Fiche de mathématiques
> >

Épreuve de Mathématiques (session de contrôle)

Section Mathématiques

Tunisie 2019

Partager :

COEFFICIENT : 4

DURÉE : 4 HEURES





Bac Maths (contrôle) Tunisie 2019  : image 7

Bac Maths (contrôle) Tunisie 2019  : image 2

Bac Maths (contrôle) Tunisie 2019  : image 3

Bac Maths (contrôle) Tunisie 2019  : image 4

Bac Maths (contrôle) Tunisie 2019  : image 8

Bac Maths (contrôle) Tunisie 2019  : image 5

Bac Maths (contrôle) Tunisie 2019  : image 6





Bac Maths (contrôle) Tunisie 2019

Partager :



3 points

exercice 1

Soient ABC un triangle rectangle en A et deltamaj la médiatrice du segment [AB].

      
Bac Maths (contrôle) Tunisie 2019  : image 9


1.  La proposition est vraie.

t_{\overrightarrow{AC}}\circ S_ {(AC)}=(t_{\overrightarrow{BC}}\circ t_{\overrightarrow{AB}})\circ S_ {(AC)} \\\phantom{t_{\overrightarrow{AC}}\circ S_ {(AC)}}=t_{\overrightarrow{BC}}\circ {\blue{t_{\overrightarrow{AB}}}}\circ S_ {(AC)} \\\\\text{Or }\  \left\lbrace\begin{matrix}(AB)\perp (AC)\\\Delta=t_{\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}}((AC))\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \  {\blue{t_{\overrightarrow{AB}}=S_{\Delta}\circ S_{(AC)}}}

\text{D'où, }t_{\overrightarrow{AC}}\circ S_ {(AC)}=t_{\overrightarrow{BC}}\circ ({\blue{S_{\Delta}\circ S_{(AC)}}})\circ S_ {(AC)} \\\phantom{\text{D'où, }t_{\overrightarrow{AC}}\circ S_ {(AC)}}=t_{\overrightarrow{BC}}\circ S_{\Delta}\circ S_{(AC)}\circ S_ {(AC)} \\\phantom{\text{D'où, }t_{\overrightarrow{AC}}\circ S_ {(AC)}}=t_{\overrightarrow{BC}}\circ S_{\Delta}\circ (S_{(AC)}\circ S_ {(AC)}) \\\phantom{\text{D'où, }t_{\overrightarrow{AC}}\circ S_ {(AC)}}=t_{\overrightarrow{BC}}\circ S_{\Delta}\circ \mathbb{Id}_P \\\phantom{\text{D'où, }t_{\overrightarrow{AC}}\circ S_ {(AC)}}=t_{\overrightarrow{BC}}\circ S_{\Delta} \\\\\Longrightarrow\boxed{t_{\overrightarrow{AC}}\circ S_ {(AC)}=t_{\overrightarrow{BC}}\circ S_{\Delta}}
Par conséquent, la proposition est vraie.

2.  La proposition est vraie.

S_{(AB)}\circ h_{(A,2)}\circ S_{(AC)}=S_{(AB)}\circ S_{(AC)}\circ h_{(A,2)} \\\\\text{Or }(AB)\perp (AC)\Longrightarrow S_{(AB)}\circ S_{(AC)}=r_{(A,\pi)} \\\\\text{D'où, }\ S_{(AB)}\circ h_{(A,2)}\circ S_{(AC)}=r_{(A,\pi)}\circ h_{(A,2)}=h_{(A,-2)} \\\\\Longrightarrow\boxed{S_{(AB)}\circ h_{(A,2)}\circ S_{(AC)}=h_{(A,-2)}}
Par conséquent, la proposition est vraie.

3.  La proposition est fausse.
f  est une isométrie fixant les points A et B.
Donc f  est soit l'application identique  \mathbb{Id}_P , soit la symétrie orthogonale d'axe (AB).

  Si f  est l'application identique  \mathbb{Id}_P , alors : 

f^{-1}\circ  S_{\Delta}\circ f=(\mathbb{Id}_P)^{-1}\circ  S_{\Delta}\circ\mathbb{Id}_P \\\phantom{f^{-1}\circ  S_{\Delta}\circ f}=\mathbb{Id}_P\circ  S_{\Delta}\circ\mathbb{Id}_P \\\phantom{f^{-1}\circ  S_{\Delta}\circ f}=S_{\Delta} \\\\\Longrightarrow\boxed{f^{-1}\circ  S_{\Delta}\circ f=S_{\Delta}}

  Si f  est la symétrie orthogonale  S_{(AB)}  d'axe (AB), alors : 

f^{-1}\circ  S_{\Delta}\circ f=(S_{(AB)})^{-1}\circ  S_{\Delta}\circ S_{(AB)} \\\phantom{f^{-1}\circ  S_{\Delta}\circ f}=S_{(AB)}\circ  S_{\Delta}\circ S_{(AB)} \\\phantom{f^{-1}\circ  S_{\Delta}\circ f}={\blue{(S_{(AB)}\circ  S_{\Delta})}}\circ S_{(AB)} \\\\\text{Or }\ (AB)\perp\Delta\Longrightarrow {\blue{S_{(AB)}\circ  S_{\Delta}= S_{\Delta}\circ S_{(AB)}}} \\\\\text{D'où }f^{-1}\circ  S_{\Delta}\circ f={\blue{(S_{\Delta}\circ  S_{(AB)})}}\circ S_{(AB)} \\\phantom{\text{D'où }f^{-1}\circ  S_{\Delta}\circ f}=S_{\Delta}\circ  S_{(AB)}\circ S_{(AB)} \\\phantom{\text{D'où }f^{-1}\circ  S_{\Delta}\circ f}=S_{\Delta}\circ  \mathbb{I}_P \\\phantom{\text{D'où }f^{-1}\circ  S_{\Delta}\circ f}=S_{\Delta} \\\\\Longrightarrow\boxed{f^{-1}\circ  S_{\Delta}\circ f=S_{\Delta}}
Par conséquent, la proposition de l'énoncé est fausse.

