Fiche de mathématiques
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Bac ST2S Nouvelle Calédonie 2019

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Durée : 2 heures

Coefficient : 3

6 points

exercice 1

Bac ST2S Nouvelle Calédonie novembre 2019  : image 4

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7 points

exercice 2

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7 points

exercice 3

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Annexe à rendre avec la copie



exercice 1


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exercice 3


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Bac ST2S Nouvelle Calédonie novembre 2019

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6 POINTS

exercice 1

1.  Tableau d'effectifs complété :

\underline{\text{Calculs préliminaires}}: \\\\8\ \%\text{ de }1750=0,08\times1750={\red{140}} \\1750-140={\red{1610}} \\140-21={\red{119}} \\6\ \%\text{ de }1750=0,06\times1750={\red{105}} \\1750-105={\red{1645}} \\1645-119={\red{1526}} \\1610-1526={\red{84}} \\\\\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &&&\\ \text{Nombre de femmes}&\text{dont l'accouchement a eu}&\text{dont l'accouchement n'a pas eu}&\text{Total}\\&\text{lieu prématurément}&\text{lieu prématurément}&\\\hline \text{ayant fumé régulièrement}& &&\\\text{durant les trois premiers}&21 &\red{84}&\red{105}\\\text{mois de grossesse}& && \\\hline \text{n'ayant pas fumé régulièrement}& &&\\\text{durant les trois premiers}&\red{119} &\red{1526}&\red{1645}\\\text{mois de grossesse}& &&\\\hline \text{Total} &\red{140} &\red{1610} &1750\\\hline\end{array}

2. a.  8% des femmes ont accouché prématurément.
Donc  \overset{.}{\boxed{P(A)=0,08}}

6% des femmes ayant accouché ont fumé régulièrement durant les trois premiers mois de leur grossesse.
Donc \overset{.}{\boxed{P(F)=0,06}}

2. b.  L'événement A interF  peut se traduire par : le dossier est celui d'une femme dont l'accouchement a eu lieu prématurément et a fumé régulièrement durant les trois premiers mois de sa grossesse.
Cet événement est réalisé par 21 femmes parmi les 1750.

D'où  P(A\cap F)=\dfrac{21}{1750}\Longrightarrow\boxed{P(A\cap F)=0,012}


{\red{2.\ \text{c. }}}\ P(A\cup F)=P(A)+P(F)-P(A\cap F) \\\phantom{{\red{2.\ \text{c. }}}\ P(A\cup F)}=0,08+0,06-0,012 \\\phantom{{\red{2.\ \text{c. }}}\ P(A\cup F)}=0,128 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A\cup F)=0,128}

3. a.  Nous devons déterminer  P_F(A)

P_F(A)=\dfrac{P(A\cap F)}{P(F)} \\\\\phantom{P_F(A)}=\dfrac{0,012}{0,06} \\\\\phantom{P_F(A)}=0,2\\\\\Longrightarrow\boxed{P_F(A)=0,2}
Par conséquent, sachant que le dossier choisi est celui d'une femme ayant fumé régulièrement durant les trois premiers mois de sa grossesse, la probabilité que cette femme ait accouché prématurément est égale à 0,2.

3. b.  Calculer  P_{\overline{F}}(A)  revient à calculer la probabilité qu'une femme ait accouché prématurément sachant que cette femme n'a pas fumé régulièrement durant les trois premiers mois.
Or parmi les 1645 femmes n'ayant pas fumé régulièrement durant les trois premiers mois, 119 d'entre elles ont accouché prématurément.
D'où  P_{\overline{F}}(A)=\dfrac{119}{1645}\approx0,0723
Par conséquent, sachant que le dossier choisi est celui d'une femme n'ayant pas fumé régulièrement durant les trois premiers mois de sa grossesse, la probabilité que cette femme ait accouché prématurément est environ égale à 0,07.
Puisque 0,2 est supérieur à 0,072, nous en déduisons que le tabagisme augmente le risque d'un accouchement prématuré.

7 points

exercice 2

On relève la fréquence cardiaque, en battements par minute (bpm), d'un sportif pendant un effort soutenu d'une durée de 14 minutes.
L'évolution de la fréquence cardiaque de ce sportif durant ces 14 minutes est modélisée par une fonction f  définie sur l'intervalle [0 ; 14] : pour tout instant t  , exprimé en minute, f (t ) représente la fréquence cardiaque du sportif à cet instant, exprimée en bpm.
Dans le repère orthogonal ci-après, on a tracé la courbe représentative de la fonction f  sur l'intervalle [0 ; 14].

                 
Bac ST2S Nouvelle Calédonie novembre 2019  : image 11


Partie A

1.  Graphiquement, nous observons que la fréquence cardiaque paraît maximale au bout de 6 minutes.
Dans ce cas, le coeur semble battre à une fréquence de 173 battements par minute.

2.  Ce sportif est considéré comme étant en période d'effort intense lorsque sa fréquence cardiaque est supérieure ou égale à 165 bpm.
Graphiquement, cette situation se visualise lorsque la courbe représentative de la fonction f  est située au-dessus de la droite horizontale d'équation y  = 165.
Dès lors, nous pouvons observer que la fréquence cardiaque est supérieure ou égale à 165 bpm pour les abscisses comprises entre 4,2 et 8,5.
Par conséquent, ce sportif est considéré comme étant en période d'effort intense sur l'intervalle [4,2 ; 8,5].

Partie B

Soit  f(t)=0,2t^3-5,4t^2+43,2t+65\ \ \ \ \ \ \ \text{avec }\ t\in[0\,;14]

1.  Calcul de la dérivée f' (t ).

f'(t)=0,2\times(t^3)'-5,4\times(t^2)'+43,2\times t'+65' \\\phantom{f'(t)}=0,2\times(3t^2)-5,4\times(2t)+43,2\times1+0 \\\phantom{f'(t)}=0,6t^2-10,8t+43,2 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(t)=0,6t^2-10,8t+43,2}

{\red{2.\ }}\ 0,6(t-6)(t-12)=0,6(t^2-12t-6t+72) \\\phantom{{\red{2.\ }}\ 0,6(t-6)(t-12)}=0,6(t^2-18t+72) \\\phantom{{\red{2.\ }}\ 0,6(t-6)(t-12)}=0,6t^2-0,6\times18t+0,6\times72 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ 0,6(t-6)(t-12)}=0,6t^2-10,8t+43,2 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ 0,6(t-6)(t-12)}=f'(t) \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(t)=0,6(t-6)(t-12)\ \ \ \ \ \ \text{où }\ t\in[0\ ;\,14]}

3.  Tableau de signes de la dérivée f' (t ) sur l'intervalle [0 ; 14].

\begin{matrix}\\\\\\\\t-6=0\Longleftrightarrow t=6\\\\t-6<0\Longleftrightarrow t<6\\\\t-6>0\Longleftrightarrow t>6\end{matrix} \ \ \ \ \begin{matrix}\\\\\\\\\\|\\|\\|\\|\\|\\\\\end{matrix} \ \ \ \ \begin{matrix}\\\\\\\\\\t-12=0\Longleftrightarrow t=12\\\\t-12<0\Longleftrightarrow t<12\\\\t-12>0\Longleftrightarrow t>12\\\dfrac{}{}\end{matrix}

          \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&&t&0&&6&&12&&14\\&&&&&&& \\\hline \text{Signe de }0,6&&+&+&+&+&+&\\\hline \text{Signe de }(t-6)&&-&0&+&+&+&\\\hline \text{Signe de }(t-12)&&-&-&-&0&+&\\\hline&&&&&&&& \text{Signe de }f'(t)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}

4.  Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f  sur l'intervalle [0 ; 14].

\underline{\text{Calculs préliminaires }}\\\\f(0)=0,2\times0^3-5,4\times0^2+43,2\times0+65=65\\f(6)=0,2\times6^3-5,4\times6^2+43,2\times6+65=173\\f(12)=0,2\times12^3-5,4\times12^2+43,2\times12+65=151,4\\f(14)=0,2\times14^3-5,4\times14^2+43,2\times14+65=160,2 \\\\\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&&t&0&&6&&12&&14\\&&&&&&& \\\hline&&&&&&&& \text{Signe de }f'(t)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&173&&&&160,2\\\text{variations de }f&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&65&&&&151,4&&\\\hline \end{array}

5.  En nous basant sur le tableau de variations de la fonction f , nous déduisons que le maximum de la fonction est égal à 173.
Ce maximum est cohérent avec le résultat de la première question de la partie A.


