Fiche de mathématiques
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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

SESSION 2021

Métropole Candidat libre (2)

MATHÉMATIQUES

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Mardi 8 juin 2021

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.



Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

4 points

exercice 1 commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O ; vecti, vectj, vectk).
On considère :
{\white{ww}}\bullet {\white{w}} La droite D passant par les points A(1; 1; -2) et B(-1;3; 2).
{\white{ww}}\bullet {\white{w}} La droite D ' de représentation paramétrique : \left\lbrace\begin{matrix} x & =& -4+3t & \\ y & = & 6-3t & \text{avec }t\in \textbf R\\ z& =& 8-6t& \end{matrix}\right.
{\white{ww}}\bullet {\white{w}} Le plan P d'équation cartésienne x+my-2z+8=0m est un nombre réel.

Question 1 : parmi les points suivants, lequel appartient à la droite D ' ?
a. M1 (-1; 3; -2){\white{wlw}}b. M2 (11; -9; -22) {\white{wwwwww}}c. M3 (-7; 9; 2){\white{wwlww}}d. M4 (-2; 3; 4)

Question 2 : Un vecteur directeur de la droite D ' est :
a. \overrightarrow {u_1}\;\begin{pmatrix} -4\\ 6\\ 8 \end{pmatrix} {\white{wwww}}b. \overrightarrow {u_2}\;\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 6 \end{pmatrix} {\white{wwwwwwwwww}}c. \overrightarrow {u_3}\;\begin{pmatrix} 3\\ -3\\ -6 \end{pmatrix}{\white{wwwlww}}d. \overrightarrow {u_4}\;\begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}

Question 3 : Les droites D et D ' sont :
a. sécantes {\white{wwwww}}b. strictement parallèles {\white{wlw}}c. non coplanaires {\white{ww}}d. confondues

Question 4 : La valeur du réel m pour laquelle la droite D est parallèle au plan P est :
a. m = -1 {\white{wlwwwww}}b. m = 1 {\white{wwwwwwwvwwww}}c. m = 5 {\white{wwwwwwww}}d. m = -2

6 points

exercice 2 commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.
La leucose féline est une maladie touchant les chats ; elle est provoquée par un virus.
Dans un grand centre vétérinaire, on estime à 40 % la proportion de chats porteurs de la maladie.
On réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire.
Ce test possède les caractéristiques suivantes.
{\white{ww}}\bullet {\white{w}} Lorsque le chat est porteur de la maladie, son test est positif dans 90 % des cas.
{\white{ww}}\bullet {\white{w}} Lorsque le chat n'est pas porteur de la maladie, son test est négatif dans 85 % des cas.

On choisit un chat au hasard dans le centre vétérinaire et on considère les événements suivants :
{\white{ww}}\bullet {\white{w}} M :"Le chat est porteur de la maladie" ;
{\white{ww}}\bullet {\white{w}} T : "Le test du chat est positif" ;
{\white{ww}}\bullet {\white{w}} \overline M \text{ et } \overline T désignent les événements contraires des événements M et T respectivement.

1.
a. Traduire la situation par un arbre pondéré.
b. Calculer la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif.
c. Montrer que la probabilité que le test du chat soit positif est égale à 0,45.
d. On choisit un chat parmi ceux dont le test est positif. Calculer la probabilité qu'il soit porteur de la maladie.

2. On choisit dans le centre vétérinaire un échantillon de 20 chats au hasard. On admet que l'on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.
On note X la variable aléatoire donnant le nombre de chats présentant un test positif dans l'échantillon choisi.
a. Déterminer, en justifiant, la loi suivie par la variable aléatoire X.
b. Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon exactement 5 chats présentant un test positif.
c. Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon au plus 8 chats présentant un test positif.
d. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire X et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

3. Dans cette question, on choisit un échantillon de n chats dans le centre, qu'on assimile encore à un tirage avec remise. On note pn la probabilité qu'il y ait au moins un chat présentant un test positif dans cet échantillon.
a. Montrer que p_n=1-0,55^n.
b. décrire le rôle du programme ci-dessous écrit en langage Python, dans lequel la variable n est un entier naturel et la variable P un nombre réel.
Bac général Spécialité Maths 2021 Métropole  Candidat libre (2) : image 3


c. Déterminer, en précisant la méthode employée, la valeur envoyée par ce programme.

5 points

exercice 3 commun à tous les candidats

On considère la suite (un) définie par : u0 = 1 et, pour tout entier naturel n,

u_{n+1} = \dfrac{ 4u_n}{ u_n+4}.

Bac général Spécialité Maths 2021 Métropole  Candidat libre (2) : image 1

1. La copie d'écran ci-dessus présente les valeurs, calculées à l'aide d'un tableur, des termes de la suite (un ) pour n variant de 0 à 12, ainsi que celles du quotient \dfrac{4}{u_n} (avec, pour les valeurs de un, affichage de deux chiffres pour les parties décimales.)

A l'aide de ces valeurs, conjecturer l'expression de \dfrac{4}{u_n} en fonction de n.

Le but de l'exercice est de démontrer cette conjecture (question 5.), et d'en déduire la limite de la suite (un ) (question 6.).

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un > 0.
3. Démontrer que la suite (un ) est décroissante.
4. Que peut-on conclure des questions 2. et 3. concernant la suite (un ) ?
5. On considère la suite (vn ) définie pour tout entier naturel n par : v_n=\dfrac{4}{u_n}.
Démontrer que (vn ) est une suite arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
En déduire, pour tout entier naturel n, l'expression de vn en fonction de n.
6. Déterminer, pour tout entier naturel n, l'expression de un en fonction de n.
En déduire la limite de la suite (un ).

5 points

exercice Au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués dans un encadré.


Exercice A

\begin{tabular}{|l|} 	\hline \textbf{ Principaux domaines abordés :} \\ {\white{l}}\textbf{Fonction logarithme ; dérivation.}  \\ \hline \end{tabular}

Partie I


On désigne par h la fonction définie sur l'intervalle ]0; + infini[ par :

h(x)=1+\dfrac{ \ln (x)}{x²}.

On admet que la fonction h est dérivable sur ]0; + infini[ et on note h ' sa fonction dérivée.

1. Déterminer les limites de h en 0 et en + infini.
2. Montrer que, pour tout nombre réel x de ]0; + infini[ , h'(x)=\dfrac{ 1-2\ln (x)}{x^3}.
3. En déduire les variations de la fonction h sur l'intervalle ]0; + infini[ .
4. Montrer que l'équation h( x ) = 0 admet une solution unique alpha appartenant à ]0; + infini[ et vérifier que \frac 1 2 < \alpha < 1.
5. Déterminer le signe de h(x) pour x appartenant à ]0; + infini[ .

Partie II


On désigne par f 1 et f 2 les fonctions définies sur ]0; + infini[ par :

f_1(x)=x-1-\dfrac{\ln (x)}{x²} \quad \text{ et } \quad f_2(x)=x-2-\dfrac{ 2\ln (x)}{x²}.


On note C 1 et C 2 les représentations graphiques respectives de f 1 et f 2 dans un repère (O; vecti, vectj).

1. Montrer que, pour tout réel x appartenant à ]0; + infini[ , on a :
f_1(x)-f_2(x)=h(x).

2. Déduire des résultats de la Partie I la position relative des courbes C 1 et C 2 . On justifiera que leur unique point d'intersection a pour coordonnées (alpha ; alpha).
On rappelle que alpha est l'unique solution de l'équation h( x ) = 0.


Exercice B

\begin{tabular}{|l|} 	\hline \textbf{ Principaux domaines abordés :} \\ {\white{l}}\textbf{Fonction exponentielle ; dérivation ; convexité.}  \\ \hline \end{tabular}

Partie I


On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la fonction dérivée f' d'une fonction f dérivable sur R.
A l'aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses :
1. Le sens de variation de la fonction f sur R.
2. La convexité de la fonction f sur R.
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Partie II


On admet que la fonction f mentionnée dans la Partie I est définie sur R par :
f(x)=(x+2)\text e ^{-x}.


On note C la courbe représentative de f dans un repère (O; vecti, vectj).
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur R, et on note f ' et f '' les fonctions dérivées première et seconde de f respectivement.
1. Montrer que, pour tout réel x ,
f(x)=\dfrac{x}{\text e ^x}+2\text e ^{-x}.

En déduire la limite de f en + infini.
Justifier que la courbe C admet une asymptote que l'on précisera.
On admet que \displaystyle{\lim_{\substack{x\to - \infty}}f(x)=-\infty.

2.
a. Montrer que, pour tout nombre réel x, f'(x)=(-x-1)\text e ^{-x}.
b. Etudier les variations sur R de la fonction f et dresser son tableau de variations.
c. Montrer que l'équation f ( x ) = 2 admet une unique solution alpha sur l'intervalle [-2 ; -1] dont on donnera une valeur approchée à 10-1 près.

3. Déterminer, pour tout nombre réel x , l'expression de f '' (x ) et étudier la convexité de la fonction f . Que représente pour la courbe C son point A d'abscisse 0 ?




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4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  (\text{O} ; \vec i, \vec j, \vec k).

On considère :
{\white{ww}}\bullet {\white{w}}  La droite D  passant par les points A (1 ; 1 ; -2) et B (-1 ; 3 ; 2).
{\white{ww}}\bullet {\white{w}}  La droite D'  de représentation paramétrique :  \overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix} x & =& -4+3t & \\ y & = & 6-3t & \text{avec }t\in \textbf R.\\ z& =& 8-6t& \end{matrix}\right.}
{\white{ww}}\bullet {\white{w}}  Le plan P  d'équation cartésienne  \overset{{\white{.}}}{x+my-2z+8=0}  où m est un nombre réel.

Question 1 : Le point  \overset{{\white{.}}}{{\red{M_2\,(11\,;\,-9\,;\,-22)}}}  appartient à la droite D' .

En effet, remplaçons t  par 5 dans les équations paramétriques de D' .

\left\lbrace\begin{matrix} x & =& -4+3\times5 & \\ y & = & 6-3\times5 &\\ z& =& 8-6\times5& \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\ \left\lbrace\begin{matrix} x & =& -4+15 & \\ y & = & 6-15 &\\ z& =& 8-30& \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\ \left\lbrace\begin{matrix} x & =& 11 & \\ y & = & -9 &\\ z& =& -22& \end{matrix}\right.

D'où le point  \overset{{\white{.}}}{M_2\,(11\,;\,-9\,;\,-22)}  appartient à la droite D' .
Par conséquent, l'affirmation b. est correcte.

Question 2 : Un vecteur directeur de la droite D'  est  \overset{{\white{.}}}{{\red{\overrightarrow{u_3}\begin{pmatrix} 3\\ -3\\ -6 \end{pmatrix}}}}.
En effet, les coordonnées du vecteur directeur de D'  se retrouvent dans la représentation paramétrique de D' .
\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix} x & =& -4{\red{\,+\,3}}\,t & \\ y & = & 6{\red{\,-\,3}}\,t & \text{avec }t\in \textbf R.\\ z& =& 8{\red{\,-\,6}}\,t& \end{matrix}\right.}
Par conséquent, l'affirmation c. est correcte.

Question 3 : Les droites D  et D'  sont confondues.
Un vecteur directeur de la droite D  est  \overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix}},\text{ soit }\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 4 \end{pmatrix}.

Un vecteur directeur de la droite D'  est  \overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{u_3}\begin{pmatrix} 3\\ -3\\ -6 \end{pmatrix}}.  (voir question 2)

Or  \dfrac{3}{-2}=\dfrac{-3}{2}=\dfrac{-6}{4}\,\ ({\blue{=-1,5}})
Puisque les composantes de ces vecteurs sont proportionnelles, ces vecteurs directeurs des droites D  et D'  sont colinéaires.
D'où les droites D  et D'  sont parallèles.

Déterminons si ces droites sont strictement parallèles ou confondues en déterminant si par exemple, le point B (-1 ; 3 ; 2) de la droite D  appartient ou n'appartient pas à la droite D' .
Dans la représentation paramétrique de D' , remplaçons x , y  et z  respectivement par -1, 3 et 2 et vérifions si le système obtenu est compatible.

\left\lbrace\begin{matrix} -1 & =& -4+3t & \\ 3 & = & 6-3t &\\ 2& =& 8-6t& \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\ \left\lbrace\begin{matrix} 3 & =& 3t & \\ -3 & = & -3t & \\ -6& =& -6t& \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\ \boxed{\left\lbrace\begin{matrix} t & =& 1 & \\ t & = & 1 & \\ t& =& 1& \end{matrix}\right.}

Le système étant compatible (puisque la solution est t  = 1), le point B (-1 ; 3 ; 2) de la droite D  appartient à la droite D' .
D'où, les droites D  et D'  sont parallèles confondues.
Par conséquent, l'affirmation d. est correcte.

Question 4 : La valeur du réel m  pour laquelle la droite D  est parallèle au plan P  est m  = 5.

Nous savons que tout plan dont une équation cartésienne est de la forme ax + by + cz + d = 0 admet un vecteur normal  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}.
Donc un vecteur normal au plan P  est  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\m\\-2\end{pmatrix}.
Nous avons également montré dans la question 3. qu'un vecteur directeur de la droite D  est  \overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 4 \end{pmatrix}}.
La droite D  est parallèle au plan P  si les vecteurs  \overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}}  et  \overrightarrow{AB}  sont orthogonaux.

\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow\overrightarrow{n}.\,\overrightarrow{AB}=0 \\\phantom{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}}\Longleftrightarrow 1\times (-2)+m\times2-2\times4=0 \\\phantom{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}}\Longleftrightarrow -2+2m-8=0 \\\phantom{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}}\Longleftrightarrow 2m-10=0 \\\phantom{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}}\Longleftrightarrow 2m=10 \\\phantom{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}}\Longleftrightarrow \boxed{m=5}
Par conséquent, l'affirmation c. est correcte.

