Fiche de mathématiques
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Bac S Obligatoire et Spécialité

Nouvelle Calédonie Novembre 2019

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Durée : 4 heures

Coefficients : 7 (obligatoire)-9 (Spécialité)

5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

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5 points

exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

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Bac S obligatoire et spécialité Nouvelle Calédonie 

Novembre 2019

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5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Partie A

1.  Arbre pondéré complété à ce stade de la résolution :
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2.  Nous devons déterminer  P_{F}(M).

P_{F}(M)=\dfrac{P(M\cap F)}{P(F)} \\\\\phantom{P_{F}(M)}=\dfrac{P(M)\times P_M(F)}{P(F)}\\\\\phantom{P_{F}(M)}=\dfrac{0,25\times0,06}{P(F)} \\\\\text{Or 2,25}\%\ \text{des carreaux sont fissurés}\Longrightarrow P(F)=0,0225\\\\\text{D'où } P_{F}(M)=\dfrac{0,25\times0,06}{0,0225} =\dfrac{0,0150}{0,0225}=\dfrac{150}{225}=\dfrac{2\times75}{3\times75} \\\\\Longrightarrow\boxed{{P_{F}(M)}=\dfrac{2}{3}}
Par conséquent, sachant que le carreau prélevé est fissuré, la probabilité qu'il s'agisse d'un carreau avec motif est  \dfrac{2}{3}.

3.  Nous devons déterminer P_{\overline{M}}(F).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(F)= P(M\cap F)+P(\overline{M}\cap F) \\P(F)=P(M)\times P_{M}(F)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(F)\\\\ 0,0225=0,25\times0,06+0,75\times P_{\overline{M}}(F)\Longleftrightarrow0,0225=0,015+0,75\times P_{\overline{M}}(F) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow0,0075=0,75\times P_{\overline{M}}(F) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow P_{\overline{M}}(F)=\dfrac{0,0075}{0,75}=\dfrac{1}{100}  \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{\overline{M}}(F)=0,01}

Nous pouvons ainsi compléter l'arbre pondéré traduisant l'ensemble de la situation :
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Partie B

La variable aléatoire X  suit la loi normale d'espérance mu = 11 et d'écart-type sigma.

1.  Sachant qu'un carreau est commercialisable si son épaisseur mesure entre 10,1 mm et 11,9 mm, nous savons que 99% des carreaux sont commercialisables.

Nous obtenons ainsi :  P(10,1\le X\le 11,9)=0,99.

\text{Dès lors }\ P(X<10,1)+P(10,1\le X\le11,9)+P(X>11,9)=1 \\\\\phantom{WWWWWWWW}\Longleftrightarrow P(X<10,1)+0,99+P(X>11,9)=1 \\\\\phantom{WWWWWWWW}\Longleftrightarrow P(X<10,1)+P(X>11,9)=0,01 \\\\\text{Or }\ {\red{P(X>11,9)}} =P(X>11+0,9) \\\phantom{\text{Or }\ P(X>11,9)}=P(X>\mu+0,9) \\\phantom{\text{Or }\ P(X>11,9)}=P(X<\mu-0,9) \\\phantom{\text{Or }\ P(X>11,9)}=P(X<11-0,9) \\\phantom{\text{Or }\ P(X>11,9)}\,{\red{=P(X<10,1)}} \\\\\text{D'où }\ P(X<10,1)+P(X>11,9)=0,01\Longleftrightarrow P(X<10,1)+P(X<10,1)=0,01 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW..WW}\Longleftrightarrow 2P(X<10,1)=0,01 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW..WW}\Longleftrightarrow P(X<10,1)=\dfrac{0,01}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X<10,1)=0,005}

2.  Soit  Z=\dfrac{X-11}{\sigma}.

2. a.  Z  suit la loi normale centrée réduite.

{\red{2.\ \text{b.} }}\ \ P(X<10,1)=0,005\Longleftrightarrow P(X-11<10,1-11)=0,005 \\\phantom{WWWWWWWWWW.W}\Longleftrightarrow P(X-11<-0,9)=0,005 \\\\\phantom{WWWWWWWWWW.W}\Longleftrightarrow P(\dfrac{X-11}{\sigma}<-\dfrac{0,9}{\sigma})=0,005 \\\\\phantom{WWWWWWWWWW.W}\Longleftrightarrow \boxed{P(Z<-\dfrac{0,9}{\sigma})=0,005}

2. c.  A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :  -\dfrac{0,9}{\sigma}\approx-2,5758293.

