Bac Bénin 2022
Mathématiques Série D
Durée : 4 heures
Coefficient : 4
Les seules calculatrices autorisées sont les calculatrices non programmables .
Situation d'évaluation
Contexte: Autour de l'exploitation du sable lagunaire
Au démarrage en
2016 de l'exploitation des carrières de sable , dans la commune d'ABOULE , le prix de vente d'un camion de sable augmentait très peu
d'une année à une autre . Avec le lancement des grands projets routiers dans la commune en
2018 , le prix a flambé . Pour faire baisser puis stabiliser
le prix de vente du sable , le conseil municipal lance un appel d'offres pour l'ouverture d'une nouvelle carrière . L'entreprise qui sera retenue se verra
attribuer deux domaines pour stocker du sable .
Le plan complexe étant rapporté au repère orthonormé direct
![(O,I,J)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(O,I,J))
, unité
10m .
Le premier domaine a la forme d'un rectangle dont la longueur
![L](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?L)
et la largeur
![l](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?l)
sont telles que
![L=|b-c|\text{ et }l=\dfrac{aL}{5}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?L=|b-c|\text{ et }l=\dfrac{aL}{5})
,
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a)
entier naturel avec
![a,b,c](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a,b,c)
les solutions dans
![\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\C)
de l'équation
![(E)\text{ : }z^3-(4+4i)z^2-(7-14i)z+30-6i=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E)\text{ : }z^3-(4+4i)z^2-(7-14i)z+30-6i=0)
.
Le second domaine est l'image du premier par la similitude plane directe
![S](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S)
de centre
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
, transformant
![O](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?O)
en
![J](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J)
.
Trois entreprises ont soumissionné pour l'acquisition du marché . Après étude , la commission d'attribution des marchés constate que les trois entreprises
ont fait des offres qui s'équivalent compte tenu des spécificités techniques qui propose chacune d'elles . Pour départager les trois entreprises en vue d'en retenir une ,
le président du comité d'attribution des marchés , dans un souci de transparence , propose un jeu qui pourrait se dérouler en plusieurs phases .
Carole , élève en classe terminale D , veut particulièrement connaître les aires des domaines à attribuer , la probabilité de victoire pour une entreprise ainsi que
l'évolution du prix de vente du sable .
Problème 1
1-a) Justifie que
![a=3](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a=3)
.
b) Achève la résolution de l'équation
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
.
c) Déduis de ce qui précède la longueur et la largeur du premier domaine .
2-a) Détermine l'écriture complexe de
![S](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S)
et déduis-en l'angle et le rapport de
![S](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S)
.
b) Calcule l'aire du second domaine .
Problème 2
Le jeu permettant de retenir une entreprise consiste à faire lancer , de façon indépendante , par le représentant de chacune des trois entreprises soumissionnaires ,
deux dès parfaits dont les faces sont numérotées de 1 à 6 . Chaque représentant lance simultanément les deux dès une fois .
On nomme
A l'événement :
"L'un au moins des numéros sortis est pair lors du lancer" .
Les trois représentants restent en lice tant que l'événement
A est réalisé pour eux tous trois ou pour aucun d'entre eux .
Si
A est réalisé pour un seul des représentants alors le jeu s'arrête à cette phase et ce représentant gagne le marché pour son entreprise .
Si
A est réalisé pour deux des représentants alors le jeu se poursuit pour ces deux représentants et s'arrête à cette phase pour celui qui n'a pas réalisé
A .
Le jeu se poursuit avec les mêmes modalités d'élimination ou de victoire .
3) Détermine la probabilité pour que l'événement
A se réalise pour un lanceur .
4) ![X](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?X)
est la variable aléatoire égale au nombre de représentants ayant réalisé l'événement
A à la première phase du jeu .
a) Détermine la loi de probabilité de
![X](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?X)
.
b) Calcule l'espérance mathématique de
![X](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?X)
.
5) Calcule la probabilité pour que l'attribution du marché se fasse dès la première phase .
6) Calcule la probabilité pour que l'attribution du marché ne se fasse qu'à la deuxième phase .
Problème 3
Selon des estimations , le prix moyen de vente de
![12\text{ m}^{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?12\text{ m}^{3})
de sable lagunaire , exprimé en centaine de milliers de francs CFA en l'an
![2016+n \text{ ; } (n\in\N)} \text{ est : } u_n=\dfrac{n-2}{e^{n-2}-2n+4}+\dfrac{9}{10}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2016+n \text{ ; } (n\in\N)} \text{ est : } u_n=\dfrac{n-2}{e^{n-2}-2n+4}+\dfrac{9}{10})
.
On suppose que cette tendance va se maintenir sur les années à venir .
On considère la fonction
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
de
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
vers
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
définie par :
![f(x)=\dfrac{x-2}{e^{x-2}-2x+4}+\dfrac{9}{10}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x)=\dfrac{x-2}{e^{x-2}-2x+4}+\dfrac{9}{10})
, et on désigne par
![(C_f)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C_f))
sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé .
7-a) Etudie le sens de variation de la fonction
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
définie sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
par :
![g(x)=e^{x-2}-2x+4](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g(x)=e^{x-2}-2x+4)
.
b) Déduis-en le signe de
![g(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g(x))
pour tout
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
élément de
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
.
c) Justifie que le domaine de définition de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
.
8-a) Etudie le sens de variation de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
.
b) Dresse le tableau des variations de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
.
c) Etudie les branches infinies de la courbe
![(C_f)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C_f))
.
d) Trace la courbe
![(C_f)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C_f))
.
9-a) A l'aide des variations de la fonction
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
, donne l'année au cours de laquelle le prix moyen de
![12\text{ m}^3](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?12\text{ m}^3)
de sable atteint sa valeur maximale et précise cette valeur maximale .
b) Justifie que la suite
![(u_n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(u_n))
est bornée et décroissante à partir du rang
![n=3](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n=3)
.
c) Justifie que
![(u_n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(u_n))
est convergente et précise sa limite .