Fiche de mathématiques

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Mathématiques Série D

Côte d'Ivoire 2020

Coefficient : 4

Durée : 4 heures

Tout modèle de calculatrice scientifique est autorisé.
Les tables trigonométriques, logarithmiques et les règles à calculs sont aussi autorisées.

points

exercice 1

Une entreprise achète, utilise et revend des machines à coudre après un certain nombre d'années.
Le tableau suivant donne l'évolution du prix Y de vente d'une machine en fonction du nombre d'années X d'utilisation.

$\begin{array} {|c|cccccccccccc|} \hline \text{ Nombre d'années } x_i &1 &| & 2 & | & 3 & | & 4 & | & 5 & |& 6& \\ \hline \text{Prix (en milliers de francs CFA) } y_i &150 &| & 125 & | & 90 & | & 75 &| & 50 & | &45 & \\ \hline \end{array}$
Le plan est muni d'un repère orthogonal.
Unités graphiques : en abscisse, 1 cm pour une année ; en ordonnée, 1 cm pour 20 000 F.

1. Représente le nuage de points associé à la série statistique (X , Y).

2. a) Détermine les coordonnées du point moyen G du nuage de points de cette série statistique. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
b) On note V(X) la variance de X et Cov(X,Y) la covariance de (X,Y).

Démontre que : V(X) = $\dfrac{35}{12}$ et Cov(X,Y) = $-\dfrac{255}{4}$

3. On admet que la variance V(Y) de Y est égale à 1445.
a) Justifie que le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (X,Y) est $\dfrac{-3\sqrt{21}}{14}$
b) Justifie qu'il existe une forte corrélation entre les variables X et Y.

4. Soit (D) la droite de régression de Y en X.
Démontre, par la méthode des moindres carrés, qu'une équation de (D) est : $y=-\dfrac{153}{7}x+\dfrac{497}{3}$

5. Détermine le prix de vente d'une machine à coudre à la fin de la 7^e année.
On arrondira le résultat au multiple le plus proche de 5.

points

exercice 2

1. On considère l'équation (E) : $z\in \textbf C\,,z^3+(1+i)z^2+(2-2i)z+8i=0$
a) Justifie que 2i est une solution de (E)
b) Justifie que : $\forall z\in \textbf C\,,z^3+(1+i)z^2+(2-2i)z+8i=(z-2i)\left[z^2+(1+3i)z-4\right]$ .
c) Résous dans C l'équation (E') : $z^2+(1+3i)z-4=0$
d) Déduis des questions précédentes la résolution dans C de l'équation (E).

2. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (0; I, J). L'unité graphique est 2 cm.
On donne les points A, B, C et D d'affixes respectives : $-3i \,;\, 1-i\, ;\, 2i \,\text{ et } -2-2i$
a) Place les points A, B, C et D sur votre feuille de copie.
b) Démontre que le triangle BAD est rectangle et isocèle en A.

3. Soit S la similitude plane directe de centre D qui transforme A en B.
a) Démontre que l'écriture complexe de S est : $z'=(1+i)z-2+2i$
b) Démontre que S(B)=C.
c) Détermine l'image du triangle BAD par la similitude S.

points

probleme

Partie A

On donne la fonction g définie et dérivable sur R par : $g(x)=2x-e^{-x}$

1. Calcule $\displaystyle{\lim_{\substack{x \to - \infty}} g(x)}$ et $\displaystyle{\lim_{\substack{x \to + \infty}} g(x)}$

2. Démontre que la fonction g est strictement croissante sur R, puis dresse son tableau de variation.

3. a) Démontre que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique dans R. On la note $\alpha$
b) Justifie que : $0,3 < \alpha < 0,4$

4. Justifie que : $\forall x \in ]-\infty \,;\,\alpha[, g(x) < 0$ ;
et que $\forall x \in ]\alpha \,;\,+\infty[, g(x) > 0$

Partie B

Soit f la fonction définie et dérivable sur R par : $f(x)=(x-1)(2e^x-1)$
On note $(\text{C}_f)$ la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; I, J).
L'unité graphique est 2 cm.

1. Calcule $\displaystyle{\lim_{\substack{x \to + \infty}} f(x)}$ et $\displaystyle{\lim_{\substack{x \to + \infty}} \dfrac{f(x)}{x}}$
Donne une interprétation graphique des résultats obtenus.

2. a) Calcule $\displaystyle{\lim_{\substack{x \to - \infty}} f(x)}$
b) Justifie que : $\forall x \in \textbf R\,,f(x)=1-x+2(x-1)e^x$
c) Démontre que la droite (D) d'équation $y=1-x$ est une asymptote à $(\text{C}_f)$ en $-\infty$
d) Etudie la position relative de $(\text{C}_f)$ et (D)

3. On suppose que f est dérivable sur R et on note f' sa fonction dérivée.
a) Démontre que $\forall x \in \textbf { R }, \, f\,'(x)=e^x g(x)$
b) Etudie le sens de variation de f.
c) Dresse le tableau de variation de f.

4. a) Résous dans R l'équation : $f(x)=0$
b) Déduis-en les coordonnées des points d'intersection A et B de $(\text{C}_f)$ et de l'axe des abscisses.
On choisira : $x_A < x_ B$ (x_A et x_B étant les abscisses respectives de A et de B).

5. Détermine une équation de la tangente (T) à $(\text{C}_f)$ au point d'abscisse 0.

6. Trace les droites (D) et (T), puis construis $(\text{C}_f)$ .
On prendra : $\alpha = 0,35 \text { et } f(\alpha)=-1,2$

7. A l'aide d'une intégration par parties, calcule l'aire en cm², de la partie du plan délimitée par $(\text{C}_f)$ , la droite (D) et les droites d'équations x=0 et x=1.

Voir la correction

Bac D Côte d'Ivoire 2020

points

exercice 1

2. a) Déterminons les coordonnées (x_G ; y_G ) du point moyen G du nuage.

$\left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\y_G=\dfrac{150+125+90+75+50+45}{6}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{7}{2}\\\\y_G=\dfrac{535}{6} \end{matrix}\right.$

D'où les coordonnées du point G sont $(\dfrac{7}{2}\,;\,\dfrac{535}{6})$ .
Plaçons le point G sur le graphique.

${\red{2.\ \text{b) }}}\ V(X)=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^6x_i^2}{6}-x_G^2 \\\overset{}{\phantom{{\red{2.\ \text{b) }}}\ V(x)}=\dfrac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}-(\dfrac{7}{2})^2} \\\overset{}{\phantom{{\red{2.\ \text{b) }}}\ V(x)}=\dfrac{91}{6}-\dfrac{49}{4}=\dfrac{182}{12}-\dfrac{147}{12}=\dfrac{35}{12}} \\\\\Longrightarrow\boxed{V(X)=\dfrac{35}{12}}$

$\text{Cov(X\,,\,Y)}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^6x_iy_i}{6}-x_Gy_G \\\overset{}{\phantom{\text{Cov(X\,,\,Y)}}=\dfrac{1\times150+2\times125+3\times90+4\times75+5\times50+6\times45}{6}-\dfrac{7}{2}\times\dfrac{535}{6}} \\\overset{}{\phantom{\text{Cov(X\,,\,Y)}}=\dfrac{150+250+270+300+250+270}{6}-\dfrac{3745}{12}} \\\overset{}{\phantom{\text{Cov(X\,,\,Y)}}=\dfrac{1490}{6}-\dfrac{3745}{12}} \\\overset{}{\phantom{\text{Cov(X\,,\,Y)}}=\dfrac{2980}{12}-\dfrac{3745}{12}}=-\dfrac{765}{12} \\\overset{}{\phantom{\text{Cov(X\,,\,Y)}}=-\dfrac{255}{4}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Cov(X\,,\,Y)}=-\dfrac{255}{4}}$

3. On admet que la variance V(Y) de Y est égale à 1445.

3. a) Nous notons r le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (X , Y).

$r=\dfrac{\text{Cov(X\,,\,Y)}}{\sqrt{V(X)\times V(Y)}}=\dfrac{-\dfrac{255}{4}}{\sqrt{\dfrac{35}{12}\times1445}}=\dfrac{-\dfrac{255}{4}}{\sqrt{\dfrac{50575}{12}}}=\dfrac{-\dfrac{255}{4}}{\dfrac{85\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}}=-\dfrac{255}{4}\times\dfrac{2\sqrt{3}}{85\sqrt{7}} \\\\\phantom{r}=-\dfrac{3}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=-\dfrac{3}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}\times\sqrt{7}}{7}=-\dfrac{3\sqrt{21}}{14}$
D'où le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (X , Y) est $r=\dfrac{-3\sqrt{21}}{14}.$

3. b) $r=\dfrac{-3\sqrt{21}}{14}\approx-0,98.$
Le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (X , Y) est très proche de -1.
Par conséquent, il y a une très forte corrélation entre les variables X et Y.
Le modèle linéaire est fiable.

4. Soit (D) la droite de régression de Y en X.
(D) admet une équation de la forme : y = ax + b où $a=\dfrac{\text{Cov(X\,,\,Y)}}{V(X)}\ \text{ et }\ b=y_G-ax_G.$ $a=\dfrac{\text{Cov(X\,,\,Y)}}{V(X)}=\dfrac{-\dfrac{255}{4}}{\dfrac{35}{12}}=-\dfrac{255}{4}\times\dfrac{12}{35}=-\dfrac{51}{1}\times\dfrac{3}{7}=-\dfrac{153}{7}\Longrightarrow\boxed{a=-\dfrac{153}{7}} \\\\b=y_G-ax_G=\dfrac{535}{6}-(-\dfrac{153}{7})\times\dfrac{7}{2}=\dfrac{535}{6}+\dfrac{1071}{14}=\dfrac{3745}{42}+\dfrac{3216}{42}=\dfrac{6958}{42}=\dfrac{497}{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{b=\dfrac{497}{3}}$
D'où, une équation de (D) est $\boxed{y=-\dfrac{153}{7}x+\dfrac{497}{3}}.$

5. Déterminons le prix de vente d'une machine à coudre à la fin de la 7^e année en remplaçant x par 7 dans l'équation de (D).
$y=-\dfrac{153}{7}\times7+\dfrac{497}{3}=-153+\dfrac{497}{3}=\dfrac{38}{3}\approx12,7.$
Par conséquent, en arrondissant le résultat au multiple le plus proche de 5, le prix de vente d'une machine à coudre à la fin de la 7^e année s'élèvera à 15 milliers de francs CFA.

points

exercice 2

1. On considère l'équation (E) : $z\in \C\,,z^3+(1+\tex{i})z^2+(2-2\ \tex{i})z+8\,\tex{i}=0.$

1. a) Remplaçons z par 2i dans le membre de gauche de (E).
$(2\,\text{i})^3+(1+\text{i})\times(2\,\text{i})^2+(2-2\,\text{i})\times2\,\text{i}+8\,\text{i}=8\text{i}^3+(1+\text{i})\times(-4)+(2-2\,\text{i})\times2\,\text{i}+8\,\text{i} \\\phantom{(2\,\text{i})^3+(1+\text{i})\times(2\,\text{i})^2+(2-2\,\text{i})\times2\,\text{i}+8\,\text{i}}=-8\,\text{i}-4-4\,\text{i}+4\,\text{i}+4+8\,\text{i} \\\phantom{(2\,\text{i})^3+(1+\text{i})\times(2\,\text{i})^2+(2-2\,\text{i})\times2\,\text{i}+8\,\text{i}}=0$

L'équation étant vérifiée par z = 2i, nous en déduisons que 2i est une solution de (E).

${\red{1.\ \text{b) }}}\ (z-2\,\text{i})[z^2+(1+3\,\text{i})z-4]=z^3+(1+3\,\text{i})z^2-4z-2\,\text{i}z^2-2\,\text{i}(1+3\,\text{i})z+8\,\text{i} \\\phantom{{\red{2.\ \text{b) }}}\ (z-2\,)[z^2+(1+3\,\text{i})z-4]}=z^3+z^2+3\,\text{i}z^2-4z-2\,\text{i}z^2-2\,\text{i}z+6z+8\,\text{i} \\\phantom{{\red{2.\ \text{b) }}}\ (z-2\,)[z^2+(1+3\,\text{i})z-4]}=z^3+z^2+\text{i}z^2+2z-2\,\text{i}z+8\,\text{i} \\\phantom{{\red{2.\ \text{b) }}}\ (z-2\,)[z^2+(1+3\,\text{i})z-4]}=z^3+(1+\text{i})z^2+(2-2\,\text{i})z+8\,\text{i} \\\\\Longrightarrow\forall\,z\in\C,\ \boxed{z^3+(1+\text{i})z^2+(2-2\,\text{i})z+8\,\text{i}=(z-2\,\text{i})[z^2+(1+3\,\text{i})z-4]}$

1. c) Résolvons dans

l'équation (E') : $z^2+(1+3\,\text{i})z-4=0.$
$\text{Discriminant : }\Delta=(1+3\,\text{i})^2-4\times1\times(-4) \\\phantom{\text{Discriminant : }\Delta}=1+6\,\text{i}-9+16 \\\phantom{\text{Discriminant : }\Delta}=8+6\,\text{i}$

"Déterminer les racines carrées du déterminant 8 + 6i" revient à "déterminer x + iy tel que $(x+\text{i}y)^2=8+6\,\text{i}$ ".

$(x+\text{i}y)^2=8+6\,\text{i}\Longleftrightarrow x^2-y^2+2\text{i}xy=8+6\,\text{i} \\\phantom{(x+\text{i}y)^2=8+6\,\text{i}}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}x^2-y^2=8\\2xy=6\end{matrix}\right. \\\\\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}|(x+\text{i}y)^2|=|x+\text{i}y|^2=x^2+y^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\|8+6\text{i}|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ x^2+y^2=10 \\\\\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}x^2-y^2=8\ \ \ \ \ (1)\\x^2+y^2=10\ \ \ \ (2)\\2xy=6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\end{matrix}\right. \\\\ (2)+(1)\Longleftrightarrow2x^2=18 \\\phantom{(1)+(2)}\Longleftrightarrow x^2=9 \\\phantom{(1)+(2)}\Longleftrightarrow x=3\ \ \ \text{ou}\ \ \ x=-3 \\\\ (2)-(1)\Longleftrightarrow2y^2=2 \\\phantom{(1)+(2)}\Longleftrightarrow y^2=1 \\\phantom{(1)+(2)}\Longleftrightarrow y=1\ \ \ \text{ou}\ \ \ y=-1 \\\\ (3)\Longrightarrow x\ \text{et }y\text{ sont de mêmes signes}$

Dès lors, $\left\lbrace\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\ \ \ \text{ou}\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=-3\\y=-1\end{matrix}\right.$ .
Les racines carrées du discriminant sont donc : plusmoins

(3 + i).
Calcul des solutions de l'équation (E') :
$z_1=\dfrac{-(1+3\,\text{i})+3+\text{i}}{2}=\dfrac{-1-3\,\text{i}+3+\text{i}}{2}=\dfrac{2-2\,\text{i}}{2}=\dfrac{2(1-\text{i})}{2}=1-\text{i} \\\\z_2=\dfrac{-(1+3\,\text{i})-3-\text{i}}{2}=\dfrac{-1-3\,\text{i}-3-\text{i}}{2}=\dfrac{-4-4\,\text{i}}{2}=\dfrac{2(-2-2\,\text{i})}{2}=-2-2\,\text{i}$
Par conséquent, les solutions de l'équation (E') sont 1 - i et -2 - 2i.

1. d) Résolvons dans

l'équation (E).
$z^3+(1+\text{i})z^2+(2-2\,\text{i})z+8\,\text{i}=0\Longleftrightarrow(z-2\,\text{i})[z^2+(1+3\,\text{i})z-4]=0 \\\phantom{z^3+(1+\text{i})z^2+(2-2\,\text{i})z+8\,\text{i}=0}\Longleftrightarrow z-2\,\text{i}=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ z^2+(1+3\,\text{i})z-4=0 \\\bullet\ z-2\,\text{i}=0\Longleftrightarrow {\blue{z=2\,\text{i}}} \\\bullet\ z^2+(1+3\,\text{i})z-4=0\Longleftrightarrow {\blue{z=1-\text{i}}}\ \ \ \text{ou}\ \ \ {\blue{z=-2-2\,\text{i}}}$
Nous en déduisons que l'ensemble S des solutions de l'équation (E) dans est $\boxed{S=\lbrace 2i\,;\,1-\text{i}\,;\,-2-2\,\text{i}\rbrace}$

2. On donne les points A, B, C et D d'affixes respectives : -3i, 1 - i, 2i et -2 - 2i.

2. a) Les points A, B, C et D sont placés sur le graphique ci-dessous.

2. b) Le triangle BAD indirect est rectangle et isocèle en A si et seulement si $\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_A}=-\text{i}.$

$\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_A}=\dfrac{1-\text{i}-(-3\,\text{i})}{-2-2\,\text{i}-(-3\,\text{i})}=\dfrac{1-\text{i}+3\,\text{i}}{-2-2\,\text{i}+3\,\text{i}}=\dfrac{1+2\,\text{i}}{-2+\text{i}}=\dfrac{(1+2\,\text{i}){\blue{(-2-\text{i})}}}{(-2+\text{i}){\blue{(-2-\text{i})}}} \\\\\phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_A}}=\dfrac{-2-\text{i}-4\text{i}+2}{4+1}=\dfrac{-5\text{i}}{5}=-\text{i} \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_A}=-\text{i}}$

Par conséquent, le triangle BAD est rectangle et isocèle en A.

3. Soit S la similitude plane directe de centre D qui transforme A en B.

3. a) Nous savons que l'écriture complexe d'une similitude directe est de la forme $z'=az+b$ avec a different

0.
Comme le point D d'affixe -2- 2i est le centre de la similitude S, nous savons que l'image de D est D.
L'image du point A d'affixe -3i est le point B d'affixe 1 - i.
Dans l'écriture complexe de la similitude S, remplaçons z par l'affixe de D et z' par l'affixe de D.
Nous obtenons ainsi : -2 -2i = a (-2 -2i) + b .
De même, remplaçons z par l'affixe de A et z' par l'affixe de B.
Nous obtenons ainsi : 1 - i = a (-3i) + b .
Nous trouverons les valeurs de a et de b en résolvant le système : $\left\lbrace\begin{matrix}-2 -2\,\text{i} = a (-2 -2\,\text{i}) +b\\1 - \text{i} = a(-3\,\text{i}) +b\ \end{matrix}\right.$

En soustrayant les équations membre à membre, nous obtenons :

$-2 -2\,\text{i}-1+\text{i} = a (-2 -2\,\text{i}+3\,\text{i})\Longleftrightarrow-3 -\text{i}= a (-2 +\text{i}) \\\overset{}{\phantom{-2 -2\,\text{i}-1+\text{i} = a (-2 -2\,\text{i}+3\,\text{i})}\Longleftrightarrow a= \dfrac{-3 -\text{i}}{-2 +\text{i}}} \\\overset{}{\phantom{-2 -2\,\text{i}-1+\text{i} = a (-2 -2\,\text{i}+3\,\text{i})}\Longleftrightarrow a= \dfrac{(-3 -\text{i})\blue{(-2 -\text{i})}}{(-2 +\text{i}){\blue{(-2 -\text{i})}}}} \\\overset{}{\phantom{-2 -2\,\text{i}-1+\text{i} = a (-2 -2\,\text{i}+3\,\text{i})}\Longleftrightarrow a= \dfrac{6+3\,\text{i}+2\,\text{i}-1}{4+1}} \\\overset{}{\phantom{-2 -2\,\text{i}-1+\text{i} = a (-2 -2\,\text{i}+3\,\text{i})}\Longleftrightarrow a= \dfrac{5+5\,\text{i}}{5}= \dfrac{5(1+\text{i})}{5}} \\\overset{}{\phantom{-2 -2\,\text{i}-1+\text{i} = a (-2 -2\,\text{i}+3\,\text{i})}\Longleftrightarrow \boxed{a=1+\text{i}}}$
Dans la deuxième équation, remplaçons a par 1 + i.
$1 - i = (1+\text{i})(-3\,\text{i}) +b\Longleftrightarrow1-\text{i}=-3\,\text{i}+3+b \\\overset{}{\phantom{1 - i = (1+\text{i})(-3\,\text{i}) +b}\Longleftrightarrow b=1-\text{i}+3\,\text{i}-3} \\\overset{}{\phantom{1 - i = (1+\text{i})(-3\,\text{i}) +b}\Longleftrightarrow \boxed{b=-2+2\,\text{i}}}$
Par conséquent, l'écriture complexe de la similitude S est : $\boxed{z'=(1+\text{i})z-2+2\,\text{i}}$

3. b) Dans l'écriture complexe de la similitude S, remplaçons z par l'affixe de B et calculons z' .
$z'=(1+\text{i})(1-\text{i})-2+2\,\text{i}=1+1-2+2\,\text{i}=2\,\text{i}\Longrightarrow\boxed{z'=2\,\text{i}}$
D'où z' est l'affixe du point C.
Par conséquent, S(B) = C.

3. c) Nous savons que :
S(B) = C   (voir question 3. b)
S(A) = B   (par définition de S)
S(D) = D   (car D est le centre de la similitude S)
Par conséquent, l'image du triangle BAD par la similitude S est le triangle CBD.

points

probleme

Partie A

On donne la fonction g définie et dérivable sur

par : $g(x)=2x-\text{e}^{-x}.$

${\red{1.}}\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}2x=-\infty\\\overset{}{\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{x\to-\infty}(2x-\text{e}^{-x})=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWW...}\Longrightarrow\ \ \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty} \\\\\phantom{W}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}2x=+\infty\\\overset{}{\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}(2x-\text{e}^{-x})=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}$

2. Etudions le signe de la dérivée g' .
$g'(x)=(2x-\text{e}^{-x})'=(2x)'-(\text{e}^{-x})'=2-(-x)'\,\text{e}^{-x}=2-(-1)\times\text{e}^{-x}=2+\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow \boxed{g'(x)=2+\text{e}^{-x}} \\\\\forall x\in\R, \left\lbrace\begin{matrix}2>0\\\text{e}^{-x}>0\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow \boxed{g'(x)>0}$
Par conséquent, la fonction g est strictement croissante sur .

D'où le tableau de variation de la fonction g sur

.

$\begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&-\infty&&&&&+\infty\\&&&&&& \\\hline &&&&&&+\infty&g(x)&&&\nearrow&&&\\&-\infty&&&&&\\\hline \end{array}$

3. a) La fonction g est continue et strictement croissante sur

.
De plus $f(\R)=\R$ .
Dès lors, selon le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g (x ) = 0 admet une solution unique alpha

dans

.

3. b) $\left\lbrace\begin{matrix}g(0,3)=2\times0,3-\text{e}^{-0,3}=0,6-\text{e}^{-0,3}\approx-0,14\Longrightarrow {\red{g(0,3)<0}} \\\overset{}{g(0,4)=2\times0,4-\text{e}^{-0,4}=0,8-\text{e}^{-0,4}\approx0,13\Longrightarrow {\red{g(0,4)>0}}}\end{matrix}\right.$
Par conséquent, selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g (x ) = 0 admet une solution unique dans l'intervalle ]0,3 ; 0,4[,
soit $\boxed{0,3<\alpha <0,4}$

4. Complétons le tableau de variation de g sur

.

$\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline&&&&&&&&&\\ x&-\infty&&&&\alpha&&&&+\infty\\&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&+\infty&g(x)&&&\nearrow&&g(\alpha)=0&&\nearrow&&\\&-\infty&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty\,;\,\alpha\,[.$
D'où $\forall\, x\in\,]-\infty\,;\,\alpha\,[\ :x<\alpha\Longrightarrow g(x)<g(\alpha).$
Dès lors, $\boxed{\forall\, x\in\,]-\infty\,;\,\alpha\,[\,,\ \ g(x)<0}$

De même, la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle $]\,\alpha\,;\,+\infty\,[.$
D'où $\forall\, x\in\,]\,\alpha\,;\,+\infty\,[\ :x>\alpha\Longrightarrow g(x)>g(\alpha).$
Par conséquent, $\boxed{\forall\, x\in\,]\,\alpha\,;\,+\infty\,[\,,\ \ g(x)>0}$

Partie B

Soit f la fonction définie et dérivable sur

par : $f(x)=(x-1)(2\,\text{e}^x-1).$

${\red{1.}}\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(x-1)=+\infty\\\overset{}{\lim\limits_{x\to+\infty}(2\text{e}^{x}-1)=+\infty}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}(x-1)(2\text{e}^{x}-1)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWW..}\Longrightarrow\ \ \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$

Pour tout réel x non nul,
$\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{(x-1)(2\,\text{e}^x-1)}{x}=\dfrac{(x-1)}{x}\times(2\,\text{e}^x-1)=\left(\dfrac{x}{x}-\dfrac{1}{x}\right)\times(2\,\text{e}^x-1)=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\times(2\,\text{e}^x-1) \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{f(x)}{x}=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)(2\,\text{e}^x-1)}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)=1-0=1\\\overset{}{\lim\limits_{x\to+\infty}(2\text{e}^{x}-1)=+\infty}\ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)(2\text{e}^{x}-1)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ signifie que la fonction f n'admet pas d'asymptote horizontale en +.
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$ signifie que la courbe $(\mathscr{C})$ admet une branche parabolique en + de direction (OJ).

${\red{2.\ \text{a) }}}\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(x-1)=-\infty\\\overset{}{\lim\limits_{x\to-\infty}(2\text{e}^{x}-1)=0-1=-1}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{x\to-\infty}(x-1)(2\text{e}^{x}-1)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}$

${\red{2.\ \text{b) }}}\ \forall\,x\in\R,\ f(x)=(x-1)(2\,\text{e}^x-1) \\\phantom{{\red{2.\ \text{b) }}}\ \forall\,x\in\R,\ f(x)}=(x-1)\times2\,\text{e}^x-(x-1)\times1 \\\phantom{{\red{2.\ \text{b) }}}\ \forall\,x\in\R,\ f(x)}=2(x-1)\,\text{e}^x-x+1 \\\\\Longrightarrow\boxed{ \forall\,x\in\R,\ f(x)=1-x+2(x-1)\,e^x}$

2. c) Démontrer que la droite (D) d'équation y = 1 - x est une asymptote à $(\text{C}_f)$ en $-\infty$ revient à démontrer que $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\overset{}{f(x)-(1-x)}\right)=0.$

Nous savons par la question précédente que $f(x)-(1-x)=2(x-1)\,\text{e}^x.$
$\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}2(x-1)=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \underset{\text{par croissances comparées}}{\Longrightarrow}\ \ \ \ \ \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}2(x-1)\,\text{e}^x=0} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\Updownarrow \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWW...WWW}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\overset{}{f(x)-(1-x)}\right)=0}$
Par conséquent, la droite (D) d'équation y = 1 - x est une asymptote à $(\text{C}_f)$ en $-\infty$

2. d) La position relative de $(\text{C}_f)$ et (D) se détermine par le signe de $f(x)-(1-x)$ ,
soit par le signe de $2(x-1)\,\text{e}^x.$

$\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}x-1<0\Longleftrightarrow x<1 \\\\ x-1=0\Longleftrightarrow x=1\\\\ x-1>0\Longleftrightarrow x>1 \end{matrix}\right.\\\\\forall x\in\R,\ \text{e}^x>0\end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&\\x&-\infty&&1&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&& \\2&&+&+&+&\\x-1&&-&0&+&\\\text{e}^x&&+&+&+&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\2(x-1)\,\text{e}^x&&{\red{-}}&{\red{0}}&{\red{+}}&&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}$

Nous en déduisons que si x appartient

; 1], alors $f(x)-(1-x)<0.$ .
D'où pour tout x < 1 la courbe $(\text{C}_f)$ est en-dessous de l'asymptote (D).

3. On suppose que f est dérivable sur

et on note f' sa fonction dérivée.

${\red{3.\ \text{a) }}}f'(x)=(x-1)'\times (2\,\text{e}^x-1)+(x-1)\times(2\,\text{e}^x-1)' \\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}f'(x)}=1\times (2\,\text{e}^x-1)+(x-1)\times(2\,\text{e}^x-0) \\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}f'(x)}=(2\,\text{e}^x-1)+2\,\text{e}^x(x-1) \\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}f'(x)}=2\,\text{e}^x-1+2x\,\text{e}^x-2\,\text{e}^x \\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}f'(x)}=2x\,\text{e}^x-1 \\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}f'(x)}=2x\,\text{e}^x-\text{e}^x\text{e}^{-x} \\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}f'(x)}=\text{e}^x(2x-\text{e}^{-x}) \\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}f'(x)}=\text{e}^xg(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall x\in\R,\ f'(x)=\text{e}^xg(x)}$

3. b) Le signe de f' (x ) est le signe de g (x ) car toute exponentielle est strictement positive sur

.
En nous aidant de la question 4. Partie A, nous pouvons déduire le sens de variation de f.

$\left[\overset{}{\forall\, x\in\,]-\infty\,;\,\alpha\,[\,,\ \ g(x)<0}\right]\Longleftrightarrow\left[\overset{}{{\blue{\forall\, x\in\,]-\infty\,;\,\alpha\,[\,,\ \ f'(x)<0}}}\right]$
$\left[\overset{}{\forall\, x\in\,]\,\alpha\,;\,+\infty\,[\,,\ \ g(x)>0}\right]\Longleftrightarrow\left[\overset{}{{\blue{\forall\, x\in\,]\,\alpha\,;\,+\infty\,[\,,\ \ f'(x)>0}}}\right]$
D'où la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]- ; [.
strictement croissante sur l'intervalle ] ; +[.

3. c) Tableau de variation de f sur

.

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&\\x&-\infty&&\alpha&&+\infty\\&&&&&\\\hline&+\infty &&&&+\infty \\f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&f(\alpha)&&\\\hline \end{array}$

4. a) Résolvons dans

l'équation : $f(x)=0.$

$f(x)=0\Longleftrightarrow(x-1)(2\,\text{e}^x-1)=0 \\\overset{}{\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow x-1=0\ \ \ \text{ou}\ \ 2\,\text{e}^x-1=0} \\\overset{}{\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow x=1\ \ \ \text{ou}\ \ \text{e}^x=\dfrac{1}{2}} \\\overset{}{\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow x=1\ \ \ \text{ou}\ \ x=\ln(\dfrac{1}{2})} \\\overset{}{\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow \boxed{x=1\ \ \ \text{ou}\ \ x=-\ln2}}$
L'ensemble S des solutions de l'équation $f(x)=0$ est $\boxed{S=\lbrace-\ln2\,;\,1\rbrace}$ .

