L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.
Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un
seul des deux exercices A ou B.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en
compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou
infructueuses, seront valorisées.
4 points
exercice 1 : commun à tous les candidats.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une
seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une
réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni
n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de
la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0; +[ par :
On donne l'expression de la dérivée seconde f '', dérivée de f, définie sur l'intervalle ]0; +[ par :
1. La fonction f ' , dérivée de f, est définie sur l'intervalle ]0; +[ par :
2. La fonction f :
3. La fonction f admet pour limite en + :
4. La fonction f :
5 points
exercice 2 : commun à tous les candidats
Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 5 % des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.
Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles :
« positif » ou bien « négatif ».
On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.
On note P (E ) la probabilité d'un événement E.
On considère les événements suivants : D : "la pièce est défectueuse" T : "la pièce présente un test positif" désignent respectivement les événements contraires de D et de T.
Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que : La probabilité qu'une pièce présente un test positif sachant qu'elle défectueuse est
égale à 0,98 ; La probabilité qu'une pièce présente un test négatif sachant qu'elle n'est pas
défectueuse est égale à 0,97.
Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante.
PARTIE I
1. Traduire la situation à l'aide d'un arbre pondéré. 2. a. Déterminer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la production de la
chaîne soit défectueuse et présente un test positif. b. Démontrer que : 3. On appelle valeur prédictive positive du test la probabilité qu'une pièce soit
défectueuse sachant que le test est positif. On considère que pour être efficace, un
test doit avoir une valeur prédictive positive supérieure à 0,95.
Calculer la valeur prédictive positive de ce test et préciser s'il est efficace.
PARTIE II
On choisit un échantillon de 20 pièces dans la production de la chaîne, en assimilant
ce choix à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre
de pièces défectueuses dans cet échantillon.
On rappelle que : 1. Justifier que X est une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi. 2. Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse.
On donnera un résultat arrondi au centième. 3. Calculer l'espérance de la variable aléatoire X et interpréter le résultat obtenu.
6 points
exercice 3 : commun à tous les candidats
Cécile a invité des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert un assortiment de
gâteaux individuels qu'elle a achetés surgelés.
Elle sort les gâteaux du congélateur à -19 °C et les apporte sur la terrasse où la température
ambiante est de 25 °C.
Au bout de 10 minutes la température des gâteaux est de 1,3 °C.
I - Premier modèle
On suppose que la vitesse de décongélation est constante, c'est-à-dire que l'augmentation de
la température des gâteaux est la même minute après minute.
Selon ce modèle, déterminer quelle serait la température des gâteaux 25 minutes après leur
sortie du congélateur.
Ce modèle semble-t-il pertinent ?
II - Second modèle
On note Tn la température des gâteaux, en degré Celsius, au bout de n minutes après leur
sortie du congélateur ; ainsi T0= -19.
On admet que pour modéliser l'évolution de la température, on doit avoir la relation suivante :
pour tout entier naturel n,
1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : 2. Calculer T1 et T2 . On donnera des valeurs arrondies au dixième. 3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : Tn 25.
En revenant à la situation étudiée, ce résultat était-il prévisible ? 4. Étudier le sens de variation de la suite (Tn). 5. Démontrer que la suite (Tn) est convergente. 6. On pose, pour tout entier naturel . a. Montrer que la suite (Un ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier
terme U0. b. En déduire que pour tout entier naturel n, c. En déduire la limite de la suite (Tn ). Interpréter ce résultat dans le contexte de la
situation étudiée. 7. a. Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d'une demi-heure à
température ambiante après leur sortie du congélateur. Quelle est alors la
température atteinte par les gâteaux ? On donnera une valeur arrondie à l'entier le
plus proche. b. Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu'elle aime déguster lorsqu'ils sont encore
frais, à la température de 10 °C. Donner un encadrement entre deux entiers
consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster son gâteau. c. Le programme suivant, écrit en langage Python, doit renvoyer après son exécution
la plus petite valeur de l'entier n pour laquelle Tn 10.
Recopier ce programme sur la copie
et compléter les lignes incomplètes
afin que le programme renvoie la
valeur attendue.