6 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. a)  Dans un grand centre vétérinaire, on estime à 40 % la proportion de chats porteurs de la maladie.
On réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire.
Ce test possède les caractéristiques suivantes.
{\white{ww}}\bullet {\white{w}} Lorsque le chat est porteur de la maladie, son test est positif dans 90 % des cas.
{\white{ww}}\bullet {\white{w}} Lorsque le chat n'est pas porteur de la maladie, son test est négatif dans 85 % des cas.
Arbre pondéré représentant la situation.

Bac général Spécialité Maths 2021 Métropole  Candidat libre (2) : image 6


1. b)  Nous devons déterminer  \overset{{\white{.}}}{p(M\cap T).}

p(M\cap T)=p(M)\times p_M(T) \\\phantom{p(M\cap T)}=0,4\times 0,9 \\\phantom{p(M\cap T)}=0,36 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(M\cap T)=0,36}
Par conséquent, la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif est égale à 0,36.

1. c)  Nous devons déterminer  \overset{{\white{.}}}{p(T).}

Les événements  \overset{{\white{.}}}{M}  et  \overline{M}  forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(T)=p(M\cap T)+p(\overline{M}\cap T) \\\phantom{p(T)}=0,36+p(\overline{M})\times p_{\overline{M}}(T) \\\phantom{p(T)}=0,36+0,6\times0,15 \\\phantom{p(T)}=0,36+0,09 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(T)=0,45}
Par conséquent, la probabilité que le test du chat soit positif est égale à 0,45.

1. d)  Nous devons déterminer  p_{_T}(M).

p_{_T}(M)=\dfrac{p(M\cap T)}{p(T)}=\dfrac{0,36}{0,45}=\dfrac{36}{45}=\dfrac{4}{5}=0,8 \\\\\Longrightarrow\boxed{p_{_T}(M)=0,8}
D'où, la probabilité que le chat soit porteur de la maladie sachant que son test est positif égale à 0,8.

2. a)  Lors de cette expérience, on répète 20 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "le test du chat est positif" dont la probabilité est p  = 0,45 (voir question 1c).
Echec : "le test du chat est négatif" dont la probabilité est 1 - p  = 1 - 0,45 = 0,55.
La variable aléatoire X  compte le nombre de chats présentant un test positif, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X  suit une loi binomiale de paramètre p  = 0,45 et n  = 20.

2. b)  Nous devons déterminer  p(X=5).

p(X=5)=\begin{pmatrix}20\\5\end{pmatrix}\times0,45^5\times(1-0,45)^{20-5} \\\phantom{p(X=5)}=\begin{pmatrix}20\\5\end{pmatrix}\times0,45^5\times0,55^{15} \\\phantom{p(X=5)}\approx0,03647. \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=5)\approx0,036}
Par conséquent, la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon exactement 5 chats présentant un test positif est environ égale à 0,036 (valeur arrondie au millième).

2. c)  Nous devons déterminer  p(X\le8).
Par la calculatrice, nous obtenons  p(X\le8)\approx0,414
D'où, la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon au plus 8 chats présentant un test positif est environ égale à 0,414 (valeur arrondie au millième).

2. d)  L'espérance  \overset{{\white{.}}}{E(X)=n\times p=20\times0,45\Longrightarrow\boxed{E(X)=9}\,.}
Donc nous pouvons estimer que sur un nombre élevé d'échantillons de 20 chats, chaque échantillon contient en moyenne 9 chats présentant un test positif.

3. a)  Nous devons déterminer  p(X\ge1).
L'événement contraire de l'événement "au moins un chat présente un test positif" est "aucun chat ne présente de test positif".
Donc  p(X\ge1)=1-p(X=0).

\text{Or }\ p(X=0)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times(0,45)^0\times\left(1-0,45\right)^{n-0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=0)}=1\times1\times0,55^{n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=0)}=0,55^{n}} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=0)=0,55^{n}}\\\\\text{Dès lors, }\ \boxed{p(X\ge1)=1-0,55^n}

3. b)  Le programme suivant, écrit en langage Python, renvoie après son exécution la plus petite valeur de l'entier naturel n  pour laquelle pn  supegal  0,99.

\begin{array}{|c|}\hline \text{d}\text{e}\text{f} \text{ seuil}():{\phantom{wwwwwwww}}\\\text{n = 0}{\phantom{wwwwwww}}\\\text{P = 0}{\phantom{wwwwwww}} \\\text{while P}< 0.99\text{ :}{\phantom{w}} \\ {\phantom{w}}\text{n = n + 1}\\ {\phantom{wwww.}}\text{P = }1-0.55^{**}\text{n} \\\text{return n}{\phantom{wwwwww}} \\\hline\end{array}

