Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques

Cameroun 2023

Série D

Durée : 4h
Coefficient: 4

Partie A: Évaluation des resources (15 points)

4,75 points

exercice 1

3 points

exercice 2

3 points

exercice 3

4,25 points

exercice 4

Partie B: Évaluation des compétences (5 points)

Voir la correction

Partie A: ÉVALUATION DES RESOURCES

exercice 1

1) Rappelons la proposition suivante:

Rappel

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Pour tout complexe $\omega\in\C^{*}$ , il existe exactement $n$ complexes $z$ vérifiant $z^n=\omega$ .

Si on écrit $\omega$ sous forme trigonométrique $\omega=r\text{e}^{i\theta}$ , il s'agit des complexes $z_0,z_1,\cdots,z_{n-1}$ définis par :

$\displaystyle \forall k\in \lbrace 0,1,\cdots,n-1\rbrace \enskip \text{ : }\enskip z_k=\sqrt[n]{r}\text{e}^{i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}$

Les racines cubiques de 8 sont les complexes qui vérifient l'équation: $z^3=8$

Puisque $8\in \R$ , alors son écriture trigonométrique est: $8=8e^{0i}$

Les trois racines cubiques de $8$ s'écrivent alors:

$z_0=\sqrt[3]{8}\text{e}^{i\left(\frac{0}{3}+\frac{2\times 0\pi}{3}\right)}=\sqrt[3]{8}e^{i0}=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$

$z_1=\sqrt[3]{8}\text{e}^{i\left(\frac{0}{3}+\frac{2\times 1\pi}{3}\right)}=2\text{e}^{i\frac{2\pi}{3}}=2\left(\cos \dfrac{2\pi}{3}+i\sin \dfrac{2\pi}{3}\right)=2\left(-\cos \dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=2\left(-\dfrac 12 +i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+i\sqrt{3}$

$z_2=\sqrt[3]{8}\text{e}^{i\left(\frac{0}{3}+\frac{2\times 2\pi}{3}\right)}=2\text{e}^{i\frac{4\pi}{3}}=2\left(\cos \dfrac{4\pi}{3}+i\sin \dfrac{4\pi}{3}\right)=2\left(-\cos \dfrac{\pi}{3}-i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=2\left(-\dfrac 12 -i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1-i\sqrt{3}$

Conclusion: $\boxed{\text{ Les trois racines cubiques de }8\text{ sont: }2\text{ ; }-1+i\sqrt{3}\text{; }-1-i\sqrt{3} }$

2-a) Calculons $\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\text{ : }$

$\begin{matrix}\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}&=& \dfrac{2-(-1-i\sqrt{3})}{-1+i\sqrt{3}-(-1-i\sqrt{3})}&=& \dfrac{3+i\sqrt{3}}{2i\sqrt{3}}\\\\&=& -\dfrac{i\sqrt{3}}{6}(3+i\sqrt{3})&=& \dfrac{1}{ 6}(-3\sqrt{3}i+3) \\\\&=& \dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}&=&\cos \left(-\dfrac \pi 3\right) + i \sin \left(-\dfrac \pi 3\right) \end{matrix}$

Qui s'écrit sous forme exponentielle:

$\boxed{\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=e^{-i\frac \pi 3}}$

Puisque: $\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=e^{-i\frac \pi 3}$ , alors:

$\left|\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right|=\left|e^{-i\frac \pi 3}\right|=1$

$\arg\left(\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right)=\arg e^{-i\frac \pi 3}\Longrightarrow \arg\left(\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right)\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]$

D'où:

$\boxed{\text{Le triangle }ABC \text{ est équilatéral }}$

b) Puisque $ABC$ est un triangle équilatéral, alors le centre du cercle $\Gamma_1$ circonscrit à $ABC$ est le centre de gravité de ce dernier, son affixe vérifie donc:

$z=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}=\dfrac{-1+i\sqrt{3}+2-1-i\sqrt{3}}{3}=0$

On en tire que le centre de $\Gamma_1$ est l'origine du repère $O$ , et donc son rayon est: $r=OC=|z_C|=2$

