Fiche de mathématiques

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Bac général spécialité maths Amérique du Sud jour 2

Novembre 2024

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L'usage de la calculatrice sans mémoire, $\ll$ type collège $\gg$ est autorisé. 5 points

exercice 1

Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France :

Bac général spécialité maths 2024 Amérique du Sud jour 2 : image 1

A+, O+, B+, A-, O-, AB+, B- et AB- sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus.
Par exemple : A + est le groupe sanguin A de rhésus +.
Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus.
Dans l'exercice, on adopte les notations du type :
A + est l'évènement « la personne est de groupe sanguin A et de rhésus + »
A- est l'évènement « la personne est de groupe sanguin A et de rhésus - »
A est l'évènement « la personne est de groupe sanguin A »
Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1

On note Rh + l'évènement « La personne est de rhésus positif ».

1. Justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à 0,849.

2. Démontrer à l'aide des données de l'énoncé que $P_{Rh+}(A)=0,450$ à 0,001 près.

3. Une personne se souvient que son groupe sanguin est AB mais a oublié son rhésus.
Quelle est la probabilité que son rhésus soit négatif ? Arrondir le résultat à 0,001 près.

Partie 2

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à 0, 001 près.

Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin O et de rhésus négatif.
On rappelle que 6,5 % de la population française est de groupe O-.

1. On considère 50 personnes choisies au hasard dans la population française et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.

$\white w$ a. Déterminer la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels. Justifier votre réponse.

$\white w$ b. On considère la fonction ci-dessous nommée proba d'argument k écrite en langage Python.

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Cette fonction utilise la fonction binomiale d'argument $i\,,\,n\text{ et }p$ , créée pour l'occasion, qui renvoie la valeur de la probabilité $P (X = i )$ dans le cas où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .

Déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction proba lorsqu'on saisit $\text{proba}(8)$ dans la console Python. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. Quel est le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à 0, 999.

5 points

exercice 2

Cet exercice contient 5 affirmations.
Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse.
Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation.

Partie 1

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0=10 \text{ et pour tout entier naturel }n, u_{n+1}=\dfrac 13 u_n+2.$

Affirmation 1 : La suite $(u_n)$ est décroissante minorée par 0.

Affirmation 2 : $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=0.$

Affirmation 3 : la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-3$ est géométrique.

Partie 2

On considère l'équation différentielle $(E)\,:\,y'=\dfrac 32 y+2$ d'inconnue $y$ , fonction définie et dérivable sur $\textbf R.$

1. Affirmation 4 : Il existe une fonction constante solution de l'équation différentielle $(E).$

2. Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j)$ on note $\mathcal C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que $f(0)=0.$

Affirmation 5 : La tangente au point d'abscisse 1 de $\mathcal C_f$ a pour coefficient directeur $2\text e^{\frac 32}.$

5 points

exercice 3

Partie 1

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\textbf R$ par : $f(x)=(x^2-4)\text e^{-x}.$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\textbf R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty.$

2. Justifier que pour tout réel $x\,,\,f'(x)=(-x^2+2x+4)\text e^{-x}.$

3. En déduire les variations de $f$ sur $\textbf R.$

Partie 2

On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n=\begin{aligned}\int_{-2}^{0}{x^n\text e^{-x}}\;\text dx\end{aligned}.$

1. Justifier que $I_0=\text e^2-1.$

2. En utilisant une intégration par partie, démontrer l'égalité : $I_{n+1}=(-2)^{n+1}\text e^2 +(n+1)I_n .$

3. En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et de $I_2.$

Partie 3

1. Déterminer le signe sur $\textbf R$ de la fonction $f$ définie dans la partie 1.

2. On a représenté ci-après la courbe $\mathcal C_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O\,;\,\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j)$ .

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Le domaine D du plan hachuré est délimité par la courbe $\mathcal C_f$ , l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $S$ du domaine $D$ .

5 points

exercice 4

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\,,\,\overrightarrow k).$

On considère les trois points $A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0)\text{ et }C(0 ; 0 ; 2)$ .

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L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante :

« Le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre OABC ».

Partie 1 : Distance du point $O$ au plan $(ABC)$

1. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow n (2 ; 3 ; 3)$ est normal au plan $(ABC)$ .

2. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $2x + 3y + 3z - 6 = 0.$

3. Donner une représentation paramétrique de la droite d passant par $O$ et de vecteur directeur $\overrightarrow n$ .

4. On note $H$ le point d'intersection de la droite $d$ et du plan $(ABC)$ . Déterminer les coordonnées du point $H.$

5. En déduire que la distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est égale à $\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$ .

Partie 2 : Démonstration de la propriété

1. Démontrer que le volume du tétraèdre $OABC$ est égal à 2.

2. En déduire que l'aire du triangle $ABC$ est égale à $\sqrt{22}.$

3. Démontrer que pour le tétraèdre $OABC$ , « le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre ».

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V=\dfrac 13 B\times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.

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5 points

exercice 1

Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France :

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Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus.

Partie 1

On note Rh + l'événement « La personne est de rhésus positif ».

1. Nous devons justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à 0,849.

Additionnons les pourcentages des personnes possédant un rhésus positif.

Nous obtenons 38,2 + 36,5 + 7,7 + 2,5 = 84,9.
Dès lors, 84,9 % des habitants de France sont de rhésus positif.

Par conséquent, la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à 0,849.

2. Nous devons démontrer à l'aide des données de l'énoncé que $\overset{ { \white{ . } } } { P_{Rh+}(A)=0,450 }$ à 0,001 près.

${ \white{ xxi } }$ $P_{Rh+}(A)=\dfrac{P(Rh+\cap\; A)}{P(Rh+)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_{Rh+}(A)} =\dfrac{P(A+)}{P(Rh+)} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_{Rh+}(A)} =\dfrac{0,382}{0,849} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_{Rh+}(A)} \approx 0,450} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_{Rh+}(A) \approx 0,450}$

3. Une personne se souvient que son groupe sanguin est AB mais a oublié son rhésus.
Déterminons la probabilité que son rhésus soit négatif.

Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } {P_{AB}(Rh-) \,. }$

${ \white{ xxi } }$ $P_{AB}(Rh-)=\dfrac{P(AB\cap\,Rh-)}{P(AB)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_{Rh+}(A)} =\dfrac{P(AB-)}{P(AB)} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_{Rh+}(A)} =\dfrac{0,004}{0,029}\quad(\text{car } P(AB)=P(AB+)+P(AB-)}\\\phantom{WWWWWWWWWWWWW}=0,025+0,004=0,029) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_{Rh+}(A)} \approx 0,138} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_{AB}(Rh-)\approx 0,138}$

Par conséquent, la probabilité qu'une personne soit de rhésus négatif sachant que le groupe sanguin est AB, est environ égale à 0,138.

Partie 2

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à 0, 001 près.

Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin O et de rhésus négatif.
On rappelle que 6,5 % de la population française est de groupe O-.

1. On considère 50 personnes choisies au hasard dans la population française et on note $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.

1. a) Déterminons la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels.

Nous pouvons supposer que ce choix peut être assimilé à 50 tirages indépendants avec remise.

Lors de cette expérience, on répète 50 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « la personne choisie est un donneur universel » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=0,065. }$
Echec : « la personne choisie n'est pas un donneur universel » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=0,935. }$
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ compte le nombre de donneurs universels, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(50\,;\,0,065\right) }$ .
Cette loi est donnée par : $\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}50\\k\end{pmatrix}\times\left(0,065\right)^k\times\left(0,935\right)^{ 50-k } }$

« la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels » peut se traduire par : $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=8). }$

${ \white{ xxi } }$ $P(X=8)=\begin{pmatrix}50\\8\end{pmatrix}\times\left(0,065\right)^8\times\left(0,935\right)^{ 50-8} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(X=8)}=\begin{pmatrix}50\\8\end{pmatrix}\times\left(0,065\right)^8\times\left(0,935\right)^{ 42} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(X=8)}\approx0,010} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=8)\approx0,010}$

D'où la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels est environ égale à 0,010.

1. b) On considère la fonction ci-dessous nommée proba d'argument k écrite en langage Python.

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Nous devons déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction proba lorsqu'on saisit $\overset{ { \white{ . } } } { \text{proba}(8) }$ dans la console Python et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Lorsqu'on saisit $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{proba}(8) }$ , la valeur numérique renvoyée par la fonction proba est la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { P(X\le 8). }$

Par la calculatrice, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } {P(X\le 8)\approx 0,995456. }$

Par conséquent, la valeur numérique renvoyée par la fonction proba lorsqu'on saisit $\overset{ { \white{ . } } } { \text{proba}(8) }$ dans la console Python est 0,995.

Dans le cadre de l'exercice, cela signifie que dans un échantillon de 50 personnes, la probabilité qu'il y ait au plus 8 personnes étant du groupe O- est égale à 0,995.

2. Nous devons déterminer quel est le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à 0, 999.

Lors de cette expérience, on répète $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « la personne est donneur universel » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=0,065. }$
Echec : « la personne n'est pas donneur universel » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=0,935. }$
Soit la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { Y }$ comptant le nombre de personnes donneurs universels sur les $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ personnes, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { Y }$ suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(n\,;\,0,065\right) }$ .
Cette loi est donnée par : $\boxed{ P(Y=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times\left(0,065\right)^k\times\left(0,935\right)^{ n-k } }$

« la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à 0, 999 » peut se traduire par : $\overset{ { \white{ . } } } { P(Y\ge 1)>0,999. }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $P(Y\ge 1)>0,999\quad\Longleftrightarrow\quad 1- P(Y=0)>0,999 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,999}\quad\Longleftrightarrow\quad -P(Y=0)>-0,001} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,999}\quad\Longleftrightarrow\quad P(Y=0)<0,001} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,999}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times\left(0,065\right)^0\times\left(0,935\right)^{ n-0 }<0,001} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,999}\quad\Longleftrightarrow\quad 1\times1\times0,935^{ n }<0,001}$
${ \white{ P(Y\ge 1)>0,999WWWWWWWWWWW } }$ $\phantom{ P(Y\ge 1)>0,999888}\quad\Longleftrightarrow\quad0,935^{ n }<0,001 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,999888}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln 0,935^{ n }<\ln 0,001} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,999888}\quad\Longleftrightarrow\quad n\times \ln 0,935<\ln 0,001} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,999888}\quad\Longleftrightarrow\quad n >\dfrac{\ln 0,001}{ \ln 0,935}}\quad(\text{changement de sens de l'inégalité car } \ln 0,935<0) \\\\\text{Or }\quad\dfrac{\ln 0,001}{ \ln0,935}\approx 102,78.$

Le plus petit nombre entier $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ vérifiant cette inégalité est $\overset{ { \white{ _. } } } { n=103. }$

Par conséquent, il faut au moins 103 personnes pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à 0, 999.

5 points

exercice 2

Partie 1

On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=10 }$ et pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n,\quad u_{n+1}=\dfrac 13 u_n+2. }$

Affirmation 1 : La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante minorée par 0. - Affirmation vraie.

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ O. } } } { n, }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { 0\le u_{n+1}\le u_n. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ _. } } } { n=0 }$ , soit que $\overset{{\white{.}}}{0\le u_{1}\le u_0.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}u_0=10\phantom{WWWWWWWxW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { u_1=\dfrac13\times10+2= \dfrac{16}{3}\approx5,3}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\le u_{1}\le u_0}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ , alors elle est encore vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { (n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{ 0\le u_{n+1}\le u_n}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{0\le u_{n+2}\le u_{n+1} .}$

En effet, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ O. } } } { n, }$

${ \white{ xxi } }$ $0\le u_{n+1}\le u_n\quad\Longrightarrow\quad 0\le \dfrac 13\,u_{n+1}\le \dfrac 13\,u_n \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{0\le u_{n+1}\le u_n }\quad\Longrightarrow\quad 2\le \dfrac 13\,u_{n+1}+2\le \dfrac 13\,u_n +2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{0\le u_{n+1}\le u_n }\quad\Longrightarrow\quad 2\le u_{n+2}\le u_{n+1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{0\le u_{n+1}\le u_n }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\le u_{n+2}\le u_{n+1} }}$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ O. } } } { n, }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{0\le u_{n+1}\le u_n}\,. }$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante minorée par 0.
L'affirmation 1 est donc vraie.

Affirmation 2 : $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=0. }$ - Affirmation fausse.

Nous savons par l'affirmation 1. que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante et minorée par 0.
D'après le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente.

Déterminons la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n). }$

Soit la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\dfrac 13\,x+2. }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=f(u_n). }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{\ell=f(\ell).}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \ell }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { x=f(x). }$
Résolvons l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { x=f(x) }$ dans $\overset{ { \white{ . } } } { \R. }$

${ \white{ xxi } }$ $x=f(x)\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac13\,x+2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ x=f(x)} \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac23\,x=2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ x=f(x)} \quad\Longleftrightarrow\quad x=2\times\dfrac32} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ x=f(x)} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=3}}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3}}$
L'affirmation 2 est donc fausse.

Affirmation 3 : La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ définie pour tout entier $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { v_n=u_n-3 }$ est géométrique. - Affirmation vraie.

${ \white{ xxi } }$ $v_{n+1}=u_{n+1}-3 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\left(\dfrac13\,u_n+2\right)-3} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac13\,u_n-1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac13\,u_n-\dfrac13\times3} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac13\,(u_n-3)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac13\,v_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=\dfrac13\,v_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:v_0=u_0-3=10-3\Longrightarrow\boxed{v_0=7}$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 13 }$ dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { v_0=7. }$
L'affirmation 3 est donc vraie.

Partie 2

On considère l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E):\,y'=\dfrac 32 y+2 }$ d'inconnue $\overset{ { \white{ . } } } { y\,, }$ fonction définie et dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {\R. }$

1. Affirmation 4 : Il existe une fonction constante solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E). }$ - Affirmation vraie.

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)=k\quad(k\in\R). }$
La fonction constante g est solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ si $\overset{ { \white{ . } } } { g'(x)=\dfrac 32\, g(x)+2 }$

$\text{Or }\quad g'(x)=\dfrac 32\, g(x)+2\quad\Longleftrightarrow\quad k'=\dfrac 32\, k+2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad f'(x)=\dfrac 32\, f(x)+2} \quad\Longleftrightarrow\quad 0=\dfrac 32\, k+2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad f'(x)=\dfrac 32\, f(x)+2} \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac 32\, k=-2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad f'(x)=\dfrac 32\, f(x)+2} \quad\Longleftrightarrow\quad k=-2\times\dfrac 23} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad f'(x)=\dfrac 32\, f(x)+2} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{k=-\dfrac 43}}$

Par conséquent, il existe une fonction constante solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ , à savoir la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)=-\dfrac 43. }$
L'affirmation 4 est donc vraie.

2. Dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } {(O\,;\,\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j)\,, }$ on note $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_f }$ la courbe représentative de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } { f(0)=0. }$

Affirmation 5 : La tangente au point d'abscisse 1 de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_f }$ a pour coefficient directeur $\underset{ { \white{'' } } } { 2\text e^{\frac 32}. }$ - Affirmation vraie.

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_f }$ se détermine par $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f'(1)}\,. }$ Rappelons l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\,:\,y'=\dfrac 32 y+2. }$

La solution générale d'une équation différentielle de la forme $\overset{{\white{.}}}{y'=ay+b}$ est $y=k\,\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).$

Dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } { a=\dfrac 32 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { b=2. }$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { -\dfrac b a =-\dfrac{2}{\frac 32} =-\dfrac{4}{3}.}$

D'où la solution générale de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E)}$ s'écrit $\boxed{y(x)=k\,\text{e}^{\frac 32x}-\dfrac 43\ (k\in\R)}$

Déterminons l'expression algébrique de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } { f(0)=0. }$

${ \white{ xxi } }$ $f(0)=0\quad\Longleftrightarrow\quad k\,\text{e}^{\frac 32\times0}-\dfrac 43=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(0)=210}\quad\Longleftrightarrow\quad k-\dfrac 4 3=0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(0)=210}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{k=\dfrac 43 }}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est définie par $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f(x)=\dfrac 43\,\,\text{e}^{\frac 32x}-\dfrac 43}\,. }$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\dfrac 43\times\dfrac 32\,\text{e}^{\frac 32x}-0\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=2\,\text{e}^{\frac 32x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)=\dfrac 43\times\dfrac 32\,\text{e}^{\frac 32x}-0}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'(1)=2\,\text{e}^{\frac 32}}}$

Par conséquent, la tangente au point d'abscisse 1 de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_f }$ a pour coefficient directeur $\underset{ { \white{ } } } { 2\text e^{\frac 32}. }$
L'affirmation 5 est donc vraie.

5 points

exercice 3

Partie 1

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=(x^2-4)\text e^{-x}. }$

On admet que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R . }$

1. Nous devons déterminer les limites de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { -\infty }$ et en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty . }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{P . } } } { \lim\limits_{x\to -\infty}f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to -\infty}(x^2-4)=+\infty\phantom{WWWW}\\\lim\limits_{x\to -\infty}\text e^{-x}=\lim\limits_{X\to +\infty}\text e^{X}=+\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to -\infty}(x^2-4)\,\text e^{-x}=+\infty \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to -\infty}(x^2-4)=+\infty\phantom{WWWW}\\\lim\limits_{x\to -\infty}\text e^{-x}=\lim\limits_{X\to +\infty}\text e^{X}=+\infty\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{P . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=(x^2-4)\,\text e^{-x}=\dfrac{x^2-4}{\text e^x}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(x)=\dfrac{x^2}{\text e^x}-\dfrac{4}{\text e^x}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{\text e^x}=0\quad(\text{croissances comparées})\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^x=+\infty\quad\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4}{\text e^x}=0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2}{\text e^x}-\dfrac{4}{\text e^x}\right)=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{\text e^x}=0\quad(\text{croissances comparées})\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^x=+\infty\quad\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4}{\text e^x}=0\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0 }}$

2. Nous devons justifier que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x\,,\,f'(x)=(-x^2+2x+4)\,\text e^{-x}. }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(x^2-4)'\times\,\text e^{-x}+(x^2-4)\times(\text e^{-x})' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=2x\times\text e^{-x}+(x^2-4)\times(-\text e^{-x})} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=2x\,\text e^{-x}-(x^2-4)\,\text e^{-x}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=(2x-x^2+4)\,\text e^{-x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad f'(x)=(-x^2+2x+4)\,\text e^{-x}}$

3. Nous devons en déduire les variations de $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R, }$ le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est le signe du trinôme du second degré $\overset{ { \white{ . } } } { (-x^2+2x+4). }$

Discriminant du trinôme : $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta=2^2-4\times(-1)\times4=4+16=20>0 }$

Racines du trinôme :

${ \white{ xxi } }$ $x_1= \dfrac{-2-\sqrt{20}}{-2}= \dfrac{2+2\sqrt 5}{2}=\dfrac{2(1+\sqrt 5)}{2}=1+\sqrt5\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x_1=1+\sqrt 5} \\\\x_2= \dfrac{-2+\sqrt{20}}{-2}= \dfrac{2-2\sqrt 5}{2}=\dfrac{2(1-\sqrt 5)}{2}=1-\sqrt5\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x_2=1-\sqrt 5}$

Tableau de signes de $\overset{ { \white{ . } } } {-x^2+2x+4 : }$

${ \white{ WWWWWWW} }\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&1-\sqrt 5&&1+\sqrt 5&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\-x^2+2x+4&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

${ \white{ WWWWWWW} }\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&1-\sqrt 5&&1+\sqrt 5&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline &+\infty&&&&\approx0,25&&\\f &&\searrow&&\nearrow&&\searrow& \\&&&\approx-8,5&&&&0\\\hline \end{array}$

Partie 2

On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (I_n) }$ définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{. } } } { n }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { I_n=\begin{aligned}\int_{-2}^{0}{x^n\text e^{-x}}\;\text dx\end{aligned}.}$

1. Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { I_0=\text e^2-1. }$

${ \white{ xxi } }$ $I_0=\displaystyle\int_{-2}^0 x^0\,\text e^{-x}\text dx \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I_0 } =\displaystyle\int_{-2}^0 \,\text e^{-x}\text dx } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I_0 } =\Big[-\text e^{-x}\Big]_{-2}^0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I_0 } =(-\text e^{0})-(-\text e^{-(-2)}) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I_0 } =-1+\text e^{2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_0=\text e^{2}-1 }$

2. En utilisant une intégration par parties, nous devons démontrer l'égalité : $\overset{ { \white{ . } } } { I_{n+1}=(-2)^{n+1}\text e^2 +(n+1)I_n . }$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { I_{n+1}=\displaystyle\int_{-2}^{0}{x^{n+1}\,\text e^{-x}}\;\text dx. }$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_{-2}^{0}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\Big[u(x)v(x)\Big]_{-2}^{0}- \displaystyle\int_{-2}^{0}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x^{n+1}\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=(n+1)\,x^n \\\\v'(x)=\text e^{-x}\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=-\text e^{-x}\phantom{Ww}\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { I_{n+1}=\Big[-x^{n+1}\,\text e^{-x}\Big]_{-2}^{0}-\displaystyle\int_{-2}^{0}(n+1)\,x^n\times(-\text{e}^{-x})\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWwW}=\Big[x^{n+1}\,\text e^{-x}\Big]_{0}^{-2}+(n+1)\displaystyle\int_{-2}^{0}x^n\,\text{e}^{-x}\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWwW}=\Big((-2)^{n+1}\,\text e^{-(-2)}-0\Big)+(n+1)\,I_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWwW}=(-2)^{n+1}\,\text e^{2}+(n+1)\,I_n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_{n+1}=(-2)^{n+1}\,\text e^{2}+(n+1)\,I_n}$

3. Nous devons en déduire les valeurs exactes de $\overset{ { \white{ . } } } { I_1 }$ et de $\overset{ { \white{ . } } } { I_2.}$

Nous savons par la question 1 que $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{I_0=\text e^2-1}\,. }$

En utilisant l'égalité de la question précédente avec successivement $\overset{ { \white{ . } } } { n=0 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { n=1 }$ , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $I_{1}=(-2)^{0+1}\,\text e^2 +(0+1)I_0 \quad\quad(n=0) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_{1} } =(-2)\,\text e^2 +I_0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_{1} } =-2\,\text e^2 +\text e^2-1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_{1} } =-\,\text e^2 -1 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ I_{1}=-\,\text e^2 -1 }$

${ \white{ xxi } }$ $I_{2}=(-2)^{1+1}\,\text e^2 +(1+1)I_1 \quad\quad(n=1) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_{2} } =(-2)^2\,\text e^2 +2\,I_1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_{2} } =4\,\text e^2 +2(-\text e^2-1) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_{2} } =4\,\text e^2 -2\,\text e^2-2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_{2} } =2\,\text e^2 -2 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ I_{2}=2\,\text e^2 -2 }$

Partie 3

1. Nous devons déterminer le signe sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie dans la partie 1.

Résolvons dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad (x^2-4)\,\text e^{-x}=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=0 }\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-4=0\quad\text{(car }\text e^{-x}\neq 0\quad\forall\,x\in\R) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=0 }\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=4} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=0 }\quad\Longleftrightarrow\quad x=2\quad\text{ou}\quad x=-2}$

D'où l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ S=\lbrace -2\;;\;2\rbrace }}$

Complétons alors le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

${\white{xxxx}}\begin{array}{|c|ccccccccccc|}\hline &&&&&&&&&&&&x&-\infty&&-2&&1-\sqrt 5&&2&&1+\sqrt 5&&+\infty &&&&&&&&&&&& \\\hline &+\infty&&&&&&&&\approx0,25&&\\f &&\searrow&0&\searrow&&\nearrow&0&\nearrow&&\searrow& \\&&&&&\approx-8,5&&&&&&0\\\hline \end{array}$

Nous pouvons en déduire le signe sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

${ \white{ WWWWW} }\begin{array}{|c|ccccccccccc|}\hline &&&&&&&&&&&&x&-\infty&&-2&&&&2&&&&+\infty &&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&\\f(x) &&+&0&&-&&0&&+&&0 \\&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

2. Le domaine $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ du plan hachuré est délimité par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_f\,, }$ l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

Bac général spécialité maths 2024 Amérique du Sud jour 2 : image 6

Nous devons calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $\overset{ { \white{ _. } } } {S }$ du domaine $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ .

Par le tableau de signes de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f, }$ nous observons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in[-2\,;\;0],\quad f(x)\le0. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $S=-\displaystyle\int_{-2}^0 f(x)\text dx \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ S} =-\displaystyle\int_{-2}^0 (x^2-4)\,\text e^{-x}\text dx } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ S} =-\displaystyle\int_{-2}^0 x^2\,\text e^{-x}\text dx +\displaystyle\int_{-2}^0 4\,\text e^{-x}\text dx } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ S} =-\displaystyle\int_{-2}^0 x^2\,\text e^{-x}\text dx +4\displaystyle\int_{-2}^0 \text e^{-x}\text dx } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ S} =-I_2 +4I_0 }$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ S} =-(2\,\text e^2-2)+4(\text e^2-1) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ S} =-2\,\text e^2+2+4\,\text e^2-4 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ S} =2\,\text e^2-2 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S=2\,\text e^2-2 \approx12,78\,\text{u.a.}}$

5 points

exercice 4

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O\,;\,\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\,,\,\overrightarrow k). }$

On considère les trois points $\overset{ { \white{ . } } } { A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { C(0 ; 0 ; 2) . }$

Partie 1 : Distance du point $\overset{ { \white{ . } } } { O }$ au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$

1. Démontrons que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow n\begin{pmatrix} 2\\3 \\ 3 \end{pmatrix}}$ est normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) . }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, B \text{ et } C }$ ne sont pas alignés.
Ils déterminent donc le plan $\overset{ { \white{ . } } } {ABC). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Vérifions si le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow n\begin{pmatrix} 2\\3 \\ 3 \end{pmatrix} }$ est orthogonal aux deux vecteurs ${ \overrightarrow{AB} }$ et ${ \overrightarrow{AC}. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}A(3 ; 0 ; 0)\\ B(0 ; 2 ; 0)\end{matrix}\right\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}0-3\\ 2-0\\0-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}-3\\ 2\\0\end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}A(3 ; 0 ; 0)\\ C(0 ; 0 ;2)\end{matrix}\right\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}0-3\\ 0-0\\2-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}-3\\ 0\\2\end{pmatrix}}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}\vec n\cdot\overrightarrow {AB} =2\times (-3)+3\times2+3\times0\\\phantom{WWWxW}=-6+6+0\\\phantom{WWWxW}=0 \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\vec n\perp\overrightarrow {AB}}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}\vec n\cdot\overrightarrow {AC} =2\times (-3)+3\times0+3\times2\\\phantom{WWWxW}=-6+0+6\\\phantom{WWWxW}=0 \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\vec n\perp\overrightarrow {AC}}$

Le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow n }$ est donc orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires ${ \overrightarrow{AB} }$ et ${ \overrightarrow{AC}. }$
Par conséquent, le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow n\begin{pmatrix} 2\\3 \\ 3 \end{pmatrix} }$ est normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

2. Démontrons qu'une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { 2x + 3y + 3z - 6 = 0. }$

Nous avons montré que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}2\\3\\3\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC). }$
D'où l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {2x+3y+3z+d=0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {d }$ est un nombre réel.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {A(3\;;\;0\;;\;0) }$ appartient à ce plan.
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {2\times3+3\times0+3\times0+d=0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {d=-6. }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{2x+3y+3z-6=0}\,. }$

3. Nous devons donner une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { d }$ passant par $\overset{ { \white{ . } } } { O }$ et de vecteur directeur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow n . }$
La droite $\overset{ { \white{ . } } } { d }$ est dirigée par le vecteur $\overset{ { \white{ . } } }{ \overrightarrow{ n }\begin{pmatrix}{\red{2 } }\\ {\red{ 3 } }\\ {\red{ 3 } }\end{pmatrix} .}$
La droite $\overset{ { \white{ . } } } { d }$ passe par le point $\overset{ { \white{ . } } }{ O({ \blue{ 0 } }\,;\,{ \blue{ 0 } }\,;\,{ \blue{ 0 } }). }$
D'où une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={ \blue{0 } }+{ \red{ 2 } }\times t\\y={ \blue{ 0 } }+{ \red{ 3 } }\times t\\z={ \blue{ 0 } }+{ \red{ 3} }\times t \end{array}\quad(t\in\mathbb{ R })$ , ${ \white{ xx } }$ soit $\boxed{ d:\left\lbrace\begin{matrix} x&=&2t&\\y&=&3t\\z&=&3t\end{array}\quad (t\in\R) }$

4. On note $\overset{ { \white{ _. } } } {H }$ le point d'intersection de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ et du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC)\,. }$
Nous devons déterminer les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { H\,. }$

Résolvons le système composé par une représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ et par une équation du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABC). }$

$\left\lbrace\begin{matrix} x=2t \phantom{WWWWWW}\\ y=3t \phantom{WWWWWW} \\ z=3t\phantom{WWWWWW} \\ 2x+3y+3z-6=0 \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x=2t \phantom{WWWWWW}\\ y=3t \phantom{WWWWWW} \\ z=3t\phantom{WWWWWW} \\2\times2t+3\times3t+3\times3t-6=0 \end{matrix}\right. \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left\lbrace\begin{matrix} x=-t+3 \\ y=t+2 \\ z=t+1 \\ x+5y-2z+3=0 \end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x=2t \phantom{WWWWWW}\\ y=3t \phantom{WWWWWW} \\ z=3t\phantom{WWWWWW} \\ 4t+9t+9t-6=0 \end{matrix}\right. } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left\lbrace\begin{matrix} x=-t+3 \\ y=t+2 \\ z=2t+1 \\ x+5y-2z+3=0 \end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x=2t \phantom{WW}\\ y=3t \phantom{WW} \\ z=3t\phantom{WW} \\ 22t-6=0\end{matrix}\right. }$

$\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left\lbrace\begin{matrix} x=-t+3 \\ y=t+2 \\ z=2t+1 \\ x+5y-2z+3=0 \end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x=2t \phantom{WW}\\ y=3t \phantom{WW} \\ z=3t\phantom{WW} \\ t=\dfrac{6}{22}=\dfrac{3}{11}\end{matrix}\right. } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left\lbrace\begin{matrix} x=-t+3 \\ y=t+2 \\ z=2t+1 \\ x+5y-2z+3=0 \end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x= 2\times \dfrac{3}{11} \\ y=\overset{ { \phantom{ . } } } {3\times\dfrac{3}{11}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {z=3\times \dfrac{3}{11}} \\ t=\dfrac{3}{11}\phantom{Wx}\end{matrix}\right. } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \left\lbrace\begin{matrix} x= \dfrac{6}{11} \\ y=\overset{ { \phantom{ . } } } {\dfrac{9}{11}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {z=\dfrac{9}{11}}\end{matrix}\right. }$

Par conséquent, les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ sont : $\overset{ { \white{ . } } } { \left(\dfrac{6}{11}\;;\;\dfrac{9}{11}\;;\;\dfrac{9}{11}\right)\,. }$

5. Nous devons calculer la distance du point $\overset{ { \white{ _. } } } {O }$ au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC), }$ soit la distance $\overset{ { \white{ . } } } { OH. }$

Nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}O(0\;;\;0\;;\;0)\phantom{WW}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { H\left(\dfrac{6}{11}\;;\;\dfrac{9}{11}\;;\;\dfrac{9}{11}\right)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {OH}\begin{pmatrix}\dfrac{6}{11}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac{9}{11}}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac{9}{11}}\end{pmatrix}} }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $OH=\sqrt{\left(\dfrac{6}{11}\right)^2+\left(\dfrac{9}{11}\right)^2+\left(\dfrac{9}{11}\right)^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{OH}=\sqrt{\dfrac{36}{121}+\dfrac{81}{121}+\dfrac{81}{121}}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{OH}=\sqrt{\dfrac{198}{121}}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{OH}=\dfrac{\sqrt{198}}{11}=\dfrac{\sqrt{9\times22}}{11}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{OH=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}}$
Par conséquent, la distance du point $\overset{ { \white{ _. } } } {O }$ au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\dfrac{3\sqrt{22}}{11}}\,. }$

Partie 2 : Démonstration de la propriété :

${ \white{ xxi} }$ « Le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre OABC ».

1. Démontrons que le volume du tétraèdre $\overset{ { \white{ _. } } } {OABC }$ est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { 2. }$

Considérons que le tétraèdre $\overset{ { \white{ _. } } } {OABC }$ admet comme base le triangle rectangle $\overset{ { \white{ _. } } } {OAB }$ et admet $\overset{ { \white{ _. } } } {OC }$ comme hauteur.

Dans ce cas le volume du tétraèdre $\overset{ { \white{ _. } } } {OABC }$ se calcule par : $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\text{aire}(OAB)\times OC}{3}. }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}OA=3\\OB=2\\OC=2\end{matrix}\right.. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\text{aire}(OAB)=\dfrac{OA\times OB}{2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{aire}(OAB) } =\dfrac{3\times 2}{2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{aire}(OAB) } =3 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\text{aire}(OAB)=3}$

Par conséquent, le volume du tétraèdre $\overset{ { \white{ _. } } } {OABC }$ est égal à : $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{3\times2}{3}=2. }$

2. Nous devons en déduire que l'aire du triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { \sqrt{22}. }$

Considérons que le tétraèdre $\overset{ { \white{ _. } } } {OABC }$ admet comme base le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } {ABC }$ et admet $\overset{ { \white{ _. } } } {OH }$ comme hauteur.

Dans ce cas le volume du tétraèdre $\overset{ { \white{ _. } } } {OABC }$ se calcule par : $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\text{aire}(ABC)\times OH}{3}. }$
Or nous savons que le volume est égal à 2 et que $\overset{ { \white{ } } } {OH=\dfrac{3\sqrt{22}}{11} . }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{\text{aire}(ABC)\times \dfrac{3\sqrt{22}}{11}}{3}=2 \quad\Longleftrightarrow\quad {\text{aire}(ABC)\times \dfrac{3\sqrt{22}}{11}}=6 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{\text{aire}(ABC)\times \dfrac{3\sqrt{22}}{11}}{3}=2 } \quad\Longleftrightarrow\quad {\text{aire}(ABC)}=\dfrac{6\times11}{3\sqrt{22}} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{\text{aire}(ABC)\times \dfrac{3\sqrt{22}}{11}}{3}=2 } \quad\Longleftrightarrow\quad {\text{aire}(ABC)}=\dfrac{22}{\sqrt{22}} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{\text{aire}(ABC)\times \dfrac{3\sqrt{22}}{11}}{3}=2 } \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\text{aire}(ABC)=\sqrt{22}} }$

3. Démontrons que pour le tétraèdre $\overset{ { \white{ . } } } { OABC\,, }$ « le carré de l'aire du triangle $\overset{ { \white{ . } } } { ABC }$ est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre ».

Calculons les carrés des aires dont il est question dans la propriété.

${\bullet}{\phantom{x}}\text{aire}(ABC)=\sqrt{22}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{[\text{aire}(ABC)]^2=22} \\\\ {\bullet}{\phantom{x}}\text{aire}(OAB)=3\quad\Longrightarrow\quad\boxed{[\text{aire}(OAB)]^2=9} \\\\ {\bullet}{\phantom{x}}\text{aire}(OAC)=\dfrac{OA\times OC}{2} =\dfrac{3\times 2}{2} =3\quad\Longrightarrow\quad\boxed{[\text{aire}(OAC)]^2=9} \\\\ {\bullet}{\phantom{x}}\text{aire}(OBC)=\dfrac{OB\times OC}{2} =\dfrac{2\times 2}{2} =2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{[\text{aire}(OBC)]^2=4}$

Dès lors,

$\left\lbrace\begin{matrix}[\text{aire}(ABC)]^2=22\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { [\text{aire}(OAB)]^2=9}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { [\text{aire}(OAC)]^2=9}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { [\text{aire}(OBC)]^2=4}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { 22=9+9+4}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{[\text{aire}(ABC)]^2=[\text{aire}(OAB)]^2+[\text{aire}(OAC)]^2+[\text{aire}(OBC)]^2}$

Par conséquent, pour le tétraèdre $\overset{ { \white{ . } } } { OABC\,, }$ « le carré de l'aire du triangle $\overset{ { \white{ . } } } { ABC }$ est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre ».

Merci à Hiphigenie et Malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Publié par malou le 04-12-2024

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