Fiche de mathématiques
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Bac STHR Métropole 2019

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Durée : 2 heures

Coefficient : 3



10 points

exercice 1

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4 points

exercice 2

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6 points

exercice 3

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ANNEXE à REMETTRE AVEC LA COPIE



exercice 1-Partie A

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exercice 1-Partie B

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exercice 2

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exercice 3

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Bac STHR Métropole 2019

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10 points

exercice 1

Le tableau suivant donne la consommation annuelle de pizzas en France et le chiffre d'affaires généré par ce marché entre 2012 et 2017.
Les données concernant l'année 2016 ne sont pas connues.

           \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Année} &2012&2013&2014&2015&2017\\\hline \text{Rang}\ x_i&0&1&2&3&5\\\hline\text{Nombre de pizzas }&&&&& \\\text{consommées : }y_i&821&799&809&819&745\\ \text{(en millions)}&&&&&\\\hline \text{Chiffre d'affaires (en milliards d'euros) }&5,52&5,28&5,35&5,14&4,58\\\hline\end{array}

Partie A : étude du nombre de pizzas consommées

1.  Le nuage de points de coordonnées (xi  ; yi ) associé aux données du tableau précédent est représenté ci-dessous par l'ensemble des croix bleues :

          
Bac STHR Métropole 2019 : image 15


2. Déterminons les coordonnées (xG  ; yG ) du point moyen G  du nuage.

\left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{0+1+2+3+5}{5}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\y_G=\dfrac{821+799+809+819+745}{5}\ \ \ \ \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{11}{5}=2,2 \\\\y_G=\dfrac{3993}{5}=798,6\end{matrix}\right.

D'où les coordonnées du point G  sont (2,2 ; 798,6).
Plaçons le point G sur le graphique ci-dessus.

3.  L'équation réduite de la droite (D ) d'ajustement affine de y  en x  est  de la forme y  = ax  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a  = -12,54054 et b  = 826,189189 .
Donc l'équation réduite de la droite d'ajustement affine de y  en x  est y  = -12,541x  + 826,189 (les nombres sont arrondis au millième).

4. a.  Soit la droite D  d'ajustement du nuage de points d'équation y  = -12,5x  + 826 représentée dans le graphique ci-dessus.

4. b.  La valeur de x  correspondant à l'année 2022 est x  = 10.
Dans l'équation de D , remplaçons x par 10.
-12,5 multiplie 10 + 826 = -125 + 826 = 701.
Par conséquent, nous pouvons estimer qu'en 2022, la consommation de pizzas en France s'élèvera à 701 millions.

Partie B : étude du chiffre d'affaires

1.  Le taux d'évolution annuel en pourcentage arrondi à 0,01 % du chiffre d'affaires entre 2012 et 2017est donné par le calcul suivant :  \overset{.}{\dfrac{\text{Valeur en 2017}-\text{Valeur en 2012}}{\text{Valeur en 2012}}\times100}=\dfrac{4,58-5,52}{5,52}\times100\approx-17,03.
Donc entre l'année 2012 et l'année 2017, le chiffre d'affaires a baissé d'environ 17,03 %

2.  En utilisant la réponse de l'exercice 1, nous déduisons que le coefficient multiplicateur global Cg pour la période allant de l'année 2012 à l'année 2017 est Cg = 1 - 0,1703 = 0,8297.
Puisque 5 années se sont écoulées entre 2012 et 2017, le coefficient multiplicateur annuel moyen est \overset{.}{C_m=0,8297^{\frac{1}{5}}\approx0,9634}  (valeur arrondie au dix-millième).
Le taux d'évolution annuel moyen est égal à  C_m-1=-0,0366  (valeur arrondie au dix-millième).

Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen (en pourcentage) du chiffre d'affaires entre l'année 2012 et l'année 2017 est environ égal à -0,0366 multiplie 100 = -3,66 % (arrondi au centième).

3.  On suppose qu'à partir de 2017, le chiffre d'affaires diminue chaque année de 3,66 %.
On note un le chiffre d'affaires annuel en milliards d'euros généré par la vente de pizzas en France durant l'année 2017 + n .
On a donc u 0 = 4,58.

3. a.  Une diminution de 3,66 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,0366 = 0,9634.
D'où  u_1=4,58\times0,9634 =4,412372\Longrightarrow\overset{.}{\boxed{u_1\approx4,41}}
Par conséquent, en 2018, le chiffre d'affaires annuel généré par la vente de pizzas en France s'élève à environ 4,41 milliards d'euros.

3. b.  On note un le chiffre d'affaires annuel en milliards d'euros généré par la vente de pizzas en France durant l'année 2017 + n .
Une diminution de 3,66 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,0366 = 0,9634.
Le chiffre d'affaires annuel (en milliards d'euros) u n +1  durant l'année "2017 + (n +1)" se calcule donc comme suit :  \boxed{u_{n+1}=0,9634\times u_n}.

Par conséquent, la suite (un ) est une suite géométrique de raison q  = 0,9634 dont le premier terme
est u 0 = 4,58.


3. c. Le terme général de la suite (un ) est  u_n=u_0\times q^{n} .
Donc, pour tout n  supegal 0,  \overset{.}{\boxed{u_n=4,58\times0,9634^{n}}}

En 2021, le rang n  est égal à 4 car 2021 = 2017 + 4.
u_4=4,58\times0,9634^{4}\Longrightarrow\overset{.}{\boxed{u_4\approx3,95}}
Par conséquent, dans ce modèle, le chiffre d'affaires s'élèvera à environ 3,95 milliards d'euros en 2021.

4. a.  Algorithme complété.

            \begin{array}{|c|}\hline U\longleftarrow4,58\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\N\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que  }\ {\red{U>3}}\ \ \text{faire}\  \\\ \ \ \ \ \ \ U\longleftarrow\, {\red{U\times0,9634}} \\N\longleftarrow N+1 \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}

4. b.  Tableau reprenant les valeurs contenues dans les variables N et U  en exécutant l'algorithme :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline N &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline U&4,58&4,41&4,25&4,10&3,95&3,80&3,66&3,53&3,40&3,27&3,15&3,04&{\red{ 2,93\ (<3)}}\\\hline\end{array}
Donc la valeur de la variable N  en sortie de l'algorithme est 12.
Nous en déduisons que le chiffre d'affaires annuel généré par la vente de pizzas en France sera inférieur à 3 milliards d'euros durant l'année "2017 + 12", soit durant l'année 2029.

4 points

exercice 2

1.  Graphe complété.

              
Bac STHR Métropole 2019 : image 14


2.  La réalisation de la tâche F exige que les tâches C, D et E soient réalisées.
Puisque C, D et E sont réalisées simultanément, le temps nécessaire pour atteindre la tâche F
est égal à 8 + 10 + 5 = 23 minutes.
La réalisation de la tâche J exige que les tâches F, H et I soient réalisées.
Or les tâches H et I sont réalisées pendant les 23 minutes nécessaires pour réaliser F.
D'où le temps nécessaire pour atteindre la tâche J est égal à 23 + 5 = 28 minutes.
La réalisation de la tâche M exige que les tâches K et L soient réalisées.
D'où le temps nécessaire pour atteindre la tâche M est égal à 28 + 5 = 33 minutes.
Pour atteindre la fin de la préparation, il reste 4 minutes à ajouter à ces 33 minutes.
Le temps total minimal pour effectuer cette préparation est donc de 33 + 4 = 37 minutes.
La commande a été passée à 19 heures 30.
Par conséquent, cette commande être servie au plus tôt à 20 heures 07.

6 points

exercice 3

Partie A

{\red{1.\ }}\ g(x)=x\times f(x) \\\phantom{{\red{1.\ }}\ g(x)}=x\times (-0,6x^2-0,3x+190)  \\\\\Longrightarrow\boxed{g(x)=-0,6x^3-0,3x^2+190x}

2.  Graphiquement, nous pouvons lire que le plus gros chiffre d'affaires est atteint pour un prix unitaire d'environ 10,1 euros.

