Fiche de mathématiques
> >

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE

Session 2020

MATHÉMATIQUES

Série : SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LABORATOIRE

Spécialité : BIOTECHNOLOGIES

Partager :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient : 4

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.



Le candidat doit traiter les quatre exercices. Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1

Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Chaque bonne réponse rapporte un point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.
Donner sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée et une seule réponse est attendue par question.


Dans les deux premières questions, on considère la fonction f définie sur R par f(x) = (x + 2)\text e^{ -2x }.
On note f ' sa fonction dérivée.
La courbe (C) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal d'origine O est donnée ci- dessous. Soit les points A(0 ; 2) et B(1 ; -1). La droite (AB) est tangente à la courbe (C) au point A.

Bac STL spé Biotchnologies Nouvelle Calédonie 2020 : image 5


Question 1 : f'(0)=
\begin{matrix} a. &2\qquad \qquad & b. & -3\qquad \qquad & c. & -1\qquad\qquad & d.& -\dfrac 3 2 \end{matrix}

Question 2 : L'ensemble des solutions de l'équation f'(x)=0 est :

\begin{matrix} a. &S=\begin{Bmatrix} 2 \end{Bmatrix} \qquad \qquad & b. & S=\begin{Bmatrix} 3 \end{Bmatrix}\qquad \qquad & c. & S=\begin{Bmatrix} -2 \end{Bmatrix}\qquad\qquad & d.& S=\begin{Bmatrix} -\dfrac 3 2 \end{Bmatrix} \end{matrix}



Dans les deux questions suivantes, on s'intéresse à la greffe de cornée en France. Les données utilisées portent sur l'année 2015 et sont extraites du bilan d'activité 2016 de l'agence de biomédecine sur le prélèvement, la greffe et l'inscription en attente de greffe.
47,6% des inscrits en 2015 en Île de France ont reçu une greffe de cornée la même année.
On choisit au hasard 100 inscrits en 2015. Ce choix est assimilable à un tirage avec remise.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes greffées dans ce groupe. X suit une loi binomiale de paramètres 100 et 0,476.
Les résultats sont arrondis à 0,001 près


Question 3 : La probabilité d'avoir au moins 40 personnes greffées est :

\begin{matrix} a. &0,077\qquad \qquad & b. & 0,651\qquad \qquad & c. & 0,948\qquad\qquad & d.& 1,027\end{matrix}

Question 4 : Les conditions sont satisfaisantes pour approximer la loi de X par une loi normale d'une variable aléatoire Y.

P(37\le Y \le 58)\approx

\begin{matrix} a. &0,038\qquad \qquad & b. & 0,872\qquad \qquad & c. & 0,853\qquad\qquad & d.& 0,964\end{matrix}

5 points

exercice 2

Suite à un incident nucléaire, des traces de contamination ont été découvertes lors des contrôles réalisés de manière systématique à la sortie des zones nucléaires, notamment grâce au passage sous des portiques d'accès. Le tableau ci-dessous donne les résultats fournis, heure par heure, par un appareil de mesure de la radioactivité. Les nombres entiers N i représentent le nombre de particules recueillies par l'appareil en une seconde.

Bac STL spé Biotchnologies Nouvelle Calédonie 2020 : image 4


1. On pose z_i=\ln (N_i) pour i variant de 0 à 6.
Compléter, dans l'annexe 1 (à rendre avec la copie), le tableau donnant les valeurs de z i arrondies au centième.

2. Représenter le nuage de points de coordonnées (t i , z i ) dans le repère orthogonal de l'annexe 1.
3. Donner l'équation de la droite de régression linéaire de z en t. On arrondira les coefficients à 10 -3 près.

Dans la suite, on prendra pour équation de la droite de régression linéaire :

z=-0,48t+5,12


4. Représenter la droite de régression linéaire dans le repère précédent.
5. En déduire une expression de N en fonction de t.
6. L'appareil de mesure possède deux voyants (un rouge et un vert). Tant que le nombre de particules recueillies est strictement supérieur à 3, le voyant rouge est allumé. Lorsque le nombre de particules recueillies est inférieur ou égal à 3, le voyant rouge s'éteint et le voyant vert s'allume.
Déterminer, par le calcul, le nombre d'heures nécessaires pour voir le voyant vert s'allumer.

6 points

exercice 3

On introduit initialement 200 bactéries dans un milieu clos.
Dans cet exercice, on s'intéresse à l'évolution de la population de bactéries.