-\dfrac{0,9}{\sigma}\approx-2,5758293\Longrightarrow\dfrac{-0,9}{-2,5758293}\approx\sigma \\\\\phantom{-\dfrac{0,99}{\sigma}\approx-2,5758293}\Longrightarrow\sigma\approx0,3494020

Par conséquent,  \boxed{\sigma\approx0,35}\ \ \ \ (\text{arrondi au centième}). 

Partie C

1.  Pour tout réel x  dans l'intervalle [0 ; 2pi],

-1\le\cos(x)\le1\Longleftrightarrow{\red{1,5\ \times\ }}(-1)\le{\red{1,5\ \times\ }}\cos(x)\le{\red{1,5\ \times\ }}1 \\\\\phantom{-1\le\cos(x)\le1}\Longleftrightarrow-1,5\le1,5\cos(x)\le1,5 \\\\\phantom{-1\le\cos(x)\le1}\Longleftrightarrow-1,5\ {\red{+\ 1,5}}\le1,5\cos(x)\ {\red{+\ 1,5}}\le1,5\ {\red{+\ 1,5}} \\\\\phantom{-1\le\cos(x)\le1}\Longleftrightarrow0\le1,5\cos(x)+1,5\le3 \\\\\phantom{-1\le\cos(x)\le1}\Longleftrightarrow\boxed{0\le f(x)\le3}
D'où la fonction f  est positive sur l'intervalle [0 ; 2pi].

2.  La fonction f  est continue et positive sur l'intervalle [0 ; 2pi].
L'aire exprimée en unité d'aire du domaine compris entre la courbe  \mathscr{C}_1 , l'axe des abscisses et les droites d'équations x  = 0 et x  = 2pi est donnée par  \mathscr{A}_1=\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\,dx .

\mathscr{A}_1=\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\,dx=\int\limits_{0}^{2\pi}(-1,5\cos(x)+1,5)\,dx \\\\\phantom{W}=\left[\overset{}{-1,5\sin(x)+1,5x}\right]\limits_{0}^{2\pi} \\\\\phantom{W}=\left[\overset{}{-1,5\sin(2\pi)+1,5\times2\pi}\right]-\left[\overset{}{-1,5\sin(0)+1,5\times0}\right] \\\\\phantom{W}=\left[\overset{}{0+3\pi}\right]-\left[\overset{}{0+0}\right] \\\\\phantom{W}=3\pi

Par conséquent, l'aire d'un carreau est égale à  \boxed{\mathscr{A}=2\mathscr{A}_1=6\pi\ \text{(u.a.)}}

5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

{\red{1.}}\ \ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{3x+1}{x+1}\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{3x}{x}\right)=3\\\\\lim\limits_{X\to3}\ln(X)=\ln(3)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\underset{\text{ en posant }X=\frac{3x+1}{x+1}}{\text{par composition}}}{\Longrightarrow}\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(\dfrac{3x+1}{x+1}\right)=\ln(3). \\\\\\\text{Dès lors }\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ln(3)}

Par conséquent, la courbe représentative de la fonction f  admet une asymptote horizontale en +infini dont l'équation est : y  = ln(3).

2. a.  Nous savons que  \left(\overset{}{\ln(u(x))}\right)'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.

\text{Si }\ u(x)=\dfrac{3x+1}{x+1},\\\\\text{alors }\ u'(x)=\dfrac{(3x+1)'\times(x+1)-(3x+1)\times(x+1)'}{(x+1)^2}\\\\\phantom{\text{alors }\ u'(x)}=\dfrac{3\times(x+1)-(3x+1)\times1}{(x+1)^2} =\dfrac{3x+3-3x-1}{(x+1)^2} \\\phantom{\text{alors }\ u'(x)} =\dfrac{2}{(x+1)^2}  \\\\\text{D'où }\ \ \dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{\dfrac{2}{(x+1)^2}}{\dfrac{3x+1}{x+1}}=\dfrac{2}{(x+1)^2}\times\dfrac{x+1}{3x+1}=\dfrac{2(x+1)}{(x+1)^2(3x+1)}\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{2}{(x+1)(3x+1)}}

Nous obtenons donc :  \boxed{f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)(3x+1)}}

{\red{2.\ \text{b. }}}\ \ x\in[0\,;\ +\infty[\ \Longleftrightarrow x\ge0\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x+1>0\\3x+1>0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ \ x\in[0\,;\ +\infty[\ \Longleftrightarrow x\ge0}\Longrightarrow\ (x+1)(3x+1)>0 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ \ x\in[0\,;\ +\infty[\ \Longleftrightarrow x\ge0}\Longrightarrow\ \dfrac{2}{(x+1)(3x+1)}>0 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ \ x\in[0\,;\ +\infty[\ \Longleftrightarrow x\ge0}\Longrightarrow\ \boxed{f'(x)>0}

Nous en déduisons que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +infini[.

Partie B

Soit la suite (un ) définie par :  \left\lbrace\begin{matrix}u_0=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\u_{n+1}=f(u_n)\ \ \ \ \ (\text{avec }\  n\in \N)\end{matrix}\right.

1.  Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , nous avons la relation :  \dfrac{1}{2} infegal u n+1 infegal u n.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0.
Montrons donc que  \overset{.}{\dfrac{1}{2}} infegal u 1 infegal u 0.
u_1=f(u_0)=f(3)=\ln\left(\dfrac{3\times3+1}{3+1}\right)=\ln\left(\dfrac{10}{4}\right)=\ln(2,5)\approx0,916 \\\\\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}u_1\approx0,916\\u_0=3\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ {\red{\dfrac{1}{2}\le u_1\le u_0}}\ \ \ \ \ (\text{car }0,5\le0,916\le3)
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Si pour un entier naturel n  fixé la relation  \dfrac{1}{2} infegal u n+1 infegal u n est vraie au rang n , montrons que cette relation est encore vraie au rang n + 1.
Montrons alors que  \overset{.}{\dfrac{1}{2}} infegal u n+2 infegal u n+1.

Nous avons montré dans la question 2. b. de la partie A que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +infini[.

\text{Dès lors, }\ \dfrac{1}{2}\le u_{n+1}\le u_n\Longrightarrow f(\dfrac{1}{2})\le f(u_{n+1})\le f(u_n) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}f(\dfrac{1}{2})=\ln\left(\dfrac{3\times\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}+1}\right)=\ln\left(\dfrac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}\right)=\ln\left(\dfrac{5}{3}\right)\approx0,51\Longrightarrow\dfrac{1}{2}\le f(\dfrac{1}{2})\\\\f(u_{n+1})=u_{n+2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\f(u_n)=u_{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

Nous en déduisons que  \dfrac{1}{2} \le f(\dfrac{1}{2})\le u_{n+2}\le u_{n+1} , soit que  \dfrac{1}{2} \le u_{n+2}\le u_{n+1}
Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n , nous obtenons la relation :  \dfrac{1}{2} infegal u n+1 infegal u n.

2.  Nous avons montré dans la question précédente que la suite (un ) est décroissante et minorée par  \dfrac{1}{2}.
Cette suite (un ) est donc convergente.
Si nous notons la limite de cette suite par  \ell , nous avons alors la relation suivante :   \ell\ge\dfrac{1}{2}>0.
Par conséquent, la suite (un ) converge vers une limite strictement positive.

Partie C

1.    Sur l'intervalle ]0 ; x0]
La fonction g est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; x0].
Cela signifie que pour tout x ,  0<x\le x_0\Longrightarrow g(0)<g(x)\le g(x_0) ,
soit que  0<x\le x_0\Longrightarrow 0<g(x)\le g(x_0).
Puisque g (x ) > 0 sur ]0 ; x0], l'équation g (x ) = 0 n'admet pas de solution sur l'intervalle ]0 ; x0].

  Sur l'intervalle [x0 ; +infini[
La fonction g  est continue et strictement décroissante sur [x0 ; +infini[.
g(x_0)>0\ \ \text{et }\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty.
Donc 0 est compris entre  \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)  et g (x0).
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g (x ) = 0 admet une unique solution \alpha appartenant à l'intervalle [x0 ; +infini[.

Par conséquent, l'équation g (x ) = 0 admet une unique solution strictement positive notée alpha.

2. a.  Algorithme complété.

         \begin{array}{|c|}\hline x\longleftarrow0,22\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{Tant que  }\ {\red{\ln\left(\dfrac{3x+1}{x+1}\right)-x>0}}\ \ \text{faire} \\x\longleftarrow x+0,01\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}

2. b. En utilisation le tableur de la calculatrice, nous obtenons les résultats suivants :
            g (0,52) environegal 1,2969 > 0.
            g (0,53) environegal -3,6099 < 0.
D'où la dernière valeur prise par la variable x  lors de l'exécution de l'algorithme est 0,53.

3.  Selon l'énoncé, nous admettons que  f(\ell )=\ell.

\text{Or }\ f(\ell )=\ell\Longleftrightarrow f(\ell )-\ell=0 \\\phantom{\text{Or }\ f(\ell )=\ell}\Longleftrightarrow\boxed{ g(\ell )=0}
Par l'exercice 2. b., nous savons que  \ell\approx0,53.
En conclusion, une valeur approchée à moins de 0,01 près de la limite  \ell  de la suite (un ) est 0,53.

