Fiche de mathématiques
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Baccalauréat C-E

Burkina Faso 2220

Session normale, 2e tour

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Durée : 4 heures

Coefficient : 6

(Les calculatrices ne sont pas autorisées. )
4 points

exercice 1

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O; vectu, vectv).
Soit z=x+iy l'affixe d'un point M(x,y) de ce plan.
On considère le nombre complexe z' tel que z'=\dfrac 2 3 z - \dfrac 1 3 \bar z -1, \bar z étant le conjugué de z.

1. Déterminer les équations des ensembles suivants :
\white {ww } a) (C1) : ensemble des points M tels que |z'|=1. (0,75 point)
\white {ww } b) (C2) : ensemble des points M tels que la partie réelle de z'² soit égale à 1. (0,75 point)
\white {ww } c) (C3) : ensemble des points M tels que la partie imaginaire de z'² soit égale à 1. (0,75 point)

2. Donner la nature et les éléments caractéristiques de (C1), (C2) et (C3) en précisant les éventuels centre ; grand axe, petit axe, sommets et équations des asymptotes. (1,75 point)

4 points

exercice 2

L'espace est muni d'un repère orthonormal direct (O; vecti, vectj, vectk).
Soit S l'ensemble des points M (x, y, z) tels que
x²+y²+z²-2x+2y+4z-10=0 et soit les points A (1; 1; 1) , B (-1; 1; 3) et C (5; 4; -6).

1. Montrer que S est une sphère dont on précisera le centre I et le rayon R. (0,75 point)
2. a) Montrer que A, B et C déterminent un plan P. (0,5 point)
\white{vv} b) Vérifier qu'une équation de P est : x+y+z-3=0. (0,25 point)
3. a) Montrer que l'intersection de S et P n'est pas vide. (0,5 point)
\white{vv} b) S coupe P suivant un cercle C de centre J et de rayon r.
On rappelle que J est le projeté orthogonal de I sur le plan P.
Déterminer les coordonnées de J et calculer r. (1 point)
4. Soit le plan Q d'équation 2x-y+2z+13=0.
Montrer que le point Q est tangent à la sphère S au point H\;\left(\dfrac{-5}{3} ; \dfrac 1 3 ; \dfrac{-14}{3}\right) (1 point)

12 points

probleme

A tout réel m different 1, on associe la fonction fm de la variable réelle x définie par :

f_m(x)=\dfrac{2(1-m)\text e ^x -m-1}{(1-m)\text e ^{2x}}


On appelle (Cm) la courbe représentative de fm dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; vecti, vectj).
On fera trois figures séparées pour les parties A, B et C.

Partie A : (3 points)
Dans cette partie, on suppose m=-1.

1. a) Calculer les limites de f-1 en -infini et en + infini. (0,5 point)
\white{vv} b) Etudier le sens de variation de f-1 puis dresser son tableau de variation. (0,75 point)
\white{vv} c) Construire la courbe (C -1). (0,5 point)

2. a) Justifier que f-1 admet une bijection réciproque f-1 -1 dont on précisera l'ensemble de définition, l'ensemble des valeurs et le sens de variation. (0,5 point)
\white{vv} b) Calculer f-1 -1 (x). (0,25 point)
\white{vv} c) Construire la courbe (C '-1) représentative de f-1 -1 . Justifier la construction. (0,5 point)

Partie B : ( 4 points)
On suppose maintenant m = 0.
1. a) a) Calculer les limites de f0 en -infini et en + infini. (0,5 point)
\white{vv} b) Etudier le sens de variation de f0 puis dresser son tableau de variation. (1 point)
\white{vv} c) Construire la courbe (C 0). (0,25 point)

2. a) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel k, le nombre de racines de l'équation :
k\text e ^{2x}+2\text e ^x -2 = 0
dans R. (0,75 point)
\white{vv} b) En déduire le nombre de tangentes à la courbe (C0) de coefficients directeurs respectifs -1/2 et 4, et indiquer les coordonnées des points de contact. (0,5 point)

3. Déterminer l'aire du domaine plan, ensemble des points M dont les coordonnées x et y sont telles que :
-\ln 2 \le x \le 0 \text { et } 0\le y \le f_0(x). (0,25 point)

Partie C : (2 points)
dans cette partie m = -2.

1. a) a) Calculer les limites de f-2 en -infini et en + infini. (0,5 point)
\white{vv} b) Etudier le sens de variation de f-2 puis dresser son tableau de variations. (0,75 point)
\white{vv} c) Construire la courbe (C -2). (0,25 point)

2. a) Calculer l'aire \mathcal{A}(\lambda) du domaine délimité par la courbe (C -2), l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses et la droite d'équation x=\lambda \text{ avec } \lambda > 0. (0,25 point)
\white{vv} b)Calculer \displaystyle{\lim _{\lambda \to + \infty} \mathcal{A}(\lambda). (0,25 point)

Partie D : (3 points)
Dans cette partie, m décrit R \ {1}.

Discuter, selon m, le sens de variation de fm et dresser les tableaux de variations correspondants.
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