Fiche de mathématiques

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Centres étrangers (2) SESSION 2021

MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

5 points

exercice 1 commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Barème : une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

Question 1 :
On considère la fonction g définie sur ]0 ; + infini

[ par $g(x)=x²+2x-\dfrac 3 x .$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 1 est :

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Question 2 :
On considère la suite ( v_n ) définie sur N par $v_n=\dfrac{3n}{n+2}.$ On cherche à déterminer la limite de v_n lorsque n tend vers + infini

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Question 3 :
Dans une urne il y a 6 boules noires et 4 boules rouges. On effectue successivement 10 tirages aléatoires avec remise. Quelle est la probabilité (à 10^-4 près) d'avoir 4 boules noires et 6 boules rouges ?

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Question 4 :
On considère la fonction f définie sur R par $f(x)=3\text e ^x -x.$

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Question 5 :
Un code inconnu est constitué de 8 signes. Chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Il y a donc 36 signes utilisables pour chacune des positions.
Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde.
En combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir ce code ?

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5 points

exercice 2 commun à tous les candidats

Au 1^er janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait 10 560 panneaux solaires. On observe, chaque année, que 2 % des panneaux se sont détériorés et nécessitent d'être retirés tandis que 250 nouveaux panneaux solaires sont installés.

Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite
On modélise l'évolution du nombre de panneaux solaires par la suite (u_n ) définie par u₀ = 10 560 et, pour tout entier naturel n , $u_{n+1} = 0,98 u_n + 250$ , où u_n est le nombre de panneaux solaires au 1^er janvier de l'année 2020 + n.
1. a. Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.
${\white{vl}}$ b. On souhaite savoir au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à 12 000. A l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
${\white{vl}}$ c. Recopier et compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable n à l'issue de l'exécution de ce dernier.

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2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a u_n infegal

12 500.
3. Démontrer que la suite (u_n ) est croissante.
4. En déduire que la suite (u_n ) converge. Il n'est pas demandé, ici, de calculer sa limite.
5. On définit la suite (v_n ) par $v_n=u_n - 12\; 500$ , pour tout entier naturel n.
${\white{vl}}$ a. Démontrer que la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison 0,98 dont on précisera le premier terme.
${\white{vl}}$ b. Exprimer, pour tout entier naturel n, v_n en fonction de n.
${\white{vl}}$ c. En déduire, pour tout entier naturel n, u_n en fonction de n.
${\white{vl}}$ d. déterminer la limite de la suite (u_n ). Interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.

Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction
Une modélisation plus précise a permis d'estimer le nombre de panneaux solaires de la centrale à l'aide de la fonction f définie pour tout x appartient

[0 ; +

[ par $f(x)=12500-500\text e ^{-0,02x+1,4} ,$ où x représente le nombre d'années écoulées depuis le 1^er janvier 2020.

1. Etudier le sens de variation de la fonction f.
2. Déterminer la limite de la fonction f en + infini

.
3. En utilisant ce modèle, déterminer au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires dépassera 12 000.

5 points

exercice 3 commun à tous les candidats

ABCDEFGH est un cube. I est le centre de la face ADHE et J est un point du segment [CG].
Il existe donc a appartient

[0 ; 1] tel que $\overrightarrow{ \text{CJ}}=a\;\overrightarrow{ \text{CG}}.$
On note (d ) la droite passant par I et parallèle à (FJ).
On note K et L les points d'intersection de la droite (d ) et des droites (AE) et (DH).
On se place dans le repère $(\text A; \overrightarrow{ \text{AB}}; \overrightarrow{ \text{AD}}; \overrightarrow{ \txt{AE}}).$

Partie A : Dans cette partie $a=\frac 2 3$

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1. Donner les coordonnées des points F, I et J.
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d ).
3. a. Montrer que le point de coordonnées $(0; \,0; \, \frac 2 3 )$ est le point K.
${\white{vl}}$ b. Déterminer les coordonnées du point L, intersection des droites (d ) et (DH).
4. a. Démontrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.
${\white{vl}}$ b. Démontrer que le quadrilatère FJLK est un losange.
${\white{vl}}$ c. Le quadrilatère FJLK est-il un carré ?

Partie B : Cas général
On admet que les coordonnées des points K et L sont : K $(0;\, 0;\, 1-\frac a 2 )$ et L $(0;\, 1;\, \frac a 2 ).$
On rappelle que a appartient

[0 ; 1].
1. Déterminer les coordonnées de J en fonction de a.
2. Montrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.
3. Existe-t-il des valeurs de a telles que le quadrilatère FJLK soit un losange ? Justifier.
4. Existe-t-il des valeurs de a telles que le quadrilatère FJLK soit un carré ? Justifier.

5 points

exercice au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.

EXERCICE A - Fonction ln
Partie A :
Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de 0,05. On possède un test de dépistage de cette maladie.
On considère un échantillon de n personnes (n supegal

20) prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.

On teste l'échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces n individus, on teste le mélange. Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.
Soit X_n la variable aléatoire qui donne le nombre d'analyses effectuées.

1. Montrer que X_n prend les valeurs 1 et (n + 1 ).
2. Prouver que $P(X_n=1)=0,95 ^n.$
Établir la loi de X_n en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant :

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3. Que représente l'espérance de X_n dans le cadre de l'expérience ?
Montrer que $E(X_n)=n+1-n\times 0,95^n.$

Partie B :
1. On considère la fonction f définie sur [20; + infini

[ par $f(x)=\ln ( x) + x\,\ln(0,95)$ .
Montrer que f est décroissante sur [20; + infini

[ .
2. On rappelle $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}\dfrac {\ln x}{x}=0.$ Montrer que $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}f(x)=-\infty .$
3. Montrer que f ( x ) = 0 admet une unique solution alpha

sur [20; + infini

[.
Donner un encadrement à 0,1 près de cette solution.
4. En déduire le signe de f sur [20; + infini

[.

