Pour tout complexe , il existe exactement complexes vérifiant .
Si on écrit sous forme trigonométrique , il s'agit des complexes définis par :
Les racines cubiques de 8 sont les complexes qui vérifient l'équation:
Puisque , alors son écriture trigonométrique est:
Les trois racines cubiques de s'écrivent alors:
Conclusion:
2-a) Calculons
Qui s'écrit sous forme exponentielle:
Puisque: , alors:
D'où:
b) Puisque est un triangle équilatéral, alors le centre du cercle circonscrit à est le centre de gravité de ce dernier, son affixe vérifie donc:
On en tire que le centre de est l'origine du repère , et donc son rayon est:
c) Soit un point d'affixe
On obtient donc:
Il s'ensuit alors que:
d) Pour que et soient éléments de , il faut que leurs affixes vérifient l'équation donnée de ou que leurs coordonnées vérifient l'équation du cercle trouvée à la question précédente.
Puisque , alors ses coordonnées sont :
On a:
On en déduit que:
D'autre part:
Donc, puisque , alors:
Remarque:
Cliquez pour afficher
On pouvait aussi vérifier que les coordonnées de vérifient l'équation du cercle:
On a:
e) est une similitude directe, donc on pose comme une écriture complexe de , il s'agit de déterminer ces deux constantes complexes.
On sait que est le centre de et que l'image de par est , donc:
Conclusion:
exercice 2
1-a) L'équation différentielle est une équation différentielle de premier degré à coefficients constants et sans second membre.
Donc les solutions de s'écrivent:
L'ensemble des solutions de est:
b) Soit la solution de l'équation vérifiant , donc, il existe un réel tel que
Déterminons ce réel
c) Soit Désignons par la valeur moyenne de sur l'intervalle
2-a) On a, pour tout entier naturel
b) On a:
c) étant une suite géométrique de raison
Donc:
exercice 3
I) L'urne contient 5 jetons portant les nombres: " " . On tire successivement et avec remise 2 jetons de l'urne, donc:
1) A: "le point appartient à l'axe des réels" .
Donc
D'où:
Il s'ensuit que:
2) B: "le point appartient à l'axe des imaginaires" .
Donc
D'où:
Il s'ensuit que:
II-1) Notons le point moyen partiel des trois premiers points et celui des trois derniers .
La droite représente alors la droite de Mayer.
Posons alors, où et deux réels, nous devons déterminer ces deux réels.
Pour cela, calculons les coordonnées des points moyens
Calcul des coordonnées du point moyen :
On a :
Donc :
Calcul des coordonnées du point moyen :
On a :
Donc :
Détermination des réels
On a :
On remplace par sa valeur dans l'équation :
On sait que est un point de , on a donc :
Conclusion :
2) Déduisons l'estimation des frais de publicité d'une entreprise dont le chiffre d'affaires s'élève à 3 milliards de francs.
3 milliards de francs équivaut à 300 dizaines de millions de francs, donc:
Conclusion:
exercice 4
1)
a) Calculons les limites:
Puisque , donc:
Puisque , donc:
Conclusion:
b) La fonction est dérivable sur comme inverse d'une fonction polynômiale non nulle et dérivable sur
Puisque pour tout , alors le signe de est l'opposé de celui de .
De plus
Dressons le tableau de signe:
Conclusion:
c) Puisque , alors:
Donc:
d) On a, pour tout réel appartenant à
D'où:
e) On a:
Donc les primitives de la fonction s'écrivent :
Or,
Donc les primitives de la fonction s'écrivent :
Il exsite donc tel que la primitive de qui s'annule en s'écrit: .
Déterminons cette constante
2-a) Calculons les limites:
Puisque , donc:
Conclusion:
b) Directement d'après 1-e) , n'est autre que la primitive de qui s'annule en
c) D'après 1-c) :
On en tire que:
Partie B: ÉVALUATION DES COMPÉTENCES
1) Notons le nombre d'années, le montant initial déposé (qui est le prix d'un seul billet d'avion) et le montant à la n-ième année.
( représente alors le montant à la deuxième année, le montant à la troisème annnée,... Et ainsi de suite.)
Puisqu'il s'agit d'un dépôt bancaire à un taux d'intérêt annuel composé de , alors:
En effet, augmenter de revient à multiplier par .
On en tire que les montants annueles représentent les termes d'une suite géométrique de raison , d'où:
Ensuite, pour que TANG puisse acheter deux billets à l'année , il faut que: , en effet, le montant initial déposé à la banque correspond au prix d'un seul billet.
Il s'ensuit alors que:
Finalement:
Conclusion:
Remarque: Le problème considère que le prix d'un billet d'avion est fixe.
2) Il s'agit de vérifier si TANG peut obtenir 41 millions de francs en un an à partir des loyers au cours des neuf premières années. Cela revient à vérifier si l'équation admet au moins une solution sur .
On a:
Posons la fonction définie sur par . On a donc:
est une fonction polynômiale et donc dérivable sur , d'où, pour tout
Calculons le discriminent
Le trinôme admet donc deux racines:
Ce qui permet de tracer le tableau de signe de et donc le tableau de variations de la fonction (on combine ces deux tableaux):
En effet:
On en déduit que:
Et donc, l'équation n'admet pas de solution sur , d'où l'équation n'admet pas de solution sur , ce qui se traduit par:
3) Calculons le taux de baisse de la veste, qu'on note (en pourcentage).
Notons respectivement le premier et deuxième prix de réduction de la veste dont le prix initiale était .
Donc:
On obtient:
Résolvons cette équation de second degré, pour cela, calculons son discriminant:
L'équation admet deux solutions:
Or, , donc le taux de baisse recherchée est
Calculons à présent le deuxième prix de réduction du sac dont le premier prix de réduction est
Finalement:
Donc:
Publié par malou/Panter
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Panter / Panter pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !