Bac S obligatoire et spécialité Centres étrangers/Pondichéry
2019
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4 points
exercice 1 : Commun à tous les candidats
Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de surfeurs.
Nous pouvons identifier la situation par une répétition de 80 tirages identiques et indépendants à deux issues possibles :
le "succès" : "le client pratique le surf" dont la probabilité est p = 0,25
l'"échec" : "le client ne pratique pas le surf" dont la probabilité est 1 - p = 1 - 0,25 = 0,75.
La variable aléatoire X suit alors la loi binomiale de paramètres n = 80 et p = 0,25.
La probabilité qu'il y ait exactement 20 clients pratiquant le surf se calcule par P (X = 20).
D'où la probabilité arrondie au millième qu'il y ait exactement 20 clients pratiquant le surf est environ égale à 0,103.
La variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne = 150.
La variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre sur l'intervalle [0 ; +[.
Un intervalle de confiance à 95% de la proportion de clients satisfaits des prestations offertes dans la station de ski est de la forme où f est la fréquence observée dans un échantillon de taille n .
La longueur de cette intervalle est
Or l'intervalle de confiance utilisé a une longueur 0,04.
6 points
exercice 2 : Commun à tous les candidats
Partie A
Soit la suite (un ) définie par la donnée de son premier terme u1 et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par la relation: un +1 = (n + 1)un - 1.
2. Algorithme complété :
3. Si u1 = 0,7, alors la limite de la suite semble être égale à -.
Si u1 = 0,8, alors la limite de la suite semble être égale à +.
Partie B
1. La fonction F définie sur [0 ; 1] par est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1] comme produit et composée de fonctions dérivables sur [0 ; 1].
Par conséquent, la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1].
3. Remplaçons n par 1 dans la formule
4. c) Nous savons par la question 4. a) que pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1,
En utilisant la propriété de conservation de l'ordre de l'intégrale, nous déduisons que
Nous savons par la question 4. b) que
Dès lors
Par conséquent
Partie C
1. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, nous avons :
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 1.
L'initialisation est donc vraie.
Hérédité : Supposons que pour une valeur fixée de n , la propriété est vraie au rang n .
Montrons que cette propriété est encore vraie au rang n + 1.
Supposons donc que pour une valeur fixée de n ,
Montrons que
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, nous avons :
2. Selon l'énoncé, nous admettrons que :
Dans ce cas,
Dans ce cas,
5 points
exercice 3 : Commun à tous les candidats
Partie A : Etude d'exemples
1. Un premier exemple
Soit z = i.
1. b) Graphique complété par les points N1 et P1.
Nous remarquons que les points A, N1 et P1 ne sont pas alignés.
2. Une équation
3. Un deuxième exemple
Soit
3. b) Graphique complété par les points N2 et P2.
Nous remarquons que les points A, N2 et P2 sont alignés.
Partie B : Etude du cas général
2. Le point A a pour affixe 1, la point N a pour affixe z² et le point P a pour affixe
D'où le vecteur a pour affixe et le vecteur a pour affixe
et sont colinéaires il existe un nombre réel k tel que : il existe un nombre réel k tel que : il existe un nombre réel k tel que : il existe un nombre réel k tel que : il existe un nombre réel k tel que : il existe un nombre réel k tel que : il existe un nombre réel k tel que :
Or si z = 1, alors z² + z + 1 = 3 .
D'où et sont colinéaires z² + z + 1 .
Par conséquent, les points A, N et P sont alignés z² + z + 1 .
4. a) Nous avons montré dans la question 2. que les points A, N et P sont alignés z² + z + 1 .
Sachant que z 0, nous pouvons dire que l'ensemble des points M d'affixe z 0 tels que les points A, N et P sont alignés est la réunion de la droite d'équation et l'axe réel privé de l'origine O.
4. b) Représentation graphique de cet ensemble de points M :
5 points
exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. a) Coordonnées du point P : (2 ; 0 ; 0).
Coordonnées du point Q : (0 ; 0 ; 2).
Coordonnées du point : (3 ; 3 ; 3).
1. b) Le vecteur est normal au plan (PQR)
1. c) Nous savons que tout plan de vecteur normal admet une équation cartésienne de la
forme ax + by + cz + d = 0.
Puisque le vecteur est normal au plan (PQR), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (PQR) est de la forme
Or le point P (2 ; 0 ; 0) appartient au plan (PQR).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où , soit d = -2.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (PQR) est :
2. a) La droite est perpendiculaire au plan (PQR).
Un vecteur directeur de cette droite est le vecteur
La droite passe par le point
D'où une représentation paramétrique de la droite est donnée par :
soit
2. b) Les coordonnées du point I sont les solutions du système composé par les équations de la droite et du plan (PQR) , soit du système :
D'où les coordonnées du point I sont
3. a) Montrons que les coordonnées du point J vérifient l'équation du plan (PQR).
3. b) Montrons que les vecteurs et sont colinéaires.
.
D'où les vecteurs et sont colinéaires.
Par conséquent, les droites (JK) et (QR) sont parallèles.
3. c) Section du cube par le plan (PQR).
Dans le plan (ABF), tracer le segment [PQ].
Dans le plan (ADH), tracer le segment [QR].
Placer le point J(6 ; 4 ; 0).
Dans le plan (ABC), tracer le segment [PJ].
Par le point R, tracer une droite dans le plan (EFG) parallèle à la droite (PJ) coupant le segment [HG] en S.
Par le point J, tracer une droite dans le plan (BCG) parallèle à la droite (QR) coupant le segment [CG] en T.
Dans le plan (CGH), tracer le segment [ST]. La section du cube par le plan (PQR) est l'hexagone PQRSTJ.
5 points
exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
1. Deux nombres premiers x et y tels que 40 = x + y sont, par exemple : x = 3 et y = 37 car ces nombres sont premiers et 3 + 37 = 40.
Nous aurions également pu proposer : x = 11 et y = 29 car ces nombres sont premiers et 11 + 29 = 40.
Nous aurions également pu proposer : x = 17 et y = 23.
2. Résoudre l'équation 20x + 19y = 40 où x et y désignent deux entiers relatifs.
Le couple d'entiers relatifs (x ; y ) = (2 ; 0) est une solution évidente de l'équation : 20x + 19y = 40 car 20 2 + 19 0 = 40.
Soit (x ; y ) un couple solution de l'équation 20x + 19y = 40.
20 et 19 sont premiers entre eux.
En appliquant le théorème de Gauss, nous déduisons qu'il existe un entier relatif k tel que -y = 20k , soit y = -20k .
Par conséquent, les couples solutions de l'équation x + 19y = 40 sont de la forme (2+19k ; -20k) où k .
3. a) Décomposition de 40 en produit de facteurs premiers :
3. b) Premier cas : supposons que x - y est pair.
Il existe alors un nombre entier relatif k tel que x - y = 2k .
D'où x + y est pair.
Second cas : supposons que x - y est impair.
Il existe alors un nombre entier relatif k tel que x - y = 2k + 1.
D'où x + y est impair.
Par conséquent, les nombres x - y et x + y ont la même parité.
3. c)
En nous inspirant de la question 3. a), nous obtenons :
Nous savons par la question 3. b) que les nombres x - y et x + y ont la même parité.
Parmi les décompositions de 40, nous pouvons donc exclure les cas
Il reste alors les cas
Sachant que x et y sont des nombres naturels, nous déduisons que x + y x - y
Par conséquent, les couples (x ; y ) solutions de l'équation x² - y² = 40 sont (11 ; 9) et (7 ; 3)
Partie B : "sommes" de cubes
1. a) Nous savons que
De plus, 40 = 13 + 27 avec 27 = 33.
D'où
1. b) Selon l'énoncé, nous admettons que
Si n = 8, alors
2. a) Tableau complété :
2. b) Nous en déduisons que pour tout entier naturel n , l'entier naturel n3 est congru modulo 9 soit à 0, soit à 1, soit à -1.
Dès lors, la somme de trois cubes ne peut être congrue modulo 9 seulement qu'à -3 ou à -2 ou à -1 ou à 0 ou à 1 ou à 2 ou à 3.
Or 40 est congru à 4 modulo 9, ce qui exclut une décomposition de 40 en une "somme" de trois cubes.
Publié par malou
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\ 0,103})
=\begin{pmatrix}80\\20\end{pmatrix}\times0,25^{20}\times(1-0,25)^{80-20}} \\\\\phantom{P(X=20)}=\begin{pmatrix}80\\20\end{pmatrix}\times0,25^{20}\times0,75^{60} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=20)\approx0,103})
\ 0,975})
= 150.=1-P(X\le100)} \\\\\text{Or }\ P(X\le100)=P(X\le150-50) \\\phantom{\text{Or }\ P(X\le100)}=P(X\le\mu-50) \\\phantom{\text{Or }\ P(X\le100)}=P(X\ge\mu+50) \\\phantom{\text{Or }\ P(X\le100)}=P(X\ge150+50) \\\phantom{\text{Or }\ P(X\le100)}=P(X\ge200) \\\phantom{\text{Or }\ P(X\le100)}=0,025 \\\\\Longrightarrow P(X\ge100)=1-P(X\le100)=1-0,025=0,975 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\ge100)=0,975})
\ e}^{-1}})
sur l'intervalle [0 ; +
[.=5\Longleftrightarrow\dfrac{1}{\lambda}=5\Longleftrightarrow\lambda=\dfrac{1}{5}} \\\\\text{Donc }\ P(T\ge5)=\text{e}^{-\lambda\times5}=\text{e}^{-\frac{1}{5}\times5}=\text{e}^{-1} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(T\ge5)=\text{e}^{-1}})
\ 2\,500})
![\overset{.}{[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{.}{[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}]})
où f est la fréquence observée dans un échantillon de taille n .-(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}})=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\boxed{\dfrac{2}{\sqrt{n}}})
-1=-4\Longrightarrow\boxed{u_3=-4} \\\\ u_4=4u_3-1=4\times(-4)-1=-17\Longrightarrow\boxed{u_4=-17})
\times U-1}} \\\text{Fin Pour}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array})
)
=(-1-x)\,\text{e}^{1-x})
est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1] comme produit et composée de fonctions dérivables sur [0 ; 1].=(-1-x)'\times\,\text{e}^{1-x}+(-1-x)\times\,\left(\text{e}^{1-x}\right)' \\\phantom{F'(x)}=(-1)\times\,\text{e}^{1-x}+(-1-x)\times(1-x)'\,\text{e}^{1-x} \\\phantom{F'(x)}=-\,\text{e}^{1-x}+(-1-x)\times(-1)\times\,\text{e}^{1-x} \\\phantom{F'(x)}=(-1+1+x)\,\text{e}^{1-x} \\\phantom{F'(x)}=x\,\text{e}^{1-x} \\\phantom{F'(x)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=f(x)})
![{\red{2.\ }}\ I_1=\int\limits_0^1x\,\text{e}^{1-x}\,dx=\left[\overset{}{F(x)}\right]\limits_0^1=F(1)-F(0) \\\\\phantom{........}=(-1-1)\,\text{e}^{1-1}-(-1-0)\,\text{e}^{1-0} \\\phantom{........}=-2\,\text{e}^{0}-(-1)\,\text{e}^{1} \\\phantom{........}=-2+\text{e} \\\\\Longrightarrow\boxed{I_1=\,\text{e}-2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{2.\ }}\ I_1=\int\limits_0^1x\,\text{e}^{1-x}\,dx=\left[\overset{}{F(x)}\right]\limits_0^1=F(1)-F(0) \\\\\phantom{........}=(-1-1)\,\text{e}^{1-1}-(-1-0)\,\text{e}^{1-0} \\\phantom{........}=-2\,\text{e}^{0}-(-1)\,\text{e}^{1} \\\phantom{........}=-2+\text{e} \\\\\Longrightarrow\boxed{I_1=\,\text{e}-2})
\,I_n-1.)
\,I_1-1 \\\phantom{I_2}=2\,I_1-1 \\\phantom{I_2}=2(\text{e}-2)-1 \\\phantom{I_2}=2\text{e}-4-1 \\\phantom{I_2}=2\text{e}-5 \\\\\Longrightarrow\boxed{I_2=2\text{e}-5})
![{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]\Longleftrightarrow0\le x\le1 \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longleftrightarrow-1\le -x\le0 \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longleftrightarrow0\le 1-x\le1 \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longleftrightarrow\text{e}^0\le \text{e}^{1-x}\le\text{e}^1\ \ \ (\text{car la fonction exponentielle est croissante sur }[0\,;1]) \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longleftrightarrow1\le \text{e}^{1-x}\le\text{e}\\ \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longrightarrow0< \text{e}^{1-x}\le\text{e} \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longrightarrow 0\le x^n\, \text{e}^{1-x}\le x^n\,\text{e}\ \ \ (\text{en multipliant les 3 membres par }x^n\ge0) \\\\\Longrightarrow\boxed{0\le x^n\, \text{e}^{1-x}\le x^n\,\text{e}\ \ \ \ \ (n\in\N, n\ge1)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]\Longleftrightarrow0\le x\le1 \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longleftrightarrow-1\le -x\le0 \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longleftrightarrow0\le 1-x\le1 \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longleftrightarrow\text{e}^0\le \text{e}^{1-x}\le\text{e}^1\ \ \ (\text{car la fonction exponentielle est croissante sur }[0\,;1]) \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longleftrightarrow1\le \text{e}^{1-x}\le\text{e}\\ \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longrightarrow0< \text{e}^{1-x}\le\text{e} \\\phantom{{\red{4.\ \text{a) }}}\ x\in[0\,;1]}\Longrightarrow 0\le x^n\, \text{e}^{1-x}\le x^n\,\text{e}\ \ \ (\text{en multipliant les 3 membres par }x^n\ge0) \\\\\Longrightarrow\boxed{0\le x^n\, \text{e}^{1-x}\le x^n\,\text{e}\ \ \ \ \ (n\in\N, n\ge1)})
![{\red{4.\ \text{b) }}}\ \int\limits_0^1x^n\,\text{e}\, dx=\,\text{e}\times\int\limits_0^1x^n\, dx=\,\text{e}\times\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]\limits_0^1 \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{b) }}}\ \int\limits_0^1x^n\,\text{e}\, dx}=\,\text{e}\times\left(\dfrac{1^{n+1}}{n+1}-\dfrac{0^{n+1}}{n+1}\right)=\,\text{e}\times\left(\dfrac{1}{n+1}-0\right)=\dfrac{\text{e}}{n+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_0^1x^n\,\text{e}\, dx=\dfrac{\text{e}}{n+1}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{4.\ \text{b) }}}\ \int\limits_0^1x^n\,\text{e}\, dx=\,\text{e}\times\int\limits_0^1x^n\, dx=\,\text{e}\times\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]\limits_0^1 \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{b) }}}\ \int\limits_0^1x^n\,\text{e}\, dx}=\,\text{e}\times\left(\dfrac{1^{n+1}}{n+1}-\dfrac{0^{n+1}}{n+1}\right)=\,\text{e}\times\left(\dfrac{1}{n+1}-0\right)=\dfrac{\text{e}}{n+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_0^1x^n\,\text{e}\, dx=\dfrac{\text{e}}{n+1}})
 }}}\ \left\lbrace\begin{matrix}0\le I_n\le \dfrac{\text{e}}{n+1}\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\text{e}}{n+1}=0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \underset{{\blue{\text{Théorème d'encadrement}}}}{\Longrightarrow}\ \ \ \ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0})
+I_n.)
![\text{Si }\ n=1,\ \text{alors }\ 1!(u_1-\text{e}+2)+I_1=u_1-\text{e}+2+I_1\ \ \ \ \ \ (\text{car }\ 1!=1) \\\phantom{\text{Si }\ n=1,\ \text{alors }\ 1!(u_1-\text{e}+2)+I_1}=u_1-\text{e}+2+\text{e}-2\ \ \ \ \ \ [\text{car }\ I_1=\text{e}-2\ \ (\text{Partie B, 2.})] \\\phantom{\text{Si }\ n=1,\ \text{alors }\ 1!(u_1-\text{e}+2)+I_1}=u_1 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=1!(u_1-\text{e}+2)+I_1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Si }\ n=1,\ \text{alors }\ 1!(u_1-\text{e}+2)+I_1=u_1-\text{e}+2+I_1\ \ \ \ \ \ (\text{car }\ 1!=1) \\\phantom{\text{Si }\ n=1,\ \text{alors }\ 1!(u_1-\text{e}+2)+I_1}=u_1-\text{e}+2+\text{e}-2\ \ \ \ \ \ [\text{car }\ I_1=\text{e}-2\ \ (\text{Partie B, 2.})] \\\phantom{\text{Si }\ n=1,\ \text{alors }\ 1!(u_1-\text{e}+2)+I_1}=u_1 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=1!(u_1-\text{e}+2)+I_1})
!(u_1-\text{e}+2)+I_{n+1}.)
![{\red{(n+1)!}}(u_1-\text{e}+2)+{\blue{I_{n+1}}}={\red{(n+1)n!}}(u_1-\text{e}+2)+{\blue{(n+1)I_{n}-1}} \\\phantom{\dfrac{1}{2}........................................}=[(n+1)n!(u_1-\text{e}+2)+(n+1)I_{n}]-1 \\\phantom{\dfrac{1}{2}........................................}=(n+1)[n!(u_1-\text{e}+2)+I_{n}]-1 \\\phantom{\dfrac{1}{2}........................................}=(n+1)u_n-1 \\\phantom{{\red{(n+1)!}}(u_1-\text{e}+2)+{\blue{I_{n+1}}}}=u_{n+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=(n+1)!(u_1-\text{e}+2)+I_{n+1}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{(n+1)!}}(u_1-\text{e}+2)+{\blue{I_{n+1}}}={\red{(n+1)n!}}(u_1-\text{e}+2)+{\blue{(n+1)I_{n}-1}} \\\phantom{\dfrac{1}{2}........................................}=[(n+1)n!(u_1-\text{e}+2)+(n+1)I_{n}]-1 \\\phantom{\dfrac{1}{2}........................................}=(n+1)[n!(u_1-\text{e}+2)+I_{n}]-1 \\\phantom{\dfrac{1}{2}........................................}=(n+1)u_n-1 \\\phantom{{\red{(n+1)!}}(u_1-\text{e}+2)+{\blue{I_{n+1}}}}=u_{n+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=(n+1)!(u_1-\text{e}+2)+I_{n+1}})
 }}}\text{Si}\ u_1=0,7, \ \text{alors }\text{e}\approx2,718\Longrightarrow u_1-\text{e}+2\approx 0,7-2,718+2 \\\phantom{{\red{2.\ \text{a. }}}\text{Si}\ u_1=0,7, \ \text{alors }\text{e}\approx2,718\Longrightarrow u_1-\text{e}+2}\approx -0,018 \\\\\Longrightarrow \boxed{u_1-\text{e}+2<0})
![\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}n!=+\infty\\\\u_1-\text{e}+2<0\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}[n!(u_1-\text{e}+2)+I_n]=-\infty\ \ \ \Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}n!=+\infty\\\\u_1-\text{e}+2<0\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}[n!(u_1-\text{e}+2)+I_n]=-\infty\ \ \ \Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty})
 }}}\text{Si}\ u_1=0,8, \ \text{alors }\text{e}\approx2,718\Longrightarrow u_1-\text{e}+2\approx 0,8-2,718+2 \\\phantom{{\red{2.\ \text{a. }}}\text{Si}\ u_1=0,7, \ \text{alors }\text{e}\approx2,718\Longrightarrow u_1-\text{e}+2}\approx 0,082 \\\\\Longrightarrow \boxed{u_1-\text{e}+2>0})
![\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}n!=+\infty\\\\u_1-\text{e}+2>0\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}[n!(u_1-\text{e}+2)+I_n]=+\infty\ \ \ \Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}n!=+\infty\\\\u_1-\text{e}+2>0\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}[n!(u_1-\text{e}+2)+I_n]=+\infty\ \ \ \Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty})
 }}}\left\lbrace\begin{matrix}z^2=\text{i}^2=-1\phantom{.............................} \\\\\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\text{i}}=\dfrac{1\times\text{i}}{\text{i}\times\text{i}}=\dfrac{\text{i}}{\text{i}^2}=\dfrac{\text{i}}{-1}=-\text{i}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}z^2=-1\\\\\dfrac{1}{z}=-\text{i}\end{matrix}\right.})
 }}}z=-\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\dfrac{2\pi}{3}+\text{i}\sin\dfrac{2\pi}{3}\Longrightarrow\boxed{z=\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}} \\\\\left.\begin{matrix}\text{D'où }z^2=\left(\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\right)^2=\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}\times2}\Longrightarrow\boxed{z^2=\text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{3}}=\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}} \\\\\phantom{\text{D'où }}\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}}\Longrightarrow\boxed{\dfrac{1}{z}=\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}}\end{matrix}\ \ \ \right\rbrace\Longrightarrow\boxed{z^2=\dfrac{1}{z}=\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}})
(1-\dfrac{1}{z})=z^2-\dfrac{z^2}{z}+z-\dfrac{z}{z}+1-\dfrac{1}{z} \\\phantom{{\red{1.}}\ (z^2+z+1)(1-\dfrac{1}{z})}=z^2-z+z-1+1-\dfrac{1}{z} \\\phantom{{\red{1.}}\ (z^2+z+1)(1-\dfrac{1}{z})}=z^2-\dfrac{1}{z} \\\\\Longrightarrow\boxed{z^2-\dfrac{1}{z}=(z^2+z+1)(1-\dfrac{1}{z})})
a pour affixe 
et le vecteur 
a pour affixe 
il existe un nombre réel k tel que : 
)
(1-\dfrac{1}{z})=k(1-\dfrac{1}{z}))
(1-\dfrac{1}{z})-k(1-\dfrac{1}{z})=0)
(1-\dfrac{1}{z})=0)
.^2+(x+\text{i}y)+1 \\\phantom{{\red{3.\ }}\ z^2+z+1}=x^2+2\text{i}xy-y^2+x+\text{i}y+1 \\\phantom{{\red{3.\ }}\ z^2+z+1}=x^2-y^2+x+1+\text{i}(2xy+y) \\\\\Longrightarrow\boxed{z^2+z+1=x^2-y^2+x+1+\text{i}(2xy+y)})
y=0 \\\phantom{z^2+z+1\in\R}\Longleftrightarrow 2x+1=0\ \ \ \ \text{ou }\ \ y=0 \\\phantom{z^2+z+1\in\R}\Longleftrightarrow \boxed{x=-\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \text{ou }\ \ y=0})
0, nous pouvons dire que l'ensemble des points M d'affixe z 
et l'axe réel privé de l'origine O.
: (3 ; 3 ; 3).)
est normal au plan (PQR) 
\\Q(0\,;0\,;2)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{PQ}:(x_Q-x_P\,;y_Q-y_P\,;z_Q-z_P)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow {PQ}:(-2\,;0\,;2)} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}P(2\,;0\,;0)\\R(0\,;4\,;6)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{PR}:(x_R-x_P\,;y_R-y_P\,;z_R-z_P)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow {PR}:(-2\,;4\,;6)})
+b\times0+c\times2=0\\1\times(-2)+b\times4+c\times6=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{............................}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-2+2c=0\\-2+4b+6c=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{............................}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}c=1\\-2+4b+6\times1=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{............................}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}c=1\\4b+4=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{............................}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}c=1\\b=-1\end{matrix}\right.})
)
admet une équation cartésienne })
est normal au plan (PQR), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (PQR) est de la forme 
, soit d = -2.
est perpendiculaire au plan (PQR)..)
.)
}}\times t\\z={\blue{3}}+{\red{1}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R}))
})
-(3-t)+(3+t)-2=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=3+t\\y=3-t\\z=3+t\\3t+1=0 \end{array})
}.)
 } }}\ \Omega I=\sqrt{(x_I-x_{\Omega})^2+(y_I-y_{\Omega})^2+(z_I-z_{\Omega})^2} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) } }}\ \Omega I}=\sqrt{(\dfrac{8}{3}-3)^2+(\dfrac{10}{3}-3)^2+(\dfrac{8}{3}-3)^2} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) } }}\ \Omega I}=\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2+(\dfrac{1}{3})^2+(-\dfrac{1}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{3}{9}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{\Omega I=\dfrac{\sqrt{3}}{3}})
})
et 
sont colinéaires.\\K(6\,;6\,;2)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{JK}:(x_K-x_J\,;y_K-y_J\,;z_K-z_J)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow {JK}:(0\,;2\,;2)} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}Q(0\,;0\,;2)\\R(0\,;4\,;6)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{QR}:(x_R-x_Q\,;y_R-y_Q\,;z_R-z_Q)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow {QR}:(0\,;4\,;4)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow {QR}=2\,\overrightarrow {JK}})
.
2 + 19 +19(y-0)=40-40\Longrightarrow\boxed{20(x-2)+19y=0} \\\\\text{Or }20(x-2)+19y=0\Longleftrightarrow20(x-2)=-19y \\\phantom{\text{Or }20(x-2)+19y=0}\Longleftrightarrow\boxed{20(x-2)=19(-y)})
=19(-y)\Longleftrightarrow20(x-2)=19\times20k \\\phantom{\text{Dans ce cas, }\ 20(x-2)=19(-y)}\Longleftrightarrow 20(x-2)=20\times19k \\\phantom{\text{Dans ce cas, }\ 20(x-2)=19(-y)}\Longleftrightarrow x-2=19k \\\phantom{\text{Dans ce cas, }\ 20(x-2)=19(-y)}\Longleftrightarrow x=2+19k)
.
\ \ \ \ \text{avec }y+k\in\Z})
+1\ \ \ \ \text{avec }y+k\in\Z})
(x+y)=40.)
x - y+(x-y)=20+2\\ (x+y)-(x-y)=20-2\ \end{matrix}\right.\ \ \ \text{ou }\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}(x+y)+(x-y)=10+4\\ (x+y)+(x-y)=10-4\ \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{D'où }\ }\left\lbrace\begin{matrix}2x=22\\2y=18\ \end{matrix}\right.\ \ \ \text{ou }\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}2x=14\\2y=6\ \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{D'où }\ }\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=11\\y=9\ \end{matrix}\right.\ \ \ \text{ou }\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=7\\y=3\ \end{matrix}\right.})
^3+(n-1)^3-n^3-n^3.)
^3+(8-1)^3-8^3-8^3\Longrightarrow\boxed{48=9^3+7^3-8^3-8^3} \\\\\text{Donc }\ 40=48-8=48-2^3\Longrightarrow\boxed{40=9^3+7^3-8^3-8^3-2^3})
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