Fiche de mathématiques
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Bac STI2D et STL spé SPCL

Nouvelle Calédonie novembre 2019

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Durée : 4 heures

Coefficient : 4



4 points

exercice 1

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exercice 2

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exercice 3

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exercice 4

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4 points

exercice 1

 {\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Proposition\ 1\ :\ }\text{la forme algébrique de }z_A\ \text{est }z_A=-1+1,7\text{i}.} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation fausse.}}}

Avec la précision permise par le graphique, nous pouvons observer que :
  le point A appartient à un cercle de rayon 2
  le disque centré en (0 ; 0) est divisé en 12 secteurs angulaires dont les angles ont des mesures (en radians) égales à  \dfrac{\overset{.}{2\pi}}{12}=\dfrac{\pi}{6}.
Dès lors, le module de zA est égal à 2 et un argument de zA est  \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{4\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3}.
Par conséquent,
z_A=2(\cos\dfrac{2\pi}{3}+\text{i}\sin\dfrac{2\pi}{3})=2(-\cos\dfrac{\pi}{3}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{3})=2(-\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2})=-1+\text{i}\sqrt{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_A=-1+\text{i}\sqrt{3}{\ \red{\neq-1+1,7\,\text{i}}}}

{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Proposition\ 2\ :\ }\text{elle a attendu en moyenne, au total, 258 heures et 20 minutes à l'arrêt de bus.}}}\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie.}}}

Le temps d'attente à l'arrêt de bus, en secondes, est modélisé par une variable aléatoire X  qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [120 ; 500].
Le temps d'attente moyen, en secondes, pour un trajet est donné par l'espérance mathématique,
soit  E[X]=\dfrac{\overset{.}{120}+500}{2}=310.
D'où, pour 3 000 trajets, le temps moyen d'attente est égale à 3 000 multiplie 3210 = 930 000 secondes.

930\,000\text{ s}=\dfrac{930\,000}{60}\text{ min}\Longrightarrow\boxed{930\,000\text{ s}=15\,500\text{ min}} \\\\15\,500\text{ min}=15\,480\text{ min}+20\text{ min} \\\\\phantom{WWW>.}=\dfrac{15\,480}{60}\text{ h}+20\text{ min} \\\\\Longrightarrow\boxed{15\,500\text{ min}=258\text{ h}+20\text{ min}}
Par conséquent, Mathilde a attendu en moyenne, au total, environ 258 heures et 20 minutes à l'arrêt de bus.

 {\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Proposition\ 3\ :\ }\text{le point C(12,1 ; 10,4) appartient à la droite (d)}.} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie.}}}

Déterminons une équation de la droite (d ) sous la forme y = ax  + b .

Coefficient directeur :  a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{5-3}{4-1}\Longrightarrow {\red{a=\dfrac{2}{3}}}
D'où l'équation de la droite (d ) est de la forme  y={\red{\dfrac{2}{3}}}x+b.
\text{Or }\ A(1\,;3)\in (d)\Longleftrightarrow 3=\dfrac{2}{3}\times1+b \\\phantom{\text{Or }\ A(1\,;3)\in (d)}\Longleftrightarrow b=3-\dfrac{2}{3} \\\phantom{\text{Or }\ A(1\,;3)\in (d)}\Longleftrightarrow {\blue{b=\dfrac{7}{3}}}
Dès lors, une équation de la droite (d ) est  y={\red{\dfrac{2}{3}}}x+{\blue{\dfrac{7}{3}}}

Calculons l'ordonnée du point de la droite (d ) dont l'abscisse est 12,1 en remplaçant x  par 12,1 dans l'équation de (d ).

\dfrac{2}{3}\times\boxed{12,1}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{24,2}{3}+\dfrac{7}{3} \\\\\phantom{WWWWWW.}=\dfrac{31,2}{3} \\\\\phantom{WWWWWW.}=\boxed{10,4}
Nous en déduisons que le point de coordonnées (12,1 ; 10,4) appartient à la droite (d ).
Par conséquent, la proposition 3 est vraie.

 {\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{Proposition\ 4\ :\ }\text{pour tout nombre réel }x>2,\ \text{on a }\ln(x^2-4)=\ln(x+2)+\ln(x-2).}}}\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie.}}}

x>2\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x+2>0\\x-2>0\end{matrix}\right.\Longrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}x+2>0\\x-2>0\\ (x+2)(x-2)>0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x+2>0\\x-2>0\\x^2-4>0\end{matrix}\right.

D'où, les expressions ln(x  + 2), ln(x  - 2) et ln(x 2 - 4) sont parfaitement définies.

\text{De plus, } \ln[(x^2-4)=\ln[(x+2)(x-2)]=\ln(x+2)+\ln(x-2).
Par conséquent, la proposition 4 est vraie.

4 points

exercice 2

Partie A

La quantité de déchets, en litres, laissée chaque semaine de la saison estivale par les usagers sur un kilomètre de plage est modélisée par une variable aléatoire X  qui suit la loi normale  \mathscr{N}(7\,;\,1,5).

1.  L'espérance mathématique de la variable X est donc égale à 7.
D'où, le volume moyen de déchets ramassés en une semaine sur un kilomètre de plage est égal à 7 litres.

2.  D'une part, la courbe représentant la fonction de densité de la loi normale  \mathscr{N}(7\,;\,1,5) est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation x  = 7.
D'où les courbes 3 et 4 sont à rejeter.

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D'autre part nous savons que  P(\mu-3\sigma\le X\le \mu+3\sigma)\approx0,9973.

\text{Or }\ P(\mu-3\sigma\le X\le \mu+3\sigma)\approx0,9973\Longleftrightarrow P(7-3\times1,5\le X\le7+3 \times1,5)\approx0,9973 \\\phantom{\text{Or }\ P(\mu-3\sigma\le X\le \mu+3\sigma)\approx0,9973}\Longleftrightarrow {\red{P(2,5\le X\le11,5)\approx0,9973}}

Par conséquent, parmi les courbes 1 et 2, seule la courbe 2 correspond à ces critères.

3.  Nous devons déterminer P (4 infegal X  infegal 10).

P(4\le X\le10)=P(7 - 3\le X\le7+3) \\\phantom{P(4\le X\le10)}=P(7 - 2\times1,5\le X\le7+2\times1,5) \\\phantom{P(4\le X\le10)}=P(\mu - 2\sigma\le X\le\mu+2\sigma) \\\phantom{P(4\le X\le10)}\approx0,9545 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(4\le X\le10)\approx 0,95 }
D'où, la probabilité que le volume de déchets sur 1 km de plage soit compris entre 4 et 10 litres est environ égale à 0,95.

4. a.  Nous devons calculer P(X\ge5).
La variable aléatoire X  suit la loi normale de moyenne mu = 7.
Nous savons que  P(X>\mu)=0,5 , soit que  P(X>7)=0,5.

\text{Dès lors, }\ P(X\ge5)=P(5\le X\le7)+P(X\ge7)\Longleftrightarrow P(X\ge5)=P(5\le X\le7)+0,5

Or, par la calculatrice, nous obtenons : P(5\le X\le7)\approx0,40878878

D'où   P(X\ge5)\approx0,5+0,408788878\Longrightarrow\boxed{P(X\ge5)\approx0,91}

4. b.  La probabilité que le volume de déchets sur 1 km de plage soit supérieur à 5 litres est environ égale à 0,91 (valeur arrondie au centième).

Partie B

Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I2200  au seuil de 95 % de la fréquence des personnes qui n'abandonnent jamais de déchets sur la plage dans un échantillon de 2200 personnes prises au hasard.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=2200\ge30 \\ p=0,98\Longrightarrow np=2200\times0,98=2156>5 \\n(1-p)= 2200\times(1-0,98)= 2200\times0,02=44>5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I2200  au seuil de 95% est :

I_{2200}=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98 (1-0,98)}{2200}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98 (1-0,98)}{2200}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{2200}\approx[0,974;0,986]}

Les relevés des bénévoles ont révélé que, parmi 2200 personnes, 135 ont laissé un ou plusieurs déchets sur la plage, ce qui revient à dire que parmi les 2200 personnes, 2065 d'entre elles n'abandonnent pas de déchets sur la plage.
La fréquence observée des personnes n'ayant pas abandonné de déchets sur la plage est  \overset{.}{\boxed{f=\dfrac{2065}{2200}\approx0,939}}
Nous remarquons que  f\notin I_{2200}.
Par conséquent au risque de se tromper de 5%, les relevés sont en contradiction avec les résultats du sondage.

6 points

exercice 3

Partie A

1.  Résoudre sur [0 ; 48]  l'équation différentielle  (E):y'=0,02y.
La solution générale d'une équation différentielle de la forme  y'=ay+b  est  y=k\,\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).
Dans ce cas, a = 0,02 et b = 0.
D'où la solution générale de l'équation (E ) est de la forme  f(t)=k\,\text{e}^{0,02t}-\left(\dfrac{0}{0,02}\right)
soit  \boxed{f(t)=k\,\text{e}^{0,02t}\ \ \ \ \ (k\in\R)}

2.  Dans une cuve, les chercheurs ont introduit 3 000 bactéries à l'instant t  = 0.

f(0)=3000\Longleftrightarrow k\,\text{e}^{0,02\times0}=3000 \\\phantom{f(0)=3000}\Longleftrightarrow k\,\text{e}^{0}=3000 \\\phantom{f(0)=3000}\Longleftrightarrow\boxed{ k=3000} \\\\\text{D'où }\ \boxed{f(t)=3000\,\text{e}^{0,02t}\ \ \ \ \text{avec }t\in[0\,;48]}

3.  Nous devons résoudre l'équation f (t ) = 6000.

f(t)=6000\Longleftrightarrow3000\,\text{e}^{0,02t}=6000 \\\phantom{f(t)=6000}\Longleftrightarrow\text{e}^{0,02t}=\dfrac{6000}{3000} \\\\\phantom{f(t)=6000}\Longleftrightarrow\text{e}^{0,02t}=2 \\\phantom{f(t)=6000}\Longleftrightarrow0,02t=\ln(2) \\\\\phantom{f(t)=6000}\Longleftrightarrow t=\dfrac{\ln(2)}{0,02} \\\\\phantom{f(t)=6000}\Longleftrightarrow \boxed{t\approx34,657}

Or 34,657 heures = 34 h + 0,657 h
                                         = 34 h + 0,657 multiplie 60 min
                                         environegal 34 h + 39 min
Par conséquent, le nombre de bactéries aura doublé au bout de 34 h 39 min.

Partie B

Soit la suite (un ) définie par  \left\lbrace\begin{matrix}u_0=7800\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\u_{n+1}=0,95u_n+1500\ \ \ \ \ \ \ (n\in\N)\end{matrix}\right.

{\red{1.\ }}\ u_1=0,95u_0+1500 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ u_1}=0,95\times7800+1500 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=8910} \\\\u_2=0,95u_1+1500 \\\phantom{u_2}=0,95\times8910+1500 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=9964,5}

2. a)  Algorithme complété :

          \begin{array}{|c|}\hline u\longleftarrow7\,800\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\n\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que  }{\red{u\le20\,000\ \ \text{faire}}} \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ u\longleftarrow {\red{0,95\times u+1\,500}}\\n\longleftarrow {\red{n+1}}\ \ \ \ \  \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}

2. b)  Après exécution de l'algorithme, nous obtenons n  = 16.

Interprétation : Après exécution de l'algorithme, nous avons :  u_{16}>20\,000.
Or un  représente le nombre de bactéries présentes dans la cuve le nième  jour après le deuxième jour de la mise en culture.
Par conséquent, le nombre de bactéries dépasse 20 000 après le 18ième jour.

3.  Soit (vn ) la suite définie pour tout entier n  supegal 0 par vn  = un  - 30 000.

{\red{3.\ a)\ }}v_0=u_0-30\,000 \\\phantom{{\red{3.\ a)\ }}v_0}=7\,800-30\,000 \\\phantom{{\red{3.\ a)\ }}v_0}=-22\,200 \\\\\Longrightarrow\boxed{v_0=-22\,200}

3. b)  L'énoncé admet que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q  = 0,95.
Le terme général de la suite (vn ) est  v_n=v_0\times q^{n} .
Donc, pour tout n  supegal 0,  \overset{.}{\boxed{v_n=-22\,200\times0,95^{n}}}

{\red{3.\ c)\ }}v_{n}=u_{n}-30\,000\Longleftrightarrow u_n=30\,000+v_n \\\overset{\frac{}{}}{\text{Or }\ v_n=-22\,200\times0,95^n} \\\overset{\frac{}{}}{\Longrightarrow\boxed{ u_n=30\,000-22\,200\times0,95^n}}

{\red{3.\ \text{d)}}}\ \ 0<0,95<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}0,95^{n}=0\\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d.}}}\ \ 0<0,95<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\overset{}{-22\,200\times0,95^{n}}\right)=0 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d.}}}\ \ 0<0,95<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\overset{}{30\,000-22\,200\times0,95^{n}}\right)=30\,000 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d.}}\ \ 0<0,95<1}}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=30\,000}
A très long terme, nous pouvons prévoir que le nombre de bactéries présentes dans la cuve sera d'environ 30 000.

