Fiche de mathématiques
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Bac STMG Nouvelle Calédonie

Novembre 2019

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Durée : 3 heures

Coefficient : 3



5 points

exercice 1

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6 points

exercice 2

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5 points

exercice 3

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4 points

exercice 4

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Annexe à rendre avec la copie




exercice 3


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Bac STMG Nouvelle Calédonie Novembre 2019

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5 points

exercice 1

Partie A

1.  Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation :
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2. a.  L'événement  H\cap A  peut se traduire par : "le client est un homme ayant choisi la formule A ".

2. b.  Nous devons déterminer  p(H\cap A).

p(H\cap A)=p(H)\times p_H(A) \\\phantom{p(H\cap A)}=0,43\times0,13 \\\phantom{p(H\cap A)}=0,0559 \\\\\Lpongrightarrow\boxed{p(H\cap A)=0,0559}

3.  Nous devons déterminer p (A ).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(A)= p(F\cap A)+p(H\cap A) \\\phantom{p(A)}=p(F)\times p_F(A)+0,0559\ \\\phantom{p(A)}=0,57\times0,62+0,0559 \\\phantom{p(A)}=0,3534+0,0559 \\\phantom{p(A}=0,4093 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(A)=0,4093}
D'où la probabilité que le client ait choisi la formule A est égale à 0,4093.

4.  Nous devons déterminer  p_A(H)

p_A(H)=\dfrac{p(H\cap A)}{p(A)} \\\\\phantom{p_A(H)}=\dfrac{0,0559}{0,4093} \\\\\phantom{p_A(H)}\approx0,1366\\\\\Longrightarrow\boxed{p_A(H)\approx0,1366}
Par conséquent, sachant que le client a choisi la formule A, la probabilité que ce soit un homme est environ égale à 0,1366.

Partie B

La direction estime que sur l'ensemble des salles, la proportion de clients abonnés depuis plus de 12 mois consécutifs est p  = 0,77.
Le nombre de clients s'élève à 400.
D'où n = 400.
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est donné par  I_n=[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}]
\text{soit }\ I_{400}=[0,77-\dfrac{1}{\sqrt{400}}\,;0,77+\dfrac{1}{\sqrt{400}}] \\\\\Longrightarrow\boxed{I_{400}=[0,72\,;0,82]}

2. a.  La fréquence observée des clients restant abonnés depuis plus de 12 mois consécutifs est  \overset{.}{\boxed{f=\dfrac{280}{400}=0,7}}

2. b.  Nous remarquons que  f\notin I_{400}.
Par conséquent au risque de se tromper de 5%, la responsable peut penser que cette salle est moins attractive que les autres salles de la chaîne.

6 points

exercice 2

Représentations graphiques des fonctions C  et R  dans un repère orthogonal.

                
Bac STMG Nouvelle Calédonie Novembre 2019  : image 18


1. a.  Par lecture graphique, nous voyons que le point A de la droite dont l'abscisse vaut 4 a une ordonnée égale à 600.
D'où le chiffre d'affaires réalisé pour la vente de 4 hectolitres est égal à 6 000 euros.

1. b.  Nous observons sur le graphique que le point de la courbe dont l'abscisse vaut 4 a une ordonnée égale à 200.
D'où le coût de fabrication de 4 hectolitres s'élève à 2 000 euros.

1. c.  Le bénéfice réalisé est la différence entre le chiffre d'affaires et le coût de fabrication.
6 000 - 2 000 = 4 000.
Donc le bénéfice réalisé pour la vente de 4 hectolitres est de 4 000 euros.

1. d.  Le bénéfice de 4 000 euros se visualise sur le graphique par les 400 unités représentées en rouge, représentant la distance séparant les points de la courbe et de la droite d'abscisse 4.
Nous voyons clairement sur ce graphique que la distance séparant les points de la courbe et de la droite d'abscisse 7 est supérieure à 400.
Par conséquent, le bénéfice pour la production et la vente de 4 hectolitres n'est pas maximal.

2.  Le bénéfice sera strictement positif lorsque le chiffre d'affaire est supérieur au coût de fabrication.
Graphiquement, cette situation se visualise lorsque la droite est située au-dessus de la courbe.
Dès lors, nous pouvons observer que le bénéfice sera strictement positif pour les abscisses comprises entre 0,6 et 11,1.
Par conséquent, pour réaliser des profits, l'entreprise doit produire un nombre d'hectolitres appartenant à l'intervalle ]0,6 ; 11,1[.

3.  La droite représentant la fonction R  passe par l'origine du repère.
L'expression de R (x ) est donc de la forme R (x ) = ax .
Or cette droite passe par le point A de coordonnées (4 ; 600).
Donc R(4)=600 equivaut a multiplie 4 = 600 equivaut a = 150.
Par conséquent, l'expression de R (x ) est  \boxed{R(x)=150x}

4.  Soit  B(x)=-2x^3+15x^2+84x-50\ \ \ \ \ \ \ \text{avec }\ x\in[0\,;12]

4. a.  Calcul de la dérivée B' (x ).

B'(x)=-2(x^3)'+15(x^2)'+84x'-50' \\\phantom{B'(x)}=-2\times3x^2+15\times2x+84-0 \\\phantom{B'(x)}=-6x^2+30x+84 \\\\\Longrightarrow\boxed{B'(x)=-6x^2+30x+84}

4.  b.  Résoudre l'équation -6x 2 + 30x  + 84 = 0.

-6x^2+30x+84=0\Longleftrightarrow-6(x^2-5x-14)=0 \\\phantom{-6x^2+30x+84=0}\Longleftrightarrow x^2-5x-14=0
Résoudre l'équation -6x 2 + 30x  + 84 = 0 revient donc à résoudre l'équation x 2 - 5x - 14 = 0.

\text{Discriminant : }\Delta=(-5)^2-4\times1\times(-14)=25+56=81>0 \\\\\text{Racines :}\ x_1=\dfrac{5-\sqrt{81}}{2}=\dfrac{5-9}{2}=-2 \\\phantom{Racines .}\ x_2=\dfrac{5+\sqrt{81}}{2}=\dfrac{5+9}{2}=7
Par conséquent, l'ensemble S  des solutions de l'équation -6x 2 + 30x  + 84 = 0 est S  = {-2 ; 7}.

4. c.  Etude du signe du trinôme -6x 2 + 30x  + 84 sur R.
Le coefficient de x 2 est négatif.
D'où le trinôme sera négatif pour les valeurs de x  extérieures aux racines et sera positif pour les valeurs de x  comprises entre les racines.
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de -6x 2 + 30x  + 84 sur R.

           \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-\infty&&-2&&7&&+\infty \\\hline\text{Signe de } -6x^2+30x+84&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction B  dans l'intervalle [0 ; 12].

\text{Calculs préliminaires : }\ B(0)=-2\times0^3+15\times0^2+84\times0-50=-50 \\\phantom{WWWWW...WWWW}B(7)=-2\times7^3+15\times7^2+84\times7-50=587 \\\phantom{WWWWW...WWWW}B(12)=-2\times12^3+15\times12^2+84\times12-50=-338 \\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&7&&12 \\\hline&&&&&&\text{Signe de } B'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&587&&\\\text{Variations de } B&&\nearrow&&\searrow&\\&-50&&&&-338\\\hline \end{array}

4. d.  En nous basant sur le tableau de variations de la fonction B , nous déduisons que le bénéfice est maximal pour 7 hectolitres de désinfectant produits et vendus.
Ce bénéfice s'élève alors à 5 870 euros.


5 points

exercice 3

La fréquentation d'un parc animalier français depuis l'année 2010 est donnée dans la feuille de calcul ci-dessous, où le nombre de visiteurs est exprimé en milliers.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}\\\hline 1&\text{Année} &2010&2011&2012&2013&2014&2015\\\hline \text{2}&\text{Rang de l'année : }x_i&0&1&2&3&4&5\\\hline 3&\text{Nombre de visiteurs (en milliers) : }y_i&530&600&1\,002&910&912&1\,099\\\hline 4&\text{Taux d'évolution annuel (en }\%)&\cellcolor{black}{}&13,2&&&&\\\hline\end{array}

Partie A

1.  La formule à saisir dans la cellule C4 qui, par recopie vers la droite, permet de compléter la ligne 4 est  =(C3 - B3)/B3

2.  Le coefficient multiplicateur global Cg  de l'évolution pour la période allant de l'année 2010 à l'année 2015 est  C_g=\dfrac{1\,099}{530}\approx2,073584906..
Puisque 5 années se sont écoulées entre 2010 et 2015, le coefficient multiplicateur annuel moyen est  \overset{.}{C_m=2,073584906^{\frac{1}{5}}\approx1,1570}  (valeur arrondie au dix-millième).
Le taux d'évolution annuel moyen est égal à   C_m-1=0,1570  (valeur arrondie au dix-millième).

Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen (en pourcentage) entre 2010 et 2015
est égal à 0,1570 multiplie 100 = 15,7 %.


Partie B

1.  L'équation réduite de la droite d'ajustement affine de y  en x  est  de la forme y  = ax  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a  = 105,4 et b  = 578,66666....
Donc l'équation réduite de la droite d'ajustement affine de y  en x  est y  = 105,4x  + 578,67 (les coefficients sont réduits au centième).

2.  Dans la suite, nous choisirons la droite D  d'équation y  = 105x  + 579 comme ajustement affine du nuage de points.

2. a.  Représentation de la droite D .
Déterminons les coordonnées de deux points de la droite D .
Remplaçons x  par 0 dans l'équation de la droite D .
y  = 105 multiplie 0 + 579 = 579.
Remplaçons x  par 5 dans l'équation de la droite D .
y  = 105 multiplie 5 + 579 = 1 104.
Par conséquent, les points de coordonnées (0 ; 579) et (5 ; 1 104) appartient à la droite D  que nous avons tracée ci-dessous sur le repère donné.

          
Bac STMG Nouvelle Calédonie Novembre 2019  : image 19


2. b.  En 2019, le rang de l'année est égal à 9.

Solution graphique (approximative) :
Graphiquement, nous observons que le point de la droite D  dont l'abscisse est 9 possède une ordonnée égale à environ 1525.
Donc, nous pouvons estimer graphiquement qu'en 2019, il y aura environ 1 525 000 visiteurs dans ce parc animalier.

Solution algébrique :
Remplaçons x  par 9 dans l'équation de la droite D .
y  = 105 multiplie 9 + 579 = 1 524.
Par conséquent, d'après ce modèle, nous pouvons estimer qu'en 2019, il y aura 1 524 000 visiteurs dans ce parc animalier.

Partie C

Pour tout entier naturel n , on note vn  le nombre de visiteurs, en milliers, de l'année 2015 + n  avec v 0 = 1099.
On suppose dans cette partie que le nombre de visiteurs dans le parc animalier augmente chaque année de 15,7 % à partir de 2015.

1.  Une augmentation de 15,7 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,157 = 1,157.
En 2016, la valeur de n  est 1 puisque 2016 = 2015 + 1.
D'où  v_1=1099\times1,157=1271,543
Par conséquent, en 2016, le nombre de visiteurs s'élève à environ 1272.

2.  On note vn  le nombre de visiteurs, en milliers, de l'année 2015 + n .
Une augmentation de 15,7 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,157 = 1,157.
Le nombre de visiteurs (en milliers) v n +1  de l'année "2015 + (n +1)" se calcule donc comme suit :
 \boxed{v_{n+1}=1,157\times v_n}.

Par conséquent, la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q  = 1,157 dont le premier terme
est v 0 = 1099.


3.  Le terme général de la suite (vn ) est  v_n=v_0\times q^{n} .
Donc, pour tout n  supegal 0,  \overset{.}{\boxed{v_n=1099\times1,157^{n}}}

4.  On utilise l'algorithme suivant :

            \begin{array}{|c|}\hline N\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\V\longleftarrow1099\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que  }V<2000\ \ \text{faire}\  \\V\longleftarrow\,V\times1,157 \\\ \ \ \ \ \ N\longleftarrow N+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}

A la fin de l'algorithme, on admet que N  = 5, ce qui signifie dans le contexte de l'exercice que dans 5 ans, soit en 2020, au moins 2 millions de visiteurs fréquenteront ce parc animalier.

4 points

exercice 4

{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b.\ }}{\red{64\text{ euros.}}}
Une augmentation de 25 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,25 = 1,25.
Si nous notons P  le prix initial avant augmentation, alors nous avons :
1,25\times P=80\Longleftrightarrow P=\dfrac{80}{1,25} \Longleftrightarrow\boxed{P=64}
D'où, avant cette augmentation, l'objet valait 64 euros.

{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Réponse\ c.\ }}{\red{120.}}
L'indice correspondant est  \dfrac{1632}{1360}\times100=120.

{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Réponse\ a.\ }}{\red{0,16.}}
Nous devons calculer P(X\ge2021).
La variable aléatoire X  suit la loi normale de moyenne mu = 2019.
Nous savons que  P(X\ge\mu)=0,5 , soit que  P(X\ge2019)=0,5.
Dès lors,

P(X\ge2019)=P(2019\le X\le2021)+P(X\ge2021)\Longleftrightarrow P(X\ge2021)=P(X\ge2019)-P(2019\le X\le2021) \\\phantom{P(X\ge2019)=P(2019\le X\le2021)+P(X\ge2021)}\Longleftrightarrow P(X\ge2021)=0,5-P(2019\le X\le2021)

Or, par la calculatrice, nous obtenons : P(2019\le X\le2021)\approx0,34

D'où   P(X\ge2021)\approx0,5-0,34\Longrightarrow\boxed{P(X\ge2021)\approx0,16}

{\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{Réponse\ a.\ }}}
La variable aléatoire X  suit la loi normale de moyenne 2019 et d'écart-type 2.
Nous savons que  P(\mu-2\sigma\le X\le \mu+2\sigma)\approx0,95.
Nous en déduisons alors que  P(2019-2\times2\le X\le 2019+2\times2)\approx0,95 ,
soit que  P(2015\le X\le 2023)\approx0,95.
Par conséquent, cette probabilité est représentée par la courbe de densité de la figure a .
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