3. c)  Résolvons l'inéquation  \overset{{\white{.}}}{p_n\ge0,99.}

p_n\ge0,99\Longleftrightarrow 1-0,55^n\ge0,99 \\\phantom{p_n\ge0,99}\Longleftrightarrow -0,55^{n}\ge0,99-1 \\\phantom{p_n\ge0,99}\Longleftrightarrow -0,55^{n}\ge-0,01\\\phantom{p_n\ge0,99}\Longleftrightarrow 0,55^{n}\le0,01\\\phantom{p_n\ge0,99}\Longleftrightarrow \ln\left(0,55^{n}\right)\le\ln\left(0,01\right) \\\phantom{p_n\ge0,99}\Longleftrightarrow n\times\ln\left(0,55\right)\le\ln\left(0,01\right) \\\phantom{p_n\ge0,99}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,55\right)}\ (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,55)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,55\right)}\approx7,70
D'où la plus petite valeur de l'entier naturel n  vérifiant l'inégalité est n  = 8.
Par conséquent, la valeur envoyée par le programme est 8.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Considérons la suite (un ) définie par :   \left\lbrace\begin{matrix}u_0=1{\white{wwwwwwwwww}}\\u_{n+1}=\dfrac{4u_n}{u_n+4}{\white{www}}(n\in\N)\end{matrix}\right.

1.  Nous pouvons conjecturer que pour tout entier n , nous avons la relation  \dfrac{4}{n}=n+4.

2.  Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , nous avons :  \overset{{\white{.}}}{u_n>0}

Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que :  \overset{{\white{.}}}{u_0>0}
C'est une évidence puisque  \overset{{\white{.}}}{u_0=1>0\Longrightarrow u_0>0.}
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,  \overset{{\white{.}}}{u_n>0} , alors  \overset{{\white{.}}}{u_{n+1}>0.}

En effet,

u_n>0\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}4u_n>0\phantom{www}\\u_n+4>4>0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{u_n>0}\Longrightarrow\phantom{www}\dfrac{4u_n}{u_n+4}>0 \\\\\phantom{u_n>0}\Longrightarrow\phantom{www}\boxed{u_{n+1}>0}
Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n ,  \overset{{\white{.}}}{u_n>0.}

3.  Montrons que la suite (un ) est décroissante.

Pour tout entier naturel n ,

u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n}{u_n+4}-u_n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{4u_n-u_n(u_n+4)}{u_n+4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{4u_n-u_n^2-4u_n}{u_n+4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-\,u_n^2}{u_n+4}}

\text{Or }\ u_n>0\ (\text{voir question 2)}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}u_n^2>0\\u_n+4>0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{Or }\ u_n>0\ (\text{voir question 2)}}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-u_n^2<0\\u_n+4>0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{Or }\ u_n>0\ (\text{voir question 2)}}\Longrightarrow\dfrac{-\,u_n^2}{u_n+4}<0 \\\\\phantom{\text{Or }\ u_n>0\ (\text{voir question 2)}}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}-u_n<0}
Par conséquent, la suite (un ) est décroissante.

4.  Des questions 2. et 3., nous pouvons déduire que la suite (un ) est décroissante et minorée par 0.
D'où la suite (un ) est convergente.

5.  On considère la suite (vn ) définie pour tout entier naturel n  par :  v_n=\dfrac{4}{u_n}.
Montrons que la suite (vn ) est une suite arithmétique.
Pour tout entier naturel n ,

v_{n+1}-v_n=\dfrac{4}{u_{n+1}}-\dfrac{4}{u_{n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}-v_n}=\dfrac{4}{\dfrac{4u_n}{u_n+4}}-\dfrac{4}{u_{n}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}-v_n}=\dfrac{4(u_n+4)}{4u_n}-\dfrac{4}{u_{n}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}-v_n}=\dfrac{u_n+4}{u_n}-\dfrac{4}{u_{n}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{v_{n+1}-v_n}=\dfrac{u_n+4-4}{u_n}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{v_{n+1}-v_n}=\dfrac{u_n}{u_n}=1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N, \ v_{n+1}-v_n=1} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:v_0=\dfrac{4}{u_0}=\dfrac{4}{1}=4\Longrightarrow\boxed{v_0=4}
Par conséquent, la suite (vn ) est une suite arithmétique de raison r  = 1 dont le premier terme est v0 = 4.

Le terme général de la suite (vn ) est  \overset{{\white{.}}}{v_n=v_0+n\,r} .
Donc, pour tout n  supegal 0,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{v_n=4+n}}

{\red{6.\ }}\ \forall\ n\in\N, \left\lbrace\begin{matrix}v_n=\dfrac{4}{u_n}{\white{w}}\\v_n=4+n\end{matrix}\right.{\white{wwww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\dfrac{4}{u_n}=4+n \\ {\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwww}}\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N,\ u_n=\dfrac{4}{4+n}}

\lim\limits_{n\to+\infty}(4+n)=+\infty\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{4}{4+n}=0 \\\\\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}(4+n)=+\infty}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}

5 points

exercice au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

exercice A

Partie I

On désigne par h  la fonction définie sur l'intervalle ]0; +infini[ par :  h(x)=1+\dfrac{ \ln (x)}{x^2}.

On admet que la fonction h  est dérivable sur ]0; +infini[ et on note h'  sa fonction dérivée.

{\red{1.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty\\\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1}{x^2}=+\infty\end{matrix}\right.\ \Longrightarrow\ \lim\limits_{x\to0^+}\left(\ln(x)\times\dfrac{1}{x^2}\right)=-\infty \\\phantom{wwwwwwwwwwwwww}\ \Longrightarrow\ \lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=-\infty \\\phantom{wwwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\ \lim\limits_{x\to0^+}\left(1+\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right)=-\infty \\\\\phantom{wwwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\ \boxed{\lim\limits_{x\to0^+}h(x)=-\infty}

 \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0\ (\text{croissances comparées)}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0\phantom{wwwwwwwwwwwwwwww}\end{matrix}\right.\ \Longrightarrow\ \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\ln(x)}{x}\times\dfrac{1}{x}\right)=0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWx}\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWx}\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right)=1 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWx}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=1}

2.  Déterminons l'expression de h' (x ).

h'(x)=1'+\left(\dfrac{ \ln (x)}{x^2}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=0+\dfrac{ (\ln (x))'\times x^2-\ln(x)\times(x^2)'}{(x^2)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=\dfrac{ \dfrac{1}{x}\times x^2-\ln(x)\times2x}{x^4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=\dfrac{ x-2x\,\ln(x)}{x^4}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{h'(x)}=\dfrac{ x(1-2\,\ln(x))}{x^4}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{h'(x)}=\dfrac{ 1-2\,\ln(x)}{x^3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ h'(x)=\dfrac{ 1-2\,\ln(x)}{x^3}}

3.  Puisque x 3 est strictement positif sur ]0; +infini[, le signe de f' (x ) est le signe de (1 - 2ln(x )).

{\white{wwwwww}}\begin{matrix}1-2\ln(x)<0\Longleftrightarrow -2\ln(x)<-1\\\phantom{2x-1<0}\Longleftrightarrow 2\ln(x)>1\\\phantom{2x-1<0}\Longleftrightarrow\ln(x)>\dfrac{1}{2}\\\phantom{2x-1.}\Longleftrightarrow x>\text{e}^{\frac{1}{2}}\\\\1-2\ln(x)=0\Longleftrightarrow x=\text{e}^{\frac{1}{2}}\\\\1-2\ln(x)>0\Longleftrightarrow x<\text{e}^{\frac{1}{2}}\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{\frac{1}{2}}&&+\infty\\&&&&&\\\hline1-2\ln(x)&||&+&0&-&\\\hline&||&&&&\\h'(x)&||&+&0&-&\\&||&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction h  sur l'intervalle ]0 ; +infini[.

\underline{\text{Calcul préliminaire}}:h(\text{e}^{\frac{1}{2}})=1+\dfrac{\frac{1}{2}}{(\text{e}^{\frac{1}{2}})^2}=1+\dfrac{\frac{1}{2}}{\text{e}}=1+\dfrac{1}{2\text{e}}\approx1,18 \\\\\\ {\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{\frac{1}{2}}&&+\infty\\&&&&&\\\hline&||&&&&\\h'(x)&||&+&0&-&\\&||&&&&\\\hline &||&&1+\dfrac{1}{2\text{e}}\approx1,18&& \\h(x)&||&\nearrow&&\searrow& \\ &(-\infty)&&&&(1) \\ \hline \end{array}\end{matrix}

D'où, la fonction h  est  strictement croissante sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]0\,;\,\text{e}^{\frac{1}{2}}[}
{\white{wwwwwwwwwww.w}} strictement décroissante sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]\text{e}^{\frac{1}{2}}\,;\,+\infty[.}

4.  Sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]0\,;\,\text{e}^{\frac{1}{2}}[}
La fonction h  est définie sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]0\,;\,\text{e}^{\frac{1}{2}}[.}
h  est continue sur cet intervalle car elle est dérivable sur \overset{{\white{.}}}{]0\,;\,\text{e}^{\frac{1}{2}}[.}
h  est strictement croissante sur  \overset{{\white{.}}}{]0\,;\,\text{e}^{\frac{1}{2}}[.}
\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to0^+}h(x)=-\infty}  et  \overset{{\white{.}}}{h(\text{e}^{\frac{1}{2}})=1+\dfrac{1}{2\text{e}}\approx1,18>0.}
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation h (x ) = 0 possède une et une seule solution notée alpha dans l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]0\,;\,\text{e}^{\frac{1}{2}}[.}

Sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]\text{e}^{\frac{1}{2}}\,;\,+\infty[.}
La fonction h  est strictement décroissante sur  \overset{{\white{.}}}{]\text{e}^{\frac{1}{2}}\,;\,+\infty[.}
\overset{{\white{.}}}{h(\text{e}^{\frac{1}{2}})=1+\dfrac{1}{2\text{e}}\approx1,18>0}  et  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=1>0.}
D'où h (x ) > 0 sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]\text{e}^{\frac{1}{2}}\,;\,+\infty[.}

Par conséquent, nous en déduisons que l'équation h (x ) = 0 possède une et une seule solution notée alpha dans l'intervalle ]0; +infini[.

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :  h(\dfrac{1}{2})\approx-1,77<0  et h (1) = 1 > 0.
D'où  \overset{{\white{.}}}{\boxed{\dfrac{1}{2}<\alpha <1}\ .}

5.  En utilisant les résultats des questions 3. et 4., nous pouvons établir le tableau de signes de h (x ).

{\white{wwwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\alpha&&+\infty\\&&&&&\\\hline&||&&&&\\h(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\ \hline \end{array}

D'où  \left\lbrace\begin{matrix}\text{si }x\in\,]0\,;\,\alpha[,\text{ alors }h(x)<0\phantom{ww}\\\text{si }x=\alpha,\text{ alors }h(x)=0\phantom{wwww}\\\text{si }x\in\,]\alpha \,;\,+\infty[,\text{ alors }h(x)>0\end{matrix}\right.


Partie II

On désigne par f 1 et f 2 les fonctions définies sur ]0; +infini[ par :  \left\lbrace\begin{matrix}f_1(x)=x-1-\dfrac{\ln (x)}{x^2}{\white{w}}\\\\f_2(x)=x-2-\dfrac{ 2\ln (x)}{x^2}.\end{matrix}\right.

1.  Pour tout réel x  appartenant à ]0; +infini[,

f_1(x)-f_2(x)=\left(x-1-\dfrac{\ln (x)}{x^2}\right)-\left(x-2-\dfrac{ 2\ln (x)}{x^2}\right) \\\phantom{f_1(x)-f_2(x)}=x-1-\dfrac{\ln (x)}{x^2}-x+2+\dfrac{ 2\ln (x)}{x^2} \\\phantom{f_1(x)-f_2(x)}=1+\dfrac{\ln (x)}{x^2} \\\phantom{f_1(x)-f_2(x)}=h(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ f_1(x)-f_2(x)=h(x)}

2.  En utilisant les résultats de la question 5 (Partie I), nous déduisons que :

\bullet{\phantom{w}}x\in\,]0\,;\,\alpha[\ \Longrightarrow h(x)<0 \\\phantom{\bullet{\phantom{..}}x\in\,]0\,;\,\alpha[\ }\Longrightarrow f_1(x)-f_2(x)<0 \\\phantom{\bullet{\phantom{..}}x\in\,]0\,;\,\alpha[\ }\Longrightarrow f_1(x)<f_2(x) \\\overset{{\white{.}}}{\text{D'où }{\blue{\text{sur l'intervalle }]0\,;\,\alpha[,\text{ la courbe }C_1\text{ est en dessous de la courbe }C_2.}}} \\\\ \bullet{\phantom{w}}x\in\,]\alpha \,;\,+\infty[\ \Longrightarrow h(x)>0 \\\phantom{\bullet{\phantom{ww}}x\in\,]0\,;\,\alpha[\ }\Longrightarrow f_1(x)-f_2(x)>0 \\\phantom{\bullet{\phantom{ww}}x\in\,]0\,;\,\alpha[\ }\Longrightarrow f_1(x)>f_2(x) \\\overset{{\white{.}}}{\text{D'où }{\blue{\text{sur l'intervalle }]\alpha \,;\,+\infty[,\text{ la courbe }C_1\text{ est au-dessus de la courbe }C_2.}}} \\\\ \bullet{\phantom{w}}h(\alpha)=0\Longrightarrow  f_1(\alpha)-f_2(\alpha)=0 \\\phantom{\bullet{\phantom{ww}}x\in\,]0\,;\,}\Longrightarrow f_1(\alpha)=f_2(\alpha)

Puisque alpha est l'unique solution de l'équation h (x ) = 0, nous en déduisons que alpha est l'abscisse de l'unique point d'intersection entre les courbes C 1 et C 2.

Déterminons l'ordonnée de ce point d'intersection.

f_1(\alpha)=\alpha-1-\dfrac{\ln (\alpha)}{\alpha^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_1(\alpha)}=\alpha-(1+\dfrac{\ln (\alpha)}{\alpha^2})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_1(\alpha)}=\alpha-h(\alpha)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_1(\alpha)}=\alpha-0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f_1(\alpha)}=\alpha} \\\\\Longrightarrow\boxed{f_1(\alpha)=\alpha}
Par conséquent, l'unique point d'intersection des courbes C 1 et C 2 a pour coordonnées (alpha ; alpha).


exercice B

Partie I

On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la fonction dérivée f ' d'une fonction f  dérivable sur R.

Bac général Spécialité Maths 2021 Métropole  Candidat libre (2) : image 7


1.  Graphiquement, nous observons que f' (x ) > 0 si x  appartient ]-infini ; -1[ et f' (x ) < 0 si x  appartient ]-1 ; +infini[.
Donc la fonction f est croissante sur l'intervalle ]-infini ; -1[ et décroissante sur l'intervalle ]-1 ; +infini[.

2.  Graphiquement, nous observons que la fonction f' est décroissante sur l'intervalle ]-infini ; 0[ et est croissante sur l'intervalle ]0 ; +infini[.
Donc la fonction f est concave sur l'intervalle ]-infini ; 0[ et convexe sur l'intervalle ]0 ; +infini[.

Partie II

On admet que la fonction f  est définie sur R par :  f(x)=(x+2)\text{e}^{-x}.

1.  Pour tout réel x ,

f(x)=(x+2)\text{e}^{-x} \\\phantom{f(x)}=x\,\text{e}^{-x}+2\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f(x)}=\dfrac{x}{\text{e}^{x}}+2\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=\dfrac{x}{\text{e}^{x}}+2\,\text{e}^{-x}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty{\white{www}}(\text{croissances comparées})\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0{\white{wwwwwwwwwwwwwwwwww}}\end{matrix}\right.{\white{www}}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}}=0\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x}{\text{e}^{x}}+2\,\text{e}^{-x}\right)=0 \\\\\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}

Nous en déduisons que la courbe C  admet une asymptote horizontale en +infini dont l'équation est y  = 0 (axe des abscisses).

On admet que  \overset{{\white{.}}}{\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.}}

2. a)  Déterminons l'expression de f' (x ).

f'(x)=(x+2)'\times\text{e}^{-x}+(x+2)\times(\text{e}^{-x})' \\\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^{-x}+(x+2)\times(-x)'\ \text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{-x}+(x+2)\times(-1)\times\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{-x}-(x+2)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=(1-x-2)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=(-x-1)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-x-1)\,\text{e}^{-x}}

2. b)  Etudions le signe de f' (x ) sur R.
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R, le signe de f' (x ) est le signe de (-x  - 1).

{\white{wwwwww}}\begin{matrix}-x-1<0\Longleftrightarrow -x<1\\\phantom{-x-1ww.}\Longleftrightarrow x>-1\\\\-x-1=0\Longleftrightarrow x=-1\\\\-x-1>0\Longleftrightarrow x<-1\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&-1&&+\infty\\&&&&&\\\hline -x-1&&+&0&-&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f  sur l'intervalle R.

\begin{matrix}\underline{\text{Calculs préliminaires}}\\\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\ (\text{admis dans l'énoncé})\\\\f(-1)=(-1+2)\,\text{e}^1\Longrightarrow f(-1)=\text{e}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\ (\text{voir question 1.})\end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&-1&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&\text{e}&& \\ f(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &-\infty&&&&0 \\ \hline \end{array}\end{matrix}

2. c)  La fonction f  est continue et strictement croissante sur l'intervalle [-2 ; -1].
\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}f(-2)=0\ {\red{<2}}\\f(-1)=\text{e}\ {\red{>2}}\end{matrix}\right.}
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x ) = 2 admet une unique solution alpha sur l'intervalle [-2 ; -1].

Avec l'aide du tableur de la calculatrice, nous obtenons : f (-1,6) environegal 1,98 < 2 et f (-1,5) environegal 2,24 > 2.
D'où une valeur approchée à 10-1 près de la solution de l'équation f (x ) = 2 est alpha environegal -1,6.

3.  La convexité de la fonction f  se détermine par le signe de la dérivée seconde f'' (x ).

f''(x)=(-x-1)'\times\text{e}^{-x}+(-x-1)\times(\text{e}^{-x})' \\\phantom{f''(x)}=(-1)\times\text{e}^{-x}+(-x-1)\times(-x)'\ \text{e}^{-x} \\\phantom{f''(x)}=-\text{e}^{-x}+(-x-1)\times(-1)\times\text{e}^{-x} \\\phantom{f''(x)}=-\text{e}^{-x}+(x+1)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f''(x)}=(-1+x+1)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f''(x)}=x\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f''(x)=x\,\text{e}^{-x}}

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R, le signe de f'' (x ) est le signe de x .
Dès lors,

{\white{ww}}\bullet {\white{w}}  Si x < 0, alors f'' (x ) < 0.
{\white{ww}}\bullet {\white{w}}  Si x > 0, alors f'' (x ) > 0.

Par conséquent, la fonction f  est concave sur ]-infini ; 0[ et est convexe sur ]0 ; +infini[.
Au point A d'abscisse 0, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.
D'où le point A est un point d'inflexion.
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