Fiche de mathématiques

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

SESSION 2021

MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats
et un seul des deux exercices A ou B.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

5 points

exercice 1 : commun à tous les candidats

Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à 10^-3.

Un laboratoire pharmaceutique vient d'élaborer un nouveau test anti-dopage.

Partie A

Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
${\white {ww}}\bullet$ si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est 0,98 (sensibilité du test) ;
${\white {ww}}\bullet$ si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est 0,995 (spécificité du test).

On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d'athlétisme. On note D l'événement « l'athlète est dopé » et T l'événement « le test est positif ». On admet que la probabilité de l'événement D est égale à 0,08.

1. Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
2. Démontrer que P (T )=0,083.
3. a. Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu'il soit dopé ?
${\white {w}}$ b. Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l'événement « un athlète présentant un test positif est dopé » est supérieure ou égale à 0,95.
Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier.

Partie B

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un athlète contrôlé présente un test positif est 0,103.

1. Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition. On note X la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.
${\white {w}}$ a. Donner la loi suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.
${\white {w}}$ b. Calculer l'espérance E (X ) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
${\white {w}}$ c. Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ?

2. Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l'événement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à 0,75 ? Justifier.

5 points

exercice 2 : commun à tous les candidats

Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacifique.
Au début de l'année 2020, cette population comptait 600 individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.

Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite (u_n) définie par :

$\left\lbrace\begin{matrix} u_0 & =& 0,6\\ u_{n+1} & = & 0,75\,u_n(1-0,15\,u_n) \end{matrix}\right.$

où pour tout entier naturel n, u_n désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année 2020+n.

1. Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $f(x)=0,75x\,(1-0,15x).$
2. Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations.
3. Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation $f(x)=x.$

On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=f(u_n).$
4. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, $0\le u_{n+1}\le u_n \le 1.$
${\white {w}}$ b. En déduire que la suite (u_n) est convergente.
${\white {w}}$ c. Déterminer la limite $\ell$ de la suite (u_n) .

5. Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction.
${\white {w}}$ a. Justifier que, selon son modèle, le biologiste a raison.
${\white {w}}$ b. Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace() ci-dessous :

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Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace().
Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.

5 points

exercice 3 : commun à tous les candidats

Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].

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1. Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $(A\;;\overrightarrow{ AB},\;\overrightarrow{ AD},\;\overrightarrow{ AE} ).$

2. a. Donner les coordonnées des points I et J.
${\white {w}}$ b. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{ IJ}, \overrightarrow{ AE}, \text{ et } \overrightarrow{ AC}$ sont coplanaires.

On considère le plan P d'équation $x+3y-2z+2=0$ ainsi que les droites d₁ et d₂ définies par les représentations paramétriques ci-dessous :
$\begin{matrix} d_1 & :&\left\lbrace\begin{matrix} x& = & 3+t & \\ y& =& 8-2t & ,\;t\in \textbf R\quad \text{ et } \\ z& = & -2+3t & \end{matrix}\right. d_2 & :&\left\lbrace\begin{matrix} x&= & 4+t & \\ y& = & 1+t & ,\; t\in\textbf R\\ z& = & 8+2t& \end{matrix}\right. & & & & \end{matrix}$
3. Les droites d₁ et d₂ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
4. Montrer que la droite d₂ est parallèle au plan P.
5. Montrer que le point L(4, 0, 3) est le projeté orthogonal du point M(5,3,1) sur le plan P.

5 points

exercice Au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A

$\begin{tabular}{|l|} \hline \textbf{ Principaux domaines abordés :} \\ {\white{ww}}\bullet {\white k}\textbf{ Fonction exponentielle } \\ {\white{ww}}\bullet {\white k}\textbf{ Convexité} \\ \hline \end{tabular}$

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justifiera chaque réponse.

Affirmation 1 : Pour tous réels a et b, $\left(\text e ^{a+b}\right) ^2=\text e ^{2a}+\text e^{2b}$ .

Affirmation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f définie sur R par $f(x)=-2+(3-x)\text e ^x$ admet pour équation réduite $y=2x+1.$

Affirmation 3 : $\displaystyle {\lim _{x\to +\infty} {\text e ^{2x} - \text e ^x+\dfrac 3 x = 0.}}$

Affirmation 4 : L'équation $1-x+\text e ^{-x}=0$ admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2].

Affirmation 5 : La fonction g définie sur R par $g(x)=x²-5x+\text e ^x$ est convexe.

Exercice B

$\begin{tabular}{|l|} \hline \textbf{ Principaux domaines abordés :} \\ {\white{ww}}\bullet {\white k}\textbf{ Fonction logarithme népérien } \\ {\white{ww}}\bullet {\white k}\textbf{ Convexité} \\ \hline \end{tabular}$

Dans le plan muni d'un repère, on considère ci-dessous la courbe C_f représentative d'une fonction f, deux fois dérivable sur l'intervalle ]0 ; + infini

[. La courbe C_f admet une tangente horizontale T au point A(1,4).

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1. Préciser les valeurs f(1) et f '(1).

On admet que la fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; + infini

[ par :
$f(x)=\dfrac{a+b\ln x}{x}$ où a et b sont deux nombres réels.

2. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :

$f'(x)=\dfrac{ b-a-b\ln x}{x²}.$

3. En déduire les valeurs des réels a et b.

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; + infini

[ par :

$f(x)=\dfrac{4+4\ln x}{x}.$

4. Déterminer les limites de f en 0 et en + infini

.
5. Déterminer le tableau de variation de f sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.
6. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :

$f''(x)=\dfrac{ -4+8\ln x}{x^3}.$

7. Montrer que la courbe C_f possède un unique point d'inflexion B dont on précisera les coordonnées.

Voir la correction

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5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Partie A

1. On admet que la probabilité de l'événement D est égale à 0,08.
Si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est 0,98.
Si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est 0,995.
Arbre pondéré représentant la situation.

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2. Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P(T).}$
Les événements $\overset{{\white{.}}}{D}$ et $\overline{D}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(T)=P(D\cap T)+P(\overline{D}\cap T) \\\phantom{P(T)}=P(D)\times P_{D}(T)+P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(T) \\\phantom{P(T)}=0,08\times0,98+0,92\times0,005 \\\phantom{P(T)}=0,0784+0,0046 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(T)=0,083}$

3. a) Nous devons déterminer $P_T(D).$

$P_T(D)=\dfrac{P(D\cap T)}{P(T)} \\\\\phantom{P_A(S)}=\dfrac{P(D)\times P_D(T)}{0,083} \\\\\phantom{P_A(S)}=\dfrac{0,08\times 0,98}{0,083}=\dfrac{0,0784}{0,083} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_T(D)\approx0,945}$
D'où, sachant que l'athlète présente un test positif, la probabilité qu'il soit dopé est environ égale à 0,945 (valeur arrondie au millième).

3. b) Nous avons montré dans la question 3. a) que la probabilité de l'événement « un athlète présentant un test positif est dopé » est environ égale à 0,945.
Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de cet événement est supérieure ou égale à 0,95.
Puisque 0,945 < 0,95, le test proposé par le laboratoire ne sera pas commercialisé.

Partie B

1. Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un athlète contrôlé présente un test positif est 0,103.
On suppose que les organisateurs décident de contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.

1. a) Lors de cette expérience, on répète 5 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "l'athlète présente un test positif" dont la probabilité est p = 0,103.
Echec : "l'athlète présente un test négatif" dont la probabilité est 1 - p = 1 - 0,103 = 0,897.
La variable aléatoire X compte le nombre d'athlètes présentant un test positif, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où, la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre p = 0,103 et n = 5.

1. b) L'espérance $\overset{{\white{.}}}{E(X)=n\times p=5\times0,103\Longrightarrow\boxed{E(X)=0,515}\,.}$
0,515 environegal

0,5 = 0,1

5 = 10% de 5.
Dès lors, E(X ) = 0,515 représente environ 10 % de l'effectif de 5 athlètes.
Donc nous pouvons estimer que sur un nombre élevé de contrôles, environ 10 % des athlètes présenteront un test positif.

1. c) Nous devons déterminer $P(X\ge1).$
L'événement contraire de l'événement "au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif" est "aucun athlète contrôlé ne présente un test positif".

$\text{Or }\ P(X=0)=\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\times(0,103)^0\times\left(1-0,103\right)^{5-0} \\\phantom{P(X=0)}=1\times1\times\left(0,897\right)^{5} \\\phantom{P(X=0)}\approx0,581 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=0)\approx 0,581} \\\\\text{Dès lors, }\ P(X\ge1)\approx1-0,581\Longrightarrow\boxed{P(X\ge1)\approx0,419.}$
Par conséquent, la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif est environ égale à 0,419 (valeur arrondie au millième).

2. Supposons que les organisateurs contrôlent n athlètes.
Nous devons déterminer le plus petit entier naturel n vérifiant l'inégalité : $P(X\ge1)\ge0,75.$
L'événement contraire de l'événement "au moins un des n athlètes contrôlés présente un test positif" est "aucun athlète contrôlé ne présente un test positif".

$\text{Or }\ P(X=0)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times(0,103)^n\times\left(1-0,103\right)^{n-0} \\\phantom{P(X=0)}=1\times1\times\left(0,897\right)^{n} \\\\\Longrightarrow P(X=0)=\left(0,897\right)^{n} \\\\\text{Dès lors, }\ \boxed{P(X\ge1)=1-(0,897)^n}$
Nous devons donc déterminer le plus petit entier naturel n vérifiant l'inégalité : $1-(0,897)^n\ge0,75.$

$1-(0,897)^n\ge0,75\Longleftrightarrow-(0,897)^n\ge0,75-1 \\\phantom{1-(0,897)^n\ge0,75}\Longleftrightarrow-(0,897)^n\ge-0,25 \\\phantom{1-(0,897)^n\ge0,75}\Longleftrightarrow(0,897)^n\le0,25 \\\phantom{1-(0,897)^n\ge0,75}\Longleftrightarrow\ln(0,897)^n\le\ln(0,25) \\\phantom{1-(0,897)^n\ge0,75}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,897)\le\ln(0,25) \\\\\phantom{1-(0,897)^n\ge0,75}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,897)}{\white{www}}(\text{Changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,897)<0) \\\\\text{Or }\dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,897)}\approx12,75.$
Le plus petit entier naturel n vérifiant l'inégalité est n = 13.
Par conséquent, il faut contrôler au minimum 13 athlètes pour que la probabilité de l'événement "au moins un athlète contrôlé présente un test positif" soit supérieure ou égale à 0,75.

5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

Soit la suite (u_n ) définie par : $\left\lbrace\begin{matrix} u_0 = 0,6{\white{wwwwww;ww}}\\ u_{n+1} = 0,75\,u_n(1-0,15\,u_n) \end{matrix}\right.$
où pour tout entier naturel n , u_n désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année 2020+n .

1. Au début de l'année 2021, le rang n est égal à 1.
De même, au début de l'année 2022, le rang n est égal à 2.

$\bullet\ \boxed{u_0 = 0,6} \\\\\bullet\ u_{1} = 0,75\,u_0\,(1-0,15\,u_0) \\\phantom{\bullet\ u_{1} }= 0,75\times0,6\,(1-0,15\times0,6) \\\phantom{\bullet\ u_{1} }= 0,45\,(1-0,09) \\\phantom{\bullet\ u_{1} }= 0,4095 \\\phantom{\bullet}\Longrightarrow \boxed{u_{1} = 0,4095} \\\\\bullet\ u_{2} = 0,75\,u_1\,(1-0,15\,u_1) \\\phantom{\bullet\ u_{2} }= 0,75\times0,4095\,(1-0,15\times0,4095) \\\phantom{\bullet\ u_{2} }= 0,307125\,(1-0,061425) \\\phantom{\bullet\ u_{2} }= 0,2882598469 \\\phantom{\bullet}\Longrightarrow \boxed{u_{2} = 0,2882598469}$

D'où au début de l'année 2021, le nombre d'individus sur l'île est estimé à environ 410 et au début de l'année 2022, le nombre d'individus sur l'île est estimé à environ 288.

2. Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=0,75x\,(1-0,15x).}$

Déterminons l'expression de la dérivée f' (x ).

$f'(x)=(0,75x)'\times(1-0,15x)+0,75x\times(1-0,15x)' \\\phantom{f'(x)}=0,75\times(1-0,15x)+0,75x\times(-0,15) \\\phantom{f'(x)}=0,75-0,1125x-0,1125x\\\phantom{f'(x)}=0,75-0,225x \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in[0\,;1],\ f'(x)=-0,225x+0,75}$

Etudions le signe de f' (x ) sur l'intervalle [0 ; 1].

$f'(x)>0\Longleftrightarrow-0,225x+0,75>0 \\\phantom{f'(x)>0}\Longleftrightarrow-0,225x>-0,75 \\\\\phantom{f'(x)>0}\Longleftrightarrow x<\dfrac{-0,75}{-0,225} \\\\\phantom{f'(x)>0}\Longleftrightarrow x<\dfrac{10}{3}\approx3,3$
Or x appartient

[0 ; 1]. Dès lors $\overset{{\white{.}}}{x<\dfrac{10}{3}.}$
Nous en déduisons que pour tout x dans l'intervalle [0 ; 1], f' (x ) > 0.
Par conséquent, la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1].
D'où le tableau de variations de f sur [0 ; 1].

$\begin{matrix}\underline{\text{Calculs préliminaires}}\\\\f(0)=0,75\times0\times(1-0,15\times0)\\\Longrightarrow f(0)=0\\\\f(1)=0,75\times1\times(1-0,15\times1)\\=0,75\times0,85{\white{wwwww}}\\\Longrightarrow f(1)=0,6375\end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&0&&&&&&1\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f'(x)&&&&+&&&\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&0,6375\\ f(x)&&&&\nearrow&&& \\ &0&&&&&& \\ \hline \end{array}\end{matrix}$

3. Nous devons résoudre dans [0 ; 1] l'équation $\overset{{\white{.}}}{f(x)=x}.$

$f(x)=x\Longleftrightarrow0,75x\,(1-0,15x)=x \\\phantom{f(x)=x}\Longleftrightarrow0,75x\,(1-0,15x)-x=0 \\\phantom{f(x)=x}\Longleftrightarrow0,75x-0,1125x^2-x=0 \\\phantom{f(x)=x}\Longleftrightarrow-0,1125x^2-0,25x=0 \\\phantom{f(x)=x}\Longleftrightarrow-0,25x(0,45x-1)=0 \\\phantom{f(x)=x}\Longleftrightarrow-0,25x=0{\white{www}}\text{ou}{\white{www}}0,45x-1=0 \\\phantom{f(x)=x}\Longleftrightarrow x=0{\white{www}}\text{ou}\phantom{www} x=\dfrac{1}{0,45}\approx2,2\ {\red{\notin[0\,;\,1]}}$
Par conséquent, l'équation $\overset{{\white{.}}}{f(x)=x}$ admet x = 0 comme unique solution dans l'intervalle [0 : 1].

4. On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=f(u_n)}.$

4. a) Nous devons démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{0\le u_{n+1}\le u_n \le 1.}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
Par la question 1., nous savons que u ₀ = 0,6 et u ₁ = 0,4095.
Dès lors, $\overset{{\white{.}}}{0\le0,4095\le0,6\le1\Longrightarrow\boxed{0\le u_1\le u_0\le1}}$
D'où l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n + 1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{0\le u_{n+1}\le u_n \le 1}$ , alors nous devons montrer que $\overset{{\white{.}}}{0\le u_{n+2}\le u_{n+1} \le 1.}$
En effet,

$0\le u_{n+1}\le u_n \le 1\Longrightarrow f(0)\le f(u_{n+1})\le f(u_n) \le f(1)\ (\text{car }f\text{ est croissante sur [0 : 1]}) \\\\\phantom{wwwwwwwww}\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=0\times(1-0)=0{\white{wwwwwwwww}}\\ f(u_{n+1})=u_{n+2}{\white{wwwwwwwwwwwww}}\\f(u_n)=u_{n+1}{\white{wwwwwwwwwwwwwww}}\\f(1)=0,75\times(1-0,15)=0,6375\le1\end{matrix}\right. \\\\\text{Donc }0\le u_{n+1}\le u_n \le 1\Longrightarrow \boxed{0\le u_{n+2}\le u_{n+1} \le 1}$
D'où l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{0\le u_{n+1}\le u_n \le 1.}$

4. b) Dans la question 4. a), nous avons montré que la suite (u_n ) est décroissante et minorée par 0.
Par conséquent, cette suite (u_n ) converge vers un nombre $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1].

4. c) Nous avons montré que la suite (u_n ) converge vers un nombre $\ell$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1].
Il s'ensuit que ce nombre $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{f( \ell)=\ell.}$
Or dans la question 3, nous avons montré que l'unique solution de l'équation f (x ) = x définie dans [0 ; 1]
est $\overset{{\white{.}}}{x=0.}$
Nous en déduisons que $\overset{{\white{.}}}{\ell=0.}$
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}\,.}$

5. a) Nous avons montré dans la question précédente que la suite (u_n ) converge vers 0.
Donc le biologiste a raison de penser que selon son modèle, l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction.

5. b) Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace() ci-dessous :

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Le tableau ci-dessous reprend les premières valeurs de u arrondies au millième.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11 \\\hline u_n&0,6&0,410&0,288&0,207&0,150&0,110&0,081&0,060&0,045&0,033&0,024&0,019\\\hline \end{array}$
D'où puisque $\overset{{\white{.}}}{u_{11}\approx0,019<0,02}$ , lorsqu'on appelle la fonction menace(), la valeur numérique renvoyée est 11.

5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH.
Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].

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1. Nous allons montrer que les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.
Rappel : Une droite qui passe par un point d'un plan et qui est parallèle à une droite du plan est contenue dans ce plan.
La droite (KH) est contenue dans le plan (AEH) car les points K et H appartiennent à ce plan (AEH).
Le point A appartient également au plan (AEH).
Selon le rappel, si la droite (AI) passant par le point A du plan (AEH) était parallèle à la droite (KH) de ce plan (AEH), alors la droite (AI) serait contenue dans le plan (AEH).
Or la droite (AI) n'est pas contenue dans le plan (AEH) puisque le point I n'appartient pas à ce plan.
Nous en déduisons donc que les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.

Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $(A\,;\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AE}).$

2. a) Les coordonnées du point I sont $(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1)$ et les coordonnées du point J sont $(1\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,0).$

2. b) Montrons que les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ , $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont coplanaires.

$\left\lbrace\begin{array}l I(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1)\\J(1\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}1-\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}-0\\0-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{\dfrac{1}{2}}\\-1\end{pmatrix}}$

$\left\lbrace\begin{array}l A(0\,;\,0\,;\,0)\\E(0\,;\,0\,;\,1)\end{array}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ${\white{wwwwwww}}$ et ${\white{wwwwwww}}\left\lbrace\begin{array}l A(0\,;\,0\,;\,0)\\C(1\,;\,1\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$

Nous observons que $2\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}$ et donc que le vecteur $\overrightarrow{AC}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AE}$ .
Par conséquent, les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ , $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont coplanaires

On considère le plan P d'équation $\overset{{\white{.}}}{x+3y-2z+2=0}$ ainsi que les droites d₁ et d₂ définies par les représentations paramétriques ci-dessous :

$\begin{matrix} d_1 & :&\left\lbrace\begin{matrix} x& = & 3+t & \\ y& =& 8-2t & ,\;t\in \R\quad \text{ et } \\ z& = & -2+3t & \end{matrix}\right. d_2 & :&\left\lbrace\begin{matrix} x&= & 4+t & \\ y& = & 1+t & ,\; t\in\R\\ z& = & 8+2t& \end{matrix}\right. & & & & \end{matrix}$

3. Un vecteur directeur $\overrightarrow{u_1}$ de la droite d₁ admet comme coordonnées $\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}.$
Un vecteur directeur $\overrightarrow{u_2}$ de la droite d₂ admet comme coordonnées $\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}.$
Manifestement les deux vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires car $\dfrac{1}{1}\neq\dfrac{-2}{1}.$
D'où les droites d₁ et d₂ ne sont pas parallèles.

4. Nous savons que tout plan dont l'équation cartésienne est de la forme ax + by + cz + d = 0 admet un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}.$
Puisqu'une équation cartésienne du plan P est $\overset{{\white{.}}}{x+3y-2z+2=0}$ , le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ est normal à P.
Or $\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}\\\overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\begin{matrix}\\\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_2}=1\times1+3\times1-2\times2\\=1+3-4{\white{ww.w}}\\=0{\white{wwwwwwww}}\end{matrix}$

D'où les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u_2}$ sont orthogonaux.
Par conséquent, la droite d₂ est parallèle au plan P.

5. Montrons d'abord que le point L(4 ; 0 ; 3) appartient au plan P en montrant que ses coordonnées vérifient l'équation de P.
En effet, 4 - 3 multiplie

0 - 2

3 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0.
Montrons ensuite que le vecteur $\overrightarrow{LM}$ est normal au plan P.

$\left\lbrace\begin{array}l L(4\,;\,0\,;\,3)\\M(5\,;\,3\,;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{LM}\begin{pmatrix}5-4\\3-0\\1-3\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{LM}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}}$

Or nous avons montré dans la question 4. que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ est normal à P.
Puisque $\overrightarrow{LM}=\overrightarrow{n}$ , nous en déduisons que le vecteur $\overrightarrow{LM}$ est normal au plan P.
Par conséquent, le point L est le projeté orthogonal du point M sur le plan P.

5 points

exercice au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

exercice A

${\red{\text{Affirmation 1 : }}{\blue{\text{Pour tous réels }a\text{ et }b, \left(\text{e}^{a+b}\right)^2=\text{e}^{2a}+\text{e}^{2b}.}}}\longrightarrow {\red{\text{Affirmation fausse.}}}$

$\left(\text{e}^{a+b}\right)^2=\text{e}^{2(a+b)}=\text{e}^{2a+2b}=\text{e}^{2a}\times\text{e}^{2b} \\\\\Longrightarrow\boxed{\left(\text{e}^{a+b}\right)^2=\text{e}^{2a}\times\text{e}^{2b}\neq\text{e}^{2a}+\text{e}^{2b}} \\\\\text{En effet, soit }a=0\text{ et }b=0. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\text{e}^{2a}=\text{e}^{0}=1\\\text{e}^{2b}=\text{e}^{0}=1\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\text{e}^{2a}\times\text{e}^{2b}=1\times1=\underset{\red{\neq}}{1}\\\text{e}^{2a}+\text{e}^{2b}=1+1=2\end{matrix}\right.$
Par conséquent, l'affirmation 1 est fausse.

${\red{\text{Affirmation 2 : }}}{\blue{\text{Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0}}}\\ {\blue{\text{à la courbe représentative de la fonction }}f{\text{ définie sur }}\R{\text{ par }}f(x)=-2+(3-x)\,\text{e}^x\text{ admet}}\\ {\blue{\text{pour équation réduite }y=2x+1}}\longrightarrow {\red{\text{Affirmation vraie.}}}$

L'équation réduite de la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f est de la forme : $\overset{{\white{.}}}{y=f'(0)(x-0)+f(0)}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{y=f'(0)x+f(0).}$

$f(x)=-2+(3-x)\,\text{e}^x\Longrightarrow f'(x)=-2'+(3-x)'\times\text{e}^x+(3-x)\times(\text{e}^x)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=-2+(3-x)\,\text{e}^x}\Longrightarrow f'(x)=0+(-1)\times\text{e}^x+(3-x)\times\text{e}^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=-2+(3-x)\,\text{e}^x}\Longrightarrow f'(x)=-\text{e}^x+(3-x)\,\text{e}^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=-2+(3-x)\,\text{e}^x}\Longrightarrow f'(x)=(-1+3-x)\,\text{e}^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=-2+(3-x)\,\text{e}^x}\Longrightarrow f'(x)=(2-x)\,\text{e}^x} \\\\\text{D'où }f'(x)=(2-x)\,\text{e}^x.$
Il s'ensuit que $\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=-2+3\,\text{e}^0\\f'(0)=2\,\text{e}^0\ \qquad\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=1\\f'(0)=2\end{matrix}\right.}$
Par conséquent, l'équation réduite de la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f est y = 2x + 1.
L'affirmation 2 est vraie.

${\red{\text{Affirmation 3 : }}{\blue{\displaystyle {\lim _{x\to +\infty} {\text e ^{2x} - \text e ^x+\dfrac 3 x = 0.}}}}}\longrightarrow {\red{\text{Affirmation fausse.}}}$

Nous savons que $\overset{{\white{.}}}{\text e ^{2x} - \text e ^x+\dfrac 3 x=\text e ^x(\text e ^{x} - 1)+\dfrac 3 x}.$

$\text{Or }\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e} ^x=+\infty\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}(\text{e} ^x-1)=+\infty \\\phantom{\text{Or }\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e} ^x=+\infty}\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e} ^x(\text{e} ^x-1)=+\infty\\\text{et }\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x}=0 \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to+\infty}\text e ^x(\text e ^{x} - 1)+\dfrac 3 x=+\infty,\ \text{soit }\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\text e ^{2x} - \text e ^x+\dfrac 3 x=+\infty}$
Par conséquent, l'affirmation 3 est fausse.

${\red{\text{Affirmation 4 : }}}{\blue{\text{L'équation }}1-x+\text{e}^{-x}=0{\text{ admet une seule solution}}}\\ {\blue{\text{ appartenant à l'intervalle [0 ; 2] }}}\longrightarrow {\red{\text{Affirmation vraie.}}}$

Soit la fonction f définie sur

par $f(x)=1-x+\text{e}^{-x}.$
Cette fonction f est dérivable sur

comme somme de fonctions dérivables sur

.
Donc f est continue sur

et en particulier sur l'intervalle [0 ; 2].

$\forall\ x\in\R,\ f'(x)=(1-x+\text{e}^{-x})'=0-1+(-x)'\text{e}^{-x}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-1-\text{e}^{-x}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}-1<0\\\text{e}^{-x}>0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-1<0\\-\text{e}^{-x}<0\end{matrix}\right.\Longrightarrow-1-\text{e}^{-x}<0\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\R,\ f'(x)<0}$
D'où la fonction f est strictement décroissante sur

et en particulier sur l'intervalle [0 ; 2].
De plus,

$f(0)=1-0+\text{e}^{0}=1-0+1\Longrightarrow\boxed{f(0)=2\ {\red{>0}}} \\f(2)=1-2+\text{e}^{-2}=-1+\text{e}^{-2}\Longrightarrow\boxed{f(2)\approx-0,86\ {\red{<0}}}$
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une et une seule solution sur [0 ; 2].
Par conséquent, l'affirmation 4 est vraie.

${\red{\text{Affirmation 5 : }}}{\blue{\text{La fonction }}g{\text{ définie sur R par }g(x)=x^2-5x+\text{e}^x\text{ est convexe }}}\longrightarrow {\red{\text{Affirmation vraie.}}}$

La convexité de la fonction g est déterminée par le signe de la dérivée seconde g'' .

$g(x)=x^2-5x+\text{e}^x\Longrightarrow g'(x)=2x-5+\text{e}^x \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g(x)=x^2-5x+\text{e}^x}\Longrightarrow \boxed{g''(x)=2+\text{e}^x}}$
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur

, nous en déduisons que g'' (x ) > 0 sur

.
Par conséquent, la fonction g est convexe.

exercice B

Dans le plan muni d'un repère, on considère ci-dessous la courbe C_f représentative d'une fonction f , deux fois dérivable sur l'intervalle ]0 ; infini

[. La courbe C_f admet une tangente horizontale T au point A(1,4).

Bac général spécialité maths 2021 Amérique du Nord : image 5

1. f (1) = 4 car le point A (1;4) appartient à la courbe C_f.
f' (1) représente le coefficient directeur de la tangente T au point A d'abscisse 1.
Ce coefficient directeur est nul car la tangente T est parallèle à l'axe des abscisses.
D'où f' (1) = 0.

On admet que la fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; infini

[ par : $\overset{{\white{.}}}{f(x)=\dfrac{a+b\ln x}{x}}$ où a et b sont deux nombres réels.

2. Déterminons l'expression de f' (x ).

$f'(x)=\dfrac{(a+b\ln x)'\times x-(a+b\ln x)\times x'}{x^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\dfrac{b}{x}\times x-(a+b\ln x)\times 1}{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{b-a-b\ln x}{x^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{b-a-b\ln x}{x^2}}$

3. Nous savons par la question 1 que f(1)=4 et f'(1)=0.

$\left\lbrace\begin{matrix}f(1)=4\\f'(0)=0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{a+b\ln 1}{1}=4\\\dfrac{b-a-b\ln 1}{1^2}=0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a+b\times0=4\\b-a-b\times0=0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=4\\b-4=0\end{matrix}\right. \\\\ {\white{wwwww.w}} \Longleftrightarrow\boxed{ \left\lbrace\begin{matrix}a=4\\b=4\end{matrix}\right.}$

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; infini

[ par :
$\overset{{\white{.}}}{f(x)=\dfrac{4+4\ln x}{x}.}$

${\red{4.\ }} f(x)=\dfrac{4+4\ln x}{x}\Longrightarrow\boxed{f(x)=(4+4\ln x)\times\dfrac{1}{x}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}(4+4\ln x)=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwwwwww}\Longrightarrow\lim\limits_{x\to0^+}(4+4\ln x)\times\dfrac{1}{x}=-\infty \\\\\phantom{wwwwwwwwwww}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty}$

$f(x)=\dfrac{4+4\ln x}{x}\Longrightarrow\boxed{f(x)=\dfrac{4}{x}+4\times\dfrac{\ln x}{x}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4}{x}=0\phantom{wwwwwwwwwwwwwwww}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0}\ \ (\text{croissances comparées})\end{matrix}\right.\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{4}{x}+4\times\dfrac{\ln x}{x}\right)=0 \\\\\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}$

5. En utilisant le résultat de la question 2 dans lequel nous remplaçons a et b par 4, nous obtenons : $\overset{{\white{.}}}{\boxed{f'(x)=\dfrac{-4\ln x}{x^2}}}$ Puisque x ² est strictement positif sur ]0 ; + infini

[, le signe de f' (x ) est le signe de $-4\ln x.$
D'où le tableau de signes de f' (x ) et de variation de f sur ]0 ; + infini

[.

$\begin{matrix}\underline{\text{Calculs préliminaires}}\\\\-4\ln x=0\Longleftrightarrow\ln x = 0\\ {\white{wwwww}}\Longleftrightarrow x = 1\\\\f(1)=4\\\\\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&1&&+\infty\\&&&&&\\\hline -4&&-&-&-&\\\hline \ln x&||&-&0&+&\\\hline&&&&&\\f'(x)&||&+&0&-&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}\ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&1&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&||&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&4&& \\ f(x)&||&\nearrow&&\searrow& \\ &-\infty&&&&0 \\ \hline \end{array}\end{matrix}$

6. Déterminons l'expression de f'' (x ).

$f'(x)=\dfrac{-4\ln x}{x^2}\Longrightarrow f''(x)=\dfrac{(-4\ln x)'\times x^2-(-4\ln x)\times(x^2)'}{x^4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)=\dfrac{-4\ln x}{x^2}}\Longrightarrow f''(x)=\dfrac{(-4)\times\dfrac{1}{x}\times x^2+4\ln x\times2x} {x^4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)=\dfrac{-4\ln x}{x^2}}\Longrightarrow f''(x)=\dfrac{-4x+8x\ln x}{x^4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)=\dfrac{-4\ln x}{x^2}}\Longrightarrow f''(x)=\dfrac{x(-4+8\ln x)}{x^4}} \\\\\Longrightarrow \boxed{f''(x)=\dfrac{-4+8\ln x}{x^3}}$

7. Etudions le signe de f'' (x ) sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.

Puisque x ³ est strictement positif sur ]0 ; + infini

[, le signe de f'' (x ) est le signe de $-4+8\ln x.$

${\white{wwwwww}}\begin{matrix}-4+8\ln x<0\Longleftrightarrow 8\ln x<4\\\phantom{-x+9999.}\Longleftrightarrow \ln x<\dfrac{1}{2}\\\phantom{-x+9999.}\Longleftrightarrow x<\text{e}^{\frac{1}{2}}\\\\-4+8\ln x=0\Longleftrightarrow x=\text{e}^{\frac{1}{2}}\\\\-4+8\ln x>0\Longleftrightarrow x>\text{e}^{\frac{1}{2}}\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\text{e}}&&+\infty\\&&&&&\\\hline-4+8\ln x&||&-&0&+&\\\hline&||&&&&\\f''(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

La dérivée seconde s'annule uniquement en $x=\text{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\text{e}}$ en changeant de signe.
Nous en déduisons que la courbe C_f possède un unique point d'inflexion noté B.

$f(\text{e}^{\frac{1}{2}})=\dfrac{4+4\ln \text{e}^{\frac{1}{2}}}{\text{e}^{\frac{1}{2}}} =\dfrac{4+4\times\dfrac{1}{2}}{\text{e}^{\frac{1}{2}}} =\dfrac{6}{\text{e}^{\frac{1}{2}}}=\dfrac{6}{\sqrt{\text{e}}}$
D'où les coordonnées du point B sont $\left(\sqrt{\text{e}}\,;\,\dfrac{6}{\sqrt{\text{e}}}\right).$

Publié par malou le 25-06-2021

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