Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques

Congo-Brazzaville 2023

Série A

Durée : 3h
Coefficient: 3
Documents autorisés : Néant
8 points

exercice 1

Partie A:

1) Résoudre dans $\R$ l'équation $x^2-x-12=0$ .

2) On donne le polynôme $P$ défini pour tout réel $x$ par $P(x)=x^3-13x-12$ .

a) Calculer $P(-1)$ .

b) Déterminer trois réels $a,b\text{ et }c$ tels $P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)$ .

c) En déduire la résolution de l'équation $P(x)=0$ .

d) Déduire de la question c) la résolution de l'équation $(\ln x)^3-13\ln x-12=0$ .

3) Résoudre dans $\R^2$ le système: $\begin{cases} 2x+y=5\\x+2y=7\end{cases}$ .

4) En déduire la solution dans $\R^2$ du système: $\begin{cases} 2e^x+e^y=5\\e^x+2e^y=7\end{cases}$ .

Partie B:

1-a) Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre $540$ .

b) En déduire la valeur du nombre réel $n$ tel que : $540=2\times 3^2\times n$ .

2) Déterminer deux entiers naturels $a\text{ et }b \text{ sachant que } a^2=625\text{ et }b^2=a$ .
8 points

exercice 2

Soit $g$ la fonction numérique définie par $g(x)=\dfrac{2x+a}{x+2}$ où $a$ est un nombre réel.

On désigne par $(C)$ la courbe représentative de $g$ dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ . Unité graphique $1\text{ cm}$ .

1) Trouver la valeur de $a$ telle que $g(-1)=-3$ .

2) Déterminer l'ensemble de définition de $g$ .

3) Pour la suite de l'exercice, on prendra $a=-1$ .

Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition de $g$ .

4) On donne $g'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}$

a) Étudier le signe de $g'(x)$ .

b) Dresser le tableau de variation de $g$ .

5) Montrer que la courbe $(C)$ de $g$ admet le point $I(-2;2)$ comme centre de symétrie.

6) Déterminer les asymptotes à $(C)$ .

7) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.

$\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|}\hline & &&&&& \\ x&-4&-3&-\dfrac{1}{2}&0&\dfrac{1}{2}&2\\ & &&&&& \\ \hline & &&&&& \\ g(x) & &&&&& \\ & &&&&& \\\hline \end{array}$

8) Construire la courbe $(C)$ dans le plan.
4 points

exercice 3

On s'intéresse aux tailles (en cm) des nouveaux nés d'une clinique de la ville en 2019.

Le tableau ci-dessous donne les résultats obtenus.

$\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}\hline \text{ Taille (cm) }x_i &46&46,5&48&48,5&49&50&53\\\hline \text{ Effecif }n_i && &&&&& \\ \hline \text{ Effectif cumulé croissant} &6&14&24&28&36&38&40 \\\hline \end{array}$

1) Reproduire et compléter le tableau ci-dessus.

2) Calculer la taille moyenne des nouveaux nés.

3) A l'aide de cette série statistique, déterminer:

le mode;
la médiane;
le premier et le troisième quartile.

Construire le diagramme en boîte à moustaches de cette série statistique.

Correction

exercice 1

Partie A

1) Résolvons l'équation $x^2-x-12=0$ , calculons pour cela le discriminent:

$\Delta=(-1)^2-4\times 1\times (-12)=1+48=49>0$

L'équation admet deux solutions réelles:

$x_1=\dfrac{-(-1)-\sqrt{49}}{2} = \dfrac{1-7}{2}=-3$

$x_2=\dfrac{-(-1)+\sqrt{49}}{2} = \dfrac{1+7}{2}=4$

On obtient:

$\boxed{\text{L'ensemble des solutions de l'équation }x^2-x-12=0\text{ est: }\left\lbrace -3;4\right\rbrace }$

2-a) Calculons $P(-1)\text{ :}$

$P(-1)=(-1)^3-13\times(-1)-12 =-1+13-12=13-13=0\Longrightarrow \boxed{P(-1)=0}$

b) Déterminons les trois réels $a,b\text{ et }c$ tels que $P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)$ .

$\begin{matrix} P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)&\iff& x^3-13x-12=ax^3+bx^2+cx+ax^2+bx+c \\&\iff& x^3-13x-12=ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c \\&\iff& \begin{cases} a=1\\ 0=a+b\\ -13=b+c\\c=-12\end{cases}\\&\iff& \begin{cases} a=1\\ b=-a=-1\\c=-12\end{cases}\end{matrix}$

Vérification: $b+c=-1-12=-13$

Donc:

$\boxed{a=1\text{ ; }b=-1\text{ ; }c=-12\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip P(x)=(x+1)(x^2-x-12)}$

c) Déduisons-en les solutions de l'équation $P(x)=0\text{ :}$

$\begin{matrix}P(x)=0&\iff& (x+1)(x^2-x-12)=0 \\&\iff& x+1=0\text{ ou }x^2-x-12=0 \\&\iff& x=-1\text{ ou }x=-3\text{ ou }x=4 \end{matrix}$

$\boxed{\text{L'ensemble des solutions de l'équation }P(x)=0\text{ est: }\left\lbrace -3;-1;4\right\rbrace }$

d) Résolvons l'équation $(\ln x)^3-13\ln x-12=0 \text{ :}$

$\begin{matrix} (\ln x)^3-13\ln x-12=0&\iff& \ln x=-3\text{ ou }\ln x=-1\text{ ou }\ln x=4\\&\iff& x=e^{-3}\text{ ou }x=e^{-1}\text{ ou }x=e^4 \end{matrix}$

$\boxed{\text{L'ensemble des solutions de l'équation est: }\left\lbrace e^{-3};e^{-1};e^4\right\rbrace }$

3) Résolvons le système $\begin{cases} 2x+y=5\\x+2y=7\end{cases}\text{ : }$

$\begin{matrix} \begin{cases} 2x+y=5\\x+2y=7\end{cases} &\iff& \begin{cases} 2\times(2x+y)=2\times 5\\x+2y=7\end{cases} \\ &\iff& \begin{cases} 4x+2y=10\\x+2y=7\end{cases} \\ &\iff& \begin{cases} 4x+2y-(x+2y)=10-7\\x+2y=7\end{cases} \\ &\iff& \begin{cases}3x=3\\2y=7-x\end{cases} \\ &\iff& \begin{cases}x=1\\y=\dfrac{7-x}{2}\end{cases} \\ &\iff& \boxed{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}} \end{matrix}$

Donc: $\boxed{\text{L'ensemble des solutions du système est: }\left\lbrace (1;3)\right\rbrace }$

4) Résolvons le système $\begin{cases} 2e^x+e^y=5\\e^x+2e^y=7\end{cases} \text{ :}$

$\begin{matrix} \begin{cases} 2e^x+e^y=5\\e^x+2e^y=7\end{cases} &\iff& \begin{cases} e^x=1\\ e^y=3\end{cases} \\&\iff& \begin{cases}x=\ln 1=0 \\ y=\ln 3 \end{cases}\end{matrix}$

Donc: $\boxed{\text{L'ensemble des solutions du système est: }\left\lbrace (0;\ln 3)\right\rbrace }$

Partie B

1-a) Décomposons en produit de facteurs premiers le nombre $540\text{ :}$

Bac Congo-Brazzaville 2023 série A : image 1

Donc:

$\boxed{540=2^2\times 3^3\times 5 }$

b) Directement:

$540=2^2\times 3^3\times 5=2\times 2\times 3^2\times 3\times 5 =2\times 3^2\times (2\times 3\times 5 )=2\times 3^2\times 30$

On en déduit que:

$\boxed{n=30}$

2) Déterminons deux entiers naturels $a\text{ et }b \text{ sachant que } a^2=625\text{ et }b^2=a$ .

Décomposons en produit de facteurs premiers le nombre $625\text{ :}$

Bac Congo-Brazzaville 2023 série A : image 2

D'où: $625=5^4=(5^2)^2 \text{ , donc: } a=5^2=25$ .

Et donc $b^2=a\text{ , il s'ensuit que : } b^2=5^2 \text{ , on en tire que : }b=5$

$\boxed{a=25\text{ et }b=5 }$

exercice 2

1) On a:

$\begin{matrix}g(-1)=-3&\iff& \dfrac{-2+a}{-1+2}=-3 \\&\iff& a-2=-3 \\&\iff& \boxed{a=-1} \end{matrix}$

2) Notons $D_g$ le domaine de définition de la fonction $g\text{ : }$

$\begin{matrix} x\in D_g&\iff& x+2\neq 0 &\iff& x\neq -2 \end{matrix}$

D'où:

$\boxed{D_g=\R\blackslash \lbrace -2\rbrace = ]-\infty;-2[\cup ]-2;+\infty[ }$

3) On a: $\forall x\in ]-\infty;-2[\cup ]-2;+\infty[\text{ : }g(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}$

Calculons les limites aux bornes de $D_g\text{ : }$

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} g(x)= \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x-1}{x+2}=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x}{x}=2$

$\displaystyle \lim_{x\to -2^-} g(x)= \displaystyle\lim_{x\to -2^-}\dfrac{2x-1}{x+2}=\dfrac{-4-1}{0^-}=\dfrac{-5}{0^-}=+\infty$

$\displaystyle \lim_{x\to -2^+} g(x)= \displaystyle\lim_{x\to -2^+}\dfrac{2x+5}{x+2}=\dfrac{-4+-1}{0^+}=\dfrac{-5}{0^+}=-\infty$

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)= \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x+5}{x+2}=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x}{x}=2$

Récapitulons:

$\boxed{\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x\to -\infty} g(x)=2 & \displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)= 2 \\ \displaystyle \lim_{x\to -2^-} g(x)=+\infty & \displaystyle \lim_{x\to -2^+} g(x)=-\infty \end{matrix} }$

4-a) On a $\forall x\in D_g\text{ : } g'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}$

Puisque pour tout réel $x$ appartenant à $D_g\text{ : }(x+2)^2>0$

Alors directement:

$\boxed{\forall x\in D_g\text{ : }g'(x)>0}$

[ num]b) Puisque: $\forall x\in D_g\text{ : }g'(x)>0$

Donc: $\text{ La fonction }g\text{ est strictement croissante sur }]-\infty;-2[ \text{ et sur }]-2;+\infty[ }$

Et on dresse le tableau de variations de $g\text{ :}$

$\begin{array}{|c|rcccccc|} \hline x & -\infty & & & -2 & & & +\infty \\ \hline g'(x) & & + & &\dbarre & &+ & \\ \hline & & & +\infty &\dbarre & & & 2 \\ g & &\nearrow& &\dbarre & &\nearrow& \\ & 2 & & &\dbarre & -\infty & & \\ \hline \end{array}$

Remarque: Il faut mettre double barre en $-2$ pour indiquer que la fonction $g$ et sa dérivée ne sont pas définies en $-2$ .

num]5) Rappelons la définition d'un centre de symétrie:

Rappel

Soient $a;b$ deux réels et soit $f$ une fonction définie sur son ensemble de définition $D_f$ .

Un point $\Omega(a;b)$ est le centre de symétrie de la courbe $C_f$ de la fonction $f$ si et seulement si, pour tout réel $x$ tel que $a+x\in D_f\text{ :}$

$a-x\in D_f$

$f(a+x)+f(a-x)=2b$

Soit $x\in\R\text{ tel que : }-2+x\in D_g\text{ ; alors: }$

$\begin{matrix}\bullet \enskip -2+x\in D_g&\iff& -2+x\in ]-\infty;-2[\cup ]-2;+\infty[ \\&\iff& -2+x\in ]-\infty;-2[\text{ ou } -2+x\in ]-2;+\infty[ \\&\iff& -2+x<-2 \text{ ou }-2+x>-2 \\&\iff& x<0 \text{ ou }x>0\\&\iff& -x>0 \text{ ou }-x<0\\&\iff& -2-x>-2 \text{ ou }-2-x<-2\\&\iff& -2-x\in ]-2;+\infty[ \text{ ou }-2-x\in ]-\infty;-2[ \\&\iff& -2-x\in ]-\infty;-2[\cup ]-2;+\infty[ \\&\iff& -2-x\in D_g \end{matrix}$

Et:

$\begin{matrix} \bullet \enskip g(-2+x)+g(-2-x) &=& \dfrac{2(-2+x)-1}{-2+x+2}+\dfrac{2(-2-x)-1}{-2-x+2}\\&=& \dfrac{-4+2x-1}{x}+\dfrac{-4-2x-1}{-2-x+2}\\&=& \dfrac{-5+2x}{x}+\dfrac{-5-2x}{-x}\\&=& \dfrac{-5+2x}{x}+\dfrac{5+2x}{x}\\&=& \dfrac{-5+2x+5+2x}{x}\\&=& \dfrac{4x}{x}\\&=& 4 \\&=& 2\times 2\end{matrix}$

Conclusion:

$\boxed{\text{La courbe }(C) \text{ de }g \text{ admet le point }I(-2;2) \text{ comme centre de symétrie}}$

6) On a $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} g(x)=\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)= 2$ .

Donc:

$\boxed{\begin{matrix}\text{La droite d'équation }y=2 \text{ est une asymptote horizontale }\\\text{ à la courbe }(C)\text{ au voisinage de }-\infty\text{ et de }+\infty \end{matrix}}$

De plus: $\displaystyle \lim_{x\to -2^-} g(x)=+\infty \text{ et } \displaystyle \lim_{x\to -2^+} g(x)=-\infty$

$\boxed{\begin{matrix}\text{La droite d'équation }x=-2 \text{ est une asymptote verticale }\\\text{ à la courbe }(C)\text{ dirigée vers le haut à gauche et vers le bas à droite } \end{matrix}}$

7) On calcule les images, on trouve:

$\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|}\hline & &&&&& \\ x&-4&-3&-\dfrac{1}{2}&0&\dfrac{1}{2}&2\\ & &&&&& \\ \hline & &&&&& \\ g(x) & \dfrac{9}{2}&7&-\dfrac{4}{3}&-\dfrac{1}{2}&0& \dfrac{3}{4}\\ & &&&&& \\\hline \end{array}$

8) La figure:

Bac Congo-Brazzaville 2023 série A : image 5

exercice 3

1) Complétons le tableau:

$\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}\hline \text{ Taille (cm) }x_i &46&46,5&48&48,5&49&50&53\\\hline \text{ Effecif }n_i &6& 14-6=8&24-14=10&28-24=4&36-28=8&38-36=2&40-38=2 \\ \hline \text{ Effectif cumulé croissant} &6&14&24&28&36&38&40 \\\hline \end{array}$

2) L'effectif total noté $N$ est la somme de tous les effectifs , il correspond au dernier effectif cumulé : $N=40$

On calcule alors la moyenne de cette série statistique :

$\begin{matrix}\bar{x}&=&\dfrac{1}{N} \displaystyle \sum_i n_ix_i \\&=& \dfrac{1}{40}\left(6\times 46+8\times 46,5+10\times 48+4\times 48,5+8\times 49+2\times 50+2\times 53\right) \\&=&\dfrac{1920}{40}\\&=&48\end{matrix}$

Donc :

$\boxed{\bar{x}=48}$

3)

Le mode d'une série statistique est la valeur à laquelle correspond le plus grand effectif.

Ici, le plus grand effectif est 10, donc:

$\boxed{\text{Le mode est: }48\text{ cm}}$

La médiane est la valeur centrale d'une série statistique.

L'effectif total est $40$ (pair), et $\dfrac{40}{2}=20$

La médiane occupe donc le 20ème rang.

Finalement: $14<20<24$ , on en tire que:

$\boxed{\text{La médiane est: }48\text{ cm} }$

Le premier quartile:

On a: $\dfrac{N}{4}=\dfrac{40}{4}=10 \text{ et }6<10<14$

$\boxed{\text{Le premier quartile est }46,5\text{ cm}}$

Le troisième quartile:

On a: $\dfrac{3N}{4}=\dfrac{120}{4}=30 \text{ et }28<30<36$

$\boxed{\text{Le troisième quartile est }49\text{ cm}}$

Le diagramme:

Rappelons comment visualiser les données à l'aide d'un diagrammr en boîte à moustaches:

Rappel

Bac Congo-Brazzaville 2023 série A : image 3

La largeur de la boîte est limitée par le premier et le trosième quartile.

La hauteur de la boîte n'est à priori pas définie, c'est au choix.

Et on trace le diagramme en boîte à moustaches:

Bac Congo-Brazzaville 2023 série A : image 4

Publié par malou/Panter le 24-01-2024

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