$\boxed{\Gamma_1\text{ est le cercle de centre }O\text{ et de rayon }2 }$

c) Soit $M$ un point d'affixe $z=x+iy \text{ / }x,y\in\R$

$\begin{matrix} M\in \Gamma_2&\iff& 2(z+\overline{z})+z\overline{z}=0 &\iff& 2(x+iy+x-iy)+(x+iy)(x-iy)=0 \\\\&\iff& 4x+x^2+y^2=0&\iff& x^2+4x+4-4+y^2=0 \\\\&\iff& x^2+2\times 2\times x+2^2 +y^2=4 &\iff& (x+2)^2+y^2=2^2\end{matrix}$

On obtient donc: $\Gamma_2\text{ : }(x-\red(-2)\black)^2+(y-\red 0\black)^2=\blue 2\black^2$

Il s'ensuit alors que:

$\boxed{\Gamma_2 \text{ est le cercle de centre }\Omega \text{ d'affixe }z_{\Omega}=\red -2\black+\red 0\black i=-2 \text{ et de rayon }r=\blue 2 \black}$

d) Pour que $A$ et $B$ soient éléments de $\Gamma_2$ , il faut que leurs affixes vérifient l'équation donnée de $\Gamma_2$ ou que leurs coordonnées vérifient l'équation du cercle $\Gamma_2$ trouvée à la question précédente.

Puisque $z_A=-1+i\sqrt{ 3}$ , alors ses coordonnées sont $x_A=-1\text{ et }y_A=\sqrt{3}$ :

On a: $\begin{matrix} (x_A+2)^2+y_A^2 &=& (-1+2)^2+(\sqrt{3})^2&=&1+3&=&4 \end{matrix}\enskip\enskip\Longrightarrow \enskip\enskip (x_A+2)^2+y_A^2=4$

On en déduit que: $\boxed{A\in\Gamma_2}$

D'autre part: $z_B=-1-i\sqrt{3} \Longrightarrow \overline{z_A}=z_B \text{ ( et donc }z_A=\overline{z_B} \text{ )}$

Donc, puisque $A\in\Gamma_2$ , alors:

$2(z_A+\overline{z_A})+z_A\overline{z_A}=0 \iff 2(\overline{z_B}+z_B)+\overline{z_B}z_B=0 \iff 2(z_B+\overline{z_B})+z_B\overline{z_B}=0 \iff \boxed{B\in\Gamma_2}$

Remarque:

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e) $S$ est une similitude directe, donc on pose comme une écriture complexe de $S\text{ : }z'=az+b\text{ tels que }a,b\in\C$ , il s'agit de déterminer ces deux constantes complexes.

On sait que $\Omega$ est le centre de $S$ et que l'image de $A$ par $S$ est $B$ , donc:

$\begin{matrix} \begin{cases} S(A)=B\\S(\Omega)=\Omega \end{cases}&\iff& \begin{cases} z_B=az_A+b\\z_{\Omega}=az_{\Omega}+b \end{cases}&\iff& \begin{cases} -1-i\sqrt{3}=a(-1+i\sqrt{3})+b\\-2=-2a+b \end{cases}\\\\&\iff& \begin{cases} -1-i\sqrt{3}=a(-1+i\sqrt{3})+b\\-2=-2a+b \end{cases}&\iff& \begin{cases} -1-i\sqrt{3}-(-2)=a(-1+i\sqrt{3})+b-(-2a+b)\\-2=-2a+b \end{cases}\\\\ &\iff& \begin{cases} 1-i\sqrt{3}=a(1+i\sqrt{3})\\b=-2+2a \end{cases} &\iff& \begin{cases} a=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}\\b=-2+2a \end{cases}\\\\ &\iff& \begin{cases} a=\dfrac{(1-i\sqrt{3})^2}{4}\\b=-2+2a \end{cases}&\iff& \begin{cases} a=-\dfrac12-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\\b=-3-\sqrt{3}i \end{cases}\end{matrix}$

Conclusion:

$\boxed{\text{Une écriture complexe de la similitude directe }S\text{ : }z'=\left(-\dfrac 12-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)z-3-\sqrt{3}i }$

exercice 2

1-a) L'équation différentielle $(E)\text{ : }y'-2y=0$ est une équation différentielle de premier degré à coefficients constants et sans second membre.

