Fiche de mathématiques

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Bac général spécialité maths Amérique du Sud jour 1

Novembre 2024

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L'usage de la calculatrice sans mémoire, $\ll$ type collège $\gg$ est autorisé.

5 points

exercice 1

PARTIE A

On considère l'équation différentielle $(E) : y'+\dfrac 14 y=20\text e^{-\frac 14x}$ , d'inconnue $y$ , fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[.$

1. Déterminer la valeur du réel a tel que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par $g(x)=ax\text e^{-\frac 14x}$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ .

2. On considère l'équation différentielle $(E') : y'+\dfrac 14 y=0$ , d'inconnue $y$ , fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[.$

Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E')$ .

3. En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$ .

4. Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $f(0)=8$ .

PARTIE B

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=(20x+8)\text e^{-\frac 14x}$ .

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ . De plus, on admet que $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0.$

1. a. Justifier que, pour tout réel $x$ positif, $f'(x)=(18-5x)\text e^{-\frac 14x}$ .

$\white w$ b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ . On précisera la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ .

2. Dans cette question on s'intéresse à l'équation $f(x)=8$ .

$\white w$ a. Justifier que l'équation $f(x)=8$ admet une unique solution, notée $\alpha$ , dans l'intervalle $[14 ; 15]$ .

$\white w$ b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre, écrite en langage Python.

Bac général spécialité maths 2024 Amérique du Sud jour 1 : image 3

$\white w$ c. Quel est l'objectif de la fonction solution_equation dans le contexte de la question ?

6 points

exercice 2

On dispose de deux urnes opaques $U_1$ et $U_2$ .
L'urne $U_1$ contient 4 boules noires et 6 boules blanches.
L'urne $U_2$ contient 1 boule noire et 3 boules blanches.
On considère l'expérience aléatoire suivante :
On pioche au hasard une boule dans $U_1$ que l'on place dans $U_2$ , puis on pioche au hasard une boule dans $U_2$ .
On note :
$\bullet \quad N_1$ l'évènement « Piocher une boule noire dans l'urne $U_1$ ».
$\bullet \quad N_2$ l'évènement « Piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ ».
Pour tout évènement $A$ , on note $\overline A$ son évènement contraire.

PARTIE A

1. On considère l'arbre de probabilités ci-dessous.

Bac général spécialité maths 2024 Amérique du Sud jour 1 : image 2

$\white w$ a. Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ sachant qu'on a pioché une boule blanche dans l'urne $U_1$ est 0,2.

$\white w$ b. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-contre, en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités des évènements concernés, sous forme décimale.

2. Calculer la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_1$ et une boule noire dans l'urne $U_2$ .

3. Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ est égale à 0,28.

4. On a pioché une boule noire dans l'urne $U_2$ . Calculer la probabilité d'avoir pioché une boule blanche dans l'urne $U_1$ . On donnera le résultat sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$ .

PARTIE B

$n$ désigne un entier naturel non nul.
L'expérience aléatoire précédente est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante, c'est-à-dire que les urnes $U_1$ et $U_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne $U_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne $U_2$ , entre chaque expérience.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l'urne $U_2$ .
On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ est égale à 0,28 et celle de piocher une boule blanche dans l'urne $U_2$ est égale à 0,72.

1. Déterminer la loi de probabilité suivie par $X$ . Justifier votre réponse.

2. Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que : $1-0,72^n\geqslant 0,9.$

3. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'expérience.

PARTIE C

Dans cette partie les urnes $U_1$ et $U_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne $U_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne $U_2$ .

On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante :
On pioche simultanément deux boules dans l'urne $U_1$ que l'on place dans l'urne $U_2$ , puis on pioche au hasard une boule dans l'urne $U_2$ .

1. Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne $U_1$ ?

2. Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne $U_1$ contenant exactement une boule blanche et une boule noire ?

3. La probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ avec cette nouvelle expérience est-elle supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne $U_2$ avec l'expérience de la partie A. Justifier votre réponse.
On pourra s'aider d'un arbre pondéré modélisant cette expérience.

4 points

exercice 3

Répondre par VRAI ou FAUX à chacune des affirmations suivantes et justifier votre réponse.
Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans la notation.
Toutes les questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $u_n=\dfrac{25+(-1)^n}{n}.$

Affirmation 1 : La suite $(u_n)$ est divergente.

2. On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\lbrace\begin{matrix} w_0 & = &1 \\ w_{n+1}& = & \dfrac{w_n}{1+w_n} \end{matrix}\right.$

On admet que pour tout entier naturel $n,\, w_n > 0.$

On considère la suite $(t_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n=\dfrac{k}{w_n}$ où $k$ est un réel strictement positif.

Affirmation 2 : La suite $(t_n)$ est une suite arithmétique strictement croissante.

3. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\lbrace\begin{matrix} v_0 & = &1 \\ v_{n+1}& = & \ln (1+v_n) \end{matrix}\right.$

On admet que pour tout entier naturel $n,\, v_n > 0.$

Affirmation 3 : La suite $(v_n)$ est décroissante.

4. On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n=\begin{aligned}\int_1^{\text e}[\ln (x)]^n\text dx\end{aligned}.$

Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n,\,I_{n+1}=\text e-(n+1)I_n.$

5 points

exercice 4

L'objectif de cet exercice est de déterminer la distance entre deux droites non coplanaires.
Par définition, la distance entre deux droites non coplanaires de l'espace, $(d_1)$ et $(d_2)$ est la longueur du segment $[EF]$ , où $E$ et $F$ sont des points appartenant respectivement à $(d_1)$ et à $(d_2)$ tels que la droite $(EF)$ est orthogonale à $(d_1)$ et $(d_2)$ .
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\,\overrightarrow i,\,\overrightarrow j,\,\overrightarrow k)$

Soit $(d_1)$ la droite passant par $A(1 ; 2 ; -1)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix} 1\\2 \\0 \end{pmatrix}$ et $(d_2)$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\left\lbrace\begin{matrix} x & = &0 & & & & \\ y& = & 1 & + & t & , & t\in \textbf R\\ z &= & 2 & +& t& & \end{matrix}\right.$

1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(d_1)$ .

2. Démontrer que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont non coplanaires.

3. Soit $\mathcal P$ le plan passant par $A$ et dirigé par les vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 2\\-1 \\1 \end{pmatrix}.$

Justifier qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal P$ est : $-2x+y+5z+5=0.$

4. a. Sans chercher à calculer les coordonnées du point d'intersection, justifier que la droite $(d_2)$ et le plan $\mathcal P$ sont sécants.

$\white w$ b. On note $F$ le point d'intersection de la droite $(d_2)$ et du plan $\mathcal P.$

Vérifier que le point $F$ a pour coordonnées $\left(0\,;\,-\dfrac 53\,;\,-\dfrac 23\right).$

Soit $(\delta )$ la droite passant par $F$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{w}$ . On admet que les droites $(\delta )$ et $(d_1)$ sont sécantes en un point $E$ de coordonnées $\left(-\dfrac 23\,;\,-\dfrac 43\,;\,-1\right).$

5. a. Justifier que la distance $EF$ est la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ .

$\white w$ b. Calculer la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ .

Voir la correction

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Amérique du Sud jour 1

5 points

exercice 1

PARTIE A

On considère l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E) : y'+\dfrac 14 y=20\text e^{-\frac 14x}, }$ d'inconnue $\overset{ { \white{ o. } } } { y, }$ fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {[0\,;\,+\infty[. }$

1. Nous devons déterminer la valeur du réel $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ tel que la fonction $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\,;\,+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ } } } { g(x)=ax\text e^{-\frac 14x} }$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\,. }$

La fonction $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ est dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\,;\,+\infty[. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $g'(x)=(ax)'\times \text e^{-\frac 14x}+ax\times (\text e^{-\frac 14x})' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ g'(x)} =a\times \text e^{-\frac 14x}+ax\times \left(-\dfrac 14\text e^{-\frac 14x}\right) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ g'(x)} =a\, \text e^{-\frac 14x}-\dfrac 14ax\,\text e^{-\frac 14x} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{g'(x)=a\, \text e^{-\frac 14x}-\dfrac 14ax\,\text e^{-\frac 14x} }$

Il s'ensuit que :

${ \white{ xxi } }$ $g'(x)+\dfrac 14\,g(x)=\Big(a\, \text e^{-\frac 14x}-\dfrac 14ax\,\text e^{-\frac 14x}\Big)+\dfrac 14ax\,\text e^{-\frac 14x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ g'(x)+\dfrac 14\,g(x)} =a\, \text e^{-\frac 14x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{g'(x)+\dfrac 14\,g(x)=a\, \text e^{-\frac 14x}}$

Donc la fonction $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ est une solution particulière de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ si $\underset{ { \white{ '' } } } { a\, \text e^{-\frac 14x}=20\, \text e^{-\frac 14x}. }$

Or pour tout $\overset{ { \white{ } } } {x\,\in\R,\quad \text e^{-\frac 14x}\neq 0. }$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{a=20}\,. }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\,;\,+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ } } } { g(x)=20x\text e^{-\frac 14x} }$ est une solution particulière de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$

2. On considère l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E') : y'+\dfrac 14 y=0, }$ d'inconnue $\overset{ { \white{ o. } } } { y, }$ fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {[0\,;\,+\infty[. }$

Nous devons déterminer les solutions de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E')\,. }$

La solution générale d'une équation différentielle de la forme $\overset{{\white{.}}}{y'=ay+b}$ est $y=k\,\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).$
Or $y'+\dfrac 14y=0\Longleftrightarrow y'=-\dfrac 14y.$

Dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } { a=-\dfrac 14 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { b=0. }$

D'où la solution générale de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E')}$ s'écrit $\boxed{y(x)=k\,\text{e}^{-\frac 14x}\ \ (k\in\R)}$

3. Nous devons en déduire les solutions $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\,. }$

Les fonctions $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ vérifient l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)+\dfrac 14 f(x)=20\, \text e^{-\frac 14x}}$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\,;\,+\infty[.}$

$\text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix}f'(x)+\dfrac 14 f(x)=20\, \text e^{-\frac 14x}\\\overset{ { \white{ . } } } {g'(x)+\dfrac 14 g(x)=20\, \text e^{-\frac 14x}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad f'(x)+\dfrac 14 f(x)=g'(x)+\dfrac 14 g(x) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix}f'(x)+f(x)=20\, \text e^{-\frac 14x}\\g'(x)+g(x)=20\, \text e^{-\frac 14x}\end{matrix}\right.} \quad\Longrightarrow\quad f'(x)-g'(x)+\dfrac 14 f(x)-\dfrac 14 g(x)=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix}f'(x)+f(x)=20\, \text e^{-\frac 14x}\\g'(x)+g(x)=20\, \text e^{-\frac 14x}\end{matrix}\right.} \quad\Longrightarrow\quad f'(x)-g'(x)+\dfrac 14 \Big(f(x)-g(x)\Big)=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix}f'(x)+f(x)=20\, \text e^{-\frac 14x}\\g'(x)+g(x)=20\, \text e^{-\frac 14x}\end{matrix}\right.} \quad\Longrightarrow\quad (f-g)'(x)+\dfrac 14 (f-g)(x)=0}$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { f-g }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E'), }$ soit que $\overset{ { \white{ . } } } {(f-g)(x)=k\,\text{e}^{-\frac 14x}\ \ (k\in\R)}$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\,;\,+\infty[,}$

${ \white{ xxi } }$ $(f-g)(x)=k\,\text{e}^{-\frac 14x}\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)-g(x)=k\,\text{e}^{-\frac 14x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ (f-g)(x)=k\,\text{e}^{-\frac 14x}}\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=g(x)+k\,\text{e}^{-\frac 14x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ (f-g)(x)=k\,\text{e}^{-\frac 14x}}\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=20x\text e^{-\frac 14x} +k\,\text{e}^{-\frac 14x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ (f-g)(x)=k\,\text{e}^{-\frac 14x}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{f(x)=(20x +k)\,\text{e}^{-\frac 14x} }}$

Par conséquent, les solutions $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ sont les fonctions $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définies sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\,;\,+\infty[}$ par $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f(x)=(20x +k)\,\text{e}^{-\frac 14x}\quad (k\in\R) } }$

4. Déterminons la solution $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } { f(0)=8 . }$

${ \white{ xxi } }$ $f(0)=8 \quad\Longleftrightarrow\quad (20\times 0 +k)\,\text{e}^{0}=8 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(0)=8} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{k=8}}$

Par conséquent, la solution $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } { f(0)=8 }$   est définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\,;\,+\infty[ }$   par $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f(x)=(20x +8)\,\text{e}^{-\frac 14x} } }$

PARTIE B

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\,;\,+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ } } } { f(x)=(20x+8)\text e^{-\frac 14x} . }$

On admet que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\,;\,+\infty[ }$ et que $\overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0. }$

1. a) Nous devons justifier que, pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ positif, $\overset{ { \white{ } } } { f'(x)=(18-5x)\text e^{-\frac 14x} . }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ positif,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(20x+8)'\times \text e^{-\frac 14x}+(20x+8)\times \left(\text e^{-\frac 14x}\right)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x) } =20\times \text e^{-\frac 14x}+(20x+8)\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)\text e^{-\frac 14x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x) } =20\, \text e^{-\frac 14x}-(5x+2)\,\text e^{-\frac 14x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x) } =(20-5x-2)\,\text e^{-\frac 14x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x) } =(18-5x)\,\text e^{-\frac 14x} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\ge 0, \quad f'(x)=(18-5x)\,\text e^{-\frac 14x} }$

1. b) Nous devons en déduire le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

Dressons le tableau de signes de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\ge0 . }$

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R, }$ le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { 18-5x. }$

$\begin{matrix}18-5x<0\Longleftrightarrow 5x>18\\\overset{ { \white{.} } } {\phantom{\text e^x-4<0wx}\Longleftrightarrow x>\dfrac{18}{5}}\\\\18-5x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{18}{5}\\\\18-5x>0\Longleftrightarrow x<\dfrac{18}{5}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&\dfrac{18}{5}&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\18-5x&&+&+&0&-&-&\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\f'(x) &&+&+&0&-&-& \\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Dressons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f\,. }$

$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&\dfrac{18}{5}&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\f'(x)&&+&+&0&-&-&\\&&&&&&&\\\hline &&&&80\,\text e^{-\frac{9}{10}}&&&\\f&&\nearrow&\nearrow&&\searrow&\searrow&\\&8&&&&&&0\\\hline \end{array}$

2. Dans cette question on s'intéresse à l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=8 . }$

2. a) Nous devons justifier que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=8 }$ admet une unique solution, notée $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha , }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [14 ; 15] . }$

La fonction    $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [14 ; 15] }$ car elle est dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [14 ; 15] .}$

La fonction    $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [14 ; 15]. }$

De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}f(14)=288\,\text e^{-\frac 72}\approx8,70\\f(15)=308\,\text e^{-\frac {15}{4}}\approx7,24\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad 8\in[f(15)\;;f(14)] }$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=8 }$ admet une unique solution, notée $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha , }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [14\; ; 15] . }$

2. b) Ci-dessous la fonction solution_equation écrite en langage Python.

Bac général spécialité maths 2024 Amérique du Sud jour 1 : image 4

Ci-dessous le tableau obtenu en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation.

$\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline a&&14&&&14&&&14,25&&&14,375&&&14,4375& \\\hline b&&15&&&14,5&&&14,5&&&14,5&&&14,5& \\\hline b-a&&1&&&0,5&&&0,25&&&0,125&&&0,0625&\\\hline m&&14,5&&&14,25&&&14,375&&&14,4375&&\cellcolor{black}&\cellcolor{black}{}&\cellcolor{black}\\\hline \text{Condition}:f(m)>8&&\text{FAUX}&&&\text{VRAI}&&&\text{VRAI}&&&\text{VRAI}&&\cellcolor{black}&\cellcolor{black}{}&\cellcolor{black} \\\hline \end{array}$

2. c) L'objectif de la fonction solution_equation est de déterminer, sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [14 ; 15] , }$ un encadrement d'amplitude 0,1 de la solution $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=8 .}$

6 points

exercice 2

On dispose de deux urnes opaques $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {U_2 . }$
L'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ contient 4 boules noires et 6 boules blanches.
L'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ contient 1 boule noire et 3 boules blanches.
On considère l'expérience aléatoire suivante :
On pioche au hasard une boule dans $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ que l'on place dans $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ , puis on pioche au hasard une boule dans $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 . }$
On note :
$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet \quad N_1 }$ l'événement « Piocher une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ ».
$\overset{ { \white{ . } } } {\bullet \quad N_2 }$ l'événement « Piocher une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ ».

PARTIE A

1. On considère l'arbre de probabilités ci-dessous.

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1. a) Nous devons justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ sachant qu'on a pioché une boule blanche dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ est 0,2.

Nous devons donc calculer $\overset{ { \white{ . } } } {P_{\overline{N_1}}(N_2). }$

Au départ de l'expérience, l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ contient 1 boule noire et 3 boules blanches.
Nous savons qu'on a pioché une boule blanche dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ et qu'on l'a remise dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2. }$
Dès lors, l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ contient 1 boule noire et 4 boules blanches.

Dans ce cas, la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 15=0,2. }$

Par conséquent, la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ sachant qu'on a pioché une boule blanche dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ est 0,2.

1. b) Arbre de probabilité complété.

Bac général spécialité maths 2024 Amérique du Sud jour 1 : image 5

2. Nous devons calculer la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ et une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2. }$

Nous devons donc calculer $\overset{ { \white{ . } } } { P(N_1\cap N_2). }$

${ \white{ xxi } }$ $P(N_1\cap N_2)=P(N_1)\times P_{N_1}(N_2) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(N_1\cap N_2) } =0,4\times 0,4 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(N_1\cap N_2) } =0,16} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(N_1\cap N_2)=0,16}$

D'où la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ et une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2. }$ est égale à 0,16.

3. Justifions que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ est égale à 0,28.

Les événements   $\overset{{\white{.}}}{N_1}$ et   $\overset{{\white{.}}}{\overline{N_1}}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(N_2)=P(N_1\cap N_2)+P(\overline{N_1}\cap N_2) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(N_2)}=0,16+P(\overline{N_1})\times P_{\overline{N_1}}(N_2)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(N_2)}=0,16+0,6\times0,2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(N_2)}=0,16+0,12} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(N_2)}=0,28} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(N_2)=0,28}$

Par conséquent, la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ est égale à 0,28.

4. On a pioché une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 . }$ Nous devons calculer la probabilité d'avoir pioché une boule blanche dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1. }$

Nous devons donc calculer $\overset{ { \white{ . } } } {P_{N_2}(\overline{N_1}). }$

${ \white{ xxi } }$ $P_{N_2}(\overline{N_1})=\dfrac{P(\overline{N_1}\cap N_2)}{P(N_2)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_{N_2}(\overline{N_1})} =\dfrac{P(\overline{N_1})\times P_{\overline{N_1}}(N_2)}{P(N_2)} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_{N_2}(\overline{N_1})} =\dfrac{0,6\times 0,2}{0,28} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_{N_2}(\overline{N_1})} =\dfrac{0,12}{0,28} =\dfrac{12}{28}=\dfrac{3}{7}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_{N_2}(\overline{N_1})=\dfrac 37\approx 0,43}$

Par conséquent, sachant qu'on a pioché une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 , }$ la probabilité d'avoir pioché une boule blanche dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$   est égale à 0,43 (valeur arrondie à 10^-2).

PARTIE B

$\overset{ { \white{ . } } } { n }$ désigne un entier naturel non nul.
L'expérience aléatoire précédente est répétée $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fois de façon identique et indépendante, c'est-à-dire que les urnes $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ , entre chaque expérience.

On note $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2. }$
On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ est égale à 0,28 et celle de piocher une boule blanche dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ est égale à 0,72.

1. Nous devons déterminer la loi de probabilité suivie par $\overset{ { \white{ _. } } } { X .}$

Lors de cette expérience, on répète $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « on pioche une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=0,28. }$
Echec : « on pioche une boule blanche dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ » » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=0,72. }$

Soit la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$    comptant le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ sur les $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ épreuves, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.

D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$    suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(n\,;\,0,28\right) }$ .
Cette loi est donnée par : $\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times0,28^k\times0,72^{ n-k } }$

2. Déterminons par le calcul le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ tel que : $\overset{ { \white{ . } } } { 1-0,72^n\geqslant 0,9. }$

${ \white{ xxi } }$ $1-0,72^n\ge 0,9\quad\Longleftrightarrow\quad -0,72^n\ge -0,1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{1-0,72^n\ge 0,9 } \quad\Longleftrightarrow\quad 0,72^n\le 0,1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{1-0,72^n\ge 0,9 } \quad\Longleftrightarrow\quad \ln 0,72^n\le \ln 0,1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{1-0,72^n\ge 0,9 } \quad\Longleftrightarrow\quad n\times \ln 0,72\le \ln 0,1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{1-0,72^n\ge 0,9 } \quad\Longleftrightarrow\quad n\ge \dfrac{\ln 0,1}{ \ln 0,72} } \quad(\text{changement de sens de l'inégalité car } \ln 0,72<0) \\\\\text{Or }\quad\dfrac{\ln 0,1}{ \ln 0,72} \approx 7,01.$

D'où, le plus petit nombre entier $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ vérifiant cette inégalité est $\overset{ { \white{ _. } } } { n=8. }$

3. Interprétons le résultat précédent dans le contexte de l'expérience.

$\overset{ { \white{ . } } } { 0,72^n }$ représente la probabilité de ne piocher aucune boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ lors des $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ épreuves.

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { 1-0,72^n }$ représente la probabilité de piocher au moins une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$

L'inégalité $\overset{ { \white{ . } } } { 1-0,72^n\ge 0,9 }$ peut se traduire par : « La probabilité de piocher au moins une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ est supérieure à 0,9 »

En tenant compte du résultat de la question précédente, nous pouvons conclure qu'il faut au moins 8 tirages pour que la probabilité de piocher au moins une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ soit supérieure à 0,9.

PARTIE C

On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante :
On pioche simultanément deux boules dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ que l'on place dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2, }$ puis on pioche au hasard une boule dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 . }$

1. Déterminons le nombre de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 . }$

Le nombre de tirages possibles est le nombre de groupements de 2 boules parmi 10, soit $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}=\dfrac{10\times9}{2}=45. }$

Par conséquent, il y a 45 tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 . }$

2. Déterminons le nombre de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ contenant exactement une boule blanche et une boule noire.

L'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ contient 6 boules blanches et 4 boules noires.
Il y a donc 6 possibilités de tirer une boule blanche.
À chacune de ces possibilités, il y a 4 possibilités de tirer une boule noire.
Par conséquent, le nombre de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ contenant exactement une boule blanche et une boule noire est égal à $\overset{ { \white{ . } } } {6\times4=24. }$

3. Déterminons si la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ avec cette nouvelle expérience est supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ avec l'expérience de la partie A.

On note :
$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet \quad N_1N_1 }$ l'événement « Piocher deux boules noires dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ ».
$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet \quad N_1\overline{N_1} }$ l'événement « Piocher une boule noire et une boule blanche dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ ».
$\overset{ { \white{ . } } } {\bullet \quad \overline{N_1}\,\overline{N_1} }$ l'événement « Piocher deux boules blanches dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ ».
$\overset{ { \white{ . } } } {\bullet \quad N_2 }$ l'événement « Piocher une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ ».

Nous obtenons ainsi les probabilités suivantes :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet \quad P(N_1N_1)=\dfrac{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}{45} =\dfrac{6}{45}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(N_1N_1)=\dfrac {2}{15}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet} \quad P_{N_1N_1}(N2)=\dfrac {3}{6}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P_{N_1N_1}(N2)=\dfrac{1}{2}}} \\\\ \bullet \quad P(N_1\overline{N_1})=\dfrac{24}{45} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(N_1\overline{N_1})=\dfrac {8}{15}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet} \quad P_{N_1\overline{N_1}}(N2)=\dfrac {2}{6}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P_{N_1\overline{N_1}}(N2)=\dfrac{1}{3}}} \\\\ \bullet \quad P(\overline{N_1}\,\overline{N_1})=\dfrac{\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}{45} =\dfrac{15}{45}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(\overline{N_1}\,\overline{N_1})=\dfrac{1}{3}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet} \quad \boxed{ P_{\overline{N_1}\,\overline{N_1}}(N2)=\dfrac {1}{6}}}$

D'où l'arbre pondéré modélisant cette expérience :

Bac général spécialité maths 2024 Amérique du Sud jour 1 : image 6

Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { P(N_2). }$

Les événements $\overset{{\white{.}}}{N_1N_1,N_1\overline{N_1}}$ et $\overline{N_1}\,\overline{N_1}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(N_2)=P(N_1N_1\cap N_2)+P(N_1\overline{N_1}\cap N_2)++P(\overline{N_1}\,\overline{N_1}\cap N_2) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(N_2)}=\dfrac{2}{15}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{8}{15}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{6}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(N_2)}=\dfrac{1}{15}+\dfrac{8}{45}+\dfrac{1}{18}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(N_2)}=\dfrac{3}{10}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(N_2)=0,3}$

Or la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ avec l'expérience de la partie A est égale à 0,28 (voir question 3- Partie A).

Puisque 0,3 > 0,28, nous en déduisons que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ avec cette nouvelle expérience est supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ avec l'expérience de la partie A.

4 points

exercice 3

1. On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ définie pour tout entier naturel non nul $\overset{ { \white{ . } } } { n}$ par $\overset{ { \white{ . } } } { u_n=\dfrac{25+(-1)^n}{n}. }$
Affirmation 1 : La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est divergente.
Affirmation fausse.

Pour tout entier naturel non nul $\overset{ { \white{ . } } } { n,}$

${ \white{ xxi } }$ $-1\le (-1)^n\le1\quad\Longrightarrow\quad 25-1\le 25+(-1)^n\le 25+1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ -1\le (-1)^n\le1 } \quad\Longrightarrow\quad 24\le 25+(-1)^n\le 26 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ -1\le (-1)^n\le1 } \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{24}{n}\le \dfrac{25+(-1)^n}{n}\le \dfrac{26}{n} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ -1\le (-1)^n\le1 } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\dfrac{24}{n}\le u_n\le \dfrac{26}{n} }}$

Dès lors, nous obtenons ;

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{24}{n}\le u_n\le \dfrac{26}{n}\\\\ \lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{24}{n}=0\\\\ \lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{26}{n}=0\end{matrix}\right\rbrace\quad\underset{\text{théorème d'encadrement}}{\Longrightarrow}\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente.
L'affirmation 1 est donc fausse.

2. On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (w_n) }$ définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} w_0 & = &1 \\ w_{n+1}& = & \dfrac{w_n}{1+w_n} \end{matrix}\right. }$
On admet que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\, w_n > 0. }$
On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (t_n) }$ définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { t_n=\dfrac{k}{w_n} }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { k }$ est un réel strictement positif.

Affirmation 2 : La suite $\overset{ { \white{ . } } } {(t_n) }$ est une suite arithmétique strictement croissante.
Affirmation vraie.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (t_n) }$ est une suite arithmétique.

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,}$

${ \white{ xxi } }$ $t_{n+1}=\dfrac{k}{w_{n+1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t_{n+1} } =\dfrac{k}{\dfrac{w_n}{1+w_n}} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t_{n+1} } =\dfrac{k\,(1+w_n)}{w_n} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t_{n+1} } =\dfrac{k+k\,w_n}{w_n} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t_{n+1} } =\dfrac{k}{w_n} +\dfrac{k\,w_n}{w_n} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t_{n+1} } =\dfrac{k}{w_n} +k } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{t_{n+1} } =t_n +k } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{t_{n+1}=t_n+k }$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (t_n) }$ est une suite arithmétique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { k. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (t_n) }$ est croissante.

Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (t_n) }$ est une suite arithmétique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { k. }$
Nous savons également que $\overset{ { \white{ . } } } { k>0. }$
Nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (t_n) }$ est croissante.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous avons ainsi montré que la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(t_n) }$ est une suite arithmétique strictement croissante.
L'affirmation 2 est donc vraie.

3. On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} v_0 & = &1 \\ v_{n+1}& = & \ln (1+v_n) \end{matrix}\right. }$
On admet que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\, v_n > 0. }$
Affirmation 3 : La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est décroissante.
Affirmation vraie.

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { v_{n+1}\le v_n. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ _. } } } { n=0 }$ , soit que $\overset{{\white{.}}}{v_{1}\le v_0.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}v_0=1\phantom{WWWW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { v_1=\ln2\approx0,69}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{v_{1}\le v_0}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ , alors elle est encore vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { (n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{ v_{n+1}\le v_n}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{v_{n+2}\le v_{n+1} .}$

En effet, puisque la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { \ln }$ est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[\,, }$ nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $v_{n+1}\le v_n\quad\Longrightarrow\quad 1+v_{n+1}\le 1+v_n \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ v_{n+1}\le v_n}\quad\Longrightarrow\quad \ln(1+v_{n+1})\le \ln(1+v_n)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ v_{n+1}\le v_n}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{v_{n+2}\le v_{n+1}}}$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n, }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{v_{n+1}\le v_n}\,. }$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est décroissante.
L'affirmation 3 est donc vraie.

4. On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (I_n) }$ définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { I_n=\begin{aligned}\int_1^{\text e}[\ln (x)]^n\text dx\end{aligned}. }$

Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\,I_{n+1}=\text e-(n+1)I_n. }$
Affirmation vraie.

Par définition, nous savons que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\; I_{n+1}=\begin{aligned}\int_1^{\text e}[\ln (x)]^{n+1}\text dx\end{aligned}. }$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { I_{n+1} }$ par la méthode d'intégration par parties.

$I_{n+1}=\displaystyle\int_1^{\text e}[\ln (x)]^{n+1}\text dx=\displaystyle\int_1^{\text e}[\ln (x)]^{n+1}\times 1 \;\text dx\\\\ \underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_1^{\text e}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]_1^{\text e}- \displaystyle\int_1^{\text e}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(x)=[\ln (x)]^{n+1}\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=(n+1)\times\dfrac 1x\,[\ln(x)]^n \\\\v'(x)=1\phantom{WW}\quad\Longrightarrow\quad\phantom{W} v(x)=x\phantom{WWWWW}\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } {\displaystyle\int_1^{\text e}[\ln (x)]^{n+1}\text dx=\left[\overset{}{x\,[\ln (x)]^{n+1}}\right]_1^{\text e}-\displaystyle\int_1^{\text e}x\times(n+1)\times \dfrac 1x[\ln(x)]^n\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWW}=\left[\overset{}{x\,[\ln (x)]^{n+1}}\right]_1^{\text e}-(n+1)\displaystyle\int_1^{\text e}[\ln(x)]^n\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWW}=\left[\overset{}{x\,[\ln (x)]^{n+1}}\right]_1^{\text e}-(n+1)I_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWW}=(\text e-0)-(n+1)I_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWW}=\text e-(n+1)I_n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_1^{\text e}[\ln (x)]^{n+1}\text dx=\text e-(n+1)I_n}$

L'affirmation 4 est donc vraie.

5 points

exercice 4

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ la droite passant par $\overset{ { \white{ . } } } { A(1\;;\; 2 \;;\; -1) }$ de vecteur directeur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix} 1\\2 \\0 \end{pmatrix}}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2) }$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} x & = &0 & & & & \\ y& = & 1 & + & t & , & t\in \textbf R\\ z &= & 2 & +& t& & \end{matrix}\right. }$

1. Nous devons donner une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(d_1) . }$
La droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ est dirigée par le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix} {\red{ 1 } }\\ {\red{ 2 } } \\ {\red{ 0 } } \end{pmatrix}}$ .
La droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ passe par le point $\overset{ { \white{ . } } } { A({ \blue{1} }\;;\; { \blue{ 2 } } \;;\; { \blue{ -1 } }) . }$
D'où une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ est donnée par :

${ \white{ xxii } }$ $\left\lbrace\begin{matrix} x&=&{ \blue{1 } }&+&{ \red{ 1 } }&\times &s&\\y&=&{ \blue{ 2 } }&+&{ \red{2 } }&\times& s&\\z&=&{ \blue{ -1 } }&+&{ \red{ 0 } }&\times& s& \end{matrix}\ \ \ (s\in\R)$

soit $\overset{ { \phantom{ . } } }{ \boxed{ (d_1): \left\lbrace\begin{matrix}x&=&1&+&s&\\y&=&2&+&2s&\\z&=&-1& &\end{matrix}\ \ \ (s\in\R) } }$

2. Démontrons que les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(d_2) }$ sont non coplanaires.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(d_2) }$ ne sont pas sécantes.

Montrons que le système composé par les représentations paramétriques de $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(d_2) }$ n'admet pas de solution.

$\left\lbrace\begin{matrix}x&=&1&+&s&\\y&=&2&+&2s&\\z&=&-1& &\\x & = &0 & & & & \\ y& = & 1 & + & t & \\ z &= & 2 & +& t& &\end{matrix}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}0&=&1&+&s&\\y&=&2&+&2s& \\z&=&-1& &\\x & = &0 & & & & \\ y& = & 1 & + & t & \\ -1&= & 2 & +& t& &\end{matrix}$

$\\\\\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}s&=&-1&&\\y&=&2&+&2s&\\z&=&-1& &\\x & = &0 & & & & \\ y& = & 1 & + & t & \\ t&= & -3 &\end{matrix} \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}s&=&-1&&\\y&=&2-2&\\z&=&-1& &\\x & = &0 & & & & \\ y& = & 1-3 & \\ t&= & -3 &\end{matrix} \\\\\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}s&=&-1&&\\ {\red{y}}&{\red{=}}&{\red{0}}&\\z&=&-1& &\\x & = &0 & & & & \\ {\red{y}}& {\red{=}} & {\red{-2}} & \\ t&= & -3 &\end{matrix}$

Le système n'admet donc pas de solution.
D'où les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(d_2) }$ n'ont aucun point commun et par suite, elles ne sont pas sécantes.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(d_2) }$ ne sont pas parallèles.

Un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix} 1\\2 \\0 \end{pmatrix}}.$

Un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix} 0\\1 \\1 \end{pmatrix}}.$

Manifestement ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(d_2) }$ ne sont pas parallèles.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Puisque les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(d_2) }$ ne sont ni parallèles, ni sécantes, nous en déduisons que ces les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(d_2) }$ ne sont pas coplanaires.

3. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P}$ le plan passant par $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et dirigé par les vecteurs non colinéaires $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{u_1} }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 2\\-1 \\1 \end{pmatrix}. }$
Nous devons justifier qu'une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { -2x+y+5z+5=0. }$

Nous savons qu'une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P }$ est de la forme : $\overset{ { \white{ . } } } { ax+by+cz+d=0. }$

Le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\b \\c \end{pmatrix} }$ est normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P }$ si $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\vec n\cdot\overrightarrow{u_1}=0\\\overset{ { \white{ . } } } {\vec n\cdot\overrightarrow{w}=0}\end{matrix}\right. }$

Rappelons que nous avons : $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\b \\c \end{pmatrix},\quad\overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix} 1\\2 \\0 \end{pmatrix} ,\quad\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 2\\-1 \\1 \end{pmatrix}.$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\vec n\cdot\overrightarrow{u_1}=0\\\overset{ { \white{ . } } } {\vec n\cdot\overrightarrow{w}=0}\end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a+2b=0\\\overset{ { \white{ . } } } {2a-b+c=0}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=-2b\\\overset{ { \white{ . } } } {2a-b+c=0}\end{matrix}\right. }$

$\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=-2b\\\overset{ { \white{ . } } } {-4b-b+c=0}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=-2b\\\overset{ { \white{ . } } } {-5b+c=0}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=-2b\\\overset{ { \white{ . } } } {c=5b}\end{matrix}\right. }$

Posons $\overset{ { \white{ _. } } } { b=1. }$

Dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}a=-2\\\overset{ { \white{ . } } } {c=5}\end{matrix}\right. }$

Dès lors, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P }$ est de la forme : $\overset{ { \white{ . } } } { -2x+y+5z+d=0. }$

Or, le point $\overset{ { \white{ . } } } { A(1\;;\;2\;;\; -1) }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P }$ .
Ses coordonnées vérifient donc l'équation du plan.
Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ . } } } { -2+2-5+d=0\quad\Longrightarrow\quad d=5. }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { -2x+y+5z+5=0. }$

4. a) Sans chercher à calculer les coordonnées du point d'intersection, justifions que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2) }$ et le plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P }$ sont sécants.
Nous savons que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2) }$ est dirigée par le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix} 0\\1 \\1 \end{pmatrix} }$ et que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -2\\1 \\5 \end{pmatrix} }$ est normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P .}$

Nous observons que $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{u_2}\cdot \overrightarrow{n}=0\times(-2)+1\times1+1\times5=6\,{\red{\neq 0}} }$

Il s'ensuit que les vecteurs $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{u_2}}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{n}}$ ne sont pas orthogonaux.
Dès lors, la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2) }$ n'est pas parallèle au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P .}$

Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2) }$ et le plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P }$ sont sécants.

4. b) On note $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ le point d'intersection de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2) }$ et du plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P. }$
Nous devons vérifier que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ a pour coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } { \left(0\,;\,-\dfrac 53\,;\,-\dfrac 23\right). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le point dont les coordonnées sont $\overset{ { \white{ . } } } { \left(0\,;\,-\dfrac 53\,;\,-\dfrac 23\right), }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2) }$

Une représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2) }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} x & = &0 & & & & \\ y& = & 1 & + & t & , & t\in \textbf R\\ z &= & 2 & +& t& & \end{matrix}\right. }$

Donnons à $\overset{ { \white{ . } } } { t }$ la valeur $\overset{ { \white{ . } } } { -\dfrac 83. }$

Dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} x=0\phantom{WW} \\\overset{ { \white{ . } } } { y = 1 -\dfrac 83}\\\overset{ { \white{ . } } } { z = 2-\dfrac 83 }\end{matrix}\right. }$ , ${ \white{ xxi } }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} x=0\phantom{W} \\\overset{ { \white{ . } } } { y = -\dfrac 53}\\\overset{ { \white{ . } } } { z = -\dfrac 23 }\end{matrix}\right. }$
Par conséquent, le point dont les coordonnées sont $\overset{ { \white{ . } } } { \left(0\,;\,-\dfrac 53\,;\,-\dfrac 23\right), }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2) }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le point dont les coordonnées sont $\overset{ { \white{ . } } } { \left(0\,;\,-\dfrac 53\,;\,-\dfrac 23\right), }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P. }$

Les coordonnées de ce point vérifient l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P. }$

En effet, $\overset{ { \white{ . } } } { -2\times0-\dfrac 53+5\times\left(-\dfrac 23\right)+5=-\dfrac 53-\dfrac{10}{3}+5=-\dfrac{15}{3}+5=0. }$

Par conséquent, le point dont les coordonnées sont $\overset{ { \white{ . } } } { \left(0\,;\,-\dfrac 53\,;\,-\dfrac 23\right), }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si nous notons $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ le point d'intersection de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2) }$ et du plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P, }$ alors $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ a pour coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } { \left(0\,;\,-\dfrac 53\,;\,-\dfrac 23\right). }$

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (\delta ) }$ la droite passant par $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ et de vecteur directeur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{w} . }$
On admet que les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (\delta ) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ sont sécantes en un point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ de coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } { \left(-\dfrac 23\,;\,-\dfrac 43\,;\,-1\right). }$

5. a) Nous devons justifier que la distance $\overset{ { \white{ . } } } {EF }$ est la distance entre les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2).}$

Pour rappel, par définition, la distance entre deux droites non coplanaires de l'espace $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2) }$ est la longueur du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [MN], }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ et $\overset{ { \white{_. } } } { N }$ sont des points appartenant respectivement à $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1) }$ et à $\overset{ { \white{ . } } } {(d_2) }$ tels que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (MN) }$ est orthogonale à $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par définition du point $\overset{ { \white{ _. } } } { E, }$ nous savons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ appartient à $\overset{ { \white{ _. } } } { (d_1). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par définition du point $\overset{ { \white{ _. } } } { F, }$ nous savons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ appartient à $\overset{ { \white{ _. } } } { (d_2). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (EF) }$ est orthogonale à $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2). }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}E\left(-\dfrac 23\;;\;-\dfrac 43\;;\;-1\right)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { F\left(0\;;\;-\dfrac 53\;;\;-\dfrac 23\right)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {EF}\begin{pmatrix}0+\dfrac 23\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {-\dfrac53+\dfrac 43} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { -\dfrac 23+1}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {EF}\begin{pmatrix}\dfrac 23\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -\dfrac 13}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac 13}\end{pmatrix}} } \\\\\boxed{\overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix} 1\\2 \\0 \end{pmatrix}}\quad ,\quad\boxed{\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix} 0\\1 \\1 \end{pmatrix}}}$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{u_1}=\dfrac 23\times1-\dfrac 13\times2+\dfrac 13\times0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{u_1} }=\dfrac 23-\dfrac 23 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{u_1} }=0} \\\\\Longrightarrow \boxed{\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{u_1}} \\\\ \overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{u_2}=\dfrac 23\times0-\dfrac 13\times1+\dfrac 13\times1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{u_1} }=-\dfrac 13+\dfrac 13 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{u_1} }=0} \\\\\Longrightarrow \boxed{\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{u_2}}$

Il s'ensuit que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (EF) }$ est orthogonale à $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ En appliquant le rappel ci-dessus, nous en déduisons que la distance entre $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2) }$ est la longueur du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [EF], }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { EF. }$

5. b) Calculons la distance entre les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2). }$

Nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow {EF}\begin{pmatrix}\dfrac 23\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -\dfrac 13}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac 13}\end{pmatrix}. }$
Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $EF=\sqrt{\left(\dfrac 23\right)^2+\left(-\dfrac 13\right)^2+\left(\dfrac 13\right)^2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ EF}=\sqrt{\dfrac 49+\dfrac 19+\dfrac 19}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ EF}=\sqrt{\dfrac 69}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ EF}=\dfrac{\sqrt 6}{3}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{EF=\dfrac{\sqrt 6}{3}}$

Par conséquent, la distance entre les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (d_1)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (d_2) }$ est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\sqrt 6}{3}. }$

Publié par malou le 16-12-2024

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