5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

1.  Le point I est le milieu du segment [ED].

\left\lbrace\begin{array}l E(0\ ;\,0\ ;\,1)\\D(0\,;\,1\,;\,0)\end{array} \Longrightarrow I:(\dfrac{x_E+x_D}{2}\,;\,\dfrac{y_E+y_D}{2}\,;\,\dfrac{z_E+z_D}{2})=(\dfrac{0+0}{2}\,;\,\dfrac{0+1}{2}\,;\,\dfrac{1+0}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{I(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})}

2. a.  Montrons que le vecteur  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-1\\3\\5\end{pmatrix}  est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires  \overrightarrow{FI}  et  \overrightarrow{FJ}  du plan (FIJ).

\left\lbrace\begin{array}l F(1\ ;\,0\ ;\,1)\\I(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{FI}\begin{pmatrix}0-1\\\\\dfrac{1}{2}-0\\\\\dfrac{1}{2}-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{FI}\begin{pmatrix}-1\\\\\dfrac{1}{2}\\\\-\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}}

\left\lbrace\begin{array}l F(1\ ;\,0\ ;\,1)\\J(1\,;\,1\,;\,\dfrac{2}{5})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{FJ}\begin{pmatrix}1-1\\\\1-0\\\\\dfrac{2}{5}-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{FJ}\begin{pmatrix}0\\\\1\\\\-\dfrac{3}{5} \end{pmatrix}}

Manifestement, les vecteurs \overrightarrow{FI}   et  \overrightarrow{FJ}   ne sont pas colinéaires.
De plus,
\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{FI}\ \ &\ (-1)\times(-1)+3\times\dfrac{1}{2}+5\times(-\dfrac{1}{2})\\\ \ &\ 1+ \dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2}\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{FI}}

\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{FJ}\ \ &\ (-1)\times0+3\times1+5\times(-\dfrac{3}{5})\\\ \ &\ 0+3-3\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{FJ}}

Par conséquent, le vecteur  \overrightarrow{n}   étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires  \overrightarrow{FI}   et  \overrightarrow{FJ}   du plan (FIJ), nous en déduisons que le vecteur  \overrightarrow{n}   est normal au plan (FIJ).

2. b.   Nous savons que tout plan de vecteur normal  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}   admet une équation cartésienne de la
forme  ax   + by   + cz   + d   = 0.

Puisque le vecteur  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-1\\3\\5\end{pmatrix}   est normal au plan (FIJ), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (FIJ) est de la forme -x  + 3y   + 5z   + d   = 0.

Or le point F(1 ; 0 ; 1) appartient au plan (FIJ).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où -1 + 0 + 5 + d   = 0  , soit d   = -4.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (FIJ) est  \boxed{-x+3y+5z-4=0}.

3.  Nous notons d  la droite passant par le point B et orthogonale au plan (FIJ).

3. a.   Déterminons une représentation paramétrique de la droite d .

La droite d  est orthogonale au plan (FIJ).
Cette droite est donc dirigée par le vecteur  \boxed{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}{\red{-1}}\\ {\red{3}}\\ {\red{5}}\end{pmatrix}}  .

La droite d  passe par le point  B({\blue{1}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}).

D'où une représentation paramétrique de la droite d  est donnée par :

 \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{1}}+{\red{(-1)}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{3}}\times t\\z={\blue{0}}+{\red{5}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})

soit  \boxed{d :\left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t\\z=5t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}

3. b.  Les coordonnées du point M sont les solutions du système composé par les équations de la droite d  et du plan (FIJ), soit du système :

\left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t \\z=5t\\-x+3y+5z-4=0 \end{array}\ \ \ \  \left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t \\z=5t\\ -(1-t)+3\times3t+5\times5t-4=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t \\z=5t\\-1+t+9t+25t-4=0 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t \\z=5t\\35t-5=0\end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t \\z=5t\\35t=5\end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t \\z=5t\\t=\dfrac{5}{35}=\dfrac{1}{7}\end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{6}{7}\\\\y=\dfrac{3}{7}\\\\z=\dfrac{5}{7}\\\\t=\dfrac{1}{7}\end{array}

D'où les coordonnées du point M sont  \boxed{(\dfrac{6}{7}\,;\,\dfrac{3}{7}\, ;\, \dfrac{5}{7})}.

