Bac Burkina Faso 2022
Mathématiques Séries C-E
2ème tour
Durée : 4 heures
Coefficient : 6
Les calculatrices ne sont pas autorisées.
4 points exercice 1
Soit
![k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k)
un nombre réel différent de
![0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0)
et de
![1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1)
. On considère dans le plan
![\mathcal{P}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{P})
trois points
![A,B\text{ et }C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A,B\text{ et }C)
tels que
![\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB})
, et les cercles
de diamètres respectifs
![[AB]\text{ et }[AC]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AB]\text{ et }[AC])
. Une droite
![(\Delta)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\Delta))
non perpendiculaire à
![(AB)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(AB))
et distincte de
![(AB)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(AB))
, passant par
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
, coupe les cercles
![(\Gamma_1)\text{ et }(\Gamma_2)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\Gamma_1)\text{ et }(\Gamma_2))
respectivement en
![M\text{ et }N](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M\text{ et }N)
.
1-a) Montrer que les droites
![(BM) \text{ et }(CN)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(BM) \text{ et }(CN))
sont parallèles .
b) Pour quelle valeur de
![k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k)
les droites
![(BN)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(BN))
et
![(CM)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(CM))
sont-elles parallèles ?
2) On prend
![k=\dfrac{3}{2}\text{ et }AB=4\text{ cm}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k=\dfrac{3}{2}\text{ et }AB=4\text{ cm})
.
On note
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
le point d'intersection des droites
![(BN)\text{ et }(CM)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(BN)\text{ et }(CM))
.
On considère l'homothétie
![h](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h)
de centre
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
telle que
![h(B)=N](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h(B)=N)
.
a) Démontrer que
![h(M)=C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h(M)=C)
.
b) Déterminer le rapport de
![h](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h)
.
3-a) Déterminer le réel
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
tel que
![\overrightarrow{BP}=\beta\overrightarrow{BN}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overrightarrow{BP}=\beta\overrightarrow{BN})
.
b) Déterminer la nature et les éléments géométriques du lieu géométrique
![(\Sigma)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\Sigma))
du point
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
lorsque la droite
![(\Delta)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\Delta))
varie .
c) Construire
![(\Sigma)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\Sigma))
.
4 points exercice 2
On note
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
l'équation différentielle :
![y''+ay'+by=0\text{ , }(a,b)\in\R^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y''+ay'+by=0\text{ , }(a,b)\in\R^2)
.
Les solutions de l'équation caractéristique de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
sont les nombres complexes
![p+iq\text{ et }p-iq \text{ avec }p\in\R\text{ , }q\in\R^{*}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p+iq\text{ et }p-iq \text{ avec }p\in\R\text{ , }q\in\R^{*})
.
1) Vérifier que
![2p+a=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2p+a=0)
et que
![p^2+ap+b=q^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p^2+ap+b=q^2)
.
2) On note
![(E')](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E'))
l'équation différentielle :
On suppose que
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est une fonction deux fois dérivable sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
. On note
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
la fonction définie sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
par :
![g(x)=e^{-px}f(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g(x)=e^{-px}f(x))
.
a) Montrer que
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est une solution de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
si et seulement si
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
est une solution de
![(E')](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E'))
.
b) Montrer que si
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
est une solution de
![(E')](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E'))
alors la fonction
![v=(q\varphi)^2+(\varphi')^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?v=(q\varphi)^2+(\varphi')^2)
est constante .
c) Montrer qu'une solution
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
de
![(E')](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E'))
est la fonction nulle si et seulement si
![\varphi(0)=\varphi'(0)=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi(0)=\varphi'(0)=0)
.
3) Soit
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
solution de
![(E')](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E'))
et
![h](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h)
la fonction définie sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
par :
![h(t)=\varphi(t)-\left(\varphi(0)\cos qt +\dfrac{1}{q}\varphi'(0)\sin qt\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h(t)=\varphi(t)-\left(\varphi(0)\cos qt +\dfrac{1}{q}\varphi'(0)\sin qt\right) )
.
a) Montrer que
![h](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h)
est une solution de
![(E')](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E'))
.
b) Que vaut
![h(t)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h(t))
pour tout
![t\in\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t\in\R)
?
En déduire
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
en fonction de
![\varphi(0)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi(0))
et
![\varphi'(0)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi'(0))
.
4) Soit
![q=2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?q=2)
et
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
la solution de
![(E')](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E'))
telle que
![\varphi(0)=\sqrt{2}\text{ et }\varphi'(0)=2\sqrt{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi(0)=\sqrt{2}\text{ et }\varphi'(0)=2\sqrt{2})
.
Déterminer les réels
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a)
et
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
tels que :
![\forall t\in\R\text{ , }\varphi(t)=a\cos(2t+\alpha)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall t\in\R\text{ , }\varphi(t)=a\cos(2t+\alpha))
.
12 points probleme
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
![(O,\vec{i},\vec{j})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(O,\vec{i},\vec{j}))
(unité graphique
2 cm)
Partie A (7,25 points)
On considère
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
, la fonction numérique de la variable réelle
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
définie sur
![\R\backslash\lbrace -1,1\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R\backslash\lbrace -1,1\rbrace)
par
![f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{|x^2-1|}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{|x^2-1|}})
.
On désigne par
![(C)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C))
sa courbe représentative .
1-a) Montrer que l'on peut restreindre l'ensemble d'étude de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f )
à l'intervalle
![D=[0,1[\cup]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D=[0,1[\cup]1,+\infty[)
.
b) Etudier le sens de variations de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
sur
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
.
c) Dresser le tableau de variations de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
sur
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
.
d) Tracer
![(C)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(C))
.
2) Soit
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
la fonction numérique de la variable réelle
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
définie sur
![E=]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E=]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[)
par :
![g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}})
.
On note
![(\Gamma)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\Gamma))
sa courbe représentative .
a) Montrer que la restriction
![g_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g_1)
de
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
à
![]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]1,+\infty[)
est une application bijective de
![]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]1,+\infty[)
sur un intervalle
![I_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1)
à préciser .
b) En déduire que
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
est une application bijective de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
dans
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
.
c) Déterminer la composée
![g\circ g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g\circ g)
et en déduire
![g^{-1}(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g^{-1}(x))
.
d) En déduire que
![(\Gamma)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\Gamma))
admet la droite
![(\Delta)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\Delta))
d'équation
![x-y=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x-y=0)
pour axe de symétrie .
e) Démontrer que
![(\Gamma)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\Gamma))
est invariante par la réflexion d'axe la droite d'équation
![x+y=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x+y=0)
.
3) Soit la suite
![(U_n)_{n\geq 0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(U_n)_{n\geq 0})
définie par
![U_0\in]1,+\infty[\text{ et }\forall n\in\N\text{ , }U_{n+1}=g(U_n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?U_0\in]1,+\infty[\text{ et }\forall n\in\N\text{ , }U_{n+1}=g(U_n))
.
a) Montrer que
![2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2)
est une période de
![(U_n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(U_n))
.
b) Déterminer la valeur
![U_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?U_0)
pour laquelle la suite
![(U_n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(U_n))
est convergente .
4) Soit
![\alpha\in]1;\sqrt{2}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha\in]1;\sqrt{2}[)
.
a)Calculer l'aire
![A(\alpha)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A(\alpha))
de l'ensemble des points
![M](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M)
dont les coordonnées
![(x,y)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x,y))
vérifient :
![\begin{cases} \alpha\leq x\leq \sqrt{2} \\x\leq y\leq f(x) \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases} \alpha\leq x\leq \sqrt{2} \\x\leq y\leq f(x) \end{cases})
.
b) Déterminer
![\displaystyle\lim_{\alpha\to 1} A(\alpha)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\lim_{\alpha\to 1} A(\alpha))
et en déduire l'aire
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
de la partie du plan délimitée par la courbe
![(\Gamma)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\Gamma))
et les droites d'équations
![x=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x=1)
et
![y=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y=1)
.
Partie B (4,75 points)
A tout point
![M](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M)
du plan
![\mathcal{P }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{P })
, on note
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
et
![Q](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Q)
les projetés orthogonaux de
![M](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M)
respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées .
Soit
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
, l'application du plan
![\mathcal{P}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{P})
dans lui-même qui à tout point
![M](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M)
associe le point
![M'](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M')
tel que :
1) Déterminer les images des axes de coordonnées par
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
.
2-a) Soit
![M](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M)
de coordonnées
![(a,b)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a,b))
, un point distinct de
![O](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?O)
.
Démontrer que les coordonnées
![(a',b')](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a',b'))
du point
![M'](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M')
vérifient :
![a'=\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\enskip\text{ et }\enskip b'=\dfrac{a^2b}{a^2+b^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a'=\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\enskip\text{ et }\enskip b'=\dfrac{a^2b}{a^2+b^2})
.
b) Soient
![A(4;0) \text{ ; }B(0;4)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A(4;0) \text{ ; }B(0;4))
et
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
le milieu de
![[AB]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AB])
. Déterminer les coordonnées des points
![A',B'\text{ et }I'](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A',B'\text{ et }I')
images respectives des points
![A,B\text{ et }I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A,B\text{ et }I)
.
L'application
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
conserve-t-elle les milieux des segments ?
3) Soit
![(D_m)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(D_m))
la droite d'équation
![y=mx\text{ , }m\neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y=mx\text{ , }m\neq 0)
. Montrer que
![(D'_m)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(D'_m))
image de
![(D_m)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(D_m))
par
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
est une droite dont on précisera une équation .
4) Soit
![(D)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(D))
la droite d'équation
![y=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y=1)
.
Montrer que
![(D')](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(D'))
image de
![(D)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(D))
par
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
est contenue dans un cercle fixe .
5) On considère la courbe
![(\Gamma)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\Gamma))
de la fonction
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
de la
partie A , définie paramétriquement par :
![\begin{cases}x=t\\y=\dfrac{t}{\sqrt{t^2-1}}\end{cases}\text{ , }t\in E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases}x=t\\y=\dfrac{t}{\sqrt{t^2-1}}\end{cases}\text{ , }t\in E)
.
Démontrer que
![(\Gamma')](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\Gamma'))
image de
![(\Gamma)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\Gamma))
par
![\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi)
est contenue dans le cercle de centre
![O](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?O)
et de rayon
![1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1)
.