Fiche de mathématiques

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Sujet de mathématiques du Bac Mathématiques

Tunisie 2019

Durée : 4 heures

Coefficient : 4

5 points

exercice 1

Bac Maths Principale Tunisie 2019 : image 3

Bac Maths Principale Tunisie 2019 : image 9

4 points

exercice 2

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5 points

exercice 3

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6 points

exercice 4

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Annexe à rendre avec la copie

Correction

Bac Maths Principale Tunisie 2019

5 points

exercice 1

1. a) Nous devons montrer que les droites (AB) et (HM) sont parallèles.

Le triangle BAC est rectangle en A car il est inscrit au cercle $\xi$ de diamètre [BC].
D'où la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (AC).

Le triangle MHC est rectangle en H car il est inscrit au cercle $\xi '$ de diamètre [MC].
Donc la droite (MH) est perpendiculaire à la droite (HC).
Or le point A appartient à la droite (HC).
D'où la droite (MH) est perpendiculaire à la droite (AC).

Dès lors, les droites (AB) et (MH) sont perpendiculaires à une même troisième (AC).

Par conséquent, les droites (AB) et (HM) sont parallèles.

Bac Maths Principale Tunisie 2019 : image 11

1. b) Le quadrilatère AMA'B étant un losange, la droite (A'M) est parallèle à (AB).
Nous avons montré dans la question précédente que la droite (MH) est parallèle à (AB).
Or selon l'axiome d'Euclide, il n'existe qu'une seule droite parallèle à une droite donnée (AB) et passant par un point M donné.
Donc, les droites (A'M) et (MH) sont confondues.
Par conséquent, les points H, M et A' sont alignés.

1. c) Dans le triangle ABC, le point H est un point du côté [AC], le point M un point du côté [BC] et (HM) est parallèle à (AB).
En vertu du théorème de Thalès, nous obtenons : $\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{MC}{BC}=\dfrac{HM}{AB}.$
Or par construction du point M (voir énoncé), $MC=\dfrac{1}{3}BC\Longrightarrow\dfrac{\overset{^.}{MC}}{BC}=\dfrac{1}{3}.$
D'où $\dfrac{MC}{BC}=\dfrac{HM}{AB}=\dfrac{1}{3}$ et par conséquent, $\overset{.}{\boxed{HM=\dfrac{1}{3}AB}}$
De plus, nous savons que le triangle MHA est rectangle en H car la droite (MH) est perpendiculaire à la droite (AC).(voir résolution de l'exercice 1.a).
En vertu du théorème de Pythagore, HM² + HA² = MA².
Or MA = AB car le quadrilatère AMA'B est un losange.
D'où HM² + HA² = AB², soit $\boxed{HA^2=AB^2-HM^2}$

2. Soit S la similitude directe de centre H qui envoie A en M.

2. a) L'angle de la similitude est $\boxed{\theta=(\widehat{\overrightarrow{HA},\overrightarrow{HM}})=-\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]}$

Déterminons le rapport $\dfrac{HM}{HA}$ de la similitude S en utilisant les résultats de la question 1. c).

$\left\lbrace\begin{matrix}HA^2=AB^2-HM^2\\HM=\dfrac{1}{3}AB\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}HA^2=AB^2-HM^2\\AB=3\,HM\end{matrix}\right.\Longrightarrow\ \ \ HA^2=(3\,HM)^2-HM^2 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW..WWWWWWW.}\Longrightarrow\ \ \ HA^2=9\,HM^2-HM^2 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW..WWWWWWW.}\Longrightarrow\ \ \ HA^2=8\,HM^2 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW..WWWWWWW.}\Longrightarrow\ \ \ \dfrac{HM^2}{HA^2}=\dfrac{1}{8}=\dfrac{2}{16} \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW..WWWWWWW.}\Longrightarrow\ \ \ \dfrac{HM}{HA}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}}$
Par conséquent, le rapport de la similitude S est égal à $\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{4}}$ .

2. b) $S(A)=M$ et l'angle de la similitude est $\theta=-\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi].$
L'image par S de la droite (AI) est donc une droite perpendiculaire à (AI) passant par M.
D'où l'image par S de la droite (AI) est la droite (MC).
$S(H)=H$ et l'angle de la similitude est $\overset{^.}{\theta=-\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]}.$
L'image par S de la droite (MH) est donc une droite perpendiculaire à (MH) passant par H.
D'où l'image par S de la droite (MH) est la droite (HC).
Par la question 1.b), nous savons que les points A', M et H sont alignés et par suite que la droite (MH) est également la droite (A'H).
D'où A' est le point d'intersection des droites (AI) et (MH).
S(A') sera donc le point d'intersection des images par S des droites (AI) et (MH).
Dès lors, S(A') est le point d'intersection des droites (MC) et (HC).
Par conséquent, S(A') = C.

3. Le point I est le milieu de [AA'] car les diagonales du losange AMA'B se coupent en leurs milieux.
Puisque S(A) = M, S(A') = C et qu'une similitude conserve les milieux, nous en déduisons que S(I) est le milieu de [MC].
Par conséquent, S(I) = I'.
De plus, par définition de S, la droite (HI) est perpendiculaire à (HI').
La droite (HI) est donc perpendiculaire au rayon (HI) du cercle $\xi '$ en son point H.
Nous en déduisons que la droite (HI) est tangente en H au cercle $\xi '.$

4. On pose S' = S_(AH) o S o S_(AH)

4. a) La symétrie orthogonale d'axe (AH) étant un antidéplacement, S_(AH) est une similitude indirecte dont le rapport vaut 1.
Nous savons que la composée de deux similitudes indirectes est une similitude directe et que la composée d'une similitude directe avec une similitude indirecte est une similitude indirecte.
Par sa définition, S' est la composée de trois similitudes parmi lesquelles deux sont indirectes et une seule est directe.
Par conséquent, S' est une similitude directe.

