Fiche de mathématiques
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Bac Burkina Faso 2022

Mathématiques Série A4

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1er tour
Durée : 3 heures
Coefficient : 3


Les calculatrices ne sont pas autorisées.


5 points

exercice 1

On considère la suite numérique (U_n) définie par U_n=\dfrac{2n+5}{3} pour tout n\in\N .

1-a) Démontrer que la suite (U_n) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison .
b) Calculer , en fonction de n , le réel S'_n=U_0+U_1+U_2+\cdots +U_n .

2) On considère la suite (V_n) définie par V_n=e^{-U_n} .
a) Démontrer que (V_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .
b) Calculer \displaystyle \lim_{n\to +\infty} V_n .
c) Calculer en fonction de n , le réel S_n=V_0+V_1+V_2+\cdots +V_n .

N.B : On donne \text{ Si } 0<q<1 \text{ alors }\displaystyle\lim_{n\to +\infty} q^n=0 .

6 points

exercice 2

Le tableau ci-dessous donne le nombre de minutes passées à étudier un soir par les élèves d'une classe de Terminale A .

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Temps}&[0,20[&[20,40[&[40,60[&[60,80[&[80,100[&[100,120[\\  \hline \text{Effectifs} & 5&8&3 &13&11&10\\ \hline   \end{array}


1-a) Quelle est la population étudiée ?
b) Quel est l'effectif total de cette population ?
c) Quelle est la classe modale ?
d) Le caractère étudié est-il quantitatif ou qualitatif ?

2) Calculer la fréquence de la classe [20,40[ .

3-a) Quel est le pourcentage des élèves qui étudient moins de 60 minutes ?
b) Donner dans un tableau , les centres de classes et les fréquences des classes exprimées en pourcentages .
c) Calculer la moyenne de cette série statistique .

4) Construire l'histogramme des effectifs de cette série statistique .

Echelle :
En abscisse 1cm pour 20mn .
En ordonnées 1cm pour 1 élève .

9 points

probleme

On considère la fonction numérique f définie par f(x)=-1+x+\dfrac{1}{2}e^{-x} et (\mathcal C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}) , unité graphique 1cm .

1-a) Déterminer le domaine de définition D_f de la fonction f .
b) Calculer les limites de f en -\infty et en +\infty (On rappelle que \displaystyle \lim_{x\to -\infty} xe^{x}=0 )

2) Montrer que la droite (\Delta)\text{ : }y=x-1 est asymptote oblique à (\mathcal C_f) en +\infty .

3) Etudier la position relative de (\mathcal C_f) par rapport à (\Delta) .

4-a) Calculer la dérivée f'(x) sur D_f .
b) Etudier le signe de f'(x) puis déduire le sens de variation de f .
c) Dresser le tableau de variation de f .

5) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (\mathcal C_f) au point d'abscisse x=0 .

6) Construire la courbe (\mathcal C_f) , la droite (\Delta) et la tangente (T) dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}) .

On donne : \begin{cases} f(1)\approx 0,2 \enskip& f(-\ln 2)\approx -0,7 \\f(2)\approx 1,1 \enskip& f(-2)\approx 0,7 \end{cases}.







exercice 1

1-a) Pour tout n\in\N \text{ : }

U_n=\dfrac{2n+5}{3}=\dfrac{2}{3}n+\dfrac{5}{3}

Donc :

\boxed{(U_n)\text{ est une suite arithmétique de raison }r=\dfrac{2}{3}\text{ et de premier terme }U_0=\dfrac{5}{3}}


b) D'après le cours, la somme des n+1 premiers termes de la suite arithémtique (U_n) est :

S'_n=U_0+U_1+U_2+\cdots +U_n =(n+1)\dfrac{U_0+U_n}{2}


Donc
\begin{matrix}S'_n&=&(n+1)\dfrac{U_0+U_n}{2}&=&\dfrac{1}{2}(n+1)\left(\dfrac{5}{3}+\dfrac{2n+5}{3}\right)\\&=&\dfrac{1}{2}(n+1)\times\dfrac{1}{3}(10+2n)&=&\dfrac{1}{2}(n+1)\times\dfrac{1}{3}\times 2(5+n)\end{matrix}

D'où :
\boxed{\text{Pour tout }n\in\N\text{ : }S'_n=\dfrac{(n+1)(n+5)}{3}}


2-a) On a V_0=e^{-U_0}=e^{-\frac{5}{3}}

De plus , puisque la fonction \exp ne s'annule pas sur \R , alors , pour tout entier naturel n \text{ , } V_n=e^{-U_n}\neq 0

Donc , pour tout n\in\N\text{ , on peut calculer : }

\dfrac{V_{n+1}}{V_n}=\dfrac{e^{-U_{n+1}}}{e^{-U_n}}=e^{-\left(U_{n+1}-U_n\right)}=e^{-\frac{2}{3}}

Le quotient entre deux termes consécutifs est donc constant, donc :

\boxed{\text{La suite }(V_n) \text{ est géométrique de raison }q = e^{-\frac{2}{3}}\text{ et de premier terme }V_0=e^{-\frac{5}{3}}}


b) (V_n) \text{ est géométrique de raison }q = e^{-\frac{2}{3}}\text{ et de premier terme }V_0=e^{-\frac{5}{3}} , alors :

Pour tout entier naturel n\text{ , }V_n=V_0q^n=e^{-\frac{5}{3}}\left(e^{-\frac{2}{3}}\right)^n

Or , puisque -\dfrac{2}{3}<0\text{ , alors }0<e^{-\frac{2}{3}}<1 , et donc \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(e^{-\frac{2}{3}}\right)^n=0 .

On en déduit que :

c) D'après le cours, la somme des n+1 premiers termes de la suite géométrique (V_n) de raison q=e^{-\frac{2}{3}}\neq 1 est :

S_n=V_0+V_1+V_2+\cdots +V_n =V_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}


D'où :
\boxed{\text{Pour tout }n\in\N\text{ : }S_n=e^{-\frac{5}{3}}\dfrac{1-\left(e^{-\frac{2}{3}}\right)^{n+1}}{1-e^{-\frac{2}{3}}}}


exercice 2

1-a) Directement :

\boxed{\text{ La population étudiée est les élèves d'une classe de terminale A }}


b)L'effectif total noté N est la somme de tous les effectifs , alors :

N=5+8+3+13+11+10\iff \boxed{N=50}

\boxed{\text{ L'effectif total de cette population est }N=50 }


c) La classe modale est la classe dont l'effectif est le plus élevé qui est 13 , donc :

\boxed{\text{ La classe modale est }[60,80[}


d) Le caractère statistique étudié est le nombre de minutes passées à étudier un soir .

Les réponses obtenues sont des nombres , regroupés sous forme de classes , alors :

\boxed{ \text{ Le caractère étudié est quantitatif (continu) }}


2) La fréquence de la classe [20,40[ , notée f_{[20,40[} correspond au pourcentage d'élèves qui étudient le soir entre 20 et 40\text{ min : } Il y a 8 élèves sur 50 qui sont dans cette tranche .

Soit f_{[20,40[}=\dfrac{8}{50}\times 100\Rightarrow f_{[20,40[}=16\%}

\boxed{\text{ La fréquence de la classe }[20,40[\text{ est : }f_{[20,40[}=16\%}


3-a) Le nombre des élèves qui étudient moins de 60 minutes est la somme des effectifs des classes [0,20[\text{ , }[20,40[\text{ et }[40,60[

Soit 5+8+3=16 élèves sur 50 , ce qui donne en pourcentage : \dfrac{16}{50}\times 100= 32\%

\boxed{32\%\text{ des élèves étudient moins de 60 minutes le soir }}


b) On calcule les centres C et les fréquences f de chaque classe :

\begin{matrix}\text{ La classe }[0,20[& : &C_{[0,20[}=\dfrac{0+20}{2}=10 & ,&f_{[0,20[}=\dfrac{5}{50}\times 100 = 10\%\end{matrix}
\begin{matrix}\text{ La classe }[20,40[& : &C_{[20,40[}=\dfrac{20+40}{2}=30 & ,&f_{[20,40[}= 16\% \enskip \text{ d'après }\red 2) \end{matrix}
\begin{matrix}\text{ La classe }[40,60[& : &C_{[40,60[}=\dfrac{100}{2}=50 & ,&f_{[40,60[}=\dfrac{3}{50}\times 100 = 6\%\end{matrix}
\begin{matrix}\text{ La classe }[60,80[& : &C_{[60,80[}=\dfrac{140}{2}=70 & ,&f_{[60,80[}=\dfrac{13}{50}\times 100 = 26\%\end{matrix}
\begin{matrix}\text{ La classe }[80,100[& : &C_{[80,100[}=\dfrac{180}{2}=90 & ,&f_{[80,100[}=\dfrac{11}{50}\times 100 = 22\%\end{matrix}
\begin{matrix}\text{ La classe }[100,120[& : &C_{[100,120[}=\dfrac{220}{2}=110 & ,&f_{[100,120[}=\dfrac{10}{50}\times 100 = 20\%\end{matrix}

On regroupe les résultats dans le tableau suivant :
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Temps}&[0,20[&[20,40[&[40,60[&[60,80[&[80,100[&[100,120[\\  \hline \text{Effectifs} & 5&8&3 &13&11&10\\  \hline \text{Centres de classes } & 10&30&50 &70&90&110\\  \hline \text{fréquences} & 10\%&16\%&6\% &26\%&22\%&20\%\\ \hline   \end{array}


c) Calculons la moyenne de cette série statistique :

\bar{m}=\dfrac{10\times 5+30\times8+50\times3+70\times13+90\times 11+110\times 10}{50}=\dfrac{3440}{50}=68,8

\boxed{\text{ La moyenne de cette série statistique est }\bar{m}=68,8 }


4) L'histogramme des effectifs de cette série statistique :

Bac Burkina Faso 2022 série A4 - 1er tour : image 2


probleme

Etude de la fonction f définie par f(x)=-1+x+\dfrac{1}{2}e^{-x}


1-a) La fonction exponentielle et les fonctions polynomiales étant définies sur \R , alors :

\boxed{D_f=\R=]-\infty;+\infty[}


b) La limite en -\infty :
\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty}-1+x+\dfrac{1}{2}e^{-x}=\lim_{x\to-\infty}e^{-x}\left(-e^x+xe^x+\dfrac{1}{2}\right)
On sait que : \displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^{x}=0 \enskip\text{ , }\enskip  \displaystyle \lim_{x\to -\infty} xe^{x}=0 \enskip\text{ et }\enskip \displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^{-x}=+\infty
Donc \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty}e^{-x}\left(-e^x+xe^x+\dfrac{1}{2}\right)=+\infty\left(0+0+\dfrac{1}{2}\right)=+\infty
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty}


La limite en +\infty :

Puisque \displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-x}=0 \enskip\text{ et }\enskip  \displaystyle \lim_{x\to +\infty} x=+\infty
Alors \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}-1+x+\dfrac{1}{2}e^{-x}=-1+\infty+0=+\infty
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty}


2) Soit (\Delta)\text{ la droite d'équation }y=x-1

Calculons la limite de f(x)-y en +\infty :

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)-y=\lim_{x\to-\infty}-1+x+\dfrac{1}{2}e^{-x}-(x-1)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{2}e^{-x}=0\enskip\enskip\left(\text{ , en effet }\enskip \displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-x}=0\right)

On en déduit que :

\boxed{(\Delta)\text{ : }y=x-1 \text{ est asymptote oblique à }(\mathcal C_f) \text{ en }+\infty }


3) Il s'agit d'étudier le signe de f(x)-y \text{ sur } \R \text{ , avec }y=x-1 \text{ l'équation de la droite }(\Delta)

Pour tout x de \R\text{ : }f(x)-y=-1+x+\dfrac{1}{2}e^{-x}-(x-1)=\dfrac{1}{2}e^{-x}

Or , on sait que pour tout réel x\text{ : }e^{-x}>0 , donc f(x)-y>0\text{ pour tout réel }x

\boxed{(\mathcal C_f) \text{ est au-dessus de la droite } (\Delta) \text{ sur }\R }


4-a) f est une fonction dérivable sur \R car elle est la somme d'une fonction polynomiale et une fonction en exponentielle toutes les deux dérivables sur \R .

\begin{matrix}\forall x\in\R\text{ : }f'(x)&=&\left(-1+x+\dfrac{1}{2}e^{-x}\right)'&=& 1+\dfrac{1}{2}\left(e^{-x}\right)'&=& 1-\dfrac{1}{2}e^{-x}\end{matrix}

\boxed{\text{Pour tout }x\text{ de }\R\text{ : }f'(x)=\dfrac{2-e^{-x}}{2}}


b) Le signe de f'(x) est celui de 2-e^{-x}

On a : 2-e^{-x}=0&\iff& e^{-x}=2&\iff& -x=\ln 2&\iff& x=-\ln 2

Donc :

x \leq -\ln 2 \iff -x\geq \ln 2 \iff e^{-x}\geq 2 \iff 2-e^{-x}\leq 0\iff f'(x)\leq 0
x \geq -\ln 2 \iff -x\leq \ln 2 \iff e^{-x}\leq 2 \iff 2-e^{-x}\geq 0\iff f'(x)\geq 0

D'où :

\boxed{\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty ; -\ln 2]\text{ : }f'(x)\leq 0 \\ \forall x\in[-\ln 2;+\infty[\text{ : }f'(x)\geq 0 \\ f'(-\ln 2)=0\end{matrix}}


On en déduit que :

\boxed{\begin{matrix} f \text{ est décroissante sur } ]-\infty ; -\ln 2] \\f\text{ est croissante sur }[-\ln 2;+\infty[ \end{matrix}}


c) Les résultats de la question précédente permettent de dresser le tableau de variations de f :

\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x     &  & -\infty       &        & -\ln 2  &      &  +\infty      \\ \hline f'(x)    & && - & \barre{0} &  +     &                                  \\ \hline            &   &+\infty&   &      &  &  +\infty      \\      f       &      &&   \searrow     && \nearrow&  \\              &      &&        &f(-\ln 2)=-\ln 2& &      \\   \hline \end{array}

Avec f(-\ln 2)=-1-\ln 2+\dfrac{1}{2}e^{\ln 2}=-1-\ln 2 +1=-\ln 2

5) Une équation de la tangente (T) à la courbe de f en x=0 s'écrit :
(T)\text{ : }y=f'(0)(x-0)+f(0)


Avec :
f'(0)=\dfrac{2-e^{-0}}{2}=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}
f(0)=-1+0+\dfrac{1}{2}e^{-0}=-1+\dfrac{1}{2}\times 1 =-\dfrac{1}{2}

On en déduit :
\boxed{(T)\text{ : }y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}}


6) La représentation graphique :

Bac Burkina Faso 2022 série A4 - 1er tour : image 1
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