4,5 points

exercice 2

1. a)  Placement des points I, C, D et K dans le repère R.
Les points I, C, D et K sont représentés sur la figure ci-dessous (voir question 2. d)

1. b)  Théorème de l'existence et unicité d'une similitude indirecte :
Soient A, B, A' et B' quatre points du plan tels que A different B et A' different B'.
Alors il existe une unique similitude plane g  telle que g (A) = A' et g (B) = B'.


Dans cet exercice, nous savons que I different D et D different K.
Donc il existe une unique similitude plane g  qui transforme I en D et D en K.

1. c)  Le rapport k  de g  est donné par le quotient   \dfrac{DK}{ID}.
k=\dfrac{DK}{ID}=\dfrac{|z_K-z_D|}{|z_D-z_I|}=\dfrac{|3\text{i}-2\text{i}|}{|2\text{i}-(1+\text{i})|}=\dfrac{|\text{i}|}{|-1+\text{i}|} \\\\\phantom{k}=\dfrac{1}{\sqrt{(-1)^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Par conséquent, le rapport de g est  \boxed{k=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}.

1. d)  Montrons que le triangle IDO est rectangle isocèle direct en I en montrant que  \dfrac{z_O-z_I}{z_D-z_I}=\text{i}.

\dfrac{z_O-z_I}{z_D-z_I}=\dfrac{0-(1+\text{i})}{2\text{i}-(1+\text{i})}=\dfrac{-1-\text{i}}{-1+\text{i}}=\dfrac{(-1-\text{i})^2}{(-1+\text{i})(-1-\text{i})}=\dfrac{1+2\text{i}-1}{(-1)^2+1^2}=\dfrac{2\text{i}}{2}=\text{i} \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_O-z_I}{z_D-z_I}=\text{i}}
D'où le triangle IDO est rectangle isocèle direct en I.
Puisque g (I) = D, l'image du triangle IDO par g  est un triangle rectangle isocèle indirect en D.
Nous savons que g (D) = K.
Soit le point P tel que g (O) = P.
Déterminons l'affixe z_P=a+\text{i}b  du point P.
L'image du triangle IDO par g  est le triangle DKP rectangle isocèle indirect en D.

Il s'ensuit que  \dfrac{z_P-z_D}{z_K-z_D}=-\text{i}.
\text{Dès lors, }\dfrac{z_P-z_D}{z_K-z_D}=-\text{i}\Longleftrightarrow\dfrac{a+\text{i}b-2\text{i}}{3\text{i}-2\text{i}}=-\text{i} \\\\\phantom{\text{Dès lors, }\dfrac{z_P-z_D}{z_K-z_D}=-\text{i}}\Longleftrightarrow\dfrac{a+(b-2)\text{i}}{\text{i}}=-\text{i} \\\phantom{\text{Dès lors, }\dfrac{z_P-z_D}{z_K-z_D}=-\text{i}}\Longleftrightarrow a+(b-2)\text{i}=-\text{i}^2 \\\phantom{\text{Dès lors, }\dfrac{z_P-z_D}{z_K-z_D}=-\text{i}}\Longleftrightarrow a+(b-2)\text{i}=1 \\\phantom{\text{Dès lors, }\dfrac{z_P-z_D}{z_K-z_D}=-\text{i}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=1\\b-2=0\end{matrix}\right. \\\phantom{\text{Dès lors, }\dfrac{z_P-z_D}{z_K-z_D}=-\text{i}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow \boxed{z_P=1+2\text{i}}

Or zC  = 1 + 2i.
D'où le point P est confondu avec le point C.
En résumé, g (I) = D, g (D) = K et g (O) = C.
Par conséquent, l'image du triangle IDO par g  est le triangle DKC.

2.  Soit M un point du plan et M' son image par g .
On désigne par z  et z'  les affixes respectives de M et M'.

2. a)  La représentation complexe de la similitude indirecte g  telle que g (M) = M' est :  z'=a\overline{z}+b 
où  a\in\C^*,b\in\C.
En nous basant sur l'équivalence   M'=g(M)\Longleftrightarrow z'=a\overline{z}+b , nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}C=g(O)\\K=g(D)\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}1+2\text{i}=a\times\overline{0}+b\\3\text{i}=a\times\overline{2\text{i}}+b\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}1+2\text{i}=b\\3\text{i}=-2\text{i}a+b\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=1+2\text{i}\\3\text{i}=-2\text{i}a+1+2\text{i}\end{matrix}\right. \\\\\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=1+2\text{i}\\a=\dfrac{-1+\text{i}}{-2\text{i}}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=1+2\text{i}\\a=\dfrac{(-1+\text{i})\text{i}}{-2\text{i}\times\text{i}}\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=1+2\text{i}\\a=\dfrac{-1-\text{i}}{2}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=1+2\text{i}\\a=-\dfrac{1}{2}(1+\text{i})\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{z'=-\dfrac{1}{2}(1+\text{i})\overline{z}+1+2\text{i}}

2. b)  Déterminons l'affixe z omegamaj = x  + iy  du centre omegamaj de g .
omegamaj est un point invariant de la similitude g .

\text{Donc }\ \Omega=g(\Omega)\Longleftrightarrow z_{\Omega}=a\times\overline{z_{\Omega}}+b \\\phantom{\text{Donc }\ \Omega=g(\Omega)}\Longleftrightarrow x+\text{i}\,y=-\dfrac{1}{2}(1+\text{i})(x-\text{i}\,y)+1+2\text{i} \\\phantom{\text{Donc }\ \Omega=g(\Omega)}\Longleftrightarrow x+\text{i}\,y=-\dfrac{1}{2}(x-\text{i}\,y+\text{i}\,x+y)+1+2\text{i} \\\phantom{\text{Donc }\ \Omega=g(\Omega)}\Longleftrightarrow x+\text{i}\,y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\text{i}\,y-\dfrac{1}{2}\text{i}\,x-\dfrac{1}{2}y+1+2\text{i} \\\phantom{\text{Donc }\ \Omega=g(\Omega)}\Longleftrightarrow (\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}y-1)+\text{i}(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y-2)=0
Par conséquent,

\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}y-1=0\\\\\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y-2=0\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\ \ \ x+1=0\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{x=-1} \\\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y-2=0\\x=-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{2}y-\dfrac{5}{2}=0\\x=-1\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}y=5\\x=-1\end{matrix}\right.

