Fiche de mathématiques
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Bac Burkina Faso 2022

Mathématiques Séries C-E

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1er tour
Durée : 4 heures
Coefficient : 6


Les calculatrices ne sont pas autorisées.


4 points

exercice 1

On observe sur une grande période le nombre d'accidents de scooters à un carrefour . Il est alors possible de proposer la modélisation suivante :
Pour n scooters franchissant le carrefour durant une année , on admet que la variable aléatoire S_n qui totalise le nombre d'accidents de scooters
à ce carrefour , durant cette année , suit une loi binomiale d'espérance mathématique E(S_n)=10 .
Soit P la probabilité pour un scooter d'être accidenté à ce carrefour pendant l'année considérée .

1) Calculer P , puis donner l'expression de P(S_n=k)k est un entier tel que 0\leq k\leq n .

2-a) Prouver que \ln\left[P(S_n=0)\right]=-10\dfrac{\ln\left(1-\frac{10}{n}\right)}{\frac{10}{n}} pour tout entier naturel n non nul , puis en déduire \displaystyle\lim_{n\to+\infty} P(S_n=0) .
b) Démontrer que pour tout k\text{ , } 0\leq k\leq n-1\enskip : \enskip P(S_n=k+1)=P(S_n=k)\times \dfrac{n-k}{n-10}\times\dfrac{10}{k+1} .
c) Démontrer par récurrence sur k , que : \displaystyle\lim_{n\to+\infty} P(S_n=k)=e^{-10}\times \dfrac{10^k}{k!} \text{ , }(0\leq k\leq n) .

3) On suppose que l'entier naturel n est suffisament grand pour que l'on puisse admettre que e^{-10}\times \dfrac{10^k}{k!} est une approximation acceptable de P(S_n=k) .
Utiliser cette approximation pour calculer la probabilité qu'au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carrefour .

4 points

exercice 2

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}) (unité graphique 4 cm) , dans lequel on considère les points A(-\sin 3t;4)\text{ ; }B\left(\dfrac{3}{2}\sin t;2\cos t\right)\text{ et }C(0;4\sin t)\enskip , \enskip t étant un paramètre réel donné .
Soit G(t) le barycentre du système de points pondérés (A,1)\text{ , }(B,1)\text{ , }(C,1) .

1) Montrer que les coordonnées du point G(t) sont : x(t)=\sin^3 t \text{ et }y(t)=1+\cos t+\sin t .

2) Lorsque le paramètre t varie dans \R , le barycentre décrit une courbe (C) .
a) Etudier les positions relatives des points G(t) \text{et }G(t+2\pi) , et en déduire que l'on peut restreindre le domaine d'étude à [-\pi,\pi] .
b) Etudier le sens de variations de x et y .
c) Dresser le tableau de variations conjoint de x et y .
d) Tracer la courbe (C) .

On donne \sqrt{2}\approx 1,4 .

12 points

probleme

Partie A (5,25 points)

On considère la fonction f de la variable réelle x définie par f(x)=\ln(|\ln x|) .
On désigne par (C) la courbe représentative de f dans le repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}) , unité graphique 2 cm .

1-a) Montrer que l'ensemble de définition de f est D=]0,1[\cup ]1,+\infty[ .
b) Calculer les limites de f aux bornes de D .

2-a) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations .
b) Déterminer les points d'intersection de (C) et l'axe des abscisses , puis les tangentes à (C) en ces points .
c) Construire la courbe (C) .

3) Soient g et h les fonctions de la variable réelle x définies sur ]1,+\infty[ et sur \R\backslash\lbrace-1,0,1\rbrace par : g(x)=\ln(\ln x)\text{ et } h(x)=\ln(|\ln(|x|)|) .
a) Expliquer comment obtenir les courbes (C_g) et (C_h) des fonctions g et h à partir de la courbe (C) de f .
b) Construire les courbes (C_g) et (C_h) dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}) .

Partie B (4,5 points)

On considère la fonction \varphi de la variable réelle x définie sur \R\backslash \lbrace -1,0,1\rbrace par : \varphi(x)=\dfrac{1}{x\ln(|x|)} .

1-a) Montrer que l'on peut restreindre le domaine d'étude de \varphi à l'intervalle E=]0,1[\cup]1,+\infty[ .
b) Calculer les limites de \varphi aux bornes de E .
c) Calculer \varphi'(x) pour x\in E . Donner le sens de variation de \varphi sur E et dresser son tableau de variations sur E .

2) Soit a un nombre réel tel que 1<a\leq e .
On désigne par A(a) , l'ensemble des points M(x,y) tels que : \begin{cases} a\leq x\leq e \\0\leq y\leq \varphi(x) \end{cases}
a) Calculer en cm^2 l'aire du domaine A(a) .
b) Déterminer \displaystyle\lim_{a\to 1} A(a) .

3) On pose , pour tout x\in E \text{ , } \psi_1(x)=\varphi(x)-x\enskip (I) .
a) Montrer que l'équation \psi_1(x)=0 admet dans E une racine unique \alpha > 1 .
b) Exprimer en fonction de a , les racines de l'équation (I) dans \R .

4) En étudiant le signe de la fonction \psi_2 définie par \psi_2(x)=\varphi(x)+x , montrer que l'équation \psi_2(x) =0 n'admet pas de solution réelle .

Partie C (2,25 points)

On considère la fonction t , définie sur \C^{*}\backslash \left\lbrace e^{i\theta}\text{ , }\theta\in\R\right\rbrace \text{ par : }t(z)=\dfrac{1}{z\ln|z|}
Soit (P) le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O,\vec{u},\vec{v}) . On note T l'application de (P) dans lui-même qui à tout point M d'affixe z=x+yi
associe le point M' d'affixe z'=\dfrac{1}{z\ln|z|} .

1) Déterminer l'ensemble E_1 des images M de z\in \C^{*}\backslash \left\lbrace e^{i\theta}\text{ , }\theta\in\R\right\rbrace

2) Exprimer le module et les arguments de z' au moyen de ceux de z .

3) Déterminer l'ensemble des points invariants par T .

4) Déterminer l'ensemble des points M du domaine de T qui sont tels que l'origine O , le point M et son image M'=T(M) soient alignés .

5) Quel est le transformé par T d'un cercle de centre O et de rapport r\in\R^{*}_{+}\backslash\lbrace 1\rbrace .
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