Le candidat peut traiter les exercices de l'épreuve suivant l'ordre qui lui convient.
L'utilisation de la couleur rouge lors de la rédaction des solutions est à éviter.
4 points exercice 1
On considère la suite définie par
1. On calcule
par
2. Montrons par récurrence que, pour tout n de
Initialisation: : l'inégalité de l'énoncé est vraie quand n=0
Hérédité: Soit p un entier naturel tel que
> 0.
Alors,
donc 2u
p +5 est non nul et on peut prendre son inverse,
or l'inverse d'un nombre strictement positif étant strictement positif,
et
donc en faisant le produit
On a montré par récurrence que, pour tout n de
3. a) D'après la question précédente, pour tout n de
,
donc
et
soit
puis
On a donc bien démontré que, pour tout n de
L'inégalité
a déjà été démontrée à la question 2.
Montrons par récurrence que, pour tout n de
initialisation: : l'inégalité est donc vraie pour n=0
hérédité: Soit p un entier naturel tel que
Avec l'inégalité démontrée dans cette même question,
On a donc démontré par récurrence que, pour tout n entier naturel,
3. b) Comme
,
, et à l'aide du théorème des gendarmes, et donc de l'encadrement
, vraie pour tout n entier naturel,
4. On considère à présent la suite définie par, pour tout entier naturel n,
4. a) Exprimons
en fonction de
On a bien que
est géométrique de raison
4. b) On en déduit immédiatement que
avec
donc pour tout n de
Ensuite, pour tout n de
5 points exercice 2
Dans l'ensemble des complexes
, on considère l'équation (E) :
1. a) Le discriminant est
D'où le résultat
1. b) On a donc deux solutions conjuguées z
1 et z
2 qu'on détermine par
ou encore
donc
2. Soient les nombres complexes
2. a) On calcule avec les expressions données :
En multipliant cette égalité par
, on obtient:
2. b)
2. c) Comme
est non nul,
, donc en se servant des formes exponentielles, on obtient:
3. On considère les points B, C et d'affixes respectives b, c et d telle que
. Soient z l'affixe du point M du plan
et z' l'affixe de M' image de M par la rotation R de centre O et d'angle
3.a) Pour une rotation R de centre P, d'affixe z
p , et d'angle
, l'affixe z' de M' image de M d'affixe z par la rotation R est
Ici,
3. b) On applique la formule précédente pour z=c
donc
3. c) On a démontré que
donc
.
3. d) On a
Donc
Trois points A, B, C d'affixes respectives a, b,et c sont alignés si
Ici,
: un de ses arguments est 0, on a bien que
donc
.
4 points exercice 3 On considère la fonction numérique g définie sur ]0, +
[ par
1. a) g est dérivable sur ]0, +
[ et pour tout x de ]0, +
[,
Soit
1. b) Pour tout
de
est strictement positif et
Donc
D'où
1. c) Puisque
est croissante sur
Donc
, il s'ensuit que
Et comme
pour tout
On conclut
1. d) Notons
la fonction définie sur
par
.
Cette fonction usuelle est croissante sur
et donc sur
.
On a alors:
On en tire que
Et comme
est non nul, on peut diviser par
D'où
Et comme
Donc d'après le théorème des gendarmes
2. On considère G:
2. a) On a
Donc
2. b) On a
Or
, d'où
7 points probleme
On considère f la fonction numérique définie sur
par
et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1) Lorque x tend vers -
, x-2 tend aussi vers -
et
D'où
Lorque x tend vers +
, x-2 tend aussi vers +
et
ainsi que
Donc
2. a)
Pour tout x de
,
Et puisque
Alors
:
Ce qui se traduit géométriquement par:
2. b) On a
Donc
Pour tout réel
Puisque
, alors le signe de
est le signe de l'opposé de
En traçant le tableau de signes:
On conclut que:
3. Pour tout réel
non nul, on a:
De plus, on a:
On déduit par opérations élémentaires sur les limites que
Interprétation géométrique:
4. a) est dérivable sur
en tant que somme de fonctions dérivables sur
.
Donc, pour tout réel
:
On a donc bien
4. b) Pour tout
de
donc on peut dresser le tableau de variations de
5. est deux fois dérivable sur
, donc pour tout réel
, on a :
Donc:
Or, on sait que pour tout réel
, donc le signe de
est le signe de
:
Et enfin, on a:
On peut tracer le tableau de signes:
On en tire que
s'annule en
en changeant de signe, donc le point
est un point d'inflexion de
Or
6. D'après le tableau de variations de la question
4.b) ,
est continue et strictement décroissante sur
Et comme
(question
1 )
Donc, d'après
le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un réel unique
tel que
.
De plus:
(d'une manière analogue)
On en déduit que:
Conclusion:
7.
8. a)
Puisque
est continue et strictement décroissante sur
, donc
est bijective et admet une fonction réciproque
définie sur
8.b) Pour tracer la courbe de
que l'on note
, il suffit de tracer le symétrique de
par rapport à la droite d'équation
pour obtenir :
9. Rappel:
Pour tout point
tel que
,
est dérivable en
Puisque
, alors
De plus,
, il s'ensuit que
est dérivable en
et
Donc