Fiche de mathématiques

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

SESSION 2021

Métropole Candidat libre (1)

MATHÉMATIQUES

Lundi 7 juin 2021

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

4 points

exercice 1 : commun à tous les candidats.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0; + infini

[ par :
$f(x)=\dfrac{\text e ^{2x}}{x}.$

On donne l'expression de la dérivée seconde f '', dérivée de f, définie sur l'intervalle ]0; + infini

[ par :

$f''(x)=\dfrac{2\,\text e ^{2x}\,(2x²-2x+1) }{x^3 }.$

1. La fonction f ' , dérivée de f, est définie sur l'intervalle ]0; + infini

[ par :

$\begin{matrix} \textbf{a.}& f'(x)&=&2\text e ^{2x}& \textbf{b.} &f'(x)&=&\dfrac{\text e ^{2x}\,(x-1)}{x²}\\ \\ \textbf{c.}&f'(x)&=&\dfrac{\text e ^{2x}\,(2x-1)}{x²}\quad \quad & \textbf{d.}& f'(x)&=&\dfrac{\text e ^{2x}\,(1+2x)}{x²} \end{matrix}$

2. La fonction f :

$\begin{matrix} \textbf{a.}& \text{ est décroissante sur }]0; +\infty[& \textbf{b.} &\text{ est monotone sur }]0; +\infty[\\ \\ \textbf{c.}&\text{ admet un minimum en } \frac 1 2 \quad \quad & \textbf{d.}& \text{ admet un maximum en } \frac 1 2 \end{matrix}$

3. La fonction f admet pour limite en + infini

:

$\begin{matrix} \textbf{a.}& +\infty {\white{ww}}& \textbf{b.} & 0 {\white{ww}}& \textbf{c.}& 1 {\white{ww}}& \textbf{d.}& \text e ^{2x} \end{matrix}$

4. La fonction f :

$\begin{matrix} \textbf{a.}& \text{ est concave sur }]0; +\infty[\quad \quad & \textbf{b.} &\text{ est convexe sur }]0; +\infty[\\ \\ \textbf{c.}&\text{ est concave sur } ]0; \frac 1 2 ] \quad \quad & \textbf{d.}& \text{ est représentée par une courbe} \\ &&&\text{ admettant un point d'inflexion} \end{matrix}$

5 points

exercice 2 : commun à tous les candidats

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 5 % des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles : « positif » ou bien « négatif ».

On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.
On note P (E ) la probabilité d'un événement E.
On considère les événements suivants :
${\white{ww}} \bullet {\white{w}}$ D : "la pièce est défectueuse"
${\white{ww}} \bullet {\white{w}}$ T : "la pièce présente un test positif"
${\white{ww}} \bullet {\white{w}}\; \overline D \text{ et } \overline T$ désignent respectivement les événements contraires de D et de T.

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :
${\white{ww}} \bullet {\white{w}}$ La probabilité qu'une pièce présente un test positif sachant qu'elle défectueuse est égale à 0,98 ;
${\white{ww}} \bullet {\white{w}}$ La probabilité qu'une pièce présente un test négatif sachant qu'elle n'est pas défectueuse est égale à 0,97.

Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante.
PARTIE I

1. Traduire la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
2. a. Déterminer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne soit défectueuse et présente un test positif.
${\white {wi}}$ b. Démontrer que : $P(T) = 0,0775.$
3. On appelle valeur prédictive positive du test la probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant que le test est positif. On considère que pour être efficace, un test doit avoir une valeur prédictive positive supérieure à 0,95.
Calculer la valeur prédictive positive de ce test et préciser s'il est efficace.

PARTIE II
On choisit un échantillon de 20 pièces dans la production de la chaîne, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.
On rappelle que : $P(D)=0,05.$
1. Justifier que X est une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.
2. Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse.
On donnera un résultat arrondi au centième.
3. Calculer l'espérance de la variable aléatoire X et interpréter le résultat obtenu.

6 points

exercice 3 : commun à tous les candidats

Cécile a invité des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert un assortiment de gâteaux individuels qu'elle a achetés surgelés.

Elle sort les gâteaux du congélateur à -19 °C et les apporte sur la terrasse où la température ambiante est de 25 °C.

Au bout de 10 minutes la température des gâteaux est de 1,3 °C.

I - Premier modèle On suppose que la vitesse de décongélation est constante, c'est-à-dire que l'augmentation de la température des gâteaux est la même minute après minute.
Selon ce modèle, déterminer quelle serait la température des gâteaux 25 minutes après leur sortie du congélateur.
Ce modèle semble-t-il pertinent ?

II - Second modèle On note T_n la température des gâteaux, en degré Celsius, au bout de n minutes après leur sortie du congélateur ; ainsi T₀= -19.