D'où, l'affixe de omegamaj est  \boxed{z_{\Omega}=-1+5\text{i}} .

2. c)  L'affixe du milieu du segment [omegamajI] est donné par : \dfrac{ z_{\Omega}+ z_{I}}{2}=\dfrac{(-1+5\text{i})+(1+\text{i})}{2}=\dfrac{6\text{i}}{2}=3\text{i}=z_K.
Nous en déduisons que le point K est le milieu du segment [omegamajI].

2. d)  Nous devons construire le centre omegamaj et l'axe deltamaj de g .
Puisque K est le milieu du segment [omegamajI], traçons un cercle de centre K et de rayon KI.
Le point omegamaj sera alors le point diamétralement opposé au point I.
Nous vérifions bien que l'affixe de ce point omegamaj est -1 + 5i.

L'axe deltamaj peut se construire comme la bissectrice de l'angle  \widehat{I\Omega D}}  (ou de l'angle  \widehat{D\Omega K}} ).

Figure ci-dessous.

                   
Bac Maths (contrôle) Tunisie 2019  : image 12


3.  Soit  h=g\circ g.

3. a)  Nous devons montrer que h  est une homothétie de rapport  \dfrac{1}{2}.

La forme réduite de la similitude g  est :  g=h'_{(\Omega,\frac{\sqrt{2}}{2})}\circ S_{\Delta}=S_{\Delta}\circ h'_{(\Omega,\frac{\sqrt{2}}{2})} .
\text{D'où }\ h=g\circ g=\left(h'_{(\Omega,\frac{\sqrt{2}}{2})}\circ S_{\Delta}\right)\circ \left(S_{\Delta}\circ h'_{(\Omega,\frac{\sqrt{2}}{2})}\right) \\\\\phantom{\text{D'où }\ h}=h'_{(\Omega,\frac{\sqrt{2}}{2})}\circ (S_{\Delta}\circ S_{\Delta})\circ h'_{(\Omega,\frac{\sqrt{2}}{2})}\right) \\\\\phantom{\text{D'où }\ h}=h'_{(\Omega,\frac{\sqrt{2}}{2})}\circ\mathscr{Id}_P\circ h'_{(\Omega,\frac{\sqrt{2}}{2})} \\\\\phantom{\text{D'où }\ h}=h'_{(\Omega,\frac{\sqrt{2}}{2})}\circ h'_{(\Omega,\frac{\sqrt{2}}{2})} \\\\\phantom{\text{D'où }\ h}=h'_{(\Omega,\frac{1}{2})} \\\\\Longrightarrow\boxed{h=h'_{(\Omega,\frac{1}{2})}}
Nous en déduisons que h  est une homothétie de centre omegamaj et de rapport  \dfrac{1}{2}.

3. b)  Soit la suite de points (An )n appartientN définie par  \left\lbrace\begin{matrix}A_0=I\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\A_{n+2}=h(A_n)\ \ \ \ (n\in\N)\end{matrix}\right.

  A_2=h(A_0)\Longrightarrow A_2=h(I)
Par définition de h , nous en déduisons que :  \overrightarrow{\Omega A_2}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\Omega I}
Puisque le point K est le milieu de [omegamajI], il s'ensuit que  \boxed{A_2=K}

  A_4=h(A_2)\Longrightarrow A_4=h(K)
Par définition de h , nous en déduisons que :  \overrightarrow{\Omega A_4}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\Omega K}
Par conséquent, le point A4 est le milieu du segment [omegamajK].

Les points A2 et A4 sont représentés sur la figure ci-dessus (voir question 2. d)

3. c)  Soit  S_n=A_0A_2+A_2A_4+\dots+A_{2n-2}A_{2n}.

  Soit la suite numérique  (u_n)_{n\in\N^*} définie par  u_n=A_{2n-2}A_{2n} .

\forall\ n\in\N^*,\left\lbrace\begin{matrix}A_{2n}=h(A_{2n-2})\\A_{2n+2}=h(A_{2n})\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \overrightarrow{A_{2n}A_{2n+2}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{A_{2n-2}A_{2n}} \\\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ A_{2n}A_{2n+2}=\dfrac{1}{2} \times A_{2n-2}A_{2n} \\\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{u_{n+1}=\dfrac{1}{2} \times u_n}
Nous en déduisons que la suite  (u_n)_{n\in\N^*}  est une suite géométrique de raison  \dfrac{1}{2}.
La somme des n  premiers termes de cette suite est donnée par :

S_n=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\\\phantom{S_n}=A_0A_2\times\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}{1-\dfrac{1}{2}} =IK\times\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}{\dfrac{1}{2}}=2\times IK\times\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)  \\\\\Longrightarrow\boxed{S_n=2\times IK\times\left[1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right]}

0<\dfrac{1}{2}<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0 \\\phantom{0<\dfrac{1}{2}<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left[1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right]=1 \\\phantom{0<\dfrac{1}{2}<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left\lbrace2\times IK\times\left[1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right]\right\rbrace=2\times IK \\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=2\,IK \\\\\text{Or }IK=|z_K-z_I|=|3\text{i}-(1+\text{i})|=|-1+2\text{i}|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5}. \\\\\text{D'où }\ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=2\sqrt{5}}

3 points

exercice 3

1.  Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation.
              
Bac Maths (contrôle) Tunisie 2019  : image 10


2. a)  Nous devons calculer  p(D\cap\overline{R}).

p(D\cap\overline{R})=p(D)\times p_{_{D}}(\overline{R}) \\\phantom{p(D\cap\overline{R})}=0,06\times 0,03 \\\phantom{p(D\cap\overline{R})}=0,0018 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(D\cap\overline{R})=0,0018}
D'où, la probabilité que la pièce soit défectueuse et ne soit pas rejetée par l'unité de contrôle est égale à 0,0018.

