Tout modèle de calculatrice scientifique est autorisé.
Les tables trigonométriques, logarithmiques et les règles à calculs sont aussi autorisées.
points
exercice 1
Une entreprise achète, utilise et revend des machines à coudre après un certain nombre d'années.
Le tableau suivant donne l'évolution du prix Y de vente d'une machine en fonction du nombre d'années X d'utilisation.
Le plan est muni d'un repère orthogonal.
Unités graphiques : en abscisse, 1 cm pour une année ; en ordonnée, 1 cm pour 20 000 F.
1. Représente le nuage de points associé à la série statistique (X , Y).
2. a) Détermine les coordonnées du point moyen G du nuage de points de cette série statistique. On donnera les résultats
sous forme de fractions irréductibles. b) On note V(X) la variance de X et Cov(X,Y) la covariance de (X,Y).
Démontre que : V(X) = et Cov(X,Y) =
3. On admet que la variance V(Y) de Y est égale à 1445.
a) Justifie que le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (X,Y)
est b) Justifie qu'il existe une forte corrélation entre les variables X et Y.
4. Soit (D) la droite de régression de Y en X.
Démontre, par la méthode des moindres carrés, qu'une équation de (D) est :
5. Détermine le prix de vente d'une machine à coudre à la fin de la 7e année.
On arrondira le résultat au multiple le plus proche de 5.
points
exercice 2
1. On considère l'équation (E) : a) Justifie que 2i est une solution de (E)
b) Justifie que : .
c) Résous dans C l'équation (E') : d) Déduis des questions précédentes la résolution dans C de l'équation (E).
2. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (0; I, J). L'unité graphique est 2 cm.
On donne les points A, B, C et D d'affixes respectives : a) Place les points A, B, C et D sur votre feuille de copie.
b) Démontre que le triangle BAD est rectangle et isocèle en A.
3. Soit S la similitude plane directe de centre D qui transforme A en B.
a) Démontre que l'écriture complexe de S est : b) Démontre que S(B)=C.
c) Détermine l'image du triangle BAD par la similitude S.
points
probleme
Partie A
On donne la fonction g définie et dérivable sur R par :
1. Calcule et
2. Démontre que la fonction g est strictement croissante sur R, puis dresse son
tableau de variation.
3. a) Démontre que l'équation admet une solution unique dans R. On la note b) Justifie que :
4. Justifie que : ;
et que
Partie B
Soit f la fonction définie et dérivable sur R par : On note la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; I, J).
L'unité graphique est 2 cm.
1. Calcule et
Donne une interprétation graphique des résultats obtenus.
2. a) Calcule b) Justifie que : c) Démontre que la droite (D) d'équation est une asymptote à en d) Etudie la position relative de et (D)
3. On suppose que f est dérivable sur R et on note f' sa fonction dérivée.
a) Démontre que b) Etudie le sens de variation de f.
c) Dresse le tableau de variation de f.
4. a) Résous dans R l'équation : b) Déduis-en les coordonnées des points d'intersection A et B de et de l'axe des
abscisses.
On choisira : (xA et xB étant les abscisses respectives de A et de B).
5. Détermine une équation de la tangente (T) à au point d'abscisse 0.
6. Trace les droites (D) et (T), puis construis .
On prendra :
7. A l'aide d'une intégration par parties, calcule l'aire en cm², de la partie du plan délimitée par
, la droite (D) et les droites d'équations x=0 et x=1.
Une entreprise achète, utilise et revend des machines à coudre après un certain nombre d'années.
Le tableau suivant donne l'évolution du prix Y de vente d'une machine en fonction du nombre d'années X d'utilisation.
1. Nuage de points associé à la série statistique (X , Y) : voir ci-dessous.
Les points concernés sont de couleur bleue.
2. a) Déterminons les coordonnées (xG ; yG ) du point moyen G du nuage.
D'où les coordonnées du point G sont .
Plaçons le point G sur le graphique.
3. On admet que la variance V(Y) de Y est égale à 1445.
3. a) Nous notons r le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (X , Y).
D'où le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (X , Y) est
3. b)
Le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (X , Y) est très proche de -1.
Par conséquent, il y a une très forte corrélation entre les variables X et Y.
Le modèle linéaire est fiable.
4. Soit (D) la droite de régression de Y en X.
(D) admet une équation de la forme : y = ax + b où
D'où, une équation de (D) est
5. Déterminons le prix de vente d'une machine à coudre à la fin de la 7e année en remplaçant x par 7 dans l'équation de (D).
Par conséquent, en arrondissant le résultat au multiple le plus proche de 5, le prix de vente d'une machine à coudre à la fin de la 7e année s'élèvera à 15 milliers de francs CFA.
points
exercice 2
1. On considère l'équation (E) :
1. a) Remplaçons z par 2i dans le membre de gauche de (E).
L'équation étant vérifiée par z = 2i, nous en déduisons que 2i est une solution de (E).
1. c) Résolvons dans l'équation (E') :
"Déterminer les racines carrées du déterminant 8 + 6i" revient à "déterminer x + iy tel que ".