7 points

exercice 3

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, donne le nombre (en millier) de bénéficiaires du congé de paternité en France depuis sa création en 2002 et jusqu'en 2008 :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}&\text{H}\\\hline 1&\text{Année} &2002&2003&2004&2005&2006&2007&2008\\\hline \text{2}&\text{Rang}\ (x_i)&0&1&2&3&4&5&6\\\hline 3&\text{Nombre de bénéficiaires en milliers : }(y_i)&324&352&358&364&373&372&389\\\hline 4&\text{Taux d'évolution annuel (en }&\cellcolor{black}{}&&&&&&\\&\text{pourcentage arrondi à 0,01 }\%)&\cellcolor{black}{}& 8,64\ \%&&&&&\\\hline\end{array}

1. a.  La formule à saisir dans la cellule C4 est \boxed{{\red{=(C3-B3)/B3}}}

1. b.  Le taux d'évolution annuel entre 2006 et 2007 en pourcentage arrondi à 0,01 % est donné par le calcul suivant :  \overset{.}{\dfrac{\text{Valeur en 2007}-\text{Valeur en 2006}}{\text{Valeur en 2006}}\times100}=\dfrac{372-373}{373}\times100\approx-0,27.
Donc entre l'année 2006 et l'année 2007, le nombre de bénéficiaires du congé de paternité en France a baissé d'environ 0,27 %

2. a.  Le nuage de points de coordonnées (xi  ; yi ) associé aux données du tableau précédent est représenté ci-dessous par l'ensemble des croix bleues :

Bac ST2S Nouvelle Calédonie novembre 2019  : image 12


2. b.  Déterminons les coordonnées (xG  ; yG ) du point moyen G  du nuage.

\left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{0+1+2+3+4+5+6}{7}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\y_G=\dfrac{324+352+358+364+373+372+389}{7}\ \ \ \ \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_G=3 \\\\y_G=\dfrac{2532}{7}\approx362\end{matrix}\right.

D'où les coordonnées du point G  (en arrondissant l'ordonnée à l'unité) sont (3 ; 362).
Plaçons le point G sur le graphique ci-dessus.

3.  Soit la droite D  d'ajustement du nuage de points d'équation y  = 9x  + 335.

3. a.  Montrons que les coordonnées du point G  vérifient l'équation de la droite D .
  Dans l'équation de D , remplaçons x  par 3.
9 multiplie 3 + 335 = 27 + 335 = 362.
Puisque le résultat obtenu est 362, nous en déduisons que le point G (3 ; 362) appartient à la droite D .

3. b.  Déterminons les coordonnées de deux points de la droite D .
  Soit A le premier de ces points dont l'abscisse est 10.
Dans l'équation de D  , remplaçons x  par 10.
9 multiplie 10 + 335 = 90 + 335 = 425.
D'où le point A (10 ; 425) appartient à la droite D .
 Nous avons montré que le point G  appartient également à la droite D .
Nous pouvons tracer cette droite D  sur le graphique ci-dessus en traçant la droite (AG).

3. c.  La valeur de x  correspondant à l'année 2012 est x  = 10.
Dans l'équation de D , remplaçons x par 10.
9 multiplie 10 + 335 = 90 + 335 = 425.
Par conséquent, nous pouvons estimer qu'en 2012, il y aura environ 425 000 bénéficiaires du congé de paternité en France.

3. d.  Résolvons l'inéquation 9x  + 335 > 440.

9x+335>440\Longleftrightarrow9x>440-335 \\\phantom{9x+335>440}\Longleftrightarrow9x>105 \\\phantom{9x+335>440}\Longleftrightarrow x>\dfrac{105}{9} \\\\\text{Or }\ \dfrac{105}{9}\approx11,67
Puisque x  est un nombre entier naturel, la plus petite valeur de x  vérifiant l'inéquation est x  = 12.
Le rang x  = 12 représente l'année 2002 + 12 = 2014.
Par conséquent, à partir de l'année 2014, le nombre de bénéficiaires du congé de paternité devrait dépasser pour la première fois 440 000.

4.  En réalité, il n'y a eu que 370 milliers de bénéficiaires du congé de paternité en France en 2014.
L'écart entre la valeur estimée et la valeur réelle est égale à 440 000 - 370 000 = 70 000, soit 70 milliers de bénéficiaires.
Or 10 % de la valeur réelle (en millier) correspond à 0,10 multiplie 370, soit 37 milliers de bénéficiaires.
Par conséquent, puisque 70 est supérieur à 37, l'affirmation "l'écart entre la valeur estimée et la valeur réelle représente plus de 10% de la valeur réelle " est vraie et indique que le modèle proposé n'est plus adapté au-delà de l'année 2008.
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