2. b)  Nous devons calculer  p((\overline{D}\cap R)\cup(D\cap\overline{R})).
Les événements  \overline{D}\cap R  et  D\cap\overline{R}  sont incompatibles.

\text{D'où, }\ p((D\cap\overline{R})\cup(\overline{D}\cap R))=p(D\cap\overline{R})+p(\overline{D}\cap R) \\\phantom{\text{D'où, }\ p((D\cap\overline{R})\cup(\overline{D}\cap R))}=0,0018+p(\overline{D})\times p_{_{\overline{D}}}(R) \\\phantom{\text{D'où, }\ p((D\cap\overline{R})\cup(\overline{D}\cap R))}=0,0018+0,94\times 0,02 \\\phantom{\text{D'où, }\ p((D\cap\overline{R})\cup(\overline{D}\cap R))}=0,0018+0,0188 \\\phantom{\text{D'où, }\ p((D\cap\overline{R})\cup(\overline{D}\cap R))}=0,0206 \\\\\Longrightarrow\boxed{p((D\cap\overline{R})\cup(\overline{D}\cap R))=0,0206}
Par conséquent, la probabilité qu'il y ait une erreur de contrôle est égale à 0,0206.

3.  Nous devons calculer  p(\overline{R}).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(\overline{R})=p(D\cap\overline{R})+p(\overline{D}\cap\overline{R}) \\\phantom{p(\overline{R})}=0,0018+p(\overline{D})\times p_{_{\overline{D}}}(\overline{R}) \\\phantom{p(\overline{R})}=0,0018+0,94\times 0,98 \\\phantom{p(\overline{R})}=0,923 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(\overline{R})=0,923}
D'où, la probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,923.

4.  L'entreprise décide de faire passer chaque pièce à trois contrôles successifs, de manière indépendante.
Chaque contrôle n'a que deux issues possibles :
le "succès" : la pièce est acceptée.
l'"échec" : la pièce est refusée.
La probabilité du succès est p  = 0,923 (voir question précédente).
La probabilité de l'échec est 1 - p  = 1 - 0,923 = 0,077.
Soit X  la variable aléatoire correspondant au nombre de succès à l'issue des trois contrôles.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X  est la loi binomiale de paramètres n  = 3 et p  = 0,923.
La probabilité d'obtenir k succès (0 infegal k infegal n) est donnée par la formule suivante :
{\blue{p(X=k)=\begin{pmatrix}3\\k\end{pmatrix}\times p^k\times(1-p)^{3-k}}}\ \ \ \ \text{pour }k=0,1,2,3.

4. a)  La pièce est commercialisée sans le logo de la marque de voiture si elle est acceptée uniquement par deux contrôles.
Nous devons donc calculer  p(X=2).

p(X=2)=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\times0,923^2\times(1-0,923)^{3-2} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=2)=3\times(0,923)^2\times(0,077)}

4. b)  La pièce est détruite si elle est acceptée par un contrôle ou est rejetée.
Nous devons donc calculer  p(X=1\ \text{ou}\ X=0).

p(X=1\ \text{ou}\ X=0)=p(X=1)+p(X=0) \\\\\phantom{p(X=1\ \text{ou}\ X=0)}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\times0,923^1\times(1-0,923)^{3-1}+\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\times0,923^0\times(1-0,923)^{3-0} \\\\\phantom{p(X=1\ \text{ou}\ X=0)}=3\times0,923\times0,077^2+1\times1\times0,077^{3} \\\phantom{p(X=1\ \text{ou}\ X=0)}=0,016873934 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=1\ \text{ou}\ X=0)\approx0,0169}
Par conséquent, la probabilité que la pièce soit détruite est égale à 0,0169 (valeur arrondie à 10-4).

4 points

exercice 4

Soit le plan P1 d'équation :  3x-2y-2z=1  et P2 d'équation :  4x-11y+2z=0. 

1. a)  Nous savons que tout plan de vecteur normal  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}  admet une équation cartésienne de la forme  ax+by+cz+d=0.
Dès lors, un vecteur normal au plan P1 est  \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}3\\-2\\-2\end{pmatrix}  et un vecteur normal au plan P2 est  \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix}4\\-11\\2\end{pmatrix}. 

Les vecteurs  \overrightarrow{n_1}  et  \overrightarrow{n_2}  ne sont pas colinéaires car  \dfrac{3}{4}\neq\dfrac{-2}{-11}.
Nous en déduisons que les plans P1 et P2 sont sécants suivant une droite deltamaj.

1. b)  Nous devons donner une représentation paramétrique de deltamaj.

\left\lbrace\begin{matrix}3x-2y-2z=1\\4x-11y+2z=0\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{par addition}}{\Longleftrightarrow}\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}7x-13y=1\\4x-11y+2z=0\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=t\\7t-13y=1\\4t-11y+2z=0\end{matrix}\right.\ \ \ (t\in\R) \\\\\Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=t\\-13y=1-7t\\2z=11y-4t\end{matrix}\right.\ \ \  \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=t\\y=-\dfrac{1}{13}+\dfrac{7}{13}t\\\\z=\dfrac{11}{2}y-2t\end{matrix}\right.\ \ \  \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=t\\y=-\dfrac{1}{13}+\dfrac{7}{13}t\\\\z=\dfrac{11}{2}(-\dfrac{1}{13}+\dfrac{7}{13}t)-2t\end{matrix}\right.
\Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=t\\y=-\dfrac{1}{13}+\dfrac{7}{13}t\\\\z=-\dfrac{11}{26}+\dfrac{77}{26}t-2t\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=t\\y=-\dfrac{1}{13}+\dfrac{7}{13}t\\\\z=-\dfrac{11}{26}+\dfrac{25}{26}t\end{matrix}\right\ \ \ (t\in\R)

D'où, une représentation paramétrique de deltamaj est  \left\lbrace\begin{matrix}x=t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=-\dfrac{1}{13}+\dfrac{7}{13}t\\\\z=-\dfrac{11}{26}+\dfrac{25}{26}t\end{matrix}\right\ \ \ (t\in\R)

2.  Soit dans Z multiplie Z l'équation (E) : 7x  - 13y  = 1.

(2 ; 1) est solution de l'équation (E) car 7 multiplie 2 - 13 multiplie 1 = 14 - 13 = 1.

Résolvons l'équation (E) dans Z multiplie Z.

\left\lbrace\begin{matrix}7x-13y=1\\7\times2-13\times1=1\end{matrix}\right.\ \ \ \ \underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\ \ \ \ 7(x-2)-13(y-1)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\ \ \ \ 7(x-2)=13(y-1)

Donc l'entier 13 divise le produit 7(x  - 2).
Or nous savons que 13 et 7 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 13 divise (x  - 2). 
Dès lors, il existe un entier relatif k  tel que x  - 2 = 13k , soit  \boxed{x=2+13k} .

\text{De plus, }\ \left\lbrace\begin{matrix}7(x-2)=13(y-1)\\x-2=13k\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ 7\times13k=13(y-1) \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ 7k=y-1 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{y=1+7k}
Par conséquent, l'ensemble S des solutions de (E) dans Z multiplie Z est S  = {(2 + 13k ; 1 + 7k ) ; kappartientZ}.

3.  Soit dans Z multiplie Z multiplie Z le système (S) :  \left\lbrace\begin{matrix}3x-2y-2z=1\\4x-11y+2z=0\end{matrix}\right.

3. a)  Soit  (x,y,z)\in\Z \times\Z \times\Z .

(x,y,z)\text{ est solution de (S)}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}3x-2y-2z=1\\4x-11y+2z=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{(x,y,z)\text{ est solution de(}}\underset{\text{par addition}}{\Longleftrightarrow}\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}7x-13y=1\\4x-11y+2z=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{(x,y,z)\text{ est solution de (S)}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}7x-13y=1\\2z=11y-4x\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où, }\boxed{(x,y,z)\text{ est solution de (S)}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}7x-13y=1\\2z=11y-4x\end{matrix}\right.}

3. b)  Soit un point quelconque M (x  , y  , z ) appartenant à la droite deltamaj.
Les coordonnées de M vérifient alors le système (S).
En utilisant les résultats de la question 2, nous obtenons :

(x,y,z)\text{ est solution de (S)}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}7x-13y=1\\2z=11y-4x\end{matrix}\right. \\\\\phantom{(x,y,z)\text{ est solution de (S)}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=2+13k\\y=1+7k\\2z=11y-4x\end{matrix}\right. \\\\\phantom{(x,y,z)\text{ est solution de (S)}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=2+13k\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=1+7k\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\2z=11(1+7k)-4(2+13k)\end{matrix}\right. \\\\\phantom{(x,y,z)\text{ est solution de (S)}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=2+13k\\y=1+7k\\2z=3+25k\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ (\text{où }k\text{ est impair)}
Remarque : k  doit être impair car si k  était pair, alors 3 + 25k  serait impair, ce qui est impossible
car 3 + 25k  = 2z (qui est pair).
Puisque k  est impair, il existe n  appartientZ tel que k  = 2n  + 1.

Nous en déduisons que
(x,y,z)\text{ est solution de (S)}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=2+13(2n+1)\\y=1+7(2n+1)\\2z=3+25(2n+1)\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ (\text{où }n\in\Z) \\\\\phantom{(x,y,z)\text{ est solution de (S)}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=15+26n\\y=8+14n\\2z=28+50n\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ (\text{où }n\in\Z) \\\\\phantom{(x,y,z)\text{ est solution de (S)}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=15+26n\\y=8+14n\\z=14+25n\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ (\text{où }n\in\Z)
Par conséquent,
l'ensemble des points de deltamaj à coordonnées entières est  \boxed{\lbrace(15+26n\,;\,8+14n\,;\,14+25n)\ |\ n\in\Z\rbrace}

5,5 points

exercice 5

Soit g  la fonction définie par  \left\lbrace\begin{matrix}g(x)=\text{e}^{-\frac{1}{2x^2}}\ \ \ \text{si }x\neq0\\g(0)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

1. a)  Nous devons montrer que la fonction g  est continue sur R.

  Montrons que la fonction g  est continue sur R*.
La fonction h  définie par  x\mapsto h(x)=-\dfrac{1}{2x^2}  est continue sur R* et Im(h ) = ]-infini ; 0[.
La fonction exponentielle est continue sur ]-infini ; 0[.
Or la fonction g  est la composée de la fonction h  et de la fonction exponentielle.
Donc la fonction g  est continue sur R*.

  Montrons que la fonction g  est continue en 0.

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0}(-\dfrac{1}{2x^2})=-\infty\\\overset{}{\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^{X}=0}\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{(par composition)}}{\Longrightarrow}\ \ \ \lim\limits_{x\to0}\text{e}^{-\frac{1}{2x^2}}=0 \\\phantom{WWWWWWWWWW.W..}\Longrightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ {\blue{\lim\limits_{x\to0}g(x)=0}} \\\\\text{Or }g(0)=0 \\\\\text{D'où } \boxed{{\blue{\lim\limits_{x\to0}g(x)=g(0)}}}
Donc la fonction g  est continue en 0.

Par conséquent, la fonction g  est continue sur R.

1.  b)  Nous devons montrer que la fonction g  est paire.

\forall\,x\in\R, \ -x\in\R. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\forall\,x\in\R^*,\ g(-x)=\text{e}^{-\frac{1}{2(-x)^2}}=\text{e}^{-\frac{1}{2x^2}}=g(x)\\g(0)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{\forall\,x\in\R,\ g(-x)=g(x)}
Donc, la fonction g  est paire.

Nous en déduisons que la courbe  \mathscr{C}  est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées  (O,\vec{j}).

2. a)  Nous devons calculer  \lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{g(x)}{x} , soit  \lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\text{e}^{-\frac{1}{2x^2}}}{x}.

Puisque x  tend vers 0+, nous savons que x  est positif. Posons  X=-\dfrac{1}{2x^2}.

Dans ce cas,  x^2=-\dfrac{1}{2X}\Longrightarrow x=\sqrt{-\dfrac{1}{2X}}\Longrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{-2X}}.
De plus, (x\to0^+)\Longleftrightarrow(X\to-\infty)

Il s'ensuit que :
\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\text{e}^{-\frac{1}{2x^2}}}{x}=\lim\limits_{X\to-\infty}\dfrac{\text{e}^{X}}{\dfrac{1}{\sqrt{-2X}}} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{-\frac{1}{2x^2}}}{x}}=\lim\limits_{X\to-\infty}\sqrt{-2X}\,\text{e}^{X}=0\ \ \ \ (\text{par les croissances comparées)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{g(x)}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{-\frac{1}{2x^2}}}{x}=0}

Nous en déduisons que la fonction g  est dérivable à droite de 0 et que  \boxed{g\,'_d(0)=0}.

Puisque la fonction g  est paire, nous en déduisons que  \boxed{g\,'_g(0)=-g\,'_d(0)=0}.
D'où   \boxed{g\,'(0)=0}.
Par conséquent, la fonction g  est dérivable en 0.

2. b)  La fonction h  définie par  x\mapsto h(x)=-\dfrac{1}{2x^2}  est dérivable sur R* et Im(h ) = ]-infini ; 0[.
La fonction exponentielle est dérivable sur ]-infini ; 0[.
Or la fonction g  est la composée de la fonction h  et de la fonction exponentielle.
Donc la fonction g  est dérivable sur R*.

De plus,
\forall\,x\neq0,\ g'(x)=(-\dfrac{1}{2x^2})'\ \text{e}^{-\frac{1}{2x^2}}=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'\ \text{e}^{-\frac{1}{2x^2}} \\\\\phantom{\forall\,x\neq0,\ g'(x)}=-\dfrac{1}{2}(x^{-2})'\ \text{e}^{-\frac{1}{2x^2}}=-\dfrac{1}{2}(-2x^{-3})\ \text{e}^{-\frac{1}{2x^2}} \\\\\phantom{\forall\,x\neq0,\ g'(x)}=\dfrac{1}{x^3}\ \text{e}^{-\frac{1}{2x^2}}=\dfrac{1}{x^3}\,g(x)=\dfrac{g(x)}{x^3} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\neq0,\ g'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}}

2. c) Etudions les variations de la fonction g  sur l'intervalle [0 ; +infini[.

\forall\,x\in]0\,;\,+\infty[,\ \left\lbrace\begin{matrix}g(x)=\text{e}^{-\frac{1}{2x^2}}>0\\x^3>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \dfrac{g(x)}{x^3}>0\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ g'(x)>0
De plus, g' (0) = 0 (voir question 2. a).

Donc  \forall\,x\in[0\,;\,+\infty[,\ g'(x)\ge0.

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-\dfrac{1}{2x^2})=0\\\overset{}{\lim\limits_{X\to0}\text{e}^{X}=1}\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{(par composition)}}{\Longrightarrow}\ \ \ \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-\frac{1}{2x^2}}=1 \\\phantom{WWWWWWWWWW.W..}\Longrightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ {\blue{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=1}}

Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction g  sur l'intervalle [0 ; +infini[.

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&&&+\infty \\\hline&&&&&&g'(x)&0&+&+&+&\\&&&&&\\\hline &&&&&1 \\ g(x)&&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\\ &0&&&& \\ \hline \end{array}

Etant donné que la fonction g  est paire, la courbe  \mathscr{C}  est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées  (O,\vec{j})  et le tableau de variations de g  sur R est donné par :

 \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-\infty&&0&&+\infty \\\hline&&&&&&g'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &1&&&&1 \\ g(x)&&\searrow&&\nearrow&\\ &&&0&& \\ \hline \end{array}

2. d)  Par la question 2. c), nous savons que la fonction continue g  est strictement croissante sur [0 ; +infini[
et que g ([0 ; +infini[) = [0 ; 1[.
Par conséquent, la fonction g  réalise une bijection de [0 ; +infini[ sur l'intervalle J = [0 ; 1[.

2. e)  La fonction g  réalise une bijection de l'intervalle I =[0 ; +infini[ sur l'intervalle J = [0 ; 1[.

Il existe donc une fonction réciproque g -1 de J dans I telle que :  \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x\in J\ \ \ \ \\y=g^{-1}(x)\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}y\in I\ \ \ \ \\x=g(y)\end{matrix}\right.}

\forall\,x\in]0\,;\,1[,\ y=g^{-1}(x)\Longleftrightarrow x=g(y)\Longleftrightarrow x=\text{e}^{-\frac{1}{2y^2}} \\\\\phantom{\forall\,x\in]0\,;\,1[,\ y=g^{-1}(x)}\Longleftrightarrow \ln x=-\dfrac{1}{2y^2}\Longleftrightarrow y^2=-\dfrac{1}{2\ln x} \\\\\phantom{\forall\,x\in]0\,;\,1[,\ y=g^{-1}(x)}\Longleftrightarrow y=\sqrt{-\dfrac{1}{2\ln x}} \\\\\text{Si }x=0, \ g^{-1}(x)=0\ \ \  \text{car}\ g(0)=0.

Par conséquent, la fonction g -1 est définie sur [0 ; 1[ par :  \left\lbrace\begin{matrix}g^{-1}(x)=\sqrt{-\dfrac{1}{2\ln x}}\ \ \ \text{si }x\neq0\\\\g^{-1}(0)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

3. a)  Nous devons montrer que la courbe  \mathscr{C}  admet deux points d'inflexion.

Etudions le signe de la dérivée seconde g'' (x ).

