Fiche de mathématiques

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Polynésie Française - SESSION 2021

MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

On considère la suite (u_n ) définie par u ₀ = 10 000 et pour tout entier naturel n :
$u_{n+1}=0,95 u_n + 200.$

1. Calculer u ₁et vérifier que u₂ = 9 415.
2. a. Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n :
$u_n > 4000.$
${\white{vl}$ b. On admet que la suite (u_n ) est décroissante. Justifier qu'elle converge.
3. Pour tout entier naturel n, on considère la suite (v_n ) définie par : v_n = u_n - 4 000.
${\white{vl}$ a. Calculer v ₀ .
${\white{vl}$ b. Démontrer que la suite (v_n ) est géométrique de raison égale à 0,95.
${\white{vl}$ c. En déduire que pour tout entier naturel n :
$u_n= 4 000 + 6 000 \times 0, 95 ^n .$
${\white{vl}$ d. Quelle est la limite de la suite (u_n ) ? Justifier la réponse.
4. En 2020, une espèce animale comptait 10 000 individus. L'évolution observée les années précédentes conduit à estimer qu'à partir de l'année 2021, cette population baissera de 5 % chaque début d'année.
Pour ralentir cette baisse, il a été décidé de réintroduire 200 individus à la fin de chaque année, à partir de 2021.
Une responsable d'une association soutenant cette stratégie affirme que : "l'espèce ne devrait pas s'éteindre, mais malheureusement, nous n'empêcherons pas une disparition de plus de la moitié de la population ".
Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la réponse.

5 points

exercice 2 : commun à tous les candidats

Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays.
Selon les autorités sanitaires de ce pays, 7 % des habitants sont infectés par cette maladie.
Parmi les individus infectés, 20 % sont déclarés négatifs.
Parmi les individus sains, 1 % sont déclarés positifs.
Une personne est choisie au hasard dans la population.
On note :
${\white{w}}\bullet{\white{w}}$ M l'évènement : " la personne est infectée par la maladie " ;
${\white{w}}\bullet{\white{w}}$ T l'évènement : " le test est positif ".

1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
2. a. Quelle est la probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif ?
${\white{vl}$ b. Montrer que la probabilité que son test soit positif est de 0,0653.
3. On sait que le test de la personne choisie est positif.
Quelle est la probabilité qu'elle soit infectée ?
On donnera le résultat sous forme approchée à 10 ^-2 près.
4. On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d'individus ayant un test positif parmi les dix personnes.
${\white{vl}$ a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Préciser ses paramètres.
${\white{vl}$ b. Déterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif.
On donnera le résultat sous forme approchée à 10 ^-2 près.
5. Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins une de ces personnes ait un test positif, soit supérieure à 99 %.

5 points

exercice 3 : commun à tous les candidats

Dans l'espace, on considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur égale à 1.
On munit l'espace du repère orthonormé $(A ; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$
On considère le point M tel que $\overrightarrow{BM}=\dfrac 1 3 \overrightarrow{BH}.$

Bac général spécialité maths 2021 Polynésie : image 1

1. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points B, D, E, G et H.
2. a. Quelle est la nature du triangle EGD ? Justifier la réponse.
${\white{vl}$ b. On admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté c est égale à $\dfrac {\sqrt 3}{4}c^2.$
${\white{vw}$ Montrer que l'aire du triangle EGD est égale à $\dfrac {\sqrt 3}{2}.$
3. Démontrer que les coordonnées de M sont $(\frac 2 3 ; \frac 1 3 ; \frac 1 3 )$
4. a. Justifier que le vecteur $\vec n$ (-1 ; 1 ; 1) est normal au plan (EGD).
${\white{vl}$ b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (EGD) est : -x + y + z- 1 = 0.
${\white{vl}$ c. Soit $\mathcal D$ la droite orthogonale au plan (EGD) et passant par le point M.
${\white{vlw}$ Montrer qu'une représentation paramétrique de cette droite est :

$\mathcal D : \left\lbrace\begin{matrix} x & =& \frac 2 3 -t& \\ y& =& \frac 1 3 + t \; , &t\in \textbf R. \\ z&= & \frac 1 3 + t & \end{matrix}\right.$
5. Le cube ABCDEFGH est représenté ci-dessus selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide GEDM, en gris sur la figure :

Bac général spécialité maths 2021 Polynésie : image 2

${\white{vw}$ Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide GEDM.
${\white{vl}$ a. Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide GEDM issue du point M.
${\white{vw}$ Démontrer que les coordonnées du point K sont $( \frac 1 3 ; \frac 2 3 ; \frac 2 3 ).$
${\white{vl}$ b. En déduire le volume de la pyramide GEDM.
${\white{vw}$ On rappelle que le volume V d'une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{ b\times h}{3}$ où b désigne l'aire d'une base et h la hauteur associée.

5 points

exercice : au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

EXERCICE - A

$\begin{tabular}{|l|} \hline \textbf{ Principaux domaines abordés :} \\ {\white{l}}\textbf{Fonction exponentielle, convexité, dérivation, équations différentielles.} \\ \hline \end{tabular}$

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe représentative $\mathcal C$ d'une fonction f définie sur R :

Bac général spécialité maths 2021 Polynésie : image 3

On considère les points A(0 ; 2) et B(2 ; 0).

Partie 1 Sachant que la courbe $\mathcal C$ passe par A et que la droite (AB) est la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point A, donner par lecture graphique :
1. La valeur de f (0) et celle de f '(0).
2. Un intervalle sur lequel la fonction f semble convexe.

Partie 2
On note (E ) l'équation différentielle $y'=-y+\text e ^{-x}.$
On admet que $g : x\mapsto x\text e^ {-x}$ est une solution particulière de (E ).
1. Donner toutes les solutions sur R de l'équation différentielle (H ) : $y'=-y.$
2. En déduire toutes les solutions sur R de l'équation différentielle (E ).
3. Sachant que la fonction f est la solution particulière de (E ) qui vérifie f (0) = 2,
${\white{vw}}$ déterminer une expression de f(x) en fonction de x.

Partie 3

On admet que pour tout nombre réel x, $f(x)=(x+2)\text e ^{-x}.$

1. On rappelle que f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f .
${\white{vl}$ a. Montrer que pour tout x appartient

R , $f'(x)=(-x-1)\text e ^{-x}.$
${\white{vl}$ b. Étudier le signe de f '(x ) pour tout x appartient

R et dresser le tableau des variations de f sur R.
${\white{wlw}}$ On ne précisera ni la limite de f en - infini

ni la limite de f en + infini

.
${\white{wlw}}$ On calculera la valeur exacte de l'extremum de f sur R.
2. On rappelle que f '' désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f.
${\white{vl}$ a. Calculer pour tout $x\in \textbf R\,,f''(x).$
${\white{vl}$ b. Peut-on affirmer que f est convexe sur l'intervalle [0 ; + infini

[ ?

EXERCICE - B

$\begin{tabular}{|l|} \hline \textbf{ Principaux domaines abordés :} \\ {\white{l}}\textbf{Fonction logarithme népérien, dérivation.} \\ \hline \end{tabular}$

Cet exercice est composé de deux parties.
Certains résultats de la première partie seront utilisés dans la deuxième.

Partie 1 : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit la fonction f définie sur l'intervalle [1 ; 4] par : $f(x)=-30x+50+35\ln x .$

1. On rappelle que f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f.
${\white{vl}$ a. Pour tout nombre réel x de l'intervalle [1 ; 4], montrer que :
$f'(x)=\dfrac{35-30x}{x}.$
${\white{vl}$ b. Dresser le tableau de signe de f '(x) sur l'intervalle [1 ; 4].
${\white{vl}$ c. En déduire les variations de f sur ce même intervalle.
2. Justifier que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution, notée alpha

, sur l'intervalle [1 ; 4] puis donner une valeur approchée de alpha

à 10 ^-3près.
3. Dresser le tableau de signe de f(x) pour x appartient

[1 ; 4].

Partie 2 : Optimisation

Une entreprise vend du jus de fruits. Pourx milliers de litres vendus, avecx nombre réel de l'intervalle [1 ; 4], l'analyse des ventes conduit à modéliser le bénéfice B(x) par l'expression donnée en milliers d'euros par :

$B(x)=-15x^2+15x +35x\ln x.$

1. D'après le modèle, calculer le bénéfice réalisé par l'entreprise lorsqu'elle vend 2 500 litres de jus de fruits.
On donnera une valeur approchée à l'euro près de ce bénéfice.
2. Pour tout x de l'intervalle [1 ; 4], montrer que $B'(x)=f(x)$ où B ' désigne la fonction dérivée de B.
3. a. À l'aide des résultats de la partie 1, donner les variations de la fonction B sur l'intervalle [1 ; 4].
${\white{vl}$ b. En déduire la quantité de jus de fruits, au litre près, que l'entreprise doit vendre afin de réaliser un bénéfice maximal.

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Bac général spécialité maths 2021 Polynésie

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Considérons la suite (u_n ) définie par : $\left\lbrace\begin{matrix}u_0=10\,000{\white{wwwwwwwwww}}\\u_{n+1}=0,95u_n+200{\white{www}}(n\in\N)\end{matrix}\right.$

${\red{1.}}{\white{w}}u_1=0,95u_0+200 \\\phantom{{\red{1.}}{\phantom{w}}u_1}=0,95\times10\,000+200 \\\phantom{{\red{1.}}{\phantom{w}}u_1}=9\,500+200 \\\overset{{\white{.}}}{\Longrightarrow \boxed{u_1=9\,700}}$ ${\white{wwwww}}$ $u_2=0,95u_1+200 \\\phantom{u_2}=0,95\times9\,700+200 \\\phantom{u_2}=9\,215+200 \\\overset{{\white{.}}}{\Longrightarrow \boxed{u_2=9\,415}}$

2. a) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , nous avons : $\overset{{\white{.}}}{u_n>4\,000.}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que : $\overset{{\white{.}}}{u_0>4\,000.}$
C'est une évidence puisque $\overset{{\white{.}}}{u_0=10\,000>4\,000\Longrightarrow u_0>4\,000.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{u_n>4\,000}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}>4\,000.}$

En effet,

$u_n>4\,000\Longrightarrow0,95u_n>0,95\times4\,000 \\\phantom{u_n>4\,000}\Longrightarrow0,95u_n>3\,800 \\\phantom{u_n>4\,000}\Longrightarrow0,95u_n+200>3\,800+200 \\\\\phantom{u_n>4\,000}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}>4\,000}$
Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{u_n>4\,000.}$

2. b) Selon l'énoncé, nous admettons que la suite (u_n ) est décroissante.
De plus nous savons que la suite (u_n ) est minorée par 4 000.
Par conséquent, la suite (u_n ) est convergente.

3. On considère la suite (v_n ) définie pour tout entier naturel n par : $v_n=u_n-4\,000.$
3. a) $v_0=u_0-4\,000=10\,000-4\,000\Longrightarrow\boxed{v_0=6\,000}\,.$

3. b) Montrons que la suite (v_n ) est une suite géométrique.
Pour tout entier naturel n ,

$v_{n+1}=u_{n+1}-4\,000 \\\phantom{v_{n+1}}=(0,95u_n+200)-4\,000 \\\phantom{v_{n+1}}=0,95u_n-3\,800 \\\phantom{v_{n+1}}=0,95u_n-0,95\times4\,000 \\\phantom{v_{n+1}}=0,95(u_n-4\,000) \\\phantom{v_{n+1}}=0,95v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N, \ v_{n+1}=0,95v_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:v_0=6\,000$
Par conséquent, la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison q = 0,95 dont le premier terme est v ₀ = 6 000.

3. c) Le terme général de la suite (v_n ) est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^n}$ .
Donc, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{\boxed{v_n=6\,000\times 0,95^n}}$

$\forall\ n\in\N, \left\lbrace\begin{matrix}v_n=u_n-4\,000{\white{ww}}\\v_n=6\,000\times 0,95^n\end{matrix}\right.{\white{wwww}}\Longrightarrow{\white{ww}}u_n-4\,000=6\,000\times 0,95^n \\ {\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}}\Longrightarrow\boxed{u_n=4\,000+6\,000\times 0,95^n}$

${\red{3.\ \text{d) }}}0<0,95<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}0,95^n=0 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d) }}}0<0,95<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}6\,000\times 0,95^n=0 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d) }}}0<0,95<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(4\,000+6\,000\times 0,95^n)=4\,000 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d) }}}0<0,95<1}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4\,000}$

4. Nous pouvons modéliser l'évolution du nombre d'individus de cette espèce animale par la suite (u_n ) définie par $\left\lbrace\begin{matrix}u_0=10\ 000{\white{wwwwwwwwww}}\\u_{n+1}=0,95u_n+200{\white{www}}(n\in\N)\end{matrix}\right.$ où u_n est le nombre d'individus en l'année 2020+n.

En effet, en 2020, l'espèce animale comptait 10 000 individus, soit u₀ = 10 000.
Chaque année, cette population baisse de 5 %.
Il reste ainsi 95 % d'individus, soit 0,95u_n (n appartient

), auxquels sont ajoutés 200 nouveaux individus.
Donc le nombre d'individus en l'année 2020+(n +1) est $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=0,95u_n+200.}$

Nous avons montré dans la question 3. d) qu'à long terme, cette population va se rapprocher de 4 000 individus, ce qui représente moins de la moitié de la population initiale de 10 000 individus.
Donc le responsable de l'association a raison en prévoyant une disparition de plus de la moitié de la population.

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays.
Selon les autorités sanitaires de ce pays, 7 % des habitants sont infectés par cette maladie.
Parmi les individus infectés, 20 % sont déclarés négatifs.
Parmi les individus sains, 1 % sont déclarés positifs.

Arbre pondéré reprenant les données de l'énoncé.

Bac général spécialité maths 2021 Polynésie : image 7

2. a) Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P(M\cap T).}$

$P(M\cap T)=P(M)\times P_M(T) \\\phantom{P(M\cap T)}=0,07\times 0,8 \\\phantom{P(M\cap T)}=0,056 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(M\cap T)=0,056}$
D'où la probabilité que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif est égale à 0,056.

2. b) Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P(T).}$

Les événements $\overset{{\white{.}}}{M}$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M}\cap T) \\\phantom{P(T)}=0,056+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T) \\\phantom{P(T)}=0,056+0,93\times 0,01 \\\phantom{P(T)}=0,056+0,0093 \\\\\Longrightarrow \boxed{P(T)=0,0653}$
D'où, la probabilité que le test de la personne choisie soit positif est égale à 0,0653.

3. Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P_T(M).}$

$P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,056}{0,0653}\Longrightarrow\boxed{P_T(M)\approx0,86}$
Par conséquent, sachant que le test de la personne choisie est positif, la probabilité que cette personne soit infectée est environ égale à 0,86 (valeur arrondie à 10^-2).

4. a) Lors de cette expérience, on répète 10 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "le test de la personne choisie est positif" dont la probabilité est p = 0,0653.
Echec : "le test de la personne choisie est négatif" dont la probabilité
est 1 - p = 1 - 0,0653 = 0,9347.
La variable aléatoire X compte le nombre de personnes ayant un test positif, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre p = 0,0653 et n = 10.

4. b) Nous devons déterminer $P(X=2).$

$P(X=2)=\begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}\times0,0653^2\times(1-0,0653)^{10-2} \\\phantom{P(X=2)}=\begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}\times0,0653^2\times0,9347^{8} \\\phantom{p(X=2)}\approx0,11 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=2)\approx0,11}$
Par conséquent, la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon exactement 2 personnes testées positives est environ égale à 0,11 (valeur arrondie à 10^-2).

5. Soit n le nombre de personnes à tester.
Il faut déterminer le plus petit entier naturel n pour vérifier l'inégalité $P(X\ge 1)>0,99.$

$P(X\ge1)=1-P(X=0) \\\phantom{P(X\ge1)}=1-\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times0,0653^0\times(1-0,0653)^{n-0} \\\phantom{P(X\ge1)}=1-1\times1\times0,9347^{n} \\\\\Longrightarrow \boxed{P(X\ge1)=1-0,9347^n}$

Dès lors,

$P(X\ge1)>0,99\Longleftrightarrow1-0,9347^n>0,99 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge1)>0,99}\Longleftrightarrow-0,9347^n>0,99-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge1)>0,99}\Longleftrightarrow-0,9347^n>-0,01} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge1)>0,99}\Longleftrightarrow0,9347^n<0,01}$
${\white{wwwwwwwwwww}}$ $\overset{{\white{.}}}{\Longleftrightarrow\ln(0,9347^n)<\ln(0,01)} \\\overset{{\white{.}}}{\Longleftrightarrow n\times\ln(0,9347)<\ln(0,01)} \\\overset{{\white{.}}}{\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,9347)}\ (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,9347)<0) }$
$\text{Or }\ \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,9347)}\approx68,20$
D'où la plus petite valeur de l'entier naturel n vérifiant l'inégalité est n = 69.
Par conséquent, il faudra tester au minimum 69 personnes dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins une de ces personnes ait un test positif, soit supérieure à 99 %.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Dans l'espace, on considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur égale à 1.
On munit l'espace du repère orthonormé $(A ; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}).$
On considère le point M tel que $\overrightarrow{BM}=\dfrac 1 3 \overrightarrow{BH}.$

Bac général spécialité maths 2021 Polynésie : image 6

1. Par lecture graphique, nous obtenons : B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1).

2. a) Les segments [ED], [EG] et [DG] sont les diagonales respectives des carrés EADH, EFGH et DHGC.
Puisque ABCDEFGH est un cube, ces carrés sont isométriques et par conséquent, ces diagonales sont de mêmes longueurs, soit ED = EG = GD.
Nous en déduisons donc que le triangle EGD est équilatéral.

2. b) On admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté c est égale à $\dfrac{\sqrt 3}{4}\,c^2.$
Les trois côtés du triangle EGD sont les hypoténuses de triangles rectangles isocèles dont la mesure des côté est 1.
Par Pythagore dans le triangle EAD,

$ED^2=EA^2+AD^2 \\\phantom{ED^2}=1^2+1^2 \\\phantom{ED^2}=1+1 \\\phantom{ED^2}=2 \\\\\Longrightarrow\boxed{c^2=ED^2=2}$
Dès lors, l'aire du triangle EGD est donnée par : $\mathscr{A}=\dfrac{\sqrt 3}{4}\,c^2=\dfrac{\sqrt 3}{4}\times 2\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=\dfrac{\sqrt 3}{2}}$

3. Nous savons que $\overrightarrow{BM}=\dfrac 1 3 \overrightarrow{BH}.$

$\overrightarrow{BM}\,\begin{pmatrix}x_M-x_B\\y_M-y_B\\z_M-z_B\end{pmatrix}=\,\begin{pmatrix}x_M-1\\y_M-0\\z_M-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BM}\,\begin{pmatrix}x_M-1\\y_M\\z_M\end{pmatrix}} \\\\ \overrightarrow{BH}\,\begin{pmatrix}x_H-x_B\\y_H-y_B\\z_H-z_B\end{pmatrix}=\,\begin{pmatrix}0-1\\1-0\\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BH}\,\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}$

Dès lors,

$\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BH}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}x_M-1\\y_M\\z_M\end{pmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix} \Longleftrightarrow\begin{pmatrix}x_M-1\\y_M\\z_M\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{3}\\\overset{{\white{.}}}{\dfrac{1}{3}}\\\overset{{\white{.}}}{\dfrac{1}{3}}\end{pmatrix} \\\\\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}x_M-1=-\dfrac{1}{3}\\y_M=\dfrac{1}{3}\\\overset{{\white{.}}}{z_M=\dfrac{1}{3}}\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}x_M=\dfrac{2}{3}\\\\y_M=\dfrac{1}{3}\\\\z_M=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.$

Par conséquent, les coordonnées de M sont $\boxed{(\dfrac 2 3 ; \dfrac 1 3 ; \dfrac 1 3 )}\,.$

4. a) Montrons que le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{EG}$ et $\overrightarrow{ED}.$

$\boxed{\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}} \\\left\lbrace\begin{matrix}E(0\,;\,0\,;\,1)\\G(1\,;\,1\,;\,1)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{EG}\,\begin{pmatrix}1-0\\1-0\\1-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{EG}\,\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}} \\\\\overrightarrow{n}\,.\,\overrightarrow{EG}=(-1)\times1+1\times1+1\times0 \\\phantom{\overrightarrow{n}\,.\,\overrightarrow{EG}}=-1+1+0 \\\phantom{\overrightarrow{n}\,.\,\overrightarrow{EG}}=0 \\\\\text{D'où }\ \boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{EG}}$

$\left\lbrace\begin{matrix}E(0\,;\,0\,;\,1)\\D(0\,;\,1\,;\,0)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{ED}\,\begin{pmatrix}0-0\\1-0\\0-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{ED}\,\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}} \\\\\overrightarrow{n}\,.\,\overrightarrow{ED}=(-1)\times0+1\times1+1\times(-1) \\\phantom{\overrightarrow{n}\,.\,\overrightarrow{ED}}=0+1-1 \\\phantom{\overrightarrow{n}\,.\,\overrightarrow{ED}}=0 \\\\\text{D'où }\ \boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{ED}}$

Donc le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{EG}$ et $\overrightarrow{ED}$ du plan EGD.
Par conséquent, le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}$ est normal au plan EGD.

4. b) Nous savons que tout plan dont une équation cartésienne est de la forme ax + by + cz + d = 0 admet un vecteur normal $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}.$
Puisque nous avons montré dans la question précédente que $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}$ est un vecteur orthogonal au plan (EGD), une équation cartésienne de (EGD) est de la forme $\overset{{\white{.}}}{-x+y+z+d=0.}$
Or le point E(0 ; 0 ; 1) appartient à ce plan.
Ses coordonnées vérifient donc l'équation du plan.
D'où $\overset{{\white{.}}}{0+0+1+d=0\Longleftrightarrow \boxed{d=-1}\,.}$
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (EGD) est $\boxed{-x+y+z-1=0}\,.$

4. c) Soit $\mathscr{D}$ la droite orthogonale au plan (EGD) et passant par le point M.
Déterminons une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}.$
La droite $\mathscr{D}$ orthogonale au plan (EGD) est donc dirigée par le vecteur $\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}{\red{-1}}\\ {\red{1}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix}$ .
La droite $\mathscr{D}$ passe par le point $\overset{{\white{.}}}{M({\blue{\dfrac{2}{3}}}\,;\,{\blue{\dfrac{1}{3}}}\,;\,{\blue{\dfrac{1}{3}}}).}$
D'où une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est donnée par : $\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{\dfrac{2}{3}}}+{\red{(-1)}}\times t\\\overset{{\white{.}}}{y={\blue{\dfrac{1}{3}}}+{\red{1}}\times t}\\\overset{{\white{.}}}{z={\blue{\dfrac{1}{3}}}+{\red{1}}\times t} \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$
soit $\boxed{\mathscr{D}:\left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{2}{3}-t\\\overset{{\white{.}}}{y=\dfrac{1}{3}+t}\\\overset{{\white{.}}}{z=\dfrac{1}{3}+t} \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

5. Le cube ABCDEFGH est représenté ci-dessus selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide GEDM, en gris sur la figure :

Bac général spécialité maths 2021 Polynésie : image 5

5. a) Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide GEDM issue du point M.

La droite $\mathscr{D}$ est orthogonale au plan (EGD) et comprend le point M.
D'où cette droite $\mathscr{D}$ est la hauteur de la pyramide GEDM issue de M.
Le point K est donc le point d'intersection de la droite $\mathscr{D}$ avec le plan EGD.
Les coordonnées du point K sont les solutions du système composé par les équations de la droite $\mathscr{D}$ et du plan (EGD), soit du système :

$\left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{2}{3}-t\\\overset{}{y=\dfrac{1}{3}+t}\\z=\overset{}{\dfrac{1}{3}+t}\\-x+y+z-1=0 \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{2}{3}-t\\\overset{}{y=\dfrac{1}{3}+t}\\z=\overset{}{\dfrac{1}{3}+t}\\ -(\dfrac{2}{3}-t)+(\dfrac{1}{3}+t)+(\dfrac{1}{3}+t)-1=0 \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{2}{3}-t\\\overset{}{y=\dfrac{1}{3}+t}\\z=\overset{}{\dfrac{1}{3}+t}\\ -\dfrac{2}{3}+t+\dfrac{1}{3}+t+\dfrac{1}{3}+t-1=0\end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{2}{3}-t\\\overset{}{y=\dfrac{1}{3}+t}\\z=\overset{}{\dfrac{1}{3}+t}\\3t=1 \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{2}{3}-t\\\overset{}{y=\dfrac{1}{3}+t}\\z=\overset{}{\dfrac{1}{3}+t}\\\overset{}{t=\dfrac{1}{3} }\end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\\\overset{}{y=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}\\z=\overset{}{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}\\\overset{}{t=\dfrac{1}{3} }\end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{1}{3}\\\overset{}{y=\dfrac{2}{3}}\\z=\overset{}{\dfrac{2}{3}}\\\overset{}{t=\dfrac{1}{3} }\end{array}$

D'où les coordonnées du point K sont $\boxed{K(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\, ;\, \dfrac{2}{3})}.$

5. b) Le volume V de la pyramide GEDM est donné par la formule $V=\dfrac{\text{Aire de la base EGD}\times\text{hauteur MK}}{3}.$

L'aire de la base EGD a été déterminée dans la question 2. b) : $\mathscr{A}=\dfrac{\sqrt 3}{2}.$

Déterminons la hauteur MK.

$\left\lbrace\begin{matrix}M(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3})\\\overset{}{K(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{2}{3})}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{MK}\,\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}\\\overset{}{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}}\\\overset{}{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}}\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{MK}\,\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{3}\\\overset{}{\dfrac{1}{3}}\end{pmatrix} \\\\MK=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} \\\phantom{MK}=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}} \\\phantom{MK}=\sqrt{\dfrac{3}{9}}\\\phantom{MK}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}} \\\\\text{D'où }\ \boxed{MK=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$

Par conséquent, le volume V de la pyramide GEDM est $\underset{{\white{.}}}{V=\dfrac{\dfrac{\sqrt 3}{2}\times\dfrac{\sqrt 3}{3}}{3}=\dfrac{\dfrac{3}{6}}{3}\Longrightarrow\boxed{V=\dfrac{1}{6}}\,.}$

5 points

exercice au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

EXERCICE A

Partie 1

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe représentative $\overset{{\white{.}}}{\mathscr C}$ d'une fonction f définie sur

Bac général spécialité maths 2021 Polynésie : image 4

On considère les points A(0 ; 2) et B(2 ; 0).
La courbe $\overset{{\white{.}}}{\mathscr C}$ passe par A et la droite (AB) est la tangente à la courbe $\overset{{\white{.}}}{\mathscr C}$ au point A.

1. Nous observons graphiquement que le point d'abscisse 0 de la courbe $\overset{{\white{.}}}{\mathscr C}$ est le point A (0 ; 2).
D'où $\overset{{\white{.}}}{\boxed{f(0)=2}\,.}$

f' (0) est le coefficient directeur de la tangente (AB).
Donc $\overset{{\white{.}}}{f'(0)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{0-2}{2-0}=-1\Longrightarrow\boxed{f'(0)=-1}}$

2. La fonction f semble convexe sur l'intervalle [0 ; 3].

Partie 2

On considère l'équation différentielle : $\boxed{(E) : y'=-y+\text e ^{-x}}\,.$
1. Nous devons résoudre l'équation différentielle $(H):y'=-y.$
La solution générale d'une équation différentielle de la forme $\overset{{\white{.}}}{y'=ay+b}$ est $y=k\,\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).$
Dans ce cas, a = -1 et b = 0.
D'où la solution générale de l'équation $\overset{{\white{.}}}{(H):y'=-y}$ est de la forme $\overset{{\white{.}}}{f(x)=k\,\text{e}^{-x}-0}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{\boxed{f(x)=k\,\text{e}^{-x}\ \ (k\in\R)}}$

2. Supposons que la fonction h soit solution de (E).
On admet que $\overset{{\white{.}}}{g : x\mapsto x\,\text e^ {-x}}$ est une solution particulière de (E ).

Nous en déduisons que la fonction h - g est solution de l'équation $(H):y'=-y.$
Nous obtenons ainsi pour tout x réel, $\overset{{\white{.}}}{h(x)-g(x)=k\,\text{e}^{-x}\ \ (k\in\R)}$ .
$\overset{{\white{.}}}{h(x)-g(x)}=k\,\text{e}^{-x}\Longleftrightarrow h(x)=g(x)+k\,\text{e}^{-x} \\\phantom{h(x)-g(x)=k\,\text{e}^{-x}}\Longleftrightarrow h(x)=x\,\text e ^{-x}+k\,\text{e}^{-x}$
Par conséquent, les solutions de l'équation (E) sont définies sur par $\boxed{h(x)=x\,\text e ^{-x} +k\,\text{e}^{-x}\ \ (k\in\R)}$

3. Nous savons que la fonction f est la solution particulière de (E ) vérifiant la relation f (0) = 2,
D'où : $\overset{{\white{.}}}{0\,\text e ^0 +k\,\text{e}^{0}=2\Longleftrightarrow0+k=2\Longleftrightarrow\boxed{k=2}\,.}$

Par conséquent, $f(x)=x\,\text e ^{-x} +2\,\text{e}^{-x}$ , soit $\boxed{f(x)=(x+2)\text{e}^{-x}}$

Partie 3

1. a) Nous savons que la fonction f est solution de l'équation $(E) : y'=-y+\text e ^{-x}}\,.$
Dès lors pour tout x réel,

$f'(x)=-f(x)+\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=-(x+2)\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=-x\,\text e ^{-x} -2\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=-x\,\text e ^{-x} -\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=(-x-1)\,\text e ^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\R,\ f'(x)=(-x-1)\,\text e ^{-x}}$

1. b) Puisque l'exponentielle est strictement positive sur

, le signe de f' (x ) est le signe de (-x -1).

${\white{wwwwww}}\begin{matrix}-x-1<0\Longleftrightarrow -x<1\\\phantom{2x-1<0}\Longleftrightarrow x>-1\\\\-x-1=0\Longleftrightarrow x=-1\\\\-x-1>0\Longleftrightarrow x<-1\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&-1&&+\infty\\&&&&&\\\hline-x-1&&+&0&-&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f sur

.

$\underline{\text{Calcul préliminaire}}:f(-1)=-1\,\text e ^{1} +2\,\text{e}^{1}=\text{e} \\\\\\ {\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&-1&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&\text{e}&& \\f(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &&&&& \\ \hline \end{array}\end{matrix}$

D'où, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]- infini

; -1[
${\white{wwwwwwwwwww.w}}$ strictement décroissante sur l'intervalle ]-1 ; + infini

[.
La fonction f admet un maximum égal à e pour x = -1.

2. Déterminons l'expression de f''(x).

$f'(x)=-f(x)+\text{e}^{-x}\Longrightarrow \left(\overset{}{f'(x)}\right)'=\left(\overset{}{-f(x)}+\text{e}^{-x}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)=-f(x)+\text{e}^{-x}}\Longrightarrow f''(x)=-f'(x)-\text{e}^{-x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)=-f(x)+\text{e}^{-x}}\Longrightarrow f''(x)=-(-x-1)\,\text{e}^{-x}-\text{e}^{-x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)=-f(x)+\text{e}^{-x}}\Longrightarrow f''(x)=x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-\text{e}^{-x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)=-f(x)+\text{e}^{-x}}\Longrightarrow \boxed{f''(x)=x\,\text{e}^{-x}}}$

${\red{2. \text{b) }}}\ \forall\ x\in\,[0\,;\,+\infty[,\ \left\lbrace\begin{matrix}x\ge0\\\text{e}^{-x}>0\end{matrix}\right.{\white{w}}\Longrightarrow{\white{w}}x\text{e}^{-x}\ge0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWx}\Longrightarrow\boxed{f''(x)\ge0}$

Par conséquent, la fonction f est convexe sur l'intervalle [0 ; +[.

EXERCICE B

Partie 1 : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit la fonction f définie sur l'intervalle [1 ; 4] par : $f(x)=-30x+50+35\ln x .$

1. a) Pour tout nombre réel x de l'intervalle [1 ; 4],

$f'(x)=-30+0+\dfrac{35}{x}=\dfrac{-30x+35}{x}\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{35-30x}{x}}$

1. b) Puisque x > 0 sur [1 ; 4], le signe de f' (x ) est le signe de (35-30x ).

${\white{wwwwww}}\begin{matrix}35-30x<0\Longleftrightarrow -30x<-35\\\phantom{35-<0}\Longleftrightarrow 6x>7\\\phantom{35-<0}\Longleftrightarrow x>\dfrac{7}{6}\\\\35-30x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{7}{6}\\\\35-30x>0\Longleftrightarrow x<\dfrac{7}{6}\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&1&&\dfrac{7}{6}&&4\\&&&&&\\\hline35-30x&&+&0&-&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

1. c) Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f sur [1 ; 4].

$\underline{\text{Calculs préliminaires}}:f(1)=-30\times1+50+35\ln 1=-30+50+0=20 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwwwww.ww}f(\dfrac{7}{6})=-30\times\dfrac{7}{6}+50+35\ln \dfrac{7}{6}=15+35\ln\dfrac{7}{6}\approx20,4}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwwwww.ww}f(4)=-30\times4+50+35\ln 4=-70+35\ln4\approx-21,5} \\\\\\ {\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&1&&\dfrac{7}{6}&&4\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&\approx20,4&& \\f(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &20&&&&\approx-21,5 \\ \hline \end{array}\end{matrix}$

D'où, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $[1\,;\,\dfrac{7}{6}[$
${\white{wwwwwwwwwww.w}}$ strictement décroissante sur l'intervalle $]\dfrac{7}{6}\,;\,4].$

2. Sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\,;\,\dfrac{7}{6}[.}$
La fonction f est définie, continue et strictement croissante sur $\overset{{\white{.}}}{[1\,;\,\dfrac{7}{6}[.}$
$\overset{{\white{.}}}{f(1)=20>0}$ et $\overset{{\white{.}}}{f(\dfrac{7}{6})\approx20,4>0.}$
D'où f (x ) > 0 sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\,;\,\dfrac{7}{6}[.}$
Sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]\dfrac{7}{6}\,;\,4]}$
La fonction f est définie, continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]\dfrac{7}{6}\,;\,4]}$
$\overset{{\white{.}}}{f(\dfrac{7}{6})\approx20,4>0}$ et $\overset{{\white{.}}}{f(4)\approx-21,5<0.}$
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une et une seule solution notée dans l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]\dfrac{7}{6}\,;\,4]}.$

Par conséquent, nous en déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une et une seule solution notée dans l'intervalle [1 ; 4].

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : f (2,914) 0,0134 > 0 et f (2,915) -0,0046 < 0.
D'où $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\alpha \approx2,915}\ .}$

3. En utilisant les résultats des questions 1. et 2., nous pouvons établir le tableau de signes de f (x ) pour x appartenant à [1 ; 4].

${\white{wwwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&1&&\alpha&&4\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\ \hline \end{array}$

D'où $\left\lbrace\begin{matrix}\text{si }x\in\,[1\,;\,\alpha[,\text{ alors }f(x)>0\phantom{}\\\text{si }x=\alpha,\text{ alors }f(x)=0\phantom{ww}\\\text{si }x\in\,]\alpha \,;\,4],\text{ alors }f(x)<0\end{matrix}\right.$

Partie 2 : Optimisation

Une entreprise vend du jus de fruits. Pour x milliers de litres vendus, avec x nombre réel de l'intervalle [1 ; 4], l'analyse des ventes conduit à modéliser le bénéfice B (x ) par l'expression donnée en milliers d'euros par :

$B(x)=-15x^2+15x +35x\ln x.$

1. x représente le nombre de milliers de litres vendus.
$B(2,5)=-15\times(2,5)^2+15\times2,5 +35\times2,5\times\ln 2,5\Longrightarrow\boxed{B(x)\approx23,925}$

Par conséquent, lorsque l'entreprise vend 2 500 litres de jus de fruits, elle réalise un bénéfice de 23 925 euros.

2. Pour tout x de l'intervalle [1 ; 4],

$B'(x)=(-15x^2+15x+35x\ln x)' \\\phantom{B'(x)}=-15(x^2)'+15x'+35(x\times\ln x)' \\\phantom{B'(x)}=-30x+15+35(x'\times\ln x+x\times (\ln x)') \\\phantom{B'(x)}=-30x+15+35(1\times\ln x+x\times \dfrac{1}{x}) \\\phantom{B'(x)}=-30x+15+35(\ln x+1) \\\phantom{B'(x)}=-30x+15+35\ln x+35 \\\phantom{B'(x)}=-30x+50+35\ln x \\\phantom{B'(x)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in[1\,;\,4],\ B'(x)=f(x)}$

3. a) A l'aide du tableau de signes de f(x) établi à la question 3-Partie 1, nous en déduisons le tableau de variations de la fonction B sur l'intervalle [1 ; 4].

$\underline{\text{Calculs préliminaires}}:B(1)=-15\times1^2+15\times1+35\times1\times\ln 1=-15+15+0=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwwwww.ww}B(2,915)=-15\times2,915^2+15\times2,915+35\times2,915\times\ln 2,915\approx25,42 }\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwwwww.ww}B(4)=-15\times4^2+15\times4+35\times4\times\ln 4\approx14,08 } \\\\\\ {\white{wwwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&1&&\alpha\approx2,915&&4\\&&&&&\\\hline&&&&&\\B'(x)=f(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&B(\alpha)\approx25,42&&\\B(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&14,08\\ \hline \end{array}$

D'où, la fonction B est strictement croissante sur l'intervalle $[1\,;\,\alpha[$
${\white{wwwwwwwwwwwww}}$ strictement décroissante sur l'intervalle $]\alpha\,;\,4].$

La fonction B admet un maximum égal à environ 25,42 pour x environegal

2,915.

3. b) Nous déduisons de la question précédente que l'entreprise doit vendre environ 2915 litres de jus de fruits pour réaliser un bénéfice maximum.
Ce bénéfice s'élèvera alors à environ 25 420 euros.

Publié par malou le 30-08-2021

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