Partie A : un premier modèle
Au XVII e siècle, Thomas Malthus propose un modèle décrivant l'évolution d'une population isolée connaissant le taux de natalité et le taux de mortalité.
On note u n la population de bactéries présentes dans ce milieu n heures après l'introduction des bactéries. Ainsi u 0= 200.
Selon le modèle proposé par Malthus, la suite (u n ) vérifie, pour tout entier naturel n :
u _{n+1} = u_ n + au_ n - bu_n

a représente le taux de natalité et b représente le taux de mortalité de la population. Les réels a et b, étant des taux, sont compris entre 0 et 1.

On suppose que a = 0,12 et b = 0,07, c'est-à-dire :
u _{n+1} = u _n + 0,12u_n - 0,07u_n


1. a) Déterminer le nombre de bactéries 1 heure après le début de l'expérience.
\white vvb) Montrer que la suite (u n ) est géométrique de raison 1,05.
\white vvc) En déduire l'expression de u n en fonction de n.

2. Compléter le tableau de valeurs de cette suite (premier tableau de l'annexe 2 à rendre avec la copie). Les résultats seront donnés à l'entier près.
3. a) Déterminer \displaystyle {\lim_{n \to + \infty}u_n . Justifier la réponse.
\white vvb) Ce modèle paraît-il réaliste ? Justifier la réponse.

4. Donner un exemple de taux de natalité a et de taux de mortalité b qui, selon le modèle de Malthus, amènerait la population à disparaître. Justifier la réponse.

Partie B : un deuxième modèle

En 1840, Pierre François Verhulst propose un modèle différent selon lequel les taux de natalité et de mortalité dépendent de la population.
On note v n la population de bactéries dans ce milieu n heures après l'introduction de v 0 = 200 bactéries, et on admet que, pour tout entier naturel n :
v _{n+1} = 1,12\,v_ n - 0,0001v _n ²


1. On considère l'algorithme ci-dessous :
\white vv a) Compléter le deuxième tableau de l'annexe 2 en exécutant cet algorithme à la main. Les résultats seront donnés à l'entier près.
\white vv b) À la fin de son exécution, la variable N contient la valeur 34. Quel est le rôle de cet algorithme ?
Comment peut-on interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice ?

2. Le graphique ci-dessous donne la représentation des premiers termes de la suite (v n ). Que peut-on conjecturer quant à l'évolution de cette population à long terme ?
Bac STL spé Biotchnologies Nouvelle Calédonie 2020 : image 1


5 points

exercice 4

Partie A : résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle
(E) : 5y ' + 7,9y = 0
1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E).
2. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E), définie sur [0 ; +infini[, qui vérifie la condition : f (0) = 0,001.

Partie B : loi de Lambert Beer
Un faisceau lumineux incident, d'intensité I 0 , traverse une solution contenue dans un tube transparent.
A la sortie du tube, l'intensité I du faisceau lumineux est mesurée par un détecteur.
Bac STL spé Biotchnologies Nouvelle Calédonie 2020 : image 2

La loi de Lambert Beer décrit l'intensité I du faisceau lumineux à la sortie en fonction de l'intensité du faisceau incident I 0 , de la concentration c de la substance absorbante et de l'épaisseur d du milieu traversé par la lumière selon la relation :
I(c)=I_0\,\text e^{-\epsilon dc}epsilon est le coefficient d'extinction molaire du soluté.


Initialement, la cuvette ne contient que du solvant (c = 0 mol.L -1 ), on augmente la concentration de la substance en ajoutant du soluté de façon continue.
Dans cette expérience :
{\white{wwwww}}\bullet\white ww l'épaisseur d du milieu traversé est de 1 cm
{\white{wwwww}}\bullet\white ww le coefficient d'extinction molaire epsilon du soluté est de 1,58 L.mol -1 .cm -1
{\white{wwwww}}\bullet\white ww l'intensité du faisceau incident est I 0 = 0,001 W.sr -1 (Watt par stéradian)

1. Vérifier que la fonction I, fonction de la variable c, ainsi définie est la solution particulière de l'équation différentielle (E) déterminée dans la question 2 de la partie A.

Dans la suite de l'exercice, on prendra I(c) = 0,001 e -1,58c .