\forall\ x\neq0,\ g''(x)=(g'(x))'=\left(\dfrac{g(x)}{x^3}\right)'=\dfrac{g'(x)\times x^3-g(x)\times(x^3)'}{(x^3)^2} \\\\\phantom{\forall\ x\neq0,\ g''(x)}=\dfrac{\dfrac{g(x)}{x^3}\times x^3-g(x)\times(3x^2)}{x^6}=\dfrac{g(x)-g(x)\times(3x^2)}{x^6} \\\\\phantom{\forall\ x\neq0,\ g''(x)}=\dfrac{g(x)(1-3x^2)}{x^6} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\neq0,\ g''(x)=\dfrac{g(x)(1-3x^2)}{x^6}}

Par la question 2. c), nous savons que pour tout x  non nul, g (x ) > 0.
De plus, pour tout x  non nul, x 6 > 0.
Il s'ensuit que le signe de g'' (x ) est celui du polynôme du second degré (1 - 3x )2.

\begin{matrix}1-3x^2=0\Longleftrightarrow3x^2=1\\\phantom{\text{e}^{x}-1<0}\Longleftrightarrow x^2=\dfrac{1}{3}\\\phantom{\text{e}^{x}-1<0}\Longleftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{3}}\\\phantom{\text{e}^{x}-1<0}\Longleftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&-\dfrac{1}{\sqrt{3}}&&\dfrac{1}{\sqrt{3}}&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\ 1-3x^2&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

D'où le tableau de signes de la dérivée seconde g'' (x ) sur R*:

 \begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&&\\ x&-\infty&&-\dfrac{1}{\sqrt{3}}&&0&&\dfrac{1}{\sqrt{3}}&&+\infty\\&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&\\ g''(x)&&-&0&+&||&+&0&-&\\&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}

Nous observons que la dérivée seconde g'' (x ) s'annule deux fois en changeant de signe.

g\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=  \text{e}^{-\frac{1}{2(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}}=  \text{e}^{-\frac{1}{2\times\frac{1}{3}}}=  \text{e}^{-\frac{3}{2}} \\\\\Longrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}g\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\text{e}^{-\frac{3}{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\g\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=g\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\text{e}^{-\frac{3}{2}}\ \ \ \text{(car }g\text{ est une fonction paire)}\end{matrix}\right.
Par conséquent, la courbe  \mathscr{C}  admet deux points d'inflexion :  A\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,;\,\text{e}^{-\frac{3}{2}}\right)  et  B\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,;\,\text{e}^{-\frac{3}{2}}\right).

3. b)  Représentation graphique de  \mathscr{C} .

Bac Maths (contrôle) Tunisie 2019  : image 11


4.  Soit la fonction f  définie sur [0 ; +infini[ par  f(x)=g^2(x).

\forall\,x\in[0\,;\,+\infty[,\ f(x)=g^2(x)\Longrightarrow f'(x)=2\,g'(x)\ g(x).
Or, quelquesoit x  appartient [0 ; +infini[, g (x ) supegal 0 et g' (x ) supegal 0 (voir question 2 c).

D'où  \forall\,x\in[0\,;\,+\infty[,\ f'(x)\ge 0.
Par conséquent, f  est croissante sur [0 ; +infini[.

5.  Soit un entier n  supegal 2. On pose :  V(n)=\pi\int\limits_0^nf(t)dt.

5. a)  V(n)=\pi\int\limits_0^nf(t)dt\Longrightarrow \boxed{V(n)=\pi\int\limits_0^ng^2(t)dt}
Puisque la fonction g  est continue sur l'intervalle [0 ; n ], nous pouvons interpréter V(n ) comme étant le volume (en unité de volume) du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe  \mathscr{C}   autour de l'axe des abscisses entre les abscisses x  = 0 et x  = n .

{\red{5.\ \text{b) }}}V(n)=\pi\int\limits_0^nf(t)dt\Longrightarrow  V(n)=\pi\left(\int\limits_0^{\sqrt{n}}f(t)dt+\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(t)dt\right)\ \ \ \ (\text{relation de Chasles}) \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b) }}}V(n)=\pi\int\limits_0^nf(t)dt}\Longrightarrow V(n)=\pi\int\limits_0^{\sqrt{n}}f(t)dt+\pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(t)dt \\\\\text{Or }\forall\,t\in[0\,;\,\sqrt{n}], \ f(t)\ge0\ \Longrightarrow\ \int\limits_0^{\sqrt{n}}f(t)dt\ge0\ \Longrightarrow\ \pi\int\limits_0^{\sqrt{n}}f(t)dt\ge0 \\\\\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}V(n)=\pi\int\limits_0^{\sqrt{n}}f(t)dt+\pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(t)dt\\\pi\int\limits_0^{\sqrt{n}}f(t)dt\ge0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{V(n)\ge\pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(t)dt}

5. c)  Nous devons montrer que :  \lim\limits_{n\to+\infty}V(n)=+\infty.

\forall\,n\ge2, \ \sqrt{n}\le t\le n\Longrightarrow f(\sqrt{n})\le f(t)\le f(n)\ \ \ \ (\text{car }f\text{ est croissante sur }[0\,;\,+\infty[) \\\\\phantom{\forall\,n\ge2, \ \sqrt{n}\le t\le n}\Longrightarrow  \int\limits_{\sqrt{n}}^nf(\sqrt{n})\,dt\le \int\limits_{\sqrt{n}}^nf(t)dt\le \int\limits_{\sqrt{n}}^nf(n)dt \\\phantom{\forall\,n\ge2, \ \sqrt{n}\le t\le n}\Longrightarrow  \pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(\sqrt{n})\,dt\le \pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(t)dt

\text{Or }\pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(\sqrt{n})\,dt=\pi f(\sqrt{n})\int\limits_{\sqrt{n}}^n1\,dt \\\phantom{\text{Or }\pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(\sqrt{n})\,dt}=\pi f(\sqrt{n})\times\left[\overset{}{t}\right]\limits_{\sqrt{n}}^n \\\phantom{\text{Or }\pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(\sqrt{n})\,dt}=\pi f(\sqrt{n})\times[n-\sqrt{n}] \\\phantom{\text{Or }\pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(\sqrt{n})\,dt}=\pi\sqrt{n} (\sqrt{n}-1)f(\sqrt{n})

