Fiche de mathématiques
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Epreuve de spécialité mathématiques 2024

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exercice 1

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exercice 2

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exercice 3

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exercice 4

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exercice 5

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exercice 6

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exercice 7

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exercice 8

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exercice 1

Partie I

On considère l'équation différentielle  \overset{ { \white{ . } } } { (E):y'+y=\text e^{-x}\,.  } 

1.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { u }  la fonction définie que  \overset{ { \white{ _. } } } { \R }  par  \overset{ { \white{ . } } } { u(x)=x\text e^{-x}\,. } 
Montrons que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { u }  est une solution de l'équation différentielle  \overset{ { \white{ . } } } {(E).  } 

{ \white{ xxi } }u'(x)=(x\,\text e^{-x})' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom {u'(x)}=x'\times\text e^{-x}+x\times(\text e^{-x})'} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom {u'(x)}=1\times\text e^{-x}+x\times(-\text e^{-x})} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom {u'(x)}=\text e^{-x}-x\,\text e^{-x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{u'(x)=\text e^{-x}-x\,\text e^{-x}}

Dès lors,

{ \white{ xxi } }u'(x)+u(x)=(\text e^{-x}-x\,\text e^{-x})+x\,\text e^{-x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{u'(x)+u(x)}=\text e^{-x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{u'(x)+u(x)=\text e^{-x}}

Par conséquent, la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { u }  est une solution de l'équation différentielle  \overset{ { \white{ . } } } {(E).  }

2.  On considère l'équation différentielle  \overset{ { \white{ . } } } { (E'):y'+y=0.  } 

Nous devons résoudre l'équation différentielle  \overset{ { \white{ . } } } { (E') }  sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R. } 

La solution générale d'une équation différentielle de la forme  \overset{{\white{.}}}{y'=ay+b}  est  y=k\,\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).
\text{Or }\ y'+y=0\Longleftrightarrow  y'=-y.

Dans ce cas,  a = -1 et b = 0.

D'où l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { (E')}  admet comme solutions les fonctions  \boxed{x\mapsto k\,\text{e}^{-x}\ \ (k\in\R)}

3.  Nous en déduisons que les solutions de l'équation différentielle  \overset{ { \white{ . } } } {(E)  }  sont les fonctions  \boxed{x\mapsto k\,\text{e}^{-x}+x\,\text e^{-x}\ \ (k\in\R)}

4.  Nous devons déterminer l'unique solution  \overset{ { \white{ Z. } } } { g }  de l'équation différentielle  \overset{ { \white{ . } } } { (E) }  telle que  \overset{ { \white{ . } } } { g(0)=2. } 

g(0)=2\quad\Longleftrightarrow\quad k\,\text{e}^{0}+0=2 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g(0)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad k\times1=2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g(0)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{k=2}}

Dès lors  \overset{ { \white{ . } } } { g(x)=2\,\text{e}^{-x}+x\,\text e^{-x}, }  soit  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{g(x)=(x+2)\,\text{e}^{-x}}\,. } 

Par conséquent, l'unique solution  \overset{ { \white{ . } } } { g }  de l'équation différentielle  \overset{ { \white{ . } } } { (E) }  telle que  \overset{ { \white{ . } } } { g(0)=2 } est définie sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R }  par  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{g(x)=(x+2)\,\text{e}^{-x}}\,. } 

Partie II

Dans cette partie,  \overset{ { \white{ . } } } { k }  est un nombre réel fixé.

On considère la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f_k }  définie sur  \overset{ { \white{ _. } } } {\R  }  par :  \overset{ { \white{ . } } } { f_k(x)=(x+k)\,\text e^{-x}\,. } 

Soit  \overset{ { \white{ . } } } { h }  la fonction définie sur  \overset{ { \white{ _. } } } {\R  }  par :  \overset{ { \white{ . } } } { h(x)=\text e^{-x}\,. } 

On note  \overset{ { \white{ . } } } { C_k }  la courbe représentative de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f_k }  dans un repère orthogonal et  \overset{ { \white{ . } } } {  C}  la courbe représentative de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { h. } 

On a représenté sur le graphique les courbes  \overset{ { \white{ . } } } { C_k }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { C }  sans indiquer les unités sur les axes ni le nom sur les courbes.

1.  Montrons que la courbe représentée en trait plein sur le graphique représente la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { C. } 

 \overset{ { \white{ _. } } } {  C}  est la courbe représentative de la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { h. } 

Étudions la croissance de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { h. } 

\forall\,x\in\R,\quad h(x)=\text{e}^{-x}\quad\Longrightarrow\quad h'(x)=-\text{e}^{-x}

Or  \overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\R,\quad \text{e}^{-x}>0\quad\Longrightarrow\quad -\text{e}^{-x}<0 } 

Donc  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall\,x\in\R,\quad f'(x)<0}\,. } 

Nous en déduisons que la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { h }  est strictement décroissante sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R. } 

Par conséquent la courbe représentée en trait plein représente la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { C }
et par suite, la courbe représentée en traits pointillés représente la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { C_k. }

2.  Déterminons la valeur de  \overset{ { \white{ _. } } } { k }  sur une lecture graphique.

L'ordonnée du point d'intersection de la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { C }  avec l'axe des ordonnées est donnée par  \overset{ { \white{ . } } } { h(0)=\text e^0=1. } 
Par une lecture graphique, nous pouvons estimer que l'ordonnée du point d'intersection de la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { C_k }  avec l'axe des ordonnées est égale à 2, soit  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f_k(0)=2}\,. } 
Or \overset{ { \white{ . } } } { f_k(0)=(0+k)\,\text e^0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f_k(0)=k} } 

Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{k=2} } 

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exercice 2

Partie I

Pour tout entier  \overset{ { \white{ . } } } { n }  supérieur ou égal à 1, on désigne par  \overset{ { \white{ . } } } { f_n }  la fonction définie sur [0 ; 1] par :  \overset{ { \white{ . } } } { f_n(x)=x^n\,\text e^x\,. } 

On note  \overset{ { \white{ . } } } { C_n }  la courbe représentative de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f_n }  dans un repère  \overset{ { \white{ . } } } {(O;\vec i,\vec j)  }  du plan.
On désigne par  \overset{ { \white{ . } } } {(I_n)  }  la suite définie pour tout entier  \overset{ { \white{ . } } } { n }  supérieur ou égal à 1 par :

I_n=\displaystyle\int_0^1x^n\,\text e^x\,\text dx.


1. a)  On désigne par  \overset{ { \white{ . } } } { F_1 }  la fonction définie sur [0 ; 1] par :  \overset{ { \white{ . } } } { F_1(x)=(x-1)\,\text e^x. } 
{ \white{ xxxi } }Vérifions que  \overset{ { \white{ . } } } { F_1 }  est une primitive de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f_1 .} 

La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { F_1 }  est dérivable sur [0 ; 1].

Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x\in[0\;;\;1], } 

{ \white{ xxi } }F'_1(x)=[(x-1)\,\text e^x]' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F'_1(x)}=(x-1)'\times\text e^x+(x-1)\times(\text e^x)'} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F'_1(x)}=1\times\text e^x+(x-1)\times\text e^x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F'_1(x)}=[1+(x-1)]\times\text e^x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{F'_1(x)}=x\,\text e^x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{F'_1(x)}=f_1(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[0\;;\;1], F'_1(x)=f_1(x)}

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { F_1 }  est une primitive de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f_1 }  sur [0 ; 1].

1. b)  Calculons  \overset{ { \white{ . } } } {I_1=\displaystyle\int_0^1x\,\text e^x\,\text dx.  } 

{ \white{ xxi } }I_1=\displaystyle\int_0^1x\,\text e^x\,\text dx \\\phantom{I_1}=\displaystyle\int_0^1f_1(x)\,\text dx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{I_1}=\left[\overset{}{F_1(x)}\right]_0^{1}\quad(\text{voir question 1. a)}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{I_1}=\left[\overset{}{(x-1)\,\text e^x}\right]_0^{1}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{I_1}=0-(-1)\text e^0)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I_1}=1}

D'où  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{I_1=1}\,. } 

2.  Montrons que pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { n }  supérieur ou égal à 1,  \overset{ { \white{ . } } } { I_{n+1}=\text e-(n+1)\,I_n. } 

Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } { I_{n+1}=\displaystyle\int_0^1x^{n+1}\,\text e^x\,\text dx. } 

\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^{1}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^{1}- \displaystyle\int_0^{1}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}.  \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x^{n+1}\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=(n+1)\,x^n \\\\v'(x)=\text e^{x}\phantom{pp}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=\text e^{x}\phantom{WWWp}\end{matrix}\right.

\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{1} x^{n+1}\,\text e^{x}\,\text{d}x=\left[\overset{}{x^{n+1}\,\text e^{x}}\right]_0^{1}-\displaystyle\int_0^{1}(n+1)x^n\times\text{e}^{x}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\left(\overset{}{1^{n+1}\,\text e^{1}-0}\right)-(n+1)\displaystyle\int_0^{1}x^n\text{e}^{x}\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\text e-(n+1)\,I_n}

\\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_{n+1}=\text e-(n+1)\,I_n.}

3.  Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { I_2 } 

En utilisant la question 2 en remplaçant  \overset{ { \white{ . } } } { n }  par 1, nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}I_{2}=\text e-2\,I_1\\I_1=1\phantom{WW}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I_{2}=\text e-2}

4.  Dans l'algorithme proposé, l'instruction  \overset{ { \white{ . } } } { \text a=\text e-(\text {i}+1) \star \text a } est une transcription de la relation  \overset{ { \white{ . } } } {  I_{n+1}=\text e-(n+1)\,I_n } 

La valeur initiale de a est  \overset{ { \white{ _. } } } { \text{a = 1} }  tout comme la valeur initiale de  \overset{ { \white{ . } } } { I_n }  qui est donnée par  \overset{ { \white{ . } } } { I_1=1. } 

L'appel  \overset{ { \white{ . } } } { \text{mystere (5)} }  va donc afficher la liste  \overset{ { \white{ . } } } { [\,I_1\;;\;I_2\;;\;I_3\;;\;I_4\;;\;I_5\,] } ,
soit la liste  \overset{ { \white{ . } } } { [\,1\;;\;\text e-2\;;\;-2\text e+6\;;\;9\text e-24\;;\;-44\text e+120\,] } 


Partie II

1.  Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x\in[0\;;\;1],\;f_n(x)=x^n\,\text e^x\ge0. } 

Graphiquement,  \overset{ { \white{ . } } } { I_n }  représente l'aire de la portion du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { C_n} , les droites d'équations  \overset{ { \white{ . } } } { x=0}  et  \overset{ { \white{ . } } } { x=1.} 

2.  Nous pouvons conjecturer que  \overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0. }  et par conséquent, que la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (I_n)  }  tend vers 0.

2.  Nous devons montrer que pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { n }  supérieur ou égal à 1,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{0\le I_n\le \text e\displaystyle\int_0^1x^n\,\text dx}\,. }   

Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } {x\in[0\;;\;1]  }  et pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { n }  supérieur ou égal à 1,

{ \white{ xxi } }0\le x\le1\quad\Longrightarrow\quad \text e^0\le \text e^x\le \text e^1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le x\le1}\quad\Longrightarrow\quad 1\le \text e^x\le \text e} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le x\le1}\quad\Longrightarrow\quad 0\le \text e^x\le \text e} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{0\le x\le1}\quad\Longrightarrow\quad 0\le x^n\times\text e^x\le x^n\times\text e} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{0\le x\le1}\quad\Longrightarrow\quad 0\le \displaystyle\int_0^1x^n\,\text e^x\,\text dx\le \displaystyle\int_0^1x^n\,\text e\,\text dx} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{0\le x\le1}\quad\Longrightarrow\quad 0\le \displaystyle\int_0^1x^n\,\text e^x\,\text dx\le \text e\displaystyle\int_0^1x^n\,\text dx}

Par conséquent, pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { n }  supérieur ou égal à 1,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{0\le I_n\le \text e\displaystyle\int_0^1x^n\,\text dx}\,. }   

3.  Nous devons en déduire  \overset{ { \white{ P. } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}I_n. } 

Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { n }  supérieur ou égal à 1,  

{ \white{ xxi } }0\le I_n\le \text e\displaystyle\int_0^1x^n\,\text dx\quad\Longrightarrow\quad 0\le I_n\le \text e\times\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{0\le I_n\le \text e\displaystyle\int_0^1x^n\,\text dx}\quad\Longrightarrow\quad 0\le I_n\le \text e\times\left(\dfrac{1}{n+1}-0\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{0\le I_n\le \text e\displaystyle\int_0^1x^n\,\text dx}\quad\Longrightarrow\quad 0\le I_n\le\dfrac{ \text e}{n+1}}

Or   \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{ \text e}{n+1}\right)=0. } 

En utilisant le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous obtenons :

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}0\le I_n\le\dfrac{ \text e}{n+1}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{ \text e}{n+1}\right)=0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0}



exercice 3

Partie I

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Un candidat pris au hasard a une probabilité 0,8 de répondre correctement à la question Q1.
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité 0,6 de répondre correctement à Q2 ; s'il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité 0,1 de répondre correctement à Q2.

On prend un candidat au hasard et on note :
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}A l'événement : ''le candidat répond correctement à la question Q1'' ;
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}B l'événement : ''le candidat répond correctement à la question Q2''.

1.  Arbre pondéré complété.

{ \white{ xxi } }
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2.  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ . } } } { P(A\cap B). }

 { \white{ xxi } }P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(A\cap B)}=0,8\times0,6} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(A\cap B)}=0,48} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{P(A\cap B)=0,48}

D'où, la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2 est égale à 0,48.

3.  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ . } } } { P(B). }

Les événements  \overset{{\white{_.}}}{A}  et  \overline{A}  forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

{ \white{ xxi } }P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(B)}=0,48+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,48+0,2\times0,1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,5} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(B)=0,5}

D'où, la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2 est égale à 0,5.

On note :

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}X_1  la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1 ;
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}X_2  la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2 ;
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\overset{ { \white{ _. } } } {X}  la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l'exercice,
 { \white{ xxi } }c'est-à-dire  \overset{ { \white{ _. } } } {X=X_1+X_2.}

4.   \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons l'espérance de   \overset{ { \white{ _. } } } { X_1. }  

Déterminons la loi de probabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } { X_1. }  
 \overset{ { \white{ _. } } } { X_1}  peut prendre la valeur 0 ou 1.  
D'où, la loi de probabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } { X_1 }  est :

{ \white{ xxi } }P(X_1=0)=P(\overline{A})\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(X_1=0)=0,2} \\\overset{ { \white{ . } } } {P(X_1=1)=P(A)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(X_1=1)=0,8}}

L'espérance de   \overset{ { \white{ _. } } } { X_1  }  se calcule par :  \overset{ { \white{ . } } } { E(X_1)=0\times0,2+1\times0,8. } 
Par conséquent, l'espérance de   \overset{ { \white{ _. } } } { X_1 }  est  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ E(X_1)=0,8}\,. } 

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons l'espérance de   \overset{ { \white{ _. } } } { X_2. } 

Déterminons la loi de probabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } { X_2. }  
 \overset{ { \white{ _. } } } { X_2}  peut prendre la valeur 0 ou 1.  
D'où, la loi de probabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } { X_2 }  est :

{ \white{ xxi } }P(X_2=0)=P(\overline{B})\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(X_2=0)=0,5} \\\overset{ { \white{ . } } } {P(X_2=1)=P(B)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(X_2=1)=0,5}}

L'espérance de   \overset{ { \white{ _. } } } { X_2  }  se calcule par :  \overset{ { \white{ . } } } { E(X_2)=0\times0,5+1\times0,5. } 
Par conséquent, l'espérance de   \overset{ { \white{ _. } } } { X_2 }  est  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ E(X_2)=0,5}\,. } 

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Nous en déduisons l'espérance de   \overset{ { \white{ _. } } } { X. } 

 \overset{ { \white{ . } } } {E(X)=E(X_1)+E(X_2)=0,8+0,5\quad\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=1,3}\,.  } 

Cela signifie que la note d'un élève à l'exercice 1 sera, en moyenne, égale à 1,3.

5.  Nous souhaitons déterminer la variance de  \overset{ { \white{ _. } } } { X.} 

5. a)  Déterminons  \overset{ { \white{ . } } } { P(X=0) .}

{ \white{ xxi } }P(X=0)=P(\overline{A}\cap\overline{B}) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(X=0)}=P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(\overline{B})} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(A\cap B)}=0,2\times0,9} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(A\cap B)}=0,18} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{P(X=0)=0,18}

5. a)  Déterminons  \overset{ { \white{ . } } } { P(X=2) .}

 \overset{ { \white{ . } } } { P(X=2)=P(A\cap B)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(X=2)=0,48} } 

Puisque  \overset{ { \white{ _. } } } { X}  ne peut prendre que les valeur 0, 1 et 2, nous en déduisons que :
 
{ \white{ xxi } }P(X=1)=1-\Big(P(X=0)+P(X=2)\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(X=1)}=1-(0,18+0,48)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(X=1)}=0,34} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=1)=0,34}

La loi de probabilité de  \overset{ { \white{ . } } } { X }  peut être résumée par le tableau suivant :

{ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&x_i&&0&&&1&&&2& &&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&\\P(X=x_i)&&0,18&&&0,34&&&0,48&\\&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

5. b)  Montrons que la variance de  \overset{ { \white{ _. } } } { X}  vaut 0,57.

La variance de  \overset{ { \white{ _. } } } { X}  se calcule par :  \overset{ { \white{ . } } } { V(X)=E(X^2)-\Big(E(X)\Big)^2 .} 
Or  \overset{ { \white{ . } } } { E(X^2)=0^2\times0,18+1^2\times0,34+2^2\times0,48\quad\Longrightarrow\quad \boxed{E(X^2)=2,26} } 
D'où  \overset{ { \white{ . } } } { V(X)=2,26-1,3^2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{V(X)=0,57}\,. } 

5. c)  A-t-on  \overset{ { \white{ . } } } {V(X)=V(X_1)+V(X_2)\; ?  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{V(X)=0,57} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}V(X_1)=E(X_1^2)-\Big(E(X_1)\Big)^2 \\\phantom{WWWw}=(0^2\times0,2+1^2\times0,8)-0,8^2 \\\phantom{WWWw}=0,16 \\\\\Longrightarrow\boxed{V(X_1)=0,16}
\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}V(X_2)=E(X_2^2)-\Big(E(X_2)\Big)^2 \\\phantom{WWWw}=(0^2\times0,5+1^2\times0,5)-0,5^2 \\\phantom{WWWw}=0,25 \\\\\Longrightarrow\boxed{V(X_2)=0,25}

Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ . } } } {V(X)\neq V(X_1)+V(X_2).  }

Ce résultat n'est pas surprenant car les variables aléatoires  \overset{ { \white{ _. } } } { X_1}  et  \overset{ { \white{ _. } } } { X_2}  ne sont pas indépendantes et l'égalité ne se produit que lorsque les variables aléatoires sont indépendantes.

Partie II

1.  Lors de cette expérience, on répète 8 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : '' le candidat répond correctement'' dont la probabilité est  \overset{ { \white{ . } } } { p=\frac34. } 
Echec : '' le candidat ne répond pas correctement'' dont la probabilité est  \overset{ { \white{ . } } } { q=1-p=1-\frac34=\frac14. } 
La variable aléatoire  \overset{ { \white{ _. } } } { Y }  compte le nombre de bonnes réponses, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire  \overset{ { \white{ _. } } } { Y }  suit une loi binomiale  \overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }(8\,;\,\frac34) } .
Cette loi est donnée par :

\boxed{ P(Y=k)=\begin{pmatrix}8\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac34\right)^k\times\left(\dfrac14\right)^{ 8-k } }


2.  Nous devons donner la valeur exacte de  \overset{ { \white{ . } } } { P(Y=8) } 

{ \white{ xx } }P(Y=8)=\begin{pmatrix}8\\8\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{3}{4}\right)^{ 8 }\times\left(\dfrac{1}{4}\right)^{ 0 } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ P(Y=8) }=1\times\left(\dfrac{3}{4}\right)^{ 8 }\times1 } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ P(Y=8) }=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{ 8 } }  \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ P(Y=8)=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{ 8 } }

3.  Nous devons donner l'espérance et la variance de  \overset{ { \white{ . } } } { Y. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons l'espérance de  \overset{ { \white{ . } } } { Y. } 

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } } { E(Y)=np=8\times\dfrac34\quad\Longrightarrow\quad\boxed{E(Y)=6}\,. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons la variance de  \overset{ { \white{ . } } } { Y. } 

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } } { V(Y)=npq=8\times\dfrac34\times\dfrac14\quad\Longrightarrow\quad\boxed{V(Y)=\dfrac32}\,. } 

Partie III

On suppose que les deux variables aléatoires  \overset{ { \white{ . } } } { X }  et  \overset{ { \white{ . } } } { Y }  sont indépendantes.
On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l'examen :  \overset{ { \white{ . } } } { Z=X+Y. } 

1.  Nous devons calculer l'espérance et la variance de  \overset{ { \white{ . } } } { Z. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons l'espérance de  \overset{ { \white{ . } } } { Z. } 

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } } { Z=X+Y\quad\Longrightarrow\quad E(Z)=E(X)+E(Y)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{Z=X+Y}\quad\Longrightarrow\quad E(Z)=1,3+6} 

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } {  \boxed{ E(Z)=7,3}\,. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons la variance de  \overset{ { \white{ . } } } { Y. } 

Les deux variables aléatoires  \overset{ { \white{ . } } } { X }  et  \overset{ { \white{ . } } } { Y }  sont indépendantes.
Dès lors,

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } } { Z=X+Y\quad\Longrightarrow\quad V(Z)=V(X)+V(Y)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{Z=X+Y}\quad\Longrightarrow\quad V(Z)=0,57+1,5}

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } {  \boxed{ V(Z)=2,07}\,. } 

2. a)  Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { i }  entier variant de 1 à  \overset{ { \white{ . } } } { n,\;Z_i }  a la même loi de probabilité que  \overset{ { \white{ . } } } { Z. } 
On en déduit que  \overset{ { \white{ . } } } { E(Z_i)=E(Z)=7,3. } 

Dès lors,

{ \white{ xxi } }M_n=\dfrac{Z_1+Z_2+\cdots+Z_n}{n}\quad\Longrightarrow\quad E(M_n)=\dfrac{1}{n}\times E(Z_1+Z_2+\cdots+Z_n) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{M_n=\dfrac{Z_1+Z_2+\cdots+Z_n}{n}}\quad\Longrightarrow\quad E(M_n)=\dfrac{1}{n}\times  \Big(E(Z_1)+E(Z_2)+\cdots+E(Z_n)\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{M_n=\dfrac{Z_1+Z_2+\cdots+Z_n}{n}}\quad\Longrightarrow\quad E(M_n)=\dfrac{1}{n}\times  (n\times 7,3)}

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } {  \boxed{E(M_n)=7,3}\,. } 

2. b)  Nous devons déterminer les valeurs de  \overset{ { \white{ . } } } { n }  telles que l'écart type de  \overset{ { \white{ _. } } } { M_n }  soit inférieur ou égal à 0,5.

L'écart type de  \overset{ { \white{ . } } } { M_n }  est donné par  \overset{ { \white{ . } } } { \sigma(M_n)=\sqrt{V(M_n)}\,. }

  Les variables aléatoires  \overset{ { \white{ . } } } { Z_1,Z_2,\cdots,Z_n }  sont indépendantes.

Dès lors, pour tout entier  \overset{ { \white{ . } } } { i }  tel que  \overset{ { \white{ . } } } {1\le i\le n  } ,

{ \white{ xxi } } V(M_n)=n\times V\left(\dfrac{Z_i}{n}\right)\quad\Longrightarrow\quad V(M_n)=n\times\left(\dfrac{1}{n^2}V(Z_i)\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{V(M_n)=n\times V\left(\dfrac{Z_i}{n}\right)}\quad\Longrightarrow\quad  V(M_n)=\dfrac{1}{n}V(Z_i)} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{V(M_n)=n\times V\left(\dfrac{Z_i}{n}\right)}\quad\Longrightarrow\quad  V(M_n)=\dfrac{1}{n}V(Z)}  \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{V(M_n)=n\times V\left(\dfrac{Z_i}{n}\right)}\quad\Longrightarrow\quad V(M_n)=\dfrac{2,07}{n}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{V(M_n)=n\times V\left(\dfrac{Z_i}{n}\right)}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\sigma(M_n)=\sqrt{\dfrac{2,07}{n}}}} 

Nous cherchons les valeurs de  \overset{ { \white{ . } } } { n }  telles que  \overset{ { \white{ . } } } { \sigma(M_n)\le 0,5. } 

{ \white{ xxi } } \sigma(M_n)\le 0,5\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{\dfrac{2,07}{n}}\le0,5 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\sigma(M_n)\le 0,5}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{2,07}{n}\le0,25} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\sigma(M_n)\le 0,5}\quad\Longleftrightarrow\quad 2,07\le0,25\,n} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\sigma(M_n)\le 0,5}\quad\Longleftrightarrow\quad n\ge\dfrac{2,07}{0,25}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\sigma(M_n)\le 0,5}\quad\Longleftrightarrow\quad n\ge8,28}

Or  \overset{ { \white{ . } } } { n }  est un nombre entier.
Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \sigma(M_n)\le 0,5 }  pour  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{n\ge 9}\,.  } 

2. c)  Pour les valeurs trouvées en b), nous devons montrer que l'on a :  \overset{ { \white{ . } } } {P(6,3\le M_n\le 8,3)\ge0,75.  } 

Rappelons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

Soit  \overset{ { \white{ . } } } { X }  une variable aléatoire d'espérance  \overset{ { \white{ . } } } { E(X) }  et de variance  \overset{ { \white{ . } } } { V(X). } 
Pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { t }  strictement positif :  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P\Big(|X-E(X)|\ge t\Big)\le \dfrac{V(X)}{t^2}} } 


Écrivons  \overset{ { \white{ . } } } {P(6,3\le M_n\le 8,3)}  sous une autre forme.

P(6,3\le M_n\le 8,3)=P(6,3-7,3\le M_n-7,3\le 8,3-7,3) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(6,3\le M_n\le 8,3)}=P(-1\le M_n-7,3\le 1)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(6,3\le M_n\le 8,3)}=P(|\,M_n-7,3\,|\le 1)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(6,3\le M_n\le 8,3)}=P(|\,M_n-E(M_n)\,|\le 1)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(6,3\le M_n\le 8,3)}=1-P(|\,M_n-E(M_n)\,|> 1)}
Suivant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, nous obtenons :  

\overset{ { \white{ . } } } { P(|\,M_n-E(M_n)\,|> 1)\le\dfrac{V(M_n)}{1^2} } 
,
soit  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(|\,M_n-E(M_n)\,|> 1)\le V(M_n)}. } 

Les valeurs trouvées en b) nous indiquent que :  \overset{ { \white{ . } } } {n\ge9.  } 

Dès lors, \left\lbrace\begin{matrix}V(M_n)=\dfrac{2,07}{n}\\n\ge 9\phantom{WWWW}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad V(M_n)\le\dfrac{2,07}{9}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{V(M_n)\le 0,23}\,.

Nous en déduisons alors que :

 \left\lbrace\begin{matrix}P(|\,M_n-E(M_n)\,|> 1)\le V(M_n)\\\overset{ { \white{ . } } } {V(M_n)\le0,23}\phantom{WWWWWWW}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad P(|\,M_n-E(M_n)\,|> 1)\le0,23 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad -P(|\,M_n-E(M_n)\,|> 1)\ge-0,23 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1-P(|\,M_n-E(M_n)\,|> 1)\ge0,77} 

Or nous avons montré que  \overset{ { \white{ . } } } {  P(6,3\le M_n\le 8,3)= 1-P(|\,M_n-E(M_n)\,|> 1) } 

Il s'ensuit que  \overset{ { \white{ . } } } { P(6,3\le M_n\le 8,3)\ge 0,77 } 

Puisque 0,77 est supérieur à 0,75, nous obtenons :  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{P(6,3\le M_n\le 8,3)\ge0,75}\,.  } 



exercice 4

On considère le prisme droit  \overset{ { \white{ _. } } } { ABFEDCGH }  tel que  \overset{ { \white{ . } } } { AB=AD. } 
Sa base  \overset{ { \white{ _. } } } { ABFE }  est un trapèze rectangle en  \overset{ { \white{ . } } } { A, }  vérifiant  \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{BF}=\frac12\overrightarrow{AE}. } 
On note  \overset{ { \white{ . } } } { I }  le milieu du segment  \overset{ { \white{ . } } } { [EF]. } 
On note  \overset{ { \white{ . } } } { J }  le milieu du segment  \overset{ { \white{ . } } } { [AE]. } 

On associe à ce prisme le repère orthonormé  (A;\;\vec i\;,\;\vec j\;,\;\vec k)  tel que :
 \overset{ { \white{ . } } } { \vec i=\overrightarrow{AB}\;;\;\vec j=\overrightarrow{AD}\;;\;\vec k=\overrightarrow{AJ}. } 

Bac général spécialité maths 2024 sujets 0 : image 26


1.  Un vecteur normal au plan  { ABG }  est  \overset{ { \white{ . } } } { {\red{\vec n\begin{pmatrix}\phantom{x}0\\-1\\\phantom{x}1\end{pmatrix}}}\,. }  - Réponse c.

En effet,  \overset{ { \white{ . } } } { \vec n }  est un vecteur normal au plan  \overset{ { \white{ . } } } { ABG }  si et seulement si  \overset{ { \white{ _. } } } { \vec n }  est orthogonal aux deux vecteurs  { \overrightarrow{AB} }  et  { \overrightarrow{AG.} } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Montrons que  \overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}\phantom{x}0\\-1\\\phantom{x}1\end{pmatrix} }  est orthogonal au vecteur  \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}. } 
Nous avons :  \vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0\times1-1\times0+1\times0\quad\Longrightarrow\quad\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0.

D'où  \boxed{\vec n\perp \overrightarrow{AB}}\,.
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Montrons que  \overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}\phantom{x}0\\-1\\\phantom{x}1\end{pmatrix} }  est orthogonal au vecteur  \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}. } 
Nous avons :  \vec n\cdot\overrightarrow{AG}=0\times1-1\times1+1\times1\quad\Longrightarrow\quad\vec n\cdot\overrightarrow{AG}=0.

D'où  \boxed{\vec n\perp \overrightarrow{AG}}\,.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Nous venons de montrer que   \overset{ { \white{ _. } } } { \vec n }  est orthogonal aux deux vecteurs  { \overrightarrow{AB} }  et  { \overrightarrow{AG.} } 
Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}\phantom{x}0\\-1\\\phantom{x}1\end{pmatrix} }  est un vecteur normal au plan  \overset{ { \white{ . } } } { ABG. } 

2.  La droite  \overset{ { \white{ . } } } { {\red{(DG)}} }  est parallèle à la droite  \overset{ { \white{ . } } } {(IJ). }  - Réponse a.

En effet, utilisons le théorème de la droite des milieux.
La droite  \overset{ { \white{ . } } } { (IJ) }  passe par les milieux des côtés  \overset{ { \white{ . } } } { [EF] }  et  \overset{ { \white{ . } } } { [EA]. } .
Selon le théorème de la droite des milieux, la droite  \overset{ { \white{ . } } } {(IJ)  }  est parallèle à la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (AF). } 

De plus, nous avons  \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AF}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} }  et  \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{DG}\begin{pmatrix}x_G-x_D\\y_G-y_D\\z_G-z_D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-0\\1-1\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}. } 
Il s'ensuit que   { \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{DG} } .
Dès lors, les droites  \overset{ { \white{ . } } } { (AF) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (DG) }  sont parallèles.

En résumé, la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (IJ) }  est parallèle à la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (AF) }  qui est parallèle à la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (DG). } 
Par conséquent, la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (IJ)}} }  est parallèle à la droite  \overset{ { \white{ . } } } {(DG). } 

3.  Le triplet \overset{ { \white{ . } } } {{\red{(\overrightarrow{DA}\;;\overrightarrow{DC}\;;\;\overrightarrow{DG})}}  }  forme une base de l'espace. - Réponse c.

En effet, une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires.

La proposition a. est fausse car elle ne comprend que deux vecteurs.
La proposition b. est fausse car les points  \overset{ { \white{ . } } } { A,\,B,\,C,\,D }  appartiennent au même plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }  et par suite, les vecteurs   { \overrightarrow{AB}\;,\overrightarrow{AC}\;,\;\overrightarrow{AD} }  sont coplanaires.
La proposition d. est fausse car les points  \overset{ { \white{ . } } } { A,\,C,\,G,\,E }  appartiennent au même plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ACG) }  et par suite, les vecteurs   { \overrightarrow{CA}\;,\overrightarrow{CG}\;,\;\overrightarrow{CE} }  sont coplanaires.
Par conséquent, la proposition c. est correcte.

4.  Une décomposition du vecteur  \overrightarrow{AG}  comme somme de plusieurs vecteurs deux à deux orthogonaux est :  { {\red{\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AJ}}}. }  - Réponse b.

Par définition, les vecteurs  \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AB}\;,\;\overrightarrow{AD}\;,\;\overrightarrow{AJ} }  sont deux à deux orthogonaux (voir énoncé).

De plus,

{ \white{ xxi } }\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AJ}}=\overrightarrow{AG}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AJ}}

5.  Le volume  \overset{ { \white{ . } } } { V }  du prisme droit  \overset{ { \white{ _. } } } { ABFEDCGH }  est égal à  \overset{ { \white{ . } } } {{\red{\dfrac32.}} }  - Réponse c.

{ \white{ xxi } }V=\text{Aire de la base }ABFE\times\text{hauteur du prisme }AD \\\overset{ { \white{ t. } } } {\phantom{V}=\text{Aire du trapèze rectangle  }ABFE\times\text{hauteur du prisme }AD} \\\overset{ { \white{t . } } } {\phantom{V}=\dfrac{(AE+BF)\times AB}{2}\times AD} \\\overset{ { \white{t . } } } {\phantom{V}=\dfrac{(2+1)\times1}{2}\times 1} \\\overset{ { \phantom{ t. } } } {\phantom{V}=\dfrac{3}{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{V=\dfrac{3}{2}}

Par conséquent, la proposition c. est correcte.



exercice 5

1.  Sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;2\pi], }  l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { \sin(x)=0,1 }  admet deux solutions. - Réponse c.

En effet, une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires.

Traçons la courbe représentative de la fonction sinus sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;2\pi]. } 
Bac général spécialité maths 2024 sujets 0 : image 23
Cette courbe possède deux points d'intersection avec la droite d'équation  \overset{ { \white{ . } } } { y=0,1. } 
Les abscisses de ces deux points d'intersection sont les solutions de l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { \sin(x)=0,1 }  sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;2\pi]. } 

Par conséquent, la proposition c. est correcte.

2.  On considère la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  définie sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;\pi] }  par  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x+\sin(x). } 
On admet que  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est deux fois dérivable.
La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { {\red{f}} }  est concave sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { {\red{[0\;;\;\pi]}}. }  - Réponse b.

Montrons que la dérivée seconde de  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est négative sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;\pi]. } 

Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x }  dans l'intervalle \overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;\pi], } 

{ \white{ xxi } }f(x)=x+\sin(x)\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=1+\cos(x) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)=x+\sin(x)}\quad\Longrightarrow\quad f''(x)=-\sin(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,[0\;;\;\pi],\;f''(x)\le 0}

Nous en déduisons que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est concave sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;\pi]. } 

Par conséquent, la proposition b. est correcte.

3.  Une urne contient cinquante boules numérotées de 1 à 50.
On tire successivement trois boules dans cette urne, sans remise.
Le nombre de tirages possibles, sans tenir compte de l'ordre des numéros est donné par  \overset{ { \white{ . } } } { {\red{\dfrac{50\times49\times48}{1\times2\times3}}}. }  - Réponse d.

En effet, ce nombre de tirages est égal au nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 50, soit  \overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}50\\3\end{pmatrix}=\dfrac{50\times49\times48}{1\times2\times3}. } 

4.  On effectue dix lancers d'une pièce de monnaie.
Le résultat d'un lancer est ''pile'' ou ''face''.
Le nombre de listes ordonnées des dix résultats est donné par  {\red{2^{10}}}. - Réponse b.

En effet, lors du premier lancer, il y a 2 résultats possibles.
Lors du deuxième lancer, le nombre précédent de résultats est multiplié par 2, soit  { 2\times2=2^2. } 
Lors du troisième lancer, le nombre précédent de résultats est multiplié par 2, soit  { 2\times2^2=2^3. } 

Bac général spécialité maths 2024 sujets 0 : image 29


Et ainsi de suite jusqu'au dixième lancer où nous obtenons   { 2^{10} }  résultats possibles.

Par conséquent, si nous effectuons 10 lancers, il y a   { 2^{10} }  résultats possibles.

5.  On effectue  \overset{ { \white{ . } } } { n }  lancers d'une pièce de monnaie.
Le résultat d'un lancer est ''pile'' ou ''face''.
La probabilité d'obtenir au plus deux fois ''pile'' dans la liste ordonnée des  \overset{ { \white{ . } } } { n } résultats est égale à  \overset{ { \white{ . } } } { {\red{\left(1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}\right)\times\left(\dfrac12\right)^n }}}  - Réponse d.

En effet, lors de cette expérience, on répète  \overset{ { \white{ . } } } { n }  fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : ''on obtient pile '' dont la probabilité est  \overset{ { \white{ . } } } { p=\dfrac12. } 
Echec : ''on obtient face '' dont la probabilité est  \overset{ { \white{ . } } } {q=1-p=1-\dfrac12=\dfrac12. } 
La variable aléatoire X  compte le nombre de fois que ''pile'' est apparu, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X  suit une loi binomiale  \overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }(n\,;\,\frac12) } .
Cette loi est donnée par :

\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac12\right)^k\times\left(\dfrac12\right)^{ n-k } } , soit  \boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac12\right)^{ n } } 

Nous devons déterminer  \overset{ { \white{ . } } } { P(X\le 2), }  soit  \overset{ { \white{ . } } } { P(X=0)+P(X=1)+P(X=2). } 

Nous obtenons :

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}P(X=0)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times\left(\dfrac12\right)^{ n } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWW}=1\times\left(\dfrac12\right)^{ n }} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWW}=\left(\dfrac12\right)^{ n }}

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}P(X=1)=\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}\times\left(\dfrac12\right)^{ n } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWW}=n\times\left(\dfrac12\right)^{ n }}

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}P(X=2)=\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}\times\left(\dfrac12\right)^{ n } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWW}=\dfrac{n(n-1)}{2}\times\left(\dfrac12\right)^{ n }}

Dès lors,  \overset{ { \white{ . } } } { P(X\le 2)=\left(\dfrac12\right)^{ n }+n\times\left(\dfrac12\right)^{ n }+\dfrac{n(n-1)}{2}\times\left(\dfrac12\right)^{ n } } 

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(X\le 2)=\left(1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}\right)\times\left(\dfrac12\right)^{ n }} } 



exercice 6

On considère la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  définie par :  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+2u_n}\quad\forall n\in\N\\\overset{ { \white{ . } } } {u_0=1\phantom{WWWxWWWW}}\end{matrix}\right. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Affirmation 1 : '' u_4=\dfrac19 '' - Affirmation vraie.

En effet,

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{u_0=1} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_{1}=\dfrac{u_0}{1+2u_0}=\dfrac{1}{1+2\times1}=\dfrac{1}{1+2}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_1=\dfrac13} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}u_{2}=\dfrac{u_1}{1+2u_1}=\dfrac{\frac13}{1+2\times\frac13}=\dfrac{\frac13}{\frac53}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_2=\dfrac15} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}u_{3}=\dfrac{u_2}{1+2u_2}=\dfrac{\frac15}{1+2\times\frac15}=\dfrac{\frac15}{\frac75}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_3=\dfrac17} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}u_{4}=\dfrac{u_3}{1+2u_3}=\dfrac{\frac17}{1+2\times\frac17}=\dfrac{\frac17}{\frac97}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_4=\dfrac19}

Par conséquent, l'affirmation 1 est vraie.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Affirmation 2 : ''Pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } {n,\;u_n=\dfrac{1}{2n+1}} '' - Affirmation vraie.

Démontrons cette propriété par récurrence. 

Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que   \overset{{\white{.}}}{u_0=\dfrac{1}{2\times0+1}.}
C'est une évidence car  \overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{2\times0+1}=1\\\overset{ { \phantom{ . } } } {u_0=1}\phantom{WW}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad u_0=\dfrac{1}{2\times0+1}.}
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,   \overset{{\white{.}}}{u_n=\dfrac{1}{2n+1}}  , alors   \overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=\dfrac{1}{2(n+1)+1} .}
En effet,  

{ \white{ xxi } }u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+2u_n}=\dfrac{\frac{1}{2n+1}}{1+2\times\frac{1}{2n+1}}=\dfrac{\frac{1}{2n+1}}{1+\frac{2}{2n+1}}=\dfrac{\frac{1}{2n+1}}{\frac{(2n+1)+2}{2n+1}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{u_{n+1}}= \dfrac{\frac{1}{2n+1}}{\frac{2n+3}{2n+1}} }= \dfrac{1}{2n+3 }= \dfrac{1}{2n+2+1 }= \dfrac{1}{2(n+1)+1 }

\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=\dfrac{1}{2(n+1)+1}}

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } {n,\;u_n=\dfrac{1}{2n+1}.}

Par conséquent, l'affirmation 2 est vraie.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Affirmation 3 : ''La suite numérique  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  est minorée par   { 10^{-10}. } '' - Affirmation fausse.

En effet, nous savons que :  \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2n+1}=0. } 

Il est donc impossible que la suite numérique  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  soit minorée par  { 10^{-10} }  car   { 10^{-10}>0. } 



exercice 7

On considère les fonctions  \overset{ { \white{ . } } } {f_k  }  définies sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R }  par  \overset{ { \white{ . } } } {f_k(x)=x+k\,\text e^{-x},  }  où  \overset{ { \white{ . } } } { k }  est un réel strictement positif.

1.  Intéressons-nous à la fonction  \overset{ { \white{ . } } } {f_{0,5}  }  définies sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R }  par  \overset{ { \white{ . } } } {f_{0,5}(x)=x+0,5\,\text e^{-x},  }  .

1. a)  Déterminons l'expression algébrique de  \overset{ { \white{ . } } } {f'_{0,5}(x).  } 

{ \white{ xxi } }\forall\,x\in\R,\;f_{0,5}'(x)=(x+0,5\,\text e^{-x})' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\forall\,x\in\R,\;f_{0,5}'(x)}=1+0,5\,(-\text e^{-x}) } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\forall\,x\in\R,\;f_{0,5}'(x)}=1-0,5\,\text e^{-x} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\;f_{0,5}'(x)=1-0,5\,\text e^{-x} }

1. b)  Montrons que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } {f_{0,5}  }  admet un minimum en  \overset{ { \white{ . } } } {\ln(0,5).  } 

Étudions le signe de  \overset{ { \white{ . } } } {f'_{0,5}(x)  }  sur  \overset{ { \white{ _. } } } {\R.  } 

\begin{matrix}1-0,5\,\text e^{-x}<0\Longleftrightarrow 0,5\,\text e^{-x}>1\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWW0 W}\Longleftrightarrow \text e^{-x}>2}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWW0 WW}\Longleftrightarrow  -x>\ln(2)}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWW0 WWi}\Longleftrightarrow  x<-\ln(2)}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWW0 Ww}\Longleftrightarrow  x<\ln(\frac12)}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWW0 Ww}\Longleftrightarrow  x<\ln(0,5)} \\\\1-0,5\,\text e^{-x}=0\Longleftrightarrow x=\ln(0,5) \\\\1-0,5\,\text e^{-x}>0\Longleftrightarrow x>\ln(0,5)\end{matrix} { \white{ xx } }  \begin{matrix}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix}   \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&&\ln(0,5)&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\1-0,5\,\text e^{-x}&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f'_{0,5}(x)&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}

Nous en déduisons que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } {f_{0,5}  }  est décroissante sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;\ln(0,5)\,] }  et est croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } { [\,\ln(0,5)\;;\;+\infty[. } 

Par conséquent, la fonction  \overset{ { \white{ . } } } {f_{0,5}  }  admet un minimum en  \overset{ { \white{ . } } } {\ln(0,5).  } 

On donne le tableau de variations de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } {f_{k}  }  où  \overset{ { \white{ . } } } {k>0.  } 

{ \white{ WWWWWWW} }{ \white{ xxi } }\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&\text{Valeurs de }x&-\infty&&&\ln(k)&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &+\infty&&&&&&+\infty\\\text{Variations de }f_k&&\searrow&&&&\nearrow&\\&&&&f_k(\ln (k))&&&\\\hline \end{array}

2.  Montrons que pour tout réel positif  \overset{ { \white{ . } } } {k,\;f_k\Big(\ln (k)\Big)=\ln (k)+1  } 

f_k\Big(\ln(k)\Big)=\ln(k)+k\,\text e^{-\ln(k)} \\\phantom{f_k\Big(\ln(k)\Big)}=\ln(k)+\dfrac{k}{\text e^{\ln(k)}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f_k\Big(\ln(k)\Big)}=\ln(k)+\dfrac{k}{k}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f_k\Big(\ln(k)\Big)}=\ln(k)+1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,k>0,\;f_k\Big(\ln(k)\Big)=\ln(k)+1}

On note  \overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}_k }  la courbe représentative de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f_k }  dans un plan muni d'un repère orthonormé.
On note  \overset{ { \white{ . } } } { A_k }  le point de la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}_k }  d'abscisse  \overset{ { \white{ . } } } { \ln(k). } 

On a représenté ci-dessous quelques courbes  \overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}_k }  pour différentes valeurs de  \overset{ { \white{ . } } } { k. } 
Bac général spécialité maths 2024 sujets 0 : image 27
3. \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Affirmation : ''Pour tout réel  \overset{ { \white{ _. } } } {k}  strictement positif, les points  \overset{ { \white{ . } } } { A_{0,5},\;A_1 }  et  \overset{ { \white{ . } } } { A_k }  sont alignés.'' - Affirmation vraie.

Nous avons montré que pour tout réel positif  \overset{ { \white{ . } } } {k,\;f_k(\ln (k))=\ln (k)+1 . } 
Dès lors, les coordonnées des points  \overset{ { \white{ . } } } { A_k }  sont  \overset{ { \white{ . } } } { \Big(\ln(k)\;;\;\ln(k)+1\Big). } 
Nous en déduisons que les points  \overset{ { \white{ . } } } { A_k }  appartiennent à la droite d'équation  \overset{ { \white{ . } } } { y=x+1. } 
Donc pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } {k}  strictement positif, les points  \overset{ { \white{ . } } } { A_{0,5},\;A_1 }  et  \overset{ { \white{ . } } } { A_k }  sont alignés.

Par conséquent, l'affirmation est vraie.



exercice 8

On considère la suite  \overset{ { \white{ . } } } {(u_n)  }  définie par  \overset{ { \white{ . } } } { u_0=0 }  et  \overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=3\,u_n+1 }  pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n. } 

1.  On considère la fonction    \overset{ { \white{ _. } } }{\text{ calcul }  }   écrite dans le langage Python qui renvoie la valeur de  \overset{ { \white{ . } } } {u_n.  } 

{ \white{ WWWWWWW} }\text{d}\text{e}\text{f  calcul(n):} \\\phantom{xxx}\text{u = 0} \\\phantom{xxx}\text{for i in range(n):} \\\phantom{xxxxxx}\text{u = 3 }*\text{ u + 1} \\\phantom{xxx}\text{return u}

On considère par ailleurs la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { \text{liste} }  écrite dans le langage Python :

{ \white{ WWWWWWW} }\text{d}\text{e}\text{f  liste(n):} \\\phantom{xxx}\text{l = }[\phantom{x}] \\\phantom{xxx}\text{for i in range(n):} \\\phantom{xxxxxx}\text{l.append( calcul(i) )} \\\phantom{xxx}\text{return l}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Affirmation 1 : ''L'appel  \overset{ { \white{ . } } } {\text{liste(6)}}  renvoie la liste  \overset{ { \white{ . } } } { [0,\;1,\;4,\;13,\;42,\;121]. } '' - Affirmation fausse.

En effet, l'appel  \overset{ { \white{ . } } } {\text{liste(6)}}  renvoie la liste  \overset{ { \white{ . } } } { \text{[calcul(0), calcul(1), calcul(2), calcul(3), calcul(4), calcul(5)] ,}}  soit la liste  \overset{ { \white{ . } } } {[u_0,\;u_1,\;u_2,\;u_3,\;u_4,\;u_5].  } 

Or  \overset{ { \white{ . } } } { \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{u_0=0} } 

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_1=3\,u_0+1 \\\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}u_1}=3\times0+1 \\\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}u_1}=1 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=1}

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_2=3\,u_1+1 \\\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}u_2}=3\times1+1 \\\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}u_2}=4 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_2=4}

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_3=3\,u_2+1 \\\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}u_3}=3\times4+1 \\\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}u_3}=13 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_3=13}

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_4=3\,u_3+1 \\\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}u_4}=3\times13+1 \\\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}u_4}=40 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_4=40\;{\red{\neq42}}}

Nous constatons que le cinquième élément de la liste doit être 40 et non 42.
Par conséquent, l'affirmation 1 est fausse.

2.   \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Affirmation 2 : ''Pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } {n,\quad u_n=\dfrac12\times3^n-\dfrac12.} '' - Affirmation vraie.

Démontrons cette propriété par récurrence. 
Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que   \overset{{\white{.}}}{u_0=\dfrac12\times3^0-\dfrac12.}
C'est une évidence car  \overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}u_0=0\phantom{WWWWWWWW}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\frac12\times3^0-\frac12=\frac12\times1-\frac12=0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_0=\dfrac12\times3^0-\dfrac12}}
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,   \overset{{\white{.}}}{u_n=\dfrac12\times3^n-\dfrac12}  , alors   \overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=\dfrac12\times3^{n+1}-\dfrac12 .}
En effet,  

{ \white{ xxi } }u_{n+1}=3\,u_n+1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{u_{n+1}}=3\left(\dfrac12\times3^n-\dfrac12\right)+1  } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{u_{n+1}}=\dfrac12\times3^{n+1}-\dfrac32+1  } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{u_{n+1}}=\dfrac12\times3^{n+1}-\dfrac12  } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_{n+1}=\dfrac12\times3^{n+1}-\dfrac12  }

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } {n,\quad u_n=\dfrac12\times3^n-\dfrac12.} 

Par conséquent, l'affirmation 2 est vraie.

3.  \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Affirmation 3 : ''Pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } {n,\: u_{n+1}-u_n}  est une puissance de 3.'' - Affirmation vraie.

En effet,

{ \white{ xxi } }\forall\,n\in\N,\,u_{n+1}-u_n=\left(\dfrac12\times3^{n+1}-\dfrac12\right)-\left(\dfrac12\times3^n-\dfrac12\right) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\forall\,n\in\N,\,u_{n+1}-u_n}=\dfrac12\times3^{n+1}-\dfrac12-\dfrac12\times3^n+\dfrac12 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\forall\,n\in\N,\,u_{n+1}-u_n}=\dfrac12\times3^{n+1}-\dfrac12\times3^n } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\forall\,n\in\N,\,u_{n+1}-u_n}=\dfrac32\times3^{n}-\dfrac12\times3^n } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\forall\,n\in\N,\,u_{n+1}-u_n}=3^{n} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\,u_{n+1}-u_n=3^n}

D'où pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } {n,\: u_{n+1}-u_n}  est une puissance de 3.

Par conséquent, l'affirmation 3 est vraie.

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