Fiche de mathématiques
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Bac Bénin 2022

Mathématiques Série C

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Durée : 4 heures
Coefficient : 6


Les seules calculatrices autorisées sont les calculatrices non programmables .


Situation d'évaluation



Contexte: La bibliothèque municipale

La mairie de SAKE a obtenu un prêt pour la construction d'une bibliothèque . La figure ci-dessous schématise
les différentes séparations qui seront réalisées à l'intérieur de cette bibliothèque .

Bac Bénin 2022 série C : image 1


OABC est un carré de côté c ; I,J,K sont les milieux respectifs des segments [OC],[CB],[BA] .

Pour rembourser le prêt et assurer le bon fonctionnement de la bibliothèque , un droit d'adhésion et des frais
d'abonnement seront institués pour les usagers .

A la cérémonie de lancement du projet , les différents collèges de la commune ont été massivement représentés par leurs élèves .
Une ONG a décidé de mettre des manuels scolaires et des livres de culture générale à la disposition de la bibliothèque .
Des rayons de manuels scolaires seront disposés le long des segments [OI] et [JK] .

Awaou , première responsable de son collège et élève en classe terminale scientifique est impréssionnée par la présentation du projet .
C'est ainsi qu'elle a retenu que le comptoir du bibliothèque peut être modélisé par un arc de cercle et son bureau , par un point \Omega , centre
de la similitude directe s vérifiant s(O)=J\text{ et }s(I)=K . Awaou est intéressée par la position du point \Omega , la fonction traduisant l'évolution
annuelle des recettes générées par les droits d'adhésion et les frais d'abonnement à la bibliothèque , le montant à rembourser chaque année et le nombre
total de manuels scolaires et de livres de culture générale que l'ONG veut mettre à la disposition de la bibliothèque à son ouverture .

Tâche : Tu es invité(e) à répondre aux préoccupations d'Awaou en résolvant les problèmes ci-après .

Problème 1


1) Justifie l'existence de la similitude s .

2) Détermine le rapport et l'angle de la similitude s .

3-a) Démontre que \Omega appartient à l'ensemble (\Gamma) des points M du plan tels que : MJ^2-MO^2=0 .
b) Démontre que (\Gamma) est un cercle dont tu préciseras le centre et le rayon en fonction de c .

4) On suppose le plan muni du repère orthonormé direct (O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}) .
a) Détermine l'écriture complexe de s .
b) Détermine l'affixe du point \Omega .

5) Reproduis le carré puis construis (\Gamma) et \Omega sur la figure . (Tu prendras c=5\text{ cm}) .

Problème 2


D'après les études , x étant le nombre d'usagers (exprimé en centaines) ayant fréquenté la bibliothèque au cours de l'année de rang n\enskip (n\in\N^{*}) , la recette générée est égale à f_n(x) (en centaines de milliers de francs CFA)
f_n est la fonction définie sur [0;+\infty[ par : f_n(x)=2e^{x}+nx^2-3 . On désigne par (C_n) la courbe représentative de f_n dans le plan muni d'un repère
orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) d'unité de longueur 1cm .

6) Etudie les variations de f_n .

7) Détermine une équation de la demi-tangente à (C_n) en son point d'abscisse 0 .

8) Trace sur le même graphique les courbes (C_1)\text{ et }(C_2) .

9) Démontre que l'équation f_n(x)=0 admet une solution unique u_n .
u_n est le montant à rembourser (en centaines de milliers de francs CFA) à l'année de rang n .

10) Démontre que pour tout n\in\N^{*}\text{ : }0<u_n<1 .

11-a) Démontre que pour tout x\in]0;1[\text{ : }f_{n+1}(x)>f_n(x) .
b) Déduis-en le signe de f_n(u_{n+1}) puis le sens de variation de la suite (u_n)_{n>0} .
c) Démontre que la suite (u_n)_{n>0} est convergente et que sa limite \ell est telle que : 0\leq \ell \leq 1 .
d) On suppose \ell >0 .
Calcule la limite de 2e^{u_n}+nu_n^{2}-3 et déduis-en une contradiction .
e) Détermine la valeur de \ell .

Problème 3


Les entiers naturels a et b représentant respectivement le nombre de manuels scolaires et le nombre de livres de culture générele sont tels que :

400<b<a \enskip , \enskip PGCD(a+b,ab)=121\text{ et }PPCM(a,b)=20757
.

12-a) Démontre que 121 divise a^2 . (Tu pourras remarquer que a^2=a(a+b)-ab)
b) Déduis-en que 11 divise a .
c) Démontre que 11 divise b .
d) Justifie que PGCD(a,b)=11

13) Détermine a\text{ et }b .
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