{\red{4.\ \text{a. }}}\ \left\lbrace\begin{array}l B(1\ ;\,0\ ;\,0)\\\\M(\dfrac{6}{7}\,;\,\dfrac{3}{7}\,;\,\dfrac{5}{7})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}\dfrac{6}{7}-1\\\\\dfrac{3}{7}-0\\\\\dfrac{5}{7}-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{7}\\\\\dfrac{3}{7}\\\\\dfrac{5}{7}\end{pmatrix}}

\left\lbrace\begin{array}l B(1\ ;\,0\ ;\,0)\\\\F(1\,;\,0\,;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BF}\begin{pmatrix}1-1\\0-0\\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BF}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}

\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BF}=-\dfrac{1}{7}\times0+\dfrac{3}{7}\times0+\dfrac{5}{7}\times1\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BF}=\dfrac{5}{7}}

{\red{4.\ \text{b. }}}\ \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BF}=BM\times BF\times\cos(\widehat{MBF}) \\\\\text{où }\ \left\lbrace\begin{matrix}BM=\sqrt{(x_{\overrightarrow{BM}})^2+(y_{\overrightarrow{BM}})^2+(z_{\overrightarrow{BM}})^2}=\sqrt{(-\dfrac{1}{7})^2+(\dfrac{3}{7})^2+(\dfrac{5}{7})^2}\ \ \\=\sqrt{\dfrac{1}{49}+\dfrac{9}{49}+\dfrac{25}{49}}=\sqrt{\dfrac{35}{49}}=\dfrac{\sqrt{35}}{7}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\BF=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

\text{Dès lors, }\ \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BF}=\dfrac{5}{7}\Longleftrightarrow BM\times BF\times\cos(\widehat{MBF})=\dfrac{5}{7} \\\phantom{WWWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \dfrac{\sqrt{35}}{7}\times 1\times\cos(\widehat{MBF})=\dfrac{5}{7} \\\phantom{WWWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \cos(\widehat{MBF})=\dfrac{5}{7}\times\dfrac{7}{\sqrt{35}} \\\phantom{WWWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \cos(\widehat{MBF})=\dfrac{5}{\sqrt{35}}

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :  \boxed{\widehat{MBF}\approx32^{\text{o}}\ \ \ \ \text{(arrondi au degré près)}}

Partie B

1.  Rappelons le théorème suivant :
Si deux plans sont parallèles , tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.

Les plans (FBC) et (EAD) sont parallèles.
Le plan (FIJ) coupe le plan (FBC) selon la droite (FJ).
D'après le théorème en rappel, le plan (FIJ) coupera le plan (EAD) selon la droite (LK) parallèle à la droite (FJ).

De même, les plans (FBA) et (GCD) sont parallèles.
Le plan (FIJ) coupe le plan (GCD) selon la droite (JL).
D'après le théorème en rappel, le plan (FIJ) coupera le plan FBA selon la droite (FK) parallèle à la droite (JL).

Dès lors, le quadrilatère FJLK est un parallélogramme car ses côtés sont parallèles deux à deux.

2.  Un parallélogramme est un losange s'il a deux côtés consécutifs de même longueur.
Exprimons par exemple que FJ = JL.

\left\lbrace\begin{array}l F(1\ ;\,0\ ;\,1)\\J(1\,;\,1\,;\,\alpha)\end{array}\Longrightarrow FJ=\sqrt{(x_J-x_F)^2+(y_J-y_F)^2+(z_J-z_F)^2}
                                                         =\sqrt{(1-1)^2+(1-0)^2+(\alpha-1)^2}\\=\sqrt{1+(\alpha-1)^2}

\left\lbrace\begin{array}l J(1\,;\,1\,;\,\alpha)\\L(0\ ;\,1\ ;\,\dfrac{\alpha}{2})\end{array}\Longrightarrow JL=\sqrt{(x_L-x_J)^2+(y_L-y_J)^2+(z_L-z_J)^2}
                                                         \\=\sqrt{(0-1)^2+(1-1)^2+(\dfrac{\alpha}{2}-\alpha)^2} \\=\sqrt{1+(-\dfrac{\alpha}{2})^2}\\=\sqrt{1+(\dfrac{\alpha}{2})^2}

FJ=JL\Longleftrightarrow\sqrt{1+(\alpha-1)^2}=\sqrt{1+(\dfrac{\alpha}{2})^2} \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow1+(\alpha-1)^2=1+(\dfrac{\alpha}{2})^2 \\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow(\alpha-1)^2=(\dfrac{\alpha}{2})^2 \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow\alpha-1=\dfrac{\alpha}{2}\ \ \ \text{ou}\ \ \ \alpha-1=-\dfrac{\alpha}{2} \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow\dfrac{\alpha}{2}=1\ \ \ \text{ou}\ \ \ \dfrac{3\alpha}{2}=1 \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow\alpha=2\ \ \ \text{ou}\ \ \ \alpha=\dfrac{2}{3} \\\\\text{Or }\ \alpha\in[0\,;1] \\\\\text{D'où }\boxed{\alpha=\dfrac{2}{3}}
Par conséquent, le quadrilatère FKLJ est un losange si  \alpha=\dfrac{2}{3}.

5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

Soit l'équation (E ) : 25z ² - 14z  + 25 = 0.

1.  Résolvons dans C l'équation (E ).

\text{Discriminant : }\ \Delta=(-14)^2-4\times25\times25=196-2500=-2304<0 \\\\\text{Solutions : }\ z_1=\dfrac{14+\text{i}\sqrt{2304}}{2\times25}=\dfrac{14+48\text{i}}{2\times25}=\dfrac{2(7+24\text{i})}{2\times25}\Longrightarrow\boxed{z_1=\dfrac{7+24\text{i}}{25}=\dfrac{7}{25}+\text{i}\dfrac{24}{25}} \\\\\phantom{Solutions : }\ z_2=\dfrac{14-\text{i}\sqrt{2304}}{2\times25}=\dfrac{14-48\text{i}}{2\times25}=\dfrac{2(7-24\text{i})}{2\times25}\Longrightarrow\boxed{z_2=\dfrac{7}{25}-\text{i}\dfrac{24}{25}\ (=\overline{z_1})}

{\red{2.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}|z_1|=\sqrt{(\dfrac{7}{25})^2+(\dfrac{24}{25})^2}=\sqrt{\dfrac{49}{625}+\dfrac{576}{625}}=\sqrt{\dfrac{625}{625}}=\sqrt{1}=1 \\\\|z_2|=|\overline{z_1}|=|z_1|=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\boxed{|z_1|=|z_2|=1}

{\red{3.\ }}\ z_1=\dfrac{7}{25}+\text{i}\dfrac{24}{25}=\cos(\alpha)+\text{i}\sin(\alpha)\Longrightarrow\boxed{z_1=\text{e}^{\text{i}\alpha}} \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ z_2=\overline{z_1}\Longrightarrow\boxed{z_2=\text{e}^{-\text{i}\alpha}}

4.  L'image du nombre complexe z1 est le point du cercle unité dont les coordonnées sont  (\dfrac{7}{25}\,;\dfrac{24}{25}). 
Le point du cercle correspondant à ces coordonnées est le point A.
L'image du nombre complexe z2 est le point du cercle unité dont les coordonnées sont (\dfrac{7}{25}\,;-\dfrac{24}{25}).
Le point du cercle correspondant à ces coordonnées est le point D.

Partie B

{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ A\ :\ }\left(\dfrac{1}{2}+\text{i}\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2019}=1} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation fausse.}}}

\dfrac{1}{2}+\text{i}\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}+\text{i}\,\sin\dfrac{\pi}{3}=\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}

\text{Nous obtenons ainsi : }\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\text{i}\right)^{2019}=(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}})^{2019}=\text{e}^ {\text{i}\frac{2019}{3}\pi}=\text{e}^ {\text{i}673\pi} =\text{e}^ {\text{i}672\pi}\times \text{e}^ {\text{i}\pi} \\\\\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}=\text{e}^ {\text{i}\times 336\times2\pi}\times \text{e}^ {\text{i}\pi} =1\times (-1)=-1 \\\\\Longrightarrow\boxed{\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\text{i}\right)^{2019}=-1\ {\red{\neq1}}}

{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ B\ :\ }\lim\limits_{n\to+\infty}|z|^n=0} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie.}}}

z=\dfrac{1}{6}(2+5\text{i})\Longrightarrow|z|=\dfrac{1}{6}\sqrt{2^2+5^2}=\dfrac{1}{6}\sqrt{4+25} \\\\\phantom{z=\dfrac{1}{6}(2+5\text{i})}\Longrightarrow|z|=\dfrac{\sqrt{29}}{6} \\\\\phantom{z=\dfrac{1}{6}(2+5\text{i})}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}|z|^n=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\sqrt{29}}{6}\right)^n=0\ \ \ \ \text{car }0<\dfrac{\sqrt{29}}{6}<1 \\\\\phantom{z=\dfrac{1}{6}(2+5\text{i})}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}|z|^n=0}

{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ C\ :\ }\text{Pour tout nombre réel }}a\text{ de }[-\pi\,;0]\text{ tel que }\cos(2a)=\dfrac{7}{25},} \\\phantom{WWWWWWWW..}\blue{\text{ on a }\sin(a)=-\dfrac{3}{5}}\longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie.}}}

Nous savons que

\left\lbrace\begin{matrix}\cos^2(a)+\sin^2(a)=1\\\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos^2(a)=1-\sin^2(a)\\\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos^2(a)=1-\sin^2(a)\\\cos(2a)=1-\sin^2(a)-\sin^2(a)\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\cos(2a)=1-2\sin^2(a)

\text{Nous savons également que  }\cos(2a)=\dfrac{7}{25} \\\\\text{Donc }\cos(2a)=1-2\sin^2(a)\Longleftrightarrow \dfrac{7}{25}=1-2\sin^2(a) \\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow 2\sin^2(a)=1-\dfrac{7}{25} \\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow 2\sin^2(a)=\dfrac{18}{25} \\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow \sin^2(a)=\dfrac{9}{25} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow \sin(a)=\dfrac{3}{5}\ \ \ \text{ou }\ \ \  \sin(a)=-\dfrac{3}{5} \\\\\text{Or }a\in[-\pi\,;0]\Longrightarrow\sin(a)<0. \\\\\text{D'où }\ \boxed{\sin(a)=-\dfrac{3}{5}}

5 points

exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Soit la suite (an ) définie pour tout entier naturel n  par  a_n=\dfrac{4^{2n+1}+1}{5}

{\red{1.\ \text{a. }}}\ a_2=\dfrac{4^{2\times2+1}+1}{5}=\dfrac{4^{5}+1}{5}=\dfrac{1025}{5}\Longrightarrow\boxed{a_2=205} \\\\a_3=\dfrac{4^{2\times3+1}+1}{5}=\dfrac{4^{7}+1}{5}=\dfrac{16\,385}{5}\Longrightarrow\boxed{a_3=3\,277}

1. b.  En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminons le plus grand commun diviseur de a2 et a3.

205=3277\times0+205 \\3277=205\times15+202 \\205=202\times1+3 \\202=3\times67+{\red{1}} \\3=1\times3+0
Donc le plus grand commun diviseur de a2 et a3 est 1.
Par conséquent, a2 et a3 sont premiers entre eux.

2.  Pour tout entier naturel n ,

a_{n+1}=\dfrac{4^{2(n+1)+1}+1}{5}=\dfrac{4^{2n+2+1}+1}{5}=\dfrac{4^{(2n+1)+2}+1}{5}=\dfrac{4^{(2n+1)}\times4^2+1}{5} \\\\\phantom{a_{n+1}}=\dfrac{16\times4^{(2n+1)}+1}{5}=\dfrac{16\times4^{(2n+1)}+16-15}{5}=\dfrac{16\times\left(\overset{}{4^{(2n+1)}+1}\right)-15}{5} \\\\\phantom{a_{n+1}}=\dfrac{16\times\left(\overset{}{4^{(2n+1)}+1}\right)}{5}-\dfrac{15}{5}=16\times\dfrac{4^{(2n+1)}+1}{5}-3=16\times a_n-3 \\\\\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}=16a_n-3 }

3.  Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n  , an  est un nombre entier naturel.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0.
Montrons donc que a0 est un nombre entier naturel.
La démonstration est évidente puisque  a_{0}=\dfrac{4^{2\times0+1}+1}{5}=\dfrac{4^{1}+1}{5}=\dfrac{5}{5}=1\in\N.
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Si pour un entier naturel n  fixé, la proposition "an  est un nombre entier naturel" est vraie au rang n , montrons que cette proposition est encore vraie au rang n + 1.
Montrons alors que an+1 est un nombre entier naturel.

Nous savons par la question 2. que  a_{n+1}=16a_n-3.
Par hypothèse de récurrence, an  est un nombre entier naturel.
Nous en déduisons que a n +1 est un nombre entier relatif.
Montrons que an +1 est positif.

\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{4^{(2n+1)}+1}{5}>0\\\\a_n=\dfrac{4^{(2n+1)}+1}{5}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ a_n>0 \\\\\text{Or }a_n\ \text{est un nombre naturel.} \\\\\text{D'où }\ a_n\ge1. \\\\\text{Dès lors, }\ a_n\ge1\Longrightarrow16a_n\ge16 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ a_n\ge1}\Longrightarrow16a_n-3\ge13 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ a_n\ge1}\Longrightarrow16a_n-3>0 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ a_n\ge1}\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}>0}
Donc an +1 est un nombre entier naturel et l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies,
nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n , an  est un nombre entier naturel.

4. a.  Par la question 2, nous obtenons :  a_{n+1}=16a_n-3\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ 16a_n-a_{n+1}=3.
dn  est le plus grand diviseur commun de an  et an +1.
Donc dn  est un diviseur de 16an - an +1, c'est-à-dire que dn  est un diviseur de 3.
Par conséquent, dn  est égal à 1 ou à 3.

4. b.  Pour tout entier naturel n ,

\left\lbrace\begin{matrix}16\equiv1\,[3]\\-3\equiv0\,[3]\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}16a_n\equiv a_n\,[3]\\ -3\equiv0\,[3]\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ 16a_n-3\equiv a_n\,[3] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{a_{n+1}\equiv a_n\,[3]}\ \ \ \ (\text{car }\ a_{n+1}=16a_n-3\text{ par la question 2.})

{\red{4.\ \text{c. }}}\ a_0=\dfrac{4^{0+1}+1}{5}=\dfrac{5}{5}=1 \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \text{Or }1\equiv1\,[3] \\\\\Longrightarrow\boxed{a_0\equiv1\,[3]}

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , an  n'est pas divisible par 3 en montrant que  a_n\equiv1\,[3].

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0.
Montrons que a_0\equiv1\,[3].
La démonstration a été réalisée ci-dessus.
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Si pour un entier naturel n fixé, la proposition "a_n\equiv1\,[3]" est vraie au rang n , montrons que cette proposition est encore vraie au rang n + 1.
Montrons alors que  a_{n+1}\equiv1\,[3].

Nous savons par la question 4. b. que a_{n+1}\equiv a_n\,[3].
Par hypothèse de récurrence,  a_n\equiv1\,[3].
Nous en déduisons que  a_{n+1}\equiv1\,[3]  et l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies,
nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n , an  n'est pas divisible par 3 car  a_n\equiv1\,[3].

4. d.  Des questions précédentes, nous pouvons déduire que dn  ne peut pas être égal à 3.
D'où dn  = 1.
Par conséquent, an  et an +1 sont premiers entre eux.

5.  Pour tout entier naturel n , \left\lbrace\begin{matrix}b_n=2^{n+1}(2^n-1)+1\\\\c_n=2^{n+1}(2^n+1)+1\end{matrix}\right.

Nous admettons que pour tout entier n  supérieur ou égal à 2,      5an  = bn cn .

5. a.  Nous savons que 5an  = bn cn si n  est un nombre entier supérieur ou égal à 2.
Deux cas sont possibles :
  ou bien 5 divise bn
  ou bien 5 ne divise pas bn  et dans ce cas, montrons que 5 divise cn .
        5 divise le produit bn cn  car nous savons que 5an  = bn cn si n  est un nombre entier supérieur ou égal à 2.
        5 est premier avec bn car 5 est un nombre premier.
        Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 5 divise cn .
Par conséquent, pour tout entier n  supérieur ou égal à 2,
5 divise bn  ou 5 divise cn .


\left\begin{matrix}{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}n+1\ge3\\2^n\ge2^2\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2^{n+1}\ge2^3\\2^n\ge4\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2^{n+1}\ge8\\2^n-1\ge3\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwww{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n-1)\ge8\times3 \\\\\phantom{www.{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n-1)\ge24 \\\\\phantom{wwwwwwww{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n-1)+1\ge25>5 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b. }}}..}\Longrightarrow\boxed{b_n>5}\end{matrix}\right.       \ \ \ \left\begin{matrix}  |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|        \end{matrix}\right.       \begin{matrix}n\ge2\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}n+1\ge3\\2^n\ge2^2\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2^{n+1}\ge2^3\\2^n\ge4\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2^{n+1}\ge8\\2^n+1\ge5\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwww{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n+1)\ge8\times5 \\\\\phantom{www.{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n+1)\ge40 \\\\\phantom{wwwwwwww{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n+1)+1\ge41>5 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b. }}}..}\Longrightarrow\boxed{c_n>5}\end{matrix}\right.

5. c.  Nous savons par la question 5.a. que 5 divise bn  ou 5 divise cn .

 Premier cas : 5 divise bn .
Puisque 5 divise bn  et que nous savons par la question 5.b. que bn  > 5, nous en déduisons que  \dfrac{b_n}{5}  est un nombre naturel différent de 1.
\text{Or }\ 5a_n=b_nc_n\Longrightarrow \boxed{a_n=\dfrac{b_n}{5}\times c_n}
Dès lors, sachant que cn  est un nombre naturel supérieur à 5, nous remarquons que an  est le produit de deux nombre naturels différents de 1.
Donc an  n'est pas un nombre premier.

 Second cas : 5 divise cn .
Puisque 5 divise cn  et que nous savons par la question 5.b. que cn  > 5, nous en déduisons que  \dfrac{c_n}{5}  est un nombre naturel différent de 1.
\text{Or }\ 5a_n=b_nc_n\Longrightarrow \boxed{a_n=b_n\times\dfrac{c_n}{5}}
Dès lors, sachant que bn  est un nombre naturel supérieur à 5, nous remarquons que an  est le produit de deux nombre naturels différents de 1.
Donc an  n'est pas un nombre premier.

Par conséquent, dans chaque cas, an  n'est pas un nombre premier.
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