2. Etudier sur [0 ; +infini[, les variations de la fonction I. Est-ce cohérent avec le contexte ? Justifier.
3. Déterminer la valeur exacte, puis arrondie à 0,01 mol.L -1 , de la concentration c permettant de récupérer 75% de l'intensité du faisceau incident à la sortie de la cuvette.
4. L'absorbance de la substance est définie par A(c)=\ln \left(\dfrac{I_0}{I(c)}\right) . Donner, sous forme simplifiée, l'expression de l'absorbance en fonction de c.

Partie C : valeur moyenne
On admet que l'intensité moyenne du faisceau lumineux lorsque la concentration varie de 0,5 mol.L -1 à 1,3 mol.L -1 est égale à : m = \dfrac 5 4 \begin{aligned}\int\nolimits_{0,5}^{1,3} I(c)\, \text d c\end{aligned}.
Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10 -4 près, de m.

ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)


Exercice 2
Bac STL spé Biotchnologies Nouvelle Calédonie 2020 : image 3


Bac STL spé Biotchnologies Nouvelle Calédonie 2020 : image 6


ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)

Exercice 3
Bac STL spé Biotchnologies Nouvelle Calédonie 2020 : image 7






Bac STL spé Biotechnologies Nouvelle Calédonie 2020

Partager :



4 points

exercice 1

La courbe (C ) représentative de la fonction f  définie sur R par  f(x) = (x + 2)\text e^{ -2x }  est donnée ci- dessous.

Bac STL spé Biotchnologies Nouvelle Calédonie 2020 : image 9


{\red{\text{Question 1. Réponse b : }}{\blue{f'(0)=-3.}}}
f' (0) est le coefficient directeur de la tangente T  au point A  d'abscisse 0.
Nous observons graphiquement que la droite T  passe par les points de coordonnées A(0 ; 2) et B(1 ; -1).
Le coefficient directeur de T  est donc égal à  \overset{{\white{.}}}{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-1-2}{1-0}= -3}.
Par conséquent,  \boxed{f'(0)=-3}\ .

{\red{\text{Question 2. Réponse d : }}{\blue{\text{L'ensemble des solutions de l'équation  }f'(x)=0\text{ est }S=\lbrace-\dfrac{3}{2}\rbrace.}}}
Par lecture graphique, nous observons que la courbe  \overset{{\white{.}}}{(\scr{C})}  semble posséder une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point C d'abscisse -1,5.
Dès lors,  \overset{{\white{.}}}{f'(-1,5)=0.}
De plus, la courbe  \overset{{\white{.}}}{(\scr{C})}  ne semble posséder aucune autre tangente parallèle à l'axe des abscisses.
Par conséquent, la réponse correcte est :  \boxed{S=\lbrace-\dfrac{3}{2}\rbrace}

{\red{\text{Question 3. Réponse c : }}{\blue{\text{La probabilité d'avoir au moins 40 peronnes greffées est : }0,948.}}}
Nous devons déterminer  \overset{{\white{.}}}{P(X\ge40).}
Par la calculatrice, nous obtenons :  \overset{{\white{.}}}{P(X\le40)\approx0,077.}
Donc  \overset{{\white{.}}}{P(X>40)=1-P(X\le40)\approx1-0,077\Longrightarrow\boxed{P(X>40)\approx0,923}}
Par la calculatrice, nous obtenons également :  
P(X=40)=\begin{pmatrix}100\\40\end{pmatrix}\times0,476^{40}\times(1-0,476)^{100-40}\\\phantom{P(X=40)}=\begin{pmatrix}100\\40\end{pmatrix}\times0,476^{40}\times0,524^{60} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=40)\approx0,025}
Par conséquent,  P(X\ge40)=P(X>40)+P(X=40)\approx0,923+0,025\Longrightarrow\boxed{P(X\ge40)\approx0,948}

{\red{\text{Question 4. Réponse d : }}}{\blue{P(37\le Y\le58)\approx0,964.}}

Déterminons les paramètres de la loi normale Y .

