Fiche de mathématiques

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Bac Burkina Faso 2022

Mathématiques Séries C-E

1er tour
Durée : 4 heures
Coefficient : 6

Les calculatrices ne sont pas autorisées.

4 points

exercice 1

On observe sur une grande période le nombre d'accidents de scooters à un carrefour . Il est alors possible de proposer la modélisation suivante :
Pour $n$ scooters franchissant le carrefour durant une année , on admet que la variable aléatoire $S_n$ qui totalise le nombre d'accidents de scooters
à ce carrefour , durant cette année , suit une loi binomiale d'espérance mathématique $E(S_n)=10$ .
Soit $P$ la probabilité pour un scooter d'être accidenté à ce carrefour pendant l'année considérée .

1) Calculer $P$ , puis donner l'expression de $P(S_n=k)$ où $k$ est un entier tel que $0\leq k\leq n$ .

2-a) Prouver que $\ln\left[P(S_n=0)\right]=-10\dfrac{\ln\left(1-\frac{10}{n}\right)}{\frac{10}{n}}$ pour tout entier naturel $n$ non nul , puis en déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} P(S_n=0)$ .

b) Démontrer que pour tout $k\text{ , } 0\leq k\leq n-1\enskip : \enskip P(S_n=k+1)=P(S_n=k)\times \dfrac{n-k}{n-10}\times\dfrac{10}{k+1}$ .
c) Démontrer par récurrence sur $k$ , que : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} P(S_n=k)=e^{-10}\times \dfrac{10^k}{k!} \text{ , }(0\leq k\leq n)$ .

3) On suppose que l'entier naturel $n$ est suffisament grand pour que l'on puisse admettre que $e^{-10}\times \dfrac{10^k}{k!}$ est une approximation acceptable de $P(S_n=k)$ .
Utiliser cette approximation pour calculer la probabilité qu'au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carrefour .

4 points

exercice 2

Le plan $P$ est rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité graphique 4 cm) , dans lequel on considère les points $A(-\sin 3t;4)\text{ ; }B\left(\dfrac{3}{2}\sin t;2\cos t\right)\text{ et }C(0;4\sin t)\enskip , \enskip t$ étant un paramètre réel donné .
Soit $G(t)$ le barycentre du système de points pondérés $(A,1)\text{ , }(B,1)\text{ , }(C,1)$ .

1) Montrer que les coordonnées du point $G(t)$ sont : $x(t)=\sin^3 t \text{ et }y(t)=1+\cos t+\sin t$ .

2) Lorsque le paramètre $t$ varie dans $\R$ , le barycentre décrit une courbe $(C)$ .
a) Etudier les positions relatives des points $G(t) \text{et }G(t+2\pi)$ , et en déduire que l'on peut restreindre le domaine d'étude à $[-\pi,\pi]$ .
b) Etudier le sens de variations de $x$ et $y$ .
c) Dresser le tableau de variations conjoint de $x$ et $y$ .
d) Tracer la courbe $(C)$ .

On donne $\sqrt{2}\approx 1,4$ .

12 points

probleme

Partie A (5,25 points)

On considère la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie par $f(x)=\ln(|\ln x|)$ .
On désigne par $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ , unité graphique 2 cm .

1-a) Montrer que l'ensemble de définition de $f$ est $D=]0,1[\cup ]1,+\infty[$ .
b) Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D$ .

2-a) Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations .
b) Déterminer les points d'intersection de $(C)$ et l'axe des abscisses , puis les tangentes à $(C)$ en ces points .
c) Construire la courbe $(C)$ .

3) Soient $g$ et $h$ les fonctions de la variable réelle $x$ définies sur $]1,+\infty[$ et sur $\R\backslash\lbrace-1,0,1\rbrace$ par : $g(x)=\ln(\ln x)\text{ et } h(x)=\ln(|\ln(|x|)|)$ .
a) Expliquer comment obtenir les courbes $(C_g)$ et $(C_h)$ des fonctions $g$ et $h$ à partir de la courbe $(C)$ de $f$ .
b) Construire les courbes $(C_g)$ et $(C_h)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

Partie B (4,5 points)

On considère la fonction $\varphi$ de la variable réelle $x$ définie sur $\R\backslash \lbrace -1,0,1\rbrace$ par : $\varphi(x)=\dfrac{1}{x\ln(|x|)}$ .

1-a) Montrer que l'on peut restreindre le domaine d'étude de $\varphi$ à l'intervalle $E=]0,1[\cup]1,+\infty[$ .
b) Calculer les limites de $\varphi$ aux bornes de $E$ .
c) Calculer $\varphi'(x)$ pour $x\in E$ . Donner le sens de variation de $\varphi$ sur $E$ et dresser son tableau de variations sur $E$ .

2) Soit $a$ un nombre réel tel que $1<a\leq e$ .
On désigne par $A(a)$ , l'ensemble des points $M(x,y)$ tels que : $\begin{cases} a\leq x\leq e \\0\leq y\leq \varphi(x) \end{cases}$
a) Calculer en $cm^2$ l'aire du domaine $A(a)$ .
b) Déterminer $\displaystyle\lim_{a\to 1} A(a)$ .

3) On pose , pour tout $x\in E \text{ , } \psi_1(x)=\varphi(x)-x\enskip (I)$ .
a) Montrer que l'équation $\psi_1(x)=0$ admet dans $E$ une racine unique $\alpha > 1$ .
b) Exprimer en fonction de $a$ , les racines de l'équation $(I)$ dans $\R$ .

4) En étudiant le signe de la fonction $\psi_2$ définie par $\psi_2(x)=\varphi(x)+x$ , montrer que l'équation $\psi_2(x) =0$ n'admet pas de solution réelle .

Partie C (2,25 points)

On considère la fonction $t$ , définie sur $\C^{*}\backslash \left\lbrace e^{i\theta}\text{ , }\theta\in\R\right\rbrace \text{ par : }t(z)=\dfrac{1}{z\ln|z|}$
Soit $(P)$ le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ . On note $T$ l'application de $(P)$ dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z=x+yi$
associe le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac{1}{z\ln|z|}$ .

1) Déterminer l'ensemble $E_1$ des images $M$ de $z\in \C^{*}\backslash \left\lbrace e^{i\theta}\text{ , }\theta\in\R\right\rbrace$

2) Exprimer le module et les arguments de $z'$ au moyen de ceux de $z$ .

3) Déterminer l'ensemble des points invariants par $T$ .

4) Déterminer l'ensemble des points $M$ du domaine de $T$ qui sont tels que l'origine $O$ , le point $M$ et son image $M'=T(M)$ soient alignés .

5) Quel est le transformé par $T$ d'un cercle de centre $O$ et de rapport $r\in\R^{*}_{+}\backslash\lbrace 1\rbrace$ .

Publié par malou/Panter le 10-08-2022

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