Durée : 4 heures

Coefficient : 6

(Les calculatrices ne sont pas autorisées. ) 4 points

exercice 1

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O; , ).
Soit l'affixe d'un point M(x,y) de ce plan.
On considère le nombre complexe z' tel que , étant le conjugué de z.

1. Déterminer les équations des ensembles suivants :
a) (C₁) : ensemble des points M tels que (0,75 point)
b) (C₂) : ensemble des points M tels que la partie réelle de z'² soit égale à 1. (0,75 point)
c) (C₃) : ensemble des points M tels que la partie imaginaire de z'² soit égale à 1. (0,75 point)

2. Donner la nature et les éléments caractéristiques de (C₁), (C₂) et (C₃) en précisant les éventuels centre ; grand axe, petit axe, sommets et équations des asymptotes. (1,75 point)

4 points

exercice 2

L'espace est muni d'un repère orthonormal direct (O; , , ).
Soit S l'ensemble des points M (x, y, z) tels que
et soit les points A (1; 1; 1) , B (-1; 1; 3) et C (5; 4; -6).

1. Montrer que S est une sphère dont on précisera le centre I et le rayon R. (0,75 point)
2. a) Montrer que A, B et C déterminent un plan P. (0,5 point)
b) Vérifier qu'une équation de P est : (0,25 point)
3. a) Montrer que l'intersection de S et P n'est pas vide. (0,5 point)
b) S coupe P suivant un cercle C de centre J et de rayon r.
On rappelle que J est le projeté orthogonal de I sur le plan P.
Déterminer les coordonnées de J et calculer r. (1 point)
4. Soit le plan Q d'équation
Montrer que le point Q est tangent à la sphère S au point (1 point)

12 points

probleme

A tout réel m 1, on associe la fonction f_m de la variable réelle x définie par :



On appelle (C_m) la courbe représentative de f_m dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; , ).
On fera trois figures séparées pour les parties A, B et C.

Partie A : (3 points)
Dans cette partie, on suppose m=-1.

1. a) Calculer les limites de f_-1 en - et en + . (0,5 point)
b) Etudier le sens de variation de f_-1 puis dresser son tableau de variation. (0,75 point)
c) Construire la courbe (C _-1). (0,5 point)

2. a) Justifier que f_-1 admet une bijection réciproque f_-1 ^-1 dont on précisera l'ensemble de définition, l'ensemble des valeurs et le sens de variation. (0,5 point)
b) Calculer f_-1 ^-1 (x). (0,25 point)
c) Construire la courbe (C '_-1) représentative de f_-1 ^-1 . Justifier la construction. (0,5 point)

Partie B : ( 4 points)
On suppose maintenant m = 0.
1. a) a) Calculer les limites de f₀ en - et en + . (0,5 point)
b) Etudier le sens de variation de f₀ puis dresser son tableau de variation. (1 point)
c) Construire la courbe (C ₀). (0,25 point)

2. a) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel k, le nombre de racines de l'équation :
dans R. (0,75 point)
b) En déduire le nombre de tangentes à la courbe (C₀) de coefficients directeurs respectifs -1/2 et 4, et indiquer les coordonnées des points de contact. (0,5 point)

3. Déterminer l'aire du domaine plan, ensemble des points M dont les coordonnées x et y sont telles que :
(0,25 point)

Partie C : (2 points)
dans cette partie m = -2.

1. a) a) Calculer les limites de f_-2 en - et en + . (0,5 point)
b) Etudier le sens de variation de f_-2 puis dresser son tableau de variations. (0,75 point)
c) Construire la courbe (C _-2). (0,25 point)

2. a) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe (C _-2), l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses et la droite d'équation (0,25 point)
b)Calculer (0,25 point)

Partie D : (3 points)
Dans cette partie, m décrit R \ {1}.

Discuter, selon m, le sens de variation de f_m et dresser les tableaux de variations correspondants.