Fiche de mathématiques

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Mathématiques Série S1-S1A-S3

Sénégal 2020

COEFFICIENT : 8

DURÉE : 4 HEURES

Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée unique par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites. Leur utilisation sera considérée comme une fraude (Cf. Circulaire n° 5990/OB/DIR. du 12 08 1998).

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Bac S1-S1A-S3 Sénégal 2020

4 points

exercice 1

1. On admet que tout entier n strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteur premiers.
Décomposons 524 et 629 en produit de facteurs premiers.
$\left.\begin{matrix}524=2\times262 \\262=2\times131 \\131=131\times1\end{matrix}\right\rbrace\ \Longrightarrow\ \ \boxed{524=2^2\times131} \\\\\boxed{629=17\times37}$

2. Soit l'ensemble gammamaj

d'équation : z = xy et l'ensemble C d'équation : $x^2+z^2=1.$

2. a) Les coordonnées des points d'intersection de gammamaj

et de C vérifient le système : $\left\lbrace\begin{matrix}z=xy\ \ \ \ \ \ \\x^2+z^2=1\end{matrix}\right.$
Or $\left\lbrace\begin{matrix}z=xy\ \ \ \ \ \ \\x^2+z^2=1\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}z=xy\ \ \ \ \ \ \\x^2+(xy)^2=1\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}z=xy\ \ \ \ \ \ \\x^2+x^2y^2=1\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}z=xy\ \ \ \ \ \ \\x^2(1+y^2)=1\end{matrix}\right.$
D'où les coordonnées $(x;\,y;\,z)$ des points d'intersection de et de C vérifient la relation $x^2(1+y^2)=1.$

2. b) Montrons que gammamaj

et C ont deux points communs dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Soit M(x ; y ; z ) un point de l'espace appartenant à l'intersection de gammamaj

et de C où x , y et z sont des nombres entiers relatifs.
Par la question précédente, nous savons que $x^2(1+y^2)=1.$
Etant donné que x , y et z sont des nombres entiers relatifs, nous avons :
$x^2(1+y^2)=1\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x^2=1\\1+y^2=1\end{matrix}\right.\ \ \text{ou}\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x^2=-1\\1+y^2=-1\end{matrix}\right.$
Or $\left\lbrace\begin{matrix}x^2=-1\\1+y^2=-1\end{matrix}\right.$ est un système impossible car x ² ne peut pas être négatif.
D'où les coordonnées du point M vérifient le système $\left\lbrace\begin{matrix}x^2=1\\1+y^2=1\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}x^2=1\\1+y^2=1\end{matrix}\right.\ \ \Longleftrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=1\\y^2=0\end{matrix}\right.\ \ \text{ou}\ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=-1\\y^2=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}x^2=1\\1+y^2=1\end{matrix}\right.\ \ }\Longleftrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\ \ \text{ou}\ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=-1\\y=0\end{matrix}\right. \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}z=xy\\y=0\end{matrix}\right.\Longrightarrow z=0$
Par conséquent, et C ont deux points communs dont les coordonnées sont des entiers relatifs, soient (1 ; 0 ; 0) et (-1 ; 0 , 0).

3. Soit P_n le plan d'équation : $z=n^4+4.$

3. a) Cas où n = 1 : L'équation du plan P ₁ est : z = 5.
Déterminons l'ensemble des points d'intersection de gammamaj

et de P ₁ dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
Les coordonnées des points d'intersection de gammamaj

et de P ₁ vérifient le système : $\left\lbrace\begin{matrix}z=xy\\z=5\end{matrix}\right.\ \ \ \text{avec}\ x,\ y,\ z\ \text{entiers relatifs.}$

Or $\left\lbrace\begin{matrix}z=xy\\z=5\ \\x\in Z\\y\in Z\\z\in Z\end{matrix}\right.\ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=1\\y=5\\z=5 \end{matrix}\right.\ \ \text{ou}\ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=-1\\y=-5\\z=5 \end{matrix}\right.\ \ \text{ou}\ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=5\\y=1\\z=5 \end{matrix}\right.\ \ \text{ou}\ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=-5\\y=-1\\z=5 \end{matrix}\right.}$
Par conséquent, l'ensemble des points d'intersection de et de P ₁ dont les coordonnées sont des entiers relatifs est $\lbrace A(1\,;5\,;5)\ ,\,B(-1\,;-5\,;5)\ ,\,C(5\,;1\,;5)\ ,\,D(-5\,;-1\,;5)\rbrace$ .

Dans la suite de l'exercice, nous supposons : n > 1.

${\red{3.\ \text{b) }}}\ (n^2-2n+2)(n^2+2n+2)=[(n^2+2)-2n][(n^2+2)+2n] \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ \text{b) }}}\ (n^2-2n+2)(n^2+2n+2)}=(n^2+2)^2-(2n)^2} \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ \text{b) }}}\ (n^2-2n+2)(n^2+2n+2)}=n^4+4n^2+4-4n^2} \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ \text{b) }}}\ (n^2-2n+2)(n^2+2n+2)}=n^4+4} \\\\\Longrightarrow\boxed{(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)=n^4+4}$

3. c) Montrons que $n^4+4$ n'est pas premier.

$\text{D'une part, }\ n>1\Longrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}n>0\\n\ge2\end{matrix}\right. \Longrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}n>0\\n-2\ge0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{D'une part, }\ n>1}\Longrightarrow n(n-2)\ge0 \\\overset{}{\phantom{\text{D'une part, }\ n>1}\Longrightarrow n(n-2)+2\ge2} \\\overset{}{\phantom{\text{D'une part, }\ n>1}\Longrightarrow \boxed{n^2-2n+2\ge2}} \\\\\text{D'autre part, }\ n>1\Longrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}n>0\\n\ge2\end{matrix}\right. \Longrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}n>0\\n+2\ge0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{D'autre part, }\ n>1}\Longrightarrow n(n+2)\ge0 \\\overset{}{\phantom{\text{D'autre part, }\ n>1}\Longrightarrow n(n+2)+2\ge2} \\\overset{}{\phantom{\text{D'autre part, }\ n>1}\Longrightarrow \boxed{n^2+2n+2\ge2}}$

Puisque n est un nombre entier naturel, les nombres $n^2-2n+2$ et $n^2+2n+2$ sont des nombres entiers naturels.
De plus, nous avons montré que $(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)=n^4+4$ .
Nous en déduisons que $n^4+4$ est le produit de deux entiers naturels dont aucun n'est égal à 1 puisqu'ils sont tous deux supérieurs à 2.
Par conséquent, $n^4+4$ n'est pas premier.

3. d) Les coordonnées des points d'intersection de gammamaj

et P_n vérifient le système : $\left\lbrace\begin{matrix}z=xy\\z=n^4+4\end{matrix}\right.\ \ \ \text{avec}\ x,\ y,\ z\ \text{entiers relatifs.}$

Or $n^4+4$ possède au moins 4 diviseurs entiers : 1 , $n^2-2n+2$ , $n^2+2n+2$ et $n^4+1.$
De plus, $\left\lbrace\begin{matrix}z=xy\\z=n^4+4\end{matrix}\right.\ \ \ \text{avec}\ x,\ y,\ z\ \text{entiers relatifs.}\ \ \Longrightarrow\ \ \boxed{xy=n^4+4\ \ \ \text{avec}\ x,\ y,\ z\ \text{entiers relatifs.}}$ .
Nous en déduisons que x peut prendre au moins 8 valeurs entières distinctes.
Ces valeurs sont : 1 , -1 , $n^2-2n+2$ , $-(n^2-2n+2)$ , $n^2+2n+2$ , $-(n^2+2n+2)$ , $n^4+1$ et $-(n^4+1).$
L'ordonnée y peut également prendre au moins 8 valeurs entières distinctes en fonction des valeurs de x .
Par conséquent, le nombre de points d'intersection de et P_n dont les coordonnées sont des entiers relatifs est supérieur ou égal à 8.

3. e) Cas où n = 5 : L'équation du plan P ₅ est : z = 5⁴ + 4, soit z = 629.
Déterminons l'ensemble des points d'intersection de gammamaj

et de P ₅ dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
Les coordonnées des points d'intersection de gammamaj

et de P ₅ vérifient le système : $\left\lbrace\begin{matrix}z=xy\\z=629\end{matrix}\right.\ \ \ \text{avec}\ x,\ y,\ z\ \text{entiers relatifs.}$ , soit le système : $\left\lbrace\begin{matrix}xy=629\\z=629\end{matrix}\right.\ \ \ \text{avec}\ x,\ y,\ z\ \text{entiers relatifs.}$

En nous aidant de la question 1, nous obtenons 8 valeurs possibles pour x : 1 ou (-1) ou 17 ou (-17) ou 37 ou (-37) ou 629 ou (-629).
Par conséquent,
l'ensemble des points d'intersection de et de P ₅ dont les coordonnées sont des entiers relatifs est $\lbrace E(1\,;629\,;629)\ ,\,F(-1\,;-629\,;629)\ ,\,G(17\,;37\,;629)\ ,\,H(-17\,;-37\,;629),\\I(37\,;17\,;629)\ ,\,J(-37\,;-17\,;629)\ ,\,K(629\,;1\,;629)\ ,\,L(-629\,;-1\,;629)\rbrace.$

5 points

exercice 2

Soient ABCD un tétraèdre régulier et A' le centre de gravité du triangle BCD. Ainsi la droite (AA') est une médiane du tétraèdre ABCD de face associée (BCD).

1. Nous devons démontrer la propriété (P ) : dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale au plan de sa face associée.

1. a) Nous devons montrer que $\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BD}=0.$
Soit I le milieu du segment [BD].
$\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IA'}).\overrightarrow{BD} \Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BD}={\blue{\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BD}}}+{\blue{\overrightarrow{IA'}.\overrightarrow{BD}}}}$
Comme I est le milieu du segment [BD], la droite (AI) est une médiane du triangle équilatéral ABD.
Par conséquent, la droite (AI) est la hauteur du triangle ABD passant par le sommet A et par suite, la droite (AI) est perpendiculaire à (BD).
D'où, ${\blue{\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BD}=0}}.$
De même, comme I est le milieu du segment [BD], la droite (CI) est une médiane du triangle équilatéral BCD et par conséquent, la droite (CI) est la hauteur du triangle BCD passant par le sommet C.
Puisque le centre de gravité A' appartient à la médiane (CI), ce point A' appartient à la hauteur du triangle BCD passant par le sommet C et par suite, la droite (A'I) est perpendiculaire à (BD).
D'où, $\overrightarrow{A'I}.\overrightarrow{BD}=0$ soit ${\blue{\overrightarrow{IA'}.\overrightarrow{BD}=0}}.$
Par conséquent, $\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{IA'}.\overrightarrow{BD}=0+0=0 \Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BD}=0}.$

Nous devons montrer que $\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}=0.$
Soit J le milieu du segment [BC].
$\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{JA'}).\overrightarrow{BC} \Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}={\blue{\overrightarrow{AJ}.\overrightarrow{BC}}}+{\blue{\overrightarrow{JA'}.\overrightarrow{BC}}}}$
Comme J est le milieu du segment [BC], la droite (AJ) est une médiane du triangle équilatéral ABC et par conséquent, la droite (AJ) est la hauteur du triangle ABC passant par le sommet A.
D'où, ${\blue{\overrightarrow{AJ}.\overrightarrow{BC}=0}}.$
De même, comme J est le milieu du segment [BC], la droite (DJ) est une médiane du triangle équilatéral BCD et par conséquent, la droite (DJ) est la hauteur du triangle BCD passant par le sommet D.
Puisque le centre de gravité A' appartient à la médiane (DJ), ce point A' appartient à la hauteur du triangle BCD passant par le sommet D.
D'où, $\overrightarrow{A'J}.\overrightarrow{BC}=0$ soit ${\blue{\overrightarrow{JA'}.\overrightarrow{BC}=0}}.$
Par conséquent, $\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AJ}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{JA'}.\overrightarrow{BC}=0+0=0 \Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}=0}.$

1. b) Nous devons montrer que dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale au plan de sa face associée.
De la question précédente, nous pouvons déduire que la médiane (AA') est orthogonale à deux droites (BC) et (BD) sécantes du plan (BCD).
D'où la médiane (AA') est orthogonale au plan de sa face associée (BCD).
Par un raisonnement analogue, nous pouvons montrer que les autres médianes du tétraèdre régulier ABCD sont orthogonales à leur face associée.
Par conséquent, dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale au plan de sa face associée.

2. Soit G l'isobarycentre de ABCD.
Dans ce cas, G est le barycentre du système {(A,1),(B,1),(C,1),(D,1)}.
Nous savons que A' est le centre de gravité du triangle BCD, soit que A' est le barycentre du système {(B,1),(C,1),(D,1)}.
Par la propriété d'associativité du barycentre, nous déduisons que G est le barycentre du système {(A,1),(A',3)}.
Par conséquent, le point G appartient à la médiane AA' du tétraèdre ABCD.
Une démonstration analogue permet de montrer que le point G appartient aux trois autres médianes du tétraèdre.
D'où le point G appartient à chacune des médianes du tétraèdre ABCD.

3. L'espace est muni du repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k})$
Considérons les points P(1 ; 2 ; 3); Q(4 ; 2 ; -1) et R(-2 ; 3 ; 0).

3. a) Montrons que le tétraèdre OPQR n'est pas régulier en montrant que OP different

OQ.

$\left\lbrace\begin{matrix}OP=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}\ \ \ \ \ \\OQ=\sqrt{4^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{21}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{OP\ne OQ}$
Puisque deux arêtes du tétraèdre OPQR n'ont pas la même longueur, ce tétraèdre OPQR n'est pas régulier.

3. b) Déterminons les coordonnées de P', centre de gravité du triangle OQR.
$\left\lbrace\begin{matrix}x_{P'}=\dfrac{x_O+x_Q+x_R}{3}\\\overset{}{y_{P'}=\dfrac{y_O+y_Q+y_R}{3}}\\\overset{}{z_{P'}=\dfrac{z_O+z_Q+z_R}{3}}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x_{P'}=\dfrac{0+4-2}{3}\\\overset{}{y_{P'}=\dfrac{0+2+3}{3}}\\\overset{}{z_{P'}=\dfrac{0-1+0}{3}}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x_{P'}=\dfrac{2}{3}\\\overset{}{y_{P'}=\dfrac{5}{3}}\\\overset{}{z_{P'}=\dfrac{-1}{3}}\end{matrix}\right.$
D'où les coordonnées du point P' sont : $\boxed{(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{5}{3}\,;\,\dfrac{-1}{3})}$

3. c) Montrons qu'une équation cartésienne du plan OQR est $3x+2y+16z=0$ en montrant que les coordonnées des points O, Q et R vérifient cette équation.
$\left\lbrace\begin{matrix}3\times0+2\times0+16\times0=0\\\overset{}{3\times4+2\times2+16\times(-1)=12+4-16=0}\\\overset{}{3\times(-2)+2\times3+16\times0=-6+6+0=0}\end{matrix}\right.$
Les coordonnées des points O, Q et R vérifient l'équation $3x+2y+16z=0$ .
Par conséquent, une équation cartésienne du plan OQR est $3x+2y+16z=0$ .

3. d) Montrons que la médiane (PP') n'est pas orthogonale au plan de sa face associée (OQR).
Déterminons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{PP'}.$
$\left\lbrace\begin{matrix}P(1\,;\,2\,;\,3)\\\\P'(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{5}{3}\,;\,-\dfrac{1}{3})\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \overrightarrow{PP'}\begin{pmatrix}x_{P'}-x_{P}\\y_{P'}-y_{P}\\z_{P'}-z_{P}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}-1\\\\\dfrac{5}{3}-2\\\\-\dfrac{1}{3}-3\end{pmatrix} \Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{\overrightarrow{PP'}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{3}\\\\-\dfrac{1}{3}\\\\-\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}}$
Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la
forme ax + by + cz + d = 0.
Dès lors, le vecteur $\boxed{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\2\\16\end{pmatrix}}$ est normal au plan OQR.
Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow{PP'}$ et $\overrightarrow{n}$ ne sont pas colinéaires.
D'où la médiane (PP') n'est pas orthogonale au plan de sa face associée (OQR).
Par conséquent, la propriété (P ) n'est pas vérifiée dans un tétraèdre quelconque.

11 points

probleme

Pour tout entier naturel n , considérons la fonction $f_n$ définie sur ]0 ; + infini

[ par $f_n(x)=\dfrac{1}{x(1+x)^n}$ .

Partie A

1. Déterminons l'expression algébrique de la dérivée $f'_n(x)$ sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.
$f'_n(x)=\dfrac{-\left[\overset{}{x(1+x)^n}\right]'}{\left(\overset{}{x(1+x)^n}\right)^2}=\dfrac{-\left[\overset{}{x'\times (1+x)^n+x\times ((1+x)^{n})'}\right]}{x^2(1+x)^{2n}} \\\\\phantom{f'_n(x)}=\dfrac{-\left[\overset{}{1\times (1+x)^n+x\times n(1+x)^{n-1}}\right]}{x^2(1+x)^{2n}} \\\\\phantom{f'_n(x)}=-\dfrac{(1+x)^n+nx(1+x)^{n-1}}{x^2(1+x)^{2n}} =-\dfrac{(1+x)^{n-1}[(1+x)+nx]}{x^2(1+x)^{2n}} \\\\\phantom{f'_n(x)}=-\dfrac{(1+x)+nx}{x^2(1+x)^{2n-(n-1)}}=-\dfrac{1+x+nx}{x^2(1+x)^{2n-n+1}} \\\\\phantom{f'_n(x)}=-\dfrac{1+(1+n)x}{x^2(1+x)^{n+1}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'_n(x)=-\dfrac{1+(n+1)x}{x^2(1+x)^{n+1}}}$

$\forall x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ \forall n\in\N, \0 \dfrac{1+(n+1)x}{x^2(1+x)^{n+1}}>0\Longrightarrow \boxed{f'_n(x)=- \dfrac{1+(n+1)x}{x^2(1+x)^{n+1}}<0}$
Par conséquent, la fonction f_n est strictement décroissante sur ]0 ; +[.

$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x(1+x)^n}=+\infty\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f_n(x)=+\infty} \\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x(1+x)^n}=0\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f_n(x)=0} \\\\\\\underline{\text{Tableau de variation de }f_n\text{ sur }]0\,;\,+\infty[} \\\\\ \ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccc|}\hline &&&\\ x&0&&+\infty\\&&&\\\hline&&&\\f'_n(x)&||&-&\\&&&\\\hline &+\infty&& \\ f_n&||&\searrow& \\ &&&0 \\ \hline \end{array}\end{matrix}$

2. En nous aidant du tableau de variations de f_n sur l'intervalle ]0 ; + infini

[, nous observons que la fonction continue f_n est strictement décroissante sur l'intervalle I = ]0 ; + infini

[ et que f_n (]0 ; + infini

[) = ]0 ; + infini

[.
D'où la fonction f_n réalise une bijection de l'intervalle ]0 ; + infini

[ sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.
Par conséquent, f_n admet une bijection réciproque f_n ^-1 définie sur l'intervalle ]0 ; +[.

3. La position de $C_{n+1}$ par rapport à $C_n$ est déterminée par le signe de la différence : $f_{n+1}(x)-f_n(x).$
$f_{n+1}(x)-f_n(x)=\dfrac{1}{x(1+x)^{n+1}}-\dfrac{1}{x(1+x)^n} \\\overset{}{\phantom{f_{n+1}(x)-f_n(x)}=\dfrac{1}{x(1+x)^{n}(1+x)}-\dfrac{1}{x(1+x)^n}} \\\overset{}{\phantom{f_{n+1}(x)-f_n(x)}=\dfrac{1}{x(1+x)^n}\left(\dfrac{1}{1+x}-1\right)} \\\overset{}{\phantom{f_{n+1}(x)-f_n(x)}=\dfrac{1}{x(1+x)^n}\left(\dfrac{1-(1+x)}{1+x}\right)} \\\overset{}{\phantom{f_{n+1}(x)-f_n(x)}=\dfrac{1}{x(1+x)^n}\left(\dfrac{-x}{1+x}\right)} \\\overset{}{\phantom{f_{n+1}(x)-f_n(x)}=\dfrac{-x}{x(1+x)^n(1+x)}} \\\overset{}{\phantom{f_{n+1}(x)-f_n(x)}=\dfrac{-1}{(1+x)^{n+1}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f_{n+1}(x)-f_n(x)=\dfrac{-1}{(1+x)^{n+1}}{\red{<0}}\ \ \ \ \ (\text{car }x\in\,]0\,;\,+\infty[)}$
Par conséquent, pour tout n , $C_{n+1}$ est en dessous de $C_{n}.$

