Fiche de mathématiques
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Bac S 2019 Centres étrangers-Pondichéry

Obligatoire et Spécialité

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4 points

exercice 1 Commun à tous les candidats

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6 points

exercice 2 Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 3 Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

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5 points

exercice 4 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

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Bac S obligatoire et spécialité Centres étrangers/Pondichéry

2019

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4 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{d)\ 0,103}
Soit X   la variable aléatoire représentant le nombre de surfeurs.
Nous pouvons identifier la situation par une répétition de 80 tirages identiques et indépendants à deux issues possibles :
le "succès" : "le client pratique le surf" dont la probabilité est p  = 0,25
l'"échec" : "le client ne pratique pas le surf" dont la probabilité est 1 - p  = 1 - 0,25 = 0,75.
La variable aléatoire X  suit alors la loi binomiale de paramètres n = 80 et p  = 0,25.
La probabilité qu'il y ait exactement 20 clients pratiquant le surf se calcule par P (X  = 20). \overset{.}{P(X=20)=\begin{pmatrix}80\\20\end{pmatrix}\times0,25^{20}\times(1-0,25)^{80-20}} \\\\\phantom{P(X=20)}=\begin{pmatrix}80\\20\end{pmatrix}\times0,25^{20}\times0,75^{60} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=20)\approx0,103}
D'où la probabilité arrondie au millième qu'il y ait exactement 20 clients pratiquant le surf est environ égale à 0,103.

{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{d)\ 0,975}
La variable aléatoire X   suit une loi normale de moyenne mu = 150.
\overset{.}{P(X\ge100)=1-P(X\le100)} \\\\\text{Or }\ P(X\le100)=P(X\le150-50) \\\phantom{\text{Or }\ P(X\le100)}=P(X\le\mu-50) \\\phantom{\text{Or }\ P(X\le100)}=P(X\ge\mu+50) \\\phantom{\text{Or }\ P(X\le100)}=P(X\ge150+50) \\\phantom{\text{Or }\ P(X\le100)}=P(X\ge200) \\\phantom{\text{Or }\ P(X\le100)}=0,025 \\\\\Longrightarrow P(X\ge100)=1-P(X\le100)=1-0,025=0,975 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\ge100)=0,975}

{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{c)\ e}^{-1}}
La variable aléatoire T   suit une loi exponentielle de paramètre lambda sur l'intervalle [0 ; +infini[.
\overset{.}{E(T)=5\Longleftrightarrow\dfrac{1}{\lambda}=5\Longleftrightarrow\lambda=\dfrac{1}{5}} \\\\\text{Donc }\ P(T\ge5)=\text{e}^{-\lambda\times5}=\text{e}^{-\frac{1}{5}\times5}=\text{e}^{-1} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(T\ge5)=\text{e}^{-1}}

{\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{b)\ 2\,500}
Un intervalle de confiance à 95% de la proportion de clients satisfaits des prestations offertes dans la station de ski est de la forme  \overset{.}{[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}]}   où f   est la fréquence observée dans un échantillon de taille n   .
La longueur de cette intervalle est   (f+\dfrac{1}{\sqrt{n}})-(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}})=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\boxed{\dfrac{2}{\sqrt{n}}}
Or l'intervalle de confiance utilisé a une longueur 0,04.

\text{D'où }\ \dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04\Longleftrightarrow\dfrac{\sqrt{n}}{2}=\dfrac{1}{0,04} \\\\\phantom{\text{D'où }\ \dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04}\Longleftrightarrow\sqrt{n}=\dfrac{2}{0,04}=50 \\\phantom{\text{D'où }\ \dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04}\Longleftrightarrow \boxed{n=2500}

6 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

Partie A

Soit la suite (un ) définie par la donnée de son premier terme u 1 et pour tout entier naturel n  supérieur
ou égal à 1, par la relation: u n +1 = (n  + 1)un  - 1.

{\red{1.\ }}\boxed{u_1=0} \\\\ u_2=2u_1-1=2\times0-1=-1\Longrightarrow\boxed{u_2=-1} \\\\ u_3=3u_2-1=3\times(-1)-1=-4\Longrightarrow\boxed{u_3=-4} \\\\ u_4=4u_3-1=4\times(-4)-1=-17\Longrightarrow\boxed{u_4=-17}

2.   Algorithme complété :

           \begin{array}{|c|}\hline \text{Pour  }N\ \text{allant de }1\ \text{à }12\ \ \ \ \ \ \  \\\phantom{............} U\longleftarrow{\red{(N+1)\times U-1}} \\\text{Fin Pour}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}

3.   Si u 1 = 0,7, alors la limite de la suite semble être égale à -infini.
       Si u 1 = 0,8, alors la limite de la suite semble être égale à +infini.

Partie B

\text{Soit }\ I_n=\int\limits_0^1x^n\,\text{e}^{1-x}\,dx\ \ \ \ (n\in\N, n\ge1)

1.   La fonction F  définie sur [0 ; 1] par  F(x)=(-1-x)\,\text{e}^{1-x}  est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1] comme produit et composée de fonctions dérivables sur [0 ; 1].

F'(x)=(-1-x)'\times\,\text{e}^{1-x}+(-1-x)\times\,\left(\text{e}^{1-x}\right)' \\\phantom{F'(x)}=(-1)\times\,\text{e}^{1-x}+(-1-x)\times(1-x)'\,\text{e}^{1-x} \\\phantom{F'(x)}=-\,\text{e}^{1-x}+(-1-x)\times(-1)\times\,\text{e}^{1-x} \\\phantom{F'(x)}=(-1+1+x)\,\text{e}^{1-x} \\\phantom{F'(x)}=x\,\text{e}^{1-x} \\\phantom{F'(x)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=f(x)}
Par conséquent, la fonction F  est une primitive de la fonction f  sur l'intervalle [0 ; 1].

{\red{2.\ }}\ I_1=\int\limits_0^1x\,\text{e}^{1-x}\,dx=\left[\overset{}{F(x)}\right]\limits_0^1=F(1)-F(0) \\\\\phantom{........}=(-1-1)\,\text{e}^{1-1}-(-1-0)\,\text{e}^{1-0} \\\phantom{........}=-2\,\text{e}^{0}-(-1)\,\text{e}^{1} \\\phantom{........}=-2+\text{e} \\\\\Longrightarrow\boxed{I_1=\,\text{e}-2}

3.  Remplaçons n  par 1 dans la formule  I_{n+1}=(n+1)\,I_n-1.

I_2=I_{1+1} \\\phantom{I_2}=(1+1)\,I_1-1 \\\phantom{I_2}=2\,I_1-1 \\\phantom{I_2}=2(\text{e}-2)-1 \\\phantom{I_2}=2\text{e}-4-1 \\\phantom{I_2}=2\text{e}-5 \\\\\Longrightarrow\boxed{I_2=2\text{e}-5}

{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]\Longleftrightarrow0\le x\le1 \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longleftrightarrow-1\le -x\le0 \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longleftrightarrow0\le 1-x\le1 \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longleftrightarrow\text{e}^0\le \text{e}^{1-x}\le\text{e}^1\ \ \ (\text{car la fonction exponentielle est croissante sur }[0\,;1]) \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longleftrightarrow1\le \text{e}^{1-x}\le\text{e}\\ \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longrightarrow0< \text{e}^{1-x}\le\text{e} \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longrightarrow 0\le x^n\, \text{e}^{1-x}\le x^n\,\text{e}\ \ \ (\text{en multipliant les 3 membres par }x^n\ge0) \\\\\Longrightarrow\boxed{0\le x^n\, \text{e}^{1-x}\le x^n\,\text{e}\ \ \ \ \ (n\in\N, n\ge1)}

{\red{4.\ \text{b) }}}\ \int\limits_0^1x^n\,\text{e}\, dx=\,\text{e}\times\int\limits_0^1x^n\, dx=\,\text{e}\times\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]\limits_0^1 \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{b) }}}\ \int\limits_0^1x^n\,\text{e}\, dx}=\,\text{e}\times\left(\dfrac{1^{n+1}}{n+1}-\dfrac{0^{n+1}}{n+1}\right)=\,\text{e}\times\left(\dfrac{1}{n+1}-0\right)=\dfrac{\text{e}}{n+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_0^1x^n\,\text{e}\, dx=\dfrac{\text{e}}{n+1}}

4. c)   Nous savons par la question 4. a) que pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1,   0\le x^n\, \text{e}^{1-x}\le x^n\,\text{e}.

En utilisant la propriété de conservation de l'ordre de l'intégrale, nous déduisons que \overset{.}{0\le \int\limits_0^1x^n\, \text{e}^{1-x}\,dx\le \int\limits_0^1x^n\,\text{e}\,dx}.
Nous savons par la question 4. b) que  \int\limits_0^1x^n\,\text{e}\, dx=\dfrac{\text{e}}{n+1}.
Dès lors  0\le \int\limits_0^1x^n\, \text{e}^{1-x}\,dx\le \dfrac{\text{e}}{n+1}
Par conséquent  \boxed{0\le I_n\le \dfrac{\text{e}}{n+1}}

{\red{4.\ \text{d) }}}\ \left\lbrace\begin{matrix}0\le I_n\le \dfrac{\text{e}}{n+1}\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\text{e}}{n+1}=0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \underset{{\blue{\text{Théorème d'encadrement}}}}{\Longrightarrow}\ \ \ \ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0}

Partie C

1.   Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel n  supérieur ou égal à 1, nous avons :

u_{n}=n!(u_1-\text{e}+2)+I_n.


Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 1.

\text{Si }\ n=1,\ \text{alors }\ 1!(u_1-\text{e}+2)+I_1=u_1-\text{e}+2+I_1\ \ \ \ \ \ (\text{car }\ 1!=1) \\\phantom{\text{Si }\ n=1,\ \text{alors }\ 1!(u_1-\text{e}+2)+I_1}=u_1-\text{e}+2+\text{e}-2\ \ \ \ \ \ [\text{car }\ I_1=\text{e}-2\ \ (\text{Partie B, 2.})] \\\phantom{\text{Si }\ n=1,\ \text{alors }\ 1!(u_1-\text{e}+2)+I_1}=u_1 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=1!(u_1-\text{e}+2)+I_1}
L'initialisation est donc vraie.

Hérédité : Supposons que pour une valeur fixée de n , la propriété est vraie au rang n .
Montrons que cette propriété est encore vraie au rang n  + 1.
Supposons donc que pour une valeur fixée de n ,  u_{n}=n!(u_1-\text{e}+2)+I_n.
Montrons que  u_{n+1}=(n+1)!(u_1-\text{e}+2)+I_{n+1}.

{\red{(n+1)!}}(u_1-\text{e}+2)+{\blue{I_{n+1}}}={\red{(n+1)n!}}(u_1-\text{e}+2)+{\blue{(n+1)I_{n}-1}} \\\phantom{\dfrac{1}{2}........................................}=[(n+1)n!(u_1-\text{e}+2)+(n+1)I_{n}]-1 \\\phantom{\dfrac{1}{2}........................................}=(n+1)[n!(u_1-\text{e}+2)+I_{n}]-1 \\\phantom{\dfrac{1}{2}........................................}=(n+1)u_n-1 \\\phantom{{\red{(n+1)!}}(u_1-\text{e}+2)+{\blue{I_{n+1}}}}=u_{n+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=(n+1)!(u_1-\text{e}+2)+I_{n+1}}
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n  supérieur ou égal à 1, nous avons : u_{n}=n!(u_1-\text{e}+2)+I_n.

2.   Selon l'énoncé, nous admettrons que :  \lim\limits_{n\to+\infty}n!=+\infty.

{\red{2.\ \text{a) }}}\text{Si}\ u_1=0,7, \ \text{alors }\text{e}\approx2,718\Longrightarrow u_1-\text{e}+2\approx 0,7-2,718+2 \\\phantom{{\red{2.\ \text{a. }}}\text{Si}\ u_1=0,7, \ \text{alors }\text{e}\approx2,718\Longrightarrow u_1-\text{e}+2}\approx -0,018 \\\\\Longrightarrow \boxed{u_1-\text{e}+2<0}

Dans ce cas,

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}n!=+\infty\\\\u_1-\text{e}+2<0\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}[n!(u_1-\text{e}+2)+I_n]=-\infty\ \ \ \Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty}

{\red{2.\ \text{b) }}}\text{Si}\ u_1=0,8, \ \text{alors }\text{e}\approx2,718\Longrightarrow u_1-\text{e}+2\approx 0,8-2,718+2 \\\phantom{{\red{2.\ \text{a. }}}\text{Si}\ u_1=0,7, \ \text{alors }\text{e}\approx2,718\Longrightarrow u_1-\text{e}+2}\approx 0,082 \\\\\Longrightarrow \boxed{u_1-\text{e}+2>0}

Dans ce cas,

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}n!=+\infty\\\\u_1-\text{e}+2>0\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}[n!(u_1-\text{e}+2)+I_n]=+\infty\ \ \ \Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty}

5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

Partie A : Etude d'exemples

1. Un premier exemple

Soit z  = i.

{\red{1.\ \text{a) }}}\left\lbrace\begin{matrix}z^2=\text{i}^2=-1\phantom{.............................} \\\\\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\text{i}}=\dfrac{1\times\text{i}}{\text{i}\times\text{i}}=\dfrac{\text{i}}{\text{i}^2}=\dfrac{\text{i}}{-1}=-\text{i}\end{matrix}\right.\ \ \ \  \Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}z^2=-1\\\\\dfrac{1}{z}=-\text{i}\end{matrix}\right.}

1. b)   Graphique complété par les points N1 et P1.

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Nous remarquons que les points A, N1 et P1 ne sont pas alignés.

2. Une équation

z^2+z+1=0 \\\\\text{Discriminant }\Delta=1^2-4\times1\times1=1-4=-3<0 \\\\\text{Racines : } \boxed{z_1=\dfrac{-1-\text{i}\sqrt{3}}{2}}\ \ \ \text{et }\ \ \boxed{z_2=\dfrac{-1+\text{i}\sqrt{3}}{2}}

3. Un deuxième exemple

Soit z=-\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

{\red{3.\ \text{a) }}}z=-\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\dfrac{2\pi}{3}+\text{i}\sin\dfrac{2\pi}{3}\Longrightarrow\boxed{z=\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}} \\\\\left.\begin{matrix}\text{D'où }z^2=\left(\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\right)^2=\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}\times2}\Longrightarrow\boxed{z^2=\text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{3}}=\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}} \\\\\phantom{\text{D'où }}\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}}\Longrightarrow\boxed{\dfrac{1}{z}=\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}}\end{matrix}\ \ \ \right\rbrace\Longrightarrow\boxed{z^2=\dfrac{1}{z}=\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}}

3. b)   Graphique complété par les points N2 et P2.

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Nous remarquons que les points A, N2 et P2 sont alignés.

Partie B : Etude du cas général

{\red{1.}}\ (z^2+z+1)(1-\dfrac{1}{z})=z^2-\dfrac{z^2}{z}+z-\dfrac{z}{z}+1-\dfrac{1}{z} \\\phantom{{\red{1.}}\ (z^2+z+1)(1-\dfrac{1}{z})}=z^2-z+z-1+1-\dfrac{1}{z} \\\phantom{{\red{1.}}\ (z^2+z+1)(1-\dfrac{1}{z})}=z^2-\dfrac{1}{z} \\\\\Longrightarrow\boxed{z^2-\dfrac{1}{z}=(z^2+z+1)(1-\dfrac{1}{z})}

2.   Le point A a pour affixe 1, la point N a pour affixe   et le point P a pour affixe  \dfrac{1}{z}.
D'où le vecteur  \overrightarrow{PN}  a pour affixe  z^2-\dfrac{1}{z}  et le vecteur \overrightarrow{PA}  a pour affixe 1-\dfrac{1}{z}.

\overrightarrow{PN} et \overrightarrow{PA} sont colinéaires equivaut il existe un nombre réel k  tel que :  z_{\overrightarrow{PN}}=k\,z_{\overrightarrow{PA}}
                                                             equivaut il existe un nombre réel k tel que :  z^2-\dfrac{1}{z}=k(1-\dfrac{1}{z})
                                                             equivaut il existe un nombre réel k tel que :  (z^2+z+1)(1-\dfrac{1}{z})=k(1-\dfrac{1}{z})
                                                             equivaut il existe un nombre réel k tel que :  (z^2+z+1)(1-\dfrac{1}{z})-k(1-\dfrac{1}{z})=0
                                                             equivaut il existe un nombre réel k tel que :  (z^2+z+1-k)(1-\dfrac{1}{z})=0
                                                             equivaut il existe un nombre réel k tel que :  z^2+z+1-k=0\ \ \ ou\ \ \ 1-\dfrac{1}{z}=0
                                                             equivaut il existe un nombre réel k tel que :  z^2+z+1=k\ \ \ ou\ \ \ \dfrac{1}{z}=1
                                                             equivaut  z^2+z+1\in\R\ \ \ ou\ \ \ z=1

Or si z  = 1, alors   + z  + 1 = 3 appartient R.
D'où  \overrightarrow{PN} et \overrightarrow{PA} sont colinéaires equivaut   + z  + 1 appartient R.
Par conséquent, les points A, N et P sont alignés equivaut + z + 1 appartient R.

{\red{3.\ }}\ z^2+z+1=(x+\text{i}y)^2+(x+\text{i}y)+1 \\\phantom{{\red{3.\ }}\ z^2+z+1}=x^2+2\text{i}xy-y^2+x+\text{i}y+1 \\\phantom{{\red{3.\ }}\ z^2+z+1}=x^2-y^2+x+1+\text{i}(2xy+y) \\\\\Longrightarrow\boxed{z^2+z+1=x^2-y^2+x+1+\text{i}(2xy+y)}

4. a)  Nous avons montré dans la question 2. que les points A, N et P sont alignés equivaut + z + 1 appartient R.

z^2+z+1\in\R\Longleftrightarrow2xy+y=0 \\\phantom{z^2+z+1\in\R}\Longleftrightarrow(2x+1)y=0 \\\phantom{z^2+z+1\in\R}\Longleftrightarrow 2x+1=0\ \ \ \ \text{ou }\ \ y=0 \\\phantom{z^2+z+1\in\R}\Longleftrightarrow \boxed{x=-\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \text{ou }\ \ y=0}

Sachant que z  different 0, nous pouvons dire que l'ensemble des points M d'affixe z different 0 tels que les points A, N et P sont alignés est la réunion de la droite d'équation  \overset{.}{x=-\dfrac{1}{2}} et l'axe réel privé de l'origine O.

4. b)   Représentation graphique de cet ensemble de points M :

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5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a)   Coordonnées du point P : (2 ; 0 ; 0).
            Coordonnées du point Q : (0 ; 0 ; 2).
            Coordonnées du point omegamaj : (3 ; 3 ; 3).

1. b)   Le vecteur  \overrightarrow{n}(1\,;b\,;c)  est normal au plan (PQR) equivaut  \left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{PQ}\\\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{PR}\end{matrix}\right.

\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}P(2\,;0\,;0)\\Q(0\,;0\,;2)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{PQ}:(x_Q-x_P\,;y_Q-y_P\,;z_Q-z_P)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow {PQ}:(-2\,;0\,;2)} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}P(2\,;0\,;0)\\R(0\,;4\,;6)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{PR}:(x_R-x_P\,;y_R-y_P\,;z_R-z_P)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow {PR}:(-2\,;4\,;6)}

\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{PQ}\\\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{PR}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{n}.\overrightarrow{PQ}=0\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{PR}=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{............................}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}1\times(-2)+b\times0+c\times2=0\\1\times(-2)+b\times4+c\times6=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{............................}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-2+2c=0\\-2+4b+6c=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{............................}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}c=1\\-2+4b+6\times1=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{............................}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}c=1\\4b+4=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{............................}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}c=1\\b=-1\end{matrix}\right.}

1. c)   Nous savons que tout plan de vecteur normal  \overrightarrow{n}(a\,;b\,;c)  admet une équation cartésienne
de la forme ax + by + cz + d = 0.
Puisque le vecteur  \overrightarrow{n}(1\,;-1\,;1)}  est normal au plan (PQR), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (PQR) est de la forme  x-y+z+d=0.
Or le point P (2 ; 0 ; 0) appartient au plan (PQR).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où  \overset{.}{2-0+0+d=0} , soit d = -2.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (PQR) est :  \boxed{x-y+z-2=0}

2. a)   La droite deltamaj est perpendiculaire au plan (PQR).
Un vecteur directeur de cette droite est le vecteur  \overrightarrow{n}({\red{1}}\,;{\red{-1}}\,;{\red{1}}).
La droite deltamaj passe par le point \Omage({\blue{3}} ; {\blue{3}}; {\blue{3}}).
D'où une représentation paramétrique de la droite deltamaj est donnée par :

\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{3}}+{\red{1}}\times t\\y={\blue{3}}+{\red{(-1)}}\times t\\z={\blue{3}}+{\red{1}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})
soit \boxed{\Delta:\left\lbrace\begin{array}l x=3+t\\y=3-t\\z=3+t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}

2. b)   Les coordonnées du point I sont les solutions du système composé par les équations de la droite deltamaj et du plan (PQR) , soit du système :

\left\lbrace\begin{array}l x=3+t\\y=3-t\\z=3+t\\x-y+z-2=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=3+t\\y=3-t\\z=3+t\\ (3+t)-(3-t)+(3+t)-2=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=3+t\\y=3-t\\z=3+t\\3t+1=0 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l x=3+t\\y=3-t\\z=3+t\\\\t=-\dfrac{1}{3} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=3-\dfrac{1}{3}\\\\y=3+\dfrac{1}{3}\\\\z=3-\dfrac{1}{3}\\\\t=-\dfrac{1}{3}\end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{8}{3}\\\\y=\dfrac{10}{3}\\\\z=\dfrac{8}{3}\\\\t=-\dfrac{2}{3} \end{array}

D'où les coordonnées du point I sont \boxed{I(\dfrac{8}{3} ; \dfrac{10}{3} ; \dfrac{8}{3})}.

{\red{2.\ \text{c) } }}\ \Omega I=\sqrt{(x_I-x_{\Omega})^2+(y_I-y_{\Omega})^2+(z_I-z_{\Omega})^2} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) } }}\ \Omega I}=\sqrt{(\dfrac{8}{3}-3)^2+(\dfrac{10}{3}-3)^2+(\dfrac{8}{3}-3)^2} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) } }}\ \Omega I}=\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2+(\dfrac{1}{3})^2+(-\dfrac{1}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{3}{9}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{\Omega I=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}

3. a)  Montrons que les coordonnées du point J vérifient l'équation du plan (PQR).

{\red{x_J-y_J+z_J-2}}=6-4+0-2{\ \red{=0}}\Longrightarrow\boxed{J\in(PQR)}

3. b)  Montrons que les vecteurs  \overrightarrow{JK}  et  \overrightarrow{QR}  sont colinéaires.

\left\lbrace\begin{matrix}J(6\,;4\,;0)\\K(6\,;6\,;2)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{JK}:(x_K-x_J\,;y_K-y_J\,;z_K-z_J)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow {JK}:(0\,;2\,;2)} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}Q(0\,;0\,;2)\\R(0\,;4\,;6)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{QR}:(x_R-x_Q\,;y_R-y_Q\,;z_R-z_Q)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow {QR}:(0\,;4\,;4)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow {QR}=2\,\overrightarrow {JK}}.

D'où les vecteurs \overrightarrow{JK} et \overrightarrow{QR} sont colinéaires.
Par conséquent, les droites (JK) et (QR) sont parallèles.

3. c)   Section du cube par le plan (PQR).
Dans le plan (ABF), tracer le segment [PQ].
Dans le plan (ADH), tracer le segment [QR].
Placer le point J(6 ; 4 ; 0).
Dans le plan (ABC), tracer le segment [PJ].
Par le point R, tracer une droite dans le plan (EFG) parallèle à la droite (PJ) coupant le segment [HG] en S.
Par le point J, tracer une droite dans le plan (BCG) parallèle à la droite (QR) coupant le segment [CG] en T.
Dans le plan (CGH), tracer le segment [ST].
La section du cube par le plan (PQR) est l'hexagone PQRSTJ.

Bac S obligatoire et spécialité Centres étrangers/Pondichéry 2019 : image 18


5 points

exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1.   Deux nombres premiers x  et y  tels que 40 = x + y  sont, par exemple : x = 3 et y = 37 car ces nombres sont premiers et 3 + 37 = 40.
Nous aurions également pu proposer : x = 11 et y = 29 car ces nombres sont premiers et 11 + 29 = 40.
Nous aurions également pu proposer : x = 17 et y = 23. 

2.   Résoudre l'équation 20x + 19y = 40 où x  et y  désignent deux entiers relatifs.

Le couple d'entiers relatifs (x ; y ) = (2 ; 0) est une solution évidente de l'équation : 20x + 19y = 40
car 20 multiplie 2 + 19 multiplie 0 = 40.
Soit (x ; y ) un couple solution de l'équation 20x + 19y = 40.

\left\lbrace\begin{matrix}20\times x+19\times y=40\\20\times2+19\times0=40\end{matrix}\right.\ \ \ \ \underset{\text{Par soustraction}}{\Longrightarrow}20(x-2)+19(y-0)=40-40\Longrightarrow\boxed{20(x-2)+19y=0} \\\\\text{Or }20(x-2)+19y=0\Longleftrightarrow20(x-2)=-19y \\\phantom{\text{Or }20(x-2)+19y=0}\Longleftrightarrow\boxed{20(x-2)=19(-y)}

20 et 19 sont premiers entre eux.
En appliquant le théorème de Gauss, nous déduisons qu'il existe un entier relatif k  tel que -y  = 20k ,
soit y  = -20k .

\text{Dans ce cas, }\ 20(x-2)=19(-y)\Longleftrightarrow20(x-2)=19\times20k \\\phantom{\text{Dans ce cas, }\ 20(x-2)=19(-y)}\Longleftrightarrow 20(x-2)=20\times19k \\\phantom{\text{Dans ce cas, }\ 20(x-2)=19(-y)}\Longleftrightarrow x-2=19k \\\phantom{\text{Dans ce cas, }\ 20(x-2)=19(-y)}\Longleftrightarrow x=2+19k

Par conséquent, les couples solutions de l'équation x + 19y = 40 sont de la forme (2+19k ; -20k) où k appartientZ.

3. a)   Décomposition de 40 en produit de facteurs premiers : 40=2^3\times5.

3. b)   Premier cas : supposons que x - y  est pair.
Il existe alors un nombre entier relatif k  tel que x  - y  = 2k .

\text{Or }\ x-y=2k\Longleftrightarrow x = y+2k \\\phantom{\text{Or }\ x-y=2k}\Longleftrightarrow x\ {\red{+\ y}}= y+2k\ {\red{+\ y}} \\\phantom{\text{Or }\ x-y=2k}\Longleftrightarrow x+y=2y+2k \\\phantom{\text{Or }\ x-y=2k}\Longleftrightarrow\boxed{ x+y=2(y+k)\ \ \ \ \text{avec }y+k\in\Z}
D'où x + y  est pair.

Second cas : supposons que x - y  est impair.
Il existe alors un nombre entier relatif k  tel que x  - y  = 2k  + 1.

\text{Or }\ x-y=2k+1\Longleftrightarrow x = y+2k+1 \\\phantom{\text{Or }\ x-y=2k+1}\Longleftrightarrow x\ {\red{+\ y}}= y+2k+1\ {\red{+\ y}} \\\phantom{\text{Or }\ x-y=2k+1}\Longleftrightarrow x+y=2y+2k+1 \\\phantom{\text{Or }\ x-y=2k+1}\Longleftrightarrow\boxed{ x+y=2(y+k)+1\ \ \ \ \text{avec }y+k\in\Z}
D'où x + y  est impair.

Par conséquent, les nombres x - y  et x + y  ont la même parité.

3. c)   x^2-y^2=40\Longleftrightarrow (x-y)(x+y)=40.
En nous inspirant de la question 3. a), nous obtenons : 40=1\times40=2\times20=4\times10=8\times5.
Nous savons par la question 3. b) que les nombres x - y  et x + y  ont la même parité.

Parmi les décompositions de 40, nous pouvons donc exclure les cas 40=1\times40=8\times5.
Il reste alors les cas 40=2\times20=4\times10.
Sachant que x et y sont des nombres naturels, nous déduisons que x + y supegal x - y

\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}x+y=20\\x-y=2\ \end{matrix}\right.\ \ \ \text{ou }\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x+y=10\\x-y=4\ \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{D'où }\ } \left\lbrace\begin{matrix}(x+y)+(x-y)=20+2\\ (x+y)-(x-y)=20-2\ \end{matrix}\right.\ \ \ \text{ou }\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}(x+y)+(x-y)=10+4\\ (x+y)+(x-y)=10-4\ \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{D'où }\ }\left\lbrace\begin{matrix}2x=22\\2y=18\ \end{matrix}\right.\ \ \ \text{ou }\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}2x=14\\2y=6\ \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{D'où }\ }\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=11\\y=9\ \end{matrix}\right.\ \ \ \text{ou }\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=7\\y=3\ \end{matrix}\right.}

Par conséquent, les couples (x ; y ) solutions de l'équation x² - y²  = 40 sont (11 ; 9) et (7 ; 3)

Partie B : "sommes" de cubes

1. a)   Nous savons que  13=1^3+7^3+10^3-11^3.
De plus, 40 = 13 + 27 avec 27 = 33.
D'où  \overset{.}{\boxed{40=1^3+3^3+7^3+10^3-11^3}}

1. b)   Selon l'énoncé, nous admettons que  6n=(n+1)^3+(n-1)^3-n^3-n^3.

Si n = 8, alors

48 = 6\times8=(8+1)^3+(8-1)^3-8^3-8^3\Longrightarrow\boxed{48=9^3+7^3-8^3-8^3} \\\\\text{Donc }\ 40=48-8=48-2^3\Longrightarrow\boxed{40=9^3+7^3-8^3-8^3-2^3}

2. a)   Tableau complété :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&&&&&&&&&\\ \text{Reste de la division euclidienne de }n\ \text{par }9&0&1&2&3&4&5&6&7&8 \\&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&\\ \red \text{Reste de la division euclidienne de }n^3\ \text{par }9&\red0&\red1&\red8&\red0&\red1&\red8&\red0&\red1&\red8\\&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

2. b)   Nous en déduisons que pour tout entier naturel n , l'entier naturel n3 est congru modulo 9 soit à 0, soit à 1, soit à -1.
Dès lors, la somme de trois cubes ne peut être congrue modulo 9 seulement qu'à -3 ou à -2 ou à -1 ou à 0 ou à 1 ou à 2 ou à 3.
Or 40 est congru à 4 modulo 9, ce qui exclut une décomposition de 40 en une "somme" de trois cubes.
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