Fiche de mathématiques
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Bac Burkina Faso 2022

Mathématiques Séries C-E

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2ème tour
Durée : 4 heures
Coefficient : 6


Les calculatrices ne sont pas autorisées.


4 points

exercice 1

Soit k un nombre réel différent de 0 et de 1 . On considère dans le plan \mathcal{P} trois points A,B\text{ et }C tels que \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB} , et les cercles (\Gamma_1)\text{ et }(\Gamma_2)
de diamètres respectifs [AB]\text{ et }[AC] . Une droite (\Delta) non perpendiculaire à (AB) et distincte de (AB) , passant par A , coupe les cercles (\Gamma_1)\text{ et }(\Gamma_2) respectivement en M\text{ et }N .

1-a) Montrer que les droites (BM) \text{ et }(CN) sont parallèles .
b) Pour quelle valeur de k les droites (BN) et (CM) sont-elles parallèles ?

2) On prend k=\dfrac{3}{2}\text{ et }AB=4\text{ cm} .
On note P le point d'intersection des droites (BN)\text{ et }(CM) .
On considère l'homothétie h de centre P telle que h(B)=N .
a) Démontrer que h(M)=C .
b) Déterminer le rapport de h .

3-a) Déterminer le réel \beta tel que \overrightarrow{BP}=\beta\overrightarrow{BN} .
b) Déterminer la nature et les éléments géométriques du lieu géométrique (\Sigma) du point P lorsque la droite (\Delta) varie .
c) Construire (\Sigma) .

4 points

exercice 2

On note (E) l'équation différentielle : y''+ay'+by=0\text{ , }(a,b)\in\R^2 .
Les solutions de l'équation caractéristique de (E) sont les nombres complexes p+iq\text{ et }p-iq \text{ avec }p\in\R\text{ , }q\in\R^{*} .

1) Vérifier que 2p+a=0 et que p^2+ap+b=q^2 .

2) On note (E') l'équation différentielle : y''+q^2y=0
On suppose que f est une fonction deux fois dérivable sur \R . On note g la fonction définie sur \R par : g(x)=e^{-px}f(x) .
a) Montrer que f est une solution de (E) si et seulement si g est une solution de (E') .
b) Montrer que si \varphi est une solution de (E') alors la fonction v=(q\varphi)^2+(\varphi')^2 est constante .
c) Montrer qu'une solution \varphi de (E') est la fonction nulle si et seulement si \varphi(0)=\varphi'(0)=0 .

3) Soit \varphi solution de (E') et h la fonction définie sur \R par : h(t)=\varphi(t)-\left(\varphi(0)\cos qt +\dfrac{1}{q}\varphi'(0)\sin qt\right) .
a) Montrer que h est une solution de (E') .
b) Que vaut h(t) pour tout t\in\R ?
En déduire \varphi en fonction de \varphi(0) et \varphi'(0) .

4) Soit q=2 et \varphi la solution de (E') telle que \varphi(0)=\sqrt{2}\text{ et }\varphi'(0)=2\sqrt{2} .
Déterminer les réels a et \alpha tels que : \forall t\in\R\text{ , }\varphi(t)=a\cos(2t+\alpha) .

12 points

probleme

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}) (unité graphique 2 cm)

Partie A (7,25 points)

On considère f , la fonction numérique de la variable réelle x définie sur \R\backslash\lbrace -1,1\rbrace par f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{|x^2-1|}} .
On désigne par (C) sa courbe représentative .

1-a) Montrer que l'on peut restreindre l'ensemble d'étude de f à l'intervalle D=[0,1[\cup]1,+\infty[ .
b) Etudier le sens de variations de f sur D .
c) Dresser le tableau de variations de f sur D .
d) Tracer (C) .

2) Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie sur E=]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[ par : g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}} .
On note (\Gamma) sa courbe représentative .
a) Montrer que la restriction g_1 de g à ]1,+\infty[ est une application bijective de ]1,+\infty[ sur un intervalle I_1 à préciser .
b) En déduire que g est une application bijective de E dans E .
c) Déterminer la composée g\circ g et en déduire g^{-1}(x) .
d) En déduire que (\Gamma) admet la droite (\Delta) d'équation x-y=0 pour axe de symétrie .
e) Démontrer que (\Gamma) est invariante par la réflexion d'axe la droite d'équation x+y=0 .

3) Soit la suite (U_n)_{n\geq 0} définie par U_0\in]1,+\infty[\text{ et }\forall n\in\N\text{ , }U_{n+1}=g(U_n) .
a) Montrer que 2 est une période de (U_n) .
b) Déterminer la valeur U_0 pour laquelle la suite (U_n) est convergente .

4) Soit \alpha\in]1;\sqrt{2}[ .
a)Calculer l'aire A(\alpha) de l'ensemble des points M dont les coordonnées (x,y) vérifient : \begin{cases} \alpha\leq x\leq \sqrt{2} \\x\leq y\leq f(x) \end{cases} .
b) Déterminer \displaystyle\lim_{\alpha\to 1} A(\alpha) et en déduire l'aire A de la partie du plan délimitée par la courbe (\Gamma) et les droites d'équations x=1 et y=1 .

Partie B (4,75 points)

A tout point M du plan \mathcal{P } , on note P et Q les projetés orthogonaux de M respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées .
Soit \varphi , l'application du plan \mathcal{P} dans lui-même qui à tout point M associe le point M' tel que :

\bullet \text{ Si }M=O \text{ alors } M'=0 \\ \bullet  \text{ Si }M\neq O  \text{ alors } M' \text{ est le projeté orthogonal de } O \text{ sur la droite }(PQ)


1) Déterminer les images des axes de coordonnées par \varphi .

2-a) Soit M de coordonnées (a,b) , un point distinct de O .
Démontrer que les coordonnées (a',b') du point M' vérifient : a'=\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\enskip\text{ et }\enskip b'=\dfrac{a^2b}{a^2+b^2} .
b) Soient A(4;0) \text{ ; }B(0;4) et I le milieu de [AB] . Déterminer les coordonnées des points A',B'\text{ et }I' images respectives des points A,B\text{ et }I .
L'application \varphi conserve-t-elle les milieux des segments ?

3) Soit (D_m) la droite d'équation y=mx\text{ , }m\neq 0 . Montrer que (D'_m) image de (D_m) par \varphi est une droite dont on précisera une équation .

4) Soit (D) la droite d'équation y=1 .
Montrer que (D') image de (D) par \varphi est contenue dans un cercle fixe .

5) On considère la courbe (\Gamma) de la fonction g de la partie A , définie paramétriquement par : \begin{cases}x=t\\y=\dfrac{t}{\sqrt{t^2-1}}\end{cases}\text{ , }t\in E .
Démontrer que (\Gamma') image de (\Gamma) par \varphi est contenue dans le cercle de centre O et de rayon 1 .
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