6 points

exercice 4

Partie A

1.  Un navire comme le Manta  est capable de collecter 35 tonnes de déchets plastiques par jour, soit 365 multiplie 35 = 12 775 tonnes par an.

\dfrac{8\,000\,000}{12\,775}\approx626,2
D'où il faudrait au minimum 627 navires comme le Manta pour collecter cette masse de déchets plastiques en un an.

2.  Nous savons qu'un navire comme le Manta  est capable de collecter 12 775 tonnes de déchets plastiques par an.
Donc 700 navires comme le Manta  sont capables de collecter 700 multiplie 12 775 = 8 942 500 tonnes de déchets plastiques par an.

\dfrac{450\,000\,000}{8\,942\,500}\approx50,3
D'où il faudrait au minimum 51 ans pour collecter cette masse de déchets plastiques.

Partie B

1. a.  La fonction F est dérivable sur l'intervalle [0 ; 25] comme somme de deux fonctions dérivables sur l'intervalle [0 ; 25].

F'(x)=[-200\,\text{e}^{-0,15x}+18x]'=\left(-200\,\text{e}^{-0,15x}\right)'+(18x)' \\\\\phantom{F'(x)}=-200\times(-0,15x)'\,\text{e}^{-0,15x}+18=-200\times(-0,15)\,\text{e}^{-0,15x}+18 \\\\\phantom{F'(x)}=30\,\text{e}^{-0,15x}+18=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=f(x)\ \ \ \ \ \ \text{avec }x\in[0\,;25]}
Par conséquent, la fonction F  est une primitive de f  sur [0 ; 25].

{\red{1.\ \text{b. }}}\ I=\int\limits_0^{25}f(x)\,dx=\left[\overset{}{-200\,\text{e}^{-0,15x}+18x}\right]\limits_0^{25} \\\\\phantom{{\red{1.\ \text{b. }}}\ I}=\left[\overset{}{-200\,\text{e}^{-0,15\times25}+18\times25}\right]-\left[\overset{}{-200\,\text{e}^{-0,15\times0}+18\times0}\right] \\\\\phantom{{\red{1.\ \text{b. }}}\ I}=\left[\overset{}{-200\,\text{e}^{-3,75}+450}\right]-\left[\overset{}{-200\times1+0}\right] \\\\\phantom{{\red{1.\ \text{b. }}}\ I}=-200\,\text{e}^{-3,75}+450+200 \\\\\phantom{{\red{1.\ \text{b. }}}\ I}=-200\,\text{e}^{-3,75}+650 \\\\\Longrightarrow\boxed{I=\int\limits_0^{25}f(x)\,dx=650-200\,\text{e}^{-3,75}\approx645,30}

2. a.  Déterminons une primitive G  de la fonction g définie par  g(x)=-0,03x^2+15  sur [0 ; 25].

G(x)=-0,03\times\dfrac{x^3}{3}+15x \\\\\Longrightarrow\boxed{G(x)=-0,01x^3+15x}

{\red{2.\ \text{b. }}}\ J=\int\limits_0^{25}g(x)\,dx=\left[\overset{}{-0,01x^3+15x}\right]\limits_0^{25} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ I}=\left[\overset{}{-0,01\times25^3+15\times25}\right]-\left[\overset{}{-0,01\times0^3+15\times0}\right] \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ I}=-156,25+375-0 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ I}=218,75 \\\\\Longrightarrow\boxed{J=\int\limits_0^{25}g(x)\,dx=218,75}

3.  L'aire en m² de la zone 3 est donnée par I  - J .

I-J\approx645,30-218,75\Longrightarrow\boxed{I-J\approx426,55}
D'où, l'aire de la zone 3 est d'environ 426,55 m2.

4.  Déterminons l'aire totale des panneaux solaires.

\text{Aire}_{\text{ Rectangle ABCD}}=AB\times BC = 35 \times 2 = 70\ \text{m}^2. \\\\\text{Aire}_{\text{ Trapèze PQRS}}=\dfrac{(PQ+RS)\times RQ}{2} = \dfrac{(6 +18,7)\times7,2}{2}= 88,92\ \text{m}^2. \\\\\text{Aire}_{\text{ Zone 3}}\approx426,55\ \text{m}^2. \\\\\text{Or }\ 70+88,92+426,55= 585,47
D'où l'aire totale des panneaux solaires sur le flanc droit du navire est d'environ 585,47 m2.
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