Fiche de mathématiques

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Bac général spécialité maths 2024

Asie jour 1

5 points

exercice 1

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exercice 2

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exercice 3

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exercice 4

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Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 1

5 points

exercice 1

Partie A

On considère une fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ , représentée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C }$ ci-dessous.
La droite $\overset{ { \white{ . } } } { T }$ est tangente à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C }$ au point $\overset{ { \white{ . } } } { A }$ d'abscisse ${\frac52. }$

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1. Dressons, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;5]. }$

${ \white{ WWWWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1,5&&&5 &&&&&&&& \\\hline&&&&2,4&&&\\f(x)&&\nearrow&\nearrow&&\searrow&\searrow&\\&-5,5&&&&&&0,3\\\hline \end{array}$

2. Au point $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ , la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ semble présenter un point d'inflexion.

3. La dérivée $\overset{ { \white{ . } } } { f' }$ et la dérivée seconde $\overset{ { \white{ . } } } { f'' }$ de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sont représentées par les courbes ci-dessous.

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La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ semble concave sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;2,5] }$ et convexe sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [2,5\;;\;5] .}$
Donc la dérivée seconde est négative sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;2,5] }$ et positive sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [2,5\;;\;5] .}$
Par conséquent, la courbe représentant la dérivée seconde $\overset{ { \white{ . } } } { f'' }$ est la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C_1. }$

Dès lors la courbe représentant la dérivée $\overset{ { \white{ . } } } { f' }$ est la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C_2. }$
Nous vérifions en effet comme le signale le tableau de la question 1. que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ semble croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;1,5] }$ et décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [1,5\;;\;5] .}$
Donc la dérivée est positive sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;1,5] }$ et négative sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [1,5\;;\;5] .}$
Par conséquent, la courbe représentant la dérivée $\overset{ { \white{ . } } } { f' }$ est la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C_2. }$

4. Montrons que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C_3 }$ ci-dessous ne peut pas être la représentation graphique sur $\overset{ { \white{ . } } } {[0\;;\;+\infty[ }$ d'une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

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La fonction représentée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C_3 }$ semble être croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;0,5] }$ et décroissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0,5\;;\;5]. }$
Si cette fonction est une primitive de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ , sa dérivée (soit la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ ) est donc positive sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;0,5] }$ et négative sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0,5\;;\;5]. }$ , ce qui n'est absolument pas le cas à la vue de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C. }$
Nous en déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C_3 }$ ne peut pas être la représentation graphique sur $\overset{ { \white{ . } } } {[0\;;\;+\infty[ }$ d'une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

Partie B

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ , définie et deux fois dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[, }$ est définie par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=(4x-2)\,\text e^{-x+1}. }$

1. Étude de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$

1. a) Déterminons l'expression algébrique de la dérivée.

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(4x-2)'\times\text e^{-x+1}+(4x-2)\times(\text e^{-x+1})' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=4\times\text e^{-x+1}+(4x-2)\times(-x+1)'\text e^{-x+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=4\,\text e^{-x+1}+(4x-2)\times(-1)\times\text e^{-x+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=4\,\text e^{-x+1}-(4x-2)\,\text e^{-x+1}}$
${ \white{ xxi } }$ $\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\Big(4-(4x-2)\Big)\,\text e^{-x+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=(4-4x+2)\,\text e^{-x+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=(-4x+6)\,\text e^{-x+1}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,[0\;;\;+\infty[,\quad f'(x)=(-4x+6)\,\text e^{-x+1}}$

1. b) Déterminons le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$
Il est admis dans l'énoncé que $\overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\,[0\;;\;+\infty[,\quad f'(x)=(-4x+6)\,\text e^{-x+1}}$
Or $\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in\,[0\;;\;+\infty[,\quad\text e^{-x+1}>0. }$
Nous en déduisons que le signe de $\overset{ { \white{ . } } } {f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { -4x+6 }$

D'où le tableau de signes de $\overset{ { \white{ . } } } {f'(x) }$ et les variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ :

$\begin{matrix}-4x+6<0\Longleftrightarrow 4x>6\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWW0 W}\Longleftrightarrow x>\dfrac64}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWW WW}\Longleftrightarrow x>\dfrac32} \\\\-4x+6=0\Longleftrightarrow x=\dfrac32 \\\overset{ { \white{ . } } } {-4x+6>0\Longleftrightarrow x<\dfrac32} \\\\f(0)=(0-2)\,\text e^{0+1}=-2\,\text e \\\\f\left(\dfrac32\right)=(4\times\dfrac32-2)\,\text e^{-\frac32+1}\\=4\,\text e^{-\frac12}\phantom{WW} \end{matrix}$ $\begin{matrix}\phantom{WWW}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1,5&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\-4x+6&&+&+&0&-&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&& \\f'(x)&&+&+&0&-&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&&4\,\text e^{-\frac12}&&&\\f(x)&&\nearrow&\nearrow&&\searrow&\searrow&\\&-2\,\text e&&&&&&0\\\hline \end{array}$

1. c) Nous devons étudier la convexité de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f''(x) }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[, }$

${ \white{ xxi } }$ $f''(x)=\Big((-4x+6)\,\text e^{-x+1}\Big)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=(-4x+6)'\times\text e^{-x+1}+(-4x+6)\times(\text e^{-x+1})'} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=-4\times\text e^{-x+1}+(-4x+6)\times(-x+1)'\,\text e^{-x+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=-4\text e^{-x+1}+(-4x+6)\times(-1)\times\,\text e^{-x+1}}$
${ \white{ xxi } }$ $\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=-4\text e^{-x+1}-(-4x+6)\,\text e^{-x+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\Big(-4-(-4x+6)\Big)\,\text e^{-x+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=(-4+4x-6)\,\text e^{-x+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=(4x-10)\,\text e^{-x+1}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,[0\;;\;+\infty[,\quad f''(x)=(4x-10)\,\text e^{-x+1}}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in\,[0\;;\;+\infty[,\quad\text e^{-x+1}>0. }$
Nous en déduisons que le signe de $\overset{ { \white{ . } } } {f''(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { 4x-10 }$

D'où le tableau de signes de $\overset{ { \white{ . } } } {f''(x) }$ et la convexité de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ :

$\begin{matrix}4x-10<0\Longleftrightarrow 4x<10\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWW0 W}\Longleftrightarrow x<\dfrac{10}{4}}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWW W}\Longleftrightarrow x<\dfrac52} \\\\4x-10=0\Longleftrightarrow x=\dfrac52 \\\overset{ { \white{ . } } } {4x-10>0\Longleftrightarrow x>\dfrac52} \\\\f\left(\dfrac52\right)=(4\times\dfrac52-2)\,\text e^{-\frac52+1}\\=8\,\text e^{-\frac32}\phantom{WW} \end{matrix}$ $\begin{matrix}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&\dfrac52&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\4x-10&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&& \\f''(x)&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est concave sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0;\;;\dfrac52] }$ et est convexe sur $\overset{ { \white{ . } } } { [\dfrac52;\;;+\infty]. }$
Nous en déduisons que le point $\overset{ { \white{ . } } } {A\left(\dfrac52\;;\;8\,\text e^{-\frac32}\right) }$ est un point d'inflexion de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C. }$

2. On considère une fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } {F(x)=(ax+b)\,\text e^{-x+1}, }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ sont deux nombres réels.

2. a) Déterminons les valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ telles que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ soit une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[, }$

${ \white{ xxi } }$ $F'(x)=\Big((ax+b)\,\text e^{-x+1}\Big)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{F'(x)}=(ax+b)'\times\text e^{-x+1}+(ax+b)\times(\text e^{-x+1})'} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{F'(x)}=a\times\text e^{-x+1}+(ax+b)\times(-x+1)'\,\text e^{-x+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{F'(x)}=a\,\text e^{-x+1}+(ax+b)\times(-1)\times\,\text e^{-x+1}}$

${ \white{ xxi } }$ $\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=a\,\text e^{-x+1}-(ax+b)\,\text e^{-x+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\Big(a-(ax+b)\Big)\,\text e^{-x+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=(a-ax-b)\,\text e^{-x+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=(-ax+a-b)\,\text e^{-x+1}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,[0\;;\;+\infty[,\quad F'(x)=(-ax+a-b)\,\text e^{-x+1}}$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { F }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

Dès lors, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[, }$

${ \white{ xxi } }$ $F'(x)=f(x)\quad\Longleftrightarrow\quad (-ax+a-b)\,\text e^{-x+1}=(4x-2)\,\text e^{-x+1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{F'(x)=f(x)}\quad\Longleftrightarrow\quad (-ax+a-b)=(4x-2)\quad(\text{car }\text e^{-x+1}\neq0)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{F'(x)=f(x)}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}-a=4\phantom{WW}\\a-b=-2\end{matrix}\right. } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{F'(x)=f(x)}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=-4\phantom{WW}\\-4-b=-2\end{matrix}\right. } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{F'(x)=f(x)}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=-4\\-b=2\end{matrix}\right. } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{F'(x)=f(x)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=-4\\b=-2\end{matrix}\right. } }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { F }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { F(x)=(-4x-2)\,\text e^{-x+1} }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

2. b) Nous devons calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10^-2 près de $\overset{ { \white{ . } } } { I=\displaystyle\int_{\frac32}^8f(x)\,\text dx. }$

${ \white{ xxi } }$ $I=\displaystyle\int_{\frac32}^8f(x)\,\text dx \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I}=\Big[F(x)\Big]_{\frac32}^8} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I}=\Big[(-4x-2)\,\text e^{-x+1}\Big]_{\frac32}^8} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I}=(-4\times8-2)\,\text e^{-8+1}-(-4\times\frac32-2)\,\text e^{-\frac32+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I}=-34\,\text e^{-7}+8\,\text e^{-\frac12}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I=-34\,\text e^{-7}+8\,\text e^{-\frac12}\approx4,82}$

3. a) Une valeur de la hauteur du point de départ D est donnée par $\overset{ { \white{ . } } } { f\left(\dfrac32\right)=4\,\text e^{-\frac12}\approx 2,43. }$
Donc le point de départ D de la piste se situe à 2,43 m de hauteur (valeur approchée au cm près).

3. b) L'aire de la surface du mur correspond à l'intégrale $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ calculée à la question 2. b), soit 4,82 m².
L'artiste prévoit de couvrir 75% de $\overset{ { \white{ . } } } { I, }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { 0,75\times 4,82\,\text{m}^2=3,615\,\text{m}^2. }$

De plus, 4 bombes aérosol ne seront pas suffisantes pour couvrir les 3,615 m² de mur car $\overset{ { \white{ . } } } {4\times0,8=3,2<3,615. }$
Par contre, 5 bombes aérosol seront suffisantes car $\overset{ { \white{ . } } } {5\times0,8=4>3,615. }$

Donc pour réaliser cette oeuvre, l'artiste devra utiliser 5 bombes aérosol.

5 points

exercice 2

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\;;\;\vec i,\vecj,\vec k)$ d'unité 1 cm, on considère les points :

$A(3\;;\;-1\;;\;1),\;B(4\;;\;-1\;;\;0),\;C(0\;;\;3\;;\;2),\;D(4\;;\;3\;;\;-2),\;S(2\;;\;1\;;\;4).$

1. Montrons que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\;B }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { C }$ ne sont pas alignés.

Nous allons montrer que les vecteurs ${ \overrightarrow{AB} }$ et ${ \overrightarrow{AC} }$ ne sont pas colinéaires.

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}A(3\;;\;-1\;;\;1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { B(4\;;\;-1\;;\;0)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}4-3\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -1-(-1)} \\0-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0}\\-1\end{pmatrix}}$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}A(3\;;\;-1\;;\;1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { C(0\;;\;3\;;\;2)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}0-3\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 3-(-1)} \\2-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}-3\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 4}\\1\end{pmatrix}}$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$ ne sont pas colinéaires.

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\;B }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { C }$ ne sont pas alignés.

2. a) Montrons que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\;B,\;C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sont coplanaires.

Nous allons montrer que le vecteur ${ \overrightarrow{CD} }$ est une combinaison linéaire des vecteurs ${ \overrightarrow{AB} }$ et ${ \overrightarrow{AC} }$ .

Nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0}\\-1\end{pmatrix}} }$

et $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}C(0\;;\;3\;;\;2)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { D(4\;;\;3\;;\;-2)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {CD}\begin{pmatrix}4-0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 3-3} \\-2-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {CD}\begin{pmatrix}4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0}\\-4\end{pmatrix}} }$

Il s'ensuit que ${ \overrightarrow {CD}=4\overrightarrow {AB}+0\overrightarrow {AC} }$ et plus particulièrement que ${ \overrightarrow {CD}=4\overrightarrow {AB}. }$
De plus, nous savons que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\;B }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { C }$ ne sont pas alignés.

Nous en déduisons que les droites $\overset{ { \white{ . } } } {(AB) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (CD) }$ sont parallèles disjointes.
Elles déterminent donc un plan.
Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\;B,\;C }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { D }$ sont coplanaires.

2. b) Montrons que le quadrilatère $\overset{ { \white{ _. } } } {ABCD }$ est un trapèze de bases $\overset{ { \white{ . } } } { [AB] }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {[CD]. }$

Nous avons montré dans la question précédente que les droites $\overset{ { \white{ . } } } {(AB) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (CD) }$ sont parallèles disjointes.

Dès lors, les côtés $\overset{ { \white{ . } } } { [AB] }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { [CD] }$ du quadrilatère $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCD }$ sont portés par des droites parallèles disjointes.

Par conséquent, le quadrilatère ${ABCD }$ est un trapèze de bases $\overset{ { \white{ . } } } { [AB] }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {[CD]. }$

3. a) Démontrons que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \vec n }$ est orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}. }$
Nous avons : $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=2\times1+1\times0+2\times(-1)=2-2\quad\Longrightarrow\quad\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0.$

D'où $\boxed{\vec n\perp \overrightarrow{AB}}\,.$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \vec n}$ est orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3\\4\\1\end{pmatrix}. }$
Nous avons : $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=2\times(-3)+1\times4+2\times1=-6+4+2\quad\Longrightarrow\quad\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0.$

D'où $\boxed{\vec n\perp \overrightarrow{AC}}\,.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous venons de montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { \vec n }$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires ${ \overrightarrow{AB} }$ et ${ \overrightarrow{AC.} }$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

3. b) Nous devons en déduire une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

Nous avons montré que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC). }$

D'où l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {2x+y+2z+d=0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {d }$ est un nombre réel.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {A(3\;;\;-1\;;\;1) }$ appartient à ce plan.
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {2\times3-1+2\times1+d=0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {d=-7. }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{2x+y+2z-7=0}\,. }$

3. c) Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ passant par le point $\overset{ { \white{ _. } } }{ S }$ et orthogonale au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC). }$

La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est orthogonale au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$
Dès lors, un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\,\begin{pmatrix}{\red{2}}\\ {\red{1}}\\ {\red{2}}\end{pmatrix} }$
Le point $\overset{ { \white{ . } } } { S\,({\blue{2}}\;;\;{\blue{1}}\;;\;{\blue{4}}) }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta. }$

Donc une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta}$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}x={\blue{2}}+{\red{2}}\times k\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y={\blue{1}}+{\red{1}}\times k}\phantom{}\\z={\blue{4}}+{\red{2}}\times k\end{matrix}\right.\quad \quad(k\in\R) }$
soit $\overset{ { \phantom{ . } } } { \boxed{\Delta:\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2k\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1+k}\\z=4+2k\end{matrix}\right.\quad \quad (k\in\R)} }$

3. d) Déterminons les coordonnées de $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ , le point d'intersection de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ et du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC).}$

Les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ se déterminent en résolvant le système suivant : $\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2k\phantom{WWXx}\\ {y=1+k\phantom{WWXxx}}\\z=4+2k\phantom{WWWw}\\2x+y+2z-7=0\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2k\phantom{WWXx}\\ {y=1+k\phantom{WWXxx}}\\z=4+2k\phantom{WWWw}\\2x+y+2z-7=0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2k\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1+k\phantom{WWWWWWWWWWWW}}\\z=4+2k\phantom{WWWWWWWWWWWx}\\2(2+2k)+(1+k)+2(4+2k)-7=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2k\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1+k}\\z=4+2k\\6+9k=0\end{matrix}\right.$

$\\\\\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+2k\phantom{xx}\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1+k}\phantom{xxi}\\z=4+2k\phantom{xx}\\k=-\dfrac69=-\dfrac23\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2-\dfrac43\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1-\dfrac23}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {z=4-\dfrac43}\\\overset{ { \white{ . } } } {k=-\dfrac23}\end{matrix}\right. \\\\.\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=\dfrac23\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y=\dfrac13}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {z=\dfrac83}\end{matrix}\right.}$

Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } {\Delta }$ coupe le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ au point $\overset{ { \white{ . } } } { I\,\left(\dfrac23\;;\;\dfrac13\;;\;\dfrac83\right). }$

Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } {SI=2\,\text{cm.} }$

Rappelons que l'unité graphique est 1 cm.

${ \white{ xxi } }$ $SI=\sqrt{(x_I-x_S)^2+(y_I-y_S)^2+(z_I-z_S)^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{SI }=\sqrt{\left(\dfrac23-2\right)^2+\left(\dfrac13-1\right)^2+\left(\dfrac83-4\right)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{SI }=\sqrt{\left(-\dfrac43\right)^2+\left(-\dfrac23\right)^2+\left(-\dfrac43\right)^2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{SI }=\sqrt{\dfrac{16}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{16}{9}}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{SI }=\sqrt{\dfrac{36}{9}}=\sqrt4=2} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{SI=2\,\text{cm}}$

4. a) Soit le point $\overset{ { \white{ . } } } { H(3\;;\;3\;;\;-1). }$
Montrons que le point $\overset{ { \white{ . } } } { H }$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ . } } } { B }$ sur la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(CD). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que ${\overrightarrow{BH} }$ est orthogonal à $\overset{ { \white{ . } } } { (CD). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}B(4\;;\;-1\;;\;0)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { H(3\;;\;3\;;\;-1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {BH}\begin{pmatrix}3-4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 3-(-1)} \\-1-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {BH}\begin{pmatrix}-1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 4}\\-1\end{pmatrix}} \\\\ \boxed{\overrightarrow {CD}\begin{pmatrix}4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0}\\-4\end{pmatrix}}\quad(\text{voir 2. a)}$

Nous avons : $\overrightarrow {BH}\cdot\overrightarrow {CD}=(-1)\times4+4\times0-1\times(-4)=-4+4\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {BH}\cdot\overrightarrow {CD}=0}$

Donc le vecteur ${\overrightarrow{BH} }$ est orthogonal à $\overset{ { \white{ . } } } { (CD). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le point $H }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (CD). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}C(0\;;\;3\;;\;2)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { H(3\;;\;3\;;\;-1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {CH}\begin{pmatrix}3-0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 3-3} \\-1-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {CH}\begin{pmatrix}3\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0}\\-3\end{pmatrix} \\\\\text{Or nous avons }\overrightarrow {CD}\begin{pmatrix}4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0}\\-4\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {CH}=\dfrac34\,\overrightarrow {CD}}$

Donc les points $\overset{ { \white{ . } } } { C,\;D,\;H }$ sont alignés et par suite, le point $\overset{ { \white{ . } } } { H }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (CD). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ . } } } { H }$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ . } } } { B }$ sur la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(CD). }$

De plus,

${ \white{ xxi } }$ $BH=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{BH}=\sqrt{1+16+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{BH}=\sqrt{18}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{BH}=3\sqrt{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{HB=3\sqrt2\;\text{cm}}$

4. b) Nous devons calculer la valeur exacte de l'aire $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{A} }$ du trapèze $\overset{ { \white{ . } } } { ABDC. }$

${ \white{ xxi } }$ $\mathscr{A}=\dfrac{AB+CD}{2}\times BH \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}AB=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\phantom{WWW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { CD=\sqrt{4^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { BH=3\sqrt2\phantom{WWWWWWWWWWiW}}\end{matrix}\right. \\\\\mathscr{A}=\dfrac{\sqrt2+4\sqrt2}{2}\times3\sqrt2 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A}=\dfrac{5\sqrt2}{2}\times3\sqrt2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A}=15}$

Par conséquent, l'aire du trapèze $\overset{ { \white{ _. } } } { ABDC }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\mathscr{A}=15\;\text{cm}^2 }}$

5. Nous devons déterminer le volume $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{V} }$ de la pyramide $\overset{ { \white{ . } } } { SABDC. }$

${ \white{ xxi } }$ $\mathscr{V}=\dfrac13\times\mathscr{A}\times SI \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V}= \dfrac13\times15\times 2 } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V}= 10 }$

Par conséquent, le volume de la pyramide $\overset{ { \white{ _. } } } { SABDC }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\mathscr{V}=10\;\text{cm}^3 }}$

5 points

exercice 3

Dans la revue Lancet Public Health, les chercheurs affirment qu'au 11 mai 2020, 5,7% des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID19.

Partie A

1. On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020.
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ l'événement : ''l'adulte a déjà été infecté par la COVID19''.

Nous devons calculer la probabilité que cet individu prélevé ait été infecté par la COVID19.

Selon les affirmations des chercheurs, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(I)=0,057} }$

2. a)  Lors de cette expérience, on répète 100 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : '' la personne prélevée a déjà été infectée par la COVID19'' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=0,057 }$
Echec : '' la personne prélevée n'a pas été infectée par la COVID19'' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=1-0,057=0,943. }$
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ compte le nombre de personnes ayant été infectées à l'issue des 100 tirages, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }(100\,;\,0,057) }$ .
Cette loi est donnée par :

$\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}100\\k\end{pmatrix}\times0,057^k\times0,943^{ 100-k } }$

2. b)  Calculons l'espérance mathématique de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X. }$

${ \white{ xxi } }$ $E(X)=n\times p=100\times0,057\quad\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=5,7}$

Nous pouvons donc estimer que sur 1000 personnes prélevées, nous trouvons en moyenne 57 personnes ayant déjà été infectées.

2. c)  Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=0). }$

$P(X=0)=\begin{pmatrix}100\\0\end{pmatrix}\times0,057^0\times0,943^{ 100-0 } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(X=0)}=1\times1\times0,943^{ 100} } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(X=0)}=0,943^{ 100} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=0)=0,943^{100}\approx0,0028}$

D'où la probabilité qu'il n'y ait aucune personne infectée dans l'échantillon est environ égale à 0,0028.

2. d)  Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { P(X\ge2). }$

$P(X\ge2)=1-P(X<2) \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(X\ge2)}=1-(P(X=0)+P(X=1))}$

Or $\left\lbrace\begin{matrix}P(X=0)=0,943^{100}\quad(\text{voir question 2. c)} \\P(X=1)=\begin{pmatrix}100\\1\end{pmatrix}\times0,057^1\times0,943^{ 100-1 }\\\phantom{x}=100\times0,057\times0,943^{99}\end{matrix}\right.$

Donc    $\overset{ { \white{ . } } } { P(X\ge2)=1-0,943^{100}-100\times0,057\times0,943^{99}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(X\ge2)\approx0,9801} }$

D'où la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes infectées dans l'échantillon est environ égale à 0,9801.

2. e)  Nous devons déterminer le plus petit entier $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { P(X\le n)>0,9. }$

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons les valeurs suivantes :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &&&&&&&n&0&1&2&3&4&5 &&&&&&& \\\hline &&&&&&\\P(X\le n)&0,0028&0,0199&0,0710&0,1719&0,3199&0,4915\\&&&&&&\\\hline \end{array}$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &&&&&&&n&6&7&8&9&10&11 &&&&&&& \\\hline &&&&&&\\P(X\le n)&0,6558&0,7892&{\red{0,8829}}&{\red{0,9408}}&\cdots\cdots&\cdots\cdots\\&&&&&&\\\hline \end{array}$

Ce tableau nous montre que le plus petit entier $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { P(X\le n)>0,9 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{9}\,. }$

La probabilité qu'il y ait au maximum 9 personnes infectées dans une population de 100 personnes est supérieure à 0,9.

Partie B

La sensibilité d'un test est la probabilité qu'il soit positif sachant que la personne a été infectée par la maladie (il s'agit donc d'un vrai positif).

La spécificité d'un test est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n'a pas été infectée par la maladie (il s'agit donc d'un vrai négatif).

Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Sa sensibilité est de 0,8.
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Sa spécificité est de 0,99.

1. Arbre des probabilités modélisant les données de l'énoncé :

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 1 : image 21

2. Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { P(T). }$

Les événements $\overset{{\white{.}}}{I}$ et $\overline{I}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(T)=P(I\cap T)+P(\overline{I}\cap T) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(T)}=P(I)\times P_I(T)+P(\overline{I})\times P_{\overline{I}}(T)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,057\times0,8+0,943\times0,01} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,05503} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(T)=0,05503}$

3. Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P_T(I).}$

${ \white{ xxi } }$ $P_T(I)=\dfrac{P(I\cap T)}{P(T)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_T(I)}=\dfrac{P(I)\times P_I(T)}{P(T)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_T(I)}=\dfrac{0,057\times0,8}{0,05503}\approx0,8286} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_T(I)\approx0,8286}$

D'où, la probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif est environ égale à 0,8286.

Partie C

On considère un groupe d'une population d'un autre pays soumis au même test de sensibilité 0,8 et de spécificité 0,99.

Dans ce groupe, la proportion d'individus ayant un test positif est de 29,44%.
On choisit au hasard un individu de ce groupe.
Calculons la probabilité qu'il ait été infecté.

Arbre des probabilités modélisant les données de l'énoncé en posant : $\overset{ { \white{ . } } } { P(I)=x. }$

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 1 : image 15

Les événements $\overset{{\white{.}}}{I}$ et $\overline{I}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(T)=P(I\cap T)+P(\overline{I}\cap T)\quad\Longleftrightarrow\quad P(T)=P(I)\times P_I(T)+P(\overline{I})\times P_{\overline{I}}(T) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(T)=P(I\cap T)+P(\overline{I}\cap T)}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,2944=x\times0,8+(1-x)\times0,01 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(T)=P(I\cap T)+P(\overline{I}\cap T)}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,2944=0,8x+0,01-0,01x } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(T)=P(I\cap T)+P(\overline{I}\cap T)}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,2944=0,79x+0,01 }$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(T)=P(I\cap T)+P(\overline{I}\cap T)}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,79x=0,2844 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(T)=P(I\cap T)+P(\overline{I}\cap T)}\quad\Longleftrightarrow\quad x= \dfrac{0,2844}{0,79}=\dfrac{2844}{7900}=0,36} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{x=0,36}$

Par conséquent, la probabilité que l'individu choisi ait été infecté est égale à 0,36.

5 points

exercice 4

1. Affirmation 1 : Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0. - Affirmation fausse.

Donnons un contre-exemple de l'affirmation.
Considérons la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { u_n=1+\dfrac{1}{n+1}. }$

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n, }$

${ \white{ xxi } }$ $u_{n+1}-u_n=\left(1+\dfrac{1}{n+2}\right)-\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=1+\dfrac{1}{n+2}-1-\dfrac{1}{n+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n+1-n-2}{(n+2)(n+1)}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-1}{(n+2)(n+1)}<0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}-u_n<0}$

Dès lors, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante.

De plus, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\quad u_n=1+\dfrac{1}{n+1}>1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_n>0} }$
Dès lors, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est minorée par 0.

Or $\lim\limits_{n\to+\infty }u_n=\lim\limits_{n\to+\infty }\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)=1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty }u_n=1\neq0}$

Par conséquent, l'affirmation 1 est fausse.

2. On considère une suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \N }$ telle que pour tout entier $\overset{ { \white{ . } } } { n, }$ on a : $u_n\le\dfrac{-9^n+3^n}{7^n}.$
Affirmation 2 : $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty }u_n=-\infty. }$ . - Affirmation vraie.

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n, }$

${ \white{ xxi } }$ $u_n\le\dfrac{-9^n+3^n}{7^n}\quad\Longleftrightarrow\quad u_n\le\dfrac{-9^n}{7^n}+\dfrac{3^n}{7^n} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_n\le\dfrac{-9^n+3^n}{7^n}}\quad\Longleftrightarrow\quad u_n\le-\left(\dfrac{9}{7}\right)^n+\left(\dfrac{3}{7}\right)^n }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac97>1\phantom{xx}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0<\dfrac37<1}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{9}{7}\right)^n=+\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{3}{7}\right)^n=0\phantom{xx}}\end{matrix}\right. \\\phantom{\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac94>1\phantom{xx}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0<\dfrac37<1}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\left[-\left(\dfrac{9}{7}\right)^n+\left(\dfrac{3}{7}\right)^n\right]=-\infty$

Par le théorème de comparaison, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}u_n\le-\left(\dfrac{9}{7}\right)^n+\left(\dfrac{3}{7}\right)^n\phantom{WWW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}\left[-\left(\dfrac{9}{7}\right)^n+\left(\dfrac{3}{7}\right)^n\right]=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty}$

Par conséquent, l'affirmation 2 est vraie.

3. On considère la fonction suivante écrite en langage Python :

Affirmation 3 : terme(4) renvoie la valeur 7. - Affirmation vraie.

La boucle ''for'' s'exécutera 4 fois et le compteur $\overset{ { \white{ . } } } { i }$ prendra successivement les valeurs 0, 1, 2, 3.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Pour $\overset{ { \white{ . } } } { i=0, }$ nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { U=1+0\quad\Longrightarrow\quad U=1 }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Pour $\overset{ { \white{ . } } } { i=1, }$ nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { U=1+1\quad\Longrightarrow\quad U=2 }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Pour $\overset{ { \white{ . } } } { i=2, }$ nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { U=2+2\quad\Longrightarrow\quad U=4 }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Pour $\overset{ { \white{ . } } } { i=3, }$ nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { U=4+3\quad\Longrightarrow\quad {\red{U=7}} }$

Par conséquent, l'affirmation 3 est vraie.

4. Lors d'un concours, le gagnant a le choix entre deux prix :

- Prix A : il reçoit 1000 euros par jour pendant 15 jours ;
- Prix B : il reçoit 1 euro le 1^er jour, 2 euros le 2^e jour, 4 euros le 3^e jour et pendant 15 jours, la somme reçue double chaque jour.

Affirmation 4 : La valeur du prix A est plus élevée que la valeur du prix B. - Affirmation fausse.

La valeur du prix A est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } {15\times1000=15\,000 }$ euros.
La valeur du prix B est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } {(1+2+2^2+\cdots+2^{14})}$ euros.

Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } {S=1+2+2^2+\cdots+2^{14}}$ est la somme des 15 premiers termes d'une suite géométrique de raison 2 dont le premier terme est 1.

Dans le cas d'une suite géométrique, nous avons :

$\boxed{ { S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} }}$
$\text{D'où }\quad S=1\times\dfrac{1-2^{15}}{1-2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\quad S}=\dfrac{1-2^{15}}{-1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\quad S}=2^{15}-1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\quad S}=32\,767}$

Nous en déduisons que la valeur du prix B est égale à 32 767 euros.

La valeur du prix A est donc moins élevée que la valeur du prix B.

Par conséquent, l'affirmation 4 est fausse.

5. On considère la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ définie pour tout entier $\overset{ { \white{ . } } } { n\ge1 }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { v_n=\displaystyle\int_1^n\ln x\,\text{d}x. }$
Affirmation 5 : La suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ est croissante. - Affirmation vraie.

Pour tout entier $\overset{ { \white{ . } } } { n\ge1, }$

${ \white{ xxi } }$ $v_{n+1}-v_n=\displaystyle\int_1^{n+1}\ln x\,\text{d}x-\int_1^n\ln x\,\text{d}x \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}-v_n}=\displaystyle\left(\int_1^{n}\ln x\,\text{d}x+\int_n^{n+1}\ln x\,\text{d}x\right)-\int_1^n\ln x\,\text{d}x} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}-v_n}=\displaystyle\int_n^{n+1}\ln x\,\text{d}x} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\;n\ge1,\quad v_{n+1}-v_n=\displaystyle\int_n^{n+1}\ln x\,\text{d}x}$

Nous avons : $\left\lbrace\begin{matrix}n\le x\le n+1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { n\ge 1\phantom{WWW}}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad 1\le n\le x\le n+1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x\ge1}$

Or pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\ge1,\quad\ln x\ge0. }$

Par la positivité de l'intégrale, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_n^{n+1}\ln x\,\text{d}x\ge 0 }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{v_{n+1}-v_n\ge 0 }}$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ est croissante.

L'affirmation 5 est vraie.

Publié par malou le 19-06-2024

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