Fiche de mathématiques
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Bac Métropole spécialité Mathématiques 2024

Jour 1

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Durée : 4 heures


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4 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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5 points

exercice 3

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6 points

exercice 4

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4 points

exercice 1

Soit f définie sur R par f(x)=5\,x\,\text e^{-x}

Affirmation 1 : Vraie

f(x)=5\,x\,\text e^{-x}=5\dfrac{x}{\text e ^x}.  D'après le cours sur les puissances comparées, on sait que \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\text e ^x}{x}=+\infty  donc le quotient inverse tend vers 0.

La droite d'équation   y=0  (axe des abscisses) est donc asymptote à la courbe en  +\infty.

Affirmation 2 : Vraie

Pour tout  x  de Rf'(x)=5\,\text e^{-x}-5\,x\,\text e^ {-x}

donc pour tout  x de R,:  f'(x)+f(x)=5\,\text e^{-x}-5\,x\,\text e^ {-x}+5\,x\,\text e^{-x}=5\,\text e^{-x}

On peut donc affirmer que  f  est solution de (E).

Affirmation 3 : Faux

En effet, si on choisit la suite  (v)  définie pour tout vn_in \textbf N  par  v(n)=(-1)^n , cette suite vérifie bien les conditions imposées mais ne converge pas, car prend alternativement les valeurs -1 et 1.

Affirmation 4 : Vraie

Comme  (u_n)  est croissante, on a : pour tout  n\in \textbf N ,  u_0\le u_n

Comme  (w_n) est décroissante, on a : pour tout  n\in \textbf N ,  w_n\le w_0

Or par hypothèse, u_n\le v_n\le w_n . On obtient : u_0\le u_n\le v_n\le w_n\le w_0

d'où : pour tout  n\in \textbf N,  \boxed{u_0\le v_n\le w_0}}

5 points

exercice 2

1.
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2.  La probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait s'écrit   :  P(I\cap S) .

P(I\cap S)=P(I)\times P_I(S)=0,6\times 0,75=0,45

3.  I\;, \;M\;,\; \text{ et } G  formant une partition, on peut utiliser l'axiome des probabilités totales :

P(S)=P(S\cap I)+P(S\cap M)+P(S\cap G)\\\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{P(S)}=P(I)\times P_I(S)+P(M)\times P_M(S)+P(G)\times P_G(S) }\\\\  \overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{P(S)}=0,6\times 0,75+0,3\times 0,9+0,1\times 0,8 }\\\\  \overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{P(S)}=0,8}

La probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait est égale à  0,8\cdot

4. Le client étant satisfait, la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet s'écrit  :  P_S(I)\cdot

P_S(I)=\dfrac{P(S\cap I)}{P(S)}=\dfrac{0,45}{0,8}=0,563   à   10^{-3} près.

5. a)  Comme on peut assimiler les appels à un tirage avec remise, un appel représente à chaque fois une épreuve de Bernouilli, de succès de probabilité  0,8  . Comme  30  épreuves successives et indépendantes sont réalisées, X suit une loi binomiale de paramètres  n=30  et  p=0,8 .

\white{w}b)   La probabilité qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans cet échantillon de 30 personnes s'écrit  :   P(X\ge 25)\cdot

A l'aide de la calculatrice, on trouve  :  P(X\ge 25)=0,428  à  10^{-3}  près.

6.   Soit n  la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour qu'au moins un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à  0,99 . L'entier  n  est solution de l'inéquation  P(X\ge 1)\ge 0,99.

P(X\ge 1)\ge 0,99\Longleftrightarrow 1-P(X=0)=0,99\\\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{P(X\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow 1-\binom{2}{0}(0,2)^0(0,8)^n\ge 0,99}\\\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{P(X\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow 1-(0,8)^n\ge 0,99}\\\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{P(X\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow 0,01 \ge (0,8)^n}\\\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{P(X\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow \ln (0,01) \ge \ln (0,8)^n}\\\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{P(X\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow \ln (0,01) \ge n\ln (0,8)} \\\\  \overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{P(X\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow \dfrac{\ln (0,01)}{\ln [0,8)}\le n}\quad\text{ car }\ln (0,8)<0} \\\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{P(X\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow 20,64 \le n}

Il faudra donc interroger au moins  21  personnes.

7. a)  T_1 et T_2  sont indépendantes, donc :

E(T)=E(T_1)+E(T_2)=4+3=7

V(T)=V(T_1)+V(T_2)=2+1=3

\white{w}b)  Utilisons l'inégalité de Bienaymé Tchebychev pour la variable aléatoire  T.

P\left(|T-E(T)|\ge \alpha\right)~\le~ \dfrac{V(T)}{\alpha ^2} dans laquelle E(T)=7 , V(T)=3 et \alpha = 3.

On désire que :   5\le T\le 9  soit  -2\le T-7\le 2   ou encore   |T-7|\le 2 qui peut s'écrire |T-7|< 3

On obtient :   P\left(|T-7|\ge 3\right)~\le ~\dfrac{3}{9}

Donc :  P\left(|T-7|< 3\right)~>~1-\dfrac 13

Soit :  P(4<T<10)~>~\dfrac 23

Et on obtient bien :  P(5\le T \le 9)~>~\dfrac 23

5 point

exercice 3

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1. a)
\overrightarrow{CA}~\begin{pmatrix} 5\\5 \\ -10 \end{pmatrix} et \overrightarrow{CD}~\begin{pmatrix} 0\\0 \\ -\frac{25}{2} \end{pmatrix}

On donne   \overrightarrow{n_1}~\begin{pmatrix} 1\\-1 \\ 0 \end{pmatrix}

\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{CA}=1\times 5+(-1)\times 5+0\times (-10)=0   donc   \overrightarrow{n_1}   et   \overrightarrow{CA} sont orthogonaux.

\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{CD}=1\times 0+(-1)\times 0+0\times (-25)=0   donc \overrightarrow{n_1}   et   \overrightarrow{CD}  sont orthogonaux.

Conclusion : \overrightarrow{n_1}   est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan   (CAD).  On en déduit que \overrightarrow{n_1}   est un vecteur normal au plan   (CAD).

\white{w}b)   Une équation du plan   (CAD)   s'écrit alors :   1x-1y+0z+d=0   avec   d\in \textbf R

Or   C\in (CAD)   si 0-0+0\times 10+d=0   soit   d=0.

Une équation du plan   (CAD)  est bien :  x-y=0\cdot

2.   Soit  \mathcal D\;\left\lbrace\begin{matrix} x &=&\frac52t \\ y&=&5-\frac 52t&t\in\textbf R\\ z& =&0 \end{matrix}\right.

\white{w}a)   En admettant que \mathcal D et le plan (CAD) sont sécants en H, il suffit de vérifier que les coordonnées de H \left(\dfrac 52\;;\dfrac 52\;;0\right) vérifient en même temps l'équation du plan (CAD) ce qui est le cas (car   \dfrac 52-\dfrac 52=0  )   et le système représentant \mathcal D (il suffit de choisir dans le système la valeur   t=1 ).

\white{w}b)   Calculons les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BH}.

\overrightarrow{BH}~\begin{pmatrix} \dfrac 52\\-\dfrac  52\\ 0 \end{pmatrix}.

On obtient :   \overrightarrow{BH}=\dfrac 5 2 \overrightarrow{n_1}   ce qui montre que   \overrightarrow{BH}   est bien orthogonal au plan   (CAD)

3. a) Montrons que   ABH   est rectangle en   H.

\overrightarrow{HA}~\begin{pmatrix} \dfrac 52\\ \dfrac  52\\ 0 \end{pmatrix}   et   \overrightarrow{HB}~\begin{pmatrix} -\dfrac 52\\ \dfrac  52\\ 0 \end{pmatrix}.

Calculons le produit scalaire de ces deux vecteurs.

\overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{HB}=-\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}+0=0

Le produit scalaire est nul, les deux vecteurs sont orthogonaux et le triangle   ABH   est rectangle en   H .

\white{w}b)   L'aire du triangle   (ABH)   vaut   \mathcal A=\dfrac {HA\times HB}{2}.

Or   HA=HB=\sqrt{\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}}=\dfrac{\sqrt{50}}{2}=\dfrac{5\sqrt 2}{2}.

Donc   \mathcal A= \dfrac 1 2 \times  \dfrac{5\sqrt 2}{2}\times \dfrac{5\sqrt 2}{2}=\dfrac{25}{4}

4. a)   Montrons que (CO)   est la hauteur du tétraèdre   (ABCH)   issue de   C.

\overrightarrow{CO}~\begin{pmatrix} 0\\ 0\\-10 \end{pmatrix}

Donc :   \overrightarrow{CO}\cdot \overrightarrow{BH}=0   et   \overrightarrow{CO}\cdot \overrightarrow{HA}=0

On en déduit que la droite   (CO)   est orthogonale à deux droites sécantes du plan   (ABH),   donc que la droite   (CO)   est orthogonale au plan   (ABH).

De plus, les quatre points   A\;,B\;,H\;,O   ont tous quatre leur côte nulle, Ils sont donc coplanaires et le point   O est bien la hauteur de   (ABCH) issue de  C .

\white{w}b)   Soit   \mathcal V   le volume cherché. En considérant pour base le triangle   ABH (qui a pour aire   \dfrac{25}{4}  ) et pour hauteur  [CO]  qui a pour longueur  10 , on obtient :

\mathcal V= \dfrac 1 3 \mathcal B \times h = \dfrac 1 3 \times \dfrac{25}{4}\times 10=\dfrac{125}{6}.

5.   ABC étant rectangle en  B, l'aire de  ABC   vaut \mathcal A\,(ABC)=\dfrac{AB\times AC}{2}.   Or  AB=5   et   AC=5\sqrt 5   donc  \mathcal A\,(ABC)=\dfrac{25\sqrt 5}{2}.  

\mathcal V=\dfrac 1 3 \mathcal A\,(ABC)\times d.

\dfrac{125}{6}=\dfrac 1 3\times \dfrac{25\sqrt 5}{2}\times d

125=25\sqrt 5 \,d   d'où   d=\dfrac{125}{25\sqrt 5}=\sqrt 5.

6 points

exercice 4

Partie A : Etude de la fonction   f


Soit f définie sur R+* par : f(x)=x-2+\dfrac 1 2 \ln x\cdot

1. a)   \lim\limits_{x\to 0}(x-2)=-2\quad\text{ et } \quad \lim\limits_{x\to 0}\dfrac 12 \ln x=-\infty

Par somme, on obtient : \lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty

\lim\limits_{x\to +\infty}(x-2)=+\infty\quad\text{ et } \quad \lim\limits_{x\to 0}\dfrac 12 \ln x=+\infty

Par somme, on obtient : \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty

\white{w}b)   f est dérivable et f'(x)=1+\dfrac{1}{2x}=\dfrac{2x+1}{2x}\cdot

\white{w}c)   Sur R+* ,  2x > 0  et  2x+1 > 0 . On en déduit que la dérivée est strictement positive.

\white{w}d)   Calculons la dérivée seconde.  f''(x)=\dfrac{(2x)2-(2x+1)2}{(2x)^2}=\dfrac{-2}{(2x)^2}= \dfrac{-1}{2x^2}  quantité strictement négative. On en déduit que la fonction est concave sur son ensemble de définition.

2. a)   On a montré que  f'  est strictement positive sur son ensemble de définition. La fonction  f   est donc strictement croissante sur  ]0\;;\;+\infty . Mais on sait qu'elle est dérivable donc continue sur ce même ensemble.

\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty  et  \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty. Or 0 \in ]-\infty\;;\;+\infty[

d'après le théorème des valeurs intermédaires, il existe un unique  \alpha  tel que  f(\alpha)=0\cdot

Comme  f(1)=-1<0  et  f(2)=\dfrac 12 \ln 2 > 0 , on peut dire que   \alpha \in ]1\;;\;2[   et donc a fortiori   \alpha \in [1\;;\;2]\cdot

\white{w}b)

\white{ww}\begin{array} {|c|cccccc|} \hline x &0& & \alpha &  & +\infty & \\\hline& & & & \nearrow && \\\text{variation de } f&&&0&&&\\ {}&& \nearrow  &&&&\\\hline {signe} &  & - &  & + &  &  \\\hline\end{array}

Comme   f   est strictement croissante sur   ]0\;;\;\alpha[   et que   f(\alpha)=0  , alors sur   ]0\;;\;\alpha[ \quad f(x)<0 et sur   ]\alpha\;;\;+\infty[ \quad f(x)> 0\cdot

\white{w}c)   f(\alpha)=0\Longleftrightarrow \alpha-2+\dfrac12 \ln \alpha=0 \Longleftrightarrow 2\alpha -4=-\ln \alpha \Longleftrightarrow \ln \alpha = 2(2-\alpha)

Partie B : étude de la fonction    g


La fonction   g est définie sur   ]0\;;\;1]   par   g(x)=-\dfrac 78 x^2+x-\dfrac 14 x^2\ln x\cdot

1.   g'(x)=-\dfrac 7 4 x +1-\dfrac 1 4 \left(2x\ln x+x^2\times \dfrac 1 x\right)= -\dfrac 7 4 x +1-\dfrac{x\ln x}{2}-\dfrac 1 4 x=-2x+1-\dfrac{x\ln x}{2} d'une part.

D'autre part,   xf\left(\dfrac 1 x\right)=x\times \left(\dfrac 1 x -2+\dfrac 1 2 \ln \left(\dfrac 1 x\right)\right) = 1 - 2x +\dfrac x 2(-\ln x)=1-2x-\dfrac{x\ln x}{2}\cdot

On peut en conclure que pour   x\in ]0\;;\;1]~,~g'(x)=xf\left(\dfrac 1 x\right)\cdot

2. a)   Si x\in \left]0\;;\;\dfrac{1}{\alpha}\right]   , alors :   \dfrac 1 x \in ]\alpha\;;\;+\infty[ et f\left(\dfrac 1 x\right) > 0    (cf partie A, b)

\white{w}b)  
\begin{array} {|c|cccccc|} x &0 & & \dfrac{1}{\alpha} & & 1 & \\ \\  \text{signe de } f(\frac 1 x)&|| & + & 0 & - & & \\ \\  \text{signe de } g'(x)&|| & + & 0 & - & & \\ \\  \text{variation de } g& ||& \nearrow & & \searrow & & \end{array}

Partie C : un calcul d'aire.


\mathcal C_g\;:\;g(x)=-\dfrac 78 x^2+x-\dfrac 14 x^2\ln x

\mathcal P\;:\; y=-\dfrac 7 8 x^2+x

Evaluons la différence   g(x)-y   afin d'en étudier le signe.

g(x)-y=-\dfrac 14 x^2\ln x   est du signe opposé à   \ln x.

Conclusion : pour   x\in ]0\;;\;1]\;,\; \ln x \le 0   donc   g(x)-y \ge 0   et   \mathcal C_g   est au dessus de   \mathcal P .

\white{w}b)   Soit   \mathcal I=\begin{aligned}\int_{\frac {1}{\alpha}}^1 x^2\ln x\text dx\end{aligned}\cdot

Intégrons par parties. Je pose :

\begin{matrix} u'(x)=x^2&\quad u(x)=\dfrac{x^3}{3} \\ \\ v(x)=\ln x& \quad v'(x)=\dfrac 1 x \end{matrix}

u~,~u'~,~v~,~v'~   toutes quatre dérivables donc continues. Alors :

\mathcal I=\left[\dfrac{x^3}{3}\ln x\right]_{\frac {1}{\alpha}}^1-\begin{aligned}\int_{\frac {1}{\alpha}}^1  \dfrac{x^3}{3}\times \dfrac 1 x \text dx\end{aligned}=\left[\dfrac{x^3}{3}\ln x\right]_{\frac {1}{\alpha}}^1 -\left[\dfrac{x^3}{9}\right]_{\frac {1}{\alpha}}^1

\mathcal I=-\dfrac{1}{3\alpha ^3}-\dfrac 1 9 +\dfrac{1}{9\alpha ^3}

Remarque :   \ln \left(\dfrac{1}{\alpha}\right)=-\ln[\alpha)=2(\alpha -2)\cdot

En remplaçant :   \mathcal I=\dfrac{-1}{3\alpha ^3}\times 2(\alpha - 2)-\dfrac 1 9 + \dfrac{1}{9\alpha ^3}=  \dfrac{-\alpha ^3-6\alpha+13}{9\alpha ^3}\cdot

2.   On sait que   \mathcal C_g   est au dessus de   \mathcal P.

\mathcal A=\begin{aligned}\int_{\frac {1}{\alpha}}^1 \left( g(x)-\left( -\dfrac 7 8 x^2+x\right)\right)\text dx\end{aligned}

\mathcal A=\begin{aligned}\int_{\frac {1}{\alpha}}^1 -\dfrac 1 4 x^2\ln x\text dx\end{aligned}

\mathcal A=-\dfrac 1 4 \mahcal I

\mathcal A= \dfrac{\alpha ^3+6\alpha-13}{36 \alpha ^3}\cdo
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