Fiche de mathématiques

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Bac Burkina Faso 2022

Mathématiques Série A4

1er tour
Durée : 3 heures
Coefficient : 3

Les calculatrices ne sont pas autorisées.

5 points

exercice 1

On considère la suite numérique $(U_n)$ définie par $U_n=\dfrac{2n+5}{3}$ pour tout $n\in\N$ .

1-a) Démontrer que la suite $(U_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison .
b) Calculer , en fonction de $n$ , le réel $S'_n=U_0+U_1+U_2+\cdots +U_n$ .

2) On considère la suite $(V_n)$ définie par $V_n=e^{-U_n}$ .
a) Démontrer que $(V_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .
b) Calculer $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} V_n$ .
c) Calculer en fonction de $n$ , le réel $S_n=V_0+V_1+V_2+\cdots +V_n$ .

N.B : On donne $\text{ Si } 0<q<1 \text{ alors }\displaystyle\lim_{n\to +\infty} q^n=0$ .

6 points

exercice 2

Le tableau ci-dessous donne le nombre de minutes passées à étudier un soir par les élèves d'une classe de Terminale A .

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Temps}&[0,20[&[20,40[&[40,60[&[60,80[&[80,100[&[100,120[\\ \hline \text{Effectifs} & 5&8&3 &13&11&10\\ \hline \end{array}$

1-a) Quelle est la population étudiée ?
b) Quel est l'effectif total de cette population ?
c) Quelle est la classe modale ?
d) Le caractère étudié est-il quantitatif ou qualitatif ?

2) Calculer la fréquence de la classe $[20,40[$ .

3-a) Quel est le pourcentage des élèves qui étudient moins de 60 minutes ?
b) Donner dans un tableau , les centres de classes et les fréquences des classes exprimées en pourcentages .
c) Calculer la moyenne de cette série statistique .

4) Construire l'histogramme des effectifs de cette série statistique .

Echelle :
En abscisse 1cm pour 20mn .
En ordonnées 1cm pour 1 élève .

9 points

probleme

On considère la fonction numérique $f$ définie par $f(x)=-1+x+\dfrac{1}{2}e^{-x}$ et $(\mathcal C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ , unité graphique 1cm .

1-a) Déterminer le domaine de définition $D_f$ de la fonction $f$ .
b) Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ (On rappelle que $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} xe^{x}=0$ )

2) Montrer que la droite $(\Delta)\text{ : }y=x-1$ est asymptote oblique à $(\mathcal C_f)$ en $+\infty$ .

3) Etudier la position relative de $(\mathcal C_f)$ par rapport à $(\Delta)$ .

4-a) Calculer la dérivée $f'(x)$ sur $D_f$ .
b) Etudier le signe de $f'(x)$ puis déduire le sens de variation de $f$ .
c) Dresser le tableau de variation de $f$ .

5) Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathcal C_f)$ au point d'abscisse $x=0$ .

6) Construire la courbe $(\mathcal C_f)$ , la droite $(\Delta)$ et la tangente $(T)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

On donne : $\begin{cases} f(1)\approx 0,2 \enskip& f(-\ln 2)\approx -0,7 \\f(2)\approx 1,1 \enskip& f(-2)\approx 0,7 \end{cases}$ .

Voir la correction

exercice 1

1-a) Pour tout $n\in\N \text{ : }$

$U_n=\dfrac{2n+5}{3}=\dfrac{2}{3}n+\dfrac{5}{3}$

Donc :

$\boxed{(U_n)\text{ est une suite arithmétique de raison }r=\dfrac{2}{3}\text{ et de premier terme }U_0=\dfrac{5}{3}}$

b) D'après le cours, la somme des $n+1$ premiers termes de la suite arithémtique $(U_n)$ est :

$S'_n=U_0+U_1+U_2+\cdots +U_n =(n+1)\dfrac{U_0+U_n}{2}$

Donc
$\begin{matrix}S'_n&=&(n+1)\dfrac{U_0+U_n}{2}&=&\dfrac{1}{2}(n+1)\left(\dfrac{5}{3}+\dfrac{2n+5}{3}\right)\\&=&\dfrac{1}{2}(n+1)\times\dfrac{1}{3}(10+2n)&=&\dfrac{1}{2}(n+1)\times\dfrac{1}{3}\times 2(5+n)\end{matrix}$

D'où : $\boxed{\text{Pour tout }n\in\N\text{ : }S'_n=\dfrac{(n+1)(n+5)}{3}}$

2-a) On a $V_0=e^{-U_0}=e^{-\frac{5}{3}}$

De plus , puisque la fonction $\exp$ ne s'annule pas sur $\R$ , alors , pour tout entier naturel $n \text{ , } V_n=e^{-U_n}\neq 0$

Donc , pour tout $n\in\N\text{ , on peut calculer : }$

$\dfrac{V_{n+1}}{V_n}=\dfrac{e^{-U_{n+1}}}{e^{-U_n}}=e^{-\left(U_{n+1}-U_n\right)}=e^{-\frac{2}{3}}$

Le quotient entre deux termes consécutifs est donc constant, donc :

$\boxed{\text{La suite }(V_n) \text{ est géométrique de raison }q = e^{-\frac{2}{3}}\text{ et de premier terme }V_0=e^{-\frac{5}{3}}}$

b) $(V_n) \text{ est géométrique de raison }q = e^{-\frac{2}{3}}\text{ et de premier terme }V_0=e^{-\frac{5}{3}}$ , alors :

Pour tout entier naturel $n\text{ , }V_n=V_0q^n=e^{-\frac{5}{3}}\left(e^{-\frac{2}{3}}\right)^n$

Or , puisque $-\dfrac{2}{3}<0\text{ , alors }0<e^{-\frac{2}{3}}<1$ , et donc $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(e^{-\frac{2}{3}}\right)^n=0$ .

On en déduit que :

c) D'après le cours, la somme des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique $(V_n)$ de raison $q=e^{-\frac{2}{3}}\neq 1$ est :

$S_n=V_0+V_1+V_2+\cdots +V_n =V_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

D'où : $\boxed{\text{Pour tout }n\in\N\text{ : }S_n=e^{-\frac{5}{3}}\dfrac{1-\left(e^{-\frac{2}{3}}\right)^{n+1}}{1-e^{-\frac{2}{3}}}}$

exercice 2

1-a) Directement :

$\boxed{\text{ La population étudiée est les élèves d'une classe de terminale A }}$

b)L'effectif total noté $N$ est la somme de tous les effectifs , alors :

$N=5+8+3+13+11+10\iff \boxed{N=50}$

$\boxed{\text{ L'effectif total de cette population est }N=50 }$

c) La classe modale est la classe dont l'effectif est le plus élevé qui est $13$ , donc :

$\boxed{\text{ La classe modale est }[60,80[}$

d) Le caractère statistique étudié est le nombre de minutes passées à étudier un soir .

Les réponses obtenues sont des nombres , regroupés sous forme de classes , alors :

$\boxed{ \text{ Le caractère étudié est quantitatif (continu) }}$

2) La fréquence de la classe $[20,40[$ , notée $f_{[20,40[}$ correspond au pourcentage d'élèves qui étudient le soir entre $20$ et $40\text{ min : }$ Il y a $8$ élèves sur $50$ qui sont dans cette tranche .

Soit $f_{[20,40[}=\dfrac{8}{50}\times 100\Rightarrow f_{[20,40[}=16\%}$

$\boxed{\text{ La fréquence de la classe }[20,40[\text{ est : }f_{[20,40[}=16\%}$

3-a) Le nombre des élèves qui étudient moins de 60 minutes est la somme des effectifs des classes $[0,20[\text{ , }[20,40[\text{ et }[40,60[$

Soit $5+8+3=16$ élèves sur $50$ , ce qui donne en pourcentage : $\dfrac{16}{50}\times 100= 32\%$

$\boxed{32\%\text{ des élèves étudient moins de 60 minutes le soir }}$

b) On calcule les centres $C$ et les fréquences $f$ de chaque classe :

$\begin{matrix}\text{ La classe }[0,20[& : &C_{[0,20[}=\dfrac{0+20}{2}=10 & ,&f_{[0,20[}=\dfrac{5}{50}\times 100 = 10\%\end{matrix}$
$\begin{matrix}\text{ La classe }[20,40[& : &C_{[20,40[}=\dfrac{20+40}{2}=30 & ,&f_{[20,40[}= 16\% \enskip \text{ d'après }\red 2) \end{matrix}$
$\begin{matrix}\text{ La classe }[40,60[& : &C_{[40,60[}=\dfrac{100}{2}=50 & ,&f_{[40,60[}=\dfrac{3}{50}\times 100 = 6\%\end{matrix}$
$\begin{matrix}\text{ La classe }[60,80[& : &C_{[60,80[}=\dfrac{140}{2}=70 & ,&f_{[60,80[}=\dfrac{13}{50}\times 100 = 26\%\end{matrix}$
$\begin{matrix}\text{ La classe }[80,100[& : &C_{[80,100[}=\dfrac{180}{2}=90 & ,&f_{[80,100[}=\dfrac{11}{50}\times 100 = 22\%\end{matrix}$
$\begin{matrix}\text{ La classe }[100,120[& : &C_{[100,120[}=\dfrac{220}{2}=110 & ,&f_{[100,120[}=\dfrac{10}{50}\times 100 = 20\%\end{matrix}$

On regroupe les résultats dans le tableau suivant :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Temps}&[0,20[&[20,40[&[40,60[&[60,80[&[80,100[&[100,120[\\ \hline \text{Effectifs} & 5&8&3 &13&11&10\\ \hline \text{Centres de classes } & 10&30&50 &70&90&110\\ \hline \text{fréquences} & 10\%&16\%&6\% &26\%&22\%&20\%\\ \hline \end{array}$

c) Calculons la moyenne de cette série statistique :

$\bar{m}=\dfrac{10\times 5+30\times8+50\times3+70\times13+90\times 11+110\times 10}{50}=\dfrac{3440}{50}=68,8$

$\boxed{\text{ La moyenne de cette série statistique est }\bar{m}=68,8 }$

4) L'histogramme des effectifs de cette série statistique :

Bac Burkina Faso 2022 série A4 - 1er tour : image 2

probleme

Etude de la fonction $f$ définie par $f(x)=-1+x+\dfrac{1}{2}e^{-x}$

1-a) La fonction exponentielle et les fonctions polynomiales étant définies sur $\R$ , alors :

$\boxed{D_f=\R=]-\infty;+\infty[}$

b) La limite en $-\infty$ :
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty}-1+x+\dfrac{1}{2}e^{-x}=\lim_{x\to-\infty}e^{-x}\left(-e^x+xe^x+\dfrac{1}{2}\right)$
On sait que : $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^{x}=0 \enskip\text{ , }\enskip \displaystyle \lim_{x\to -\infty} xe^{x}=0 \enskip\text{ et }\enskip \displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^{-x}=+\infty$
Donc $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty}e^{-x}\left(-e^x+xe^x+\dfrac{1}{2}\right)=+\infty\left(0+0+\dfrac{1}{2}\right)=+\infty$
$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty}$

La limite en $+\infty$ :

Puisque $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-x}=0 \enskip\text{ et }\enskip \displaystyle \lim_{x\to +\infty} x=+\infty$
Alors $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}-1+x+\dfrac{1}{2}e^{-x}=-1+\infty+0=+\infty$
$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty}$

2) Soit $(\Delta)\text{ la droite d'équation }y=x-1$

Calculons la limite de $f(x)-y$ en $+\infty$ :

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)-y=\lim_{x\to-\infty}-1+x+\dfrac{1}{2}e^{-x}-(x-1)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{2}e^{-x}=0\enskip\enskip\left(\text{ , en effet }\enskip \displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-x}=0\right)$

On en déduit que :

$\boxed{(\Delta)\text{ : }y=x-1 \text{ est asymptote oblique à }(\mathcal C_f) \text{ en }+\infty }$

3) Il s'agit d'étudier le signe de $f(x)-y \text{ sur } \R \text{ , avec }y=x-1 \text{ l'équation de la droite }(\Delta)$

Pour tout $x$ de $\R\text{ : }f(x)-y=-1+x+\dfrac{1}{2}e^{-x}-(x-1)=\dfrac{1}{2}e^{-x}$

Or , on sait que pour tout réel $x\text{ : }e^{-x}>0$ , donc $f(x)-y>0\text{ pour tout réel }x$

$\boxed{(\mathcal C_f) \text{ est au-dessus de la droite } (\Delta) \text{ sur }\R }$

4-a) $f$ est une fonction dérivable sur $\R$ car elle est la somme d'une fonction polynomiale et une fonction en exponentielle toutes les deux dérivables sur $\R$ .

$\begin{matrix}\forall x\in\R\text{ : }f'(x)&=&\left(-1+x+\dfrac{1}{2}e^{-x}\right)'&=& 1+\dfrac{1}{2}\left(e^{-x}\right)'&=& 1-\dfrac{1}{2}e^{-x}\end{matrix}$

$\boxed{\text{Pour tout }x\text{ de }\R\text{ : }f'(x)=\dfrac{2-e^{-x}}{2}}$

b) Le signe de $f'(x)$ est celui de $2-e^{-x}$

On a : $2-e^{-x}=0&\iff& e^{-x}=2&\iff& -x=\ln 2&\iff& x=-\ln 2$

Donc :

$x \leq -\ln 2 \iff -x\geq \ln 2 \iff e^{-x}\geq 2 \iff 2-e^{-x}\leq 0\iff f'(x)\leq 0$
$x \geq -\ln 2 \iff -x\leq \ln 2 \iff e^{-x}\leq 2 \iff 2-e^{-x}\geq 0\iff f'(x)\geq 0$

D'où :

$\boxed{\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty ; -\ln 2]\text{ : }f'(x)\leq 0 \\ \forall x\in[-\ln 2;+\infty[\text{ : }f'(x)\geq 0 \\ f'(-\ln 2)=0\end{matrix}}$

On en déduit que :

$\boxed{\begin{matrix} f \text{ est décroissante sur } ]-\infty ; -\ln 2] \\f\text{ est croissante sur }[-\ln 2;+\infty[ \end{matrix}}$

c) Les résultats de la question précédente permettent de dresser le tableau de variations de $f$ :

$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & & -\infty & & -\ln 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & && - & \barre{0} & + & \\ \hline & &+\infty& & & & +\infty \\ f & && \searrow && \nearrow& \\ & && &f(-\ln 2)=-\ln 2& & \\ \hline \end{array}$

Avec $f(-\ln 2)=-1-\ln 2+\dfrac{1}{2}e^{\ln 2}=-1-\ln 2 +1=-\ln 2$

5) Une équation de la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ en $x=0$ s'écrit :
$(T)\text{ : }y=f'(0)(x-0)+f(0)$

Avec :
$f'(0)=\dfrac{2-e^{-0}}{2}=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$
$f(0)=-1+0+\dfrac{1}{2}e^{-0}=-1+\dfrac{1}{2}\times 1 =-\dfrac{1}{2}$

On en déduit :
$\boxed{(T)\text{ : }y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}}$

6) La représentation graphique :

Bac Burkina Faso 2022 série A4 - 1er tour : image 1

Publié par malou/Panter le 16-11-2022

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