\text{Moyenne : }\mu=100\times0,476\Longrightarrow\boxed{\mu=47,6} \\\\\text{Ecart-type : }\sigma=\sqrt{100\times0,476\times(1-0,476)} \\\phantom{\text{Ecart-type : }\sigma}=\sqrt{100\times0,476\times0,524} \\\\\phantom{\text{Ecart-: }}\Longrightarrow\boxed{\sigma\approx5}
Par la calculatrice, nous obtenons :  \boxed{P(37\le Y\le58)\approx0,964.}

5 points

exercice 2

1.  Les nombres entiers Ni  représentent le nombre de particules recueillies par l'appareil en une seconde.
On pose  \overset{{\white{.}}}{z_i=\ln(N_i)}
Tableau donnant les valeurs de zi  arrondies au centième.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&&&&&&&& t_i\text{ en heures}&0&1&2&3&4&5&6\\&&&&&&& \\\hline&&&&&&&& N_i&\ 170\ &\ 102&\ 63\ &\ 39\ &\ 24\ &\ 16\ &\ 9\ \\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&& z_i=\ln(N_i)&\ 5,14\ &\ 4,62&\ 4,14\ &\ 3,66\ &\ 3,18\ &\ 2,77\ &\ 2,20\ \\&&&&&&&\\\hline \end{array}


2.  Représentation du nuage de points de coordonnées (ti , zi ) dans un repère orthogonal.

Bac STL spé Biotchnologies Nouvelle Calédonie 2020 : image 11


3.  L'équation réduite de la droite de régression linéaire de z  en t  est  de la forme z  = at  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a  = -0,4814285 et b  = 5,11714285.
Donc l'équation réduite de la droite de régression linéaire de z  en t  est z  = -0,481t  + 5,117 (les nombres sont arrondis au millième).

Dans la suite, on prendra pour équation de la droite de régression linéaire :  \overset{{\white{.}}}{z=-0,48t+5,12.}

4.  Représentation de la droite de régression linéaire : voir le graphique de la question 2.

5.  Déterminons une expression de N  en fonction de t .

z=-0,48t+5,12\Longleftrightarrow \ln(N)=-0,48t+5,12 \\\\\phantom{z=-0,48t+5,12}\Longleftrightarrow \boxed{N=\text{e}^{-0,48t+5,12}}

6.  Nous devons résoudre l'équation  \overset{{\white{.}}}{N\le3.}

N\le3\Longleftrightarrow\text{e}^{-0,48t+5,12}\le3 \\\phantom{N\le3}\overset{{\white{.}}}{\Longleftrightarrow-0,48t+5,12\le\ln(3)} \\\phantom{N\le3}\overset{{\white{.}}}{\Longleftrightarrow-0,48t\le\ln(3)}-5,12 \\\phantom{N\le3}\overset{{\white{.}}}{\Longleftrightarrow t\ge\dfrac{\ln(3)-5,12}{-0,48}} \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(3)-5,12}{-0,48}\approx8,38
Par conséquent, il faudra attendre environ 8 h 23 min pour voir le voyant vert s'allumer.

6 points

exercice 3

Partie A : un premier modèle

On note un  la population de bactéries présentes dans ce milieu n  heures après l'introduction des bactéries. Ainsi u 0= 200.
Selon le modèle proposé par Malthus, la suite (un ) vérifie, pour tout entier naturel n  :  
\overset{{\white{.}}}{u _{n+1} = u_n + 0,12u_n - 0,07u_n.}


{\red{1.\ \text{a)}}}\ u_1=u_0+0,12u_0-0,07u_0 \\\phantom{{\red{1.\ \text{a)}}}\ u_1}=200+0,12\times200-0,07\times200 \\\phantom{{\red{1.\ \text{a)}}}\ u_1}=210
D'où, 1 heure après le début de l'expérience, il y a 210 bactéries présentes dans ce milieu.

{\red{1.\ \text{b)}}}\ u_{n+1}=u_n+0,12u_n-0,07u_n \\\phantom{{\red{1.\ \text{a)}}}\ u_{n+1}}=(1+0,12-0,07)u_n \\\phantom{{\red{1.\ \text{a)}}}\ u_{n+1}}=1,05u_n \\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=1,05u_n}
Par conséquent, la suite (un ) est une suite géométrique de raison q  = 1,05 dont le premier terme
est u 0 = 200.


1. c.  Le terme général de la suite (un ) est  u_n=u_0\times q^{n} .
Donc, pour tout n  supegal 0,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{u_n=200\times1,05^{n}}}

2.  Tableau de valeurs de la suite (un ).

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&&&&&&&&& n&0&1&5&10&20&40&60&100\\&&&&&&&& \\\hline&&&&&&&&& u_n&\ 200\ &\ 210&\ 255\ &\ 326\ &\ 531\ &\ 1\,408\ &\ 3\,736\ &\ 26\,300\ \\&&&&&&&&\\\hline \end{array}


{\red{3.\ \text{a) }}}\ 1,05>1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}1,05^n=+\infty \\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ 1,05>1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(200\times1,05^n)=+\infty \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ 1,05>1}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty}

3. b)  Ce modèle ne paraît pas réaliste car il n'est pas pensable d'imaginer un nombre de bactéries croître indéfiniment, ne fût-ce que par manque de substance nutritive.

