On considère la fonction définie sur par :
On admet que est deux fois dérivable sur
Partie A : Étude de la fonction
1. Nous devons déterminer les limites de la fonction en 0 et en
Par conséquent,
Nous avons :
Par conséquent,
2. Pour tout réel strictement positif, calculons
Pour tout réel strictement positif,
3. Pour tout réel strictement positif, calculons
Pour tout réel strictement positif,
4. Nous devons étudier les variations de la fonction sur
Nous savons que : est strictement positif.
Dès lors, le signe de est le signe de
5. Montrons que la fonction est strictement croissante sur
La fonction admet un minimum égal à sur
Or
Dès lors, la fonction est strictement positive sur
Nous en déduisons que la fonction est strictement croissante sur
Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire pour la résolution de l'équation
On considère la fonction définie sur par :
On admet que la fonction est dérivable sur
1. Pour tout réel strictement positif, calculons et étudions les variations de la fonction sur
Pour tout réel strictement positif,
Nous savons que : est strictement positif.
Dès lors, le signe de est le signe de
2. On admet que 1 est l'unique solution de l'équation
Nous devons résoudre, sur l'intervalle l'équation
D'où sur l'intervalle l'équation admet 1 comme unique solution.
Partie C : Étude d'une suite récurrente
On considère la suite définie par et pour tout entier naturel
1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que
C'est une évidence car par définition de la suite
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet, puisque la fonction est strictement croissante sur
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel
2. Nous avons montré dans la question 1. que la suite est croissante et majorée par 1.
D'après le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite est convergente.
On appelle la limite de la suite et on admet que vérifie l'égalité 3. Déterminons la valeur de
L'égalité signifie que est une solution de l'équation
Or nous avons montré dans la question 2 - Partie B que 1 est l'unique solution de l'équation
Nous en déduisons que
5,5 points
exercice 2
Léa estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne a suivante dans 70% des cas.
Si elle vient de subir une défaite, la probabilité qu'elle gagne la suivante est de 0,2.
De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première que de la perdre.
Pour tout entier naturel non nul, on définit les événements suivants :
''Léa gagne la n -ième partie de la journée'' ;
''Léa perd la n -ième partie de la journée''.
Pour tout entier naturel non nul, on note la probabilité de l'événement
On a donc
1. Léa estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante avec une probabilité égale à 0,7.
Donc si Léa vient de gagner la première partie, elle perd la deuxième partie avec une probabilité égale à
Nous obtenons ainsi :
2. Arbre des probabilités modélisant la situation pour les deux premières parties de la journée.
3. Nous devons calculer
Les événements et forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
4. Soit un entier naturel non nul.
4. a) Arbre des probabilités modélisant la situation pour les n -ième et (n + 1)-ième parties de la journée.
4. b) Pour tout entier naturel non nul, les événements et forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
5. Pour tout entier naturel non nul, on pose
5. a) Montrons que la suite est une suite géométrique.
Pour tout entier naturel non nul,
Par conséquent, la suite est une suite géométrique de raison dont le premier terme est
5. b) Le terme général de la suite est .
Donc, pour tout entier naturel non nul,
Pour tout entier naturel non nul,
6. Nous devons étudier les variations de la suite
Pour tout entier naturel non nul,
Par conséquent, la suite est décroissante.
7. Déterminons la limite de la suite
Cela signifie qu'à long terme, Léa gagnera sa partie de la journée dans 40% des cas.
8. Nous recherchons le plus petit entier naturel vérifiant l'inégalité
Donc le plus petit entier naturel vérifiant l'inégalité est
9. Ci-dessous la fonction écrite en langage Python renvoyant le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite sont tous inférieurs ou égaux à où est un nombre réel strictement positif.
4 points
exercice 3
1. Soit une suite définie pour tout entier naturel et vérifiant la relation suivante :
pour tout entier naturel
Affirmation 1 :
Proposition vraie.
Pour tout entier naturel non nul
Dès lors, en appliquant le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous obtenons :
2. Soit une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [-4 ; 4].
La représentation graphique de sa fonction dérivée est donnée ci-dessous.
Affirmation 2 : La fonction est convexe sur [-1 ; 3]Proposition fausse.
La fonction semble être décroissante sur l'intervalle [1,5 ; 2,5].
Nous en déduisons que la fonction semble être concave sur l'intervalle [1,5 ; 2,5] qui est inclus dans l'intervalle [-1 ; 3].
Par conséquent, la fonction n'est pas convexe sur [-1 ; 3].
3. Le code d'un immeuble est composé de 4 chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple : 1232BA).
Affirmation 3 : Il existe 20 634 codes qui contiennent au moins un 0Proposition vraie.
Déterminons le nombre de codes composés de 4 chiffres et deux lettres différentes parmi A, B et C.
Il y a 3 choix possibles pour la première lettre.
A chacun de ces choix, il y en a 2 pour la deuxième lettre.
Il y a donc portions de code à deux lettres différentes choisies parmi A, B et C.
Pour chacune de ces portions de code, nous avons 10 choix possibles pour chaque chiffre, soit codes de 4 chiffres.
Au total, il y a donc codes composés de 4 chiffres suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C.
Déterminons le nombre de codes composés de 4 chiffres non nuls et deux lettres différentes parmi A, B et C.
Le raisonnement est analogue en sachant qu'il y a 9 choix possibles pour chaque chiffre (puisque le zéro n'est pas autorisé), soit codes de 4 chiffres.
Au total, il y a donc codes composés de 4 chiffres non nuls suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C.
Par conséquent, le nombre de codes contenant au moins un zéro est égal à
4. On considère la fonction définie sur par
Affirmation 4 : La fonction est une solution sur de l'équation différentielle
Proposition vraie.
La fonction est dérivable sur comme produit de deux fonctions dérivables sur
Pour tout réel
Dès lors,
Par conséquent, la fonction est une solution sur de l'équation différentielle
5 points
exercice 4
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan d'équation
On considère les trois points de coordonnées :
Partie A
1. Vérifions si ces trois points appartiennent au plan
2. Nous devons montrer que le point est le projeté orthogonal du point sur le plan
Nous avons :
Nous savons également qu'une équation cartésienne du plan est :
Dès lors, le vecteur est un vecteur normal au plan
Or
Nous en déduisons que est orthogonal au plan
De plus le point appartient au plan car
Par conséquent, le point est le projeté orthogonal du point sur le plan
3. Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite
La droite est dirigée par le vecteur .
Donc la droite est dirigée par le vecteur
La droite passe par le point
D'où une représentation paramétrique de la droite est donnée par :
,
soit
4. On admet l'existence d'un unique point vérifiant les deux conditions :
et sont orthogonales.
Nous devons déterminer les coordonnées du point
Notons les coordonnées du point
et sont orthogonales.
Nous avons : et
Dès lors,
Nous déterminerons les coordonnées en résolvant le système :
Par conséquent, les coordonnées du point sont
Partie B
On admet que les coordonnées du vecteur sont
1. Nous devons calculer la valeur exacte de
2. Soit l'aire du triangle
Par définition du point , nous déduisons que ce point est le projeté orthogonal du point sur la droite
D'où si est la base du triangle alors est la hauteur de ce triangle issue du point
Nous obtenons ainsi :
Or
Nous en déduisons que :
Partie C
On admet que
1. Soit
Nous devons déterminer la valeur de
Le point est le projeté orthogonal du point sur le plan
De plus le point appartient à ce plan
D'où le triangle est rectangle en
Il s'ensuit que :
2. a) Montrons que les droites et sont perpendiculaires.
Nous avons : et
D'où
Par conséquent, les vecteurs et sont orthogonaux et par suite, les droites et sont orthogonales.
De plus, ces droites sont coplanaires car les points et appartiennent au plan
Donc les droites et sont perpendiculaires.
2. b) Nous devons calculer l'aire du triangle
Si est la base du triangle alors est la hauteur de ce triangle issue du point
Nous obtenons ainsi :
Or
Nous en déduisons que :
2. b) Nous devons donner une relation entre et
Nous avons
Dès lors,
Publié par malou
le
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