Fiche de mathématiques
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Bac Mathématiques

Congo-Brazzaville 2023

Série A

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Durée : 3h
Coefficient: 3

Documents autorisés : Néant

8 points

exercice 1


Partie A:

1) Résoudre dans \R l'équation x^2-x-12=0 .

2) On donne le polynôme P défini pour tout réel x par P(x)=x^3-13x-12 .

a) Calculer P(-1).

b) Déterminer trois réels a,b\text{ et }c tels P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c) .

c) En déduire la résolution de l'équation P(x)=0 .

d) Déduire de la question c) la résolution de l'équation (\ln x)^3-13\ln x-12=0 .

3) Résoudre dans \R^2 le système: \begin{cases} 2x+y=5\\x+2y=7\end{cases} .

4) En déduire la solution dans \R^2 du système: \begin{cases} 2e^x+e^y=5\\e^x+2e^y=7\end{cases} .

Partie B:

1-a) Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre 540 .

b) En déduire la valeur du nombre réel n tel que : 540=2\times 3^2\times n.

2) Déterminer deux entiers naturels a\text{ et }b \text{ sachant que } a^2=625\text{ et }b^2=a .
8 points

exercice 2


Soit g la fonction numérique définie par g(x)=\dfrac{2x+a}{x+2}a est un nombre réel.

On désigne par (C) la courbe représentative de g dans un plan muni d'un repère orthonormé (O;\vec{i};\vec{j}) . Unité graphique 1\text{ cm} .

1) Trouver la valeur de a telle que g(-1)=-3 .

2) Déterminer l'ensemble de définition de g.

3) Pour la suite de l'exercice, on prendra a=-1 .

Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition de g .

4) On donne g'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}

a) Étudier le signe de g'(x).

b) Dresser le tableau de variation de g.

5) Montrer que la courbe (C) de g admet le point I(-2;2) comme centre de symétrie.

6) Déterminer les asymptotes à (C) .

7) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.

\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|}\hline   & &&&&& \\ x&-4&-3&-\dfrac{1}{2}&0&\dfrac{1}{2}&2\\ & &&&&& \\  \hline & &&&&& \\ g(x) & &&&&& \\ & &&&&& \\\hline   \end{array}


8) Construire la courbe (C) dans le plan.
4 points

exercice 3


On s'intéresse aux tailles (en cm) des nouveaux nés d'une clinique de la ville en 2019.

Le tableau ci-dessous donne les résultats obtenus.

\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}\hline \text{ Taille (cm) }x_i &46&46,5&48&48,5&49&50&53\\\hline \text{ Effecif }n_i && &&&&& \\  \hline \text{ Effectif cumulé croissant} &6&14&24&28&36&38&40 \\\hline   \end{array}


1) Reproduire et compléter le tableau ci-dessus.

2) Calculer la taille moyenne des nouveaux nés.

3) A l'aide de cette série statistique, déterminer:

le mode;
la médiane;
le premier et le troisième quartile.

Construire le diagramme en boîte à moustaches de cette série statistique.








exercice 1



Partie A

1) Résolvons l'équation x^2-x-12=0 , calculons pour cela le discriminent:

\Delta=(-1)^2-4\times 1\times (-12)=1+48=49>0

L'équation admet deux solutions réelles:

x_1=\dfrac{-(-1)-\sqrt{49}}{2} = \dfrac{1-7}{2}=-3

x_2=\dfrac{-(-1)+\sqrt{49}}{2} = \dfrac{1+7}{2}=4

On obtient:

\boxed{\text{L'ensemble des solutions de l'équation }x^2-x-12=0\text{ est: }\left\lbrace -3;4\right\rbrace }


2-a) Calculons P(-1)\text{ :}

P(-1)=(-1)^3-13\times(-1)-12 =-1+13-12=13-13=0\Longrightarrow \boxed{P(-1)=0}

b) Déterminons les trois réels a,b\text{ et }c tels que P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c) .

\begin{matrix} P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)&\iff& x^3-13x-12=ax^3+bx^2+cx+ax^2+bx+c \\&\iff& x^3-13x-12=ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c \\&\iff& \begin{cases} a=1\\ 0=a+b\\ -13=b+c\\c=-12\end{cases}\\&\iff& \begin{cases} a=1\\ b=-a=-1\\c=-12\end{cases}\end{matrix}

Vérification: b+c=-1-12=-13

Donc:

\boxed{a=1\text{ ; }b=-1\text{ ; }c=-12\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip P(x)=(x+1)(x^2-x-12)}


c) Déduisons-en les solutions de l'équation P(x)=0\text{ :}

\begin{matrix}P(x)=0&\iff& (x+1)(x^2-x-12)=0 \\&\iff& x+1=0\text{ ou }x^2-x-12=0 \\&\iff& x=-1\text{ ou }x=-3\text{ ou }x=4 \end{matrix}

\boxed{\text{L'ensemble des solutions de l'équation }P(x)=0\text{ est: }\left\lbrace -3;-1;4\right\rbrace }


d) Résolvons l'équation (\ln x)^3-13\ln x-12=0 \text{ :}

\begin{matrix} (\ln x)^3-13\ln x-12=0&\iff& \ln x=-3\text{ ou }\ln x=-1\text{ ou }\ln x=4\\&\iff& x=e^{-3}\text{ ou }x=e^{-1}\text{ ou }x=e^4 \end{matrix}

\boxed{\text{L'ensemble des solutions de l'équation  est: }\left\lbrace e^{-3};e^{-1};e^4\right\rbrace }


3) Résolvons le système \begin{cases} 2x+y=5\\x+2y=7\end{cases}\text{ : }

\begin{matrix} \begin{cases} 2x+y=5\\x+2y=7\end{cases} &\iff& \begin{cases} 2\times(2x+y)=2\times 5\\x+2y=7\end{cases} \\ &\iff& \begin{cases} 4x+2y=10\\x+2y=7\end{cases} \\ &\iff& \begin{cases} 4x+2y-(x+2y)=10-7\\x+2y=7\end{cases} \\ &\iff& \begin{cases}3x=3\\2y=7-x\end{cases} \\ &\iff& \begin{cases}x=1\\y=\dfrac{7-x}{2}\end{cases} \\ &\iff& \boxed{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}} \end{matrix}

Donc:
\boxed{\text{L'ensemble des solutions du système est: }\left\lbrace (1;3)\right\rbrace }


4) Résolvons le système \begin{cases} 2e^x+e^y=5\\e^x+2e^y=7\end{cases} \text{ :}

\begin{matrix}  \begin{cases} 2e^x+e^y=5\\e^x+2e^y=7\end{cases} &\iff& \begin{cases} e^x=1\\ e^y=3\end{cases} \\&\iff& \begin{cases}x=\ln 1=0 \\ y=\ln 3 \end{cases}\end{matrix}

Donc:
\boxed{\text{L'ensemble des solutions du système est: }\left\lbrace (0;\ln 3)\right\rbrace }


Partie B

1-a) Décomposons en produit de facteurs premiers le nombre 540\text{ :}

Bac Congo-Brazzaville 2023 série A : image 1


Donc:

\boxed{540=2^2\times 3^3\times 5 }


b) Directement:

540=2^2\times 3^3\times 5=2\times 2\times 3^2\times 3\times 5 =2\times 3^2\times (2\times 3\times 5 )=2\times 3^2\times 30

On en déduit que:

\boxed{n=30}


2) Déterminons deux entiers naturels a\text{ et }b \text{ sachant que } a^2=625\text{ et }b^2=a .

Décomposons en produit de facteurs premiers le nombre 625\text{ :}

Bac Congo-Brazzaville 2023 série A : image 2


D'où: 625=5^4=(5^2)^2 \text{ , donc: } a=5^2=25.

Et donc b^2=a\text{ , il s'ensuit que : } b^2=5^2 \text{ , on en tire que : }b=5

\boxed{a=25\text{ et }b=5 }



exercice 2



1) On a:

\begin{matrix}g(-1)=-3&\iff& \dfrac{-2+a}{-1+2}=-3 \\&\iff& a-2=-3 \\&\iff& \boxed{a=-1} \end{matrix}

2) Notons D_g le domaine de définition de la fonction g\text{ : }

\begin{matrix} x\in D_g&\iff& x+2\neq 0 &\iff& x\neq -2 \end{matrix}

D'où:

\boxed{D_g=\R\blackslash \lbrace -2\rbrace = ]-\infty;-2[\cup ]-2;+\infty[ }


3) On a:
\forall x\in ]-\infty;-2[\cup ]-2;+\infty[\text{ : }g(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}


Calculons les limites aux bornes de D_g\text{ : }

\displaystyle \lim_{x\to -\infty} g(x)= \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x-1}{x+2}=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x}{x}=2

\displaystyle \lim_{x\to -2^-} g(x)= \displaystyle\lim_{x\to -2^-}\dfrac{2x-1}{x+2}=\dfrac{-4-1}{0^-}=\dfrac{-5}{0^-}=+\infty

\displaystyle \lim_{x\to -2^+} g(x)= \displaystyle\lim_{x\to -2^+}\dfrac{2x+5}{x+2}=\dfrac{-4+-1}{0^+}=\dfrac{-5}{0^+}=-\infty

\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)= \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x+5}{x+2}=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x}{x}=2

Récapitulons:

\boxed{\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x\to -\infty} g(x)=2 & \displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)= 2 \\  \displaystyle \lim_{x\to -2^-} g(x)=+\infty & \displaystyle \lim_{x\to -2^+} g(x)=-\infty \end{matrix} }


4-a) On a \forall x\in D_g\text{ : } g'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}

Puisque pour tout réel x appartenant à D_g\text{ : }(x+2)^2>0

Alors directement:

\boxed{\forall x\in D_g\text{ : }g'(x)>0}


[ num]b) Puisque:
\forall x\in D_g\text{ : }g'(x)>0


Donc:
\text{ La fonction }g\text{ est strictement croissante sur }]-\infty;-2[ \text{ et sur }]-2;+\infty[ }


Et on dresse le tableau de variations de g\text{ :}

\begin{array}{|c|rcccccc|} \hline x     & -\infty  &        &          & -2      &            &        &   +\infty                                          \\ \hline g'(x) &          & +      &          &\dbarre &            &+       &                                         \\ \hline       &        &        &      +\infty    &\dbarre &     &        &                    2                     \\  g           &          &\nearrow&          &\dbarre &            &\nearrow&                                         \\	             &    2      &        &   &\dbarre &  -\infty          &        &                                    \\  \hline \end{array}


Remarque: Il faut mettre double barre en -2 pour indiquer que la fonction g et sa dérivée ne sont pas définies en -2 .

num]5) Rappelons la définition d'un centre de symétrie:

Rappel
Soient a;b deux réels et soit f une fonction définie sur son ensemble de définition D_f .

Un point \Omega(a;b) est le centre de symétrie de la courbe C_f de la fonction f si et seulement si, pour tout réel x tel que a+x\in D_f\text{ :}

a-x\in D_f

f(a+x)+f(a-x)=2b


Soit x\in\R\text{ tel que : }-2+x\in D_g\text{ ; alors: }

\begin{matrix}\bullet \enskip -2+x\in D_g&\iff& -2+x\in ]-\infty;-2[\cup ]-2;+\infty[ \\&\iff& -2+x\in ]-\infty;-2[\text{ ou } -2+x\in ]-2;+\infty[ \\&\iff& -2+x<-2 \text{ ou }-2+x>-2 \\&\iff&  x<0 \text{ ou }x>0\\&\iff& -x>0  \text{ ou }-x<0\\&\iff& -2-x>-2  \text{ ou }-2-x<-2\\&\iff& -2-x\in ]-2;+\infty[  \text{ ou }-2-x\in ]-\infty;-2[ \\&\iff& -2-x\in ]-\infty;-2[\cup ]-2;+\infty[ \\&\iff& -2-x\in D_g \end{matrix}

Et:

\begin{matrix} \bullet \enskip g(-2+x)+g(-2-x) &=& \dfrac{2(-2+x)-1}{-2+x+2}+\dfrac{2(-2-x)-1}{-2-x+2}\\&=& \dfrac{-4+2x-1}{x}+\dfrac{-4-2x-1}{-2-x+2}\\&=& \dfrac{-5+2x}{x}+\dfrac{-5-2x}{-x}\\&=& \dfrac{-5+2x}{x}+\dfrac{5+2x}{x}\\&=& \dfrac{-5+2x+5+2x}{x}\\&=& \dfrac{4x}{x}\\&=& 4 \\&=& 2\times 2\end{matrix}

Conclusion:

\boxed{\text{La courbe }(C) \text{ de }g \text{ admet le point }I(-2;2) \text{ comme centre de symétrie}}


6) On a \displaystyle \lim_{x\to -\infty} g(x)=\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)= 2 .

Donc:

\boxed{\begin{matrix}\text{La droite d'équation }y=2 \text{ est une asymptote horizontale }\\\text{ à la courbe }(C)\text{ au voisinage de }-\infty\text{ et de }+\infty \end{matrix}}


De plus:  \displaystyle \lim_{x\to -2^-} g(x)=+\infty \text{ et } \displaystyle \lim_{x\to -2^+} g(x)=-\infty

\boxed{\begin{matrix}\text{La droite d'équation }x=-2 \text{ est une asymptote verticale }\\\text{ à la courbe }(C)\text{ dirigée vers le haut à gauche et vers le bas à droite } \end{matrix}}


7) On calcule les images, on trouve:

\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|}\hline   & &&&&& \\ x&-4&-3&-\dfrac{1}{2}&0&\dfrac{1}{2}&2\\ & &&&&& \\  \hline & &&&&& \\ g(x) & \dfrac{9}{2}&7&-\dfrac{4}{3}&-\dfrac{1}{2}&0& \dfrac{3}{4}\\ & &&&&& \\\hline   \end{array}


8) La figure:

Bac Congo-Brazzaville 2023 série A : image 5



exercice 3



1) Complétons le tableau:

\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}\hline \text{ Taille (cm) }x_i &46&46,5&48&48,5&49&50&53\\\hline \text{ Effecif }n_i &6& 14-6=8&24-14=10&28-24=4&36-28=8&38-36=2&40-38=2 \\  \hline \text{ Effectif cumulé croissant} &6&14&24&28&36&38&40 \\\hline   \end{array}

2) L'effectif total noté N est la somme de tous les effectifs , il correspond au dernier effectif cumulé : N=40

On calcule alors la moyenne de cette série statistique :

\begin{matrix}\bar{x}&=&\dfrac{1}{N} \displaystyle \sum_i n_ix_i \\&=& \dfrac{1}{40}\left(6\times 46+8\times 46,5+10\times 48+4\times 48,5+8\times 49+2\times 50+2\times 53\right) \\&=&\dfrac{1920}{40}\\&=&48\end{matrix}

Donc :

\boxed{\bar{x}=48}


3)

Le mode d'une série statistique est la valeur à laquelle correspond le plus grand effectif.

Ici, le plus grand effectif est 10, donc:

\boxed{\text{Le mode est: }48\text{ cm}}


La médiane est la valeur centrale d'une série statistique.

L'effectif total est 40 (pair), et \dfrac{40}{2}=20

La médiane occupe donc le 20ème rang.

Finalement: 14<20<24, on en tire que:

\boxed{\text{La médiane est: }48\text{ cm} }


Le premier quartile:

On a: \dfrac{N}{4}=\dfrac{40}{4}=10 \text{ et }6<10<14

\boxed{\text{Le premier quartile est }46,5\text{ cm}}


Le troisième quartile:

On a: \dfrac{3N}{4}=\dfrac{120}{4}=30 \text{ et }28<30<36

\boxed{\text{Le troisième quartile est }49\text{ cm}}


Le diagramme:

Rappelons comment visualiser les données à l'aide d'un diagrammr en boîte à moustaches:

Rappel

Bac Congo-Brazzaville 2023 série A : image 3


La largeur de la boîte est limitée par le premier et le trosième quartile.

La hauteur de la boîte n'est à priori pas définie, c'est au choix.



Et on trace le diagramme en boîte à moustaches:

Bac Congo-Brazzaville 2023 série A : image 4
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