Fiche de mathématiques

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Bac C Côte d'Ivoire 2019

Coefficient : 5

Durée : 4 heures

Tout modèle de calculatrice scientifique est autorisé

Les tables trigonométriques, logarithmiques et les règles à calculer sont aussi autorisées.
points

exercice 1.

points

exercice 2.

points

probleme

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Bac C Côte d'Ivoire 2019

exercice 1

1. a) G est le barycentre des points pondérés (A,4), (B,-1) et (D,-1).
En vertu du théorème de réduction d'une somme vectorielle, nous déduisons que pour tout point M du plan,
$4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MD}=(4-1-1)\overrightarrow{MG}\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ {\blue{4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MG}}}.$
Dans le cas où M = A, nous obtenons :

$4\overrightarrow{AA}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AG}\Longleftrightarrow-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AG}\ \ \ \ (\text{car }\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}) \\\\\phantom{WWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AG} \\\\\phantom{WWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AG}\ \ \ \ (\text{par la relation de Chasles) } \\\\\phantom{WWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{AG} \\\\\phantom{WWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow2\overrightarrow{KA}=2\overrightarrow{AG}\ \ \ \ (\text{car K est le centre du carré ABCD) } \\\\\phantom{WWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow\boxed{\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{AG}}$
Par conséquent, le point A est le milieu du segment [KG].

1. b. Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires.
D'où les droites (AC) et (DB) sont perpendiculaires en K.
Puisque G est un point de la droite (AC) et B est un point de la droite (DB), nous en déduisons que le triangle GKB est rectangle en K.
Par Pythagore, nous avons : $GB^2=GK^2+KB^2.$

Or GK = 2AK car A est le milieu du segment [GK]
      2AK = AC car K est le milieu de la diagonale [AC] du carré ABCD.
Donc GK = AC.
Par suite, GK² = AC²
                                = AB² + BC² (car le triangle ABC est rectangle en B)
                                = 3² + 3² = 9 + 9
                                = 18.
D'où GK² = 18.

De plus, KB = ½ DB car K est le milieu de la diagonale [DB] du carré ABCD.
$\text{D'où } KB^2 = \dfrac{1}{4} DB^2 \\\\\phantom{\text{D'où } KB^2 }= \dfrac{1}{4}AC^2 \ \ \ \ (\text{car les diagonales du carré ont la même longueur}) \\\\\phantom{\text{D'où } KB^2 }= \dfrac{1}{4} \times 18=\dfrac{18}{4} \\\\\phantom{\text{D'où } KB^2 }=\dfrac{9}{2}$

$\text{Par conséquent, }\left\lbrace\begin{matrix}GB^2=GK^2+KB^2\\GK^2=18\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\KB^2=\dfrac{9}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ GB^2=18+\dfrac{9}{2}=\dfrac{36}{2}+\dfrac{9}{2}=\dfrac{45}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{{\blue{GB^2=\dfrac{45}{2}}}}$

1. c) Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires.
D'où les droites (AC) et (DB) sont perpendiculaires.
Les triangles GKD et GKB sont donc rectangles.
Ces triangles sont isométriques car le côté [GK] est commun et KD = KB car K est le milieu du carré ABCD.
D'où les hypoténuses [GD] et [GB] de ces triangles ont la même longueur.
Par conséquent, GB = GD.

1. d) Transformons l'expression 4MA² - MB² - MD².

$4MA^2 - MB^2 - MD^2=4\overrightarrow{MA}^2-\overrightarrow{MB}^2-\overrightarrow{MD}^2 \\\\\phantom{4MA^2 - MB^2 - MD^2}=4(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})^2-(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})^2-(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD})^2 \\\\\phantom{4MA^2 - MB^2 - MD^2}=4(\overrightarrow{MG}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}^2)-(\overrightarrow{MG}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}^2) \\\\\phantom{4MA^2 - MB^2 - MD^2wwww}-(\overrightarrow{MG}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GD}^2) \\\\\phantom{4MA^2 - MB^2 - MD^2}=(4\overrightarrow{MG}^2-\overrightarrow{MG}^2-\overrightarrow{MG}^2)+2\overrightarrow{MG}.(4\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GD})+(4\overrightarrow{GA}^2-\overrightarrow{GB}^2-\overrightarrow{GD}^2)$

                                                        $=2\overrightarrow{MG}^2+2\overrightarrow{MG}.(4\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GD})+(4\overrightarrow{GA}^2-\overrightarrow{GB}^2-\overrightarrow{GD}^2) \\\\=2MG^2+2\overrightarrow{MG}.(4\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GD})+(4GA^2-GB^2-GD^2)$

Or G est le barycentre des points pondérés (A,4), (B,-1) et (D,-1) $\Longrightarrow 4\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}.$
        $GA^2=AK^2=KB^2=\dfrac{9}{2}\ \ \ \ (\text{voir question 1. b)}\Longrightarrow4GA^2=18.$
        $GB^2=GD^2=\dfrac{45}{2}\ \ \ \ (\text{voir questions 1. b et c)}$

