1. Soit la fonction définie que par
Montrons que la fonction est une solution de l'équation différentielle
Dès lors,
Par conséquent, la fonction est une solution de l'équation différentielle
2. On considère l'équation différentielle
Nous devons résoudre l'équation différentielle sur
La solution générale d'une équation différentielle de la forme est
Dans ce cas, a = -1 et b = 0.
D'où l'équation admet comme solutions les fonctions
3. Nous en déduisons que les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions
4. Nous devons déterminer l'unique solution de l'équation différentielle telle que
Dès lors soit
Par conséquent, l'unique solution de l'équation différentielle telle que est définie sur par
Partie II
Dans cette partie, est un nombre réel fixé.
On considère la fonction définie sur par :
Soit la fonction définie sur par :
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal et la courbe représentative de la fonction
On a représenté sur le graphique les courbes et sans indiquer les unités sur les axes ni le nom sur les courbes.
1. Montrons que la courbe représentée en trait plein sur le graphique représente la courbe
est la courbe représentative de la fonction
Étudions la croissance de la fonction
Or
Donc
Nous en déduisons que la fonction est strictement décroissante sur
Par conséquent la courbe représentée en trait plein représente la courbe
et par suite, la courbe représentée en traits pointillés représente la courbe
2. Déterminons la valeur de sur une lecture graphique.
L'ordonnée du point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées est donnée par
Par une lecture graphique, nous pouvons estimer que l'ordonnée du point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées est égale à 2, soit
Or
Nous en déduisons que
exercice 2
Partie I
Pour tout entier supérieur ou égal à 1, on désigne par la fonction définie sur [0 ; 1] par :
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère du plan.
On désigne par la suite définie pour tout entier supérieur ou égal à 1 par :
1. a) On désigne par la fonction définie sur [0 ; 1] par :
Vérifions que est une primitive de la fonction
La fonction est dérivable sur [0 ; 1].
Pour tout
Par conséquent, est une primitive de la fonction sur [0 ; 1].
1. b) Calculons
D'où
2. Montrons que pour tout supérieur ou égal à 1,
Nous savons que
3. Calculons
En utilisant la question 2 en remplaçant par 1, nous obtenons :
4. Dans l'algorithme proposé, l'instruction est une transcription de la relation
La valeur initiale de a est tout comme la valeur initiale de qui est donnée par
L'appel va donc afficher la liste ,
soit la liste
Partie II
1. Pour tout
Graphiquement, représente l'aire de la portion du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe , les droites d'équations et
2. Nous pouvons conjecturer que et par conséquent, que la suite tend vers 0.
2. Nous devons montrer que pour tout supérieur ou égal à 1,
Pour tout et pour tout supérieur ou égal à 1,
Par conséquent, pour tout supérieur ou égal à 1,
3. Nous devons en déduire
Pour tout supérieur ou égal à 1,
Or
En utilisant le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous obtenons :
exercice 3
Partie I
Un candidat pris au hasard a une probabilité 0,8 de répondre correctement à la question Q1.
Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité 0,6 de répondre correctement à Q2 ; s'il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité 0,1 de répondre correctement à Q2.
On prend un candidat au hasard et on note :
A l'événement : ''le candidat répond correctement à la question Q1'' ;
B l'événement : ''le candidat répond correctement à la question Q2''.
1. Arbre pondéré complété.
2. Nous devons calculer
D'où, la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2 est égale à 0,48.
3. Nous devons calculer
Les événements et forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
D'où, la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2 est égale à 0,5.
On note :
la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1 ;
la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2 ;
la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l'exercice,
c'est-à-dire
4. Calculons l'espérance de
Déterminons la loi de probabilité de
peut prendre la valeur 0 ou 1.
D'où, la loi de probabilité de est :
L'espérance de se calcule par :
Par conséquent, l'espérance de est
Calculons l'espérance de
Déterminons la loi de probabilité de
peut prendre la valeur 0 ou 1.
D'où, la loi de probabilité de est :
L'espérance de se calcule par :
Par conséquent, l'espérance de est
Nous en déduisons l'espérance de
Cela signifie que la note d'un élève à l'exercice 1 sera, en moyenne, égale à 1,3.
5. Nous souhaitons déterminer la variance de
5. a) Déterminons
5. a) Déterminons
Puisque ne peut prendre que les valeur 0, 1 et 2, nous en déduisons que :
La loi de probabilité de peut être résumée par le tableau suivant :
5. b) Montrons que la variance de vaut 0,57.
La variance de se calcule par :
Or
D'où
5. c) A-t-on
Nous en déduisons que
Ce résultat n'est pas surprenant car les variables aléatoires et ne sont pas indépendantes et l'égalité ne se produit que lorsque les variables aléatoires sont indépendantes.
Partie II
1. Lors de cette expérience, on répète 8 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : '' le candidat répond correctement'' dont la probabilité est
Echec : '' le candidat ne répond pas correctement'' dont la probabilité est
La variable aléatoire compte le nombre de bonnes réponses, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire suit une loi binomiale .
Cette loi est donnée par :
2. Nous devons donner la valeur exacte de
3. Nous devons donner l'espérance et la variance de
Calculons l'espérance de
Calculons la variance de
Partie III
On suppose que les deux variables aléatoires et sont indépendantes.
On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l'examen :
1. Nous devons calculer l'espérance et la variance de
Calculons l'espérance de
Par conséquent,
Calculons la variance de
Les deux variables aléatoires et sont indépendantes.
Dès lors,
Par conséquent,
2. a) Pour tout entier variant de 1 à a la même loi de probabilité que
On en déduit que
Dès lors,
Par conséquent,
2. b) Nous devons déterminer les valeurs de telles que l'écart type de soit inférieur ou égal à 0,5.
L'écart type de est donné par
Les variables aléatoires sont indépendantes.
Dès lors, pour tout entier tel que ,
Nous cherchons les valeurs de telles que
Or est un nombre entier.
Par conséquent, pour
2. c) Pour les valeurs trouvées en b), nous devons montrer que l'on a :
Rappelons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
Soit une variable aléatoire d'espérance et de variance
Pour tout réel strictement positif :
Écrivons sous une autre forme.
Suivant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, nous obtenons :
, soit
Les valeurs trouvées en b) nous indiquent que :
Dès lors,
Nous en déduisons alors que :
Or nous avons montré que
Il s'ensuit que
Puisque 0,77 est supérieur à 0,75, nous obtenons :
exercice 4
On considère le prisme droit tel que
Sa base est un trapèze rectangle en vérifiant
On note le milieu du segment
On note le milieu du segment
On associe à ce prisme le repère orthonormé tel que :
1. Un vecteur normal au plan est - Réponse c.
En effet, est un vecteur normal au plan si et seulement si est orthogonal aux deux vecteurs et
Montrons que est orthogonal au vecteur
Nous avons :
D'où
Montrons que est orthogonal au vecteur
Nous avons :
D'où
Nous venons de montrer que est orthogonal aux deux vecteurs et
Par conséquent, est un vecteur normal au plan
2. La droite est parallèle à la droite - Réponse a.
En effet, utilisons le théorème de la droite des milieux.
La droite passe par les milieux des côtés et .
Selon le théorème de la droite des milieux, la droite est parallèle à la droite
De plus, nous avons et
Il s'ensuit que .
Dès lors, les droites et sont parallèles.
En résumé, la droite est parallèle à la droite qui est parallèle à la droite
Par conséquent, la droite est parallèle à la droite
3. Le triplet forme une base de l'espace. - Réponse c.
En effet, une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires.
La proposition a. est fausse car elle ne comprend que deux vecteurs.
La proposition b. est fausse car les points appartiennent au même plan et par suite, les vecteurs sont coplanaires.
La proposition d. est fausse car les points appartiennent au même plan et par suite, les vecteurs sont coplanaires.
Par conséquent, la proposition c. est correcte.
4. Une décomposition du vecteur comme somme de plusieurs vecteurs deux à deux orthogonaux est : - Réponse b.
Par définition, les vecteurs sont deux à deux orthogonaux (voir énoncé).
De plus,
5. Le volume du prisme droit est égal à - Réponse c.
Par conséquent, la proposition c. est correcte.
exercice 5
1. Sur l'intervalle l'équation admet deux solutions. - Réponse c.
En effet, une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires.
Traçons la courbe représentative de la fonction sinus sur l'intervalle
Cette courbe possède deux points d'intersection avec la droite d'équation
Les abscisses de ces deux points d'intersection sont les solutions de l'équation sur l'intervalle
Par conséquent, la proposition c. est correcte.
2. On considère la fonction définie sur l'intervalle par
On admet que est deux fois dérivable. La fonction est concave sur l'intervalle - Réponse b.
Montrons que la dérivée seconde de est négative sur l'intervalle
Pour tout dans l'intervalle
Nous en déduisons que la fonction est concave sur l'intervalle
Par conséquent, la proposition b. est correcte.
3. Une urne contient cinquante boules numérotées de 1 à 50. On tire successivement trois boules dans cette urne, sans remise.
Le nombre de tirages possibles, sans tenir compte de l'ordre des numéros est donné par - Réponse d.
En effet, ce nombre de tirages est égal au nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 50, soit
4. On effectue dix lancers d'une pièce de monnaie. Le résultat d'un lancer est ''pile'' ou ''face''.
Le nombre de listes ordonnées des dix résultats est donné par - Réponse b.
En effet, lors du premier lancer, il y a 2 résultats possibles.
Lors du deuxième lancer, le nombre précédent de résultats est multiplié par 2, soit
Lors du troisième lancer, le nombre précédent de résultats est multiplié par 2, soit
Et ainsi de suite jusqu'au dixième lancer où nous obtenons résultats possibles.
Par conséquent, si nous effectuons 10 lancers, il y a résultats possibles.
5. On effectue lancers d'une pièce de monnaie. Le résultat d'un lancer est ''pile'' ou ''face''.
La probabilité d'obtenir au plus deux fois ''pile'' dans la liste ordonnée des résultats est égale à - Réponse d.
En effet, lors de cette expérience, on répète fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : ''on obtient pile '' dont la probabilité est
Echec : ''on obtient face '' dont la probabilité est
La variable aléatoire X compte le nombre de fois que ''pile'' est apparu, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale .
Cette loi est donnée par :
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que
C'est une évidence car
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet,
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel
Par conséquent, l'affirmation 2 est vraie.
Affirmation 3 : ''La suite numérique est minorée par '' - Affirmation fausse.
En effet, nous savons que :
Il est donc impossible que la suite numérique soit minorée par car
exercice 7
On considère les fonctions définies sur par où est un réel strictement positif.
1. Intéressons-nous à la fonction définies sur par .
1. a) Déterminons l'expression algébrique de
1. b) Montrons que la fonction admet un minimum en
Étudions le signe de sur
Nous en déduisons que la fonction est décroissante sur et est croissante sur
Par conséquent, la fonction admet un minimum en
On donne le tableau de variations de la fonction où
2. Montrons que pour tout réel positif
On note la courbe représentative de la fonction dans un plan muni d'un repère orthonormé.
On note le point de la courbe d'abscisse
On a représenté ci-dessous quelques courbes pour différentes valeurs de
3.Affirmation : ''Pour tout réel strictement positif, les points et sont alignés.'' - Affirmation vraie.
Nous avons montré que pour tout réel positif
Dès lors, les coordonnées des points sont
Nous en déduisons que les points appartiennent à la droite d'équation
Donc pour tout réel strictement positif, les points et sont alignés.
Par conséquent, l'affirmation est vraie.
exercice 8
On considère la suite définie par et pour tout entier naturel
1. On considère la fonction écrite dans le langage Python qui renvoie la valeur de
On considère par ailleurs la fonction écrite dans le langage Python :
Affirmation 1 : ''L'appel renvoie la liste '' - Affirmation fausse.
En effet, l'appel renvoie la liste soit la liste
Or
Nous constatons que le cinquième élément de la liste doit être 40 et non 42.
Par conséquent, l'affirmation 1 est fausse.
Démontrons cette propriété par récurrence. Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que
C'est une évidence car
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet,
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel
Par conséquent, l'affirmation 2 est vraie.
3.Affirmation 3 : ''Pour tout entier naturel est une puissance de 3.'' - Affirmation vraie.
En effet,
D'où pour tout entier naturel est une puissance de 3.
Par conséquent, l'affirmation 3 est vraie.
Publié par malou
le
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