Soient ABC un triangle rectangle en A et la médiatrice du segment [AB].
1. La proposition est vraie.
Par conséquent, la proposition est vraie.
2. La proposition est vraie.
Par conséquent, la proposition est vraie.
3. La proposition est fausse. f est une isométrie fixant les points A et B.
Donc f est soit l'application identique , soit la symétrie orthogonale d'axe (AB).
Si f est l'application identique , alors :
Si f est la symétrie orthogonale d'axe (AB), alors :
Par conséquent, la proposition de l'énoncé est fausse.
4,5 points
exercice 2
1. a) Placement des points I, C, D et K dans le repère R.
Les points I, C, D et K sont représentés sur la figure ci-dessous (voir question 2. d)
1. b)Théorème de l'existence et unicité d'une similitude indirecte : Soient A, B, A' et B' quatre points du plan tels que A B et A' B'.
Alors il existe une unique similitude plane g telle que g (A) = A' et g (B) = B'.
Dans cet exercice, nous savons que I D et D K.
Donc il existe une unique similitude plane g qui transforme I en D et D en K.
1. c) Le rapport k de g est donné par le quotient
Par conséquent, le rapport de g est
1. d) Montrons que le triangle IDO est rectangle isocèle direct en I en montrant que
D'où le triangle IDO est rectangle isocèle direct en I.
Puisque g (I) = D, l'image du triangle IDO par g est un triangle rectangle isocèle indirect en D.
Nous savons que g (D) = K.
Soit le point P tel que g (O) = P.
Déterminons l'affixe du point P.
L'image du triangle IDO par g est le triangle DKP rectangle isocèle indirect en D.
Il s'ensuit que
Or zC = 1 + 2i.
D'où le point P est confondu avec le point C.
En résumé, g (I) = D, g (D) = K et g (O) = C.
Par conséquent, l'image du triangle IDO par g est le triangle DKC.
2. Soit M un point du plan et M' son image par g .
On désigne par z et z' les affixes respectives de M et M'.
2. a) La représentation complexe de la similitude indirecte g telle que g (M) = M' est : où
En nous basant sur l'équivalence , nous obtenons :
2. b) Déterminons l'affixe z = x + iy du centre de g . est un point invariant de la similitude g .
Par conséquent,
D'où, l'affixe de est .
2. c) L'affixe du milieu du segment [I] est donné par :
Nous en déduisons que le point K est le milieu du segment [I].
2. d) Nous devons construire le centre et l'axe de g .
Puisque K est le milieu du segment [I], traçons un cercle de centre K et de rayon KI.
Le point sera alors le point diamétralement opposé au point I.
Nous vérifions bien que l'affixe de ce point est -1 + 5i.
L'axe peut se construire comme la bissectrice de l'angle (ou de l'angle ).
Figure ci-dessous.
3. Soit
3. a) Nous devons montrer que h est une homothétie de rapport
La forme réduite de la similitude g est : .
Nous en déduisons que h est une homothétie de centre et de rapport
3. b) Soit la suite de points (An )n définie par
Par définition de h , nous en déduisons que :
Puisque le point K est le milieu de [I], il s'ensuit que
Par définition de h , nous en déduisons que :
Par conséquent, le point A4 est le milieu du segment [K].
Les points A2 et A4 sont représentés sur la figure ci-dessus (voir question 2. d)
3. c) Soit
Soit la suite numérique définie par .
Nous en déduisons que la suite est une suite géométrique de raison
La somme des n premiers termes de cette suite est donnée par :
3 points
exercice 3
1. Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation.
2. a) Nous devons calculer
D'où, la probabilité que la pièce soit défectueuse et ne soit pas rejetée par l'unité de contrôle est égale à 0,0018.
2. b) Nous devons calculer
Les événements et sont incompatibles.
Par conséquent, la probabilité qu'il y ait une erreur de contrôle est égale à 0,0206.
3. Nous devons calculer
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
D'où, la probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,923.
4. L'entreprise décide de faire passer chaque pièce à trois contrôles successifs, de manière indépendante.
Chaque contrôle n'a que deux issues possibles :
le "succès" : la pièce est acceptée.
l'"échec" : la pièce est refusée.
La probabilité du succès est p = 0,923 (voir question précédente).
La probabilité de l'échec est 1 - p = 1 - 0,923 = 0,077.
Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de succès à l'issue des trois contrôles.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,923.
La probabilité d'obtenir k succès (0 k n) est donnée par la formule suivante :
4. a) La pièce est commercialisée sans le logo de la marque de voiture si elle est acceptée uniquement par deux contrôles.
Nous devons donc calculer
4. b) La pièce est détruite si elle est acceptée par un contrôle ou est rejetée.
Nous devons donc calculer
Par conséquent, la probabilité que la pièce soit détruite est égale à 0,0169 (valeur arrondie à 10-4).
4 points
exercice 4
Soit le plan P1 d'équation : et P2 d'équation :
1. a) Nous savons que tout plan de vecteur normal admet une équation cartésienne de la
forme
Dès lors, un vecteur normal au plan P1 est et un vecteur normal au plan P2 est
Les vecteurs et ne sont pas colinéaires car
Nous en déduisons que les plans P1 et P2 sont sécants suivant une droite .
