la probabilité qu'il s'agisse d'un carreau avec motif est
3. Nous devons déterminer
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
Nous pouvons ainsi compléter l'arbre pondéré traduisant l'ensemble de la situation :
Partie B
La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance = 11 et d'écart-type .
1. Sachant qu'un carreau est commercialisable si son épaisseur mesure entre 10,1 mm et 11,9 mm, nous savons que 99% des carreaux sont commercialisables.
Nous obtenons ainsi :
2. Soit
2. a.Z suit la loi normale centrée réduite.
2. c. A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
Par conséquent,
Partie C
1. Pour tout réel x dans l'intervalle [0 ; 2],
D'où la fonction f est positive sur l'intervalle [0 ; 2].
2. La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [0 ; 2].
L'aire exprimée en unité d'aire du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = 2 est donnée par .
Par conséquent, l'aire d'un carreau est égale à
5 points
exercice 2 : Commun à tous les candidats
Par conséquent, la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale en + dont l'équation est : y = ln(3).
2. a. Nous savons que
Nous obtenons donc :
Nous en déduisons que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +[.
Partie B
Soit la suite (un ) définie par :
1. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , nous avons la relation : un+1un.
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
Montrons donc que u1u0.
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Si pour un entier naturel n fixé la relation un+1un est vraie au rang n , montrons que cette relation est encore vraie au rang n + 1.
Montrons alors que un+2un+1.
Nous avons montré dans la question 2. b. de la partie A que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +[.
Nous en déduisons que , soit que
Donc l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n , nous obtenons la relation : un+1un.
2. Nous avons montré dans la question précédente que la suite (un ) est décroissante et minorée par
Cette suite (un ) est donc convergente.
Si nous notons la limite de cette suite par , nous avons alors la relation suivante :
Par conséquent, la suite (un ) converge vers une limite strictement positive.
Partie C
1.Sur l'intervalle ]0 ; x0]
La fonction g est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; x0].
Cela signifie que pour tout x , ,
soit que
Puisque g (x ) > 0 sur ]0 ; x0], l'équation g (x ) = 0 n'admet pas de solution sur l'intervalle ]0 ; x0].
Sur l'intervalle [x0 ; +[
La fonction g est continue et strictement décroissante sur [x0 ; +[.
Donc 0 est compris entre et g (x0).
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g (x ) = 0 admet une unique solution appartenant à l'intervalle [x0 ; +[.
Par conséquent, l'équation g (x ) = 0 admet une unique solution strictement positive notée .
2. a. Algorithme complété.
2. b. En utilisation le tableur de la calculatrice, nous obtenons les résultats suivants : g (0,52) 1,2969 > 0. g (0,53) -3,6099 < 0.
D'où la dernière valeur prise par la variable x lors de l'exécution de l'algorithme est 0,53.
3. Selon l'énoncé, nous admettons que
Par l'exercice 2. b., nous savons que
En conclusion, une valeur approchée à moins de 0,01 près de la limite de la suite (un ) est 0,53.
5 points
exercice 3 : Commun à tous les candidats
1. Le point I est le milieu du segment [ED].
2. a. Montrons que le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires et du plan (FIJ).
Manifestement, les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
De plus,
Par conséquent, le vecteur étant orthogonal
à deux vecteurs non colinéaires et du plan (FIJ),
nous en déduisons que le vecteur est normal au plan (FIJ).
2. b. Nous savons que tout plan de vecteur normal admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.
Puisque le vecteur est normal au plan (FIJ), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (FIJ) est de la forme -x + 3y + 5z + d = 0.
Or le point F(1 ; 0 ; 1) appartient au plan (FIJ). Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où -1 + 0 + 5 + d = 0 , soit d = -4.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (FIJ) est
3. Nous notons d la droite passant par le point B et orthogonale au plan (FIJ).
3. a. Déterminons une représentation paramétrique de la droite d .
La droite d est orthogonale au plan (FIJ).
Cette droite est donc dirigée par le vecteur .
La droite d passe par le point
D'où une représentation paramétrique de la droite d est donnée par :
soit
3. b. Les coordonnées du point M sont les solutions du système composé par les équations de la droite d et du plan (FIJ),
soit du système :
D'où les coordonnées du point M sont
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
Partie B
1. Rappelons le théorème suivant : Si deux plans sont parallèles , tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Les plans (FBC) et (EAD) sont parallèles.
Le plan (FIJ) coupe le plan (FBC) selon la droite (FJ).
D'après le théorème en rappel, le plan (FIJ) coupera le plan (EAD) selon la droite (LK) parallèle à la droite (FJ).
De même, les plans (FBA) et (GCD) sont parallèles.
Le plan (FIJ) coupe le plan (GCD) selon la droite (JL).
D'après le théorème en rappel, le plan (FIJ) coupera le plan FBA selon la droite (FK) parallèle à la droite (JL).
Dès lors, le quadrilatère FJLK est un parallélogramme car ses côtés sont parallèles deux à deux.
2. Un parallélogramme est un losange s'il a deux côtés consécutifs de même longueur.
Exprimons par exemple que FJ = JL.
Par conséquent, le quadrilatère FKLJ est un losange si
5 points
exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
Soit l'équation (E ) : 25z ² - 14z + 25 = 0.
1. Résolvons dans l'équation (E ).
4. L'image du nombre complexe z1 est le point du cercle unité dont les coordonnées sont
Le point du cercle correspondant à ces coordonnées est le point A.
L'image du nombre complexe z2 est le point du cercle unité dont les coordonnées sont
Le point du cercle correspondant à ces coordonnées est le point D.
Partie B
Nous savons que
5 points
exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Soit la suite (an ) définie pour tout entier naturel n par
1. b. En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminons le plus grand commun diviseur de a2 et a3.
Donc le plus grand commun diviseur de a2 et a3 est 1.
Par conséquent, a2 et a3 sont premiers entre eux.
2. Pour tout entier naturel n ,
3. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , an est un nombre entier naturel.
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
Montrons donc que a0 est un nombre entier naturel.
La démonstration est évidente puisque .
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Si pour un entier naturel n fixé, la proposition "an est un nombre entier naturel" est vraie au rang n , montrons que cette proposition est encore vraie au rang n + 1.
Montrons alors que an+1 est un nombre entier naturel.
Nous savons par la question 2. que
Par hypothèse de récurrence, an est un nombre entier naturel.
Nous en déduisons que an +1 est un nombre entier relatif.
Montrons que an +1 est positif.
Donc an +1 est un nombre entier naturel et l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n , an est un nombre entier naturel.
4. a. Par la question 2, nous obtenons : dn est le plus grand diviseur commun de an et an +1.
Donc dn est un diviseur de 16an - an +1, c'est-à-dire que dn est un diviseur de 3.
Par conséquent, dn est égal à 1 ou à 3.
4. b. Pour tout entier naturel n ,
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , an n'est pas divisible par 3 en montrant que .
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
Montrons que .
La démonstration a été réalisée ci-dessus.
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Si pour un entier naturel n fixé, la proposition "" est vraie au rang n , montrons que cette proposition est encore vraie au rang n + 1.
Montrons alors que .
Nous savons par la question 4. b. que
Par hypothèse de récurrence, .
Nous en déduisons que et l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n , an n'est pas divisible par 3 car
4. d. Des questions précédentes, nous pouvons déduire que dn ne peut pas être égal à 3.
D'où dn = 1.
Par conséquent, an et an +1 sont premiers entre eux.
5. Pour tout entier naturel n ,
Nous admettons que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, 5an = bncn .
5. a. Nous savons que 5an = bncn si n est un nombre entier supérieur ou égal à 2.
Deux cas sont possibles :
ou bien 5 divise bn
ou bien 5 ne divise pas bn et dans ce cas, montrons que 5 divise cn .
5 divise le produit bncn car nous savons que 5an = bncn si n est un nombre entier supérieur ou égal à 2.
