Partie A: ÉVALUATION DES RESOURCES
exercice 1
1) Rappelons la proposition suivante:
Rappel
Soit
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
un entier naturel non nul.
Pour tout complexe
![\omega\in\C^{*}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\omega\in\C^{*})
, il existe exactement
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
complexes
![z](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z)
vérifiant
![z^n=\omega](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z^n=\omega)
.
Si on écrit
![\omega](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\omega)
sous forme trigonométrique
![\omega=r\text{e}^{i\theta}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\omega=r\text{e}^{i\theta})
, il s'agit des complexes
![z_0,z_1,\cdots,z_{n-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z_0,z_1,\cdots,z_{n-1})
définis par :
![\displaystyle \forall k\in \lbrace 0,1,\cdots,n-1\rbrace \enskip \text{ : }\enskip z_k=\sqrt[n]{r}\text{e}^{i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \forall k\in \lbrace 0,1,\cdots,n-1\rbrace \enskip \text{ : }\enskip z_k=\sqrt[n]{r}\text{e}^{i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)})
Les racines cubiques de 8 sont les complexes qui vérifient l'équation:
Puisque
![8\in \R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?8\in \R)
, alors son écriture trigonométrique est:
Les
trois racines cubiques de
![8](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?8)
s'écrivent alors:
Conclusion:
2-a) Calculons
Qui s'écrit sous forme exponentielle:
Puisque:
![\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=e^{-i\frac \pi 3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=e^{-i\frac \pi 3})
, alors:
D'où:
b) Puisque
![ABC](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?ABC)
est un triangle équilatéral, alors le centre du cercle
![\Gamma_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Gamma_1)
circonscrit à
![ABC](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?ABC)
est le centre de gravité de ce dernier, son affixe vérifie donc:
On en tire que le centre de
![\Gamma_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Gamma_1)
est l'origine du repère
![O](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?O)
, et donc son rayon est:
c) Soit
![M](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M)
un point d'affixe
On obtient donc:
Il s'ensuit alors que:
d) Pour que
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
et
![B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B)
soient éléments de
![\Gamma_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Gamma_2)
, il faut que leurs affixes vérifient l'équation donnée de
![\Gamma_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Gamma_2)
ou que leurs coordonnées vérifient l'équation du cercle
![\Gamma_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Gamma_2)
trouvée à la question précédente.
Puisque
![z_A=-1+i\sqrt{ 3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z_A=-1+i\sqrt{ 3})
, alors ses coordonnées sont
![x_A=-1\text{ et }y_A=\sqrt{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x_A=-1\text{ et }y_A=\sqrt{3})
:
On a:
On en déduit que:
D'autre part:
Donc, puisque
![A\in\Gamma_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in\Gamma_2)
, alors:
Remarque:
Cliquez pour afficherOn pouvait aussi vérifier que les coordonnées de
![B(-1;-\sqrt{3})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B(-1;-\sqrt{3}))
vérifient l'équation du cercle:
On a:
e) ![S](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S)
est une similitude directe, donc on pose comme une écriture complexe de
![S\text{ : }z'=az+b\text{ tels que }a,b\in\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S\text{ : }z'=az+b\text{ tels que }a,b\in\C)
, il s'agit de déterminer ces deux constantes complexes.
On sait que
![\Omega](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Omega)
est le centre de
![S](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S)
et que l'image de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
par
![S](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S)
est
![B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B)
, donc:
Conclusion:
exercice 2
1-a) L'équation différentielle
![(E)\text{ : }y'-2y=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E)\text{ : }y'-2y=0)
est une équation différentielle de premier degré à coefficients constants et sans second membre.
Donc les solutions de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
s'écrivent:
L'ensemble des solutions de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
est:
b) Soit
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
la solution de l'équation
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
vérifiant
![f(0)=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(0)=1)
, donc, il existe un réel
![k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k)
tel que
Déterminons ce réel
c) Soit
![n\in\N\text{. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\in\N\text{. })
Désignons par
![S_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S_n)
la valeur moyenne de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
sur l'intervalle
2-a) On a, pour tout entier naturel
b) On a:
c) ![(u_n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(u_n))
étant une suite géométrique de raison
Donc:
exercice 3
I) L'urne contient
5 jetons portant les nombres: "
![1\text{ ; }e^2\text{ ; }\dfrac{1}{e^2}\text{ ; }e \text{ et }\dfrac{1}{e}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? 1\text{ ; }e^2\text{ ; }\dfrac{1}{e^2}\text{ ; }e \text{ et }\dfrac{1}{e} )
" . On tire successivement et avec remise
2 jetons de l'urne, donc:
1) A: "le point
appartient à l'axe des réels" .
Donc
D'où:
Il s'ensuit que:
2) B: "le point
appartient à l'axe des imaginaires" .
Donc
D'où:
Il s'ensuit que:
II-1) Notons
![G_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G_1)
le point moyen partiel des trois premiers points et
![G_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G_2)
celui des trois derniers .
La droite
![(G_1G_2)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(G_1G_2))
représente alors la droite de Mayer.
Posons alors,
![(G_1G_2)\text{ : }y=mx+p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(G_1G_2)\text{ : }y=mx+p)
où
![m](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?m)
et
![p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p)
deux réels, nous devons déterminer ces deux réels.
Pour cela, calculons les coordonnées des points moyens
Calcul des coordonnées du point moyen
![G_1(\bar{x_1};\bar{y_1})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G_1(\bar{x_1};\bar{y_1}))
:
On a :
Donc :
Calcul des coordonnées du point moyen
![G_2(\bar{x_2};\bar{y_2})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G_2(\bar{x_2};\bar{y_2}))
:
On a :
Donc :
Détermination des réels
On a :
On remplace
![m](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?m)
par sa valeur dans l'équation :
On sait que
![G_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G_1)
est un point de
![(G_1G_2)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(G_1G_2) )
, on a donc :
Conclusion :
2) Déduisons l'estimation des frais de publicité d'une entreprise dont le chiffre d'affaires s'élève à 3 milliards de francs.
3 milliards de francs équivaut à 300 dizaines de millions de francs, donc:
Conclusion:
exercice 4
1)
a) Calculons les limites:
Puisque
![\displaystyle \lim_{x\to -1^+}x+1=0^+](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \lim_{x\to -1^+}x+1=0^+)
, donc:
Puisque
![\displaystyle \lim_{x\to 0^-}x=0^-](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \lim_{x\to 0^-}x=0^-)
, donc:
Conclusion:
b) La fonction
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
est dérivable sur
![]-1;0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-1;0[)
comme inverse d'une fonction polynômiale non nulle et dérivable sur
Puisque pour tout
![x \text{ de } ]-1,0[ \text{ : } (x^2+x)^2> 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \text{ de } ]-1,0[ \text{ : } (x^2+x)^2> 0)
, alors le signe de
![g'(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g'(x))
est l'opposé de celui de
![2x+1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2x+1)
.
De plus
Dressons le tableau de signe:
Conclusion:
c) Puisque
![g\text{ admet un maximum au point d'abscisse }-\dfrac 12](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g\text{ admet un maximum au point d'abscisse }-\dfrac 12)
, alors:
Donc:
d) On a, pour tout réel
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
appartenant à
D'où:
e) On a:
Donc les primitives de la fonction
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
s'écrivent :
Or,
Donc les primitives de la fonction
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
s'écrivent :
Il exsite donc
![k\in\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k\in\R)
tel que la primitive
![G](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G)
de
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
qui s'annule en
![-\dfrac 1 2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-\dfrac 1 2)
s'écrit:
![G(x)=\ln\left(-\dfrac{x}{x+1}\right)+k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G(x)=\ln\left(-\dfrac{x}{x+1}\right)+k)
.
Déterminons cette constante
2-a) Calculons les limites:
Puisque
![\displaystyle \lim_{x\to -1^+}x+1=0^+](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \lim_{x\to -1^+}x+1=0^+)
, donc:
Conclusion:
b) Directement d'après
1-e) ,
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
n'est autre que la primitive
![G](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G)
de
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
qui s'annule en
c) D'après
1-c) :
On en tire que:
Partie B: ÉVALUATION DES COMPÉTENCES
1) Notons
![n\in\N^*](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\in\N^*)
le nombre d'années,
![u_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_1)
le montant
initial déposé (qui est le prix d'un seul billet d'avion) et
![u_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_n)
le montant à la n-ième année.
(
![u_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_2)
représente alors le montant à la deuxième année,
![u_3](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_3)
le montant à la troisème annnée,... Et ainsi de suite.)
Puisqu'il s'agit d'un dépôt bancaire à un taux d'intérêt annuel composé de
![5\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?5\%)
, alors:
En effet, augmenter de
![5\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?5\%)
revient à multiplier par
![1,05](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1,05)
.
On en tire que les montants annueles représentent les termes d'une suite géométrique
![(u_n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(u_n))
de raison
![1,05](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1,05)
, d'où:
Ensuite, pour que
TANG puisse acheter deux billets à l'année
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
, il faut que:
![u_n\geq 2 u_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_n\geq 2 u_1)
, en effet, le montant initial
![u_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_1)
déposé à la banque correspond au prix d'un seul billet.
Il s'ensuit alors que:
Finalement:
Conclusion:
Remarque: Le problème considère que le prix d'un billet d'avion est fixe.
2) Il s'agit de vérifier si
TANG peut obtenir
41 millions de francs en un an à partir des loyers au cours des
neuf premières années. Cela revient à vérifier si l'équation
![S(x)=41](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S(x)=41)
admet au moins une solution sur
![[1;9]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1;9])
.
On a:
Posons
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
la fonction définie sur
![[1;9]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1;9])
par
![f(x)= x^3-15x^2+63x-82](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x)= x^3-15x^2+63x-82)
. On a donc:
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est une fonction polynômiale et donc dérivable sur
![[1;9]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1;9])
, d'où, pour tout
Calculons le discriminent
Le trinôme
![f'(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x))
admet donc deux racines:
Ce qui permet de tracer le tableau de signe de
![f'(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x))
et donc le tableau de variations de la fonction
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
(on combine ces deux tableaux):
En effet:
On en déduit que:
Et donc, l'équation
![f(x)=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x)=0)
n'admet pas de solution sur
![[1;9]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1;9])
, d'où l'équation
![S(x)=41](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S(x)=41)
n'admet pas de solution sur
![[1;9]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1;9])
, ce qui se traduit par:
3) Calculons le taux de baisse de la veste, qu'on note
![t](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t)
(en pourcentage).
Notons
![p_1 \text{ et }p_2=126350\text{ F }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p_1 \text{ et }p_2=126350\text{ F })
respectivement le premier et deuxième prix de réduction de la veste dont le prix initiale était
![140000\text{ F}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?140000\text{ F})
.
Donc:
On obtient:
Résolvons cette équation de second degré, pour cela, calculons son discriminant:
L'équation admet deux solutions:
Or,
![195>100](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?195>100)
, donc le taux de baisse recherchée est
Calculons à présent le deuxième prix de réduction du sac dont le premier prix de réduction est
Finalement:
Donc:
![\boxed{\text{TANG ne pourra pas acheter le sac }}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{TANG ne pourra pas acheter le sac }})