4. Représentations graphiques de $C_0$ , $C_1$ et $C_2.$

Partie B

$\text{Soit }\forall n\in\N,\ I_n=\int\limits_1^2f_n(x)\,dx.$

${\red{1.\ \text{a) }}}\ \forall x>0, \ \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1+x}{x(1+x)}-\dfrac{x}{x(1+x)}=\dfrac{1+x-x}{x(1+x)}=\dfrac{1}{x(1+x)} \\\\\Longrighitarrow\boxed{\forall x>0, \ \dfrac{1}{x(1+x)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{1+x}}$

${\red{1.\ \text{b) }}}I_0=\int\limits_1^2f_0(x)\,dx=\int\limits_1^2\dfrac{1}{x}\,dx=\left[\overset{}{\ln x}\right]\limits_1^2=\ln2-\ln1=\ln2-0=\ln2. \\\\\Longrightarrow\boxed{I_0=\ln2} \\\\I_1=\int\limits_1^2f_1(x)\,dx=\int\limits_1^2\dfrac{1}{x(1+x)}\,dx=\int\limits_1^2(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{1+x})\,dx=\left[\overset{}{\ln x-\ln(1+x)}\right]\limits_1^2\\\overset{}{\phantom{WWWWWW}=[\ln2-\ln(1+2)-(\ln1-\ln(1+1))=\ln2-\ln3-0+\ln2}\\\overset{}{\phantom{WWWWWW}=2\ln2-\ln3=\ln2^2-\ln3=\ln4-\ln3=\ln\dfrac{4}{3}.} \\\\\Longrightarrow\boxed{I_1=\ln\dfrac{4}{3}}$

${\red{2.}}\ \ \forall n\in\N^*,\ I_{n+1}-I_{n}=\int\limits_1^2(f_{n+1}(x)-f_{n}(x))\,dx=\int\limits_1^2\dfrac{-1}{(1+x)^{n+1}}\,dx\ \ (\text{voir Partie A - question 3)} \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWWW}=\int\limits_1^2-(1+x)^{-n-1}\,dx}=\left[-\dfrac{(1+x)^{-n}}{-n}\right]\limits_1^2=\left[\dfrac{1}{n(1+x)^{n}}\right]\limits_1^2 \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWWW}=\dfrac{1}{n(1+2)^{n}}-\dfrac{1}{n(1+1)^{n}}=\dfrac{1}{n}\left[\dfrac{1}{3^{n}}-\dfrac{1}{2^{n}}\right]} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall n\in\N^*,\ I_{n+1}-I_{n}=\dfrac{1}{n}\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right]}.$

3. Puisque la courbe $C_1$ est au-dessus de la courbe $C_2$ , l'aire $\mathscr{A}$ en unité d'aire du domaine plan délimité par les courbes $C_1$ , $C_2$ et les droites d'équations x = 1 et x = 2 est donnée par $\mathscr{A}=\int\limits_1^2\left(\overset{}{f_1(x)-f_2(x)}\right)\,dx.$

D'où $\mathscr{A}=\int\limits_1^2f_1(x)\,dx-\int\limits_1^2f_2(x)\,dx=I_2-I_1.$
En utilisant le résultat de la question précédente, nous obtenons :

$\mathscr{A}=I_1-I_2=-(I_2-I_1) =-\dfrac{1}{1}\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1}\right]=-\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right)=-\left(-\dfrac{1}{6}\right)=\dfrac{1}{6} \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=\dfrac{1}{6}\ \text{u.a.}}$
Or le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j})$ avec $||\vec{i}||=||\vec{j}||=2\ \text{cm.}$
Donc $1\,\text{u.a.}=4\,\text{cm}^2\Longrightarrow \mathscr{A}=\dfrac{1}{6}\times 4\,\text{cm}^2=\dfrac{4}{6}\,\text{cm}^2=\dfrac{2}{3}\,\text{cm}^2.$
Par conséquent, l'aire $\mathscr{A}$ du domaine plan délimité par les courbes $C_1$ , $C_2$ et les droites d'équations x = 1
et x = 2 est $\boxed{\mathscr{A}=\dfrac{2}{3}\,\text{cm}^2}.$

${\red{4.\ \text{a) }}}\ \ \forall n\ge2,\ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k}\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}\right]=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(I_{k+1}-I_k) \\\\\phantom{WWWWWWW..}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}I_{k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}I_k=\sum\limits_{k={\red{2}}}^{{\red{n}}}I_{{\red{k}}}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}I_k \\\\\phantom{WWWWWWW..}=(I_2+I_3+\cdots+I_{n-1}+I_n)-(I_1+I_2+I_3+\cdots+I_{n-1}) \\\phantom{WWWWWWW..}=I_n-I_1 \\\\\Longrightarrow\forall n\ge2,\ S_n=I_n-I_1 \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall n\ge2,\ I_n=I_1+S_n}$
4. b) Nous devons montrer que : $\boxed{\forall\, n\ge1, \ 0\le I_n\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}$ .
Nous devons donc montrer que : $\forall\, n\ge1, \ 0\le \int\limits_1^2\dfrac{1}{x(1+x)^n}\,\text{d}x\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

$\text{D'une part, }\forall x\in[1\,;\,2],\ \boxed{1\le x\le2} \\\\\text{D'autre part, }\forall x\in[1\,;\,2],\ 1+1\le1+x\le1+2 \\\phantom{WWWWWWWW...WW}2\le1+x\le3 \\\phantom{WWWWWWWW...WW}\boxed{2^n\le(1+x)^n\le3^n} \\\\\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}1\le x\le2\\2^n\le(1+x)^n\le3^n\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ 1\times2^n\le x(1+x)^n\le2\times3^n \\\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow 2^n\le x(1+x)^n\le2\times3^n \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow 0\le\dfrac{1}{2\times3^n}\le \dfrac{1}{x(1+x)^n}\le\dfrac{1}{2^n} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow 0\le \dfrac{1}{x(1+x)^n}\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow 0\le \int\limits_1^2\dfrac{1}{x(1+x)^n}\,\text{d}x\le\int\limits_1^2\dfrac{1}{2^n}\ \text{d}x$

Or $\int\limits_1^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\text{d}x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times\int\limits_1^21\,\text{d}x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times[x]\limits_1^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times(2-1)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

Par conséquent, $\forall\, n\ge1, 0\le \int\limits_1^2\dfrac{1}{x(1+x)^n}\,\text{d}x\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ , soit $\boxed{\forall\, n\ge1, \ 0\le I_n\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}$ ${\red{4.\ \text{c) }}}\ \left\lbrace\begin{matrix}0\le I_n\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\overset{}{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0\ \ \ (\text{car }0<\dfrac{1}{2}<1)}\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{théorème des gendarmes}}{\Longrightarrow}\ \ \ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0}$

$\left\lbrace\begin{matrix}I_n=I_1+S_n\\\overset{}{\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0}\\\overset{}{I_1=\ln\dfrac{4}{3}}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}S_n=I_n-I_1\\\overset{}{\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0}\\\overset{}{I_1=\ln\dfrac{4}{3}}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \lim\limits_{n\to+\infty}S_n=0-\ln\dfrac{4}{3}=-\ln\dfrac{4}{3} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW.}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\ln\dfrac{3}{4}}$

Partie C

Posons pour tout entier naturel n , $\Gamma _n=\sum\limits_{k=0}^nI_k.$

${\red{1.}}\ \sum\limits_{k=0}^nf_k(x)=\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{1}{x(1+x)^k}=\dfrac{1}{x}\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{1}{(1+x)^k} \\\\\Longrightarrow\boxed{\sum\limits_{k=0}^nf_k(x)=\dfrac{1}{x}\sum\limits_{k=0}^n\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^k}$

Or $\sum\limits_{k=0}^n\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^k$ est la somme de (n +1) termes d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{1+x}$ dont le premier terme est $\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^0=1.$

$\sum\limits_{k=0}^n\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^k={\blue{\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}}} \\\phantom{WWWWW..}=1\times\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{1+x}}=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^{n+1}}{\dfrac{1+x-1}{1+x}}=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^{n+1}}{\dfrac{x}{1+x}} \\\phantom{WWWWW..}=\dfrac{x+1}{x}\left[1-\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^{n+1}\right] \\\\\phantom{WWWWW..}=\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{x+1}{x}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^{n+1} \\\\\phantom{WWWWW..}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}\times(x+1)\dfrac{1}{(1+x)^{n+1}} \\\\\phantom{WWWWW..}=1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}\times\dfrac{1}{(1+x)^n} \\\\\phantom{WWWWW..}=1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^{n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\sum\limits_{k=0}^n\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^k=1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^{n}}$

Par conséquent,

$\sum\limits_{k=0}^nf_k(x)=\dfrac{1}{x}\sum\limits_{k=0}^n\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^k=\dfrac{1}{x}\times\left[1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^{n}\right] \\\\\phantom{WWW...}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^{n} =\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}\dfrac{1}{(1+x)^n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{\dfrac{1}{x(1+x)^n}}{x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\sum\limits_{k=0}^nf_k(x)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{f_n(x)}{x}}$

${\red{2.}}\ \Gamma _n=\sum\limits_{k=0}^nI_k=\sum\limits_{k=0}^n\int\limits_1^2f_k(x)\,\text{d}x=\int\limits_1^2\sum\limits_{k=0}^nf_k(x)\,\text{d}x=\int\limits_1^2[\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{f_n(x)}{x}]\,\text{d}x \\\overset{}{\phantom{WW}=\int\limits_1^2\dfrac{1}{x^2}\,\text{d}x+\int\limits_1^2\dfrac{1}{x}\,\text{d}x-\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x}$

$\Longrightarrow\Gamma _n=\left[-\dfrac{1}{x}\right]\limits_1^2+\left[\overset{}{\ln x}\right]\limits_1^2-\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x \\\phantom{\Longrightarrow\Gamma _n}=-\dfrac{1}{2}-(-1)+\ln2-\ln1-\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x \\\phantom{\Longrightarrow\Gamma _n}=-\dfrac{1}{2}+1+\ln2-0-\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x \\\phantom{\Longrightarrow\Gamma _n}=\dfrac{1}{2}+\ln2-\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x \\\phantom{\Longrightarrow\Gamma _n}=\dfrac{1}{2}\ln\text{e}+\ln2-\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x \\\phantom{\Longrightarrow\Gamma _n}=\ln\sqrt{\text{e}}+\ln2-\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x \\\Longrightarrow\boxed{\Gamma _n=\ln(2\sqrt{\text{e}})-\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x}$

3. Montrons que pour tout entier naturel n , $0\le\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x\le I_n.$
$x\in[1\,;\,2]\Longleftrightarrow1\le x\le2 \\\phantom{x\in[1\,;\,2]}\Longleftrightarrow\dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{x} \le1 \\\overset{}{\phantom{x\in[1\,;\,2]}\Longrightarrow0\le\dfrac{1}{x} \le1} \\\overset{}{\phantom{x\in[1\,;\,2]}\Longrightarrow0\times f_n(x)\le\dfrac{1}{x} \times f_n(x)\le1\times f_n(x)} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWw}(\text{car }f_n(x)>0 - \text{voir tableau de variation de }f_n \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWw}\text{Partie A - Question 1)} \\\overset{}{\phantom{x\in[1\,;\,2]}\Longrightarrow0\le\dfrac{f_n(x)}{x}\le f_n(x)} \\\overset{}{\phantom{x\in[1\,;\,2]}\Longrightarrow0\le\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x\le \int\limits_1^2f_n(x)\,\text{d}x} \\\overset{}{\phantom{x\in[1\,;\,2]}\Longrightarrow\boxed{0\le\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x\le I_n}}$

${\red{4.}}\ \left\lbrace\begin{matrix}0\le\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x\le I_n\\\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{théorème des gendarmes}}{\Longrightarrow}\ \ \ \lim\limits_{n\to+\infty}\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x=0 \\\\\\ \left\lbrace\begin{matrix}\Gamma _n=\ln(2\sqrt{\text{e}})-\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x\\\lim\limits_{n\to+\infty}\int\limits_1^2\dfrac{f_n(x)}{x}\,\text{d}x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \lim\limits_{n\to+\infty}\Gamma _n=\ln(2\sqrt{\text{e}})-0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{{\blue{\lim\limits_{n\to+\infty}\Gamma _n=\ln(2\sqrt{\text{e}})}}}$

Publié par malou le 14-02-2021

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