Bac Burkina Faso 2022
Mathématiques Séries C-E
1er tour
Durée : 4 heures
Coefficient : 6
Les calculatrices ne sont pas autorisées.
4 points exercice 1
On observe sur une grande période le nombre d'accidents de scooters à un carrefour . Il est alors possible de proposer la modélisation suivante :
Pour
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
scooters franchissant le carrefour durant une année , on admet que la variable aléatoire
![S_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S_n)
qui totalise le nombre d'accidents de scooters
à ce carrefour , durant cette année , suit une loi binomiale d'espérance mathématique
![E(S_n)=10](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E(S_n)=10)
.
Soit
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
la probabilité pour un scooter d'être accidenté à ce carrefour pendant l'année considérée .
1) Calculer
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
, puis donner l'expression de
![P(S_n=k)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P(S_n=k))
où
![k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k)
est un entier tel que
![0\leq k\leq n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0\leq k\leq n)
.
2-a) Prouver que
![\ln\left[P(S_n=0)\right]=-10\dfrac{\ln\left(1-\frac{10}{n}\right)}{\frac{10}{n}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\ln\left[P(S_n=0)\right]=-10\dfrac{\ln\left(1-\frac{10}{n}\right)}{\frac{10}{n}})
pour tout entier naturel
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
non nul , puis en déduire
![\displaystyle\lim_{n\to+\infty} P(S_n=0)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\lim_{n\to+\infty} P(S_n=0))
.
b) Démontrer que pour tout
![k\text{ , } 0\leq k\leq n-1\enskip : \enskip P(S_n=k+1)=P(S_n=k)\times \dfrac{n-k}{n-10}\times\dfrac{10}{k+1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k\text{ , } 0\leq k\leq n-1\enskip : \enskip P(S_n=k+1)=P(S_n=k)\times \dfrac{n-k}{n-10}\times\dfrac{10}{k+1})
.
c) Démontrer par récurrence sur
![k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k)
, que :
![\displaystyle\lim_{n\to+\infty} P(S_n=k)=e^{-10}\times \dfrac{10^k}{k!} \text{ , }(0\leq k\leq n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\lim_{n\to+\infty} P(S_n=k)=e^{-10}\times \dfrac{10^k}{k!} \text{ , }(0\leq k\leq n))
.
3) On suppose que l'entier naturel
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
est suffisament grand pour que l'on puisse admettre que
![e^{-10}\times \dfrac{10^k}{k!}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?e^{-10}\times \dfrac{10^k}{k!})
est une approximation acceptable de
![P(S_n=k)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P(S_n=k))
.
Utiliser cette approximation pour calculer la probabilité qu'au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carrefour .
4 points exercice 2
Le plan
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
est rapporté à un repère orthonormal
![(O,\vec{i},\vec{j})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(O,\vec{i},\vec{j}))
(unité graphique
4 cm) , dans lequel on considère les points
![A(-\sin 3t;4)\text{ ; }B\left(\dfrac{3}{2}\sin t;2\cos t\right)\text{ et }C(0;4\sin t)\enskip , \enskip t](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A(-\sin 3t;4)\text{ ; }B\left(\dfrac{3}{2}\sin t;2\cos t\right)\text{ et }C(0;4\sin t)\enskip , \enskip t)
étant un paramètre réel donné .
Soit
![G(t)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G(t))
le barycentre du système de points pondérés
![(A,1)\text{ , }(B,1)\text{ , }(C,1)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(A,1)\text{ , }(B,1)\text{ , }(C,1))
.
1) Montrer que les coordonnées du point
![G(t)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G(t))
sont :
![x(t)=\sin^3 t \text{ et }y(t)=1+\cos t+\sin t](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x(t)=\sin^3 t \text{ et }y(t)=1+\cos t+\sin t)
.
2) Lorsque le paramètre
![t](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t)
varie dans
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
, le barycentre décrit une courbe
![(C)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C))
.
a) Etudier les positions relatives des points
![G(t) \text{et }G(t+2\pi)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G(t) \text{et }G(t+2\pi))
, et en déduire que l'on peut restreindre le domaine d'étude à
![[-\pi,\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-\pi,\pi])
.
b) Etudier le sens de variations de
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
et
![y](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y)
.
c) Dresser le tableau de variations conjoint de
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
et
![y](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y)
.
d) Tracer la courbe
![(C)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C))
.
On donne
![\sqrt{2}\approx 1,4](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\sqrt{2}\approx 1,4)
.
12 points probleme
Partie A (5,25 points)
On considère la fonction
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
de la variable réelle
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
définie par
![f(x)=\ln(|\ln x|)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x)=\ln(|\ln x|))
.
On désigne par
![(C)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C))
la courbe représentative de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
dans le repère orthonormal
![(O,\vec{i},\vec{j})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(O,\vec{i},\vec{j}))
, unité graphique
2 cm .
1-a) Montrer que l'ensemble de définition de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est
![D=]0,1[\cup ]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D=]0,1[\cup ]1,+\infty[)
.
b) Calculer les limites de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
aux bornes de
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
.
2-a) Etudier les variations de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
et dresser son tableau de variations .
b) Déterminer les points d'intersection de
![(C)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C))
et l'axe des abscisses , puis les tangentes à
![(C)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C))
en ces points .
c) Construire la courbe
![(C)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C))
.
3) Soient
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
et
![h](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h)
les fonctions de la variable réelle
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
définies sur
![]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]1,+\infty[)
et sur
![\R\backslash\lbrace-1,0,1\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R\backslash\lbrace-1,0,1\rbrace)
par :
![g(x)=\ln(\ln x)\text{ et } h(x)=\ln(|\ln(|x|)|)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g(x)=\ln(\ln x)\text{ et } h(x)=\ln(|\ln(|x|)|))
.
a) Expliquer comment obtenir les courbes
![(C_g)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C_g))
et
![(C_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C_h))
des fonctions
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
et
![h](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h)
à partir de la courbe
![(C)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C))
de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
.
b) Construire les courbes
![(C_g)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C_g))
et
![(C_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C_h))
dans le repère
![(O,\vec{i},\vec{j})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(O,\vec{i},\vec{j}))
.
Partie B (4,5 points)
On considère la fonction
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
de la variable réelle
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
définie sur
![\R\backslash \lbrace -1,0,1\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R\backslash \lbrace -1,0,1\rbrace)
par :
![\varphi(x)=\dfrac{1}{x\ln(|x|)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi(x)=\dfrac{1}{x\ln(|x|)})
.
1-a) Montrer que l'on peut restreindre le domaine d'étude de
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
à l'intervalle
![E=]0,1[\cup]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E=]0,1[\cup]1,+\infty[)
.
b) Calculer les limites de
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
aux bornes de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
.
c) Calculer
![\varphi'(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi'(x))
pour
![x\in E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in E)
. Donner le sens de variation de
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
sur
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et dresser son tableau de variations sur
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
.
2) Soit
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a )
un nombre réel tel que
![1<a\leq e](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1<a\leq e)
.
On désigne par
![A(a)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A(a))
, l'ensemble des points
![M(x,y)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M(x,y))
tels que :
a) Calculer en
![cm^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?cm^2)
l'aire du domaine
![A(a)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A(a))
.
b) Déterminer
![\displaystyle\lim_{a\to 1} A(a)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\lim_{a\to 1} A(a))
.
3) On pose , pour tout
![x\in E \text{ , } \psi_1(x)=\varphi(x)-x\enskip (I)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in E \text{ , } \psi_1(x)=\varphi(x)-x\enskip (I))
.
a) Montrer que l'équation
![\psi_1(x)=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\psi_1(x)=0)
admet dans
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
une racine unique
![\alpha > 1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha > 1)
.
b) Exprimer en fonction de
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a)
, les racines de l'équation
![(I)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(I))
dans
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
.
4) En étudiant le signe de la fonction
![\psi_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\psi_2)
définie par
![\psi_2(x)=\varphi(x)+x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\psi_2(x)=\varphi(x)+x)
, montrer que l'équation
![\psi_2(x) =0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\psi_2(x) =0)
n'admet pas de solution réelle .
Partie C (2,25 points)
On considère la fonction
![t](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t)
, définie sur
Soit
![(P)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(P))
le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct
![(O,\vec{u},\vec{v})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(O,\vec{u},\vec{v}))
. On note
![T](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?T)
l'application de
![(P)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(P))
dans lui-même qui à tout point
![M](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M)
d'affixe
associe le point
![M'](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M')
d'affixe
![z'=\dfrac{1}{z\ln|z|}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z'=\dfrac{1}{z\ln|z|})
.
1) Déterminer l'ensemble
![E_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_1)
des images
![M](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M)
de
2) Exprimer le module et les arguments de
![z'](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z')
au moyen de ceux de
![z](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z)
.
3) Déterminer l'ensemble des points invariants par
![T](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?T)
.
4) Déterminer l'ensemble des points
![M](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M)
du domaine de
![T](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?T)
qui sont tels que l'origine
![O](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?O)
, le point
![M](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M)
et son image
![M'=T(M)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M'=T(M))
soient alignés .
5) Quel est le transformé par
![T](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?T)
d'un cercle de centre
![O](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?O)
et de rapport
![r\in\R^{*}_{+}\backslash\lbrace 1\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?r\in\R^{*}_{+}\backslash\lbrace 1\rbrace )
.