1. b) Nous devons donner une représentation paramétrique de .
D'où, une représentation paramétrique de est
2. Soit dans l'équation (E) : 7x - 13y = 1.
(2 ; 1) est solution de l'équation (E) car 7 2 - 13 1 = 14 - 13 = 1.
Résolvons l'équation (E) dans .
Donc l'entier 13 divise le produit 7(x - 2).
Or nous savons que 13 et 7 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 13 divise (x - 2).
Dès lors, il existe un entier relatif k tel que x - 2 = 13k , soit .
Par conséquent, l'ensemble S des solutions de (E) dans est S = {(2 + 13k ; 1 + 7k ) ; k}.
3. Soit dans le système (S) :
3. a) Soit
3. b) Soit un point quelconque M (x , y , z ) appartenant à la droite .
Les coordonnées de M vérifient alors le système (S).
En utilisant les résultats de la question 2, nous obtenons :
Remarque : k doit être impair car si k était pair, alors 3 + 25k serait impair, ce qui est impossible car 3 + 25k = 2z (qui est pair).
Puisque k est impair, il existe n tel que k = 2n + 1.
Nous en déduisons que
Par conséquent, l'ensemble des points de à coordonnées entières est
5,5 points
exercice 5
Soit g la fonction définie par
1. a) Nous devons montrer que la fonction g est continue sur .
Montrons que la fonction g est continue sur *.
La fonction h définie par est continue sur * et Im(h ) = ]- ; 0[.
La fonction exponentielle est continue sur ]- ; 0[.
Or la fonction g est la composée de la fonction h et de la fonction exponentielle.
Donc la fonction g est continue sur *.
Montrons que la fonction g est continue en 0.
Donc la fonction g est continue en 0.
Par conséquent, la fonction g est continue sur .
1. b) Nous devons montrer que la fonction g est paire.
Donc, la fonction g est paire.
Nous en déduisons que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
2. a) Nous devons calculer , soit
Puisque x tend vers 0+, nous savons que x est positif.
Posons
Dans ce cas,
De plus,
Il s'ensuit que :
Nous en déduisons que la fonction g est dérivable à droite de 0 et que
Puisque la fonction g est paire, nous en déduisons que
D'où
Par conséquent, la fonction g est dérivable en 0.
2. b) La fonction h définie par est dérivable sur * et Im(h ) = ]- ; 0[.
La fonction exponentielle est dérivable sur ]- ; 0[.
Or la fonction g est la composée de la fonction h et de la fonction exponentielle.
Donc la fonction g est dérivable sur *.
De plus,
2. c) Etudions les variations de la fonction g sur l'intervalle [0 ; +[.
De plus, g' (0) = 0 (voir question 2. a).
Donc .
Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle [0 ; +[.
Etant donné que la fonction g est paire, la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et le tableau de variations de g sur est donné par :
2. d) Par la question 2. c), nous savons que la fonction continue g est strictement croissante sur [0 ; +[ et que g ([0 ; +[) = [0 ; 1[.
Par conséquent, la fonction g réalise une bijection de [0 ; +[ sur l'intervalle J = [0 ; 1[.
2. e) La fonction g réalise une bijection de l'intervalle I =[0 ; +[ sur l'intervalle J = [0 ; 1[.
Il existe donc une fonction réciproque g-1 de J dans I telle que :
Par conséquent, la fonction g-1 est définie sur [0 ; 1[ par :
3. a) Nous devons montrer que la courbe admet deux points d'inflexion.
Etudions le signe de la dérivée seconde g'' (x ).
Par la question 2. c), nous savons que pour tout x non nul, g (x ) > 0.
De plus, pour tout x non nul, x6 > 0.
Il s'ensuit que le signe de g'' (x ) est celui du polynôme du second degré (1 - 3x )2.
D'où le tableau de signes de la dérivée seconde g'' (x ) sur *:
Nous observons que la dérivée seconde g'' (x ) s'annule deux fois en changeant de signe.
Par conséquent, la courbe admet deux points d'inflexion : et
3. b) Représentation graphique de .
4. Soit la fonction f définie sur [0 ; +[ par
Or, x [0 ; +[, g (x ) 0 et g' (x ) 0 (voir question 2 c).
D'où
Par conséquent, f est croissante sur [0 ; +[.
5. Soit un entier n 2. On pose :
5. a)
Puisque la fonction g est continue sur l'intervalle [0 ; n ], nous pouvons interpréter V(n ) comme étant le volume (en unité de volume) du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe autour de l'axe des abscisses entre les abscisses x = 0 et x = n.
5. c) Nous devons montrer que :
Nous en déduisons alors que :
5. d) Dans la question 2. c), le tableau de variation de g montre que pour tout x [0 ; +[, g (x ) 1.
5. e) Nous avons montré dans la résolution de l'exercice 5. c) que pour tout n 2, ,
soit que
De plus nous savons par la question 5. d) que
Donc
Par conséquent,
Publié par malou
le
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