Bac STHR Métropole 2019 : image 13


3.  Résolvons l'équation -1,8x 2 - 0,6x  + 190 = 0.

\text{Discriminant : }\ \Delta=(-0,6)^2-4\times(-1,8)\times190=0,36+1368=1368,36>0 \\\\\text{Racines :}\ x_1=\dfrac{0,6-\sqrt{1368,36}}{2\times(-1,8)}=\dfrac{0,6-\sqrt{1368,36}}{-3,6}\approx10,11 \\\\\phantom{ \text{Racines :}\ }x_2=\dfrac{0,6+\sqrt{1368,36}}{2\times(-1,8)}=\dfrac{0,6+\sqrt{1368,36}}{-3,6}\approx-10,44

Par conséquent, l'ensemble des solutions de cette équation est  S=\lbrace\dfrac{0,6+\sqrt{1368,36}}{-3,6}\,;\dfrac{0,6-\sqrt{1368,36}}{-3,6}\rbrace , soit en arrondissant les valeurs au centième,  \boxed{S=\lbrace-10,44\,;10,11\rbrace}

4.  Etudions les variations de la fonction g  sur l'intervalle [8 ; 14].

Calcul de la dérivée g' (x ) en utilisant l'expression développée de g (x ) obtenue dans la question 1..

g'(x)=(-0,6x^3-0,3x^2+190x)' \\\phantom{g'(x)}=-0,6(x^3)'-0,3(x^2)'+190x' \\\phantom{g'(x)}=-0,6\times3x^2-0,3\times2x+190\times1 \\\phantom{g'(x)}=-1,8x^2-0,6x+190 \\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=-1,8x^2-0,6x+190}

Dressons le tableau de signes de g' (x ) sur l'intervalle [8 ; 14].

g'(x)=0\Longleftrightarrow-1,8x^2-0,6x+190=0 \\\phantom{g'(x)=0}\Longleftrightarrow x\approx-10,44\ \ \ \text{ou }\ \ \ x\approx10,11\ \ \ (\text{voir question 3.})

Le coefficient de x 2 du trinôme -1,8x 2 - 0,6x  + 190 est négatif.
D'où le trinôme -1,8x 2 - 0,6x  + 190 sera négatif pour les valeurs de x  extérieures aux racines et sera positif pour les valeurs de x  comprises entre les racines.
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de -1,8x 2 - 0,6x  + 190 sur R.

           \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-\infty&&\approx-10,44&&\approx10,11&&+\infty \\\hline&&&&&&&&\text{Signe de } -1,8x^2-0,6x+190&&-&0&+&0&-&&&&&&&&&\\\hline \end{array}
Par conséquent, le tableau de signes de g' (x ) sur l'intervalle [8 ; 14] est le suivant :

           \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&8&&\approx10,11&&14\\\hline&&&&&&\text{Signe de } g'(x)=-1,8x^2-0,6x+190&&+&0&-&&&&&&&\\\hline \end{array}

Nous obtenons alors le tableau de variations de la fonction g  sur l'intervalle [8 ; 14] :

           \underline{\text{Tableau de signes de }g'(x)\text{ et variations de }g}\\\\\ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&8&&\approx10,11&&14\\&&&&&\\\hline&&&&&\\ g'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&\approx g(10,11)&& \\ g(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &g(8)&&&&g(14) \\ \hline \end{array}

D'où la fonction g  admet un maximum sur l'intervalle [8 ; 14] pour x environegal 10,11.
Nous en déduisons que le chiffre d'affaires sera maximal si la pizza est vendue à 10,11 euros.
Par conséquent, le prix optimal d'une pizza est de 10,11 euros.

Partie B

Une enquête menée auprès de 2319 clients de cette pizzeria révèle que 1679 clients sont satisfaits de leur repas.

1.  La fréquence des clients de cette pizzeria satisfaits de leur repas est  f=\dfrac{1679}{2319}\approx0,724.

2.  a  Le propriétaire de cette pizzeria affirme que les trois quarts de ses clients sont toujours satisfaits de leur repas.
D'où p = 0,75.
Le nombre de clients s'élève à 2319.
D'où n = 2319.
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence des clients satisfaits est donné par  I_n=[p-\dfrac{\overset{.}{1}}{\sqrt{n}}\,;p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}]
\text{soit }\ I_{2319}=[0,75-\dfrac{1}{\sqrt{2319}}\,;0,75+\dfrac{1}{\sqrt{2319}}] \\\\\Longrightarrow\boxed{I_{2319}=[0,729\,;0,771]}

2. b.  Par la question 1, nous savons que la fréquence observée des clients de cette pizzeria satisfaits de leur repas est f  environegal 0,724.
Nous remarquons que  f\notin I_{2319}.
Par conséquent au risque de se tromper de 5%, l'affirmation du propriétaire doit être remise en cause.

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