On admet que pour modéliser l'évolution de la température, on doit avoir la relation suivante :
pour tout entier naturel n, $T_{n+1}-T_n=-0,06\times (T_n-25).$

1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : $T_{n+1}=0,94 \,T_n+1,5.$
2. Calculer T₁ et T ₂ . On donnera des valeurs arrondies au dixième.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : T_n infegal

25.
En revenant à la situation étudiée, ce résultat était-il prévisible ?
4. Étudier le sens de variation de la suite (T_n).
5. Démontrer que la suite (T_n) est convergente.
6. On pose, pour tout entier naturel $n, \quad U_n=T_n-25$ .
${\white {wi}}$ a. Montrer que la suite (U_n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme U₀.
${\white {wi}}$ b. En déduire que pour tout entier naturel n, $T_n=-44\times 0,94^n + 25.$
${\white {wi}}$ c. En déduire la limite de la suite (T_n ). Interpréter ce résultat dans le contexte de la situation étudiée.
7. a. Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d'une demi-heure à température ambiante après leur sortie du congélateur. Quelle est alors la température atteinte par les gâteaux ? On donnera une valeur arrondie à l'entier le plus proche.
${\white {wi}}$ b. Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu'elle aime déguster lorsqu'ils sont encore frais, à la température de 10 °C. Donner un encadrement entre deux entiers consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster son gâteau.
${\white {wi}}$ c. Le programme suivant, écrit en langage Python, doit renvoyer après son exécution la plus petite valeur de l'entier n pour laquelle T_n supegal

10.

Sujet Bac 2021 Métropole Candidat libre (1) : image 1

Recopier ce programme sur la copie
et compléter les lignes incomplètes
afin que le programme renvoie la
valeur attendue.

5 points

exercice au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer le choix, les principaux domaines abordés sont indiqués en début de chaque exercice.

Exercice A

$\begin{tabular}{|l|} \hline \textbf{ Principaux domaines abordés :} \\ {\white{l}}\textbf{Géométrie de l'espace rapporté à un repère orthonormé ; orthogonalité dans l'espace.} \\ \hline \end{tabular}$
Dans un repère orthonormé $(O\,;\, \vec i\,,\, \vec j\,,\, \vec k\,),$ on considère :
${\white{w}} \bullet {\white{l}}$ le point A de coordonnées (1 ; 3 ; 2),
${\white{w}} \bullet {\white{l}}$ le vecteur vectu

de coordonnées $\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ,
${\white{w}} \bullet {\white{l}}$ la droite d passant par l'origine O du repère et admettant pour vecteur directeur vectu

.

Le but de cet exercice est de déterminer le point de d le plus proche du point A et d'étudier quelques propriétés de ce point.

On pourra s'appuyer sur la figure ci-dessous pour raisonner au fur et à mesure des questions.

Sujet Bac 2021 Métropole Candidat libre (1) : image 2

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d.
2. Soit t un nombre réel quelconque, et M un point de la droite d, le point M ayant pour coordonnées (t ; t ; 0).
${\white {wi}}$ a. On note AM la distance entre les points A et M. Démontrer que :

$AM ² = 2t^2 - 8t+ 14 .$
${\white {wi}}$ b. Démontrer que le point M₀ de coordonnées (2 ; 2 ; 0) est le point de la droite d pour lequel la distance AM est minimale. On admettra que la distance AM est minimale lorsque son carré AM² est minimal.
3. Démontrer que les droites (AM₀ ) et d sont orthogonales.
4. On appelle A' le projeté orthogonal du point A sur le plan d'équation cartésienne z = 0. Le point A' admet donc pour coordonnées (1 ; 3 ; 0).
Démontrer que le point M₀ est le point du plan (AA'M₀ ) le plus proche du point O, origine du repère.
5. Calculer le volume de la pyramide OM₀ A'A.
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par : $V=\frac 1 3 \mathcal B h$ , où $\mathcal B$ est l'aire d'une base et h est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.

Exercice B

$\begin{tabular}{|l|} \hline \textbf{ Principaux domaines abordés :} \\ {\white{l}}\textbf{Équations différentielles ; fonction exponentielle .} \\ \hline \end{tabular}$

On considère l'équation différentielle $(E) : y'=y+2x\text e^x.$
On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'ensemble R des nombres réels qui sont solutions de cette équation.

1. Soit u la fonction définie sur R par $u(x)=x²\text e^x.$ On admet que u est dérivable et on note u' sa fonction dérivée. Démontrer que u est une solution particulière de (E ).
2. Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On note g la fonction définie sur R par :

$g(x)=f(x)-u(x).$
${\white {wi}}$ a. Démontrer que si la fonction f est solution de l'équation différentielle (E ) alors la fonction g est solution de l'équation différentielle : $y'=y$ .
On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.
${\white {wi}}$ b. À l'aide de la résolution de l'équation différentielle $y'=y$ , résoudre l'équation différentielle (E ).
3. Étude de la fonction u
${\white {wi}}$ a. Étudier le signe de $u'(x)$ pour x variant dans R.
${\white {wi}}$ b. Dresser le tableau de variations de la fonction u sur R (les limites ne sont pas demandées).
${\white {wi}}$ c. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction u est concave.

