Fiche de mathématiques

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Bac Bénin 2022

Mathématiques Série C

Durée : 4 heures
Coefficient : 6

Les seules calculatrices autorisées sont les calculatrices non programmables .

Situation d'évaluation

Contexte: La bibliothèque municipale

La mairie de SAKE a obtenu un prêt pour la construction d'une bibliothèque . La figure ci-dessous schématise
les différentes séparations qui seront réalisées à l'intérieur de cette bibliothèque .

$OABC$ est un carré de côté $c$ ; $I,J,K$ sont les milieux respectifs des segments $[OC],[CB],[BA]$ .

Pour rembourser le prêt et assurer le bon fonctionnement de la bibliothèque , un droit d'adhésion et des frais
d'abonnement seront institués pour les usagers .

A la cérémonie de lancement du projet , les différents collèges de la commune ont été massivement représentés par leurs élèves .
Une ONG a décidé de mettre des manuels scolaires et des livres de culture générale à la disposition de la bibliothèque .
Des rayons de manuels scolaires seront disposés le long des segments $[OI]$ et $[JK]$ .

Awaou , première responsable de son collège et élève en classe terminale scientifique est impréssionnée par la présentation du projet .
C'est ainsi qu'elle a retenu que le comptoir du bibliothèque peut être modélisé par un arc de cercle et son bureau , par un point $\Omega$ , centre
de la similitude directe $s$ vérifiant $s(O)=J\text{ et }s(I)=K$ . Awaou est intéressée par la position du point $\Omega$ , la fonction traduisant l'évolution
annuelle des recettes générées par les droits d'adhésion et les frais d'abonnement à la bibliothèque , le montant à rembourser chaque année et le nombre
total de manuels scolaires et de livres de culture générale que l'ONG veut mettre à la disposition de la bibliothèque à son ouverture .

Tâche : Tu es invité(e) à répondre aux préoccupations d'Awaou en résolvant les problèmes ci-après .

Problème 1

1) Justifie l'existence de la similitude $s$ .

2) Détermine le rapport et l'angle de la similitude $s$ .

3-a) Démontre que $\Omega$ appartient à l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que : $MJ^2-MO^2=0$ .
b) Démontre que $(\Gamma)$ est un cercle dont tu préciseras le centre et le rayon en fonction de $c$ .

4) On suppose le plan muni du repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})$ .
a) Détermine l'écriture complexe de $s$ .
b) Détermine l'affixe du point $\Omega$ .

5) Reproduis le carré puis construis $(\Gamma)$ et $\Omega$ sur la figure . (Tu prendras $c=5\text{ cm}$ ) .

Problème 2

D'après les études , $x$ étant le nombre d'usagers (exprimé en centaines) ayant fréquenté la bibliothèque au cours de l'année de rang $n\enskip (n\in\N^{*})$ , la recette générée est égale à $f_n(x)$ (en centaines de milliers de francs CFA)
où $f_n$ est la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $f_n(x)=2e^{x}+nx^2-3$ . On désigne par $(C_n)$ la courbe représentative de $f_n$ dans le plan muni d'un repère
orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ d'unité de longueur 1cm .

6) Etudie les variations de $f_n$ .

7) Détermine une équation de la demi-tangente à $(C_n)$ en son point d'abscisse $0$ .

8) Trace sur le même graphique les courbes $(C_1)\text{ et }(C_2)$ .

9) Démontre que l'équation $f_n(x)=0$ admet une solution unique $u_n$ .
$u_n$ est le montant à rembourser (en centaines de milliers de francs CFA) à l'année de rang $n$ .

10) Démontre que pour tout $n\in\N^{*}\text{ : }0<u_n<1$ .

11-a) Démontre que pour tout $x\in]0;1[\text{ : }f_{n+1}(x)>f_n(x)$ .
b) Déduis-en le signe de $f_n(u_{n+1})$ puis le sens de variation de la suite $(u_n)_{n>0}$ .
c) Démontre que la suite $(u_n)_{n>0}$ est convergente et que sa limite $\ell$ est telle que : $0\leq \ell \leq 1$ .
d) On suppose $\ell >0$ .
Calcule la limite de $2e^{u_n}+nu_n^{2}-3$ et déduis-en une contradiction .
e) Détermine la valeur de $\ell$ .

Problème 3

Les entiers naturels $a$ et $b$ représentant respectivement le nombre de manuels scolaires et le nombre de livres de culture générele sont tels que :

$400<b<a \enskip , \enskip PGCD(a+b,ab)=121\text{ et }PPCM(a,b)=20757$ .

12-a) Démontre que $121$ divise $a^2$ . (Tu pourras remarquer que $a^2=a(a+b)-ab$ )
b) Déduis-en que $11$ divise $a$ .
c) Démontre que $11$ divise $b$ .
d) Justifie que $PGCD(a,b)=11$

13) Détermine $a\text{ et }b$ .

Publié par malou/Panter le 12-08-2022

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