Soit un nombre réel différent de et de . On considère dans le plan trois points tels que , et les cercles de diamètres respectifs . Une droite non perpendiculaire à et distincte de , passant par , coupe les cercles respectivement en .
1-a) Montrer que les droites sont parallèles .
b) Pour quelle valeur de les droites et sont-elles parallèles ?
2) On prend .
On note le point d'intersection des droites .
On considère l'homothétie de centre telle que .
a) Démontrer que .
b) Déterminer le rapport de .
3-a) Déterminer le réel tel que .
b) Déterminer la nature et les éléments géométriques du lieu géométrique du point lorsque la droite varie .
c) Construire .
4 points
exercice 2
On note l'équation différentielle : .
Les solutions de l'équation caractéristique de sont les nombres complexes .
1) Vérifier que et que .
2) On note l'équation différentielle : On suppose que est une fonction deux fois dérivable sur . On note la fonction définie sur par : .
a) Montrer que est une solution de si et seulement si est une solution de .
b) Montrer que si est une solution de alors la fonction est constante .
c) Montrer qu'une solution de est la fonction nulle si et seulement si .
3) Soit solution de et la fonction définie sur par : .
a) Montrer que est une solution de .
b) Que vaut pour tout ?
En déduire en fonction de et .
4) Soit et la solution de telle que .
Déterminer les réels et tels que : .
12 points
probleme
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm)
Partie A (7,25 points)
On considère , la fonction numérique de la variable réelle définie sur par .
On désigne par sa courbe représentative .
1-a) Montrer que l'on peut restreindre l'ensemble d'étude de à l'intervalle .
b) Etudier le sens de variations de sur .
c) Dresser le tableau de variations de sur .
d) Tracer .
2) Soit la fonction numérique de la variable réelle définie sur par : .
On note sa courbe représentative .
a) Montrer que la restriction de à est une application bijective de sur un intervalle à préciser .
b) En déduire que est une application bijective de dans .
c) Déterminer la composée et en déduire .
d) En déduire que admet la droite d'équation pour axe de symétrie .
e) Démontrer que est invariante par la réflexion d'axe la droite d'équation .
3) Soit la suite définie par .
a) Montrer que est une période de .
b) Déterminer la valeur pour laquelle la suite est convergente .
4) Soit .
a)Calculer l'aire de l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient : .
b) Déterminer et en déduire l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe et les droites d'équations et .
Partie B (4,75 points)
A tout point du plan , on note et les projetés orthogonaux de respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées .
Soit , l'application du plan dans lui-même qui à tout point associe le point tel que :
1) Déterminer les images des axes de coordonnées par .
2-a) Soit de coordonnées , un point distinct de .
Démontrer que les coordonnées du point vérifient : .
b) Soient et le milieu de . Déterminer les coordonnées des points images respectives des points .
L'application conserve-t-elle les milieux des segments ?
3) Soit la droite d'équation . Montrer que image de par est une droite dont on précisera une équation .
4) Soit la droite d'équation .
Montrer que image de par est contenue dans un cercle fixe .
5) On considère la courbe de la fonction de la partie A , définie paramétriquement par : .
Démontrer que image de par est contenue dans le cercle de centre et de rayon .
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un nombre réel différent de 
et de 
. On considère dans le plan 
trois points 
tels que 
, et les cercles \text{ et }(\Gamma_2))
![[AB]\text{ et }[AC]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AB]\text{ et }[AC])
. Une droite )
non perpendiculaire à )
et distincte de 
, coupe les cercles 
.
 \text{ et }(CN))
sont parallèles .
)
et )
sont-elles parallèles ?
.
le point d'intersection des droites \text{ et }(CM))
.
de centre =N)
.
=C)
.
tel que 
.
)
du point )
l'équation différentielle : \in\R^2)
.
.
et que 
.
)
l'équation différentielle : 
est une fonction deux fois dérivable sur 
. On note 
la fonction définie sur =e^{-px}f(x))
.
est une solution de ^2+(\varphi')^2)
est constante .
=\varphi'(0)=0)
.
=\varphi(t)-\left(\varphi(0)\cos qt +\dfrac{1}{q}\varphi'(0)\sin qt\right) )
.
)
pour tout 
?
)
et )
.
et =\sqrt{2}\text{ et }\varphi'(0)=2\sqrt{2})
.
et 
tels que : =a\cos(2t+\alpha))
.
)
(unité graphique 2 cm)
définie sur 
par =\dfrac{x}{\sqrt{|x^2-1|}})
.
)
sa courbe représentative .
à l'intervalle ![D=[0,1[\cup]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D=[0,1[\cup]1,+\infty[)
.
.
![E=]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E=]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[)
par : =\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}})
.
)
sa courbe représentative .
de ![]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]1,+\infty[)
est une application bijective de 
à préciser .
dans 
et en déduire )
.
pour axe de symétrie .
.
_{n\geq 0})
définie par ![U_0\in]1,+\infty[\text{ et }\forall n\in\N\text{ , }U_{n+1}=g(U_n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?U_0\in]1,+\infty[\text{ et }\forall n\in\N\text{ , }U_{n+1}=g(U_n))
.
est une période de )
.
pour laquelle la suite ![\alpha\in]1;\sqrt{2}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha\in]1;\sqrt{2}[)
.
)
de l'ensemble des points 
dont les coordonnées )
vérifient :  \end{cases})
.
)
et en déduire l'aire 
et 
.
, on note 
les projetés orthogonaux de 
tel que :
 )
)
, un point distinct de 
.
)
du point 
.
 \text{ ; }B(0;4))
et 
le milieu de ![[AB]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AB])
. Déterminer les coordonnées des points 
images respectives des points 
.
)
la droite d'équation 
. Montrer que )
image de )
la droite d'équation )
image de 
.
)
image de 
forum de terminale