Voir la correction

Bac 2021 Métropole Candidat libre (1)

4 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

1. La fonction f' , dérivée de f , est définie sur l'intervalle ]0; + infini

[ par : ${\red{f'(x)=\dfrac{\text{e}^{2x}\,(2x-1)}{x^2}}}.$

$f'(x)=\left(\dfrac{\text{e}^{2x}}{x}\right)'=\dfrac{(\text{e}^{2x})'\times x-\text{e}^{2x}\times x'}{x^2} \\\phantom{f'(x)=\left(\dfrac{\text{e}^{2x}}{x}\right)'}=\dfrac{(2x)'\times\text{e}^{2x}\times x-\text{e}^{2x}\times 1}{x^2} \\\phantom{f'(x)=\left(\dfrac{\text{e}^{2x}}{x}\right)'}=\dfrac{2\times\text{e}^{2x}\times x-\text{e}^{2x}}{x^2} \\\phantom{f'(x)=\left(\dfrac{\text{e}^{2x}}{x}\right)'}=\dfrac{2x\,\text{e}^{2x}-\text{e}^{2x}}{x^2} \\\phantom{f'(x)=\left(\dfrac{\text{e}^{2x}}{x}\right)'}=\dfrac{\text{e}^{2x}\,(2x-1)}{x^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{\text{e}^{2x}\,(2x-1)}{x^2}}$
Par conséquent, la proposition correcte est la proposition c).

2. La fonction f admet un minimum en ${\red{\dfrac{1}{2}}}.$
Par la question précédente, nous savons que $f'(x)=\dfrac{\text{e}^{2x}\,(2x-1)}{x^2}.$
Puisque l'exponentielle et x ² sont strictement positifs sur ]0; + infini

[, le signe de f' (x ) est le signe de (2x - 1).

${\white{wwwwww}}\begin{matrix}2x-1<0\Longleftrightarrow 2x<1\\\phantom{2x-1<.}\Longleftrightarrow x<\dfrac{1}{2}\\\\2x-1=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\\\\2x-1>0\Longleftrightarrow x>\dfrac{1}{2}\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\dfrac{1}{2}&&+\infty\\&&&&&\\\hline 2x-1&&-&0&+&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$
Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.

${\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\dfrac{1}{2}&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &&&&& \\ f(x)&&\searrow&&\nearrow& \\ &&&\text{minimum}&& \\ \hline \end{array}\end{matrix}$

La fonction f admet un minimum en $\dfrac{1}{2}.$
Par conséquent, la proposition correcte est la proposition c).

3. La fonction f admet pour limite en + infini

: $\overset{{\white{.}}}{{\red{+\infty}}.}$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{2x}}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(2\times \dfrac{\text{e}^{2x}}{2x}\right)=2\times \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\text{e}^{2x}}{2x}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{2x}}{x}}=2\times \lim\limits_{2x\to+\infty}\left(\dfrac{\text{e}^{2x}}{2x}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{2x}}{x}}=2\times \lim\limits_{X\to+\infty}\left(\dfrac{\text{e}^{X}}{X}\right)}\phantom{www}(\text{en posant }X=2x) \\\\\text{Or }\lim\limits_{X\to+\infty}\left(\dfrac{\text{e}^{X}}{X}\right)=+\infty{\phantom{ww}}(\text{par les croissances comparées}) \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{2x}}{x}=+\infty}$
Par conséquent, la proposition correcte est la proposition a).

4. La fonction f est convexe sur $\overset{{\white{.}}}{{\red{]0\,;\,+\infty[}}.}$

La convexité de la fonction f est déterminée par le signe de la dérivée seconde f'' (x ).

L'énoncé nous indique que $f''(x)=\dfrac{2\,\text{e}^{2x}\,(2x^2-2x+1)}{x^3}.$
Puisque l'exponentielle et x ³ sont strictement positifs sur ]0; + infini

[, le signe de f'' (x ) est le signe du trinôme du second degré (2x ² - 2x + 1).
Le discriminant du trinôme est deltamaj

= (-2)² - 4 multiplie

1 = 4 - 8 = -4 < 0.
Puisque ce discriminant est strictement négatif, le trinôme (2x ² - 2x + 1) est du signe du coefficient de x ², soit positif pour tout x appartenant à ]0; + infini

[.
D'où f'' (x ) > 0 pour tout x appartenant à ]0; + infini

[.
Nous en déduisons que la fonction f est convexe sur ]0; + infini

[.
Par conséquent, la proposition correcte est la proposition b).

5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

Partie I

1. Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 5 % des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.
${\white{w}} \bullet$ La probabilité qu'une pièce présente un test positif sachant qu'elle défectueuse est égale à 0,98 ;
${\white{w}} \bullet$ La probabilité qu'une pièce présente un test négatif sachant qu'elle n'est pas défectueuse est égale à 0,97.
Arbre pondéré représentant la situation.

Sujet Bac 2021 Métropole Candidat libre (1) : image 5

2. a) Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P(D\cap T).}$

$P(D\cap T)=P(D)\times P_D(T) \\\phantom{P(D\cap T)}=0,05\times 0,98 \\\phantom{P(D\cap T)}=0,049 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D\cap T)=0,049}$
Par conséquent, la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne soit défectueuse et présente un test positif est égale à 0,049.

2. b) Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P(T).}$

Les événements $\overset{{\white{.}}}{D}$ et $\overline{D}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(T)=P(D\cap T)+P(\overline{D}\cap T) \\\phantom{P(T)}=0,049+P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(T) \\\phantom{P(T)}=0,049+0,95\times0,03 \\\phantom{P(T)}=0,049+0,0285 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(T)=0,0775}$

3. Nous devons déterminer $P_T(D).$

$P_T(D)=\dfrac{P(D\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,049}{0,0775} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_T(D)=\dfrac{0,049}{0,0775}\approx0,63}$
D'où, la probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant que le test est positif est environ égale à 0,63 (valeur arrondie au centième).
La valeur prédictive positive de ce test est donc environ égale à 0,63.
Le test n'est pas efficace car 0,63 est inférieur à 0,95.

Partie II

1. Lors de cette expérience, on répète 20 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "la pièce est défectueuse" dont la probabilité est p = 0,05.
Echec : "la pièce n'est pas défectueuse" dont la probabilité est 1 - p = 1 - 0,05 = 0,95.
La variable aléatoire X compte le nombre de pièces défectueuses, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre p = 0,05 et n = 20.

2. Nous devons déterminer $P(X\ge1).$
L'événement contraire de l'événement "au moins une pièce est défectueuse" est "aucune pièce n'est défectueuse".
$\text{Or }\ P(X=0)=\begin{pmatrix}20\\0\end{pmatrix}\times(0,05)^0\times\left(1-0,05\right)^{20-0} \\\phantom{P(X=0)}=1\times1\times\left(0,95\right)^{20} \\\phantom{P(X=0)}\approx0,36 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=0)\approx 0,36} \\\\\text{Dès lors, }\ P(X\ge1)\approx1-0,36\Longrightarrow\boxed{P(X\ge1)\approx0,64.}$
Par conséquent, la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse est environ égale à 0,64 (valeur arrondie au centième).

3. L'espérance $\overset{{\white{.}}}{E(X)=n\times p=20\times0,05\Longrightarrow\boxed{E(X)=1}\,.}$
Donc nous pouvons estimer que chaque échantillon de 20 pièces contient en moyenne une pièce défectueuse.

6 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

2,03 = 50,75°C.
Or la température initiale est de -19°C.
Donc la température des gâteaux 25 minutes après leur sortie du congélateur est de -19 + 50,75 = 31,75°C.

Selon ce modèle, la température des gâteaux serait supérieure à la température ambiante de la terrasse qui est de 25°C, ce qui est impossible.
Par conséquent, ce modèle ne semble pas pertinent.

II - Second modèle

On note T_n la température des gâteaux, en degré Celsius, au bout de n minutes après leur sortie du congélateur.
Ainsi T ₀= -19.
On admet que pour modéliser l'évolution de la température, on doit avoir la relation suivante : $\overset{{\white{.}}}{T_{n+1}-T_n=-0,06\times (T_n-25){\white{www}}(n\in\N).}$

1. Pour tout entier naturel n ,

$T_{n+1}-T_n=-0,06\times (T_n-25)\Longleftrightarrow T_{n+1}-T_n=-0,06\,T_n+0,06\times25 \\\phantom{T_{n+1}-T_n=-0,06\times (T_n-25)}\Longleftrightarrow T_{n+1}-T_n=-0,06\,T_n+1,5 \\\phantom{T_{n+1}-T_n=-0,06\times (T_n-25)}\Longleftrightarrow T_{n+1}=T_n-0,06\,T_n+1,5 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T_{n+1}-T_n=-0,06\times (T_n-25)}\Longleftrightarrow \boxed{T_{n+1}=0,94\,T_n+1,5}}$

${\red{2.\ }}\ \bullet\ \boxed{T_0=-19} \\\\\phantom{{\red{2.\ }}\ } \bullet\ T_{1}=0,94\,T_0+1,5 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ \bullet\ T_{1}}=0,94\times(-19)+1,5 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ \bullet\ T_{1}}=-16,36 \\\\\phantom{{\red{2.\ }}\ \bullet\ }\Longrightarrow \boxed{T_{1}\approx-16,4} \\\\\phantom{{\red{2.\ }}\ } \bullet\ T_{2}=0,94\,T_1+1,5 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ \bullet\ T_{1}}=0,94\times(-16,36)+1,5 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ \bullet\ T_{1}}=-13,8784 \\\\\phantom{{\red{2.\ }}\ \bullet\ }\Longrightarrow \boxed{T_{2}\approx-13,9}$

3. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , nous avons : $\overset{{\white{.}}}{T_n\le25.}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que nous avons : $\overset{{\white{.}}}{T_0\le25}$
C'est une évidence puisque $\overset{{\white{.}}}{T_0=-19\le25\Longrightarrow T_0\le25.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{T_n\le25}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{T_{n+1}\le25.}$

En effet,

$\left\lbrace\begin{matrix}T_{n+1}=0,94\,T_n+1,5\\T_n\le25\phantom{wwwwww}\end{matrix}\right.\phantom{www}\Longrightarrow\phantom{www}T_{n+1}\le0,94\times25+1,5 \\\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\phantom{www}T_{n+1}\le23,5+1,5 \\\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\phantom{www}\boxed{T_{n+1}\le25}$
Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{T_n\le25.}$
La température des gâteaux ne peut pas être supérieure à la température ambiante de la terrasse qui est de 25°C.
Par conséquent, ce résultat était prévisible.

4. Nous savons par définition que, pour tout entier naturel n , $T_{n+1}-T_n=-0,06\times (T_n-25).$

Pour tout entier naturel n ,

$T_n\le25\Longrightarrow T_n-25\le0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T_n\le25}\Longrightarrow -0,06\times (T_n-25)\ge0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{T_n\le25}\Longrightarrow \boxed{T_{n+1}-T_n\ge0}}$
Par conséquent, la suite (T_n ) est croissante.

5. La suite (T_n ) est croissante et est majorée par 25.
Donc la suite (T_n ) est convergente.

6. On pose, pour tout entier naturel n , $U_n=T_n-25.$

6. a) Montrons que la suite (U_n ) est une suite géométrique.

$U_{n+1}=T_{n+1}-25 \\\phantom{U_{n+1}}=(0,94\,T_{n}+1,5)-25 \\\phantom{U_{n+1}}=0,94\,T_{n}-23,5 \\\phantom{U_{n+1}}=0,94\,T_{n}-0,94\times25 \\\phantom{U_{n+1}}=0,94\,(T_{n}-25) \\\phantom{U_{n+1}}=0,94\,U_n \\\\\Longrightarrow\boxed{U_{n+1}=0,94\,U_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:U_0=T_0-25=-19-25\Longrightarrow\boxed{U_0=-44}$

Par conséquent, la suite (U_n ) est une suite géométrique de raison q = 0,94 dont le premier terme est U₀ = -44.

6. b) Le terme général de la suite (U_n ) est $\overset{{\white{.}}}{U_n=U_0\times q^{n}}$ .
Donc, pour tout n supegal

0, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{U_n=-44\times0,94^{n}}}$

$\forall\ n\in\N, \left\lbrace\begin{matrix}U_n=T_n-25{\white{ww}}\\U_n=-44\times0,94^{n}\end{matrix}\right.{\white{wwww}}\Longrightarrow{\white{ww}} T_n-25=-44\times0,94^{n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N,\ T_n=-44\times0,94^{n}+25}$

${\red{6.\ \text{c) }}}\ 0<0,94<1\Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}0,94^n=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{6.\ \text{c) }}}\ 0<0,94<1}\Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}(-44\times0,94^n)=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{6.\ \text{c) }}}\ 0<0,94<1}\Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}(-44\times0,94^n+25)=25} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{6.\ \text{c) }}}\ 0<0,94<1}\Longrightarrow \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} T_n=25}}$
Dans le contexte de la situation étudiée, cela signifie qu'à long terme, la température des gâteaux tend à se rapprocher de la température ambiante de 25°C.

7. a) Au bout d'une demi-heure après la sortie du congélateur, le rang est n = 30.

$T_{30}=-44\times0,94^{30}+25\Longrightarrow\boxed{T_{30}\approx 18}$
D'où la température atteinte par les gâteaux une demi-heure après leur sortie du congélateur est d'environ 18°C.

7. b) Résolvons l'équation $\overset{{\white{.}}}{T_n=10.}$

$T_n=10\Longleftrightarrow -44\times0,94^{n}+25=10 \\\phantom{T_n=10}\Longleftrightarrow -44\times0,94^{n}=-15 \\\phantom{T_n=10}\Longleftrightarrow 0,94^{n}=\dfrac{15}{44} \\\phantom{T_n=10}\Longleftrightarrow \ln\left(0,94^{n}\right)=\ln\left(\dfrac{15}{44}\right) \\\phantom{T_n=10}\Longleftrightarrow n\times\ln\left(0,94\right)=\ln\left(\dfrac{15}{44}\right) \\\phantom{T_n=10}\Longleftrightarrow n=\dfrac{\ln\left(\dfrac{15}{44}\right)}{\ln\left(0,94\right)} \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln\left(\dfrac{15}{44}\right)}{\ln\left(0,94\right)}\approx17,39.$
La température doit être donnée par un encadrement entre deux entiers consécutifs.
Donc 17 n 18.
Par conséquent, Cécile doit attendre entre 17 et 18 minutes après la sortie du gâteau du congélateur pour pouvoir le déguster à la température de 10°C.

7. c) Le programme suivant, écrit en langage Python, renvoie après son exécution la plus petite valeur de l'entier n pour laquelle T_n supegal

10.

$\begin{array}{|c|}\hline \text{d}\text{e}\text{f} \text{ seuil}():{\phantom{wwwwwwww}}\\\text{n = 0}{\phantom{wwwwwww}}\\\text{T = }{\red{-19}}{\phantom{wwwww}} \\\text{while T }{\red{<10}}\text{ :}{\phantom{ww}} \\ {\phantom{wwwwww.}}\text{T = }{\red{0,94\times\text{T}+1,5}}\\ {\phantom{w}}\text{n = n + 1} \\\text{return n}{\phantom{wwwwww}} \\\hline\end{array}$
5 points

exercice au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

exercice A

Sujet Bac 2021 Métropole Candidat libre (1) : image 4

Dans un repère orthonormé $(O\,;\, \vec i\,,\, \vec j\,,\, \vec k\,)$ ,
on considère :

${\white{w}} \bullet {\white{l}}$ le point A de coordonnées (1 ; 3 ; 2),
${\white{w}} \bullet {\white{l}}$ le vecteur $\vec u$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},$
${\white{w}} \bullet {\white{l}}$ la droite d passant par l'origine O du
${\white{www}}$ repère et admettant pour vecteur
${\white{www}}$ directeur $\vec u .$

Le but de cet exercice est de déterminer le
point de d le plus proche du point A et
d'étudier quelques propriétés de ce point.

On pourra s'appuyer sur la figure ci-contre
pour raisonner au fur et à mesure des
questions.

1. Déterminons une représentation paramétrique de la droite d.

La droite d est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{\red{1}}\\ {\red{1}}\\ {\red{0}}\end{pmatrix}$ et passe par le point $\overset{{\white{.}}}{\text{O}({\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}).}$
D'où une représentation paramétrique de la droite d est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{0}}+{\red{1}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{1}}\times t\\z={\blue{0}}+{\red{0}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$ , soit $\boxed{d:\left\lbrace\begin{array}l x=t\\y=t\\z=0 \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

2. Soit t un nombre réel quelconque et M un point de la droite d, le point M ayant pour coordonnées (t ; t ; 0).

2. a) On note AM la distance entre les points A et M.

$\left\lbrace\begin{array}l A(1\ ;\,3\ ;\,2))\\M(t\,;\,t\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}t-1\\t-3\\0-2\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}t-1\\t-3\\-2\end{pmatrix}}$

$\text{D'où }\ AM^2=(t-1)^2+(t-3)^2+(-2)^2 \\\phantom{\text{D'où }\ AM^2}=t^2-2t+1+t^2-6t+9+4 \\\phantom{\text{D'où }\ AM^2}=2t^2-8t+14 \\\\\Longrightarrow\boxed{AM^2=2t^2-8t+14}$

2. b) La distance AM est minimale lorsque son carré AM² est minimal.
Etudions les variations de la fonction f définie sur

par $f(t)=2t^2-8t+14$

L'expression de la dérivée est : $f'(t)=4t-8$
Etudions le signe de cette dérivée et les variations de f .

${\white{wwwwww}}\begin{matrix}4t-8<0\Longleftrightarrow 4t<8\\\phantom{2x-1<.}\Longleftrightarrow t<2\\\\4t-8=0\Longleftrightarrow t=2\\\\4t-8>0\Longleftrightarrow t>2\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ t&-\infty&&2&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(t)=4t-8&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &&&&& \\ f(t)=AM^2=2t^2-8t+14&&\searrow&&\nearrow& \\ &&&\text{minimum}&& \\ \hline \end{array}\end{matrix}$

D'où AM², soit AM, est minimal pour t = 2.
Par conséquent, le point M₀ de coordonnées (2 ; 2 ; 0) est le point de la droite d pour lequel la distance AM est minimale.

3. Montrons que les droites (AM₀) et d sont orthogonales.

Les droites (AM₀) et d sont dirigées respectivement par les vecteurs $\overrightarrow{AM_0}$ et $\overrightarrow{u}$ .

$\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}A\,(1\,;\,3\,;\,2)\\M_0\,(2\,;\,2\,;\,0)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{AM_0}\,(2-1\,;\,2-3\,;\,0-2)\\ {\white{wwwwwwwwww}}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AM_0}\,(1\,;\,-1\,;\,-2)} \\\\\phantom{\text{Or }}\text{et }\boxed{\vec u\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}} \\\\ \overrightarrow{AM_0}.\overrightarrow{u}=1\times1-1\times1-2\times0 \\\phantom{\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{FC}}=1-1+0 \\\phantom{\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{FC}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AM_0}\perp\overrightarrow{u}}\\ {\white{wwwwwwwwww}}$
Par conséquent, les droites (AM₀) et d sont orthogonales.

4. Montrons que le point M₀ est le point du plan (AA'M₀) le plus proche du point O en montrant que le point M₀ est le projeté orthogonal du point O sur le plan (AA'M₀).

${\white{w}} \bullet {\white{l}}$ Nous avons montré dans la question précédente que les droites (AM₀) et d sont orthogonales.
${\white{w}} \bullet {\white{l}}$ Montrons que les droites (A'M₀) et d sont orthogonales.

$\left\lbrace\begin{matrix}A'\,(1\,;\,3\,;\,0)\\M_0\,(2\,;\,2\,;\,0)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{A'M_0}\,(2-1\,;\,2-3\,;\,0-0)\\ {\white{www,wwwww}}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{A'M_0}\,(1\,;\,-1\,;\,0)} \\\\\phantom{\text{Or }}\text{et }\boxed{\vec u\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}} \\\\ \overrightarrow{A'M_0}.\overrightarrow{u}=1\times1-1\times1-0\times0 \\\phantom{\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{FC}}=1-1+0 \\\phantom{\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{FC}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{A'M_0}\perp\overrightarrow{u}}\\ {\white{wwwwwwwwww}}$
Donc les droites (A'M₀) et d sont orthogonales.

${\white{w}} \bullet {\white{l}}$ Les droites (AM₀) et (A'M₀) sont sécantes en M₀.
${\white{w}} \bullet {\white{l}}$ La droite d est donc orthogonale à deux droites sécantes (AM₀) et (A'M₀) du plan (AA'M₀).
Nous en déduisons que la droite d est orthogonale au plan (AA'M₀).

Puisque le point O appartient à la droite d, nous en déduisons que le point M₀ est le projeté orthogonal du point O sur le plan (AA'M₀).
D'où, le point M₀ est le point du plan (AA'M₀) le plus proche du point O.

5. Nous avons montré dans la question précédente que la droite d est orthogonale au plan (AA'M₀).
Nous pouvons donc considérer que la pyramide OM₀A'A possède le triangle M₀A'A comme base et OM₀ comme hauteur.

Aire de la base M₀A'A :
Par définition du point A', nous savons que le triangle M₀A'A est rectangle en A'.
Donc $\text{Aire}_{\text{triangle }M_0A'A}=\dfrac{M_0A'\times AA'}{2}$

$\text{Or }\ M_0A'=\sqrt{(x_{A'}-x_{M_0})^2+(y_{A'}-y_{M_0})^2+(z_{A'}-z_{M_0})^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\ M_0A'}=\sqrt{(1-2)^2+(3-2)^2+(0-0)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\ M_0A'}=\sqrt{(-1)^2+1^2+0}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\ M_0A'}=\sqrt{2}} \\\\\text{et }\ AA'=2$
D'où $\text{Aire}_{\text{triangle }M_0A'A}=\dfrac{\sqrt{2}\times 2}{2}\Longrightarrow\boxed{\text{Aire}_{M_0A'A}=\sqrt{2}}$

Calcul de la hauteur OM₀ :
$OM_0=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2+(0-0)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{OM_0}=\sqrt{2^2+2^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{OM_0=\sqrt{8}}$

Calcul du volume de la pyramide OM₀A'A :

$\text{Volume}_{\text{pyramide }OM_0A'A}=\dfrac{1}{3}\times\text{Aire}_{\text{triangle }M_0A'A}\times OM_0 \\\\\phantom{\text{Volume}_{\text{pyramide }OM_0A'A}}=\dfrac{1}{3}\times\sqrt{2}\times \sqrt{8} \\\\\phantom{\text{Volume}_{\text{pyramide }OM_0A'A}}=\dfrac{1}{3}\times\sqrt{16} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Volume}_{\text{pyramide }OM_0A'A}=\dfrac{4}{3}}$

exercice B

On considère l'équation différentielle $(E) : y'=y+2x\,\text{e}^x.$

1. Pour tout réel x ,

$u(x)=x^2\,\text{e}^x\Longrightarrow u'(x)=(x^2)'\times\text{e}^x+x^2\times(\text{e}^x)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u(x)=x^2\,\text{e}^x\Longrightarrow u'(x)}=2x\times\text{e}^x+x^2\times\text{e}^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u(x)=x^2\,\text{e}^x\Longrightarrow u'(x)}=2x\,\text{e}^x+u(x)}$
D'où $\overset{{\white{.}}}{\boxed{u'(x)=u(x)+2x\,\text{e}^x}\,.}$
Par conséquent, la fonction u est une solution particulière de (E ).

2. Soit f une fonction définie et dérivable sur

.
On note g la fonction définie sur

par : $g(x)=f(x)-u(x).$

2. a) Démontrons que si la fonction f est solution de l'équation différentielle (E ) alors la fonction g est solution de l'équation différentielle : $\overset{{\white{.}}}{y'=y}.$

La fonction f est solution de l'équation différentielle (E ) equivaut

$f'(x)=f(x)+2x\,\text{e}^x.$

$\text{Or }\ g(x)=f(x)-u(x)\Longrightarrow g'(x)=f'(x)-u'(x) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\ g(x)=f(x)-u(x)}\Longrightarrow g'(x)=[f(x)+2x\,\text{e}^x]-[u(x)+2x\,\text{e}^x]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\ g(x)=f(x)-u(x)}\Longrightarrow g'(x)=f(x)+2x\,\text{e}^x-u(x)-2x\,\text{e}^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\ g(x)=f(x)-u(x)}\Longrightarrow g'(x)=f(x)-u(x)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\ g(x)=f(x)-u(x)}\Longrightarrow \boxed{g'(x)=g(x)}}$
Par conséquent, la fonction g est solution de l'équation différentielle : $\overset{{\white{.}}}{y'=y}.$

L'énoncé admet que la réciproque de cette propriété est vraie.

2. b) La solution générale de l'équation différentielle $\overset{{\white{.}}}{y'=y}$ est $\overset{{\white{.}}}{g(x)=C\,\text{e}^x}$ où C est une constante réelle.

En utilisant le résultat de la question 2. a), nous déduisons que la solution générale de l'équation différentielle (E ) est $\overset{{\white{.}}}{f(x)=g(x)+u(x)}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{\boxed{f(x)=C\,\text{e}^x+x^2\,\text{e}^x,\phantom{...}(C\in\R)}}$

3. Étude de la fonction u

3. a) Etudions le signe de la dérivée u' (x ) sur

.
Nous avons montré dans la question 1. que $\overset{{\white{.}}}{u'(x)=u(x)+2x\,\text{e}^x.}$

$u'(x)=u(x)+2x\,\text{e}^x\Longrightarrow u'(x)=x^2\,\text{e}^x+2x\,\text{e}^x \\\phantom{u'(x)=2x\,\text{e}^x+u(x)\Longrightarrow u'(x)}=(x^2+2x)\,\text{e}^x \\\\\Longrightarrow \boxed{u'(x)=x(x+2)\,\text{e}^x} \\\\ {\white{ww}}\begin{matrix}x+2<0\Longleftrightarrow x<-2\\\\x+2=0\Longleftrightarrow x=-2\\\\x+2>0\Longleftrightarrow x>-2\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&-2&&0&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline x&&-&-&-&0&+&\\x+2&&-&0&+&+&+&\\\text{e}^x&&+&+&+&+&+&\\\hline&&&&&&&\\u'(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

3. b) Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction u sur

.

${\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&-2&&0&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\u'(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&4\,\text{e}^{-2}&&&& \\u&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow& \\ &&&&&0&& \\ \hline \end{array}\end{matrix}$

3. c) La concavité de la fonction u se détermine par le signe de la dérivée seconde u ''(x ).

$u''(x)=[(x^2+2x)\,\text{e}^x]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u'(x)}=(x^2+2x)'\times\text{e}^x+(x^2+2x)\times(\text{e}^x)'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u'(x)}=(2x+2)\times\text{e}^x+(x^2+2x)\times\text{e}^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u'(x)}=(2x+2+x^2+2x)\times\text{e}^x} \\\\\Longrightarrow \boxed{u''(x)=(x^2+4x+2)\,\text{e}^x}$

L'exponentielle est strictement positive sur

.
Le signe de u ''(x ) est donc le signe du trinôme du second degré x ² + 4x + 2.
Le discriminant de ce trinôme est deltamaj

= 4² - 4

2 = 8 > 0.
Les racines du trinôme sont :

$x_1=\dfrac{-4-\sqrt{8}}{2}=\dfrac{-4-2\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2(-2-\sqrt{2})}{2}\Longrightarrow \boxed{x_1=-2-\sqrt{2}} \\\\x_2=\dfrac{-4+\sqrt{8}}{2}=\dfrac{-4+2\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2(-2+\sqrt{2})}{2}\Longrightarrow \boxed{x_2=-2+\sqrt{2}}$

D'où le tableau de signes de la dérivée seconde u ''(x ).

${\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&-2-\sqrt{2}&&-2+\sqrt{2}&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\u''(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

Or une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est négative sur cet intervalle.
Par conséquent, la fonction u est concave sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-2-\sqrt{2}\,;\,-2+\sqrt{2}\,[\ .}$
Dès lors, le plus grand intervalle sur lequel la fonction u est concave est l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[-2-\sqrt{2}\,;\,-2+\sqrt{2}\,]\ .}$

Publié par malou le 15-07-2021

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