Partie C :
On cherche à comparer deux types de dépistages. La première méthode est décrite dans la partie A, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus.
La première méthode permet de diminuer le nombre d'analyses dès que E( X_n ) < n .
En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d'analyses pour des échantillons comportant 87 personnes maximum.

EXERCICE B - Équation différentielle
Partie A : Détermination d'une fonction f et résolution d'une équation différentielle

On considère la fonction f définie sur R par :
$f(x)=\text e ^x + ax + b\text e ^{-x}$
où a et b sont des nombres réels que l'on propose de déterminer dans cette partie.

Dans le plan muni d'un repère d'origine O , on a représenté ci-dessous la courbe C , représentant la fonction f, et la tangente (T ) à la courbe C au point d'abscisse 0.

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1. Par lecture graphique, donner les valeurs de f (0 ) et de f '(0).
2. En utilisant l'expression de la fonction f , exprimer f (0) en fonction de b et en déduire la valeur de b.
3. On admet que la fonction f est dérivable sur R et on note f ' sa fonction dérivée.

${\white{vl}}$ a. Donner, pour tout réel x , l'expression de f ' (x).
${\white{vl}}$ b. Exprimer f ' (0) en fonction de a.
${\white{vl}}$ c. En utilisant les questions précédentes, déterminer a , puis en déduire l'expression de f (x).
4. On considère l'équation différentielle :
(E) : $y'+y=2\text e ^x -x-1$
${\white{vl}}$ a. Vérifier que la fonction g définie sur R par :
$g(x)=\text e ^x -x+2\text e ^{-x}$
${\white{wlw}}$ est solution de l'équation (E).
${\white{vl}}$ b. Résoudre l'équation différentielle $y'+y=0.$
${\white{vl}}$ c. En déduire toutes les solutions de l'équation (E).

Partie B : Etude de la fonction g sur [1; + [
1. Vérifier que pour tout réel x, on a :
$\text e ^{2x} - \text e ^x -2 = (\text e ^x -2)(\text e ^x +1)$
2. En déduire une expression factorisée de g ' (x), pour tout réel x.
3. On admettra que, pour tout x appartient

[1 ; +

[ , $\text e ^x - 2 > 0.$
${\white{vw}}$ Etudier le sens de variation de la fonction g sur [1 ; + infini

Voir la correction

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5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Question 1 :
Une équation de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 1 est de la forme : $\overset{{\white{.}}}{\boxed{y=g'(1)(x-1)+g(1)}\,.}$
$\overset{{\white{.}}}{g(x)=x^2+2x-\dfrac{3}{x}\Longrightarrow g'(x)=2x+2+\dfrac{3}{x^2} }\\\\\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}g(x)=x^2+2x-\dfrac{3}{x}\\ \overset{{\white{.}}}{g'(x)=2x+2+\dfrac{3}{x^2}}\end{matrix}\right.\ \Longrightarrow\ \left\lbrace\begin{matrix}g(1)=1+2-3\\ g'(1)=2+2+3\end{matrix}\right.\ \Longrightarrow\ \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}g(1)=0\\ g'(1)=7\end{matrix}\right.}$

Dès lors, une équation de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 1 est $\boxed{y=7(x-1)}\,.$
Par conséquent, l'affirmation a. est correcte.

Question 2 :
On considère la suite (v_n ) définie sur

par $v_n=\dfrac{3n}{n+2}.$

$\text{Pour tout entier }n\neq0, \overset{{\white{.}}}{v_n}=\dfrac{3n}{n(1+\dfrac{2}{n})}\Longrightarrow \boxed{v_n=\dfrac{3}{1+\dfrac{2}{n}}}$

$\text{Or }\ \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2}{n}=0\ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3}{1+\dfrac{2}{n}}=\dfrac{3}{1+0} \\\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwwww}\ \Longrightarrow\ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=3}}$
Par conséquent, l'affirmation b. est correcte.

Question 3 :
Dans une urne, il y a 6 boules noires et 4 boules rouges. On effectue successivement 10 tirages aléatoires avec remise.
Lors de cette expérience, on répète 10 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "la boulé tirée est noire" dont la probabilité est p = 0,6.
Échec : "la boule tirée est rouge" dont la probabilité est 1 - p = 0,4.
La variable aléatoire X compte le nombre de boules noires tirées, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre p = 0,6 et n = 10.

Nous devons déterminer $P(X=4).$

$P(X=4)=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}\times0,6^4\times(1-0,6)^{10-4} \\\phantom{P(X=4)}=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}\times0,6^4\times0,4^{6} \\\phantom{p(X=4)}\approx0,111476736 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=4)\approx0,1115}$
Dès lors, la probabilité d'avoir 4 boules noires et 6 boules rouges est environ égale à 0,1115.
Par conséquent, l'affirmation c. est correcte.

Question 4 :
On considère la fonction f définie sur

par $f(x)=3\text{e}^x -x.$

$\text{Pour tout entier }x\neq0, \overset{{\white{.}}}{f(x)}=x\,\left(3\times\dfrac{\text{e}^x}{x}-1\right) \\\\\text{Or }\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty\ (\text{croissances comparées)}\ \Longrightarrow\ \lim\limits_{x\to+\infty}\left(3\times\dfrac{\text{e}^x}{x}-1\right)=+\infty \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}\ \Longrightarrow\ \lim\limits_{x\to+\infty}x\left(3\times\dfrac{\text{e}^x}{x}-1\right)=+\infty} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}\ \Longrightarrow\ \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}}$
Par conséquent, l'affirmation b. est correcte.

Question 5 :
Pour le premier signe, il y a 36 choix possibles.
A chacun de ces choix, il y a 36 choix possibles pour le deuxième signe.
A chacun de ces derniers choix, il y a 36 choix possibles pour le troisième signe.
Et ainsi de suite pour les 8 signes.
Dès lors, il y a 36 multiplie

...

36 = 36⁸ = 2 821 109 907 456 codes différents de 8 signes.
Le logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde.
Le nombre de secondes pour découvrir le code est $\dfrac{2\,821\,109\,907\,456}{100\,000\,000}\approx\dfrac{2,8\times10^{12}}{10^9}=2,8\times10^4=28\,000.$
Or 28 000 secondes correspondent à environ $\dfrac{28\,000}{3\,600}\approx7,7\text{ heures.}$
Donc il faudra au maximum environ 8 heures pour que le logiciel découvre ce code.
Par conséquent, l'affirmation b. est correcte.

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Au 1er janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait 10 560 panneaux solaires. On observe, chaque année, que 2 % des panneaux se sont détériorés et nécessitent d'être retirés tandis que 250 nouveaux panneaux solaires sont installés.

Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite
On modélise l'évolution du nombre de panneaux solaires par la suite (u_n ) définie par $\left\lbrace\begin{matrix}u_0=10\ 560{\white{wwwwwwwwww}}\\u_{n+1}=0,98u_n+250{\white{www}}(n\in\N)\end{matrix}\right.$ où u_n est le nombre de panneaux solaires au 1er janvier de l'année 2020+n.

1.a) Au 1er janvier 2020, la centrale solaire possédait 10 560 panneaux solaires, soit u₀ = 10 560.
Chaque année, 2 % des panneaux se sont détériorés et nécessitent d'être retirés.
Il reste ainsi 98 % panneaux valides, soit 0,98u_n (n appartient

), auxquels sont ajoutés 250 nouveaux panneaux.
Donc le nombre de panneaux solaires au 1er janvier de l'année 2020+(n +1) est $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=0,98u_n+250.}$

1.b) Pour déterminerr au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à 12000 à l'aide de la calculatrice, nous pouvons suivre les instructions suivantes :
$\bullet\white{w}$ Taper 10 560
$\bullet\white{w}$ Appuyer sur "Entrée"
$\bullet\white{w}$ Taper multiplie

0.98+250
$\bullet\white{w}$ Appuyer sur "Entrée"
La valeur donnée par la calculatrice est la valeur de u ₁.
$\bullet\white{w}$ Appuyer sur "Entrée"
La valeur donnée par la calculatrice est la valeur de u ₂.
$\bullet\white{w}$ Appuyer sur "Entrée"
La valeur donnée par la calculatrice est la valeur de u ₃.
Et ainsi de suite jusqu'à ce que la valeur donnée soit strictement supérieure à 12 000.
Nous pouvons alors lire la valeur 12 008 au rang n = 68.
D'où le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à 12 000 à partir de l'année 2088.

1.c) Le programme en Python ci-dessous renvoie après son exécution la plus petite valeur de l'entier naturel n cherchée à la question précédente.

$\begin{array}{|c|}\hline \text{d}\text{e}\text{f} \text{ seuil}():{\phantom{wwwwwwwww}}\\\text{u = 10560}{\phantom{ww.ww}}\\\text{n = 0}{\phantom{wwwwwww}} \\\text{while u}\le 12000\text{ :}{\phantom{w}} \\ {\phantom{wwww.}}\text{u = }0,98\,*\,\text{u}+250\\ \text{n = n + 1}{\phantom{w}} \\\hline\end{array}$
2. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , nous avons : $\overset{{\white{.}}}{u_n\le12\,500.}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que : $\overset{{\white{.}}}{u_0\le12\,500.}$
C'est une évidence puisque $\overset{{\white{.}}}{u_0=10\,560\Longrightarrow u_0\le12\,500.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{u_n\le12\,500}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}\le12\,500.}$

En effet,

$u_n\le12\,500\Longrightarrow0,98\times u_n\le0,98\times12\,500 \\\phantom{u_n\le12\,500}\Longrightarrow0,98 u_n\le12\,250 \\\phantom{u_n\le12\,500}\Longrightarrow0,98u_n+250\le12\,250+250 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n\le12\,500}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\le12\,500}}$
Donc l'hérédité est vraie.

L'initialisation et l'hérédité étant vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{u_n\le12\,500.}$

3. Montrons que la suite (u_n ) est croissante.

Pour tout entier naturel n ,

$u_{n+1}-u_n=(0,98u_n+250)-u_n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=(0,98u_n-u_n)+250} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=-0,02u_n+250} \\\\\text{Or }\ u_n\le12\,500\Longrightarrow-0,02u_n\ge-0,02\times12\,500 \\\phantom{\text{Or }\ u_n\le12\,500}\Longrightarrow-0,02u_n\ge-250 \\\phantom{\text{Or }\ u_n\le12\,500}\Longrightarrow-0,02u_n+250\ge0 \\\\\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}u_{n+1}- u_n=-0,02u_n+250\\-0,02u_n+250\ge0\end{matrix}\right.\phantom{www}\Longrightarrow\phantom{www}\boxed{u_{n+1}-u_n\ge0}$
Par conséquent, la suite (u_n ) est croissante.

4. Des questions 2. et 3., nous pouvons déduire que la suite (u_n ) est croissante et majorée par 12500.
D'où la suite (u_n ) est convergente.

5. On considère la suite (v_n ) définie pour tout entier naturel n par : $v_n=u_n-12\,500.$
5.a) Montrons que la suite (v_n ) est une suite géométrique.
Pour tout entier naturel n ,

$v_{n+1}=u_{n+1}-12\,500 \\\phantom{v_{n+1}}=(0,98u_n+250)-12\,500 \\\phantom{v_{n+1}}=0,98u_n-12\,250 \\\phantom{v_{n+1}}=0,98u_n-0,98\times12\,500 \\\phantom{v_{n+1}}=0,98(u_n-12\,500) \\\phantom{v_{n+1}}=0,98v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N, \ v_{n+1}=0,98v_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:v_0=u_0-12\,500=10\,560-12\,500\Longrightarrow\boxed{v_0=-1\,940}$
Par conséquent, la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison q = 0,98 dont le premier terme est v ₀ = -1940.

5.b) Le terme général de la suite (v_n ) est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^n}$ .
Donc, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{\boxed{v_n=-1940\times 0,98^n}}$

${\red{5.\ \text{c) }}}\ \forall\ n\in\N, \left\lbrace\begin{matrix}v_n=u_n-12\,500{\white{ww}}\\v_n=-1940\times 0,98^n\end{matrix}\right.{\white{wwww}}\Longrightarrow{\white{ww}}u_n-12\,500=-1940\times 0,98^n \\ {\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}}\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N,\ u_n=12\,500-1940\times 0,98^n}$

${\red{5.\ \text{d) }}}0<0,98<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}0,98^n=0 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d) }}}0<0,98<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}-1940\times 0,98^n=0 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d) }}}0<0,98<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(12\,500-1940\times 0,98^n)=12\,500 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d) }}}0<0,98<1}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=12\,500}$
Par conséquent, à très long terme, la centrale solaire possédera 12500 panneaux solaires.

Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction
Une modélisation plus précise a permis d'estimer le nombre de panneaux solaires de la centrale à l'aide de la fonction f définie pour tout x appartient

[0 ; +

[ par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=12\,500-500\,\text{e}^{-0,02x+1,4}}$ , où x représente le nombre d'années écoulées depuis le 1er janvier 2020.

1. La fonction f est dérivable sur [0 ; + infini

[ (somme de fonctions dérivables sur [0 ; + infini

[).

$f'(x)=12500'-500\times\left(\text{e}^{-0,02x+1,4}\right)' \\\phantom{f'(x)}=0-500\times(-0,02x+1,4)'\,\text{e}^{-0,02x+1,4} \\\phantom{f'(x)}=-500\times(-0,02)\,\text{e}^{-0,02x+1,4} \\\phantom{f'(x)}=10\,\text{e}^{-0,02x+1,4} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=10\,\text{e}^{-0,02x+1,4}}$

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur [0 ; + infini

[, nous en déduisons que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +[.

${\red{2.\ }}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-0,02x+1,4)=-\infty\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\phantom{wwwwwwwwx}\end{matrix}\right.\underset{(X=-0,02x+1,4)}{\underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow}}\phantom{ww}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-0,02x+1,4}=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWwWWWWWw}\Longrightarrow\phantom{ww}\lim\limits_{x\to+\infty}-500\,\text{e}^{-0,02x+1,4}=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWwWWWWWw}\Longrightarrow\phantom{ww}\lim\limits_{x\to+\infty}\left(12\,500-500\,\text{e}^{-0,02x+1,4}\right)=12\,500 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWwWWWWw}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=12\,500}$

3. Nous devons résoudre l'inéquation $\overset{{\white{.}}}{f(x)>12\,000.}$

$f(x)>12\,000\Longleftrightarrow 12\,500-500\,\text{e}^{-0,02x+1,4}>12\,000 \\\phantom{f(x)>12\,000}\Longleftrightarrow -500\,\text{e}^{-0,02x+1,4}>-500 \\\phantom{f(x)>12\,000}\Longleftrightarrow \text{e}^{-0,02x+1,4}<1 \\\phantom{f(x)>12\,000}\Longleftrightarrow -0,02x+1,4<\ln(1) \\\phantom{f(x)>12\,000}\Longleftrightarrow -0,02x+1,4<0 \\\phantom{f(x)>12\,000}\Longleftrightarrow -0,02x<-1,4 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)>12\,000}\Longleftrightarrow x>\dfrac{-1,4}{-0,02}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)>12\,000}\Longleftrightarrow \boxed{x>70}}$
Par conséquent, en s'appuyant sur ce modèle, le nombre de panneaux solaires dépassera 12 000 au bout de 70 ans.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Bac général spécialité maths 2021 centres étrangers (2) : image 10

ABCDEFGH est un cube.

I est le centre de la face ADHE
et J est un point du segment [CG]
Il existe donc a appartient

[0 ; 1] tel que $\overrightarrow{CJ}=a\,\overrightarrow{CG}.$

On note (d ) la droite passante par I et parallèle à (FJ).
On note K et L les points d'intersection de la droite (d )
et des droites (AE) et (DH).

On se place dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})$

Partie A : Dans cette partie, $a=\dfrac{2}{3}.$
1. Déterminons les coordonnées des points F, I et J.

$\bullet{\white{w}}$ Les coordonnées de F sont $\overset{{\white{.}}}{\boxed{F(1\,;\,0\,;\,1)}}$

$\bullet{\white{w}}$ Le point I est le centre de la face ADHE, soit le milieu de la diagonale [DE].

$\left\lbrace\begin{matrix}D(0\, ; 1\, ; 0)\\E(0\,;0\,;1)\end{matrix}\right.\Longrightarrow I(\dfrac{x_D+x_E}{2}\,;\,\dfrac{y_D+y_E}{2}\,;\,\dfrac{z_D+z_E}{2})=(\dfrac{0+0}{2}\,;\,\dfrac{1+0}{2}\,;\,\dfrac{0+1}{2}) \\\\\Longrightarrow\boxed{I(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})}$

$\bullet{\white{w}}$ Les coordonnées de J sont (1 ; 1 ; a ), soit $\boxed{J(1\,;\,1\,;\,\dfrac{2}{3})}$

2. Déterminons une représentation paramétrique de la droite (d ).
La droite (d ) est dirigée par le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{FJ}\,\begin{pmatrix}x_J-x_F\\y_J-y_F\\z_J-z_F\end{pmatrix}=\,\begin{pmatrix}1-1\\1-0\\\dfrac{2}{3}-1\end{pmatrix}=\,\begin{pmatrix}{\red{0}}\\ {\red{1}}\\ {\red{-\dfrac{1}{3}}}\end{pmatrix}}$ .
La droite (d ) passe par le point $\overset{{\white{.}}}{I({\blue{0}}\,;\,{\blue{\dfrac{1}{2}}}\,;\,{\blue{\dfrac{1}{2}}}).}$
D'où une représentation paramétrique de la droite (d ) est donnée par : $\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{0}}+{\red{0}}\times t\\y={\blue{\dfrac{1}{2}}}+{\red{1}}\times t\\\overset{{\white{.}}}{z={\blue{\dfrac{1}{2}}}+{\red{(-\dfrac{1}{3})}}\times t} \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$
soit $\boxed{(d):\left\lbrace\begin{array}l x=0\\y=\dfrac{1}{2}+t\\\overset{{\white{.}}}{z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{t}{3}} \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

3.a) Le point K est le point d'intersection de la droite (d ) et de la droite (AE).
L'ordonnée du point K est donc égale à 0 car tous les points de (AE) ont une ordonnée nulle.
Dans la représentation paramétrique de la droite (d ), remplaçons y par 0.
Nous obtenons alors : $\overset{{\white{.}}}{0=\dfrac{1}{2}+t}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{t=-\dfrac{1}{2}}$

Dès lors, $z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{-\frac{1}{2}}{3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}\Longrightarrow\boxed{z=\dfrac{2}{3}}\ .$
Par conséquent, les coordonnées du point K sont $\boxed{K(0\,;\,0\,;\,\dfrac{2}{3})}$

3. b) Le point L est le point d'intersection de la droite (d ) et de la droite (DH).
L'ordonnée du point L est donc égale à 1 car tous les points de (DH) ont une ordonnée égale à 1.
Dans la représentation paramétrique de la droite (d ), remplaçons y par 1.
Nous obtenons alors $\overset{{\white{.}}}{1=\dfrac{1}{2}+t}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{t=\dfrac{1}{2}}$

Dès lors, $z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\frac{1}{2}}{3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}\Longrightarrow\boxed{z=\dfrac{1}{3}}\ .$
Par conséquent, les coordonnées du point L sont $\boxed{L(0\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{3})}$

4. a) Montrons que $\overrightarrow{FJ}=\overrightarrow{KL}.$

$\overrightarrow{FJ}\,{\red{\begin{pmatrix}0\\1\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}}}{\white{ww}}(\text{voir Partie A - }2.) \\\\ \overrightarrow{KL}\,\begin{pmatrix}x_L-x_K\\y_L-y_K\\z_L-z_K\end{pmatrix}=\,\begin{pmatrix}0-0\\1-0\\\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}={\red{\,\begin{pmatrix}0\\1\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{FJ}=\overrightarrow{KL}}$
Par conséquent, le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.

4. b) Montrons que FJ = FK

$\overrightarrow{FJ}\begin{pmatrix}0\\1\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\Longrightarrow FJ=\sqrt{0^2+1^2+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{1+\dfrac{1}{9}}\Longrightarrow{\red{FJ=\sqrt{\dfrac{10}{9}}}} \\\\ \overrightarrow{FK}\,\begin{pmatrix}x_K-x_F\\y_K-y_F\\z_K-z_F\end{pmatrix}=\,\begin{pmatrix}0-1\\0-0\\\dfrac{2}{3}-1\end{pmatrix}=\,\begin{pmatrix}-1\\0\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\Longrightarrow FK=\sqrt{(-1)^2+0^2+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{1+\dfrac{1}{9}}\Longrightarrow{\red{FK=\sqrt{\dfrac{10}{9}}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{FJ=FK}$

D'où le parallélogramme FJLK possède deux côtés consécutifs de mêmes longueurs.
Par conséquent, le quadrilatère FJLK est un losange.

4. c) Déterminons si les vecteurs $\overrightarrow{FJ}$ et $\overrightarrow{FK}$ sont orthogonaux.
$\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{FJ}.\,\overrightarrow{FK}=0\times (-1)+1\times0-\dfrac{1}{3}\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)=0+0+\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{9}\,{\red{\neq0}}\ .}$
D'où les vecteurs $\overrightarrow{FJ}$ et $\overrightarrow{FK}$ ne sont pas orthogonaux.
Par conséquent, le quadrilatère FJLK n'est pas un carré.

Partie B : Cas général
On admet que les coordonnées des points K et L sont : $\overset{{\white{.}}}{K (0;\, 0;\, 1-\dfrac{a}{2})}$ et $\overset{{\white{.}}}{L (0;\, 1;\, \dfrac{a}{2}).}$
On rappelle que a appartient

[0 ; 1].