Déterminons le centre de la similitude S'.
$\overset{^.}{S\,'(H)=(S_{(AH)}\circ S\circ S_{(AH)})(H)} \\\phantom{S\,'(H)}=S_{(AH)}( S( {\red{S_{(AH)}(H)}})) \\\phantom{S\,'(H)}=S_{(AH)}( S( {\red{H}}))\ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{car }S_{(AH)}(H)=H) \\\phantom{S\,'(H)}=S_{(AH)}( H)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{car }S(H)=H) \\\phantom{S\,'(H)}=H\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{car }S_{(AH)}(H)=H) \\\\\Longrightarrow\boxed{S'(H)=H}$
D'où le centre de la similitude S' est H.

Déterminons le rapport de la similitude S'.
S' est la composée de trois similitudes parmi lesquelles deux ont un rapport égal à 1 et une seule dont le rapport est $\dfrac{\sqrt{2}}{4}.$
Or $1\times \dfrac{\sqrt{2}}{4}\times 1 = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D'où le rapport de la similitude S' est $\dfrac{\sqrt{2}}{4}.$

4. b) ${\blue{(\widehat{\overrightarrow{A'B}\,;\,\overrightarrow{A'A}})}}=(\widehat{\overrightarrow{CB}\,;\,\overrightarrow{CA}})\,[2\pi]$ car ces angles sont inscrits au cercle $\xi$ et interceptent le même arc $\overset{\frown}{BA}$ .
${\blue{(\widehat{\overrightarrow{A'A}\,;\,\overrightarrow{A'N}})}}=(\widehat{\overrightarrow{CA}\,;\,\overrightarrow{CN}})\,[2\pi]$ car ces angles sont inscrits au cercle $\xi$ et interceptent le même arc $\overset{\frown}{AN}$ .
Or ${\blue{(\widehat{\overrightarrow{A'B}\,;\,\overrightarrow{A'A}})=(\widehat{\overrightarrow{A'A}\,;\,\overrightarrow{A'N}})\,[2\pi]}}$ car les diagonales d'un losange sont les bissectrices de ses angles.

D'où $(\widehat{\overrightarrow{CB}\,;\,\overrightarrow{CA}})=(\widehat{\overrightarrow{CA}\,;\,\overrightarrow{CN}})\,[2\pi]}}$
Nous en déduisons que [CA) est bissectrice de l'angle $(\widehat{\overrightarrow{CM}\,;\,\overrightarrow{CN}}).$

De plus, nous avons montré précédemment que la droite (CH) est perpendiculaire à (MN).
Dès lors, [CH] est la hauteur du triangle MCN issue de C.
Or, dans tout triangle, si la bissectrice d'un angle est aussi hauteur, alors le triangle est isocèle.
Par conséquent, le triangle MCN est isocèle de sommet principal C.

${\red{4.\ \text{c) }}}\ S'(A)=(S_{(AH)}\circ S\circ S_{(AH)})(A) \\\phantom{{\red{4.\ c)}}\ S\,'(A)}=S_{(AH)}( S( {\red{S_{(AH)}(A)}})) \\\phantom{{\red{4.\ c)}}\ S\,'(A)}=S_{(AH)}( S( {\red{A}}))\ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{car }S_{(AH)}(A)=A) \\\phantom{{\red{4.\ c)}}\ S\,'(A)}=S_{(AH)}( M)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{car }S(A)=M) \\\phantom{{\red{4.\ c)}}\ S\,'(A)}=N\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{car }S_{(AH)}(M)=N\text{ puisque MCN est un triangle isocèle}) \\\\\Longrightarrow\boxed{S'(A)=N}$
Par conséquent, l'angle de la similitude S' est $\boxed{(\widehat{\overrightarrow{HA}\,;\,\overrightarrow{HN}})=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]}$

4 points

exercice 2

${\red{1.\ \text{a) }}}\ \left\lbrace\begin{array}l A(2\,;0\,;1)\\B(-2\,;0\,;1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2-2\\0-0 \\1-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-4\\0\\0\end{pmatrix}}$
$\left\lbrace\begin{array}l A(2\,;0\,;1)\\C(1\,;1\,;1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1-2\\1-0 \\1-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}$
$\text{Or }\ {\blue{\dfrac{x_{\overrightarrow{AB}}}{x_{\overrightarrow{AC}}}\neq\dfrac{y_{\overrightarrow{AB}}}{y_{\overrightarrow{AC}}}}}\ \ \text{car }\ \ \dfrac{-4}{-1}\neq\dfrac{0}{1}$
D'où les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les points A, B et C ne sont pas alignés.

1. b) Les points A, B et C appartiennent au plan P d'équation $z=1$ car $z_A=z_B=z_C=1.$
Les points A, B et C n'étant pas alignés, ils déterminent un plan unique P.
Par conséquent, le plan P déterminé par les points A, B et C admet comme équation : z = 1.

2. Soit S l'ensemble des points M (x ;y ;z ) de l'espace tels que x ² + y ² + z ² - 4z - 1 = 0

2. a) Une équation cartésienne de la sphère de centre $\Omega(\alpha\,;\,\beta\,;\,;\gamma)$ et de rayon r est $\overset{^.}{(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2+(z-\gamma)^2=r^2}.$

$\text{Or }\ x^2+y^2+z^2-4z-1=0\Longleftrightarrow x^2+y^2+z^2-4z\,{\red{+\, 4-4}}-1=0 \\\phantom{\text{Or }\ x^2+y^2+z^2-4z-1=0}\Longleftrightarrow x^2+y^2+(z^2-4z+4)-5=0 \\\phantom{\text{Or }\ x^2+y^2+z^2-4z-1=0}\Longleftrightarrow x^2+y^2+(z-2)^2-5=0 \\\phantom{\text{Or }\ x^2+y^2+z^2-4z-1=0}\Longleftrightarrow x^2+y^2+(z-2)^2=5 \\\phantom{\text{Or }\ x^2+y^2+z^2-4z-1=0}\Longleftrightarrow \boxed{x^2+y^2+(z-2)^2=(\sqrt{5})^2}$
Donc S est une sphère de rayon $r=\sqrt{5}$ et dont le centre est $\Omega(0\,;0\,;2).$

2. b) Résolvons le système composé par les équations du plan P et de la sphère S.
$\left\lbrace\begin{matrix}z=1\\x^2+y^2+z^2-4z-1=0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}z=1\\x^2+y^2+1^2-4\times1-1=0\end{matrix}\right. \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWWWWw..}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}z=1\\x^2+y^2-4=0\end{matrix}\right.} \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWWWWw..}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}z=1\\x^2+y^2=4\end{matrix}\right.}$
Or dans le plan P, $x^2+y^2=4$ est l'équation d'un cercle de centre (0 ; 0) et de rayon 2 dans le repère $(O\,;\overrightarrow{i}\,;\overrightarrow{j}).$
Par conséquent, S et P se coupent suivant le cercle $\mathscr{C}$ de centre (0 ; 0 ; 1) et de rayon 2.

3. Soit $\lambda\in\R\setminus \lbrace2\rbrace,\ \Omega_{\lambda}(0\,;\,0\,;\lambda)\ \ \text{et}\ \ R_{\lambda}=\sqrt{(\lambda-1)^2+4}.$

3. a) Déterminons une équation cartésienne de la sphère S.

$S_{\lambda}:(x-0)^2+(y-0)^2+(z-\lambda)^2=(\sqrt{(\lambda-1)^2+4})^2 \\\\\Longrightarrow \boxed{S_{\lambda}:\ x^2+y^2+(z-\lambda)^2=(\lambda-1)^2+4}$
Résolvons ensuite le système composé par les équations du plan P et de la sphère S.
$\left\lbrace\begin{matrix}z=1\\x^2+y^2+(z-\lambda)^2=(\lambda-1)^2+4\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}z=1\\x^2+y^2+(1-\lambda)^2=(\lambda-1)^2+4\end{matrix}\right. \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWW.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}z=1\\x^2+y^2=4\end{matrix}\right.}$
Or dans le plan P, $x^2+y^2=4$ est l'équation du cercle $\mathscr{C}$ dans le repère $(O\,;\overrightarrow{i}\,;\overrightarrow{j}).$
Par conséquent, S et P se coupent suivant le cercle $\mathscr{C}$ .

3. b) Le point D(-4 ; 0 ; -1) appartient à S si ses coordonnées vérifient l'équation de S.
$\overset{^.}{\text{D'où }}\ D(-4\, ; 0\, ; -1)\in S_{\lambda_0}\Longleftrightarrow(-4)^2+0^2+(-1-\lambda_0)^2=(\lambda_0-1)^2+4 \\\phantom{\text{D'où }\ D(-4\, ; 0\, ; -1)\in S_{\lambda_0}}\Longleftrightarrow16+0+1+2\lambda_0+\lambda_0^2=\lambda_0^2-2\lambda_0+1+4 \\\phantom{\text{D'où }\ D(-4\, ; 0\, ; -1)\in S_{\lambda_0}}\Longleftrightarrow4\lambda_0=-12 \\\phantom{\text{D'où }\ D(-4\, ; 0\, ; -1)\in S_{\lambda_0}}\Longleftrightarrow\boxed{\lambda_0=-3}$

Dès lors, la sphère S_₀ a pour centre $\Omega_{\lambda_0}(0\,;\,0\,;-3)$ et pour rayon $R_{\lambda_0}=\sqrt{(-3-1)^2+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.$

3. c) Déterminons les homothéties de l'espace transformant S en S_₀.
Notons h une homothétie de centre H et de rapport k transformant S en S_₀.
$S_{\lambda_0}=h(S)\Longrightarrow R_{\lambda_0}=|k|R \\\overset{}{\phantom{S_{\lambda_0}=h(S)}\Longrightarrow 2\sqrt{5}=|k|\sqrt{5}} \\\overset{}{\phantom{S_{\lambda_0}=h(S)}\Longrightarrow |k|=2} \\\overset{}{\phantom{S_{\lambda_0}=h(S)}\Longrightarrow \boxed{k=2\ \ \ \text{ou}\ \ \ k=-2}}$

Premier cas : k = 2.

$S_{\lambda_0}=h(S)\Longrightarrow \overrightarrow{H\Omega_{\lambda_0}}=2.\overrightarrow{H\Omega}$

$\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}H:(x_H;y_H;z_H)\\\Omega_{\lambda_0}:(0\,;0\,;-3)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{H\Omega_{\lambda_0}}\begin{pmatrix}0-x_H\\0-y_H\\-3-z_H\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{H\Omega_{\lambda_0}}\begin{pmatrix}-x_H\\-y_H\\-3-z_H\end{pmatrix} \\\\ \phantom{\text{Or }}\left\lbrace\begin{matrix}H:(x_H;y_H;z_H)\\\Omega:(0\,;0\,;2)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{H\Omega}\begin{pmatrix}0-x_H\\0-y_H\\2-z_H\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{H\Omega}\begin{pmatrix}-x_H\\-y_H\\2-z_H\end{pmatrix}$

$\text{D'où }\ \overrightarrow{H\Omega_{\lambda_0}}=2.\overrightarrow{H\Omega}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}-x_H\\-y_H\\-3-z_H\end{pmatrix}=2.\begin{pmatrix}-x_H\\-y_H\\2-z_H\end{pmatrix} \\\\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{H\Omega_{\lambda_0}}=2.\overrightarrow{H\Omega}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-x_H=-2x_H\\-y_H=-2y_H\\-3-z_H=4-2z_H\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_H=0\\y_H=0\\z_H=7\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{H:(0\,;0\,;7)}$

Deuxième cas : k = -2.

$S_{\lambda_0}=h(S)\Longrightarrow \overrightarrow{H\Omega_{\lambda_0}}=-2.\overrightarrow{H\Omega}$

$\text{D'où }\ \overrightarrow{H\Omega_{\lambda_0}}=-2.\overrightarrow{H\Omega}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}-x_H\\-y_H\\-3-z_H\end{pmatrix}=-2.\begin{pmatrix}-x_H\\-y_H\\2-z_H\end{pmatrix} \\\\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{H\Omega_{\lambda_0}}=2.\overrightarrow{H\Omega}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-x_H=2x_H\\-y_H=2y_H\\-3-z_H=-4+2z_H\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-3x_H=0\\-3y_H=0\\-3z_H=-1\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_H=0\\y_H=0\\z_H=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{H:(0\,;0\,;\dfrac{1}{3})}$
Par conséquent, il existe deux homothéties de l'espace transformant S en S_₀.
La première homothétie a pour centre $H_1:(0\,;0\,;7)$ et son rapport est k ₁ = 2.
La seconde homothétie a pour centre $H_2:(0\,;0\,;\dfrac{1}{3})$ et son rapport est k ₂ = -2.

5 points

exercice 3

1. Soit dans

² l'équation (E) : 29x - 13y = 6.

1. a) (2 ; 4) est solution de l'équation (E) car 29 multiplie

2 - 13

4 = 58 - 52 = 6.

1. b) Résolvons l'équation (E) dans

².

$\left\lbrace\begin{matrix}29x-13y=6\\29\times2-13\times4=6\end{matrix}\right.\ \ \ \ \underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\ \ \ \ 29(x-2)-13(y-4)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\ \ \ \ 29(x-2)=13(y-4)$

Donc l'entier 13 divise le produit 29(x - 2).
Or nous savons que 13 et 29 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 13 divise (x - 2).
Dès lors, il existe un entier relatif k tel que x - 2 = 13k , soit $\boxed{x=2+13k}$ .

$\text{De plus, }\ \left\lbrace\begin{matrix}29(x-2)=13(y-4)\\x=2+13k\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ 29\times13k=13(y-4) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ 29k=y-4 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{y=4+29k}$
Par conséquent, l'ensemble S des solutions de (E) dans

² est S = {(2 + 13k ; 4 + 29k ) ; k}.

Soit dans l'équation (E') : $x^{19}\equiv -2\ [29].$

2. Le petit théorème de Fermat peut s'énoncer comme suit :
Si p est un nombre premier et a est un nombre entier premier avec p, alors $\boxed{a^{p-1}\equiv1\,[p]}$ .
Le nombre 29 est un nombre premier et 2 ne divise par 29.
Selon le petit théorème de Fermat, nous obtenons : $2^{29-1}\equiv1\,[29]$ , soit $\boxed{2^{28}\equiv1\,[29]}$

Montrons que -8 est solution de (E').
$(-8)^{19}=\left((-2)^3\right)^{19}=(-2)^{3\times19}=(-2)^{57}\Longrightarrow{\blue{(-8)^{19}=(-2)^{57}}} \\\\\text{Or }\ 2^{28}\equiv1\Longrightarrow(2^{28})^2\equiv1\,[29] \\\overset{}{\phantom{\text{Or }\ 2^{28}\equiv1}\Longrightarrow2^{56}\equiv1\,[29]} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }\ 2^{28}\equiv1}\Longrightarrow-2\times2^{56}\equiv-2\,[29]} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }\ 2^{28}\equiv1}\Longrightarrow-2\times(-2)^{56}\equiv-2\,[29]} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }\ 2^{28}\equiv1}\Longrightarrow{\blue{(-2)^{57}}}\equiv-2\,[29]} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }\ 2^{28}\equiv1}\Longrightarrow\boxed{{\blue{(-8)^{19}}}\equiv-2\,[29]}}$
D'où -8 vérifie l'équation $x^{19}\equiv -2\ [29].$
Par conséquent, -8 est solution de (E').

3. Soit x ₀ une solution de (E').

3. a) Montrons que x ₀ n'est pas un multiple de 29.
x ₀ une solution de (E') signifie que $x_0^{19}\equiv -2\ [29].$
Si x ₀ est un multiple de 29, alors $x_0\equiv 0\ [29].$ et donc $x_0^{19}\equiv 0\ [29].$
Dans ce cas, x ₀ n'est pas une solution de (E').
Par contraposée, nous en déduisons que si x ₀ est une solution de (E'), alors x ₀ n'est pas un multiple de 29

De plus, 29 est un nombre premier et x ₀ est premier avec 29.
Selon le petit théorème de Fermat, $x_0^{29-1}\equiv1\,[29]$ , soit $\boxed{x_0^{28}\equiv1\,[29]}$

3. b) x ₀ est une solution de (E').
D'où $x_0^{19}\equiv-2\,[29].$
$x_0^{19}\equiv-2\,[29]\Longrightarrow (x_0^{19})^3\equiv(-2)^3\,[29] \\\overset{}{\phantom{x_0^{19}\equiv-2\,[29]}\Longrightarrow \boxed{x_0^{57}\equiv-8\,[29]}}$

Montrons que $x_0\equiv-8\,[29].$
Nous savons que $x_0^{57}\equiv-8\,[29]$ , soit que $x_0\times x_0^{56}\equiv-8\,[29]$
$\overset{^.}{\text{Or }}\ x_0^{28}\equiv1\,[29]\Longrightarrow (x_0^{28})^2\equiv1\,[29] \\\overset{}{\phantom{\text{Or }\ x_0^{28}\equiv1\,[29]}\Longrightarrow x_0^{56}\equiv1\,[29]}$

Dès lors, $\left\lbrace\begin{matrix}x_0\times x_0^{56}\equiv-8\,[29]\\\\x_0^{56}\equiv1\,[29]\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{x_0\equiv-8\,[29]}$

3. c) Supposons que x soit une solution de (E'), alors selon la question 3. c), $x\equiv-8\,[29].$
Dès lors, il existe une valeur k telle que x = -8 + 29k .

Montrons que pour tout k , x = -8 + 29k est une solution de (E').
Supposons que x = -8 + 29k où k appartient

.
Dans ce cas, $x\equiv-8\,[29]\Longrightarrow \overset{^.}{x^{19}}\equiv(-8)^{19}\,[29].$
Or par la question 2), nous savons que -8 est solution de (E'), soit que $(-8)^{19}\equiv-2\,[29].$
D'où $\left\lbrace\begin{matrix}x^{19}\equiv(-8)^{19}\,[29]\\\\ (-8)^{19}\equiv-2\,[29]\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ x^{19}\equiv-2\,[29]$ et donc, x est solution de (E')
Par conséquent, l'ensemble des solutions dans de l'équation (E') est $\boxed{S=\lbrace-8 + 29k\ ;\ k\in\Z\rbrace}$

3. d) Résoudre dans

l'équation $(x-3)^{19}\equiv-2\,[29].$
Posons X = x - 3.
$(x-3)^{19}\equiv-2\,[29]\Longleftrightarrow X^{19}\equiv-2\,[29] \\\overset{}{\phantom{(x-3)^{19}\equiv-2\,[29]}\Longleftrightarrow X=-8+29k\ \ \ \text{où}\ \ \ k\in\Z\ \ \ \text{(voir question 3.c)}} \\\overset{}{\phantom{(x-3)^{19}\equiv-2\,[29]}\Longleftrightarrow x-3=-8+29k\ \ \ \text{où}\ \ \ k\in\Z} \\\overset{}{\phantom{(x-3)^{19}\equiv-2\,[29]}\Longleftrightarrow x=-5+29k\ \ \ \text{où}\ \ \ k\in\Z}$
Par conséquent, l'ensemble des solutions dans de l'équation $(x-3)^{19}\equiv-2\,[29]$ est $\boxed{S=\lbrace-5 + 29k\ ;\ k\in\Z\rbrace}$

4. Résoudre dans

le système $\left\lbrace\begin{matrix}(x-3)^{19}\equiv-2\,[29]\\ (x-3)^{13}\equiv-2\,[13\end{matrix}\right.$

$\boxed{{\blue{(x-3)^{19}\equiv-2\,[29]\Longleftrightarrow x=-5+29k_1\ \ \ \text{où}\ \ \ k_1\in\Z}}}\ \ \ (\text{voir question 3.d)}$

Résoudre dans

l'équation $(x-3)^{13}\equiv-2\,[13].$
Posons X = x - 3.
$(x-3)^{13}\equiv-2\,[13]\Longleftrightarrow X^{13}\equiv-2\,[13]$
13 est un nombre premier et X est premier avec 13 (démonstration analogue à la question 3a).
Selon le petit théorème de Fermat, $X^{13-1}\equiv1\,[13]$ , soit $\boxed{X^{12}\equiv1\,[12]}$

Dès lors, $\left\lbrace\begin{matrix}X\times X^{12}\equiv-2\,[13]\\\\X^{12}\equiv1\,[13]\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ X\equiv-2\,[13]$

$\text{Or }X\equiv-2\,[13]\Longleftrightarrow x-3\equiv-2\,[13] \\\overset{}{\phantom{\text{Or }X\equiv-2\,[13]}\Longleftrightarrow x-3=-2+13k_2\ \ \ \text{où}\ \ \ k_2\in\Z} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }X\equiv-2\,[13]}\Longleftrightarrow x=1+13k_2\ \ \ \text{où}\ \ \ k_2\in\Z}$

$\text{D'où }\boxed{{\blue{(x-3)^{13}\equiv-2\,[13]\Longleftrightarrow x=1+13k_2\ \ \ \text{où}\ \ \ k_2\in\Z}}}$

Par conséquent,

${\blue{\left\lbrace\begin{matrix}(x-3)^{19}\equiv-2\,[29]\\ (x-3)^{13}\equiv-2\,[13\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=-5+29k_1\ \ \ \text{où}\ \ \ k_1\in\Z\\x=1+13k_2\ \ \ \text{où}\ \ \ k_2\in\Z\end{matrix}\right.}} \\\\\phantom{WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow-5+29k_1=1+13k_2\ \ \ \text{où}\ \ \ (k_1\,;k_2)\in\Z^2 \\\\\phantom{WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow\boxed{29k_1-13k_2=6\ \ \ \text{où}\ \ \ (k_1\,;k_2)\in\Z^2}$

En utilisant la question 1), nous obtenons : $\left\lbrace\begin{matrix}k_1=2+13k\\k_2=4+29k\end{matrix}\right.\ \ \ \text{où }\ k\in\Z$

$\left\lbrace\begin{matrix}x=-5+29k_1\\x=1+13k_2\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=-5+29(2+13k)\\x=1+13(4+29k)\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=53+377k\\x=53+377k\end{matrix}\right.\ \ (k\in\Z)$

D'où l'ensemble des solutions dans du système $\left\lbrace\begin{matrix}(x-3)^{19}\equiv-2\,[29]\\ (x-3)^{13}\equiv-2\,[13\end{matrix}\right.$ est $\boxed{S=\lbrace53 + 377k\ ;\ k\in\Z\rbrace}$

6 points

exercice 4

Soit la fonction f définie sur [0 ; + infini

[ par $f(x)=\sqrt{1-\text{e}^{-x}}.$

1. a) La fonction f est continue et strictement croissante sur [0 ; +[
car $f'(x)=\dfrac{(1-\text{e}^{-x})'}{2\sqrt{1-\text{e}^{-x}}}=\dfrac{\text{e}^{-x}}{2\sqrt{1-\text{e}^{-x}}}>0.$

De plus $\boxed{{\blue{f([0\,;+\infty[)=[0\,;1[}}}$

car $f(0)=\sqrt{1-\text{e}^{0}}=\sqrt{1-1}=0\Longrightarrow{\blue{f(0)=0}}$

$\text{et }\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-x)=-\infty\\\overset{}{\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^{X}=0}\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{(par composition}}{\Longrightarrow}\ \ \ \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0 \\\phantom{WWWWWWWWWW.WW..}\Longrightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ \lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{1-\text{e}^{-x}}=1 \\\phantom{WWWWWWWWWW.WW..}\Longrightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ {\blue{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1}}$
Par conséquent, la fonction f possède une fonction réciproque g définie sur [0 ; 1[.

1. b) Pour tout x appartient

[0 ; 1[ et tout y appartient

[0 ; +

[,
$y=g(x)\Longleftrightarrow x=f(y) \\\overset{}{\phantom{y=g(x)}\Longleftrightarrow x=\sqrt{1-\text{e}^{-y}}} \\\overset{}{\phantom{y=g(x)}\Longleftrightarrow x^2=1-\text{e}^{-y}} \\\overset{}{\phantom{y=g(x)}\Longleftrightarrow \text{e}^{-y}=1-x^2} \\\overset{}{\phantom{y=g(x)}\Longleftrightarrow -y=\ln(1-x^2)} \\\overset{}{\phantom{y=g(x)}\Longleftrightarrow y=-\ln(1-x^2)} \\\overset{}{\phantom{y=g(x)}\Longleftrightarrow \boxed{g(x)=-\ln(1-x^2)}}$

1. c) Soit la fonction h définie sur [0 ; 1] par $h(x)=g(x)-x$ .
La fonction h est continue sur l'intervalle [0 ; 1[.
$h(0,7)=g(0,7)-0,7=-\ln(1-(0,7)^2)-0,7=-\ln(0,51)-0,7 \\\overset{^.}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow {\blue{h(0,7)\approx-0,026655<0}}} \\\\h(0,8)=g(0,8)-0,8=-\ln(1-(0,8)^2)-0,8=-\ln(0,36)-0,8 \\\overset{^.}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow {\blue{h(0,8)\approx0,22165>0}}}$
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons que l'équation h (x ) = 0 admet au moins une solution alpha

sur l'intervalle [0,7 ; 0,8].
Or h (x ) = 0 equivaut

g (x ) - x = 0 equivaut

g (x ) = x .
Par conséquent, l'équation g (x ) = x admet au moins une solution sur l'intervalle [0,7 ; 0,8].

1. d) Représentation graphique $\mathscr{C\,'}$ de la fonction g dans le repère $(O\,,\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j}).$
Les courbes représentatives $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C\,'}$ des deux fonctions réciproques f et g sont symétriques par rapport à la première bissectrice deltamaj

d'équation y = x .

Bac Maths Principale Tunisie 2019 : image 12

2. Soit

la fonction définie sur [0 ; 1[ par $\varphi(x)=\int\limits_0^{g(x)}f(t)\,dt.$

2. a) La fonction f est continue sur [0 ; + infini

[.
La fonction g est dérivable sur [0 ; 1[ et l'image par g de l'intervalle [0 ; 1[est [0 ; + infini

[.
Nous en déduisons que la fonction est dérivable sur [0 ;1[.

$\boxed{\varphi\,'(x)=f(g(x))\times g'(x)} \\\\\text{Or }\ f(g(x))=x \\\overset{}{\phantom{\text{Or }\ }g'(x)=\left(-\ln(1-x^2)\right)'}=-\dfrac{(1-x^2)'}{1-x^2}=-\dfrac{-2x}{1-x^2}=\dfrac{2x}{1-x^2} \\\\\text{D'où }\ \varphi\,'(x)=x\times\dfrac{2x}{1-x^2}\Longrightarrow\boxed{\varphi\,'(x)=\dfrac{2x^2}{1-x^2}}$

2.b) Pour tout x appartenant à [0 ; 1[,

$\dfrac{2x^2}{1-x^2}=a+\dfrac{b}{1+x}+\dfrac{c}{1-x}\Longleftrightarrow\dfrac{2x^2}{1-x^2}=\dfrac{a(1+x)(1-x)+b(1-x)+c(1+x)}{(1+x)(1-x)} \\\\\phantom{WWWWWWWWW..WW}\Longleftrightarrow\dfrac{2x^2}{1-x^2}=\dfrac{a(1-x^2)+b-bx+c+cx}{1-x^2} \\\\\phantom{WWWWWWWWW..WW}\Longleftrightarrow\dfrac{2x^2}{1-x^2}=\dfrac{a-ax^2+b-bx+c+cx}{1-x^2} \\\\\phantom{WWWWWWWWW..WW}\Longleftrightarrow\dfrac{2x^2}{1-x^2}=\dfrac{-ax^2+(c-b)x+a+b+c}{1-x^2}$

Par identification des coefficients des diverses puissances de x , nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}-a=2\\c-b=0\\a+b+c=0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}a=-2\\b=c\\-2+b+c=0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}a=-2\\b=c\\-2+c+c=0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}a=-2\\b=c\\-2+2c=0\end{matrix}\right.\\\\\Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}a=-2\\b=c\\2c=2\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}a=-2\\b=c\\c=1\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}a=-2\\b=1\\c=1\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\ \boxed{\dfrac{2x^2}{1-x^2}=-2+\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1-x}}$

2. c) Nous déduisons de la question précédente que pour tout x appartenant à [0 ; 1[, $\varphi'(x)=-2+\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1-x}.$

La fonction phi

est la primitive de la fonction phi

' vérifiant la condition $\boxed{\varphi(0)=0}\ \ \ \text{car }\varphi(0)=\int\limits_0^{g(0)}f(t)\,dt=\int\limits_0^0f(t)\,dt=0$

La fonction phi

est définie sur [0 ; 1[ par $\varphi(x)=-2x+\ln(1+x)-\ln(1-x)+k\ \ \ (k\in\R)$ ,
soit par $\varphi(x)=-2x+\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)+k\ \ \ (k\in\R)$
$\text{Or }\varphi(0)=0\Longleftrightarrow-2\times0+\ln\left(\dfrac{1+0}{1-0}\right)+k=0 \\\phantom{\text{Or }\varphi(0)=0}\Longleftrightarrow0+\ln1+k=0 \\\phantom{\text{Or }\varphi(0)=0}\Longleftrightarrow \boxed{k=0}$
Par conséquent, la fonction est définie sur [0 ; 1[ par $\boxed{\varphi(x)=-2x+\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)}.$

2. d) L'aire de la région du plan située entre les courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C\,'}$ est donnée par : $\mathscr{A}=\int\limits_0^{\alpha}|f(x)-g(x)|\,dx.$
Les courbes représentatives $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C\,'}$ des deux fonctions réciproques f et g sont symétriques par rapport à la première bissectrice deltamaj

d'équation y = x .
Dès lors,
$\mathscr{A}=2\times\int\limits_0^{\alpha}(f(x)-x)\,dx \Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=2\times\left(\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx-\int\limits_0^{\alpha}x\,dx\right)} \\\\\text{Or }\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx=\int\limits_0^{g(\alpha)}f(x)\,dx\ \ \ \ \ (\text{car }g(\alpha)=\alpha\longrightarrow\text{voir question 1.c)} \\\phantom{xxx}\Longrightarrow\boxed{\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,dx=\varphi(\alpha)} \\\\\text{et }\int\limits_0^{\alpha}x\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}\right]\limits_0^{\alpha}=\dfrac{\alpha^2}{2}-\dfrac{0^2} {2}\Longrightarrow\boxed{\int\limits_0^{\alpha}x\,dx=\dfrac{\alpha^2}{2}}$

Par conséquent, $\boxed{\mathscr{A}=2\left(\varphi(\alpha)-\dfrac{\alpha^2}{2}\right)}.$

3. Soit (u_n ) la suite définie sur $\N^*$ par $u_n=\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac{1}{k.3^k}}.$
Soit n supegal

1. On pose pour tout t appartient

[0 ; 1], $S_n(t)=2\sum\limits_{k=1}^nt^{2k-1}.$

${\red{3.\ \text{a) }}}\ \int\limits_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}}S_n(t)\,dt=\int\limits_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}}2\sum\limits_{k=1}^nt^{2k-1}\,dt=2\sum\limits_{k=1}^n\int\limits_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}}t^{2k-1}\,dt=2\sum\limits_{k=1}^n\left[\dfrac{t^{2k}}{2k}\right]\limits_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sum\limits_{k=1}^n\left[\dfrac{t^{2k}}{k}\right]\limits_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \\\\\phantom{wwwWWWWW}=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\left[\overset{}{t^{2k}}\right]\limits_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\left((\dfrac{\sqrt{3}}{3})^{2k}-0\right)=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2k}$
$\\\\\phantom{wwwWWWWW}=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\left(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\right)^{k}=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\left(\dfrac{3}{9}\right)^{k}=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k}=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\left(\dfrac{1}{3^k}\right) \\\\\phantom{wwwWWWWW}=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k.3^k}=u_n \\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}}S_n(t)\,dt=u_n}$