\text{D'où }\ \forall\,n\ge2,\\\\\left\lbrace\begin{matrix}{ \blue{\pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(\sqrt{n})\,dt}}\le \pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(t)dt \ \ \ \ \ \ \ \ \\ {\blue{\pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(\sqrt{n})\,dt}}=\pi\sqrt{n} (\sqrt{n}-1)f(\sqrt{n})\end{matrix}\right. \ \Longrightarrow\ \boxed{ \pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(t)dt\ge\pi\sqrt{n} (\sqrt{n}-1)f(\sqrt{n})}

\text{Dès lors, }\ \left\lbrace\begin{matrix}V(n)\ge\pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(t)dt\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\pi\int\limits_{\sqrt{n}}^nf(t)dt\ge\pi\sqrt{n} (\sqrt{n}-1)f(\sqrt{n})\end{matrix}\right.\ \Longrightarrow\ \boxed{V(n)\ge\pi\sqrt{n} (\sqrt{n}-1)f(\sqrt{n})}

\text{De plus }\ \lim\limits_{n\to+\infty}f(\sqrt{n})=\lim\limits_{\sqrt{n}\to+\infty}f(\sqrt{n}) \\\\\phantom{\text{De pl }\ \lim\limits_{n\to+\infty}f(\sqrt{n})} \underset{(X=\sqrt{n})}{=}\ \ \lim\limits_{X\to+\infty}f(X) \\\\\phantom{\text{De plus }\ \lim\limits_{n\to+\infty}f(\sqrt{n})}=\lim\limits_{X\to+\infty}g^2(X)=1\ \ \ \ (\text{voir question 2. c}) \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}f(\sqrt{n})=1}

Nous en déduisons alors que :

\left\lbrace\begin{matrix}\pi>0\\\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty\\\lim\limits_{n\to+\infty}(\sqrt{n}-1)=+\infty\\\lim\limits_{n\to+\infty}f(\sqrt{n})=1\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\pi\sqrt{n} (\sqrt{n}-1)f(\sqrt{n})=+\infty \\\\\text{Par conséquent, }\left\lbrace\begin{matrix}V(n)\ge \pi\sqrt{n} (\sqrt{n}-1)f(\sqrt{n})\ \ \ \\\lim\limits_{n\to+\infty}\pi\sqrt{n} (\sqrt{n}-1)f(\sqrt{n})=+\infty\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}V(n)=+\infty}

5. d)  Dans la question 2. c), le tableau de variation de g  montre que pour tout x  appartient [0 ; +infini[, g (x ) infegal 1.

\text{Donc }\ \forall\,t\in[0\,;\,+\infty[,\ g(t) \le1\Longrightarrow f(t)\le1 \\\\\phantom{\text{Donc }\ \forall\,t\in[0\,;\,+\infty[,\ g(t) \le1}\Longrightarrow \int\limits_0^nf(t)\ dt\le\int\limits_0^n1\,dt \\\\\phantom{\text{Donc }\ \forall\,t\in[0\,;\,+\infty[,\ g(t) \le1}\Longrightarrow \pi\int\limits_0^nf(t)\ dt\le\pi\int\limits_0^n1\,dt \\\\\phantom{\text{Donc }\ \forall\,t\in[0\,;\,+\infty[,\ g(t) \le1}\Longrightarrow V(n)\le\pi\left[\overset{}{t}\right]\limits_0^n \\\\\phantom{\text{Donc }\ \forall\,t\in[0\,;\,+\infty[,\ g(t) \le1}\Longrightarrow V(n)\le\pi(n-0) \\\\\phantom{\text{Donc }\ \forall\,t\in[0\,;\,+\infty[,\ g(t) \le1}\Longrightarrow \boxed{V(n)\le n\pi }

5. e)  Nous avons montré dans la résolution de l'exercice 5. c) que pour tout n  supegal 2,  V(n)\ge\pi\sqrt{n} (\sqrt{n}-1)f(\sqrt{n}) ,
soit que  V(n)\ge\pi (n-\sqrt{n})f(\sqrt{n}).
De plus nous savons par la question 5. d) que  V(n)\le n\pi.

Donc  \pi (n-\sqrt{n})f(\sqrt{n})\le V(n)\le n\pi.

\pi (n-\sqrt{n})f(\sqrt{n})\le V(n)\le n\pi\ \ \Longleftrightarrow\ \ \dfrac{\pi (n-\sqrt{n})f(\sqrt{n})}{n}\le \dfrac{V(n)}{n}\le \dfrac{n\pi}{n} \\\\\phantom{\pi (n-\sqrt{n})f(\sqrt{n})\le V(n)\le n\pi\ \ }\Longleftrightarrow\ \ \pi (1-\dfrac{1}{\sqrt{n}})f(\sqrt{n})\le \dfrac{V(n)}{n}\le \pi \\\\\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty} (1-\dfrac{1}{\sqrt{n}})=1-0=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\lim\limits_{n\to+\infty} f(\sqrt{n})=1\ \ \ (\text{voir question 5. c)}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \lim\limits_{n\to+\infty} \pi (1-\dfrac{1}{\sqrt{n}})f(\sqrt{n})=\pi\times1\times1=\pi

Par conséquent,

\pi (1-\dfrac{1}{\sqrt{n}})f(\sqrt{n})\le \dfrac{V(n)}{n}\le \pi\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\pi (1-\dfrac{1}{\sqrt{n}})f(\sqrt{n})\le \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{V(n)}{n}\le \lim\limits_{n\to+\infty}\pi \\\\\phantom{\pi (1-\dfrac{1}{\sqrt{n}})f(\sqrt{n})\le \dfrac{V(n)}{n}\le \pi}\Longrightarrow\pi\le \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{V(n)}{n}\le \pi \\\\\phantom{\pi (1-\dfrac{1}{\sqrt{n}})f(\sqrt{n})\le \dfrac{V(n)}{n}\le \pi}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{V(n)}{n}=\pi}
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Hiphigenie
/
Panter Correcteur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1473 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !