Fiche de mathématiques

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B A C C A L A U R É AT G É N É R A L

SESSION 2020

MATHÉMATIQUES - Série ES

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Durée de l'épreuve : 3 heures

Coefficient : 5

MATHÉMATIQUES - Série L

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Durée de l'épreuve : 3 heures

Coefficient : 4

L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

Seules les affirmations 1, 2 et 3 s'appuient sur la figure ci-contre dans laquelle :

Bac ES-L obligatoire et spécialité Polynésie remplacement 2020 : image 1

Affirmation 2

$\white{wwwww}$ Toute primitive de la fonction g est strictement croissante sur [0;3].

Affirmation 3

$\white{wwwww}$ Le point B est un point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction g.

Affirmation 4

$\white{wwwww}$ On considère la fonction f définie et dérivable sur R, d'expression $f (x ) = x \,\text e ^{3 x }$ .
$\white{wwwww}$ La fonction dérivée de f notée f ' est définie sur R par $f ' ( x) = 3 \text e ^{3 x }$ .

5 points

exercice 2 : commun à tous les candidats

Les parties de cet exercice sont indépendantes.

Le syndrome d'apnée du sommeil se manifeste par des interruptions répétées de la respiration pendant le sommeil. Ce syndrome peut être dû à plusieurs facteurs.

Partie A
Sauf indication contraire, les résultats numériques seront approchés à 10 ^-4 près.

Dans cette partie, on cherche à étudier le lien entre le surpoids et le syndrome d'apnée du sommeil dans une population donnée.
Parmi les personnes participant à l'étude, 41 % sont en surpoids.
On observe que parmi les individus en surpoids, 12 % souffrent du syndrome d'apnée du sommeil, et que parmi les individus qui ne sont pas en surpoids, 4 % souffrent du syndrome d'apnée du sommeil.
Pour tout événement E, on note $\bar {\text E}$ l'événement contraire de E et p(E) sa probabilité. Pour tout événement F de probabilité non nulle, on note p _F (E) la probabilité de E sachant que F est réalisé.
On choisit au hasard une personne ayant participé à l'étude, et on note :
$\bullet \white {www}$ S l'événement : « la personne est en surpoids » ;
$\bullet \white {www}$ A l'événement : « la personne souffre d'apnée du sommeil ».
1. Représenter cette situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit en surpoids et souffre d'apnée du sommeil.
3. Montrer que p(A) = 0,0728. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
4. On choisit au hasard une personne qui souffre du syndrome d'apnée du sommeil. Quelle est la probabilité que cette personne soit en surpoids ?

Partie B

Dans cette partie, on s'intéresse au cas particulier d'un patient souffrant d'apnée du sommeil.

Pendant plusieurs nuits, on observe son rythme respiratoire au cours de son sommeil. Ces examens permettent d'établir que la durée, en seconde, des apnées de ce patient peut être modélisée par une variable aléatoire D qui suit la loi normale d'espérance $\mu= 22$ et d'écart-type $\sigma = 4$ .

1. Donner une valeur approchée à 10 ^-2 près de la probabilité p(14 infegal

30) .
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
2. Calculer, à 10^-2près, une valeur approchée de la probabilité qu'une apnée de ce patient dure plus de 30 secondes.

Partie C

Une entreprise d'équipement médical commercialise un dispositif de ventilation en pression positive continue. Ce dernier permet de maintenir ouvertes les voies respiratoires du patient, prévenant ainsi les apnées du sommeil.
L'entreprise affirme que 91 % des patients qui utilisent le dispositif ressentent une amélioration de la qualité de leur sommeil.
Une étude est menée sur 348 patients auxquels on fait tester le dispositif. Après plusieurs nuits, 290 personnes déclarent avoir ressenti une amélioration de la qualité de leur sommeil.
Peut-on remettre en cause l'affirmation de l'entreprise d'équipement médical ? Justifier la réponse.

5 points

exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.

Au 31 décembre 2017, un magazine possède 450 000 abonnés. On note que chaque année, seuls 80 % des abonnés de l'année précédente renouvellent leur abonnement auxquels viennent s'ajouter 180 000 nouveaux abonnés.

On note (u _n ) une suite modélisant le nombre d'abonnés, exprimé en millier, au 31 décembre de l'année (2017+n). On a donc u ₀= 450 .

1. Calculer, selon ce modèle, le nombre d'abonnés au 31 décembre 2018.
2. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n, u _n+1 = 0 ,8 u _n +180 .
3. On considère la suite (v _n ) définie pour tout entier naturel n, par v _n= u _n-900 .
$\white{wwwww}$ a. Montrer que la suite (v _n ) est une suite géométrique de raison 0,8. Préciser son premier terme.
$\white{wwwww}$ b. Soit n un entier naturel. Exprimer v _n en fonction de n.
$\white{wwwww}$ c. Montrer que pour tout entier naturel n, u _n = -450 multiplie

0,8 ⁿ + 900 .

4. La direction du magazine affirme qu'à long terme, le nombre d'abonnés dépassera 900 000.
Que penser de cette affirmation ? Justifier la réponse.

5. En s'appuyant sur ce modèle, au 31 décembre de quelle année le nombre d'abonnés dépassera-t-il 800 000 pour la première fois ?

6. La direction du magazine s'engage à verser chaque année 1 euro par abonnement à une association caritative.
On dispose de l'algorithme ci-dessous :

Bac ES-L obligatoire et spécialité Polynésie remplacement 2020 : image 2

On affecte 3 à la variable N et on exécute l'algorithme.
$\white{wwwww}$ a. Après l'exécution, quelle valeur numérique contient la variable S ?
$\white{wwwww}$ b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

6 points

exercice 4 : commun à tous les candidats

On étudie l'évolution du taux de natalité d'une population entre 1750 et 1870. On admet que le taux de natalité peut être modélisé par la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 120] par :
$f(x)=0,1+\dfrac{4,3}{1+\text e ^{0,1x-6}}$
où :
$\bullet \white {www}$ x représente le temps, exprimé en années, écoulé depuis 1750,

$\bullet \white {www}$ f (x) représente le taux de natalité, exprimé en pourcentage, de la population totale.
On admet que la fonction f est dérivable sur [0 ; 120] et on note f ' sa fonction dérivée.

Sur le graphique ci-dessous, la courbe $\mathscr C$ représente la fonction f , et la droite $\mathscr T$ est la tangente à la courbe $\mathscr C$ au point A d'abscisse 38.

Bac ES-L obligatoire et spécialité Polynésie remplacement 2020 : image 3

Partie A

1. Avec la précision permise par le graphique :
$\white{wwwww}$ a. Donner la valeur approchée de $f'(38).$
$\white{wwwww}$ b. Recopier, parmi les propositions suivantes, celle qui est exacte :

$7\le \begin{aligned} \int_{10}^{30} f(x)\;\text d x \end{aligned} \le 8 \qquad\quad 130 \le \begin{aligned} \int_{30}^{120} f(x)\;\text d x \end{aligned} \le 190 \qquad\quad 700 \le \begin{aligned} \int_{80}^{100} f(x)\; \text d x \end{aligned} \le 800 .$

2. $\white{vwww}$ a. Vérifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle [0 ; 120] :
$f'(x)=-\dfrac{ 0,43 \text e ^{0,1x-6}}{ \left(1+\text e ^{0,1x-6}\right)^2}$
$\white{wwvvww}$ b. retrouver le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 120].

3. $\white{vwvww}$ a. Justifier que sur l'intervalle [0 ; 120] , l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution que l'on appelle alpha

.
$\white{wwwvww}$ b. Encadrer alpha

par deux entiers consécutifs.