5 est premier avec bn car 5 est un nombre premier.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 5 divise cn .
Par conséquent, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, 5 divise bn ou 5 divise cn .
5. c. Nous savons par la question 5.a. que 5 divise bn ou 5 divise cn .
Premier cas : 5 divise bn .
Puisque 5 divise bn et que nous savons par la question 5.b. que bn > 5, nous en déduisons que est un nombre naturel différent de 1.
Dès lors, sachant que cn est un nombre naturel supérieur à 5, nous remarquons que an est le produit de deux nombre naturels différents de 1.
Donc an n'est pas un nombre premier.
Second cas : 5 divise cn .
Puisque 5 divise cn et que nous savons par la question 5.b. que cn > 5, nous en déduisons que est un nombre naturel différent de 1.
Dès lors, sachant que bn est un nombre naturel supérieur à 5, nous remarquons que an est le produit de deux nombre naturels différents de 1.
Donc an n'est pas un nombre premier.
Par conséquent, dans chaque cas, an n'est pas un nombre premier.
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.)
=\dfrac{P(M\cap F)}{P(F)} \\\\\phantom{P_{F}(M)}=\dfrac{P(M)\times P_M(F)}{P(F)}\\\\\phantom{P_{F}(M)}=\dfrac{0,25\times0,06}{P(F)} \\\\\text{Or 2,25}\%\ \text{des carreaux sont fissurés}\Longrightarrow P(F)=0,0225\\\\\text{D'où } P_{F}(M)=\dfrac{0,25\times0,06}{0,0225} =\dfrac{0,0150}{0,0225}=\dfrac{150}{225}=\dfrac{2\times75}{3\times75} \\\\\Longrightarrow\boxed{{P_{F}(M)}=\dfrac{2}{3}})
.)
= P(M\cap F)+P(\overline{M}\cap F) \\P(F)=P(M)\times P_{M}(F)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(F)\\\\ 0,0225=0,25\times0,06+0,75\times P_{\overline{M}}(F)\Longleftrightarrow0,0225=0,015+0,75\times P_{\overline{M}}(F) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow0,0075=0,75\times P_{\overline{M}}(F) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow P_{\overline{M}}(F)=\dfrac{0,0075}{0,75}=\dfrac{1}{100} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{\overline{M}}(F)=0,01})
= 11 et d'écart-type 
.=0,99.)
+P(10,1\le X\le11,9)+P(X>11,9)=1 \\\\\phantom{WWWWWWWW}\Longleftrightarrow P(X<10,1)+0,99+P(X>11,9)=1 \\\\\phantom{WWWWWWWW}\Longleftrightarrow P(X<10,1)+P(X>11,9)=0,01 \\\\\text{Or }\ {\red{P(X>11,9)}} =P(X>11+0,9) \\\phantom{\text{Or }\ P(X>11,9)}=P(X>\mu+0,9) \\\phantom{\text{Or }\ P(X>11,9)}=P(X<\mu-0,9) \\\phantom{\text{Or }\ P(X>11,9)}=P(X<11-0,9) \\\phantom{\text{Or }\ P(X>11,9)}\,{\red{=P(X<10,1)}} \\\\\text{D'où }\ P(X<10,1)+P(X>11,9)=0,01\Longleftrightarrow P(X<10,1)+P(X<10,1)=0,01 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW..WW}\Longleftrightarrow 2P(X<10,1)=0,01 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW..WW}\Longleftrightarrow P(X<10,1)=\dfrac{0,01}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X<10,1)=0,005})
=0,005\Longleftrightarrow P(X-11<10,1-11)=0,005 \\\phantom{WWWWWWWWWW.W}\Longleftrightarrow P(X-11<-0,9)=0,005 \\\\\phantom{WWWWWWWWWW.W}\Longleftrightarrow P(\dfrac{X-11}{\sigma}<-\dfrac{0,9}{\sigma})=0,005 \\\\\phantom{WWWWWWWWWW.W}\Longleftrightarrow \boxed{P(Z<-\dfrac{0,9}{\sigma})=0,005})
.)
