Bac général spécialité maths Amérique du Sud jour 1
Novembre 2024
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L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, type collège est autorisé.
5 points
exercice 1
PARTIE A
On considère l'équation différentielle ,
d'inconnue , fonction définie et dérivable sur l'intervalle
1. Déterminer la valeur du réel a tel que la fonction définie sur l'intervalle par
soit une solution particulière de l'équation différentielle .
2. On considère l'équation différentielle , d'inconnue , fonction définie et dérivable sur l'intervalle
Déterminer les solutions de l'équation différentielle .
3. En déduire les solutions de l'équation différentielle .
4. Déterminer la solution de l'équation différentielle telle que .
PARTIE B
On considère la fonction définie sur l'intervalle par .
On admet que la fonction est dérivable sur l'intervalle et on note sa fonction
dérivée sur l'intervalle . De plus, on admet que
1. a. Justifier que, pour tout réel positif, .
b. En déduire le tableau de variations de la fonction . On précisera la valeur exacte
du maximum de la fonction sur l'intervalle .
2. Dans cette question on s'intéresse à l'équation .
a. Justifier que l'équation admet une unique solution, notée , dans l'intervalle .
b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la
fonction solution_equation ci-contre, écrite en langage Python.
c. Quel est l'objectif de la fonction solution_equation dans le contexte de la question ?
6 points
exercice 2
On dispose de deux urnes opaques et .
L'urne contient 4 boules noires et 6 boules blanches.
L'urne contient 1 boule noire et 3 boules blanches.
On considère l'expérience aléatoire suivante :
On pioche au hasard une boule dans que l'on place dans , puis on pioche au hasard
une boule dans .
On note : l'évènement « Piocher une boule noire dans l'urne ». l'évènement « Piocher une boule noire dans l'urne ».
Pour tout évènement , on note son évènement contraire.
PARTIE A
1. On considère l'arbre de probabilités ci-dessous.
a. Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne
sachant qu'on a pioché une boule blanche dans l'urne est 0,2.
b. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-contre, en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités des évènements concernés,
sous forme décimale.
2. Calculer la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne et une boule noire
dans l'urne .
3. Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne est égale à 0,28.
4. On a pioché une boule noire dans l'urne .
Calculer la probabilité d'avoir pioché une boule blanche dans l'urne . On donnera le résultat sous forme décimale arrondie à .
PARTIE B
désigne un entier naturel non nul.
L'expérience aléatoire précédente est répétée fois de façon identique et indépendante,
c'est-à-dire que les urnes et sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne et 1 boule noire et 3 boules
blanches dans l'urne , entre chaque expérience.
On note la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire
dans l'urne .
On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne est égale à 0,28 et
celle de piocher une boule blanche dans l'urne est égale à 0,72.
1. Déterminer la loi de probabilité suivie par . Justifier votre réponse.
2. Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel tel que :
3. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'expérience.
PARTIE C
Dans cette partie les urnes et sont remises dans leur configuration initiale, avec
respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne et 1 boule noire et 3 boules
blanches dans l'urne .
On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante :
On pioche simultanément deux boules dans l'urne que l'on place dans l'urne , puis on
pioche au hasard une boule dans l'urne .
1. Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne ?
2. Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne
contenant exactement une boule blanche et une boule noire ?
3. La probabilité de piocher une boule noire dans l'urne avec cette nouvelle
expérience est-elle supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne avec
l'expérience de la partie A. Justifier votre réponse. On pourra s'aider d'un arbre pondéré modélisant cette expérience.
4 points
exercice 3
Répondre par VRAI ou FAUX à chacune des affirmations suivantes et justifier votre réponse.
Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans la notation.
Toutes les questions de cet exercice sont indépendantes.
1. On considère la suite définie pour tout entier naturel non nul par
Affirmation 1 : La suite est divergente.
2. On considère la suite définie pour tout entier naturel par
On admet que pour tout entier naturel
On considère la suite définie pour tout entier naturel par où est
un réel strictement positif.
Affirmation 2 : La suite est une suite arithmétique strictement croissante.
3. On considère la suite définie pour tout entier naturel par
On admet que pour tout entier naturel
Affirmation 3 : La suite est décroissante.
4. On considère la suite définie pour tout entier naturel par
Affirmation 4 : Pour tout entier naturel
5 points
exercice 4
L'objectif de cet exercice est de déterminer la distance entre deux droites non coplanaires.
Par définition, la distance entre deux droites non coplanaires de l'espace, et est la
longueur du segment , où et sont des points appartenant respectivement à et à tels que la droite est orthogonale
à et .
L'espace est muni d'un repère orthonormé
Soit la droite passant par de vecteur directeur et la
droite dont une représentation paramétrique est :
1. Donner une représentation paramétrique de la droite .
2. Démontrer que les droites et sont non coplanaires.
3. Soit le plan passant par et dirigé par les vecteurs non colinéaires
et
Justifier qu'une équation cartésienne du plan est :
4. a. Sans chercher à calculer les coordonnées du point d'intersection, justifier que la
droite et le plan sont sécants.
b. On note le point d'intersection de la droite et du plan
Vérifier que le point a pour coordonnées
Soit la droite passant par et de vecteur directeur . On admet
que les droites et sont sécantes en un point de coordonnées
5. a. Justifier que la distance est la distance entre les droites et .
On considère l'équation différentielle d'inconnue fonction définie
et dérivable sur l'intervalle
1. Nous devons déterminer la valeur du réel tel que la fonction définie sur l'intervalle par soit une solution particulière de l'équation différentielle
La fonction est dérivable sur l'intervalle
Dès lors,
Il s'ensuit que :
Donc la fonction est une solution particulière de l'équation différentielle si
Or pour tout
D'où
Par conséquent, la fonction définie sur l'intervalle par est une solution particulière de l'équation différentielle
2. On considère l'équation différentielle d'inconnue fonction définie
et dérivable sur l'intervalle
Nous devons déterminer les solutions de l'équation différentielle
La solution générale d'une équation différentielle de la forme est
Or
Dans ce cas, et
D'où la solution générale de l'équation s'écrit
3. Nous devons en déduire les solutions de l'équation différentielle
Les fonctions vérifient l'équation pour tout
Nous en déduisons que est solution de l'équation différentielle soit que
Pour tout
Par conséquent, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions
définies sur par
4. Déterminons la solution de l'équation différentielle telle que
Par conséquent, la solution de l'équation différentielle telle que est
définie sur l'intervalle par
PARTIE B
On considère la fonction définie sur l'intervalle par
On admet que la fonction est dérivable sur l'intervalle et que
1. a) Nous devons justifier que, pour tout réel positif,
Pour tout réel positif,
1. b) Nous devons en déduire le tableau de variations de la fonction
Dressons le tableau de signes de pour tout
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur le signe de est le signe de
Dressons le tableau de variations de
2. Dans cette question on s'intéresse à l'équation
2. a) Nous devons justifier que l'équation admet une unique solution, notée dans l'intervalle
La fonction est continue sur l'intervalle car elle est dérivable sur l'intervalle
La fonction est strictement décroissante sur l'intervalle
De plus,
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons l'équation admet une unique solution, notée dans l'intervalle
2. b) Ci-dessous la fonction solution_equation écrite en langage Python.
Ci-dessous le tableau obtenu en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation.
2. c) L'objectif de la fonction solution_equation est de déterminer, sur l'intervalle un encadrement d'amplitude 0,1 de la solution de
l'équation
6 points
exercice 2
On dispose de deux urnes opaques et
L'urne contient 4 boules noires et 6 boules blanches.
L'urne contient 1 boule noire et 3 boules blanches.
On considère l'expérience aléatoire suivante :
On pioche au hasard une boule dans que l'on place dans , puis on pioche au hasard une boule dans
On note : l'événement « Piocher une boule noire dans l'urne ». l'événement « Piocher une boule noire dans l'urne ».
PARTIE A
1. On considère l'arbre de probabilités ci-dessous.
1. a) Nous devons justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne sachant qu'on a pioché une boule blanche dans l'urne est 0,2.
Nous devons donc calculer
Au départ de l'expérience, l'urne contient 1 boule noire et 3 boules blanches.
Nous savons qu'on a pioché une boule blanche dans l'urne et qu'on l'a remise dans l'urne
Dès lors, l'urne contient 1 boule noire et 4 boules blanches.
Dans ce cas, la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne est égale à
Par conséquent, la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne sachant qu'on a pioché une boule blanche dans l'urne est 0,2.
1. b) Arbre de probabilité complété.
2. Nous devons calculer la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne et une boule noire dans l'urne
Nous devons donc calculer
D'où la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne et une boule noire dans l'urne est égale à 0,16.
3. Justifions que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne est égale à 0,28.
Les événements et forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
Par conséquent, la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne est égale à 0,28.
4. On a pioché une boule noire dans l'urne
Nous devons calculer la probabilité d'avoir pioché une boule blanche dans l'urne
Nous devons donc calculer
Par conséquent, sachant qu'on a pioché une boule noire dans l'urne la probabilité d'avoir pioché une boule blanche dans l'urne est égale à 0,43 (valeur arrondie à 10-2).
PARTIE B
désigne un entier naturel non nul.
L'expérience aléatoire précédente est répétée fois de façon identique et indépendante, c'est-à-dire que les urnes et sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne , entre chaque expérience.
On note la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l'urne
On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne est égale à 0,28 et celle de piocher une boule blanche dans l'urne est égale à 0,72.
1. Nous devons déterminer la loi de probabilité suivie par
Lors de cette expérience, on répète fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « on pioche une boule noire dans l'urne » dont la probabilité est
Echec : « on pioche une boule blanche dans l'urne » » dont la probabilité est
Soit la variable aléatoire comptant le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l'urne sur les épreuves, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire suit une loi binomiale .
Cette loi est donnée par :
2. Déterminons par le calcul le plus petit entier naturel tel que :
D'où, le plus petit nombre entier vérifiant cette inégalité est
3. Interprétons le résultat précédent dans le contexte de l'expérience.
représente la probabilité de ne piocher aucune boule noire dans l'urne lors des épreuves.
Dès lors, représente la probabilité de piocher au moins une boule noire dans l'urne
L'inégalité peut se traduire par : « La probabilité de piocher au moins une boule noire dans l'urne est supérieure à 0,9 »
En tenant compte du résultat de la question précédente, nous pouvons conclure qu'il faut au moins 8 tirages pour que la probabilité de piocher au moins une boule noire dans l'urne soit supérieure à 0,9.
PARTIE C
On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante :
On pioche simultanément deux boules dans l'urne que l'on place dans l'urne puis on pioche au hasard une boule dans l'urne
1. Déterminons le nombre de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne
Le nombre de tirages possibles est le nombre de groupements de 2 boules parmi 10, soit
Par conséquent, il y a 45 tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne
2. Déterminons le nombre de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne contenant exactement une boule blanche et une boule noire.
L'urne contient 6 boules blanches et 4 boules noires.
Il y a donc 6 possibilités de tirer une boule blanche.
À chacune de ces possibilités, il y a 4 possibilités de tirer une boule noire.
Par conséquent, le nombre de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne contenant exactement une boule blanche et une boule noire est égal à
3. Déterminons si la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne avec cette nouvelle expérience est supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne avec l'expérience de la partie A.
On note : l'événement « Piocher deux boules noires dans l'urne ». l'événement « Piocher une boule noire et une boule blanche dans l'urne ». l'événement « Piocher deux boules blanches dans l'urne ». l'événement « Piocher une boule noire dans l'urne ».
Nous obtenons ainsi les probabilités suivantes :
D'où l'arbre pondéré modélisant cette expérience :
Nous devons déterminer
Les événements et forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
Or la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne avec l'expérience de la partie A est égale à 0,28 (voir question 3- Partie A).
Puisque 0,3 > 0,28, nous en déduisons que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne avec cette nouvelle expérience est supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne avec l'expérience de la partie A.
4 points
exercice 3
1. On considère la suite définie pour tout entier naturel non nul par Affirmation 1 :La suite est divergente. Affirmation fausse.
Pour tout entier naturel non nul
Dès lors, nous obtenons ;
Par conséquent, la suite est convergente. L'affirmation 1 est donc fausse.
2. On considère la suite définie pour tout entier naturel par
On admet que pour tout entier naturel
On considère la suite définie pour tout entier naturel par où est un réel strictement positif.
Affirmation 2 :La suite est une suite arithmétique strictement croissante. Affirmation vraie.
Montrons que la suite est une suite arithmétique.
Pour tout entier naturel
Par conséquent, la suite est une suite arithmétique de raison
Montrons que la suite est croissante.
Nous savons que la suite est une suite arithmétique de raison
Nous savons également que
Nous en déduisons que la suite est croissante.
Nous avons ainsi montré que la suite est une suite arithmétique strictement croissante. L'affirmation 2 est donc vraie.
3. On considère la suite définie pour tout entier naturel par
On admet que pour tout entier naturel Affirmation 3 :La suite est décroissante. Affirmation vraie.
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel nous avons :
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour , soit que
C'est une évidence car
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel fixé, la propriété est vraie au rang , alors elle est encore vraie au rang
Montrons donc que si pour un nombre naturel fixé, , alors
En effet, puisque la fonction est strictement croissante sur l'intervalle nous obtenons :
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel nous avons :
Par conséquent, la suite est décroissante. L'affirmation 3 est donc vraie.
4. On considère la suite définie pour tout entier naturel par
Affirmation 4 :Pour tout entier naturel Affirmation vraie.
Par définition, nous savons que pour tout entier naturel
Calculons par la méthode d'intégration par parties.
L'affirmation 4 est donc vraie.
5 points
exercice 4
Soit la droite passant par de vecteur directeur et la droite dont une représentation paramétrique est :
1. Nous devons donner une représentation paramétrique de la droite
La droite est dirigée par le vecteur .
La droite passe par le point
D'où une représentation paramétrique de la droite est donnée par :
soit
2. Démontrons que les droites et sont non coplanaires.
Montrons que les droites et ne sont pas sécantes.
Montrons que le système composé par les représentations paramétriques de et n'admet pas de solution.
Le système n'admet donc pas de solution.
D'où les droites et n'ont aucun point commun et par suite, elles ne sont pas sécantes.
Montrons que les droites et ne sont pas parallèles.
Un vecteur directeur de est
Un vecteur directeur de est
Manifestement ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les droites et ne sont pas parallèles.
Puisque les droites et ne sont ni parallèles, ni sécantes, nous en déduisons que ces les droites et ne sont pas coplanaires.
3. Soit le plan passant par et dirigé par les vecteurs non colinéaires et
Nous devons justifier qu'une équation cartésienne du plan est :
Nous savons qu'une équation cartésienne du plan est de la forme :
Le vecteur est normal au plan si
Rappelons que nous avons :
D'où
Posons
Dans ce cas,
Dès lors, une équation cartésienne du plan est de la forme :
Or, le point appartient au plan .
Ses coordonnées vérifient donc l'équation du plan.
Nous obtenons ainsi :
Par conséquent, une équation cartésienne du plan est :
4. a) Sans chercher à calculer les coordonnées du point d'intersection, justifions que la droite et le plan sont sécants.
Nous savons que la droite est dirigée par le vecteur et que le vecteur est normal au plan
Nous observons que
Il s'ensuit que les vecteurs et ne sont pas orthogonaux.
Dès lors, la droite n'est pas parallèle au plan
Par conséquent, la droite et le plan sont sécants.
4. b) On note le point d'intersection de la droite et du plan
Nous devons vérifier que le point a pour coordonnées
Montrons que le point dont les coordonnées sont appartient à la droite
Une représentation paramétrique de est :
Donnons à la valeur
Dans ce cas, , soit
Par conséquent, le point dont les coordonnées sont appartient à la droite
Montrons que le point dont les coordonnées sont appartient au plan
Les coordonnées de ce point vérifient l'équation du plan
En effet,
Par conséquent, le point dont les coordonnées sont appartient au plan
Si nous notons le point d'intersection de la droite et du plan alors a pour coordonnées
Soit la droite passant par et de vecteur directeur
On admet que les droites et sont sécantes en un point de coordonnées
5. a) Nous devons justifier que la distance est la distance entre les droites et
Pour rappel, par définition, la distance entre deux droites non coplanaires de l'espace et est la longueur du segment
où et sont des points appartenant respectivement à et à tels que la droite est orthogonale à et
Par définition du point nous savons que le point appartient à
Par définition du point nous savons que le point appartient à
Montrons que la droite est orthogonale à et
Nous obtenons alors :
Il s'ensuit que la droite est orthogonale à et
En appliquant le rappel ci-dessus, nous en déduisons que la distance entre et est la longueur du segment soit
5. b) Calculons la distance entre les droites et
Nous avons :
Dès lors,
Par conséquent, la distance entre les droites et est égale à
Publié par malou
le
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