4. b) Soient A et B les points d'intersection de $(\text{C}_f)$ et de l'axe des abscisses.
Les abscisses de ces points A et B sont les solutions de l'équation $f(x)=0.$
Donc les coordonnées du point A sont (-ln2 ; 0) et les coordonnées du point B sont (1 ; 0).

5. Une équation de la tangente (T) à $(\text{C}_f)$ au point d'abscisse 0 est de la forme : $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ ,
soit $\boxed{y=f'(0)x+f(0)}$

$\left\lbrace\begin{matrix}f(x)=(x-1)(2\,\text{e}^x-1)\\f'(x)=\text{e}^x(2x-\text{e}^{-x})\ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=(0-1)(2\,\text{e}^0-1)=-1\times(2-1)=-1\\f'(0)=\text{e}^0(2\times0-\text{e}^{0})=1\times(0-1)=-1\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=-1\\f'(0)=-1\end{matrix}\right.}}$
Par conséquent, une équation de la tangente (T) à $(\text{C}_f)$ au point d'abscisse 0 est $\boxed{y=-x-1}$

6. Représentation graphique des droites (D) et (T) et de la courbe $(\text{C}_f)$ .

7. Nous avons montré dans la question 2. d) que pour tout x < 1 la courbe $(\text{C}_f)$ est en-dessous de l'asymptote (D).
D'où l'aire $\mathscr{A}$ en unité d'aire (u.a.), de la partie du plan délimitée par $(\text{C}_f)$ , la droite (D) et les droites d'équations x = 0 et x = 1 est donnée par :

$\mathscr{A}=\int\limits_0^1\left[\overset{}{(1-x)-f(x)}\right]\,\text{d}x=\int\limits_0^1\left[\overset{}{(1-x)+(1-x)(2\,\text{e}^x-1)}\right]\,\text{d}x \\\overset{}{\phantom{..}}=\int\limits_0^1\left[\overset{}{(1-x)(1+2\,\text{e}^x-1)}\right]\,\text{d}x \\\overset{}{\phantom{..}}=\int\limits_0^1\left[\overset{}{(1-x)\times2\,\text{e}^x}\right]\,\text{d}x \\\overset{}{\phantom{..}}=\int\limits_0^1\left[\overset{}{2(1-x)\times\text{e}^x}\right]\,\text{d}x$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\int\limits_0^1u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^1-\int\limits_0^1u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=2(1-x)\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ u'(x)=-2\\v'(x)=\text{e}^x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ v(x)=\text{e}^x\end{matrix}\right. \\\\\text{Dès lors, }\ \mathscr{A}=\int\limits_0^1\left[\overset{}{2(1-x)\times\text{e}^x}\right]\,\text{d}x =\left[\overset{}{2(1-x)\times\text{e}^x}\right]\limits_0^1-\int\limits_0^1(-2)\times\text{e}^x\,\text{d}x \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW..}=\left[\overset{}{2(1-x)\times\text{e}^x}\right]\limits_0^1+2\int\limits_0^1\text{e}^x\,\text{d}x \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW..}=\left[\overset{}{2(1-x)\times\text{e}^x}\right]\limits_0^1+2\left[\overset{}{\text{e}^x}\right]\limits_0^1$

$\mathscr{A}=\left(\overset{}{2(1-1)\times\text{e}^1-2(1-0)\times\text{e}^0}\right)+\left(\overset{}{2\,\text{e}^1-2\,\text{e}^0}\right) \\\phantom{..}=\left(\overset{}{0-2}\right)+\left(\overset{}{2\,\text{e}-2}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=(2\,\text{e}-4)\ \text{u.a.}}$

Puisque l'unité graphique est 2 cm, l'unité d'aire vaudra 4 cm².
Donc $(2\,\text{e}-4)\ \text{u.a.}=4(2\,\text{e}-4)\ \text{cm}^2=(8\,\text{e}-16)\ \text{cm}^2.$

Par conséquent, l'aire $\mathscr{A}$ de la partie du plan délimitée par $(\text{C}_f)$ , la droite (D) et les droites d'équations x = 0 et x = 1 est $\overset{^.}{\boxed{\mathscr{A}=(8\,\text{e}-16)\ \text{cm}^2\approx5,75\ \text{cm}^2.}}$

Publié par malou le 14-02-2021

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