Fiche de mathématiques

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BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE

SESSION 2020

MATHÉMATIQUES

Sciences et Technologies du Management et de la Gestion

DURÉE DE L'ÉPREUVE : 3 heures - COEFFICIENT : 3

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé,
l'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.

Le candidat doit traiter les 4 exercices.

Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1

Les membres d'un centre de loisirs ont le choix entre différentes activités. Parmi celles- ci figurent des activités sportives, des activités artistiques et d'autres activités. On sait que :
${\white{ww}}\bullet\white w$ 60 % des membres pratiquent une activité sportive ;
${\white{ww}}\bullet\white w$ parmi ceux qui pratiquent une activité sportive, 5 % pratiquent aussi une activité artistique ;
${\white{ww}}\bullet\white w$ parmi ceux qui ne pratiquent pas d'activité sportive, 27 % ont choisi une activité artistique.
On choisit un membre du centre de loisirs au hasard et on de finit les événements suivants :

${\white{ww}}$ S : « la personne pratique une activité sportive »
${\white{ww}}$ A : « la personne pratique une activité artistique »
${\white{ww}}$ $\bar S \text { et } \bar A$ désignent respectivement les événements contraires de S et A.

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

Bac STMG Nouvelle Calédonie 2020 : image 3

2. Définir par une phrase l'événement $S\cap A$ , puis calculer sa probabilité.

3. Montrer que la probabilité de l'événement A est 0,138.

4. Sachant que la personne choisie pratique une activité artistique, quelle est la probabilité qu'elle pratique une activité sportive ? On arrondira le résultat au millième.

5 points

exercice 2

Les deux parties sont indépendantes

Partie A
Le tableau ci-dessous donne les quantités de marchandises transportées dans le monde par voie maritime entre 2000 et 2017, exprimées en millions de tonnes.

Bac STMG Nouvelle Calédonie 2020 : image 4

Le nuage de points de coordonnées (x_i;y_i) est donné en annexe à rendre avec la copie.

1. Expliquer pourquoi ce nuage de points permet d'envisager un ajustement affine.

2. Déterminer à l'aide de la calculatrice l'équation réduite de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième.

3. On décide de modéliser la quantité de marchandises y en fonction du rang de l'année x par l'expression $y = 280x + 5800.$
Tracer la droite D d'équation $y = 280x + 5800$ dans le repère donné en annexe à rendre avec la copie.

4. Estimer, selon le modèle de la question 3., la quantité de marchandises transportées par voie maritime en 2025, en expliquant la démarche suivie.

Partie B

Un navire porte-conteneurs fait le trajet Shanghai (Chine) - Le Havre (France).
Une étude permet de modéliser son temps de trajet, exprimé en jours, par une variable aléatoire X suivant la loi normale d'espérance 26 et d'écart type 2.

1. Déterminer la probabilité $P(X \le 26)$ et en donner une interprétation dans le contexte étudié .
2. Calculer la probabilité que le navire mette plus de 28 jours pour faire le trajet.
On arrondira le résultat au millième.

5 points

exercice 3

Bac STMG Nouvelle Calédonie 2020 : image 7

Partie A
Dans cette partie, les résultats seront arrondis à 0,1%.
1. Calculer le taux d'évolution global du nombre de papillons Monarques entre 1997 et 2019.

2. Montrer que le taux d'évolution annuel moyen du nombre de papillons Monarques entre 1997 et 2019 est -13,8%.

Partie B
On suppose qu'à partir de l'année 2019, le nombre de papillons baisse de 14% chaque année.
On décide de modéliser le nombre de papillons Monarques par une suite (u_n).
Pour tout entier naturel n, u_n désigne le nombre de milliers de papillons Monarques pour l'année (2019+n) .
On a donc u₀=50.

1. Montrer que u₁=43.
2. Justifier que la suite (u_n) est une suite géométrique de raison 0,86.
3. Exprimer, pour tout entier naturel n, u_n en fonction de n.
4. Estimer selon ce modèle le nombre de papillons Monarques en 2029. On arrondira le résultat au millier.
5. On souhaite calculer le rang de l'année à partir de laquelle le nombre de papillons Monarques sera strictement inférieur à 10 milliers.
Recopier et compléter l'algorithme suivant, afin qu'après exécution, la variable N contienne la valeur recherchée.

Bac STMG Nouvelle Calédonie 2020 : image 6

6 points

exercice 4

Une entreprise fabrique des petites figurines pour enfant. Pour s'assurer de la qualité de ses produits, l'entreprise ne réalise pas plus de 18 milliers de figurines par mois et on suppose que chaque figurine produite est vendue.
On note x le nombre de milliers de figurines vendues par mois, avec x appartient

[0 ; 18].

Partie A : lecture graphique
On a représenté sur le graphique ci-dessous le chiffre d'affaires mensuel et le coût de production mensuel en fonction du nombre de milliers de figurines produites.
La courbe C représente le coût de production et la courbe R le chiffre d'affaires mensuel.
A l'aide du graphique répondre aux questions suivantes :

1. Quel est le montant du chiffre d'affaires mensuel obtenu pour 10 milliers de figurines vendues ?
2. Donner sous forme d'intervalle le nombre de milliers de figurines vendues pour lequel l'entreprise réalise des profits.

Bac STMG Nouvelle Calédonie 2020 : image 5

Partie B : étude du bénéfice mensuel
Pour tout x appartenant à l'intervalle [0 ; 18], on note B(x) le bénéfice mensuel de l'entreprise en euros. On a :
$B(x)=-230x²+4140x-12880.$
1. On admet que pour tout x appartenant à l'intervalle [0 ; 18] :
$B(x)=-230(x²-18x+56).$

$\white ww$ a. Résoudre l'équation suivante par le calcul : $x²-18x+56=0.$
$\white ww$ b. En déduire les points morts de production, c'est-à-dire les nombres de figurines produites pour lesquels le bénéfice est nul.

2. On note B la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 18] par :
$B(x)=-230x²+4140x-12880.$
$\white ww$ a. Calculer $B'(x)$ pour x appartenant à [0 ; 18].
$\white ww$ b. Etudier le signe de $B'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction B sur l'intervalle [0 ; 18].
$\white ww$ c. Combien l'entreprise doit-elle vendre de figurines pour que le bénéfice soit maximal ? Quel est le montant de ce bénéfice maximal ?

Annexe à rendre avec la copie

Exercice 2

Voir la correction

Bac STMG Nouvelle Calédonie 2020

4 points

exercice 1

1. Arbre pondéré correspondant à la situation.

Bac STMG Nouvelle Calédonie 2020 : image 10

2. L'événement $\overset{{\white{.}}}{S\cap A}$ peut se définir par : "La personne choisie pratique une activité sportive et une activité artistique".

$P(S\cap A)=P(S)\times P_S(A) \\\phantom{P(S\cap A)}=0,6\times 0,05 \\\phantom{P(S\cap A)}=0,03 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(S\cap A)=0,03}$

3. Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P(A).}$
Les événements $\overset{{\white{.}}}{S}$ et $\overline{S}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(A)=P(S\cap A)+P(\overline{S}\cap A) \\\phantom{P(A)}=0,03+P(\overline{S})\times P_{\overline{S}}(A) \\\phantom{P(A)}=0,03+0,4\times0,27 \\\phantom{P(A)}=0,03+0,108 \\\phantom{P(A)}=0,138 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A)=0,138}$

4. Nous devons déterminer $P_A(S).$

$P_A(S)=\dfrac{P(S\cap A)}{P(A)} \\\\\phantom{P_A(S)}=\dfrac{0,03}{0,138} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_A(S)\approx0,217}$
D'où, sachant que la personne choisie pratique une activité artistique, la probabilité qu'elle pratique une activité sportive est environ égale à 0,217 (valeur arrondie au millième).

5 points

exercice 2

Partie A

1. Ce nuage de points permet d'envisager un ajustement affine car les points sont relativement bien alignés.

2. L'équation réduite de la droite de régression linéaire de y en x est de la forme y = ax + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a = 281,010076 et b = 5813,38613.
Donc l'équation réduite de la droite de régression linéaire de y en x est y = 281,0x + 5813,4 (les nombres sont arrondis au dixième).

3. On décide de modéliser la quantité de marchandises y en fonction du rang de l'année x par l'expression $\overset{{\white{.}}}{y = 280x + 5800}$ .

Représentation graphique de la droite D d'équation y = 280x + 5800.

Bac STMG Nouvelle Calédonie 2020 : image 9

4. L'année 2025 correspond au rang 25.
Dans l'équation de D , remplaçons x par 25 et calculons la valeur de y .

$y=280\times25+5800=7000+5800\\\\\Longrightarrow\ \ \ \boxed{y=12800}$
Cette valeur peut également être obtenue graphiquement (voir graphique ci-dessus).
Par conséquent, en 2025, la quantité de marchandises transportées par voie maritime est estimée à 12 800 millions de tonnes..

Partie B

Une étude permet de modéliser le temps de trajet du navire, exprimé en jours, par une variable aléatoire X suivant la loi normale d'espérance

= 26 et d'écart type sigma

= 2.

1. Nous savons que si X est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance

, alors $\overset{{\white{.}}}{P(X\le\mu )=0,5.}$
Puisque

= 26, nous obtenons $\overset{{\white{.}}}{\boxed{P(X\le26)=0,5.}}$
Donc la probabilité que le trajet dure moins de 26 jours est égale à 0,5, soit 50%.

2. Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P(X>28).}$

$P(X>28)=P(X\ge 26)-P(26<X\le28) \\\phantom{P(X>28)}=0,5-P(26<X\le28)\phantom{www}(\text{car }P(X\ge26)=P(X\ge\mu)=0,5) \\\phantom{P(X>28)}\approx0,5-0,34134474\phantom{www}(\text{par la calculatrice}) \\\phantom{P(X>28)}\approx0,15865526 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X>28)\approx0,159}$
Par conséquent, la probabilité que le navire mette plus de 28 jours pour faire le trajet est environ égale à 0,159 (valeur arrondie au millième).

5 points

exercice 3

Tous les ans à partir de fin novembre, des volontaires d'une organisation non gouvernementale de protection de la nature parcourent les côtes de la Californie pour estimer le nombre de papillons Monarques.
On dispose des données suivantes :

$\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline\cellcolor{green}{\text{Année}}&&1997&&&2000&&&2006&&&2012&&&2019& \\\hline \cellcolor{green}\text{Nombre de papillons Monarques en milliers}&&1\,300&&&400&&&200&&&90&&&50& \\\hline \end{array}$

Partie A

1. Le taux d'évolution global entre deux valeurs se calcule (en pourcentage) par la formule : $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{\text{Valeur d'arrivée}-\text{Valeur de départ}}{\text{Valeur de départ}}\times100}$
Donc le taux d'évolution global du nombre de papillons Monarques entre 1997 et 2019 est égal à $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{50-1\,300}{1\,300}\times100\approx\boxed{-96,2\,\%}}$

2. Si t est le taux annuel moyen du nombre de papillons Monarques entre 1997 et 2019, alors

${\white{www}}$ $(1+t)^{22}=1-0,962\Longleftrightarrow(1+t)^{22}=0,038 \\\phantom{(1+t)^{22}=1-0,912}\Longleftrightarrow1+t=0,038^{\frac{1}{22}} \\\phantom{(1+t)^{22}=1-0,912}\Longrightarrow1+t\approx0,862 \\\phantom{(1+t)^{22}=1-0,912}\Longrightarrow t\approx0,862-1 \\\phantom{(1+t)^{22}=1-0,912}\Longrightarrow t\approx-0,0138 \\\\\Longrightarrow\boxed{t\approx-13,8\,\%}$
Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen du nombre de papillons Monarques entre 1997 et 2019 est -13,8%.

Partie B

On suppose qu'à partir de l'année 2019, le nombre de papillons baisse de 14% chaque année.
On décide de modéliser le nombre de papillons Monarques par une suite (u_n ).
Pour tout entier naturel n , u_n désigne le nombre de milliers de papillons Monarques pour l'année (2019 + n ) .
On a donc u ₀ = 50.

1. Une baisse de 14 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,14 = 0,86.
D'où $u_1=0,86\times u_0=0,86\times50\Longrightarrow\boxed{u_1=43}$

2. u_n désigne le nombre de milliers de papillons Monarques pour l'année (2019 + n ) .
Une baisse de 14 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,14 = 0,86.
Le nombre de milliers de papillons Monarques u _n+1 de l'année "2019 + (n +1)" se calcule donc comme suit :
$\boxed{u_{n+1}=0,86\times u_n}.$

Par conséquent, la suite (u_n ) est une suite géométrique de raison q = 0,86 dont le premier terme
est u ₀ = 50.

3. Le terme général de la suite (u_n ) est $u_n=u_0\times q^{n}$ .
Donc, pour tout n supegal

0, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{u_n=50\times0,86^{n}}}$

4. L'année 2029 correspond au rang n = 10.
Or $\overset{{\white{.}}}{u_{10}=50\times0,86^{10}\approx11,065.}$
Par conséquent, en 2029, on peut estimer qu'il y aura environ 11000 papillons Monarques (valeur arrondie au millier).

5. Algorithme complété :

${\white{wwwwwww}}$ $\begin{array}{|c|}\hline U\longleftarrow50\phantom{wwwwwwww}\\N\longleftarrow0\phantom{wwwwwwww0}\\\text{Tant que }U\ {\red{\ge10}}\phantom{wwww} \\\phantom{ww}U\longleftarrow\,{\red{0,86\times U}} \\N\longleftarrow N+1 \\\text{Fin Tant que}\phantom{wwwww0}\\\hline\end{array}$

Remarque : A la fin de l'algorithme, N = 11, ce qui signifie dans le contexte de l'exercice que dans 11 ans, soit en 2030, le nombre de papillons Monarques sera strictement inférieur à 10 milliers.

6 points

exercice 4

Partie A

Ci-dessous le graphique représentant le chiffre d'affaires mensuel et le coût de production mensuel en fonction du nombre de milliers de figurines produites.
La courbe C représente le coût de production et la courbe R le chiffre d'affaires mensuel.

Bac STMG Nouvelle Calédonie 2020 : image 8

1. Graphiquement, nous observons que le chiffre d'affaires mensuel obtenu pour 10 milliers de figurines vendues s'élève à 50000 euros car R (10) = 50000.

2. L'entreprise réalise un profit lorsque le chiffre d'affaires mensuel est supérieur au coût de production.
Nous devons donc déterminer l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles la courbe R est au-dessus de la courbe C .
Graphiquement, nous observons que cet ensemble est l'intervalle ]4 ; 14[.
Par conséquent, l'entreprise réalise des profits lorsque le nombre de figurines vendues se situe entre 4000 et 14000.

Partie B

1. On admet que pour tout x appartenant à l'intervalle [0 ; 18] : $\overset{{\white{.}}}{B(x)=-230(x^2-18x+56).}$

1. a) Nous devons résoudre dans l'intervalle [0 ; 18], l'équation $x^2-18x+56=0.$

$\underline{\text{Discriminant}}:\Delta=(-18)^2-4\times1\times56=324-224=100>0 \\\\\underline{\text{Racines}}:x_1=\dfrac{18-\sqrt{100}}{2}=\dfrac{18-10}{2}=4 \\\\\phantom{\underline{\text{Racines}}:}x_2=\dfrac{18+\sqrt{100}}{2}=\dfrac{18+10}{2}=14$
D'où l'ensemble des solutions dans l'intervalle [0 ; 18] de l'équation $x^2-18x+56=0$ est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace4\,;14\rbrace}}$ .

${\red{1.\ \text{b)}}}\ B(x)=0\Longleftrightarrow-230(x^2-18x+56)=0 \\\phantom{{\red{1.\ \text{b)}}}\ B(x)=0}\Longleftrightarrow x^2-18x+56=0 \\\phantom{{\red{1.\ \text{b)}}}\ B(x)=0}\Longleftrightarrow x=4\ \text{ou }\ x=14{\white{www.}}(\text{voir question 1. a)}$
Par conséquent, le bénéfice est nul si l'entreprise produit 4000 figurines ou 14000 figurines.
Ces valeurs sont les points morts de production.

2. On note B la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 18] par : $B(x)=-230x^2+4140x-12880.$

2. a) Déterminons l'expression de la dérivée B' (x ).

$B'(x)=-230(x^2)'+4140x'-12880' \\\phantom{B'(x)}=-230\times2x+4140\times1-0 \\\phantom{B'(x)}=-460x+4140 \\\phantom{B'(x)}=460(-x+9) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in[0\,;18],\ B'(x)=460(-x+9)}$

2. b) Puisque 460 > 0, le signe de B' (x ) est le signe de -x + 9.

${\white{wwwwww}}\begin{matrix}-x+9<0\Longleftrightarrow -x<-9\\\phantom{-x+9.}\Longleftrightarrow x>9\\\\-x+9=0\Longleftrightarrow x=9\\\\-x+9>0\Longleftrightarrow -x>-9\\\phantom{-x+9.}\Longleftrightarrow x<9\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&9&&18\\&&&&&\\\hline -x+9&&+&0&-&\\\hline&&&&&\\B'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$
Par conséquent, si 0 x < 9, alors B' (x ) > 0
${\white{wwwwwww.ww}}$ si x = 9 , alors B' (x ) = 0
${\white{wwwwwww.ww}}$ si 9 < x 18, alors B' (x ) < 0.

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction B sur l'intervalle [0 ; 18].

$\begin{matrix}\underline{\text{Calculs préliminaires}}\\B(0)=-230\times0^2+4140\times0-12880\\\Longrightarrow B(0)=-12800\\\\B(9)=-230\times9^2+4140\times9-12880\\\Longrightarrow B(9)=5750\\\\B(18)=-230\times18^2+4140\times18-12880\\\Longrightarrow B(18)=-12800\end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&9&&18\\&&&&&\\\hline -x+9&&+&0&-&\\\hline&&&&&\\B'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&5750&& \\ B(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &-12800&&&&-12800 \\ \hline \end{array}\end{matrix}$

2. c) Sur base du tableau de variations de la fonction B , nous déduisons que la fonction B admet un maximum pour x = 9, ce maximum étant égal à 5750.
Par conséquent, pour que le bénéfice soit maximal, l'entreprise doit vendre 9000 figurines. Le bénéfice sera alors égal à 5750 euros.

Publié par malou le 09-06-2021

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