Partie B

1. On admet que sur l'intervalle [0 ; 120] , la fonction g d'expression $g(x)=\dfrac{ 4,3}{ 1+\text e ^{0,1x-6}}$ a pour primitive la fonction G d'expression $G(x)=-43\ln \left(1+ \text e ^{-0,1x+6}\right).$
$\white{wwwvww}$ a. Donner une primitive F de la fonction f sur [0 ; 120].
$\white{wwwvww}$ b. En déduire la valeur exacte de $\begin{aligned} \int_{30}^{120} f(x)\;\text d x \end{aligned} .$

2. Calculer le taux de natalité moyen entre 1780 et 1870. On en donnera une valeur approchée à 0,01 % près.

Voir la correction

Bac ES-L obligatoire et spécialité Polynésie remplacement 2020

4 points

exercice 1 : commun à tous les candidats

Bac ES-L obligatoire et spécialité Polynésie remplacement 2020 : image 6

Seules les affirmations 1, 2 et 3 s'appuient sur la
figure ci-contre dans laquelle :

la courbe C représente une fonction g définie
et strictement croissante sur

,

le point A est le point de la courbe C d'abscisse 1
et le point B celui d'abscisse 2,

la droite (d) est la tangente à la courbe C
au point A,

la tangente (t) à la courbe C au point B
est horizontale.

${\red{\text{Affirmation 1 : }}}{\blue{g'(1)=0}}\longrightarrow {\red{\text{Affirmation fausse.}}}$

g' (1) = 0 signifie que le coefficient directeur de la droite (d) est nul, soit que la droite (d) est parallèle à l'axe des abscisses, ce qui n'est pas le cas.
Donc $\overset{{\white{.}}}{g'(1)\neq0.}$
Par conséquent, l'affirmation 1 est fausse.

${\red{\text{Affirmation 2 : }}}{\blue{\text{Toute primitive de la fonction }g\text{ est strictement croissante sur [0 ; 3]} }}\longrightarrow {\red{\text{Affirmation fausse.}}}$

La dérivée d'une primitive de la fonction g est la fonction g .
Si toute primitive de la fonction g était strictement croissante sur [0 ; 3], sa dérivée serait strictement positive sur [0 ; 3].
D'où g serait strictement positive sur [0 ; 3], ce qui n'est pas le cas sur l'intervalle [0 ; 1[.
Par conséquent, l'affirmation 2 est fausse.

${\red{\text{Affirmation 3 : }}}{\blue{\text{Le point B est un point d'inflexion de la courbe}}}\\ {\blue{\text{représentative de la fonction }}g}\longrightarrow {\red{\text{Affirmation vraie.}}}$

La tangente (t) à la courbe C au point B traverse cette courbe en B.
Donc le point B est un point d'inflexion de la courbe C .
Par conséquent, l'affirmation 3 est vraie.

${\red{\text{Affirmation 4 : }}}{\blue{\text{On considère la fonction }f\text{ définie et dérivable sur }\R,}}{\blue{\text{ d'expression }}f(x)=x\,\text{e}^{3x}.}\\ {\blue{\text{La fonction dérivée de }f\text{ notée }f'\text{ est définie sur }\R\text{ par }f'(x)=3\,\text{e}^{3x}.}}\longrightarrow {\red{\text{Affirmation fausse.}}}$

$f(x)=x\,\text{e}^{3x}\Longrightarrow f'(x)=x'\times\text{e}^{3x}+x\times(\text{e}^{3x})' \\\phantom{f(x)=x\,\text{e}^{3x}}\Longrightarrow f'(x)=1\times\text{e}^{3x}+x\times(3x)'\,\text{e}^{3x} \\\phantom{f(x)=x\,\text{e}^{3x}}\Longrightarrow f'(x)=\text{e}^{3x}+3x\,\text{e}^{3x} \\\phantom{f(x)=x\,\text{e}^{3x}}\Longrightarrow f'(x)=(1+3x)\,\text{e}^{3x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f\,'(x)=(1+3x)\,\text{e}^{3x}\neq3\text{e}^{3x}}$

5 points

exercice 2 : commun à tous les candidats

Partie A

1. Parmi les personnes participant à l'étude, 41 % sont en surpoids.
On observe que parmi les individus en surpoids, 12 % souffrent du syndrome d'apnée du sommeil, et que parmi les individus qui ne sont pas en surpoids, 4 % souffrent du syndrome d'apnée du sommeil.
Arbre pondéré représentant la situation.

Bac ES-L obligatoire et spécialité Polynésie remplacement 2020 : image 4

2. Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{p(S\cap A).}$

$p(S\cap A)=p(S)\times p_S(A) \\\phantom{p(S\cap A)}=0,41\times 0,12 \\\phantom{p(S\cap A)}=0,0492 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(S\cap A)=0,0492}$
Par conséquent, la probabilité que la personne choisie soit en surpoids et souffre d'apnée du sommeil est égale à 0,0492.

3. Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{p(A).}$

Les événements $\overset{{\white{.}}}{S}$ et $\overline{S}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$p(A)=p(S\cap A)+p(\overline{S}\cap A) \\\phantom{p(A)}=0,0492+p(\overline{S})\times P_{\overline{S}}(A) \\\phantom{p(A)}=0,0492+0,59\times0,04 \\\phantom{p(A)}=0,0492+0,0236 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(A)=0,0728}$

Donc la probabilité que la personne choisie souffre d'apnée du sommeil est égale à 0,0728, ce qui représente environ 7 % de l'ensemble des personnes participant à l'étude.

4. Nous devons déterminer $p_A(S).$

$p_A(S)=\dfrac{p(S\cap A)}{p(A)}=\dfrac{0,0492}{0,0728} \\\\\Longrightarrow\boxed{p_A(S)=\dfrac{0,0492}{0,0728}\approx0,6758}$
D'où, sachant que la personne choisie souffre du syndrome d'apnée du sommeil, la probabilité qu'elle soit en surpoids est environ égale à 0,6758 (valeur arrondie au dix-millième).

Partie B

Dans cette partie, on s'intéresse au cas particulier d'un patient souffrant d'apnée du sommeil.
Pendant plusieurs nuits, on observe son rythme respiratoire au cours de son sommeil. Ces examens permettent d'établir que la durée, en seconde, des apnées de ce patient peut être modélisée par une variable aléatoire D qui suit la loi normale d'espérance $\overset{{\white{.}}}{\mu= 22}$ et d'écart-type $\sigma = 4.$

1. Nous savons que si la variable aléatoire D suit la loi normale d'espérance $\overset{{\white{.}}}{\mu= 22}$ et d'écart-type $\sigma = 4$ , alors $p(\mu-2\sigma\le D\le \mu+2\sigma)\approx0,95.$
Or $\left\lbrace\begin{matrix}\mu-2\sigma=22-2\times4\\\mu+2\sigma=22+2\times4\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\mu-2\sigma=14\\\mu+2\sigma=30\end{matrix}\right.$
D'où $\boxed{p(14\le D\le30)\approx0,95}$ .
Nous aurions également pu trouver ce résultat par la calculatrice.

2. Nous devons déterminer $p(D>30).$

$p(D>30)=p(D\ge22)-p(22\le D\le30) \\\phantom{p(D>30)}=0,5-p(22\le D\le30){\white{wwww}}(\text{car }p(D\ge22)=p(D\ge\mu)=0,5) \\\phantom{p(D>30)}\approx0,5-0,47724986{\white{wwww}}(\text{par la calculatrice}) \\\phantom{p(D>30)}\approx0,02275014 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(D>30)\approx0,02}$
Par conséquent, la probabilité qu'une apnée de ce patient dure plus de 30 secondes est environ égale à 0,02 (valeur arrondie au centième près).

Partie C

Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I₃₄₈ au seuil de 95 % de la fréquence des personnes ayant ressenti une amélioration de la qualité de leur sommeil dans un échantillon de 348 patients pris au hasard.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=348\ge30 \\ p=0,91\Longrightarrow np=348\times0,91=316,68>5 \\n(1-p)= 348\times(1-0,91)= 348\times0,09=31,32>5 \end{array}$

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I₃₄₈ au seuil de 95% est :

$I_{348}=\left[0,91-1,96\sqrt{\dfrac{0,91 (1-0,91)}{348}};0,91+1,96\sqrt{\dfrac{0,91 (1-0,91)}{348}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{348}\approx[0,879;0,941]}$

Après plusieurs nuits, 290 personnes déclarent avoir ressenti une amélioration de la qualité de leur sommeil.
La fréquence observée des personnes ayant ressenti une amélioration de la qualité de leur sommeil est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{f=\dfrac{290}{348}\approx0,833}}$
Nous remarquons que $f\notin I_{348}.$
Par conséquent au risque de se tromper de 5%, l'annonce de la société peut être remise en cause.

5 points

exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.

1. Au 31 décembre 2017, un magazine possède 450 000 abonnés.
En 2018, seuls 80 % des abonnés de l'année 2017 renouvellent leur abonnement, soit 0,80 multiplie

450 000 abonnés.
180 000 nouveaux abonnés viennent s'ajouter à ce nombre.
Donc au 31 décembre 2018, il y aura 0,80 multiplie

450 000 + 180 000 = 540 000 abonnés.

2. Soit u_n le nombre d'abonnés, exprimé en millier, au 31 décembre de l'année (2017+n ).
L'année suivante, en 2017+(n +1), 80 % des abonnés renouvellent leur abonnement, soit 0,80 multiplie

u_n milliers d'abonnés.
180 000 nouveaux abonnés viennent s'ajouter à ce nombre.
Donc au 31 décembre 2017+(n +1), le nombre d'abonnés, exprimé en millier, est $\boxed{u_{n+1}=0,80\times u_n+180.}$

3. On considère la suite (v_n ) définie pour tout entier naturel n , par $v_n=u_n-900.$

3. a) Montrons que la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison 0,8.

$v_{n+1}=u_{n+1}-900 \\\phantom{v_{n+1}}=(0,8u_{n}+180)-900 \\\phantom{v_{n+1}}=0,8u_{n}-720 \\\phantom{v_{n+1}}=0,8u_{n}-0,8\times900 \\\phantom{v_{n+1}}=0,8(u_{n}-900) \\\phantom{v_{n+1}}=0,8v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,8v_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:v_0=u_0-900=450-900\Longrightarrow\boxed{v_0=-450}$

Par conséquent, la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison q = 0,8 dont le premier terme est u₀ = -450.

3. b) Le terme général de la suite (v_n ) est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^{n}}$ .
Donc, pour tout n supegal

0, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{v_n=-450\times0,8^{n}}}$

${\red{3.\ \text{c) }}}\ \forall\ n\in\N, \left\lbrace\begin{matrix}v_n=u_n-900{\white{ww}}\\v_n=-450\times0,8^{n}\end{matrix}\right.{\white{wwww}}\Longrightarrow{\white{ww}} u_n-900=-450\times0,8^{n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N,\ u_n=-450\times0,8^{n}+900}$

${\red{4.}}\ \forall\ n\in\N,\ 0,8^n>0\Longrightarrow-450\times0,8^n<0 \\\phantom{{\red{4.}}\ \forall\ n\in\N,\ 0,8^n>0}\Longrightarrow-450\times0,8^n+900<900 \\\phantom{{\red{4.}}\ \forall\ n\in\N,\ 0,8^n>0}\Longrightarrow\boxed{u_n<900}$
D'où, le nombre d'abonnés ne dépassera jamais 900 000.
L'affirmation de la direction du magazine est fausse.

5. Nous devons déterminer le plus petit entier naturel n vérifiant l'inégalité $\overset{{\white{.}}}{u_n>800.}$

$u_n>800\Longleftrightarrow -450\times0,8^{n}+900>800 \\\phantom{u_n>800}\Longleftrightarrow -450\times0,8^{n}>-100 \\\phantom{u_n>800}\Longleftrightarrow 450\times0,8^{n}<100 \\\phantom{u_n>800}\Longleftrightarrow 9\times0,8^{n}<2 \\\phantom{u_n>800}\Longleftrightarrow 0,8^{n}<\dfrac{2}{9} \\\phantom{u_n>800}\Longleftrightarrow \ln(0,8^{n})<\ln\left(\dfrac{2}{9}\right) \\\phantom{u_n>800}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,8)<\ln\left(\dfrac{2}{9}\right) \\\phantom{u_n>800}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{9}\right)}{\ln(0,8)} \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{9}\right)}{\ln(0,8)}\approx6,75$
Le plus petit entier naturel n vérifiant l'inégalité est n = 7.
Par conséquent, en s'appuyant sur ce modèle, le nombre d'abonnés dépassera 800 000 pour la première fois dès le 31 décembre de l'année 2024.

6. Soit l'algorithme ci-dessous :

$\begin{array}{|c|}\hline U\longleftarrow450\phantom{wwwwwwwww}\\S\longleftarrow450\phantom{wwwwwwww0}\\\text{Pour }I\ \text{allant de 1 à }N\phantom{w} \\\phantom{ww}U\longleftarrow\,0,8\,*U+180 \\S\longleftarrow S+U \phantom{www}\\\text{Fin Pour}\phantom{wwwwwwwww}\\\hline\end{array}$
Nous affectons 3 à la variable N et nous exécutons l'algorithme.

6. a) Tableau reprenant les valeurs successives des variables I, U et S.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline I&&1&2&3\\\hline &&&&&U&450&540&612&669,6\\&&&&\\\hline &&&&&S&450&990&1\,602&{\red{2\,271,6}}\\&&&& \\\hline \end{array}$
Après l'exécution de l'algorithme, la variable S contient la valeur 2271,6.

6. b) La direction du magazine s'engage à verser chaque année 1 euro par abonnement à une association caritative.

Donc depuis l'année 2017 jusqu'en 2020, la direction du magazine aura versé un total de 2 271 600 euros à une association caritative.

6 points

exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 120] par $f(x)=0,1+\dfrac{4,3}{1+\text{e}\,^{0,1x-6}}$ où x représente le temps, exprimé en années, écoulé depuis 1750 et f (x ) représente le taux de natalité, exprimé en pourcentage, de la population totale.

Sur le graphique ci-dessous, la courbe $\mathscr C$ représente la fonction f , et la droite $\mathscr T$ est la tangente à la courbe $\mathscr C$ au point A d'abscisse 38.

Bac ES-L obligatoire et spécialité Polynésie remplacement 2020 : image 5

Partie A

1. a) f' (38) représente le coefficient directeur de la tangente $\mathscr T$ au point d'abscisse 38.
Avec la précision permise par le graphique, nous observons que la tangente $\mathscr T$ passe par les points A(38 ; 4) et B(115 ; 1).
Le coefficient directeur de cette tangente $\mathscr T$ est égal à $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1-4}{115-38}=-\dfrac{3}{77}\approx-0,039.$
D'où $\boxed{f'(38)\approx-0,039}\ .$

1. b) La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [30 ; 120].
L'intégrale de la fonction f sur [30 ; 120], $\int\limits_{30}^{120}f(x)\,\text{d}x$ , est en unités d'aire, l'aire de la partie du plan coloriée sur la figure ci-dessus, limitée par la courbe $\mathscr C$ , l'axe des abscisses, la droite d'équation x = 30 et la droite d'équation x = 120.
Manifestement, cette aire ne peut pas être comprise entre 7 et 8 unités d'aire, ni entre 700 et 800 unités d'aire.
La proposition correcte est la proposition : ${\blue{130\le\int\limits_{30}^{120}f(x)\,\text{d}x\le 190.}}$

2. a) Déterminons l'expression de la dérivée f' (x ).

$f'(x)=\left(0,1+\dfrac{4,3}{1+\text{e}\,^{0,1x-6}}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=0+4,3\left(\dfrac{1}{1+\text{e}\,^{0,1x-6}}\right)'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=4,3\times\dfrac{-(1+\text{e}\,^{0,1x-6})'}{(1+\text{e}\,^{0,1x-6})^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=4,3\times\dfrac{-0,1\,\text{e}\,^{0,1x-6}}{(1+\text{e}\,^{0,1x-6})^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-\dfrac{0,43\,\text{e}\,^{0,1x-6}}{(1+\text{e}\,^{0,1x-6})^2}}$

${\red{2.\ \text{b) }}}\ \forall\ x\in\R,\ \text{e}\,^{0,1x-6}>0{\phantom{w}}\Longrightarrow{\phantom{w}}\left\lbrace\begin{matrix}0,43\,\text{e}\,^{0,1x-6}>0{\white{www}}\\ (1+0,43\,\text{e}\,^{0,1x-6})^2>0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b) }}}\ \forall\ x\in\R,\ \text{e}\,^{0,1x-6}>0{\phantom{w}}}\Longrightarrow{\phantom{w}}\dfrac{0,43\,\text{e}\,^{0,1x-6}}{(1+\text{e}\,^{0,1x-6})^2}>0 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b) }}}\ \forall\ x\in\R,\ \text{e}\,^{0,1x-6}>0{\phantom{w}}}\Longrightarrow{\phantom{w}}-\dfrac{0,43\,\text{e}\,^{0,1x-6}}{(1+\text{e}\,^{0,1x-6})^2}<0$
D'où f' (x ) < 0 sur l'intervalle [0 ; 120].
Par conséquent, la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; 120].

3. a) La fonction f est définie sur l'intervalle [0 ; 120].
f est continue sur cet intervalle car elle est dérivable sur [0 ; 120] (voir question 2. a).
f est strictement décroissante sur [0 ; 120] (voir question 2. b).
f (0) environegal

4,4 > 1.
f (120) environegal

0,1 < 1.
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 1 possède une et une seule solution notée dans l'intervalle [0 ; 120].

3. b) A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : f (73) environegal

1,02 > 1 et f (74) environegal

0,95 < 1.
D'où $\overset{{\white{.}}}{\boxed{73<\alpha <74}\ .}$

Partie B

1. On admet que sur l'intervalle [0 ; 120], la fonction g d'expression $\overset{{\white{.}}}{g(x)=\dfrac{ 4,3}{ 1+\text e ^{0,1x-6}}}$ a pour primitive la fonction G d'expression $\overset{{\white{.}}}{G(x)=-43\ln \left(1+ \text e ^{-0,1x+6}\right).}$

1. a) Puisque $\overset{{\white{.}}}{f(x)=0,1+g(x),}$ une primitive F de la fonction f est définie par $\overset{{\white{.}}}{F(x)=0,1x+G(x)}$ ,
soit par $\overset{{\white{.}}}{\boxed{F(x)=0,1x-43\ln \left(1+ \text e ^{-0,1x+6}\right)}\,.}$

${\red{1.\ \text{b) }}}\ \int\limits_{30}^{120}f(x)\,dx=\left[\overset{}{F(x)}\right]\limits_{30}^{120}=\left[\overset{}{0,1x-43\ln \left(1+ \text e ^{-0,1x+6}\right)}\right]\limits_{30}^{120} \\\phantom{{\red{4.\ \text{c) }}}\ \int\limits_0^{120}f(x)\,dx}=\left[\overset{}{12-43\ln \left(1+ \text e ^{-6}\right)}\right]-\left[\overset{}{3-43\ln \left(1+ \text e ^{3}\right)}\right] \\\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ \int\limits_{30}^{120}f(x)\,dx}=12-43\ln \left(1+ \text e ^{-6}\right)-3+43\ln \left(1+ \text e ^{3}\right) \\\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ \int\limits_{30}^{120}f(x)\,dx}=9-43\left[\ln \left(1+ \text e ^{-6}\right)-\ln \left(1+ \text e ^{3}\right)\right] \\\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ \int\limits_{30}^{120}f(x)\,dx}=9-43\,\ln \left(\dfrac{1+ \text e ^{-6}}{1+ \text e ^{3}}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_{30}^{120}f(x)\,dx=9-43\,\ln \left(\dfrac{1+ \text e ^{-6}}{1+ \text e ^{3}}\right)}$

2. 1780 = 1750 + 30 et 1870 = 1750 + 120.
Donc les années 1780 et 1870 correspondent respectivement aux valeurs x = 30 et x = 120.
Le taux de natalité moyen entre 1780 et 1870 se calcule par :

$\dfrac{1}{120-30}\,\int\limits_{30}^{120}f(x)\,\text{d}x=\dfrac{1}{90}\,\left[9-43\,\ln \left(\dfrac{1+ \text e ^{-6}}{1+ \text e ^{3}}\right)\right]\approx1,555.$
Par conséquent, le taux de natalité moyen entre 1780 et 1870 est environ égal à 1,56 % (valeur arrondie au centième)

Publié par malou le 05-07-2021

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