Donc les solutions de $(E)$ s'écrivent: $x\mapsto ke^{-(-2)x}=ke^{2x} \text{ / } k\in\R$

L'ensemble des solutions de $(E)$ est:

$\boxed{S_{(E)}=\left\lbrace x\mapsto ke^{2x} \text{/ }k\in\R \right\rbrace }$

b) Soit $f$ la solution de l'équation $(E)$ vérifiant $f(0)=1$ , donc, il existe un réel $k$ tel que $\forall x\in\R\text{ : }f(x)=ke^{2x} \text{ et }f(0)=1$

Déterminons ce réel $k\text{ : }f(0)=1\iff ke^{2\times 0 }=1 \iff ke^0=1\iff k=1$

$\boxed{\text{La solution }f\text{ de }(E)\text{ telle que }f(0)=1\text{ est définie par : }\forall x\in\R\text{ , }f(x)=e^{2x}}$

c) Soit $n\in\N\text{. }$ Désignons par $S_n$ la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[n;n+1]\text{ , alors: }$

$\begin{matrix}S_n&=&\displaystyle \dfrac{1}{(n+1)-n} \int_n^{n+1} f(x)\text{ d}x&=&\displaystyle \int_n^{n+1} e^{2x}\text{ d}x&=&\left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_{n}^{n+1}\\\\ &=& \dfrac{1}{2}\left(e^{2(n+1)}-e^{2n}\right)&=& \dfrac{1}{2}\left(e^{2n}e^2-e^{2n}\right)&=&\dfrac{1}{2}(e^2-1)e^{2n}\end{matrix}$

$\boxed{\forall n\in\N\text{ , la valeur moyenne de }f\text{ sur l'intervalle }[n;n+1]\text{ est : }S_n=\dfrac{1}{2}(e^2-1)e^{2n}}$

2-a) On a, pour tout entier naturel $n\text{: }u_n=\dfrac{1}{2}(e^2-1)e^{2n}$

$u_0=\dfrac{1}{2}(e^2-1)e^{2\times 0}\text{ , donc : }\boxed{u_0=\dfrac{1}{2}(e^2-1)}$

$u_1=\dfrac{1}{2}(e^2-1)e^{2\times 1}\text{ , d'où : }\boxed{u_1=\dfrac{1}{2}(e^2-1)e^2}$

b) On a:

$\forall n\in\N\text{ : }u_{n+1}=\dfrac{1}{2}(e^2-1)e^{2(n+1)}=\dfrac{1}{2}(e^2-1)e^{2n+2}=\dfrac{1}{2}(e^2-1)e^{2n}e^{2}=e^2 u_n$

$\boxed{\forall n\in \N\text{ : }u_{n+1}=e^2u_n}\text{ , d'où : }\boxed{(u_n)\text{ est une suite géométrique de raison }e^2}$

c) $(u_n)$ étant une suite géométrique de raison $e^2\text{ , alors: }$

$\begin{matrix}u_0+u_1+\cdots+u_{2023} &=& u_0 \dfrac{1 - (e^2)^{2023+1}}{1 - e^2}&=& \dfrac{1}{2}(e^2-1) \dfrac{(e^2)^{2024}-1}{e^2-1} &=&\dfrac{1}{2}(e^{4048}-1)\end{matrix}$

Donc: $\boxed{u_0+u_1+\dots+u_{2023}=\dfrac{1}{2}(e^{4048}-1)}$

exercice 3

I) L'urne contient 5 jetons portant les nombres: " $1\text{ ; }e^2\text{ ; }\dfrac{1}{e^2}\text{ ; }e \text{ et }\dfrac{1}{e}$ " . On tire successivement et avec remise 2 jetons de l'urne, donc:

$\boxed{\text{Card }\Omega=5^2=25}$

1) A: "le point $M(z)$ appartient à l'axe des réels" .

Donc $z\in\R\iff \ln b=0 \iff b=1$

D'où: $A=\lbrace (1;1) \text{ ou } (e^2;1)\text{ ou } (1/e^2;1)\text{ ou } (e;1)\text{ ou } (1/e;1) \rbrace$

Il s'ensuit que: $P(A)=\dfrac{1+1+1+1+1}{25}=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}\Longrightarrow \boxed{P(A)=0,2}$

2) B: "le point $M(z)$ appartient à l'axe des imaginaires" .

Donc $z\in i\R\iff \ln a=0 \iff a=1$

D'où: $B=\lbrace (1;1) \text{ ou } (1;e^2)\text{ ou } (1;1/e^2)\text{ ou } (1;e)\text{ ou } (1;1/e) \rbrace$

Il s'ensuit que: $P(B)=\dfrac{1+1+1+1+1}{25}=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}\Longrightarrow \boxed{P(B)=0,2}$

II-1) Notons $G_1$ le point moyen partiel des trois premiers points et $G_2$ celui des trois derniers .

La droite $(G_1G_2)$ représente alors la droite de Mayer.

Posons alors, $(G_1G_2)\text{ : }y=mx+p$ où $m$ et $p$ deux réels, nous devons déterminer ces deux réels.

Pour cela, calculons les coordonnées des points moyens $G_1\text{ et }G_2\text{ : }$

Calcul des coordonnées du point moyen $G_1(\bar{x_1};\bar{y_1})$ :

On a : $\begin{cases} \bar{x_1}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_i=\dfrac{1}{3}(7+7,8+9,2) =\dfrac{24}{3}=8 \\ \bar{y_1}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}y_i=\dfrac{1}{3}(237+235+248) =\dfrac{720}{3}=240 \end{cases}$

Donc :

$\boxed{G_1(8;240)\text{ est le point moyen des trois premiers points }}$

Calcul des coordonnées du point moyen $G_2(\bar{x_2};\bar{y_2})$ :

On a : $\begin{cases} \bar{x_2}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_i=\dfrac{1}{3}(10,5+11+11,5) =\dfrac{33}{3}=11 \\ \bar{y_2}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}y_i=\dfrac{1}{3}(250+268+259) =\dfrac{777}{3}=259 \end{cases}$

Donc :

$\boxed{G_2(11;259)\text{ est le point moyen des trois derniers points }}$

Détermination des réels $m\text{ et }p \text{ tels que : }(G_1G_2)\text{ : }y=mx+p$

On a : $m=\dfrac{\bar{y_2}-\bar{y_1}}{\bar{x_2}-\bar{x_1}}=\dfrac{259-240}{11-8}=\dfrac{19}{3}$

On remplace $m$ par sa valeur dans l'équation : $(G_1G_2)\text{ : }y=\dfrac{19}{3}x+p$

On sait que $G_1$ est un point de $(G_1G_2)$ , on a donc :

$\begin{matrix}\bar{y_1}=\dfrac{19}{3}\bar{x_1}+p &\iff& 240=\dfrac{19}{3}\times 8 +p\\&\iff& p=240-\dfrac{152}{3}\\&\iff& p= \dfrac{720-152}{3}= \dfrac{568}{3} \end{matrix}$

Conclusion :
$\boxed{\begin{matrix} \text{Une équation cartésienne de la droite de Mayer }(G_1G_2) \text{ s'écrit : }y=\dfrac{19}{3}x+\dfrac{568}{3}\end{matrix}}$

2) Déduisons l'estimation des frais de publicité d'une entreprise dont le chiffre d'affaires s'élève à 3 milliards de francs.

3 milliards de francs équivaut à 300 dizaines de millions de francs, donc:

$y=300\iff \dfrac{19}{3}x+\dfrac{568}{3}=300 \iff x=\left(300-\dfrac{568}{3}\right)\times \dfrac{3}{19}\approx 17,47$

Conclusion:

$\boxed{\text{ Les frais de publicité de cette entreprise s'élève à environ }174700000\text{ FCFA}}$

exercice 4

1) $\forall x\in ]-1;0[\text{ : }g(x)=\dfrac{1}{x^2+x}$
a) Calculons les limites:

$\displaystyle \lim_{x\to -1^+} g(x)= \lim_{x\to -1^+} \dfrac{1}{x^2+x}= \lim_{x\to -1^+} \dfrac{1}{x(x+1)}$

Puisque $\displaystyle \lim_{x\to -1^+}x+1=0^+$ , donc: $\displaystyle \lim_{x\to -1^+} g(x)= \lim_{x\to -1^+} \dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{-1\times 0^+}=\dfrac{1}{0^-}=-\infty$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^-} g(x)= \lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x^2+x}= \lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x(x+1)}$

Puisque $\displaystyle \lim_{x\to 0^-}x=0^-$ , donc: $\displaystyle \lim_{x\to 0^-} g(x)= \lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{0^-\times 1}=\dfrac{1}{0^-}=-\infty$

Conclusion:

$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to -1^+} g(x)=-\infty\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle \lim_{x\to 0^-} g(x)=-\infty}$

b) La fonction $g$ est dérivable sur $]-1;0[$ comme inverse d'une fonction polynômiale non nulle et dérivable sur $]-1;0[$

$\begin{matrix} \forall x\in ]-1;0[\text{ : }g'(x)&=& \left(\dfrac{1}{x^2+x}\right)' &=& -\dfrac{(x^2+x)'}{(x^2+x)^2}&=& \boxed{-\dfrac{2x+1}{(x^2+x)^2}}\end{matrix}$

Puisque pour tout $x \text{ de } ]-1,0[ \text{ : } (x^2+x)^2> 0$ , alors le signe de $g'(x)$ est l'opposé de celui de $2x+1$ .

De plus $2x+1=0\iff x=-\dfrac{1}{2}$

Dressons le tableau de signe:

$\begin{array}{|c|rcccc|} \hline x & -1 & & -1/2 & & 0 \\ \hline 2x+1 & \dbarre & - &\barre{0} & + & \dbarre \\ \hline g'(x) & \dbarre & + &\barre{0} & - & \dbarre \\ \hline \end{array}$

Conclusion:

$\boxed{\begin{matrix} g\text{ est strictement croissante sur }\left]-1;-\dfrac 12 \right[ \\ g\text{ admet un maximum au point d'abscisse }-\dfrac 12 \\ g\text{ est strictement décroissante sur }\left]-\dfrac 12;0 \right[ \end{matrix}}$

c) Puisque $g\text{ admet un maximum au point d'abscisse }-\dfrac 12$ , alors:

$\forall x\in ]-1;0[\text{ : }g(x)\leq g\left(-\dfrac 1 2 \right)$

$\text{ Or, }g\left(-\dfrac 1 2 \right)=\dfrac{1}{\dfrac 1 4-\dfrac 1 2}=\dfrac{1}{\dfrac 1 4-\dfrac 2 4}=\dfrac{1}{-\dfrac 1 4}=-4$

Donc: $\forall x\in ]-1;0[\text{ : }g(x)\leq -4<0 \enskip\enskip \Longrightarrow \enskip\enskip \boxed{\forall x\in ]-1;0[\text{ : }g(x)<0}$

d) On a, pour tout réel $x$ appartenant à $]-1;0[\text{ : }$

$\dfrac 1x-\dfrac{1}{x+1} = \dfrac{(x+1)-x}{x(x+1)} = \dfrac{1}{x^2+x} = g(x)$

D'où: $\boxed{\forall x\in ]-1;0[\text{ : }g(x)=\dfrac 1x-\dfrac{1}{x+1}}$

e) On a:

$\forall x\in ]-1;0[\text{ : }g(x)=\dfrac 1x-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x'}{x}-\dfrac{(x+1)'}{x+1}$

Donc les primitives de la fonction $g$ s'écrivent : $x\mapsto \ln|x|-\ln|x+1|+k\text{ / }k\in\R$

Or, $\forall x\in ]-1;0[\text{ : }x<0\text{ et }0<x+1$

Donc les primitives de la fonction $g$ s'écrivent :
$x\mapsto \ln(-x)-\ln(x+1)+k=\ln\left(-\dfrac{x}{x+1}\right)+k\enskip\enskip\text{ / }k\in\R$

Il exsite donc $k\in\R$ tel que la primitive $G$ de $g$ qui s'annule en $-\dfrac 1 2$ s'écrit: $G(x)=\ln\left(-\dfrac{x}{x+1}\right)+k$ .

Déterminons cette constante $k\in\R\text{ : }$

$G\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0 \iff \ln\left(-\dfrac{-\dfrac 1 2 }{-\dfrac 1 2 +1}\right)+k=0 \iff \ln \left(\dfrac{\dfrac 1 2}{\dfrac 1 2 }\right)+k=0 \iff \ln 1 + k =0 \iff k=0$

$\boxed{\text{La primitive }G \text{ de } g \text{ qui s'annule en }-\dfrac 1 2 \text{ s'écrit , } \forall x\in ]-1;0[\text{ : } G(x)=\ln\left(-\dfrac{x}{x+1}\right)}$

2-a) Calculons les limites:

$\displaystyle \lim_{x\to -1^+} f(x)= \lim_{x\to -1^+}\ln\left(-\dfrac{x}{x+1}\right)$

Puisque $\displaystyle \lim_{x\to -1^+}x+1=0^+$ , donc: $\displaystyle \lim_{x\to -1^+} f(x)= \lim_{x\to -1^+}\ln\left(-\dfrac{x}{x+1}\right)=\dfrac{1}{0^+}=+\infty$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x)= \lim_{x\to 0^-}\ln\left(-\dfrac{x}{x+1}\right)=\ln \left(-\dfrac{0^-}{1}\right) = \ln 0^+ =-\infty$

Conclusion:

$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to -1^+} f(x)=+\infty\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x)=-\infty}$

b) Directement d'après 1-e) , $f$ n'est autre que la primitive $G$ de $g$ qui s'annule en $-\dfrac 1 2\text{ , donc :}$

$\boxed{\forall x\in ]-1;0[\text{ : }f'(x)=g(x) }$

c) D'après 1-c) :

$\forall x\in ]-1;0[\text{ : }f'(x)=g(x)<0$

On en tire que:

$\boxed{ \text{ La fonction }f\text{ est strictement décroissante sur }]-1;0[ }$

Partie B: ÉVALUATION DES COMPÉTENCES

1) Notons $n\in\N^*$ le nombre d'années, $u_1$ le montant initial déposé (qui est le prix d'un seul billet d'avion) et $u_n$ le montant à la n-ième année.

( $u_2$ représente alors le montant à la deuxième année, $u_3$ le montant à la troisème annnée,... Et ainsi de suite.)

Puisqu'il s'agit d'un dépôt bancaire à un taux d'intérêt annuel composé de $5\%$ , alors: $\text{Pour tout }n\text{ de }\N^{*}\text{ : }u_{n+1}=1,05u_n \text{ , avec :}$

$\begin{matrix} \bullet & u_n\text{ le montant à la n-ième année }\\ \bullet & u_{n+1} \text{ le montant à l'année } n+1\end{matrix}$

En effet, augmenter de $5\%$ revient à multiplier par $1,05$ .

On en tire que les montants annueles représentent les termes d'une suite géométrique $(u_n)$ de raison $1,05$ , d'où: $\forall n\in\N^*\text{ : }u_n=(1,05)^nu_1$

Ensuite, pour que TANG puisse acheter deux billets à l'année $n$ , il faut que: $u_n\geq 2 u_1$ , en effet, le montant initial $u_1$ déposé à la banque correspond au prix d'un seul billet.

Il s'ensuit alors que:

$u_n\geq 2 u_1 \iff (1,05)^n u_1 \geq 2 u_1 \iff (1,05)^n\geq 2 \iff \ln(1,05^n)\geq \ln 2 \iff n\ln (1,05) \geq \ln 2 \iff n\geq \dfrac{\ln 2}{\ln 1,05}$

Finalement: $\dfrac{\ln 2}{\ln 1,05}=\dfrac{ 0,69}{0,049}\approx 14,08 \enskip\enskip\text{ , donc : }\enskip\enskip n\geq 15 \text{ (Puisque }n\in\N^* \text{)}$

Conclusion:

$\boxed{\text{A partir de }15\text{ ans, TANG pourra acheter deux billets d'avion, un pour lui et un pour son épouse }}$

Remarque: Le problème considère que le prix d'un billet d'avion est fixe.

2) Il s'agit de vérifier si TANG peut obtenir 41 millions de francs en un an à partir des loyers au cours des neuf premières années. Cela revient à vérifier si l'équation $S(x)=41$ admet au moins une solution sur $[1;9]$ .

On a: $S(x)=41 \iff \dfrac{x^3-15x^2+63x}{2}=41 \iff x^3-15x^2+63x-82=0$

Posons $f$ la fonction définie sur $[1;9]$ par $f(x)= x^3-15x^2+63x-82$ . On a donc: $S(x)=41\iff f(x)=0$

$f$ est une fonction polynômiale et donc dérivable sur $[1;9]$ , d'où, pour tout $x\in [1;9]\text{ : }$

$f'(x)=(x^3-15x^2+63x-82)'=3x^2-30x+63= 3(x^2-10x+21)$

Calculons le discriminent $\Delta= (-10)^2-4\times 21 =100-84=16>0$

Le trinôme $f'(x)$ admet donc deux racines: $x_1=\dfrac{10-4}{2} = 3 \text{ et }x_2=\dfrac{10+4}{2}=7$

Ce qui permet de tracer le tableau de signe de $f'(x)$ et donc le tableau de variations de la fonction $f$ (on combine ces deux tableaux):

$\begin{array}{|c|rcccccc|} \hline x & 1 & & 3 & & 7 & & 9 \\ \hline f'(x) & & + &\barre{0} & - & \barre{0} & + & \\ \hline & & & -1 && & & -1 \\ f & &\nearrow& &\searrow & &\nearrow& \\ & -33 & & & & -33 & & \\ \hline \end{array}$
En effet:

$f(1)=1-15+63-82=-33 \enskip ; \enskip f(3)=3^3-15\times 3^2+63\times 3 -82 = -1$

$f(7)=7^3-15\times 7^2+63\times 7 -82 = -33 \enskip \text{ et } \enskip f(9)=9^3-15\times 9^2+63\times 9 -82 = -1$

On en déduit que:

$\forall x\in [1;9]\text{ : }-33\leq f(x)\leq -1\enskip\enskip\Longrightarrow \enskip\enskip\forall x\in [1;9]\text{ : } f(x)<0$

Et donc, l'équation $f(x)=0$ n'admet pas de solution sur $[1;9]$ , d'où l'équation $S(x)=41$ n'admet pas de solution sur $[1;9]$ , ce qui se traduit par:

$\boxed{\text{TANG ne pourra pas réaliser son projet à partir des loyers de ses maisons }}$

3) Calculons le taux de baisse de la veste, qu'on note $t$ (en pourcentage).

Notons $p_1 \text{ et }p_2=126350\text{ F }$ respectivement le premier et deuxième prix de réduction de la veste dont le prix initiale était $140000\text{ F}$ .

Donc:

$p_1(t)=140000-\dfrac{140000\times t}{100}=140000-1400t$

$\begin{matrix}p_2(t)&=&p_1(t)-\dfrac{p_1(t)\times t}{100}&=&140000-1400t-\dfrac{(140000-1400t)t}{100}\\\\&=&140000-1400t-(1400-14t)t&=&140000-1400t-1400t+14t^2\\\\&=&14t^2-2800t+140000\end{matrix}$

On obtient:

$\begin{matrix}p_2(t)=126350 &\iff& 14t^2-2800t+140000=126350 &\iff& 14t^2-2800t+13650=0 \\\\&\iff& 14(t^2-200t+975)=0 &\iff& t^2-200t+975=0\end{matrix}$

Résolvons cette équation de second degré, pour cela, calculons son discriminant: $\Delta=(-200)^2-4\times 975 =36100=(190)^2>0$

L'équation admet deux solutions:

$t_1=\dfrac{200-190}{2} =\dfrac{10}{2}=5 \enskip\text{ et }\enskip t_2=\dfrac{200+190}{2}=\dfrac{390}{2}=195$

Or, $195>100$ , donc le taux de baisse recherchée est $t=5\%$

Calculons à présent le deuxième prix de réduction du sac dont le premier prix de réduction est $20000\text{ F :}$

$p= 20000-\dfrac{20000\times 5 }{100}=20000-1000=19000\text{ F}$

Finalement: $19000\text{ F} >17500\text{ F}$

Donc:

$\boxed{\text{TANG ne pourra pas acheter le sac }}$

Publié par malou/Panter le 12-12-2023

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