], \le1\Longleftrightarrow{\red{1,5\ \times\ }}(-1)\le{\red{1,5\ \times\ }}\cos(x)\le{\red{1,5\ \times\ }}1 \\\\\phantom{-1\le\cos(x)\le1}\Longleftrightarrow-1,5\le1,5\cos(x)\le1,5 \\\\\phantom{-1\le\cos(x)\le1}\Longleftrightarrow-1,5\ {\red{+\ 1,5}}\le1,5\cos(x)\ {\red{+\ 1,5}}\le1,5\ {\red{+\ 1,5}} \\\\\phantom{-1\le\cos(x)\le1}\Longleftrightarrow0\le1,5\cos(x)+1,5\le3 \\\\\phantom{-1\le\cos(x)\le1}\Longleftrightarrow\boxed{0\le f(x)\le3})
, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = 2\,dx)
.![\mathscr{A}_1=\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\,dx=\int\limits_{0}^{2\pi}(-1,5\cos(x)+1,5)\,dx \\\\\phantom{W}=\left[\overset{}{-1,5\sin(x)+1,5x}\right]\limits_{0}^{2\pi} \\\\\phantom{W}=\left[\overset{}{-1,5\sin(2\pi)+1,5\times2\pi}\right]-\left[\overset{}{-1,5\sin(0)+1,5\times0}\right] \\\\\phantom{W}=\left[\overset{}{0+3\pi}\right]-\left[\overset{}{0+0}\right] \\\\\phantom{W}=3\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathscr{A}_1=\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\,dx=\int\limits_{0}^{2\pi}(-1,5\cos(x)+1,5)\,dx \\\\\phantom{W}=\left[\overset{}{-1,5\sin(x)+1,5x}\right]\limits_{0}^{2\pi} \\\\\phantom{W}=\left[\overset{}{-1,5\sin(2\pi)+1,5\times2\pi}\right]-\left[\overset{}{-1,5\sin(0)+1,5\times0}\right] \\\\\phantom{W}=\left[\overset{}{0+3\pi}\right]-\left[\overset{}{0+0}\right] \\\\\phantom{W}=3\pi)
}})
=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{3x}{x}\right)=3\\\\\lim\limits_{X\to3}\ln(X)=\ln(3)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\underset{\text{ en posant }X=\frac{3x+1}{x+1}}{\text{par composition}}}{\Longrightarrow}\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(\dfrac{3x+1}{x+1}\right)=\ln(3). \\\\\\\text{Dès lors }\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ln(3)})
dont l'équation est : y = ln(3).)}\right)'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.)
=\dfrac{3x+1}{x+1},\\\\\text{alors }\ u'(x)=\dfrac{(3x+1)'\times(x+1)-(3x+1)\times(x+1)'}{(x+1)^2}\\\\\phantom{\text{alors }\ u'(x)}=\dfrac{3\times(x+1)-(3x+1)\times1}{(x+1)^2} =\dfrac{3x+3-3x-1}{(x+1)^2} \\\phantom{\text{alors }\ u'(x)} =\dfrac{2}{(x+1)^2} \\\\\text{D'où }\ \ \dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{\dfrac{2}{(x+1)^2}}{\dfrac{3x+1}{x+1}}=\dfrac{2}{(x+1)^2}\times\dfrac{x+1}{3x+1}=\dfrac{2(x+1)}{(x+1)^2(3x+1)}\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{2}{(x+1)(3x+1)}})
=\dfrac{2}{(x+1)(3x+1)}})
(3x+1)>0 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ \ x\in[0\,;\ +\infty[\ \Longleftrightarrow x\ge0}\Longrightarrow\ \dfrac{2}{(x+1)(3x+1)}>0 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ \ x\in[0\,;\ +\infty[\ \Longleftrightarrow x\ge0}\Longrightarrow\ \boxed{f'(x)>0})
\ \ \ \ \ (\text{avec }\ n\in \N)\end{matrix}\right.)
u n+1 
=f(3)=\ln\left(\dfrac{3\times3+1}{3+1}\right)=\ln\left(\dfrac{10}{4}\right)=\ln(2,5)\approx0,916 \\\\\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}u_1\approx0,916\\u_0=3\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ {\red{\dfrac{1}{2}\le u_1\le u_0}}\ \ \ \ \ (\text{car }0,5\le0,916\le3))
\le f(u_{n+1})\le f(u_n) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}f(\dfrac{1}{2})=\ln\left(\dfrac{3\times\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}+1}\right)=\ln\left(\dfrac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}\right)=\ln\left(\dfrac{5}{3}\right)\approx0,51\Longrightarrow\dfrac{1}{2}\le f(\dfrac{1}{2})\\\\f(u_{n+1})=u_{n+2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\f(u_n)=u_{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.)
\le u_{n+2}\le u_{n+1})
, soit que 
, nous avons alors la relation suivante : 
<g(x)\le g(x_0))
,\le g(x_0).)
>0\ \ \text{et }\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty.)
)
et g (x0).
appartenant à l'intervalle [x0 ; +
.-x>0}}\ \ \text{faire} \\x\longleftarrow x+0,01\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array})
1,2969 > 0.=\ell.)
=\ell\Longleftrightarrow f(\ell )-\ell=0 \\\phantom{\text{Or }\ f(\ell )=\ell}\Longleftrightarrow\boxed{ g(\ell )=0})
\\D(0\,;\,1\,;\,0)\end{array} \Longrightarrow I:(\dfrac{x_E+x_D}{2}\,;\,\dfrac{y_E+y_D}{2}\,;\,\dfrac{z_E+z_D}{2})=(\dfrac{0+0}{2}\,;\,\dfrac{0+1}{2}\,;\,\dfrac{1+0}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{I(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})})
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires 
et 
du plan (FIJ).\\I(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{FI}\begin{pmatrix}0-1\\\\\dfrac{1}{2}-0\\\\\dfrac{1}{2}-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{FI}\begin{pmatrix}-1\\\\\dfrac{1}{2}\\\\-\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}})
\\J(1\,;\,1\,;\,\dfrac{2}{5})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{FJ}\begin{pmatrix}1-1\\\\1-0\\\\\dfrac{2}{5}-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{FJ}\begin{pmatrix}0\\\\1\\\\-\dfrac{3}{5} \end{pmatrix}})
\times(-1)+3\times\dfrac{1}{2}+5\times(-\dfrac{1}{2})\\\ \ &\ 1+ \dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2}\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{FI}} )
\times0+3\times1+5\times(-\dfrac{3}{5})\\\ \ &\ 0+3-3\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{FJ}} )
étant orthogonal
à deux vecteurs non colinéaires 
admet une équation cartésienne de la 
est normal au plan (FIJ), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (FIJ) est de la forme -x + 3y + 5z + d = 0.
..)
}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{3}}\times t\\z={\blue{0}}+{\red{5}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R}))
})
+3\times3t+5\times5t-4=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t \\z=5t\\-1+t+9t+25t-4=0 \end{array} )
}.)
\\\\M(\dfrac{6}{7}\,;\,\dfrac{3}{7}\,;\,\dfrac{5}{7})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}\dfrac{6}{7}-1\\\\\dfrac{3}{7}-0\\\\\dfrac{5}{7}-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{7}\\\\\dfrac{3}{7}\\\\\dfrac{5}{7}\end{pmatrix}})
\\\\F(1\,;\,0\,;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BF}\begin{pmatrix}1-1\\0-0\\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BF}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}})
 \\\\\text{où }\ \left\lbrace\begin{matrix}BM=\sqrt{(x_{\overrightarrow{BM}})^2+(y_{\overrightarrow{BM}})^2+(z_{\overrightarrow{BM}})^2}=\sqrt{(-\dfrac{1}{7})^2+(\dfrac{3}{7})^2+(\dfrac{5}{7})^2}\ \ \\=\sqrt{\dfrac{1}{49}+\dfrac{9}{49}+\dfrac{25}{49}}=\sqrt{\dfrac{35}{49}}=\dfrac{\sqrt{35}}{7}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\BF=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. )
=\dfrac{5}{7} \\\phantom{WWWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \dfrac{\sqrt{35}}{7}\times 1\times\cos(\widehat{MBF})=\dfrac{5}{7} \\\phantom{WWWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \cos(\widehat{MBF})=\dfrac{5}{7}\times\dfrac{7}{\sqrt{35}} \\\phantom{WWWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \cos(\widehat{MBF})=\dfrac{5}{\sqrt{35}})
}})
\\J(1\,;\,1\,;\,\alpha)\end{array}\Longrightarrow FJ=\sqrt{(x_J-x_F)^2+(y_J-y_F)^2+(z_J-z_F)^2})
^2+(1-0)^2+(\alpha-1)^2}\\=\sqrt{1+(\alpha-1)^2})
\\L(0\ ;\,1\ ;\,\dfrac{\alpha}{2})\end{array}\Longrightarrow JL=\sqrt{(x_L-x_J)^2+(y_L-y_J)^2+(z_L-z_J)^2})
^2+(1-1)^2+(\dfrac{\alpha}{2}-\alpha)^2} \\=\sqrt{1+(-\dfrac{\alpha}{2})^2}\\=\sqrt{1+(\dfrac{\alpha}{2})^2})
![FJ=JL\Longleftrightarrow\sqrt{1+(\alpha-1)^2}=\sqrt{1+(\dfrac{\alpha}{2})^2} \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow1+(\alpha-1)^2=1+(\dfrac{\alpha}{2})^2 \\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow(\alpha-1)^2=(\dfrac{\alpha}{2})^2 \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow\alpha-1=\dfrac{\alpha}{2}\ \ \ \text{ou}\ \ \ \alpha-1=-\dfrac{\alpha}{2} \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow\dfrac{\alpha}{2}=1\ \ \ \text{ou}\ \ \ \dfrac{3\alpha}{2}=1 \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow\alpha=2\ \ \ \text{ou}\ \ \ \alpha=\dfrac{2}{3} \\\\\text{Or }\ \alpha\in[0\,;1] \\\\\text{D'où }\boxed{\alpha=\dfrac{2}{3}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?FJ=JL\Longleftrightarrow\sqrt{1+(\alpha-1)^2}=\sqrt{1+(\dfrac{\alpha}{2})^2} \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow1+(\alpha-1)^2=1+(\dfrac{\alpha}{2})^2 \\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow(\alpha-1)^2=(\dfrac{\alpha}{2})^2 \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow\alpha-1=\dfrac{\alpha}{2}\ \ \ \text{ou}\ \ \ \alpha-1=-\dfrac{\alpha}{2} \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow\dfrac{\alpha}{2}=1\ \ \ \text{ou}\ \ \ \dfrac{3\alpha}{2}=1 \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow\alpha=2\ \ \ \text{ou}\ \ \ \alpha=\dfrac{2}{3} \\\\\text{Or }\ \alpha\in[0\,;1] \\\\\text{D'où }\boxed{\alpha=\dfrac{2}{3}})
l'équation (E ).^2-4\times25\times25=196-2500=-2304<0 \\\\\text{Solutions : }\ z_1=\dfrac{14+\text{i}\sqrt{2304}}{2\times25}=\dfrac{14+48\text{i}}{2\times25}=\dfrac{2(7+24\text{i})}{2\times25}\Longrightarrow\boxed{z_1=\dfrac{7+24\text{i}}{25}=\dfrac{7}{25}+\text{i}\dfrac{24}{25}} \\\\\phantom{Solutions : }\ z_2=\dfrac{14-\text{i}\sqrt{2304}}{2\times25}=\dfrac{14-48\text{i}}{2\times25}=\dfrac{2(7-24\text{i})}{2\times25}\Longrightarrow\boxed{z_2=\dfrac{7}{25}-\text{i}\dfrac{24}{25}\ (=\overline{z_1})})
^2+(\dfrac{24}{25})^2}=\sqrt{\dfrac{49}{625}+\dfrac{576}{625}}=\sqrt{\dfrac{625}{625}}=\sqrt{1}=1 \\\\|z_2|=|\overline{z_1}|=|z_1|=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\boxed{|z_1|=|z_2|=1})
+\text{i}\sin(\alpha)\Longrightarrow\boxed{z_1=\text{e}^{\text{i}\alpha}} \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ z_2=\overline{z_1}\Longrightarrow\boxed{z_2=\text{e}^{-\text{i}\alpha}})
.)
.)
^{2019}=1} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation fausse.}}})
^{2019}=(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}})^{2019}=\text{e}^ {\text{i}\frac{2019}{3}\pi}=\text{e}^ {\text{i}673\pi} =\text{e}^ {\text{i}672\pi}\times \text{e}^ {\text{i}\pi} \\\\\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}=\text{e}^ {\text{i}\times 336\times2\pi}\times \text{e}^ {\text{i}\pi} =1\times (-1)=-1 \\\\\Longrightarrow\boxed{\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\text{i}\right)^{2019}=-1\ {\red{\neq1}}})
\Longrightarrow|z|=\dfrac{1}{6}\sqrt{2^2+5^2}=\dfrac{1}{6}\sqrt{4+25} \\\\\phantom{z=\dfrac{1}{6}(2+5\text{i})}\Longrightarrow|z|=\dfrac{\sqrt{29}}{6} \\\\\phantom{z=\dfrac{1}{6}(2+5\text{i})}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}|z|^n=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\sqrt{29}}{6}\right)^n=0\ \ \ \ \text{car }0<\dfrac{\sqrt{29}}{6}<1 \\\\\phantom{z=\dfrac{1}{6}(2+5\text{i})}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}|z|^n=0})
![{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ C\ :\ }\text{Pour tout nombre réel }}a\text{ de }[-\pi\,;0]\text{ tel que }\cos(2a)=\dfrac{7}{25},} \\\phantom{WWWWWWWW..}\blue{\text{ on a }\sin(a)=-\dfrac{3}{5}}\longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie.}}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ C\ :\ }\text{Pour tout nombre réel }}a\text{ de }[-\pi\,;0]\text{ tel que }\cos(2a)=\dfrac{7}{25},} \\\phantom{WWWWWWWW..}\blue{\text{ on a }\sin(a)=-\dfrac{3}{5}}\longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie.}}})
+\sin^2(a)=1\\\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos^2(a)=1-\sin^2(a)\\\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos^2(a)=1-\sin^2(a)\\\cos(2a)=1-\sin^2(a)-\sin^2(a)\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\cos(2a)=1-2\sin^2(a))
![\text{Nous savons également que }\cos(2a)=\dfrac{7}{25} \\\\\text{Donc }\cos(2a)=1-2\sin^2(a)\Longleftrightarrow \dfrac{7}{25}=1-2\sin^2(a) \\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow 2\sin^2(a)=1-\dfrac{7}{25} \\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow 2\sin^2(a)=\dfrac{18}{25} \\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow \sin^2(a)=\dfrac{9}{25} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow \sin(a)=\dfrac{3}{5}\ \ \ \text{ou }\ \ \ \sin(a)=-\dfrac{3}{5} \\\\\text{Or }a\in[-\pi\,;0]\Longrightarrow\sin(a)<0. \\\\\text{D'où }\ \boxed{\sin(a)=-\dfrac{3}{5}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Nous savons également que }\cos(2a)=\dfrac{7}{25} \\\\\text{Donc }\cos(2a)=1-2\sin^2(a)\Longleftrightarrow \dfrac{7}{25}=1-2\sin^2(a) \\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow 2\sin^2(a)=1-\dfrac{7}{25} \\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow 2\sin^2(a)=\dfrac{18}{25} \\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow \sin^2(a)=\dfrac{9}{25} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow \sin(a)=\dfrac{3}{5}\ \ \ \text{ou }\ \ \ \sin(a)=-\dfrac{3}{5} \\\\\text{Or }a\in[-\pi\,;0]\Longrightarrow\sin(a)<0. \\\\\text{D'où }\ \boxed{\sin(a)=-\dfrac{3}{5}})
+1}+1}{5}=\dfrac{4^{2n+2+1}+1}{5}=\dfrac{4^{(2n+1)+2}+1}{5}=\dfrac{4^{(2n+1)}\times4^2+1}{5} \\\\\phantom{a_{n+1}}=\dfrac{16\times4^{(2n+1)}+1}{5}=\dfrac{16\times4^{(2n+1)}+16-15}{5}=\dfrac{16\times\left(\overset{}{4^{(2n+1)}+1}\right)-15}{5} \\\\\phantom{a_{n+1}}=\dfrac{16\times\left(\overset{}{4^{(2n+1)}+1}\right)}{5}-\dfrac{15}{5}=16\times\dfrac{4^{(2n+1)}+1}{5}-3=16\times a_n-3 \\\\\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}=16a_n-3 })
.
}+1}{5}>0\\\\a_n=\dfrac{4^{(2n+1)}+1}{5}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ a_n>0 \\\\\text{Or }a_n\ \text{est un nombre naturel.} \\\\\text{D'où }\ a_n\ge1. \\\\\text{Dès lors, }\ a_n\ge1\Longrightarrow16a_n\ge16 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ a_n\ge1}\Longrightarrow16a_n-3\ge13 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ a_n\ge1}\Longrightarrow16a_n-3>0 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ a_n\ge1}\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}>0})
![\left\lbrace\begin{matrix}16\equiv1\,[3]\\-3\equiv0\,[3]\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}16a_n\equiv a_n\,[3]\\ -3\equiv0\,[3]\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ 16a_n-3\equiv a_n\,[3] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{a_{n+1}\equiv a_n\,[3]}\ \ \ \ (\text{car }\ a_{n+1}=16a_n-3\text{ par la question 2.})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}16\equiv1\,[3]\\-3\equiv0\,[3]\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}16a_n\equiv a_n\,[3]\\ -3\equiv0\,[3]\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ 16a_n-3\equiv a_n\,[3] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{a_{n+1}\equiv a_n\,[3]}\ \ \ \ (\text{car }\ a_{n+1}=16a_n-3\text{ par la question 2.}))
![{\red{4.\ \text{c. }}}\ a_0=\dfrac{4^{0+1}+1}{5}=\dfrac{5}{5}=1 \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \text{Or }1\equiv1\,[3] \\\\\Longrightarrow\boxed{a_0\equiv1\,[3]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{4.\ \text{c. }}}\ a_0=\dfrac{4^{0+1}+1}{5}=\dfrac{5}{5}=1 \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \text{Or }1\equiv1\,[3] \\\\\Longrightarrow\boxed{a_0\equiv1\,[3]})
![a_n\equiv1\,[3]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a_n\equiv1\,[3])
.![a_0\equiv1\,[3]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a_0\equiv1\,[3])
.![a_{n+1}\equiv1\,[3]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a_{n+1}\equiv1\,[3])
.![a_{n+1}\equiv a_n\,[3].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a_{n+1}\equiv a_n\,[3].)
![a_n\equiv1\,[3].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a_n\equiv1\,[3].)
+1\\\\c_n=2^{n+1}(2^n+1)+1\end{matrix}\right.)
\ge8\times3 \\\\\phantom{www.{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n-1)\ge24 \\\\\phantom{wwwwwwww{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n-1)+1\ge25>5 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b. }}}..}\Longrightarrow\boxed{b_n>5}\end{matrix}\right.)
\ge8\times5 \\\\\phantom{www.{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n+1)\ge40 \\\\\phantom{wwwwwwww{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n+1)+1\ge41>5 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b. }}}..}\Longrightarrow\boxed{c_n>5}\end{matrix}\right.)
est un nombre naturel différent de 1.
est un nombre naturel différent de 1.
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