5 points
exercice au choix du candidat
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer le choix, les principaux domaines abordés sont indiqués en début de chaque
exercice.
Exercice A
Dans un repère orthonormé
on considère :
le point A de coordonnées (1 ; 3 ; 2), le vecteur de coordonnées ,
la droite d passant par l'origine O du
repère et admettant pour vecteur
directeur .
Le but de cet exercice est de déterminer le
point de d le plus proche du point A et
d'étudier quelques propriétés de ce point.
On pourra s'appuyer sur la figure ci-dessous
pour raisonner au fur et à mesure des
questions.
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d. 2. Soit t un nombre réel quelconque, et M un point de la droite d, le point M ayant
pour coordonnées (t ; t ; 0). a. On note AM la distance entre les points A et M. Démontrer que :
b. Démontrer que le point M0 de coordonnées (2 ; 2 ; 0) est le point de la droite d
pour lequel la distance AM est minimale. On admettra que la distance AM est
minimale lorsque son carré AM2 est minimal. 3. Démontrer que les droites (AM0 ) et d sont orthogonales. 4. On appelle A' le projeté orthogonal du point A sur le plan d'équation cartésienne
z = 0. Le point A' admet donc pour coordonnées (1 ; 3 ; 0).
Démontrer que le point M0 est le point du plan (AA'M0 ) le plus proche du point O,
origine du repère. 5. Calculer le volume de la pyramide OM0 A'A.
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par : , où est l'aire
d'une base et h est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
Exercice B
On considère l'équation différentielle
On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'ensemble R des nombres
réels qui sont solutions de cette équation.
1. Soit u la fonction définie sur R par On admet que u est dérivable et on
note u' sa fonction dérivée. Démontrer que u est une solution particulière de (E ). 2. Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On note g la fonction définie sur R par :
a. Démontrer que si la fonction f est solution de l'équation différentielle (E ) alors la
fonction g est solution de l'équation différentielle : .
On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie. b. À l'aide de la résolution de l'équation différentielle , résoudre l'équation
différentielle (E ). 3. Étude de la fonction u a. Étudier le signe de pour x variant dans R. b. Dresser le tableau de variations de la fonction u sur R (les limites ne sont pas
demandées). c. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction u est concave.
1. La fonction f' , dérivée de f , est définie sur l'intervalle ]0; +[ par :
Par conséquent, la proposition correcte est la proposition c).
2. La fonction fadmet un minimum en
Par la question précédente, nous savons que
Puisque l'exponentielle et x2 sont strictement positifs sur ]0; +[, le signe de f' (x ) est le signe de (2x - 1).
Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; +[.
La fonction f admet un minimum en
Par conséquent, la proposition correcte est la proposition c).
3. La fonction f admet pour limite en + :
Par conséquent, la proposition correcte est la proposition a).
4. La fonction fest convexe sur
La convexité de la fonction f est déterminée par le signe de la dérivée seconde f'' (x ).
L'énoncé nous indique que
Puisque l'exponentielle et x3 sont strictement positifs sur ]0; +[, le signe de f'' (x ) est le signe du trinôme du second degré (2x2 - 2x + 1).
Le discriminant du trinôme est = (-2)2 - 4 2 1 = 4 - 8 = -4 < 0.
Puisque ce discriminant est strictement négatif, le trinôme (2x2 - 2x + 1) est du signe du coefficient de x2, soit positif pour tout x appartenant à ]0; +[.
D'où f'' (x ) > 0 pour tout x appartenant à ]0; +[.
Nous en déduisons que la fonction f est convexe sur ]0; +[.
Par conséquent, la proposition correcte est la proposition b).
5 points
exercice 2 : Commun à tous les candidats
Partie I
1. Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 5 % des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses. La probabilité qu'une pièce présente un test positif sachant qu'elle défectueuse est égale à 0,98 ; La probabilité qu'une pièce présente un test négatif sachant qu'elle n'est pas défectueuse est égale à 0,97.
Arbre pondéré représentant la situation.
2. a) Nous devons déterminer
Par conséquent, la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne soit défectueuse et présente un test positif est égale à 0,049.
2. b) Nous devons déterminer
Les événements et forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
3. Nous devons déterminer
D'où, la probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant que le test est positif est environ égale à 0,63 (valeur arrondie au centième). La valeur prédictive positive de ce test est donc environ égale à 0,63. Le test n'est pas efficace car 0,63 est inférieur à 0,95.
Partie II
1. Lors de cette expérience, on répète 20 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "la pièce est défectueuse" dont la probabilité est p = 0,05.
Echec : "la pièce n'est pas défectueuse" dont la probabilité est 1 - p = 1 - 0,05 = 0,95.
La variable aléatoire X compte le nombre de pièces défectueuses, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre p = 0,05 et n = 20.
2. Nous devons déterminer
L'événement contraire de l'événement "au moins une pièce est défectueuse" est "aucune pièce n'est défectueuse".
Par conséquent, la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse est environ égale à 0,64 (valeur arrondie au centième).
3. L'espérance
Donc nous pouvons estimer que chaque échantillon de 20 pièces contient en moyenne une pièce défectueuse.
6 points
exercice 3 : Commun à tous les candidats
Cécile a invité des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert un assortiment de gâteaux individuels qu'elle a achetés surgelés.
Elle sort les gâteaux du congélateur à -19°C et les apporte sur la terrasse où la température ambiante est de 25°C.
Au bout de 10 minutes la température des gâteaux est de 1,3°C.
I - Premier modèle
En 10 minutes, la température des gâteaux est passée de -19°C à 1,3°C, ce qui représente une augmentation de 20,3°C.
Puisque la vitesse de décongélation est supposée constante, l'augmentation de température est donc de 2,03°C par minute.
D'où, 25 minutes après leur sortie du congélateur, la température aura augmenté de 25 2,03 = 50,75°C.
Or la température initiale est de -19°C.
Donc la température des gâteaux 25 minutes après leur sortie du congélateur est de -19 + 50,75 = 31,75°C.
Selon ce modèle, la température des gâteaux serait supérieure à la température ambiante de la terrasse qui est de 25°C, ce qui est impossible.
Par conséquent, ce modèle ne semble pas pertinent.
II - Second modèle
On note Tn la température des gâteaux, en degré Celsius, au bout de n minutes après leur sortie du congélateur.
Ainsi T0= -19.
On admet que pour modéliser l'évolution de la température, on doit avoir la relation suivante :
1. Pour tout entier naturel n,
3. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , nous avons :
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que nous avons :
C'est une évidence puisque
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet,
Donc l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n ,
La température des gâteaux ne peut pas être supérieure à la température ambiante de la terrasse qui est de 25°C.
Par conséquent, ce résultat était prévisible.
4. Nous savons par définition que, pour tout entier naturel n ,
Pour tout entier naturel n ,
Par conséquent, la suite (Tn ) est croissante.
5. La suite (Tn ) est croissante et est majorée par 25.
Donc la suite (Tn ) est convergente.
6. On pose, pour tout entier naturel n ,
6. a) Montrons que la suite (Un ) est une suite géométrique.
Par conséquent, la suite (Un ) est une suite géométrique de raison q = 0,94 dont le premier terme est U0 = -44.
6. b) Le terme général de la suite (Un ) est .
Donc, pour tout n 0,
Dans le contexte de la situation étudiée, cela signifie qu'à long terme, la température des gâteaux tend à se rapprocher de la température ambiante de 25°C.
7. a) Au bout d'une demi-heure après la sortie du congélateur, le rang est n = 30.
D'où la température atteinte par les gâteaux une demi-heure après leur sortie du congélateur est d'environ 18°C.
7. b) Résolvons l'équation
La température doit être donnée par un encadrement entre deux entiers consécutifs.
Donc 17 n 18.
Par conséquent, Cécile doit attendre entre 17 et 18 minutes après la sortie du gâteau du congélateur pour pouvoir le déguster à la température de 10°C.
7. c) Le programme suivant, écrit en langage Python, renvoie après son exécution la plus petite valeur de l'entier n pour laquelle Tn 10.
5 points
exercice au choix du candidat
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
exercice A
Dans un repère orthonormé , on considère :
le point A de coordonnées (1 ; 3 ; 2), le vecteur de coordonnées la droite d passant par l'origine O du repère et admettant pour vecteur directeur
Le but de cet exercice est de déterminer le point de d le plus proche du point A et d'étudier quelques propriétés de ce point.
On pourra s'appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.
1. Déterminons une représentation paramétrique de la droite d.
La droite d est dirigée par le vecteur et passe par le point
D'où une représentation paramétrique de la droite d est donnée par :
,
soit
2. Soit t un nombre réel quelconque et M un point de la droite d, le point M ayant pour coordonnées (t ; t ; 0).
2. a) On note AM la distance entre les points A et M.
2. b) La distance AM est minimale lorsque son carré AM2 est minimal.
Etudions les variations de la fonction f définie sur par
L'expression de la dérivée est :
Etudions le signe de cette dérivée et les variations de f .
D'où AM2, soit AM, est minimal pour t = 2.
Par conséquent, le point M0 de coordonnées (2 ; 2 ; 0) est le point de la droite d pour lequel la distance AM est minimale.
3. Montrons que les droites (AM0) et d sont orthogonales.
Les droites (AM0) et d sont dirigées respectivement par les vecteurs et .
Par conséquent, les droites (AM0) et d sont orthogonales.
4. Montrons que le point M0 est le point du plan (AA'M0) le plus proche du point O en montrant que le point M0 est le projeté orthogonal du point O sur le plan (AA'M0).
Nous avons montré dans la question précédente que les droites (AM0) et d sont orthogonales. Montrons que les droites (A'M0) et d sont orthogonales.
Donc les droites (A'M0) et d sont orthogonales.
Les droites (AM0) et (A'M0) sont sécantes en M0. La droite d est donc orthogonale à deux droites sécantes (AM0) et (A'M0) du plan (AA'M0).
Nous en déduisons que la droite d est orthogonale au plan (AA'M0).
Puisque le point O appartient à la droite d, nous en déduisons que le point M0 est le projeté orthogonal du point O sur le plan (AA'M0).
D'où, le point M0 est le point du plan (AA'M0) le plus proche du point O.
5. Nous avons montré dans la question précédente que la droite d est orthogonale au plan (AA'M0).
Nous pouvons donc considérer que la pyramide OM0A'A possède le triangle M0A'A comme base et OM0 comme hauteur.
Aire de la base M0A'A :
Par définition du point A', nous savons que le triangle M0A'A est rectangle en A'.
Donc
D'où
Calcul de la hauteur OM0 :
Calcul du volume de la pyramide OM0A'A :
exercice B
On considère l'équation différentielle
1. Pour tout réel x ,
D'où
Par conséquent, la fonction u est une solution particulière de (E ).
2. Soit f une fonction définie et dérivable sur .
On note g la fonction définie sur par :
2. a) Démontrons que si la fonction f est solution de l'équation différentielle (E ) alors la fonction g est solution de l'équation différentielle :
La fonction f est solution de l'équation différentielle (E )
Par conséquent, la fonction g est solution de l'équation différentielle :
L'énoncé admet que la réciproque de cette propriété est vraie.
2. b) La solution générale de l'équation différentielle est où C est une constante réelle.
En utilisant le résultat de la question 2. a), nous déduisons que la solution générale de l'équation différentielle (E ) est , soit
3.Étude de la fonction u
3. a) Etudions le signe de la dérivée u' (x ) sur .
Nous avons montré dans la question 1. que
3. b) Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction u sur .
3. c) La concavité de la fonction u se détermine par le signe de la dérivée seconde u ''(x ).
L'exponentielle est strictement positive sur .
Le signe de u ''(x ) est donc le signe du trinôme du second degré x2 + 4x + 2.
Le discriminant de ce trinôme est = 42 - 4 1 2 = 8 > 0.
Les racines du trinôme sont :
D'où le tableau de signes de la dérivée seconde u ''(x ).
Or une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est négative sur cet intervalle.
Par conséquent, la fonction u est concave sur l'intervalle
Dès lors, le plus grand intervalle sur lequel la fonction u est concave est l'intervalle
Publié par malou
le
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