1. Nous savons que $\overrightarrow{CJ}=a\,\overrightarrow{CG}.$

Or $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}\ \text{avec }\overrightarrow{AE}:\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.}$
Dès lors,
$\overrightarrow{CJ}=a\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}x_J-x_C\\y_J-y_C\\z_J-z_C\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\a\end{pmatrix} \\\\\phantom{\overrightarrow{CJ}=a\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_J-x_C=0\\y_J-y_C=0\\z_J-z_C=a\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\overrightarrow{CJ}=a\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_J-1=0\\y_J-1=0\\z_J-0=a\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\overrightarrow{CJ}=a\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_J=1\\y_J=1\\z_J=a\end{matrix}\right.$
D'où les coordonnées du point J sont $\overset{{\white{.}}}{\boxed{J(1\,;1\,;a)}\,.}$

2. Montrons que $\overrightarrow{FJ}=\overrightarrow{KL}.$

$\overrightarrow{FJ}\,\begin{pmatrix}x_J-x_F\\y_J-y_F\\z_J-z_F\end{pmatrix}=\,\begin{pmatrix}1-1\\1-0\\a-1\end{pmatrix}=\,\begin{pmatrix}{\red{0}}\\ {\red{1}}\\ {\red{a-1}}\end{pmatrix}. \\\\ \overrightarrow{KL}\,\begin{pmatrix}x_L-x_K\\y_L-y_K\\z_L-z_K\end{pmatrix}=\,\begin{pmatrix}0-0\\1-0\\\dfrac{a}{2}-(1-\dfrac{a}{2})\end{pmatrix}={\red{\,\begin{pmatrix}0\\1\\a-1\end{pmatrix}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{FJ}=\overrightarrow{KL}}$
Par conséquent, le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.

3. Pour que le parallélogramme FJLK soit un losange, il faut que deux côtés consécutifs aient mêmes longueurs.
Par exemple, il faut que FJ = FK

$\overrightarrow{FJ}\,\begin{pmatrix}0\\1\\a-1\end{pmatrix}\Longrightarrow FJ=\sqrt{0^2+1^2+(a-1)^2}=\sqrt{1+a^2-2a+1}\Longrightarrow{\red{FJ=\sqrt{a^2-2a+2}}} \\\\ \overrightarrow{FK}\,\begin{pmatrix}x_K-x_F\\y_K-y_F\\z_K-z_F\end{pmatrix}=\,\begin{pmatrix}0-1\\0-0\\1-\dfrac{a}{2}-1\end{pmatrix}=\,\begin{pmatrix}-1\\0\\-\dfrac{a}{2}\end{pmatrix}\Longrightarrow FK=\sqrt{(-1)^2+0^2+\left(-\dfrac{a}{2}\right)^2}\Longrightarrow{\red{FK=\sqrt{1+\dfrac{a^2}{4}}}}$

$\text{D'où }FJ=FK\Longleftrightarrow\sqrt{a^2-2a+2}=\sqrt{1+\dfrac{a^2}{4}} \\\phantom{\text{D'où }FJ=FK}\Longleftrightarrow a^2-2a+2=1+\dfrac{a^2}{4} \\\phantom{\text{D'où }FJ=FK}\Longleftrightarrow \dfrac{3a^2}{4}-2a+1=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }FJ=FK}\Longleftrightarrow 3a^2-8a+4=0} \\\\\underline{\text{Discriminant}}\ :\Delta=(-8)^2-4\times3\times4=64-48=16>0 \\\\\underline{\text{Racines}}\ :a_1=\dfrac{8-\sqrt{16}}{2\times3}=\dfrac{8-4}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} \\\\\phantom{\underline{\text{Racines}}\ :}a_2=\dfrac{8+\sqrt{16}}{2\times3}=\dfrac{8+4}{6}=\dfrac{12}{6}=2{\white{www}}(\text{à rejeter car }a\in[0\,;\,1])$
Par conséquent, la seule valeur de a telle que le quadrilatère FJLK soit un losange est $\boxed{a=\dfrac{2}{3}}\,.$

4. Nous avons montré dans la question 4. c) - Partie A que pour la valeur $a=\dfrac{2}{3}$ , le quadrilatère FJLK ne peut pas être un carré.
D'où, il n'existe pas de valeur pour a telle que le quadrilatère FJLK soit un carré.

5 points

exercice au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

EXERCICE A - Fonction ln

Partie A :

1. Deux possibilités :
$\bullet{\white{w}}$ Le test est négatif.
Dans ce cas, le test du mélange de sang est l'unique analyse effectuée et X_n prendra alors la valeur 1.
$\bullet{\white{w}}$ Le test est positif.
Dans ce cas, le test du mélange de sang sera suivi par les n tests des n individus et X_n prendra alors la valeur (n +1).
2. L'égalité X_n = 1 signifie qu'un seul test a été réalisé.
Nous sommes donc dans le cas où ce test est négatif, ce qui se produit lorsque les n personnes ne sont pas malades.
Or la probabilité qu'une personne soit malade est égale à 0,05.
D'où la probabilité qu'une personne ne soit pas malade est égale à 1 - 0,05 = 0,95.
Puisque l'échantillon est assimilé à un tirage avec remise (indépendance des événements), la probabilité que les n personnes ne soient pas malades est égale à 0,95ⁿ.
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{P(X_n=1)=0,95^n}.$

Tableau reprenant la loi de X_n .

$\begin{array}{|c|cccc|cc|}\hline x_i&&&1&&&n+1 \\\hline &&&&&&&P(X_n=x_i)&&&0,95^n&&&1-0,95^n&&&&&&&\\\hline \end{array}$

3. L'espérance de X_n représente le nombre moyen d'analyses à effecteur dans un échantillon de n personnes.

$E(X_n)=1\times P(X_n=1)+(n+1)\times P(X_n=n+1) \\\phantom{E(X_n)}=1\times 0,95^n+(n+1)\times(1-0,95^n) \\\phantom{E(X_n)}=0,95^n+(n+1)\times1-(n+1)\times0,95^n \\\phantom{E(X_n)}=0,95^n+n+1-n\times0,95^n-0,95^n \\\phantom{E(X_n)}=n+1-n\times0,95^n \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X_n)=n+1-n\times0,95^n}$

Partie B :

1. On considère la fonction f définie sur [20; + infini

[ par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=\ln ( x) + x\,\ln(0,95).}$

La fonction f est dérivable sur [20; + infini

[ (somme de deux fonctions dérivables sur [20; + infini

[).

$f'(x)=\dfrac{1}{x} + \ln(0,95).$
Étudions le signe de f' (x ) sur [20; + infini

[.

$x\in[20\,;+\infty[\Longrightarrow x\ge20 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x\in[20\,;+\infty[}\Longrightarrow \dfrac{1}{x}\le\dfrac{1}{20}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x\in[20\,;+\infty[}\Longrightarrow \dfrac{1}{x}\le0,05} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x\in[20\,;+\infty[}\Longrightarrow \dfrac{1}{x}+\ln(0,95)\le0,05+\ln(0,95)} \\\\\phantom{x\in[20\,;+\infty[}\Longrightarrow f'(x)\le0,05+\ln(0,95) \\\\\text{Or }0,05+\ln(0,95)\approx-0,0013.$

Nous en déduisons que f' (x ) < 0 sur [20; + infini

[.
Par conséquent, la fonction f est décroissante sur [20; +[

2. On rappelle que $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}\dfrac {\ln x}{x}=0.$
Puisque x appartient

[20 ; +

[, nous savons que x different

0.
Dès lors, $\overset{{\white{.}}}{f(x)=x\left(\dfrac{\ln x}{x}+\ln(0,95)\right)}$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x}+\ln(0,95)\right)=\ln(0,95) \\\\\text{Or }\ln(0,95)\approx-0,05\,{\red{}<0}. \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(\dfrac{\ln x}{x}+\ln(0,95)\right)=-\infty \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$

3. La fonction f est définie sur l'intervalle [20 ; + infini

[.
f est continue sur cet intervalle car elle est dérivable sur [20 ; + infini

.[
f est strictement décroissante sur [20 ; + infini

[.
$\overset{{\white{.}}}{f(20)=\ln(20)+20\ln(0,95)\approx1,97>0}$ et $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}.}$
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une et une seule solution notée dans l'intervalle [20 ; +[.

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : $\overset{{\white{.}}}{f(87,0)\approx0,0034>0}$ et $\overset{{\white{.}}}{f(87,1)\approx-0,00059<0}$ .
D'où $\overset{{\white{.}}}{\boxed{87,0<\alpha <87,1}\ .}$

4. En utilisant les résultats des questions 1. et 3., nous pouvons établir le tableau de signes de f (x ).

${\white{wwwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&20&&\alpha&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\ \hline \end{array}$

D'où $\left\lbrace\begin{matrix}x\in\,[20\,;\,\alpha[\phantom{ww}\Longleftrightarrow \phantom{ww}f(x)>0\phantom{ww}\\x=\alpha\phantom{wwwwww}\Longleftrightarrow \phantom{ww}f(x)=0\phantom{ww}\\x\in\,]\alpha \,;\,+\infty[\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww} f(x)<0\phantom{ww}\end{matrix}\right.$

Partie C :

La première méthode permet de diminuer le nombre d'analyses dès que E (X_n ) < n .

$E(X_n)<n\Longleftrightarrow n+1-n\times0,95^n<n \\\phantom{E(X_n)<n}\Longleftrightarrow 1-n\times0,95^n<0 \\\phantom{E(X_n)<n}\Longleftrightarrow n\times0,95^n>1 \\\phantom{E(X_n)<n}\Longleftrightarrow 0,95^n>\dfrac{1}{n} \\\phantom{E(X_n)<n}\Longleftrightarrow \ln(0,95^n)>\ln\left(\dfrac{1}{n}\right) \\\phantom{E(X_n)<n}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,95)>-\ln(n) \\\phantom{E(X_n)<n}\Longleftrightarrow \ln(n)+n\times\ln(0,95)>0 \\\\\phantom{E(X_n)<n}\Longleftrightarrow \boxed{ f(n)>0}$

Or nous avons montré dans la question 4.- Partie B que $\overset{{\white{.}}}{f(n)>0\Longleftrightarrow n\in\,[20\,;\,\alpha[.}$
Nous savons également que 87,0 < alpha

< 87,1.
Dès lors, afin de diminuer le nombre d'analyses, il faut que n appartienne à [20 ; 87] ce qui signifie que les échantillons doivent comporter 87 personnes maximum.

EXERCICE B - Équation différentielle

Partie A : Détermination d'une fonction f et résolution d'une équation différentielle

On considère la fonction f définie sur

par : $f(x)=\text{e}^x + ax + b\text{e}^{-x}.$

Dans le plan muni d'un repère d'origine O , on a représenté ci-dessous la courbe C , représentant la fonction f et la tangente (T ) à la courbe C au point d'abscisse 0.

Bac général spécialité maths 2021 centres étrangers (2) : image 11

1. Nous observons graphiquement que le point d'abscisse 0 de la courbe C est le point A (0 ; 3).
D'où $\overset{{\white{.}}}{\boxed{f(0)=3}\,.}$

f' (0) est le coefficient directeur de la tangente (T ) au point A (0 ; 3).
Nous observons que cette tangente (T ) passe par le point B(1 ; 1).
Donc $\overset{{\white{.}}}{f'(0)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1-3}{1-0}=-2\Longrightarrow\boxed{f'(0)=-2}}$

${\red{2.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}f(x)=\text{e}^x + ax + b\text{e}^{-x}\\f(0)=3{\white{wwwwwwww}}\end{matrix}\right.{\white{w}}\Longrightarrow{\white{w}}\text{e}^0 + a\times0 + b\text{e}^{0}=3 \\ {\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwww}}\Longrightarrow{\phantom{w}}1+0+b=3 \\ {\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwww}}\Longrightarrow{\phantom{w}}\overset{{\white{.}}}{\boxed{b=2}}$

3. On admet que la fonction f est dérivable sur

et on note f' sa fonction dérivée.

3. a) Pour tout x réel, $f'(x)=\text{e}^x + a - b\text{e}^{-x}$ avec b = 2.
D'où $\overset{{\white{.}}}{f'(x)=\text{e}^x + a - 2\text{e}^{-x}}$

${\red{3.\ \text{b})}}\ \left\lbrace\begin{matrix}f'(x)=\text{e}^x + a - 2\text{e}^{-x}\\f'(0)=-2{\white{wwwwww}}\end{matrix}\right.{\white{w}}\Longrightarrow{\white{w}}\text{e}^0 + a - 2\text{e}^{0}=-2 \\ {\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwww}}\Longrightarrow{\phantom{w}}1 + a - 2=-2 \\ {\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwww}}\Longrightarrow{\phantom{w}}\boxed{a=-1}$

Par conséquent, $\boxed{f(x)=\text{e}^x -x + 2\text{e}^{-x}}$

4. On considère l'équation différentielle : $\boxed{(E) : y'+y=2\text e ^x -x-1}\,.$

4. a) Vérifions que la fonction g définie sur

par : $g(x)=\text e ^x -x+2\text e ^{-x}$ est solution de l'équation (E ).

$g(x)=\text e ^x -x+2\text e ^{-x}\Longrightarrow g'(x)=\text e ^x -1-2\text e ^{-x} \\\\\text{D'où }\ g'(x)+g(x)=(\text e ^x -1-2\text e ^{-x})+(\text e ^x -x+2\text e ^{-x}) \\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)+g(x)=2\text e ^x -x-1}$
Par conséquent, la fonction g est solution de (E).

4. b) Nous devons résoudre l'équation différentielle $y'+y=0.$
La solution générale d'une équation différentielle de la forme $\overset{{\white{.}}}{y'=ay+b}$ est $y=k\,\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).$
$\text{Or }\ y'+y=0\Longleftrightarrow y'=-y.$
Dans ce cas, a = -1 et b = 0.
D'où la solution générale de l'équation $y'+y=0$ est de la forme $f(x)=k\,\text{e}^{-x}-0$ , soit $\boxed{f(x)=k\,\text{e}^{-x}\ \ (k\in\R)}$

4. c) Supposons que la fonction h soit solution de (E).
En utilisant le résultat du point 4. a), nous en déduisons que la fonction h - g est solution de l'équation $y'+y=0$ .
Nous obtenons ainsi pour tout x réel, $h(x)-g(x)=k\,\text{e}^{-x}\ \ (k\in\R)$ .
$\overset{{\white{.}}}{h(x)-g(x)}=k\,\text{e}^{-x}\Longleftrightarrow h(x)=g(x)+k\,\text{e}^{-x} \\\phantom{h(x)-g(x)=k\,\text{e}^{-x}}\Longleftrightarrow h(x)=\text e ^x -x+2\text e ^{-x}+k\,\text{e}^{-x}$
Par conséquent, les solutions de l'équation (E) sont définies sur par $\boxed{h(x)=\text e ^x -x+2\text e ^{-x}+k\,\text{e}^{-x}\ \ (k\in\R)}$

Partie B : Étude de la fonction g sur [1 ; +[

1. Pour tout x réel, $(\text{e}^{x}-2)(\text{e}^{x}+1)=(\text{e}^{x})^2+\text{e}^{x}-2\text{e}^{x}-2\Longrightarrow\boxed{(\text{e}^{x}-2)(\text{e}^{x}+1)=\text{e}^{2x}-\text{e}^{x}-2}$

${\red{2.}}\ g'(x)=\text{e}^x -1-2\text{e}^{-x} \\\phantom{{\red{2.}}\ g'(x)}=\text{e}^{2x}\,\text{e}^{-x} -\text{e}^{x}\,\text{e}^{-x}-2\text{e}^{-x} \\\phantom{{\red{2.}}\ g'(x)}=\text{e}^{-x}(\text{e}^{2x}\, -\text{e}^{x}-2) \\\phantom{{\red{2.}}\ g'(x)}=\text{e}^{-x}(\text{e}^{x}-2)(\text{e}^{x}+1) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\R,\ g'(x)=\text{e}^{-x}(\text{e}^{x}-2)(\text{e}^{x}+1)}$

3. On admettra que, pour tout x appartient

[1 ; +

[ , $\text e ^x - 2 > 0.$

De plus, nous savons que pour tout x appartient

[1 ; +

[ , $\text e ^{-x} > 0$ et $\text e ^x +1> 0.$
Dès lors, pour tout x appartient

[1 ; +

[, g' (x ) > 0.
Par conséquent, la fonction g est strictement croissante sur [1 ; +[.

Publié par malou le 19-08-2021

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