Fiche de mathématiques
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Bac général spécialité Mathématiques

Métropole 2024 Jour 2

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Durée : 4 heures


L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.


5 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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6 points

exercice 3

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4 points

exercice 4

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Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2

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5 points

exercice 1

On demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre individuellement à la question : ''Pensez-vous avoir réussi l'examen ?''.
Seules les réponses ''oui'' ou ''non'' sont possibles et on observe que 91,7% des étudiants interrogés ont répondu ''oui''.

Suite à la publication des résultats de l'examen, on découvre que :
{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}65% des étudiants ayant échoué ont répondu ''non'' ;
{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}98% des étudiants ayant réussi ont répondu ''oui''.

On note  \overset{ { \white{ . } } } { R }  l'événement ''l'étudiant a réussi l'examen'' et  \overset{ { \white{ . } } } { Q }  l'événement ''l'étudiant a répondu ''oui'' à la question ''.

1.  Nous devons préciser les valeurs des probabilités  \overset{ { \white{ . } } } { P(Q) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { P_{\overline{R}}(\overline{Q}). } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}On observe que 91,7% des étudiants interrogés ont répondu ''oui''.
{ \white{ xx } }Donc  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{P(Q)=0,917}  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}On découvre que 65% des étudiants ayant échoué ont répondu ''non''.
{ \white{ xx } }Donc  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{P_{\overline{R}}(\overline{Q})=0,65}  } 

2.  On note  \overset{ { \white{ . } } } { x }  la probabilité que l'élève interrogé ait réussi l'examen.

2. a)  Arbre pondéré modélisant les données.

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2. b)  Nous devons déterminer  \overset{ { \white{ . } } } { P(R)=x. } 

Les événements  \overset{{\white{_.}}}{R}  et  \overline{R}  forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

{ \white{ xxi } }P(Q)=P(R\cap Q)+P(\overline{R}\cap Q)\quad\Longleftrightarrow  P(Q)=P(R)\times P_R(Q)+P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(Q) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(Q)=P(R\cap Q)+P(\overline{R}\cap Q)}\quad\Longleftrightarrow  0,917=x\times 0,98+(1-x)\times 0,35} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(Q)=P(R\cap Q)+P(\overline{R}\cap Q)}\quad\Longleftrightarrow  0,917=0,98x+0,35-0,35x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(Q)=P(R\cap Q)+P(\overline{R}\cap Q)}\quad\Longleftrightarrow  0,567=0,63x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(Q)=P(R\cap Q)+P(\overline{R}\cap Q)}\quad\Longleftrightarrow  x=\dfrac{0,567}{0,63}=0,9} \\\\\Longrightarrow\boxed{x=P(R)=0,9}


3.  L'étudiant interrogé a répondu ''oui'' à la question.
{\white {w} Calculons la probabilité qu'il ait réussi l'examen.

Nous devons déterminer  \overset{{\white{.}}}{P_Q(R).}

{ \white{ xxi } }P_Q(R)=\dfrac{P(R\cap Q)}{P(Q)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{P_Q(R)}=\dfrac{P(R)\times P_R(Q)}{P(Q)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{P_Q(R)}=\dfrac{0,9\times 0,98}{0,917}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{P_Q(R)}\approx0,962} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_Q(R)\approx0,962}

D'où la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen sachant qu'il a répondu ''oui'' à la question est environ égale à 0,962.

4.  Nous devons déterminer la valeur de l'entier  \overset{ { \white{ . } } } { k }  telle que  \overset{ { \white{ . } } } { P(N\ge k)=0,65. } 
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\cdots\cdots \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}P(N\ge10)\approx0,8996} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}P(N\ge11)\approx0,7973} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}{\red{P(N\ge12)\approx0,6487}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}P(N\ge13)\approx0,4707} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\cdots\cdots}

Par conséquent, la valeur de l'entier  \overset{ { \white{ . } } } { k }  telle que  \overset{ { \white{ . } } } { P(N\ge k)=0,65 }  est 12.
Cela signifie que si la note est au moins égale à 12/20, environ 65% des étudiants sont récompensés.

Remarque  : Stricto sensu, la réponse à cette question est 11.
Nous avons néanmoins opté pour 12 en sachant que la probabilité de 0,6478 était quasiment égale à 0,65.

5.  On interroge au hasard dix étudiants.
Les variables aléatoires  \overset{ { \white{ . } } } { N_1,N_2,\cdots,N_{10} }  modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun d'entre eux.
On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres (20 ; 0,615).
Soit  \overset{ { \white{ . } } } { S }  la variable définie par  \overset{ { \white{ . } } } {S=N_1+N_2+\cdots+N_{10}.  } 

Nous devons calculer l'espérance  \overset{ { \white{ . } } } { E(S)  }  et la variance  \overset{ { \white{ . } } } { V(S) }  de la variable aléatoire  \overset{ { \white{ . } } } { S. }

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}L'espérance est un opérateur linéaire.
{ \white{ xx } }Dès lors nous obtenons :  

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } } { E(S)=E(N_1+N_2+\cdots +N_{10})} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(S)}=E(N_1)+E(N_2)+\cdots +E(N_{10})}  

Or les variables aléatoires  \overset{ { \white{ . } } } { N_1,N_2,\cdots,N_{10} }  suivent la même loi binomiale de paramètres (20 ; 0,615).

Il s'ensuit que  \overset{ { \white{ . } } } { E(N_1)=E(N_2)=\cdots =E(N_{10})=20\times0,615=12,3. } 
Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ . } } } { E(N_1)+E(N_2)+\cdots +E(N_{10})=10\times12,3=123 } 

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{E(S)=123} } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Les variables aléatoires  \overset{ { \white{ . } } } { N_1,N_2,\cdots,N_{10} }  sont indépendantes.
{ \white{ xx } }Dès lors nous obtenons :  

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } } { V(S)=V(N_1+N_2+\cdots +N_{10})} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V(S)}=V(N_1)+V(N_2)+\cdots +V(N_{10})}  

Or les variables aléatoires  \overset{ { \white{ . } } } { N_1,N_2,\cdots,N_{10} }  suivent la même loi binomiale de paramètres (20 ; 0,615).

Il s'ensuit que  \overset{ { \white{ . } } } { V(N_1)=V(N_2)=\cdots =V(N_{10})=20\times0,615\times0,385=4,7355. } 
Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ . } } } { V(N_1)+V(N_2)+\cdots +V(N_{10})=10\times4,7355=47,355 } 

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{V(S)=47,355} } 

6.  On considère la variable aléatoire  \overset{ { \white{ . } } } {M=\dfrac{S}{10}.  } 

  6. a)  La variable  \overset{ { \white{ _. } } } { M }  modélise la moyenne des notes sur 20 des 10 étudiants interrogés.

6. b)  D'une part,

{ \white{ xxi } }E(M)=E\left(\dfrac{S}{10}\right) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{E(M)}=\dfrac{1}{10}E(S)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{E(M)}=\dfrac{1}{10}\times123} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{E(M)}=12,3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(M)=12,3}

D'autre part,

{ \white{ xxi } }V(M)=V\left(\dfrac{S}{10}\right) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{V(M)}=\dfrac{1}{10^2}E(S)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{V(M)}=\dfrac{1}{100}\times47,355} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{V(M)}=0,47355} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{V(M)=0,47355}

6. c)  Nous devons justifier que la probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d'au moins 80%.

\boxed{10,3< M <14,3}\quad\Longleftrightarrow\quad 10,3-12,3<M-12,3<14,3-12,3 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\boxed{10,3< M <14,3}}\quad\Longleftrightarrow\quad -2<M-12,3<2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\boxed{10,3< M <14,3}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\Big|M-12,3\Big|<2}}

En appliquant les notations de l'exercice, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev se traduit par :

P\Big(|M-E(M)|\ge k\Big)\le\dfrac{V(M)}{k^2} , soit  \boxed{P\Big(|M-12,3|\ge k\Big)\le\dfrac{0,47355}{k^2}}  où  \overset{ { \white{ . } } } { k>0. } 

Prenons  \overset{ { \white{ . } } } { k=2. } 

P\Big(|M-12,3|\ge 2\Big)\le\dfrac{0,47355}{2^2}\quad\Longleftrightarrow\quad 1-P\Big(|M-12,3|< 2\Big)\le\dfrac{0,47355}{4} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P\Big(|M-12,3|\ge 2\Big)\le\dfrac{0,47355}{2^2}}\quad\Longleftrightarrow\quad P\Big(|M-12,3|< 2\Big)\ge1-\dfrac{0,47355}{4}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P\Big(|M-12,3|\ge 2\Big)\le\dfrac{0,47355}{2^2}}\quad\Longleftrightarrow\quad P\Big(|M-12,3|< 2\Big)\ge0,8812125} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P\Big(|M-12,3|\ge 2\Big)\le\dfrac{0,47355}{2^2}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P\Big(|M-12,3|< 2\Big)\ge0,8}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P\Big(|M-12,3|\ge 2\Big)\le\dfrac{0,47355}{2^2}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(10,3<M<14,3)\ge0,8}}

D'où il est vrai que la probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d'au moins 80%.



5 points

exercice 2

Partie A : étude d'un modèle discret.

1.  La piscine contient 50 000 L d'eau.
Pour cette contenance d'eau, 15 g de chlore correspond à un taux exprimé en g.L-1 égal à  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{15}{50\,000}=0,0003, } 
soit 0,3 mg.L-1.
D'où cet ajout de 15 g de chlore fait augmenter le taux de 0,3 mg.L-1.

2.  Pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } {n,  }  on note  \overset{ { \white{ . } } } { v_n }  le taux de chlore en mg.L-1 obtenu  \overset{ { \white{ . } } } { n }  jours après le 19 juin.
Ainsi  \overset{ { \white{ . } } } { v_0=0,7. } 
On admet que pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n,\quad v_{n+1}=0,92v_n+0,3. } 

2. a)  Nous devons montrer par récurrence que pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n,\quad v_n\le v_{n+1}\le 4. } 

Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que   \overset{{\white{.}}}{v_0\le v_{1}\le 4.}
C'est une évidence car par définition de la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n), } 

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}v_0=0,7\phantom{WWWW}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {v_1=0,92v_0+0,3}\\\phantom{iWW}=0,92\times0,7+0,3\\=0,944\phantom{xxxx}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{v_0\le v_1\le4} 
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,   \overset{{\white{.}}}{ v_n\le v_{n+1}\le 4}  , alors   \overset{{\white{.}}}{v_{n+1}\le v_{n+2}\le 4 .}
En effet,

{ \white{ xxi } }v_n\le v_{n+1}\le4\quad\Longleftrightarrow\quad 0,92\times v_n\le 0,92\times v_{n+1}\le0,92\times4 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_n\le v_{n+1}\le4}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,92\times v_n+0,3\le 0,92\times v_{n+1}+0,3\le0,92\times4+0,3} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_n\le v_{n+1}\le4}\quad\Longleftrightarrow\quad v_{n+1}\le v_{n+2}\le3,98} \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}\le v_{n+2}\le4}

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies,
nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } {n,\quad v_n\le v_{n+1}\le 4. } 

2. b)  Nous savons montré dans la question précédente que la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }  est croissante et majorée par 4.
{ \white{ xxxi } }D'après le théorème de convergence monotone, cette suite  \overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }  est donc convergente.

Nous devons déterminer la limite de la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (v_n). } 

Soit la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { g }  définie sur  \overset{ { \white{ _. } } } {\R  }  par  \overset{ { \white{ . } } } { g(x)=0,92x+0,3. } 

La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { g }  est continue sur  \overset{{\white{_.}}}{\R} .

La suite  \overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }  est définie par la relation de récurrence :  \overset{ { \white{ . } } } { v_{n+1}=g(v_n). } 
Nous savons que la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }  est convergente vers une limite notée  \overset{{\white{_.}}}{\ell} .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que  \overset{{\white{_.}}}{\ell}  vérifie la relation \overset{{\white{.}}}{\ell=g(\ell).}

{ \white{ xxi } }\ell=g(\ell)\quad\Longleftrightarrow\quad\ell= 0,92\,\ell+0,3 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell-0,92\,\ell=0,3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad0,08\,\ell=0,3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell=\dfrac{0,3}{0,08}=3,75}

D'où  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=3,75}}

3.  Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre 1 et 3 mg.L-1.

Or à long terme, le taux de chlore va se stabiliser à 3,75 mg.L-1.

Par conséquent, à long terme, le taux de chlore ne sera pas conforme à la préconisation des piscinistes.

4.  Ci-dessous le script Python renvoyant le plus petit entier  \overset{ { \white{ . } } } { n }  tel que  \overset{ { \white{ . } } } {v_n>s.  } 

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5.  Déterminons la valeur de  \overset{ { \white{ . } } } { n }  obtenue en saisissant l'instruction  \overset{ { \white{ _. } } } { \text{alerte}\underline{\phantom{x}}\text{chlore(3).} } 

Nous voulons donc déterminer le plus petit entier  \overset{ { \white{ . } } } { n }  tel que  \overset{ { \white{ . } } } {v_n>3.  } 

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

{ \white{ xxi } }\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\cdots\cdots\\ \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}v_{15}\approx2,87679\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}v_{16}\approx2,94665\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{{\red{\phantom{x}}v_{17}\approx3,01091}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}v_{18}\approx3,07004\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\cdots\cdots

Donc l'instruction  \overset{ { \white{ _. } } } { \text{alerte}\underline{\phantom{x}}\text{chlore(3).} }  renvoie la valeur  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{n=17}\,.}  
Par conséquent, la préconisation des piscinistes sera dépassée au bout de 17 jours.

Partie B : étude d'un modèle continu.

La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est solution de l'équation différentielle  \overset{ { \white{ . } } } {(E):y'=-0,08y+\dfrac{q}{50}  }  où  \overset{ { \white{ . } } } { q }  est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.

1.  Déterminons les solutions sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R }  de l'équation différentielle  \overset{ { \white{ . } } } { (E). }

La solution générale d'une équation différentielle de la forme  \overset{{\white{.}}}{y'=ay+b}  est  y=C\,\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (C\in\R).
Dans ce cas,  \overset{ { \white{ . } } } {a=-0,08}  et  \underset{{\white{.}}}{-\dfrac ba=-\dfrac{\dfrac{q}{50}}{-0,08}}=\dfrac{q}{4}.
D'où la solution générale de l'équation  \overset{ { \white{ . } } } {(E):y'=-0,08y+\dfrac{q}{50}  }  est de la forme   \boxed{f(x)=C\,\text e^{-0,08x}+\dfrac q4\quad(C\in\R)}

2. a)  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).  } 

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}-0,08x=-\infty\\  \overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{X\to -\infty}\text e^X=0\phantom{WWW}    }\end{matrix}\right.\quad\quad\underset{(X=-0,08x)}{\Longrightarrow}\quad\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\text e^{-0,08x}=0 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}-0,08x=-\infty\\  \overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{X\to -\infty}\text e^X=0\phantom{WWW}    }\end{matrix}\right.zz}\quad\quad\Longrightarrow\quad\quad\quad\lim\limits_{x\to +\infty}\left(C\,\text e^{-0,08x}+\dfrac q4\right)=\dfrac q4

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac q4  }} 

2. b)  \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de 2 mg.L-1.

Donc  \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac q4=2 \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{q=8}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à 0,7 mg.L-1.
Nous obtenons ainsi :  \overset{ { \white{ . } } } { f(0)=0,7. } 

{ \white{ xxi } }\text{Or }\quad f(0)=0,7\quad\Longleftrightarrow\quad C\,\text e^{-0,08\times0}+\dfrac{q}{4}=0,7 \\  \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad f(0)=0,7}\quad\Longleftrightarrow\quad C\times1+\dfrac{8}{4}=0,7} \\  \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad f(0)=0,7}\quad\Longleftrightarrow\quad C+2=0,7} \\  \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad f(0)=0,7}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{C=-1,3}}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}En conclusion, nous obtenons :  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{C=-1,3}  }  et  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{q=8} } 



6 points

exercice 3

On considère une fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  définie et deux fois dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[.}
On a tracé ci-dessous  \overset{ { \white{ . } } } { C_f  }  sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan et sa tangente  \overset{ { \white{ _. } } } { T }  au point  \overset{ { \white{ _. } } } { B }  d'abscisse -1.

On précise que la droite  \overset{ { \white{ _. } } } { T }  passe par le point  \overset{ { \white{ . } } } { A(0\;;\;-1). } 

Bac général spe maths Métropole 2024-Jour 2 : image 13


Partie A : exploitation du graphique.


1.  Nous devons préciser  \overset{ { \white{ . } } } { f(-1) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { f'(-1). } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Par lecture graphique, nous obtenons :  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f(-1)=-2}\,. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} \overset{ { \white{ . } } } { f'(-1) }  représente le coefficient directeur de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { T }  passant par les deux points  \overset{ { \white{ _. } } } { A }  et  \overset{ { \white{ . } } } { B. } 

Dès lors,

{ \white{ xxi } }f'(-1)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(-1)}=\dfrac{-2-(-1)}{-1-0}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(-1)}=\dfrac{-1}{-1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(-1)}=1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(-1)=1}

2.  La courbe  \overset{ { \white{ . } } } { C_f  }  paraît posséder un point d'inflexion au point d'abscisse -1,3.
La courbe  \overset{ { \white{ . } } } { C_f  }  ne semble donc pas être convexe sur son ensemble de définition.

3.  La courbe \overset{ { \white{ . } } } { C_f  }  paraît couper l'axe des abscisses en un seul point d'abscisse 0,1.
Il s'ensuit que l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }  semble posséder une solution unique dont la valeur approchée est 0,1.


Partie B : étude de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } {{\red{ f}} } .


On considère que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est définie sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[ }  par  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x^2+2x-1+\ln(x+2). } 

1.  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to-2}f(x). } 

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-2}(x^2+2x-1)=4-4-1=-1\phantom{WWWWWW}\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-2^+}(x+2)=0^+\\\lim\limits_{X\to 0^+}\ln X=-\infty\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=x+2)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to-2^+}\ln(x+2)=-\infty\end{matrix}\right.

D'où  \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to-2^+}\Big(x^2+2x-1+\ln(x+2)\Big)=-\infty } 

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to-2^+}f(x)=-\infty} } 

Graphiquement, nous pouvons en déduire que la droite d'équation  \overset{ { \white{ _. } } } { x=-2 }  est une asymptote verticale pour la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C_f). } 

On admet que  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty} } 

2.  Déterminons l'expression algébrique de  \overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }  pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } { x>-2. } 

Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x>-2, } 

{ \white{ xxi } }f'(x)=\Big(x^2+2x-1+\ln(x+2)\Big)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2x+2+0+\dfrac{(x+2)'}{x+2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2x+2+\dfrac{1}{x+2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{2x^2+4x+2x+4+1}{x+2}}  \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>-2,\quad f'(x)=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}}

3.  Étudions les variations de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[. } 

Sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[,\quad x>-2\quad\Longrightarrow\quad x+2>0. } 
Dès lors, le signe de  \overset{ { \white{ . } } } { f'(x)  }  est le signe de   { 2x^2+6x+5. } 

Le discriminant du trinôme   { 2x^2+6x+5 }  est  { \Delta=6^2-4\times2\times5=-4. } 

Puisque ce discriminant est strictement négatif, le signe du trinôme  \overset{ { \white{ _. } } } { 2x^2+6x+5 }  est le signe de son coefficient principal.
Donc nous obtenons :   { 2x^2+6x+5>0 }  pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x. } 

Par conséquent, pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x>-2,\quad f'(x)>0. } 

Il s'ensuit que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est strictement croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[. } 

Nous pouvons alors dresser le tableau de variations de  \overset{ { \white{ . } } } { f }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[. } 

\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-2&&&&&&+\infty &&&&&&&&\\\hline&||&&&&&& \\f'(x)&||&+&+&+&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline&||&&&&&&+\infty\\f&||&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\\&-\infty&&&&&&\\\hline \end{array}


4.  Montrons que l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }  admet une unique solution  \overset{ { \white{ . } } } { \alpha }  sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } {]-2\;;\;+\infty\,[.} 

La fonction  \overset{ { \white{ . } } } {f  }  est continue est strictement croissante sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } {]-2\;;\;+\infty\,[.} 

De plus,  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to -2^+}f=-\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}f=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\in\;]\lim\limits_{x\to -2^+}f\;;\;\lim\limits_{x\to+\infty}f\,[} }  

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel  \overset{ { \white{ . } } } { \alpha\in\,]-2\;;\;+\infty\,[ } tel que  \overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=0. } 
Par la calculatrice, nous obtenons  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \alpha\approx 0,12} }  (valeur arrondie à 10-2 près).

5.  Nous pouvons en déduire le signe de  \overset{ { \white{ . } } } { f(x) }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[. } 

  \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-2&&&\alpha&&&+\infty &&&&&&&&\\\hline&||&&&&&&+\infty\\f&||&\nearrow&\nearrow&0&\nearrow&\nearrow&\\&-\infty&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\f(x)&||&-&-&0&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline \end{array}


6.  Montrons que  \overset{ { \white{ . } } } { C_f }  admet un unique point d'inflexion.

Étudions le signe de  \overset{ { \white{ . } } } { f''(x) }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[. } 

Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est deux fois dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[. } 

Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } {x>-2, } 

{ \white{ xxi } }f''(x)=\left(\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}\right)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\dfrac{(2x^2+6x+5)'\times(x+2)-(2x^2+6x+5)\times (x+2)'}{(x+2)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\dfrac{(4x+6)\times(x+2)-(2x^2+6x+5)\times 1}{(x+2)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\dfrac{4x^2+8x+6x+12-2x^2-6x-5}{(x+2)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\dfrac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>2,\;f''(x)=\dfrac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2}}

Sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[,\quad x>-2\quad\Longrightarrow\quad x+2>0. } 
Dès lors, le signe de  \overset{ { \white{ . } } } { f''(x)  }  est le signe de   { 2x^2+8x+7. } 

Le discriminant du trinôme   { 2x^2+8x+7 }  est  { \Delta=8^2-4\times2\times7=8>0. } 

Le trinôme   { 2x^2+8x+7 }  admet donc deux racines réelles distinctes.

{ \white{ xxi } }\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}x_1=\dfrac{-8-\sqrt 8}{4}=\dfrac{-8-2\sqrt 2}{4}=-2-\dfrac{\sqrt 2}{2} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}x_2=\dfrac{-8+\sqrt 8}{4}=\dfrac{-8+2\sqrt 2}{4}=-2+\dfrac{\sqrt 2}{2}

La valeur  \overset{ { \white{ O. } } } { x_1 }  est à exclure car  \overset{ { \white{ . } } } { x_1<-2. } 

Dès lors, sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[, }  le trinôme   { 2x^2+8x+7 }  et par suite  \overset{ { \white{ . } } } { f''(x) }  change de signe en ne s'annulant qu'une seule fois en   { x_2=-2+\dfrac{\sqrt 2}{2}. } 

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { C_f }  admet un unique point d'inflexion dont l'abscisse est  \overset{ { \white{ . } } } { -2+\dfrac{\sqrt 2}{2}. } 


Partie C : une distance minimale.


Soit  \overset{ { \white{ . } } } { g }  la fonction définie sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[. }  par  \overset{ { \white{ . } } } { g(x)=\ln(x+2). } 
On note  \overset{ { \white{ . } } } { C_g }  sa courbe représentative dans un repère orthonormé  \overset{ { \white{ . } } } { (O;I,J) .} 
Soit  \overset{ { \white{ _. } } } { M }  un point de  \overset{ { \white{ . } } } { C_g }  d'abscisse  \overset{ { \white{ . } } } { x. } 
Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de  \overset{ { \white{ . } } } { x }  la distance  \overset{ { \white{ . } } } { JM }  est minimale.

On considère la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { h }  définie sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-2\;;\;+\infty[ }  par  \overset{ { \white{ . } } } { h(x)=JM^2. } 

1.  Nous avons :  \overset{ { \white{ . } } } { J(0\;;\;1) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { M(x\;;\; g(x)), }  soit  \overset{ { \white{ . } } } { M(x\;;\;\ln(x+2)). } 

Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x>2, } 

{ \white{ xxi } }h(x)=JM^2=(x_M-x_J)^2+(y_M-y_J)^2 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{h(x)=JM^2}=(x-0)^2+[\ln(x+2)-1]^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{h(x)=JM^2}=x^2+[\ln(x+2)-1]^2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>-2,\quad h(x)=x^2+[\ln(x+2)-1]^2}

2.  On admet que la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { h }  est dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } {]-2\;;\;+\infty[.  } 
On admet également que pour tout réel  \overset{ { \white{ _. } } } { x>-2,\quad h'(x)=\dfrac{2\,f(x)}{x+2} .} 
2. a)  Dressons le tableau de variations de  \overset{ { \white{ _. } } } { h }  sur  \overset{ { \white{ . } } } {]-2\;;\;+\infty[.  } 
{ \white{ xxxi } }(Les limites ne sont pas demandées).

En utilisant le tableau de la question 5. - Partie B, nous obtenons :

  \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-2&&&\alpha&&&+\infty&&&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\2\,f(x)&||&-&-&0&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\x+2&||&+&+&+&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\h'(x)&||&-&-&0&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\h&||&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow&\\&||&&&&&&\\\hline \end{array}


2. b)  Nous en déduisons que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { h }  admet un minimum en  \overset{ { \white{ . } } } { \alpha. } 
D'où,  \overset{ { \white{ . } } } { JM^2 }  est minimale en  \overset{ { \white{ . } } } { \alpha. } 

Or la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto \sqrt x }  est strictement croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } { \R^+. } 

Donc  \overset{ { \white{ . } } } { JM }  est minimale en  \overset{ { \white{ . } } } { \alpha } 

3.  On notera  \overset{ { \white{ . } } } { M_{\alpha} }  le point de  \overset{ { \white{ . } } } { C_g }  d'abscisse  \overset{ { \white{ . } } } { \alpha. } 

3. a)  Montrons que  \overset{ { \white{ . } } } {\ln(\alpha +2)=1-2\alpha-\alpha^2.  } 

En effet,

{ \white{ xxi } }f(\alpha)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha^2+2\alpha-1+\ln(\alpha+2)=0 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{f(\alpha)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\ln(\alpha+2)=1-2\alpha-\alpha^2}}

3. b)  Nous devons en déduire que la tangente à  \overset{ { \white{ . } } } { C_g }  au point  \overset{ { \white{ . } } } { M_{\alpha} }   et la droite  \overset{ { \white{ . } } } {(JM_{\alpha})  }  sont perpendiculaires.
On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Le coefficient directeur de la tangente à  \overset{ { \white{ . } } } { C_g }  au point  \overset{ { \white{ . } } } { M_{\alpha} }  est égal à  \overset{ { \white{ . } } } { g'(\alpha). } 

\text{Or }g(x)=\ln(x+2)\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\dfrac{1}{x+2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }g(x)=\ln(x+2)}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ g'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2}}}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Le coefficient directeur de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (JM_{\alpha})  }  est égal à  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha-0}=\boxed{\dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha}}. } 

Montrons que le produit de ces deux coefficients directeurs est égal à -1.

g'(\alpha)\times\dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha +2}\times\dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(\alpha)\times\dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha}}=\dfrac{1-2\alpha-\alpha^2-1}{\alpha(\alpha+2)}\quad(\text{voir question 3. a)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(\alpha)\times\dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha}}=\dfrac{-2\alpha-\alpha^2}{\alpha(\alpha+2)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(\alpha)\times\dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha}}=\dfrac{-\alpha(2+\alpha)}{\alpha(\alpha+2)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(\alpha)\times\dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha}}=-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{g'(\alpha)\times\dfrac{g(\alpha)-1}{\alpha}=-1}

Par conséquent, la tangente à  \overset{ { \white{ . } } } { C_g }  au point  \overset{ { \white{ . } } } { M_{\alpha} }   et la droite  \overset{ { \white{ . } } } {(JM_{\alpha})  }  sont perpendiculaires.



4 points

exercice 4

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants :

A(2\;;\;0\;;\;0),\;B(0\;;\;4\;;\;3),\;C(4\;;\;4\;;\;1),\;D(0\;;\;0\;;\;4),\;H(-1\;;\;1\;;\;2).




Affirmation 1 : les points  \overset{ { \white{ . } } } { A,\,C }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  définissent un plan  \overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P} }  d'équation  \overset{ { \white{ . } } } { 8x-5y+4z-16=0 .} 
L'affirmation 1 est vraie.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Montrons d'abord que les points  \overset{ { \white{ . } } } { A,\,C }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  ne sont pas alignés.

Nous allons montrer que les vecteurs   { \overrightarrow{AC} }  et  { \overrightarrow{AD} }  ne sont pas colinéaires.

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}A(2\;;\;0\;;\;0)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  C(4\;;\;4\;;\;1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}4-2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 4-0} \\1-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 4}\\1\end{pmatrix}}

{ \white{ xxi } }{\left\lbrace\begin{matrix}A(2\;;\;0\;;\;0)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  D(0\;;\;0\;;\;4)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow {AD}\begin{pmatrix}0-2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0-0} \\4-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AD}\begin{pmatrix}-2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0}\\4\end{pmatrix}}}

Manifestement, les vecteurs  \overrightarrow {AC}  et  \overrightarrow {AD}  ne sont pas colinéaires.

Par conséquent, les points  \overset{ { \white{ . } } } { A,\;C }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  ne sont pas alignés.
Nous en déduisons que les points  \overset{ { \white{ . } } } { A,\;C }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  déterminent un plan.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Montrons que les coordonnées des points  \overset{ { \white{ . } } } { A,\;C }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  vérifient l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P}:8x-5y+4z-16=0 .} 

\left\lbrace\begin{matrix}8\times2-5\times0+4\times0-16=16-16=0 \phantom{WWWx} \\8\times4-5\times4+4\times1-16=32-20+4-16=0 \\8\times0-5\times0+4\times4-16=16-16=0 \phantom{WWWx}\end{matrix}\right.

Il s'ensuit que  \overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}A\in\mathscr{P}\\C\in\mathscr{P}\\D\in\mathscr{P}\end{matrix}\right.  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Par conséquent, les points  \overset{ { \white{ . } } } { A,\,C }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  définissent un plan  \overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P} }  d'équation  \overset{ { \white{ . } } } { 8x-5y+4z-16=0 .}



Affirmation 2 : les points  \overset{ { \white{ . } } } { A,\,B,\,C }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  sont coplanaires.
L'affirmation 2 est fausse.

Montrons que les coordonnées du point  \overset{ { \white{ . } } } { B }  ne vérifie pas l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P}:8x-5y+4z-16=0 .} 

En effet,  \overset{ { \white{ . } } } { 8\times0-5\times4+4\times3-16=-20+12-16=-24\neq0. } 

Nous avons donc montré dans la question précédente que les points  \overset{ { \white{ . } } } { A,\,C }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  appartiennent au plan  \overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P} }  d'équation  \overset{ { \white{ . } } } { 8x-5y+4z-16=0 .}
Par contre, le point  \overset{ { \white{ . } } } { B }  n'appartient pas au plan  \overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P}:8x-5y+4z-16=0 .} 

Par conséquent, les points  \overset{ { \white{ . } } } { A,\,B,\,C }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  ne sont pas coplanaires.



Affirmation 3 : les droites  \overset{ { \white{ . } } } { (AC)}  et  \overset{ { \white{ . } } } { (BH) }  sont sécantes.
L'affirmation 3 est vraie.

Nous allons d'abord montrer que les vecteurs   { \overrightarrow{AC} }  et  { \overrightarrow{BH} }  ne sont pas colinéaires.

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}A(2\;;\;0\;;\;0)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  C(4\;;\;4\;;\;1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}4-2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 4-0} \\1-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 4}\\1\end{pmatrix}}

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}B(0\;;\;4\;;\;3)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  H(-1\;;\;1\;;\;2)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {BH}\begin{pmatrix}-1-0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 1-4} \\2-3\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {BH}\begin{pmatrix}-1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -3}\\-1\end{pmatrix}}

Manifestement, les vecteurs  \overrightarrow {AC}  et  \overrightarrow {BH}  ne sont pas colinéaires.

Dès lors, les droites  \overset{ { \white{ . } } } { (AC) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (BH) }  ne sont pas parallèles.

Montrons que ces droites sont sécantes.

Des représentations paramétriques des droites  \overset{ { \white{ . } } } { (AC) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (BH) }  sont respectivement :

\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2r\\y=4r\phantom{Ww}\\z=r\phantom{WW}\end{matrix}\right.\quad (r\in \R)   et   \left\lbrace\begin{matrix}x=-s\phantom{W}\\y=4-3s\\z=3-s\phantom{x}\end{matrix}\right.\quad (s\in \R)


Résolvons le système composé par ces deux représentations paramétriques.

\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2r\\y=4r\phantom{Ww}\\z=r\phantom{WW}\\x=-s\phantom{W}\\y=4-3s\\z=3-s\phantom{x}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2r\\y=4r\phantom{Ww}\\z=r\phantom{WW}\\2+2r=-s\phantom{W}\\4r=4-3s\\r=3-s\phantom{x}\end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2r\\y=4r\phantom{Ww}\\z=r\phantom{WW}\\2+2(3-s)=-s\phantom{W}\\4(3-s)=4-3s\\r=3-s\phantom{x}\end{matrix}\right.

{ \white{ WWWWWWW} }\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2r\\y=4r\phantom{Ww}\\z=r\phantom{WW}\\8-2s=-s\phantom{W}\\12-4s=4-3s\\r=3-s\phantom{x}\end{matrix}\right.  \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2r\\y=4r\phantom{Ww}\\z=r\phantom{WW}\\s=8\phantom{WW}\\12-4s=4-3s\\r=3-s\phantom{x}\end{matrix}\right.

{ \white{ WWWWWWW} } \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2r\\y=4r\phantom{Wx}\\z=r\phantom{WW}\\s=8\phantom{WW}\\s=8\phantom{WW}\\r=-5\phantom{W}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=-8\\y=-20\\z=-5\phantom{i}\\s=8\phantom{W}\\r=-5\end{matrix}\right.

Le système admet donc une solution unique.

Par conséquent, les droites  \overset{ { \white{ . } } } { (AC)}  et  \overset{ { \white{ . } } } { (BH) }  sont sécantes au point de coordonnées  \overset{ { \white{ . } } } {(-8\;;\;-20\;;\;-5).  } 



On admet que le plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }  a pour équation cartésienne  \overset{ { \white{ . } } } {x-y+2z-2=0.  } 
Affirmation 4 : le point  \overset{ { \white{ _. } } } { H}  est le projeté orthogonal du point  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  sur le plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC). } 
L'affirmation 4 est vraie.

Nous avons :  \left\lbrace\begin{matrix}D(0\;;\;0\;;\;4)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { H(-1\;;\;1\;;\;2)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {DH}\begin{pmatrix}-1-0\\  1-0 \\2-4\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {DH}\begin{pmatrix}-1\\  1\\-2\end{pmatrix}}

Or nous savons qu'une équation cartésienne du plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }  est :  \overset{ { \white{ . } } } {x-y+2z-2=0.  } 
Dès lors, le vecteur  \overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {n}\begin{pmatrix}1\\  -1\\2\end{pmatrix}  }  est un vecteur normal au plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC). } 
Or   { \overrightarrow {DH} }=-\overrightarrow {n}. 
Nous en déduisons que   { \overrightarrow {DH} }  est orthogonal au plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC). } 

De plus le point  \overset{ { \white{ _. } } } { H }  appartient au plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }  car  \overset{ { \white{ . } } } { -1-1+2\times2-2=0. } 

Par conséquent, le point  \overset{ { \white{ _. } } } { H}  est le projeté orthogonal du point  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  sur le plan  \overset{ { \white{ . } } } { (ABC). } 
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