D'où, $4MA^2 - MB^2 - MD^2=2MG^2+0+(18-\dfrac{45}{2}-\dfrac{45}{2})\Longrightarrow\boxed{4MA^2 - MB^2 - MD^2=2MG^2-27}$
Nous en déduisons que :
$\boxed{{\blue{4MA^2 - MB^2 - MD^2=9}}}\Longleftrightarrow2MG^2-27=9 \\\phantom{\boxed{4MA^2 - MB^2 - MD^2=9}}\Longleftrightarrow2MG^2=36 \\\phantom{\boxed{4MA^2 - MB^2 - MD^2=9}}\Longleftrightarrow MG^2=18 \\\phantom{\boxed{4MA^2 - MB^2 - MD^2=9}}\Longleftrightarrow MG=\sqrt{18} \\\phantom{\boxed{4MA^2 - MB^2 - MD^2=9}}\Longleftrightarrow \boxed{{\blue{MG=3\sqrt{2}}}}$
Par conséquent, l'ensemble (₁) est un cercle de centre G et de rayon $3\sqrt{2}.$   (voir figure ci-dessous)

2. a) E est le milieu du segment [BC] $\Longrightarrow BE = \dfrac{3}{2}.$
Par le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABE,
$AE^2=AB^2+BE^2 =3^2+(\dfrac{3}{2})^2 =9+\dfrac{9}{4} =\dfrac{36}{4}+\dfrac{9}{4} =\dfrac{45}{4} \\\\\Longrightarrow AE=\sqrt{\dfrac{45}{4}}=\dfrac{\sqrt{45}}{2}=\dfrac{\sqrt{9\times5}}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{AE=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}}$

2. b) Pour tout point M du plan,

$3MA^2-2MB^2-MD^2=3\overrightarrow{MA}^2-2\overrightarrow{MB}^2-\overrightarrow{MD}^2 \\\phantom{3MA^2-2MB^2-MD^2}=3\overrightarrow{MA}^2-2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB})^2-(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD})^2 \\\phantom{3MA^2-2MB^2-MD^2}=3\overrightarrow{MA}^2-2(\overrightarrow{MA}^2+2\,\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}^2)-(\overrightarrow{MA}^2+2\,\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}^2) \\\phantom{3MA^2-2MB^2-MD^2}=3MA^2-2MA^2-4\,\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}-2AB^2-MA^2-2\,\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AD}-AD^2 \\\phantom{3MA^2-2MB^2-MD^2}=-4\,\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}-2\,\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AD}-2AB^2-AD^2 \\\phantom{3MA^2-2MB^2-MD^2}=-4\,\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}-2\,\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AD}-2\times3^2-3^2 \\\phantom{3MA^2-2MB^2-MD^2}=-4\,\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}-2\,\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AD}-27$
                                                           $=4\,\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}+2\,\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AD}-27 \\\overset{}{=4\,\overrightarrow{AM}.(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AD})-27} \\\overset{}{=4\,\overrightarrow{AM}.(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC})-27} \\\overset{}{=4\,\overrightarrow{AM}.(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE})-27} \\=4\,\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AE}-27$

$\Longrightarrow\boxed{3MA^2-2MB^2-MD^2=-27+4\,\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AE}}$

2. c) En utilisant la relation démontrée en 2.b), nous obtenons :

$3MA^2-2MB^2-MD^2=63\Longleftrightarrow-27+4\,\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AE}=63 \\\phantom{3MA^2-2MB^2-MD^2=63}\Longleftrightarrow4\,\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AE}=63+27 \\\phantom{3MA^2-2MB^2-MD^2=63}\Longleftrightarrow4\,\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AE}=90 \\\\\phantom{3MA^2-2MB^2-MD^2=63}\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AE}=\dfrac{45}{2}$ .

Soit le point M', projection orthogonale du point M sur la droite (AE).
Dans ce cas, $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AM'}.\overrightarrow{AE}$
Dès lors,
$3MA^2-2MB^2-MD^2=63\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM'}.\overrightarrow{AE}=\dfrac{45}{2} \\\phantom{3MA^2-2MB^2-MD^2=63}\Longleftrightarrow AM'\times AE=\dfrac{45}{2} \\\phantom{3MA^2-2MB^2-MD^2=63}\Longleftrightarrow AM'\times \dfrac{3\sqrt{5}}{2}=\dfrac{45}{2}\ \ \ \ \ (\text{voir question 2.a)} \\\\\phantom{3MA^2-2MB^2-MD^2=63}\Longleftrightarrow AM'=\dfrac{45}{2}\times \dfrac{2}{3\sqrt{5}} \\\\\phantom{3MA^2-2MB^2-MD^2=63}\Longleftrightarrow AM'=\dfrac{15}{\sqrt{5}}=\dfrac{15\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}}=\dfrac{15\sqrt{5}}{5} \\\\\phantom{3MA^2-2MB^2-MD^2=63}\Longleftrightarrow \boxed{AM'=3\sqrt{5}}$

Puisque $\overrightarrow{AM'}.\overrightarrow{AE}=\dfrac{45}{2}>0$ , les vecteurs $\overrightarrow{AM'}$ et $\overrightarrow{AE}$ ont le même sens.
En outre, $AM'=3\sqrt{5}$ et $AE=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$ .
Nous en déduisons que le point E est le milieu du segment [AM']
En tenant compte de la définition du point M', nous pouvons conclure que l'ensemble (₂) des points M du plan tels que $3MA^2-2MB^2-MD^2=63$ , est la droite perpendiculaire à la droite (AE) passant par le point M' appartenant à la droite (AE) tel que $AM'=3\sqrt{5}$ , c'est-à-dire tel que le point E soit le milieu du segment [AM'].
(voir figure ci-dessous)

exercice 2

On considère un entier naturel m dont l'écriture dans le système décimal est $\overline{abc}.$
Donc, $m=10^2a+10b+c.$

Partie A

1. Soit l'entier naturel m = 121.
Écrivons m en base 2.
$121=2\times60+{\red{1}} \\\phantom{..}60=2\times30+{\red{0}} \\\phantom{..}30=2\times15+{\red{0}} \\\phantom{..}15=2\times\ \,7+{\red{1}} \\\phantom{....}7=2\times\ \,3+{\red{1}} \\\phantom{....}3=2\times\ \,1+{\red{1}} \\\phantom{....}1=2\times\ \,0+{\red{1}}$
D'où, l'écriture de m en base 2 est : 1111001.

2. On suppose que $m\equiv 0\ [27].$

${\red{2.\ i) }}\ 10^3a+10\,\overline{bc}=10^3a+10(10b+c) \\\phantom{{\red{2.\ \text{i}) }}\ 10^3a+10\,\overline{bc}}=10(10^2a+10b+c) \\\phantom{{\red{2.\ \text{i}) }}\ 10^3a+10\,\overline{bc}}=10m \\\text{Or : }m\equiv 0\ [27]\Longrightarrow 10m\equiv 0\ [27] \\\overset{}{\text{Par conséquent, }\boxed{10^3a+10\,\overline{bc}\equiv 0\ [27]}}$

${\red{2.\ ii) }}\ 10^3a+10\,\overline{bc}\equiv 0\ [27]\Longrightarrow 1000a+10\,\overline{bc}\equiv 0\ [27] \\\phantom{{\red{2.\ \text{ii}) }}\ 10^3a+10\,\overline{bc}\equiv 0\ [27]}\Longrightarrow 10\,\overline{bc}+a+999a\equiv 0\ [27] \\\text{Or : }999a=27\times37a\Longrightarrow999a\equiv 0\ [27] \\\overset{}{\text{D'où : }10^3a+10\,\overline{bc}\equiv 0\ [27]\Longrightarrow\boxed{10\,\overline{bc}+a\equiv 0\ [27]}}$

${\red{2.\ iii) }}\ \overline{bca}=10^2b+10c+a \\\phantom{{\red{2.\ \text{iii}) }}\ \overline{bca}}=10(10b+c)+a \\\phantom{{\red{2.\ \text{iii}) }}\ \overline{bca}}=10\, \overline{bc}+a \\\text{Or : }10\, \overline{bc}+a\equiv0\ [27]\ \ \ \ \ \ (\text{voir question 2. }ii)$
Nous en déduisons que l'entier $\overline{bca}$ est divisible par 27.

Partie B

Dans cette partie, on suppose que : a > c .

${\red{1.\ }}\ d=m-p \\\phantom{{\red{1.\ }}\ d}=\overline{abc}-\overline{cba} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ d}=(10^2a+10b+c)-(10^2c+10b+a) \\\phantom{{\red{1.\ }}\ d}=100a+10b+c-100c-10b-a \\\phantom{{\red{1.\ }}\ d}=99a-99c \\\phantom{{\red{1.\ }}\ d}=99(a-c) \\\phantom{{\red{1.\ }}\ d}=99u \\\\\Longrightarrow\boxed{d=99u}$

2. Montrons que d = 99u ne peut être le carré d'un entier naturel.
Nous savons que 99 = 3² multiplie

11.
Donc d = 3² multiplie

u
Pour que d soit un carré parfait, deux cas sont à envisager :
ou bien u = 0, ce qui est impossible car u = a - c avec a > c implique que u 0.
ou bien u est une puissance impaire de 11.
La plus petite puissance impaire de 11 est u = 11.
Cette valeur de u et les autres puissance impaires de 11 ne conviennent pas car a et c sont inférieurs à 9 et par conséquent u = a - c est inférieur à 9.
Par conséquent, l'entier naturel d ne peut être le carré d'un entier naturel.

3. On suppose que b = a + c .

${\red{3.\ i)\ }}\ m=100a+10b+c \\\phantom{{\red{3.\ i)\ }}\ m}=100a+10(a+c)+c \\\phantom{{\red{3.\ i)\ }}\ m}=100a+10a+10c+c \\\phantom{{\red{3.\ i)\ }}\ m}=110a+11c \\\phantom{{\red{3.\ i)\ }}\ m}=11(10a+c) \\\\\Longrightarrow\boxed{ m=11(10a+c)}$

3. ii ) m = 11(10a + c ) implique

m est un multiple de 11.
d = 99u = 11 multiplie

d est un multiple de 11.
Dès lors, 11 est un diviseur commun de m et de d .
Par conséquent, m et d ne sont pas premiers entre eux.

4. On suppose que a = b + c .

${\red{4\ i)\ }}\ d=99u \\\phantom{{\red{4\ i)\ }}\ d}=3^2\times11u \\\phantom{{\red{4\ i)\ }}\ d}=3^2\times11b\ \ \ \ \ \ (\text{car }a=b+c\Longrightarrow a-c=b \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWww.}\Longrightarrow u=b) \\\\\Longrightarrow\boxed{d=3^2\times11b}$

${\red{4\ ii)\ }}\ m=100a+10b+c \\\phantom{{\red{4\ ii)\ }}\ m}=100(b+c)+10b+c \\\phantom{{\red{4\ ii)\ }}\ m}=100b+100c+10b+c \\\phantom{{\red{4\ ii)\ }}\ m}=110b+101c \\\\\Longrightarrow\boxed{m=110b+101c}$

${\red{4\ iii)\ }}$ Si b = 0, alors $d=3^2\times11b=0.$
Dès lors, m et d ont au moins deux diviseurs communs : 1 et m .
Par conséquent, si b = 0, m n'est pas premier avec d .

Si c = 0, alors m = 110b + 101 multiplie

m = 110b .
D'où m est un multiple de 11.
Or d = 3² multiplie

11b et donc, d est un multiple de 11.
D'où, si c = 0, m et d ont au moins deux diviseurs communs : 1 et 11.
Par conséquent, si c = 0, m n'est pas premier avec d .

Supposons que b + c soit divisible par 3.

$m=100a+10b+c \\\phantom{m}=100(b+c)+10b+c \\\phantom{m}=100(b+c)+(9b+b)+c \\\phantom{m}=100(b+c)+9b+(b+c) \\\phantom{m}=101(b+c)+9b$
Or b + c est un multiple de 3 implique

101(b + c) est un multiple de 3.
9b est un multiple de 3.
Dès lors, m est un multiple de 3.
De plus d = 3² multiplie

11b et donc, d est un multiple de 3.
D'où si b + c est divisible par 3, m et d ont au moins deux diviseurs communs : 1 et 3.
Par conséquent, si b + c est divisible par 3, m n'est pas premier avec d .

Supposons que b et c ne soient pas premiers entre eux.
Dans ce cas, b et c ont un diviseur commun différent de 1, noté k .
Nous avons alors, $\left\lbrace\begin{matrix}b=k\times r\\c=k\times s\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \ (\text{avec }r,s\in\N)$
Dès lors,
$m=110b+101c\Longleftrightarrow m=110\times k\,r+101\times k\,s \\\phantom{m=110b+101c}\Longleftrightarrow \boxed{m=k\times(110\times r+101\times s)} \\\\d=3^2\times11b\Longleftrightarrow d=3^2\times11\,k\, r \\\phantom{d=3^2\times11b}\Longleftrightarrow \boxed{d=k\times(3^2\times11\,r)}$
D'où, si b et c ne sont pas premiers entre eux, m et d ont au moins deux diviseurs communs : 1 et k .
Par conséquent, si b et c ne sont pas premiers entre eux, m n'est pas premier avec d .

Nous en déduisons que les entiers naturels m qui sont premiers avec d sont ceux qui vérifient à la fois :
b 0, c 0, b + c n'est pas divisible par 3, b et c sont premiers entre eux.

4. iv ) Déterminons tous les entiers naturels m premiers avec d.
Dans le tableau ci-dessous, nous recherchons les valeurs de b et de c vérifiant les critères énoncés dans la question 4 iii ).

Les colonnes représentent les valeurs de b.
Les lignes représentent les valeurs de c.
Par exemple, la case se situant à l'intersection de la colonne 4 et de la ligne 2 correspond à b = 4 et c = 2.
Toutes les cases colorées donnent des valeurs de b et de c à rejeter car elles ne correspondent pas aux critères.
Les cases rouges sont à rejeter car pour ces cases, b + c est divisible par 3, ce qui n'est pas autorisé.
Les cases vertes sont à rejeter car pour ces cases, b et c ne sont pas premiers entre eux.
Les cases bleues sont à rejeter car pour ces cases, a = b + c est supérieur ou égal à 10.
Les cases non colorées donnent des valeurs autorisées pour b et c .

En reprenant du tableau toutes les valeurs de b et de c vérifiant les critères énoncés dans la question 4 iii ) et en sachant que a = b + c , nous obtenons les valeurs de m suivantes :
b = 1 et c = 1 implique

m = 211.
b = 1 et c = 3 implique

m = 413.
b = 1 et c = 4 implique

m = 514.
b = 1 et c = 6 implique

m = 716.
b = 1 et c = 7 implique

m = 817.

b = 2 et c = 3 implique

m = 523.
b = 2 et c = 5 implique

m = 725.

b = 3 et c = 1 implique

m = 431.
b = 3 et c = 2 implique

m = 532.
b = 3 et c = 4 implique

m = 734.
b = 3 et c = 5 implique

m = 835.

b = 4 et c = 1 implique

m = 541.
b = 4 et c = 3 implique

m = 743.

b = 5 et c = 2 implique

m = 752.
b = 5 et c = 3 implique

m = 853.

b = 6 et c = 1 implique

m = 761.

b = 7 et c = 1 implique

m = 871.

exercice 3 - Problème

Partie A

Soit la fonction f définie sur

par : $f(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2}).$

1. Démontrons que f est une fonction impaire.
Pour tout réel x ,
$f(-x)=\ln(-x+\sqrt{1+(-x)^2})\Longrightarrow\boxed{f(-x)=\ln(-x+\sqrt{1+x^2})} \\\\-f(x)=-\ln(x+\sqrt{1+x^2}) \\\phantom{-f(x)}=\ln\left(\dfrac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\right) \\\\\phantom{-f(x)}=\ln\left(\dfrac{{\blue{x-\sqrt{1+x^2}}}}{(x+\sqrt{1+x^2}){\blue{(x-\sqrt{1+x^2})}}}\right) \\\\\phantom{-f(x)}=\ln\left(\dfrac{x-\sqrt{1+x^2}}{x^2-(1+x^2)}\right)=\ln\left(\dfrac{x-\sqrt{1+x^2}}{x^2-1-x^2}\right)\\\\\phantom{-f(x)}=\ln\left(\dfrac{x-\sqrt{1+x^2}}{-1}\right)=\ln(-x+\sqrt{1+x^2})\Longrightarrow\boxed{-f(x)=\ln(-x+\sqrt{1+x^2})}$
Nous en déduisons que pour tout réel x , f (-x ) = -f (x ).
Par conséquent, f est une fonction impaire.

${\red{2.\ \text{a) }}}\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\sqrt{1+x^2})=+\infty\\\lim\limits_{X\to+\infty}\ln(X)=+\infty\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow}\ \ \ \lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x+\sqrt{1+x^2})=+\infty \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty} \\\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x} \\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+\sqrt{x^2})}{x} =\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+x)}{x} =\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(2x)}{x} =0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0}$

${\red{2.\ \text{b) }}}\ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ signifie que la fonction f n'admet pas d'asymptote horizontale en + infini

.

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0$ signifie que la courbe $(\mathscr{C})$ admet une branche parabolique en + infini

de direction (OI).

3. a) Déterminons l'expression de la dérivée f' (x ).

$f'(x)=\left(\overset{}{\ln(x+\sqrt{1+x^2}})\right)'\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\blue{\underline{\text{Remarque}}\ :\ \left(\overset{}{\ln(u(x))}\right)'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}}} \\\phantom{f'(x)}=\dfrac{(x+\sqrt{1+x^2})'}{x+\sqrt{1+x^2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\blue{\ \left(\overset{}{\sqrt{u(x)}}\right)'=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}}} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{1+\dfrac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{1+\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{\dfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{1}}=\dfrac{{\blue{\sqrt{1+x^2}+x}}}{{\red{\sqrt{1+x^2}}}}\times\dfrac{{\red{1}}}{{\blue{x+\sqrt{1+x^2}}}}\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{{\red{1}}}{{\red{\sqrt{1+x^2}}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$

3. b) Pour tout x [0 ; +[, f' (x ) > 0.

3. c) Tableau de variation de f sur [0 ; + infini

[.

$\begin{matrix}\underline{\text{Calcul préliminaire }}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\f(0)=\ln(0+\sqrt{1+0})=\ln(1)=0\ \ \ \ \\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\ \ \ \ \ (\text{voir question 2.a)}\end{matrix}\begin{matrix} \\\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&0&&&&+\infty&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&\\f'(x)&&+&+&+&&\\&&&&&&\\\hline&&&&&{\blue{+\infty}}&\\ {\blue{f(x)}}&&{\blue{\nearrow}}&{\blue{\nearrow}}&{\blue{\nearrow}}&&\\&{\blue{0}}&&&&&\\\hline \end{array} \end{matrix}$

4. L'équation réduite de la tangente ( deltamaj

) à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0 est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ , soit de la forme $y=f'(0)x+f(0).$

$\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}f(0)=0\\f'(0)=\dfrac{1}{\sqrt{1+0}}=1\end{matrix}\right. \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}f(0)=0\\f'(0)=1\end{matrix}\right.$
Par conséquent, l'équation réduite de la tangente () à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0 est $\boxed{y=x}$

5. Soit la fonction g définie sur

par : $g(x)=-x+\ln(x+\sqrt{1+x^2}).$

${\red{5.\ \text{a}) }}\ g'(x)=(-x)'+\left(\overset{}{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}\right)' \\\overset{\frac{}{}}{\phantom{{\red{5.\ \text{a}) }}\ g'(x)}=-1+\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ \ \ \ \ \ \ (\text{voir question 3. a})} \\\\\Longrightarrow \boxed{g'(x)=\dfrac{-\sqrt{1+x^2}+1}{\sqrt{1+x^2}}}$

Étudions le signe de g' (x ) sur

.

Pour tout réel x ,

$\text{D'une part, }1\le1+x^2\ \ \ \ \ (\text{car }x^2\ge0) \\\phantom{WWWWWWw}\Downarrow \\\phantom{D'une part, ,}1\le\sqrt{1+x^2}\ \ \ \ \ (\text{car la fonction ''racine carrée'' est croissante sur }\R_+) \\\phantom{WWWWWWw}\Downarrow \\\phantom{D'une part, ,}-\sqrt{1+x^2}+1\le0 \\\\\text{D'autre part, }\sqrt{1+x^2}>0$

Nous en déduisons que g' (x ) 0 sur .
Par conséquent, la fonction g est décroissante sur .

5. b) Les positions relatives de $(\mathscr{C})$ et ( deltamaj

) se déduisent du signe de g (x ).
Or g (0) = 0 + ln(0 + 1) = ln(1) = 0.
En outre, la fonction g est décroissante sur

.
D'où si x < 0, alors g (x ) < 0 et
si x > 0, alors g (x ) > 0.
Par conséquent, sur l'intervalle ]- ; 0], la courbe $(\mathscr{C})$ est au-dessus de la droite ().
sur l'intervalle [0 ; +[, la courbe $(\mathscr{C})$ est en dessous de la droite ().

6. Représentation de la courbe $(\mathscr{C})$ et de la droite ( deltamaj

7. Calcul de l'aire A à l'aide d'une intégration par parties.

$A=\int\limits_0^1f(x)\,dx=\int\limits_0^1\ln(x+\sqrt{1+x^2})\,dx\\\\\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\int\limits_0^1u(x)v'(x)dx=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^1-\int\limits_0^1u'(x)v(x)dx}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ u'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\v'(x)=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ v(x)=x\end{matrix}\right. \\\\\text{Dès lors, }\ \int\limits_0^1\ln(x+\sqrt{1+x^2})\,dx=\left[\overset{}{x\,\ln(x+\sqrt{1+x^2})}\right]\limits_0^1-\int\limits_0^1\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\times x\,\right)dx \\\\\phantom{WWWWWWWW..WWWW}=\left[\overset{}{x\,\ln(x+\sqrt{1+x^2})}\right]\limits_0^1-\int\limits_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$

$=\left[\overset{}{x\,\ln(x+\sqrt{1+x^2})}\right]\limits_0^1-\int\limits_0^1\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}\,dx \\\\=\left[\overset{}{x\,\ln(x+\sqrt{1+x^2})}\right]\limits_0^1-\int\limits_0^1\dfrac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}}\,dx \\\\=\left[\overset{}{x\,\ln(x+\sqrt{1+x^2})}\right]\limits_0^1-\left[\overset{}{\sqrt{1+x^2}}\right]_0^1 \\\\=\left[\overset{}{1\,\ln(1+\sqrt{1+1^2})-0}\right]-\left[\overset{}{\sqrt{1+1^2}-\sqrt{1+0^2}}\right] \\\\= \ln(1+\sqrt{2})-\sqrt{2}+1$

$\Longrightarrow\boxed{A=\left(\overset{}{1-\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})}\right)\ \text{cm}^2\approx0,47\ \text{cm}^2}$

Partie B

1. a) La fonction F_n est définie sur

car l'ensemble de définition de f_n est

.
De plus, F_n est continue sur

(voir énoncé).

1. b) Montrons que la fonction F_n est impaire.
Pour tout réel x ,
$F_n(-x)=\int\limits_0^{-x}\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt \\\\\text{Posons : }\boxed{T=-t},\ \text{soit }\boxed{t=-T} \\\\\text{Changement de bornes : }\left\lbrace\begin{matrix}t=0\Longrightarrow T=0\\t=-x\Longrightarrow T=x\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où : }\ F_n(-x)=\int\limits_0^{x}\dfrac{(-T)^{2n}}{\sqrt{1+(-T)^2}}\,d(-T) \\\\\phantom{\text{D'où : }\ F_n(-x)}=-\int\limits_0^{x}\dfrac{T^{2n}}{\sqrt{1+T^2}}\,dT \\\\\phantom{\text{D'où : }\ F_n(-x)}=-F_n(x)$
Nous déduisons que pour tout réel x , $\boxed{ F_n(-x)=-F_n(x)}$ .
Par conséquent, la fonction F_n est impaire.

${\red{1.\ \text{c) }}}\ F'_n(x)=\dfrac{x^{2n}}{\sqrt{1+x^2}}\ge0.$
D'où, la fonction F_n est croissante sur [0 ; +[.

2. Soit (I_n) la suite numérique définie par : $\text{I}_0=\ln(1+\sqrt{2})\ \ \text{et}\ \ \ \forall n\in\N^*,\ \text{I}_n=\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt.$

${\red{2.\ \text{a) }}}\ \forall n\in\N, \forall t\in[0\,;\,1]\ :\ \dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}=\dfrac{(t^{n})^2}{\sqrt{1+t^2}}\ge0 \Longrightarrow\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt\ge0\\\\\phantom{}\Longrightarrow \boxed{\text{I}_n\ge0}$

${\red{2.\ \text{b) }}}\ \forall n\in\N, \ \text{I}_{n+1}-\text{I}_n=\int\limits_0^1\dfrac{t^{2(n+1)}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt-\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt \\\\\phantom{WWWWWWWWWW}=\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n+2}-t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt \\\\\phantom{WWWWWWWWWW}=\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n}(t^{2}-1)}{\sqrt{1+t^2}}\,dt \\\\\text{Or }\ 0\le t\le 1\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}0\le t^2\le 1 \\\\\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}} \ge0\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}t^2-1\le 0\\\\\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}} \ge0\end{matrix}\right. \Longrightarrow\dfrac{t^{2n}(t^{2}-1)}{\sqrt{1+t^2}}\le0 \\\\\Longrightarrow\forall n\in\N, \ \int\limits_0^1\dfrac{t^{2n}(t^{2}-1)}{\sqrt{1+t^2}}\,dt\le0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall n\in\N, \ \text{I}_{n+1}-\text{I}_n\le0}$
Par conséquent, la suite (I_n) est décroissante.

2. c) La suite (I_n) est décroissante et minorée par 0.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Par conséquent, la suite (I_n) est convergente.

2. d) Pour tout entier naturel n non nul et pour tout nombre réel t positif, nous avons :

$\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}+\dfrac{t^{2n+2}}{\sqrt{1+t^2}}=\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}+\dfrac{t^{2n}t^{2}}{\sqrt{1+t^2}} \\\overset{}{\phantom{\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}+\dfrac{t^{2n+2}}{\sqrt{1+t^2}}}=t^{2n}\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}+\dfrac{t^{2}}{\sqrt{1+t^2}}\right)} \\\overset{}{\phantom{\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}+\dfrac{t^{2n+2}}{\sqrt{1+t^2}}}=t^{2n}\left(\dfrac{1+t^2}{\sqrt{1+t^2}}\right)} \\\overset{}{\phantom{\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}+\dfrac{t^{2n+2}}{\sqrt{1+t^2}}}=t^{2n}\sqrt{1+t^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{t^{2n}\sqrt{1+t^2}=\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}+\dfrac{t^{2n+2}}{\sqrt{1+t^2}}}$

2. e) Pour tout entier naturel n non nul, nous avons :

$\text{I}_{n+1}=\int\limits_0^1\dfrac{t^{2(n+1)}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt=\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n+2}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt=\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n+1}\times t}{\sqrt{1+t^2}}\,dt \\\\\Longrightarrow \text{I}_{n+1}=\int\limits_0^1\left(t^{2n+1}\times\dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)\,dt \\\\\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\int\limits_0^1u(t)v'(t)dt=\left[\overset{}{u(t)v(t)}\right]\limits_0^1-\int\limits_0^1u'(t)v(t)dt}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(t)=t^{2n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ \ \ u'(t)=(2n+1)t^{2n}\\v'(t)=\dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}=\dfrac{2t}{2\sqrt{1+t^2}}\ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ \ \ v(t)=\sqrt{1+t^2}\ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors, }\ \text{I}_{n+1}=\left[\overset{}{t^{2n+1}\,\sqrt{1+t^2}}\right]\limits_0^1-\int\limits_0^1\left((2n+1)t^{2n}\times \sqrt{1+t^2}\,\right)dt \\\\\phantom{WWWWWW}=\left[\overset{}{1\,\sqrt{1+1}}+0\right]-(2n+1)\int\limits_0^1\left(t^{2n}\times \dfrac{1+t^2}{\sqrt{1+t^2}}\,\right)dt \\\\\phantom{WWWWWW}=\overset{}{\sqrt{2}}-(2n+1)\int\limits_0^1\left(\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\times (1+t^2)\,\right)dt \\\\\phantom{WWWWWW}=\overset{}{\sqrt{2}}-(2n+1)\int\limits_0^1\left(\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}+\dfrac{t^{2n}t^2}{\sqrt{1+t^2}}\,\right)dt \\\\\phantom{WWWWWW}=\overset{}{\sqrt{2}}-(2n+1)\int\limits_0^1\left(\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}+\dfrac{t^{2n+2}}{\sqrt{1+t^2}}\,\right)dt \\\\\overset{}{\phantom{WWWWWW}=\sqrt{2}}-(2n+1)\left(\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt+\int\limits_0^1\dfrac{t^{2(n+1)}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt\right) \\\\\overset{}{\phantom{WWWWWW}=\sqrt{2}-(2n+1)\left(\text{I}_{n}+\text{I}_{n+1}\right)}$

$\text{D'où, I}_{n+1}=\sqrt{2}-(2n+1)\text{I}_{n}-(2n+1)\text{I}_{n+1} \\\\\phantom{vvvvv}(2n+1)\text{I}_{n+1}+\text{I}_{n+1}=\sqrt{2}-(2n+1)\text{I}_{n} \\\\\phantom{vvvvv}(2n+1+1)\text{I}_{n+1}=\sqrt{2}-(2n+1)\text{I}_{n} \\\\\phantom{vvvvv}(2n+2)\text{I}_{n+1}=\sqrt{2}-(2n+1)\text{I}_{n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{I}_{n+1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2n+2}-\dfrac{2n+1}{2n+2}\text{I}_{n}}$

${\red{2.\ \text{f)}}}\ \boxed{\text{I}_0=\ln(1+\sqrt{2})} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{f)}}}}\ \text{I}_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\text{I}_0\ \ \ \ \ \ \ (\text{voir énoncé}) \\\overset{}{\phantom{{\red{2.\ \text{f)}}}\ \text{I}_1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{f)}}}}\ \Longrightarrow \boxed{\text{I}_1=\dfrac{\sqrt{2}-\ln(1+\sqrt{2})}{2}}$

La valeur de I₂ s'obtient en remplaçant n par 1 dans l'expression de I_n +1.

$\text{I}_2=\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{3}{4}\text{I}_{1} \\\overset{}{\phantom{\text{I}_2}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{3}{4}\times\dfrac{\sqrt{2}-\ln(1+\sqrt{2})}{2}} \\\overset{}{\phantom{\text{I}_2}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{3\sqrt{2}-3\ln(1+\sqrt{2})}{8}} \\\overset{}{\phantom{\text{I}_2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{8}-\dfrac{3\sqrt{2}}{8}+\dfrac{3\ln(1+\sqrt{2})}{8}} \\\overset{}{\phantom{\text{I}_2}=-\dfrac{\sqrt{2}}{8}+\dfrac{3\ln(1+\sqrt{2})}{8}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{I}_2=\dfrac{-\sqrt{2}+3\ln(1+\sqrt{2})}{8}}$

3. a) Appliquons la relation de Chasles (additivité de l'intégrale).

1^er cas : x infegal

0.

${\blue{\int\limits_x^1\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}}={\red{\int\limits_x^0\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}}+\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt \\\\\Longrightarrow{\blue{-\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}}={\red{-\int\limits_0^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}}+\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt \\\\\Longrightarrow{\red{\int\limits_0^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}}=\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt+{\blue{\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}} \\\\\Longrightarrow\boxed{F_n(x)=I_n+\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}$

2^ème cas : 0 infegal

1.

${\blue{\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}}={\red{\int\limits_0^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}}+\int\limits_x^1\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt \\\\\Longrightarrow{\red{\int\limits_0^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}}={\blue{\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}}-\int\limits_x^1\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt \\\\\Longrightarrow{\red{\int\limits_0^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}}={\blue{\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}}+\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt \\\\\Longrightarrow\boxed{F_n(x)=I_n+\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}$

3^ème cas : x supegal

1.