Dès lors, .
Les racines carrées du discriminant sont donc : (3 + i).
Calcul des solutions de l'équation (E') :
Par conséquent, les solutions de l'équation (E') sont 1 - i et -2 - 2i.
1. d) Résolvons dans l'équation (E).
Nous en déduisons que l'ensemble S des solutions de l'équation (E) dans est
2. On donne les points A, B, C et D d'affixes respectives : -3i, 1 - i, 2i et -2 - 2i.
2. a) Les points A, B, C et D sont placés sur le graphique ci-dessous.
2. b) Le triangle BAD indirect est rectangle et isocèle en A si et seulement si
Par conséquent, le triangle BAD est rectangle et isocèle en A.
3. Soit S la similitude plane directe de centre D qui transforme A en B.
3. a) Nous savons que l'écriture complexe d'une similitude directe est de la forme avec a 0.
Comme le point D d'affixe -2- 2i est le centre de la similitude S, nous savons que l'image de D est D.
L'image du point A d'affixe -3i est le point B d'affixe 1 - i.
Dans l'écriture complexe de la similitude S, remplaçons z par l'affixe de D et z' par l'affixe de D.
Nous obtenons ainsi : -2 -2i = a (-2 -2i) + b .
De même, remplaçons z par l'affixe de A et z' par l'affixe de B.
Nous obtenons ainsi : 1 - i = a (-3i) + b .
Nous trouverons les valeurs de a et de b en résolvant le système :
En soustrayant les équations membre à membre, nous obtenons :
Dans la deuxième équation, remplaçons a par 1 + i.
Par conséquent, l'écriture complexe de la similitude S est :
3. b) Dans l'écriture complexe de la similitude S, remplaçons z par l'affixe de B et calculons z' .
D'où z' est l'affixe du point C.
Par conséquent, S(B) = C.
3. c) Nous savons que :
S(B) = C (voir question 3. b)
S(A) = B (par définition de S)
S(D) = D (car D est le centre de la similitude S)
Par conséquent, l'image du triangle BAD par la similitude S est le triangle CBD.
points
probleme
Partie A
On donne la fonction g définie et dérivable sur par :
2. Etudions le signe de la dérivée g' .
Par conséquent, la fonction g est strictement croissante sur .
D'où le tableau de variation de la fonction g sur .
3. a) La fonction g est continue et strictement croissante sur .
De plus .
Dès lors, selon le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g (x ) = 0 admet une solution unique dans .
3. b)
Par conséquent, selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g (x ) = 0 admet une solution unique dans l'intervalle ]0,3 ; 0,4[,
soit
4. Complétons le tableau de variation de g sur .
La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle
D'où
Dès lors,
De même, la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle
D'où
Par conséquent,
Partie B
Soit f la fonction définie et dérivable sur par :
Pour tout réel x non nul,
signifie que la fonction f n'admet pas d'asymptote horizontale en +. signifie que la courbe admet une branche parabolique en + de direction (OJ).
2. c) Démontrer que la droite (D) d'équation y = 1 - x est une asymptote à en revient à démontrer que
Nous savons par la question précédente que
Par conséquent, la droite (D) d'équation y = 1 - x est une asymptote à en
2. d) La position relative de et (D) se détermine par le signe de ,
soit par le signe de
Nous en déduisons que si x ]- ; 1], alors .
D'où pour tout x < 1 la courbe est en-dessous de l'asymptote (D).
3. On suppose que f est dérivable sur et on note f' sa fonction dérivée.
3. b) Le signe de f' (x ) est le signe de g (x ) car toute exponentielle est strictement positive sur .
En nous aidant de la question 4. Partie A, nous pouvons déduire le sens de variation de f.
D'où la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]- ; [. strictement croissante sur l'intervalle ] ; +[.
3. c) Tableau de variation de f sur .
4. a) Résolvons dans l'équation :
L'ensemble S des solutions de l'équation est .
4. b) Soient A et B les points d'intersection de et de l'axe des abscisses.
Les abscisses de ces points A et B sont les solutions de l'équation
Donc les coordonnées du point A sont (-ln2 ; 0) et les coordonnées du point B sont (1 ; 0).
5. Une équation de la tangente (T) à au point d'abscisse 0 est de la forme : , soit
Par conséquent, une équation de la tangente (T) à au point d'abscisse 0 est
6. Représentation graphique des droites (D) et (T) et de la courbe .
7. Nous avons montré dans la question 2. d) que pour tout x < 1 la courbe est en-dessous de l'asymptote (D).
D'où l'aire en unité d'aire (u.a.), de la partie du plan délimitée par , la droite (D) et les droites d'équations x = 0 et x = 1 est donnée par :
Puisque l'unité graphique est 2 cm, l'unité d'aire vaudra 4 cm2.
Donc
Par conséquent, l'aire de la partie du plan délimitée par , la droite (D) et les droites d'équations x = 0 et x = 1 est
Publié par malou
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