3. b) Rappelons un résultat déjà explicité dans la question 1. a).
$g'(t)=[-\ln(1-t^2)]'=-\dfrac{(1-t^2)'}{1-t^2}=-\dfrac{-2t}{1-t^2}=\dfrac{2t}{1-t^2}\Longrightarrow\boxed{g'(t)=\dfrac{2t}{1-t^2}}$

Dès lors, nous savons par définition, que $S_n(t)=2\sum\limits_{k=1}^nt^{2k-1}$ .
Or $\sum\limits_{k=1}^nt^{2k-1}=t+t^3+t^5+\dots+t^{2n-1}$ est la somme de n termes d'une suite géométrique de premier terme t et de raison t ².
Donc $\sum\limits_{k=1}^nt^{2k-1}=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \Longrightarrow\sum\limits_{k=1}^nt^{2k-1}=t\times\dfrac{1-(t^2)^n}{1-t^2}$

Nous en déduisons que : $2\sum\limits_{k=1}^nt^{2k-1}=2t\times\dfrac{1-t^{2n}}{1-t^2}=(1-t^{2n})\times\dfrac{2t}{1-t^2}=(1-t^{2n})\times g'(t)$
Par conséquent, pour tout t appartient

[0 ; 1[, $\boxed{S_n(t)=(1-t^{2n})\times g'(t)}$

${\red{3.\ \text{c) }}}\ 0\le t\le\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Longrightarrow 0\le t^{2}\le\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \\\phantom{WWWWWWW}\Longrightarrow 0\le t^{2}\le\dfrac{1}{3} \\\phantom{WWWWWWW}\Longrightarrow 0\le \left(t^{2}\right)^n\le\left(\dfrac{1}{3}\right)^n \\\phantom{WWWWWWW}\Longrightarrow 0\le t^{2n}\le\dfrac{1}{3^n} \\\phantom{WWWWWWW}\Longrightarrow -\dfrac{1}{3^n}\le -t^{2n}\le0 \\\phantom{WWWWWWW}\overset{}{\Longrightarrow 1-\dfrac{1}{3^n}\le 1-t^{2n}\le1} \\\phantom{WWWWWWW}\overset{}{\Longrightarrow (1-\dfrac{1}{3^n})g'(t)\le (1-t^{2n})g'(t)\le g'(t)\ \ \ \ \ (\text{car }g'(t)\ge0)} \\\\\text{D'où pour tout }0\le t\le\dfrac{\sqrt{3}}{3},\ \boxed{(1-\dfrac{1}{3^n})g'(t)\le S_n(t)\le g'(t)}$

${\red{3.\ \text{d) }}}\ (1-\dfrac{1}{3^n})g'(t)\le S_n(t)\le g'(t)\Longrightarrow \int\limits_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}}(1-\dfrac{1}{3^n})g'(t)\,dt\le \int\limits_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}}S_n(t)\,dt\le \int\limits_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}}g'(t)\,dt \\\phantom{WWWWWWWWWW.WWWW}\Longrightarrow(1-\dfrac{1}{3^n})\left[\overset{}{g(t)}\right]\limits_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}}\le u_n\le \left[\overset{}{g(t)}\right]\limits_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \\\phantom{WWWWWWWWWW.WWWW}\Longrightarrow(1-\dfrac{1}{3^n})\left[\overset{}{g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})-g(0)}\right]\le u_n\le g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})-g(0) \\\phantom{WWWWWWWWWW.WWWW}\Longrightarrow\boxed{(1-\dfrac{1}{3^n})g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})\le u_n\le g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})}$

4. La suite (u_n ) est croissante car $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+1).3^{n+1}}>0.$
La suite (u_n ) est bornée supérieurement par $g(\dfrac{\sqrt{3}}{3}).$
Par conséquent, la suite (u_n ) est convergente.

$(1-\dfrac{1}{3^n})g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})\le u_n\le g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}(1-\dfrac{1}{3^n})g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})\le \lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le \lim\limits_{n\to+\infty}g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})}$

$\text{Or }0<\dfrac{1}{3}<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0 \\\overset{}{\phantom{\text{Or }0<\dfrac{1}{3}<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1}{3^n}=0} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }0<\dfrac{1}{3}<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to +\infty}\left(1-\dfrac{1}{3^n}\right)=1} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }0<\dfrac{1}{3}<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to +\infty}\left(1-\dfrac{1}{3^n}\right)g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})=g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})}$

D'où, $\left\lbrace\begin{matrix}{\blue{\lim\limits_{n\to+\infty}(1-\dfrac{1}{3^n})g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})}}\le \lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le {\red{\lim\limits_{n\to+\infty}g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})}}\\\overset{}{\blue{\lim\limits_{n\to +\infty}\left(1-\dfrac{1}{3^n}\right)g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})}}=g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\overset{}{\red{\lim\limits_{n\to+\infty}g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})}}=g(\dfrac{\sqrt{3}}{3}) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})}$

Sachant que $g(\dfrac{\sqrt{3}}{3})=-\ln\left(1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\right)=-\ln\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=-\ln\left(\dfrac{2}{3}\right)=\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)$ ,
nous en déduisons que $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)}$

Publié par malou le 14-02-2021

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