Baccalauréat C-E
Burkina Faso 2220
Session normale, 2e tour
Durée : 4 heures
Coefficient : 6
(Les calculatrices ne sont pas autorisées. )
4 points exercice 1
Le plan
P est rapporté à un repère orthonormal (O;

,

).
Soit

l'affixe d'un point M(
x,
y) de ce plan.
On considère le nombre complexe
z' tel que

,

étant le conjugué de
z.
1. Déterminer les équations des ensembles suivants :

a) (
C1) : ensemble des points
M tels que

(0,75 point)

b) (
C2) : ensemble des points
M tels que la partie réelle de
z'² soit égale à 1. (0,75 point)

c) (
C3) : ensemble des points
M tels que la partie imaginaire de
z'² soit égale à 1. (0,75 point)
2. Donner la nature et les éléments caractéristiques de (
C1), (
C2) et (
C3) en précisant
les éventuels centre ; grand axe, petit axe, sommets et équations des asymptotes. (1,75 point)
4 points exercice 2
L'espace est muni d'un repère orthonormal direct (O;

,

,

).
Soit
S l'ensemble des points
M (
x,
y,
z) tels que

et soit les points
A (1; 1; 1) ,
B (-1; 1; 3) et
C (5; 4; -6).
1. Montrer que
S est une sphère dont on précisera le centre
I et le rayon R. (0,75 point)
2. a) Montrer que A, B et C déterminent un plan
P. (0,5 point)

b) Vérifier qu'une équation de
P est :

(0,25 point)
3. a) Montrer que l'intersection de
S et
P n'est pas vide. (0,5 point)

b)
S coupe
P suivant un cercle
C de centre J et de rayon r.
On rappelle que J est le projeté orthogonal de
I sur le plan
P.
Déterminer les coordonnées de J et calculer r. (1 point)
4. Soit le plan
Q d'équation

Montrer que le point
Q est tangent à la sphère
S au point
 )
(1 point)
12 points probleme
A tout réel
m 
1, on associe la fonction
fm de la variable réelle
x définie par :
=\dfrac{2(1-m)\text e ^x -m-1}{(1-m)\text e ^{2x}})
On appelle (
Cm) la courbe représentative de
fm dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;

,

).
On fera trois figures séparées pour les parties A, B et C.
Partie A : (3 points)
Dans cette partie, on suppose
m=-1.
1. a) Calculer les limites de
f-1 en -

et en +

. (0,5 point)

b) Etudier le sens de variation de
f-1 puis dresser son tableau de variation. (0,75 point)

c) Construire la courbe (
C -1). (0,5 point)
2. a) Justifier que
f-1 admet une bijection réciproque
f-1 -1 dont on précisera l'ensemble de
définition, l'ensemble des valeurs et le sens de variation. (0,5 point)

b) Calculer
f-1 -1 (
x). (0,25 point)

c) Construire la courbe (
C '
-1) représentative de
f-1 -1 . Justifier la construction. (0,5 point)
Partie B : ( 4 points)
On suppose maintenant
m = 0.
1. a) a) Calculer les limites de
f0 en -

et en +

. (0,5 point)

b) Etudier le sens de variation de
f0 puis dresser son tableau de variation. (1 point)

c) Construire la courbe (
C 0). (0,25 point)
2. a) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel
k, le nombre de racines de l'équation :

dans
R. (0,75 point)

b) En déduire le nombre de tangentes à la courbe (
C0) de coefficients directeurs respectifs -1/2 et 4,
et indiquer les coordonnées des points de contact. (0,5 point)
3. Déterminer l'aire du domaine plan, ensemble des points
M dont les coordonnées
x et
y sont telles que :
.)
(0,25 point)
Partie C : (2 points)
dans cette partie
m = -2.
1. a) a) Calculer les limites de
f-2 en -

et en +

. (0,5 point)

b) Etudier le sens de variation de
f-2 puis dresser son tableau de variations. (0,75 point)

c) Construire la courbe (
C -2). (0,25 point)
2. a) Calculer l'aire
)
du domaine délimité par la courbe (
C -2), l'axe des ordonnées,
l'axe des abscisses et la droite d'équation

(0,25 point)

b)Calculer
.)
(0,25 point)
Partie D : (3 points)
Dans cette partie,
m décrit
R \ {1}.
Discuter, selon
m, le sens de variation de
fm et dresser les tableaux de variations correspondants.