Fiche de mathématiques
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Bac Bénin 2022

Mathématiques Série D

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Durée : 4 heures
Coefficient : 4


Les seules calculatrices autorisées sont les calculatrices non programmables .


Situation d'évaluation



Contexte: Autour de l'exploitation du sable lagunaire

Au démarrage en 2016 de l'exploitation des carrières de sable , dans la commune d'ABOULE , le prix de vente d'un camion de sable augmentait très peu
d'une année à une autre . Avec le lancement des grands projets routiers dans la commune en 2018 , le prix a flambé . Pour faire baisser puis stabiliser
le prix de vente du sable , le conseil municipal lance un appel d'offres pour l'ouverture d'une nouvelle carrière . L'entreprise qui sera retenue se verra
attribuer deux domaines pour stocker du sable .

Le plan complexe étant rapporté au repère orthonormé direct (O,I,J) , unité 10m .

Le premier domaine a la forme d'un rectangle dont la longueur L et la largeur l sont telles que L=|b-c|\text{ et }l=\dfrac{aL}{5} ,
a entier naturel avec a,b,c les solutions dans \C de l'équation (E)\text{ : }z^3-(4+4i)z^2-(7-14i)z+30-6i=0 .

Le second domaine est l'image du premier par la similitude plane directe S de centre I , transformant O en J .

Trois entreprises ont soumissionné pour l'acquisition du marché . Après étude , la commission d'attribution des marchés constate que les trois entreprises
ont fait des offres qui s'équivalent compte tenu des spécificités techniques qui propose chacune d'elles . Pour départager les trois entreprises en vue d'en retenir une ,
le président du comité d'attribution des marchés , dans un souci de transparence , propose un jeu qui pourrait se dérouler en plusieurs phases .

Carole , élève en classe terminale D , veut particulièrement connaître les aires des domaines à attribuer , la probabilité de victoire pour une entreprise ainsi que
l'évolution du prix de vente du sable .

Problème 1


1-a) Justifie que a=3 .
b) Achève la résolution de l'équation (E) .
c) Déduis de ce qui précède la longueur et la largeur du premier domaine .

2-a) Détermine l'écriture complexe de S et déduis-en l'angle et le rapport de S.
b) Calcule l'aire du second domaine .

Problème 2


Le jeu permettant de retenir une entreprise consiste à faire lancer , de façon indépendante , par le représentant de chacune des trois entreprises soumissionnaires ,
deux dès parfaits dont les faces sont numérotées de 1 à 6 . Chaque représentant lance simultanément les deux dès une fois .

On nomme A l'événement : "L'un au moins des numéros sortis est pair lors du lancer" .

Les trois représentants restent en lice tant que l'événement A est réalisé pour eux tous trois ou pour aucun d'entre eux .

Si A est réalisé pour un seul des représentants alors le jeu s'arrête à cette phase et ce représentant gagne le marché pour son entreprise .

Si A est réalisé pour deux des représentants alors le jeu se poursuit pour ces deux représentants et s'arrête à cette phase pour celui qui n'a pas réalisé A .

Le jeu se poursuit avec les mêmes modalités d'élimination ou de victoire .

3) Détermine la probabilité pour que l'événement A se réalise pour un lanceur .

4) X est la variable aléatoire égale au nombre de représentants ayant réalisé l'événement A à la première phase du jeu .
a) Détermine la loi de probabilité de X .
b) Calcule l'espérance mathématique de X .

5) Calcule la probabilité pour que l'attribution du marché se fasse dès la première phase .

6) Calcule la probabilité pour que l'attribution du marché ne se fasse qu'à la deuxième phase .

Problème 3


Selon des estimations , le prix moyen de vente de 12\text{ m}^{3} de sable lagunaire , exprimé en centaine de milliers de francs CFA en l'an 2016+n \text{ ; } (n\in\N)} \text{ est : } u_n=\dfrac{n-2}{e^{n-2}-2n+4}+\dfrac{9}{10} .
On suppose que cette tendance va se maintenir sur les années à venir .

On considère la fonction f de \R vers \R définie par : f(x)=\dfrac{x-2}{e^{x-2}-2x+4}+\dfrac{9}{10} , et on désigne par (C_f) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé .

7-a) Etudie le sens de variation de la fonction g définie sur \R par : g(x)=e^{x-2}-2x+4 .
b) Déduis-en le signe de g(x) pour tout x élément de \R .
c) Justifie que le domaine de définition de f est \R .

8-a) Etudie le sens de variation de f .
b) Dresse le tableau des variations de f .
c) Etudie les branches infinies de la courbe (C_f) .
d) Trace la courbe (C_f) .

9-a) A l'aide des variations de la fonction f , donne l'année au cours de laquelle le prix moyen de 12\text{ m}^3 de sable atteint sa valeur maximale et précise cette valeur maximale .
b) Justifie que la suite (u_n) est bornée et décroissante à partir du rang n=3 .
c) Justifie que (u_n) est convergente et précise sa limite .
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