$\int\limits_0^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt=\int\limits_0^1\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt+\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt \\\\\Longrightarrow\boxed{F_n(x)=I_n+\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}$

Par conséquent, $\forall x\in\R,\ \ \boxed{F_n(x)=I_n+\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}$

${\red{3.\ \text{b)}}}\ t\ge1\Longrightarrow t^2\ge1 \\\phantom{{\red{3.\ \text{b)}}}\ t\ge1}\Longrightarrow 1-t^2\le 0 \\\phantom{{\red{3.\ \text{b)}}}\ t\ge1}\Longrightarrow 1-t^2\ {\blue{+\ 2t^2}}\le 0\ {\blue{+\ 2t^2}} \\\phantom{{\red{3.\ \text{b)}}}\ t\ge1}\Longrightarrow 1+t^2\le 2t^2 \\\phantom{{\red{3.\ \text{b)}}}\ t\ge1}\Longrightarrow \sqrt{1+t^2}\le \sqrt{2t^2} \\\phantom{{\red{3.\ \text{b)}}}\ t\ge1}\Longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\ge \dfrac{1}{\sqrt{2t^2}} \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ \text{b)}}}\ t\ge1}\Longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{t}} \\\\\text{D'où, }\boxed{\forall\ t\ge1,\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{t}\le\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}}$

$\forall\ t\ge1,\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{t}\le\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\Longrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times\dfrac{{\blue{t^{2n}}}}{t}\le\dfrac{{\blue{t^{2n}}}}{\sqrt{1+t^2}}\ \ \ \ \ \ (n\in\N^*) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWw}\Longrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times t^{2n-1}\le\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWw}\Longrightarrow\int\limits_1^x\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times t^{2n-1}\,dt\le\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt\ \ \ \ \ \ (x\ge1)$

$\Longrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}\int\limits_1^x t^{2n-1}\,dt\le\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt \\\Longrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left[\dfrac{t^{2n}}{2n}\right]\limits_1^x \le\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt \\\Longrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{x^{2n}}{2n}-\dfrac{1}{2n}\right) \le\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt \\\Longrightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{n}(x^{2n}-1) \le\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt$

$\text{D'où, }\boxed{\forall\ n\in\N^*\ \text{et}\ \ \forall\ x\ge1,\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{n}(x^{2n}-1) \le\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt}$

${\red{3.\ \text{c) }}}\ \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{n}(x^{2n}-1) \le\int\limits_1^x\dfrac{t^{2n}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt\ \ \ \ \ \ (\text{voir question 3.b)} \\\\\text{soit }\ \boxed{\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{n}(x^{2n}-1) \le F_n(x)} \\\\\text{Or }\ n\in\N^*,\ x\ge1\Longrightarrow\lim_{x\to+\infty} x^{2n}=+\infty \\\phantom{{\red{3.\ \text{c.}}} n\in\N^*,\ x\ge1}\Longrightarrow\lim_{x\to+\infty}(x^{2n}-1)=+\infty \\\phantom{{\red{3.\ \text{c.}}} n\in\N^*,\ x\ge1}\Longrightarrow\boxed{\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{n}(x^{2n}-1)=+\infty}$

Par le théorème des comparaisons, nous en déduisons que $\boxed{\lim_{x\to+\infty} F_n(x)=+\infty}$

${\red{3.\ \text{d) }}}\ \forall\ n\in\N^*\ \text{et}\ \ \forall\ x\ge1,\\\\\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{n}(x^{2n}-1) \le F_n(x)\Longrightarrow\boxed{\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{n}\times\dfrac{x^{2n}-1}{x} \le \dfrac{F_n(x)}{x}} \\\\\text{Or }\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2n}-1}{x} =\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2n}}{x} =\lim\limits_{x\to+\infty} x^{2n-1} =+\infty\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{n}\times\dfrac{x^{2n}-1}{x} =+\infty}$

Par le théorème des comparaisons, nous en déduisons que $\boxed{\lim_{x\to+\infty} \dfrac{F_n(x)}{x}=+\infty}$

Par conséquent, pour tout entier naturel non nul n , $(\mathscr{C}_n)$ admet une branche parabolique de direction (OJ)
en +.

3. e) Représentation de la courbe $(\mathscr{C}_2)$ dans le plan muni du repère orthonormé (O, I, J).

La courbe $(\mathscr{C}_2)$ est la courbe représentative de la fonction F₂ définie sur

par $F_2(x)=\int\limits_0^x\dfrac{t^4}{\sqrt{1+t^2}}\,dt$ .

A l'aide de la calculatrice, nous avons établi le tableau de valeurs de la fonction F₂ ci-dessous pour quelques valeurs positives de x .

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&&&&&&\\ x&0&0,5&1&1,5&2&2,5\\&&&&&& \\\hline &&&&&&\\F_2(x)&0&0,006&0,154&0,955&3,336&8,611\\&&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous obtenons ainsi les coordonnées de quelques points de la courbe $(\mathscr{C}_2)$ :
(0 ; 0), (0,5 ; 0,006), (1 ; 0,154), (1,5 ; 0,955), (2 ; 3,336), (2,5 ; 8,611), ...
La fonction F₂ est impaire (voir question 1. c).
Dès lors, la courbe $(\mathscr{C}_2)$ est symétrique par rapport à l'origine O du repère.
Nous obtenons alors les coordonnées suivantes :
(-0,5 ; -0,006), (-1 ; -0,154), (-1,5 ; -0,955), (-2 ; -3,336), (-2,5 ; -8,611), ...
D'où la représentation de la courbe $(\mathscr{C}_2)$ dans le plan muni du repère orthonormé (O, I, J).

Publié par malou le 14-02-2021

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