Bac Burkina Faso 2022
Mathématiques Séries C-E
2ème tour
Durée : 4 heures
Coefficient : 6
Les calculatrices ne sont pas autorisées.
4 points exercice 1
Soit
un nombre réel différent de
et de
. On considère dans le plan
trois points
tels que
, et les cercles
de diamètres respectifs
. Une droite
non perpendiculaire à
et distincte de
, passant par
, coupe les cercles
respectivement en
.
1-a) Montrer que les droites
sont parallèles .
b) Pour quelle valeur de
les droites
et
sont-elles parallèles ?
2) On prend
.
On note
le point d'intersection des droites
.
On considère l'homothétie
de centre
telle que
.
a) Démontrer que
.
b) Déterminer le rapport de
.
3-a) Déterminer le réel
tel que
.
b) Déterminer la nature et les éléments géométriques du lieu géométrique
du point
lorsque la droite
varie .
c) Construire
.
4 points exercice 2
On note
l'équation différentielle :
.
Les solutions de l'équation caractéristique de
sont les nombres complexes
.
1) Vérifier que
et que
.
2) On note
l'équation différentielle :
On suppose que
est une fonction deux fois dérivable sur
. On note
la fonction définie sur
par :
.
a) Montrer que
est une solution de
si et seulement si
est une solution de
.
b) Montrer que si
est une solution de
alors la fonction
est constante .
c) Montrer qu'une solution
de
est la fonction nulle si et seulement si
.
3) Soit
solution de
et
la fonction définie sur
par :
.
a) Montrer que
est une solution de
.
b) Que vaut
pour tout
?
En déduire
en fonction de
et
.
4) Soit
et
la solution de
telle que
.
Déterminer les réels
et
tels que :
.
12 points probleme
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
(unité graphique
2 cm)
Partie A (7,25 points)
On considère
, la fonction numérique de la variable réelle
définie sur
par
.
On désigne par
sa courbe représentative .
1-a) Montrer que l'on peut restreindre l'ensemble d'étude de
à l'intervalle
.
b) Etudier le sens de variations de
sur
.
c) Dresser le tableau de variations de
sur
.
d) Tracer
.
2) Soit
la fonction numérique de la variable réelle
définie sur
par :
.
On note
sa courbe représentative .
a) Montrer que la restriction
de
à
est une application bijective de
sur un intervalle
à préciser .
b) En déduire que
est une application bijective de
dans
.
c) Déterminer la composée
et en déduire
.
d) En déduire que
admet la droite
d'équation
pour axe de symétrie .
e) Démontrer que
est invariante par la réflexion d'axe la droite d'équation
.
3) Soit la suite
définie par
.
a) Montrer que
est une période de
.
b) Déterminer la valeur
pour laquelle la suite
est convergente .
4) Soit
.
a)Calculer l'aire
de l'ensemble des points
dont les coordonnées
vérifient :
.
b) Déterminer
et en déduire l'aire
de la partie du plan délimitée par la courbe
et les droites d'équations
et
.
Partie B (4,75 points)
A tout point
du plan
, on note
et
les projetés orthogonaux de
respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées .
Soit
, l'application du plan
dans lui-même qui à tout point
associe le point
tel que :
1) Déterminer les images des axes de coordonnées par
.
2-a) Soit
de coordonnées
, un point distinct de
.
Démontrer que les coordonnées
du point
vérifient :
.
b) Soient
et
le milieu de
. Déterminer les coordonnées des points
images respectives des points
.
L'application
conserve-t-elle les milieux des segments ?
3) Soit
la droite d'équation
. Montrer que
image de
par
est une droite dont on précisera une équation .
4) Soit
la droite d'équation
.
Montrer que
image de
par
est contenue dans un cercle fixe .
5) On considère la courbe
de la fonction
de la
partie A , définie paramétriquement par :
.
Démontrer que
image de
par
est contenue dans le cercle de centre
et de rayon
.