Fiche de mathématiques
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Bac STMG Métropole 2019

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Durée : 3 heures

Coefficient : 3

4 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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4 points

exercice 3

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7 points

exercice 4

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Annexe

à rendre avec la copie

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4 points

exercice 1

1.  Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation :
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2.  Nous devons calculer P (B ).

P(B)=P(T\cap B) \\\phantom{P(B)}=P(T)\times P_T(B) \\\phantom{P(B)}=0,3\times 0,1 \\\phantom{P(B)}=0,03 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(B)=0,03}
D'où la probabilité que le touriste gagne un bon de réduction de 150 euros sur un prochain séjour en ville est égale à 0,03.

3.  Nous devons calculer P (L ).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(L)= P(P\cap L)+P(T\cap L) \\\phantom{P(L)}=P(P)\times P_P(L)+P(T)\times P_T(L)\\\phantom{P(L)}=0,7\times0,2+0,3\times0,9\\\phantom{P(L)}=0,41 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(L)=0,41}
Par conséquent, la probabilité que le touriste gagne un panier de produits locaux est égale à 0,41.

4.  Nous devons calculer P_L(T).

P_L(T)=\dfrac{P(T\cap L)}{P(L)} \\\\\phantom{P_L(T)}=\dfrac{P(T)\times P_T(L)}{P(L)} \\\\\phantom{P_L(T)}=\dfrac{0,3\times 0,9}{0,41} =\dfrac{0,27}{0,41} =\dfrac{27}{41} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_L(T)=\dfrac{27}{41}}
Par conséquent, sachant qu'un touriste a gagné un panier de produits locaux à la seconde étape de la loterie, la probabilité qu'il ait gagné un tee-shirt lors de sa première étape est égale à \dfrac{27}{41}.

5 points

exercice 2

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la masse d'EMPCS recyclés entre 2011 et 2016.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&&&&&&&\text{Année}&\ \ 2011\ \ &\ \ 2012\ \ \ \ &\ \ 2013\ \ &\ \ 2014\ \ &\ \ 2015\ \ &\ \ 2016\\&&&&&&\\\hline&&&&&&&\text{Masse d'EMPCS recyclés}& 229&243&250&256&266&282\\&&&&&&\\\hline \end{array}

1.  Le taux d'évolution global en pourcentage de la masse d'EMPCS recyclés entre l'année 2011 et l'année 2016 est donné par le calcul suivant : \overset{.}{\dfrac{\text{Valeur en 2016}-\text{Valeur en 2011}}{\text{Valeur en 2011}}\times100}=\dfrac{282-229}{229}\times100\approx23

Donc entre l'année 2011 et l'année 2016, la masse d'EMPCS recyclés a augmenté d'environ 23 % (arrondi à l'unité).

2.  En utilisant la réponse de l'exercice 1, nous déduisons que le coefficient multiplicateur global Cg pour la période allant de l'année 2011 à l'année 2016 est Cg = 1 + 0,23 = 1,23.
Puisque 5 années se sont écoulées entre 2011 et 2016, le coefficient multiplicateur annuel moyen est \overset{.}{C_m=1,23^{\frac{1}{5}}\approx1,0423} (valeur arrondie au dix-millième).
Le taux d'évolution annuel moyen est égal à C_m-1=0,0423 (valeur arrondie au dix-millième).

Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen (en pourcentage) de la masse d'EMPCS recyclés entre l'année 2011 et l'année 2016 est environ égal à 0,0423 multiplie 100 = 4,23 % (arrondi au centième).

Nous faisons l'hypothèse qu'à partir de 2016, le taux d'évolution annuel de la masse d'EMPCS recyclés est constant et égal à 4,2 %.

3.  Chaque année, à partir de 2016, la masse d'EMPCS recyclés augmente de 4,2 %.
Une augmentation de 4,2 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,042 = 1,042.
D'où, pour tout entier n supegal 0, u n +1 = 1,042 multiplie un .
Par conséquent, la suite (un ) est une suite géométrique de raison q  = 1,042 et dont le premier terme est u 0 = 282.

4.  Le terme général de la suite (un ) est  u_n=u_0\times q^{n} .
Donc, pour tout n  supegal 0,  \overset{.}{\boxed{u_n=282\times1,042^{n}}}

5.  Le rang correspondant à l'année 2019 est n  = 3 car 2019 = 2016 + 3.
D'où  \overset{.}{u_3=282\times1,042^3\Longrightarrow\boxed{u_3\approx319}\ \ \ \ (\text{arrondi à l'unité})}
Par conséquent, en 2019, la masse d'EMPCS recyclés est estimée à environ 319 000 tonnes.

6.  Puisque la masse d'EMPCS recyclés au cours de l'année 2016 est de 282 milliers de tonnes, nous devons déterminer le rang de l'année à partir de laquelle cette masse sera au moins égale à 2 multiplie 282 milliers de tonnes, soit à 564 milliers de tonnes.

Algorithme complété :

        \begin{array}{|c|}\hline N\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\U\longleftarrow282\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que  }U\,{\red{<564}}\ \ \text{faire}\  \\N\longleftarrow N+1\\\ \ \ \ \ \ U\longleftarrow\,{\red{1,042\times U}} \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}

4 points

exercice 3

1.  Nous devons calculer P (X > 53).

P(X>53)=1-P(X\le53) \\\phantom{P(X>53)}=1-0,16 \\\phantom{P(X>53)}=0,84 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X>53)=0,84}
D'où, la probabilité qu'un oeuf ne soit pas classé dans la catégorie "Petit" est égale à 0,84.

2. Nous devons calculer P (53 infegal X  infegal60).

La variable aléatoire X  suit la loi normale de moyenne mu = 60.
Nous savons que  \overset{.}{P(X\le\mu)=0,5}, soit que  \overset{.}{\boxed{P(X\le60)=0,5.}}
\text{Dès lors, }P(53\le X \le60)=P(X\le60)-P(X<53) \\\phantom{\text{Dès lors, }P(53\le X \le60)}=0,5-0,16 \\\phantom{\text{Dès lors, }P(53\le X \le60)}=0,34 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(53\le X \le60)=0,34}

3.  Les oeufs de poule sont classés dans la catégorie "Moyen" si la masse est comprise entre 53 g et 63 g.
Nous devons donc calculer P (53 infegal X  infegal 63).

P(53\le X\le63)=P(53\le X\le60)+P(60\le X\le63) \\\phantom{P(53\le X\le63)}=0,34+0,17 \\\phantom{P(53\le X\le63)}=0,51 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(53\le X\le63)=0,51}
Par conséquent, la probabilité qu'un oeuf soit classé dans la catégorie "Moyen" est égale à 0,51.

4.  Les oeufs de poule sont classés dans la catégorie "Très gros" si la masse est supérieure à 73 g.
Nous devons donc calculer P (X  supegal 73).

P(X\le60)+P(60\le X\le 63)+P(63\le X\le73)+P(X\ge73)=1 \\\\\Longrightarrow P(X\ge73)=1-\left[\overset{}{P(X\le60)+P(60\le X\le 63)+P(63\le X\le73)}\right] \\\phantom{\Longrightarrow P(X\ge73)}=1-\left(\overset{}{0,5+0,17+0,3}\right) \\\phantom{\Longrightarrow P(X\ge73)}=0,03 \\\\\Longrightarrow \boxed{P(X\ge73)=0,03}
Par conséquent, la probabilité qu'un oeuf soit classé dans la catégorie "Très gros" est égale à 0,03.

7 points

exercice 4

Partie A : Etude du chiffre d'affaires du e-commerce

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d'affaire du e-commerce entre 2011 et 2017.

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Année}&\ \ 2011\ \ &\ \ 2012\ \ \ \ &\ \ 2013\ \ &\ \ 2014\ \ &\ \ 2015\ \ &\ \ 2016\ \ &\ \ 2017\\\hline&&&&&&&&\text{Rang de l'année : }{\red{x_i}} & 1&2&3&4&5&6&7\\& &&&&&&\\\hline&&&&&&&\\\text{Chiffre d'affaires du e-commerce }&36,5&43,6&49,5&55,0&62,9&71,5&81,7\\\text{(en milliards d'euros) : }{\red{y_i}}& &&&&&&\\\hline \end{array}

1.  L'équation réduite de la droite (D ) d'ajustement affine de y  en x  est  de la forme y  = ax  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a  = 7,31 et b  = 27,99.
Donc l'équation réduite de la droite d'ajustement affine de y  en x  est y  = 7,31x  + 27,99.

2.  Dans la suite, nous choisirons la droite D  d'équation y  = 7,3x  + 28 comme ajustement affine du nuage de points.
Bac STMG Métropole 2019 : image 12


3.  En 2026, le rang de l'année est égal à 16.

Solution graphique (approximative) :
Graphiquement, nous observons que le point de la droite (D ) dont l'abscisse est 16 possède une ordonnée égale à environ 145.
Donc, nous pouvons estimer graphiquement qu'en 2026 le chiffre d'affaires du e-commerce en France sera d'environ 145 milliards d'euros.

Solution algébrique :
Remplaçons x  par 16 dans l'équation de la droite (D ).
y  = 7,3 multiplie 16 + 28 = 144,8.
Par conséquent, d'après ce modèle, nous pouvons estimer qu'en 2026 le chiffre d'affaires du e-commerce en France s'élèvera à 144,8 milliards d'euros.

Partie B : Etude du chiffre d'affaires du m-commerce

Le tableau ci-dessous est un extrait donnant les chiffres d'affaire du e-commerce et du m-commerce entre 2011 et 2017.

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &A&B&C&D&E&F&G&H\\\hline1&\text{Année}&\ \ 2011\ \ &\ \ 2012\ \ \ \ &\ \ 2013\ \ &\ \ 2014\ \ &\ \ 2015\ \ &\ \ 2016\ \ &\ \ 2017\\\hline&&&&&&&&\\2&\text{Chiffre d'affaires du e-commerce }&36,5&43,6&49,5&55,0&62,9&71,5&81,7\\&\text{(en milliards d'euros) }& &&&&&&\\&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&\\3&\text{Chiffre d'affaires du m-commerce }&0,4&1,0&2,2&4,5&7,0&11,2&16,8\\&\text{(en milliards d'euros) }& &&&&&&\\&&&&&&&&\\\hline \end{array}

1. a.  La part en pourcentage du chiffre d'affaires du m-commerce dans celui du e-commerce en 2017 se calcule par  \overset{.}{\dfrac{16,8}{81,7}\times100\approx21\,\%.}
D'où, en 2017, le chiffre d'affaires du m-commerce représentait environ 21 % du chiffre d'affaires du e-commerce.

1. b.  Le taux d'évolution global en pourcentage du chiffre d'affaires du m-commerce entre l'année 2011 et l'année 2017 est donné par le calcul suivant :
           \overset{.}{\dfrac{\text{Valeur en 2017}-\text{Valeur en 2011}}{\text{Valeur en 2011}}\times100}=\dfrac{16,8-0,4}{0,4}\times100=4700
D'où entre l'année 2011 et l'année 2017, le chiffre d'affaires du m-commerce a augmenté de 4700 %. Ce chiffre d'affaires n'a donc pas augmenté de 47 %.

2.  Soit f  la fonction définie sur R par  f(x)=0,5x^2-1,2x+1,3

  Le chiffre d'affaires du m-commerce en 2026 se calcule par f (16).
\overset{.}{f(16)=0,5\times16^2-1,2\times16+1,3=110,1.}
Donc, en 2026, le chiffre d'affaires du m-commerce est estimé à 110,1 milliards d'euros.

  Nous avons montré dans la question 3 de la Partie A qu'en 2026, le chiffre d'affaires du e-commerce est estimé à 144,8 milliards d'euros.

La part du chiffre d'affaires du m-commerce dans celui du e-commerce en 2017 se calcule par \overset{.}{\dfrac{110,1}{144,8}\times100\approx76\,\%.}
Cette part dépasse 70 %.
Par conséquent, en 2026, la part du chiffre d'affaires du m-commerce dans celui du e-commerce aura dépassé 70 %, comme l'indique un observateur économique de façon pertinente.
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