4.  Pour que la population soit amenée à disparaître selon le modèle de Malthus, il suffit que le taux de natalité a  soit inférieur au taux de mortalité b .
Par exemple : a  = 0,05 et b  = 0,15.
Dans ce cas,  \overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=u_n+0,05u_n-0,15u_n=(1+0,05-0,15)u_n\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=0,9 u_n}}
La suite (un ) est alors une suite géométrique de raison 0,9 comprise entre 0 et 1.
Dans ce cas,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0.}}

Partie B : un deuxième modèle

On note vn  la population de bactéries dans ce milieu n  heures après l'introduction de v 0 = 200 bactéries, et on admet que, pour tout entier naturel n  :  \overset{{\white{.}}}{v _{n+1} = 1,12\,v_ n - 0,0001v _n^2}

1.  On considère l'algorithme suivant :

{\white{www}}\begin{array}{|c|}\hline V\longleftarrow200{\phantom{wwwwwwwwwwwwwwww}}\\N\longleftarrow0{\phantom{wwwwwwwww.wwwwwwww}}\\\text{Tant que }V<1100\ \text{faire}{\phantom{wwwwwwww}}\\ {\phantom{www}}V\longleftarrow 1,12\times V-0,0001\times V^2\\N\longleftarrow N+1{\phantom{wwwwwwww}}\\\text{Fin Tant que}{\phantom{wwwwwwwwwwwwww}}\\\hline\end{array}

1. a)  En exécutant cet algorithme à la main, nous obtenons le tableau suivant :

{\white{www}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline&&&&&& V&\ 200\ &\ 220&\ 242\ &\ 265\ &\ 289\\&&&&&\\\hline&&&&&& N&\ 0\ &\ 1&\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\&&&&&\\\hline \end{array}

1. b)  Cet algorithme détermine le nombre d'heures au bout desquelles le nombre de bactéries dépassera 1100.
À la fin de son exécution, la variable N contient la valeur 34.
Cela signifie qu'au bout de 34 heures, le nombre de bactéries sera supérieur à 1100.

Bac STL spé Biotchnologies Nouvelle Calédonie 2020 : image 10

2.  Le graphique ci-contre donne la représentation
des premiers termes de la suite (vn ).

Nous pouvons conjecturer qu'à long terme
cette population tendra à s'approcher d'un
plafond de 1200 bactéries.





5 points

exercice 4

Partie A : résolution d'une équation différentielle

1.  Résoudre l'équation différentielle  (E):5y'+7,9y=0.
La solution générale d'une équation différentielle de la forme  \overset{{\white{.}}}{y'=ay+b}  est  y=k\,\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).
\text{Or }\ (E)\Longleftrightarrow 5y'=-7,9y\Longleftrightarrow \boxed{y'=-1,58y}.
Dans ce cas, a = -1,58 et b = 0.
D'où la solution générale de l'équation (E ) est de la forme  \overset{{\white{.}}}{f(t)=k\,\text{e}^{-1,58t}-0}
soit  \boxed{f(t)=k\,\text{e}^{-1,58t}\ \ \ \ \ (k\in\R)}

2.  Déterminons la solution de (E ) vérifiant la condition  \overset{{\white{.}}}{f(0)=0,001}  en remplaçant t  par 0 et f (t ) par 0,001 dans la solution générale de (E ).

k\,\text{e}^{-1,58\times0}=0,001\Longleftrightarrow k\,\text{e}^{0}=0,001 \\\phantom{k\,\text{e}^{-1,58\times0}=0,001}\Longleftrightarrow k\times1=0,001 \\\phantom{k\,\text{e}^{-1,58\times0}=0,001}\Longleftrightarrow{\red{ k=0,001}}
Par conséquent, pour tout t  de l'intervalle [0 ; +infini[,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{ f(t)=0,001\,\text{e}^{-1,58t}}}.

Partie B : loi de Lambert Beer

1.  La loi de Lambert Beer s'exprime par la relation :  I(c)=I_0\,\text{e}^{-\epsilon dc}.

\left\lbrace\begin{matrix}I_0=0,001\\\epsilon =1,58\\d = 1{\white{ww}}\end{matrix}\right.\Longrightarrow I(c)=0,001\,\text{e}^{-1,58\times1\times c}\Longrightarrow \boxed{I(c)=0,001\,\text{e}^{-1,58c}}

Par conséquent, la fonction I , fonction de la variable c , ainsi définie est la solution particulière de l'équation différentielle (E) déterminée dans la question 2 de la partie A.

2.  Étudions sur [0 ; +infini[, les variations de la fonction I .

I'(c)=0,001\times(-1,58c)'\,\text{e}^{-1,58c} \\\phantom{I'(c)}=0,001\times(-1,58)\,\text{e}^{-1,58c}  \\\\\Longrightarrow\boxed{I'(c)=-0,00158\,\text{e}^{-1,58c}}
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R et en particulier sur [0 ; +infini[, nous en déduisons que la fonction dérivée I'  est strictement négative sur [0 ; +infini[
Par conséquent, la fonction I  est strictement décroissante sur [0 ; +infini[.

Cette décroissance de l'intensité I  du faisceau lumineux à la sortie de la cuvette diminue au fur et à mesure que la concentration c  de la substance absorbante augmente, ce qui est parfaitement cohérent.

3.  Nous devons résoudre dans [0 ; +infini[, l'équation :  \overset{{\white{.}}}{I(c)=0,75I_0.}

I(c)=0,75I_0\Longleftrightarrow0,001\,\text{e}^{-1,58c}=0,75\times0,001 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I(c)=0,75I_0}\Longleftrightarrow\,\text{e}^{-1,58c}=0,75} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I(c)=0,75I_0}\Longleftrightarrow\,-1,58c=\ln(0,75)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I(c)=0,75I_0}\Longleftrightarrow \boxed{c=\dfrac{\ln(0,75)}{-1,58}\approx0,18}}

Par conséquent, il est possible de récupérer 75% de l'intensité du faisceau incident à la sortie de la cuvette si la concentration c  est environ égale à 0,18 mol.L-1 (valeur arrondie au centième).

4.  L'absorbance de la substance est définie par  \overset{{\white{.}}}{A(c)=\ln \left(\dfrac{I_0}{I(c)}\right).}
A(c)=\ln \left(\dfrac{I_0}{I(c)}\right)=\ln \left(\dfrac{0,001}{0,001\,\text{e}^{-1,58c}}\right) =\ln \left(\dfrac{1}{\text{e}^{-1,58c}}\right)=\ln \left(\text{e}^{1,58c}\right)=1,58c \\\\\Longrightarrow\boxed{A(c)=1,58c}

Partie C : valeur moyenne

m=\dfrac{5}{4}\int\limits_{0,5}^{1,3}I(c)\,\text{d}c=\dfrac{5}{4}\int\limits_{0,5}^{1,3}0,001\,\text{e}^{-1,58c}\,\text{d}c=\dfrac{5}{4}\times0,001\int\limits_{0,5}^{1,3}\,\text{e}^{-1,58c}\,\text{d}c \\\\\phantom{m}=\dfrac{5}{4}\times\dfrac{0,001}{-1,58}\int\limits_{0,5}^{1,3}(-1,58)\,\text{e}^{-1,58c}\,\text{d}c=\dfrac{5}{4}\times\dfrac{1}{-1580}\int\limits_{0,5}^{1,3}(-1,58)\,\text{e}^{-1,58c}\,\text{d}c \\\\\phantom{m}=-\dfrac{1}{1264}\int\limits_{0,5}^{1,3}(-1,58)\,\text{e}^{-1,58c}\,\text{d}c \\\phantom{m}=-\dfrac{1}{1264}\left[\text{e}^{-1,58c}\right]\limits_{0,5}^{1,3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{m}=-\dfrac{1}{1264}(\text{e}^{-1,58\times1,3}-\text{e}^{-1,58\times0,5})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{m}=-\dfrac{1}{1264}(\text{e}^{-2,054}-\text{e}^{-0,79})} \\\\\Longrightarrow\boxed{m=\dfrac{1}{1264}(\text{e}^{-0,79}-\text{e}^{-2,054})\approx3\times10^{-4}}
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Hiphigenie
/
malou Webmaster
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1488 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !