Fiche de mathématiques
> >

Bac général spécialité mathématiques

Asie Jour 2

Partager :


Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 6


5,5 points

exercice 1

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 11

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 12

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 13


5,5 points

exercice 2

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 10

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 7

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 2

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 8


4 points

exercice 3

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 1

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 9

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 14


5 points

exercice 4

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 3

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 5

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 4






Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2

Partager :



5,5 points

exercice 1

On considère la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  définie sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }  par :  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x^2-x\ln(x). } 
On admet que  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est deux fois dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[. } 


Partie A : Étude de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f } 

1.  Nous devons déterminer les limites de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  en 0 et en  \overset{ { \white{ . } } } {+\infty.  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0}x^2=0\phantom{WWWWWWWWWWWW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to 0}x\ln(x)=0\quad(\text{croissances comparées})} \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0}\Big(x^2-x\ln(x)\Big)=0

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0} } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Nous avons :  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x^2-x\ln(x)\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=x^2\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}\right)}

\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}x^2=+\infty\phantom{WWWWWWWWWW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0\quad(\text{croissances comparées})} \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}x^2=+\infty\phantom{WWW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}\right)=1}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}x^2\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}\right)=+\infty

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty} } 

2.  Pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x }  strictement positif, calculons  \overset{ { \white{ . } } } { f'(x). } 

Pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x }  strictement positif,

{ \white{ xxi } }f'(x)=\Big(x^2-x\ln(x)\Big)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}= 2x-\Big(x'\times\ln(x)+x\times (\ln(x))'\Big)   } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}= 2x-\Big(1\times\ln(x)+x\times \dfrac1x\Big)   } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}= 2x-\Big(\ln(x)+1\Big)   } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}= 2x-\ln(x)-1   } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty[,\quad f'(x)=2x-1-\ln(x)}

3.  Pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x }  strictement positif, calculons  \overset{ { \white{ . } } } { f''(x). } 

Pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x }  strictement positif,

{ \white{ xxi } }f''(x)=\Big(2x-1-\ln(x)\Big)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}= 2-0-\dfrac1x   } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}= 2-\dfrac1x   } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}= \dfrac{2x-1}{x}   } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty[,\quad f''(x)=\dfrac{2x-1}{x}}

4.  Nous devons étudier les variations de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f' }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ } 

Nous savons que :  \overset{ { \white{ . } } } { x  }  est strictement positif.
Dès lors, le signe de  \overset{ { \white{ . } } } {f''(x)  }  est le signe de  \overset{ { \white{ . } } } { 2x-1. } 

\begin{matrix}2x-1<0\Longleftrightarrow 2x<1\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWW0 W}\Longleftrightarrow x<\dfrac12} \\\\2x-1=0\Longleftrightarrow x=\dfrac12 \\\overset{ { \white{ . } } } {2x-1>0\Longleftrightarrow x>\dfrac12}  \\\\f'\left(\dfrac12\right)=2\times\dfrac12-1-\ln\left(\dfrac12\right)\\\phantom{Ww}=1-1-(-\ln(2))\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { =\ln(2)\phantom{WWW}} \end{matrix}  \begin{matrix}\phantom{WWW}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix}   \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&\dfrac12&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\2x-1&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&|&&&&&& \\f''(x)&|&-&-&0&+&+&\\&|&&&&&&\\\hline&|&&&&&&\\f'(x)&|&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow&\\&|&&&\ln(2)&&&\\\hline \end{array}

5.  Montrons que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est strictement croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ } 

La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f' }  admet un minimum égal à  \overset{ { \white{ . } } } { \ln(2) }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ } 
Or  \overset{ { \white{ . } } } { \ln(2)>0. } 
Dès lors, la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f' }  est strictement positive sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ } 

Nous en déduisons que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est strictement croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[. } 



Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire pour la résolution de l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x } 

On considère la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { g }  définie sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }  par :  \overset{ { \white{ . } } } { g(x)=x-\ln(x). } 
On admet que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { g }  est dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[. } 

1.  Pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x }  strictement positif, calculons  \overset{ { \white{ . } } } { g'(x) }  et étudions les variations de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { g }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[. } 

Pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x }  strictement positif,

{ \white{ xxi } }g'(x)=\Big(x-\ln(x)\Big)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(x)}=1-\dfrac1x} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(x)}=\dfrac{x-1}{x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty[,\quad g'(x)=\dfrac{x-1}{x}}

Nous savons que :  \overset{ { \white{ . } } } { x  }  est strictement positif.
Dès lors, le signe de  \overset{ { \white{ . } } } {g'(x)  }  est le signe de  \overset{ { \white{ . } } } { x-1. } 

\begin{matrix}x-1<0\Longleftrightarrow x<1 \\\overset{ { \white{ . } } } {x-1=0\Longleftrightarrow x=1} \\\overset{ { \white{ . } } } {x-1>0\Longleftrightarrow x>1}  \\\\g(1)=1-\ln(1)\\\phantom{}=1-0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { =1\phantom{Wi}} \end{matrix}  {\white{x}}\begin{matrix}\phantom{WWW}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix}   \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\x-1&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&|&&&&&& \\g'(x)&|&-&-&0&+&+&\\&|&&&&&&\\\hline&|&&&&&&\\g(x)&|&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow&\\&|&&&1&&&\\\hline \end{array}

2.  On admet que 1 est l'unique solution de l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { g(x)=1. } 
Nous devons résoudre, sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[, }  l'équation  \overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x.  } 

{ \white{ xxi } }f(x)=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-x\ln(x)=x \\\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x\Big(x-\ln(x)\Big)=x \\\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x-\ln(x)=1\quad(\text{car }x\neq 0) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad g(x)=1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=1}}

D'où sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[, }  l'équation  \overset{ { \white{ . } } } {f(x)=x  }  admet 1 comme unique solution.



Partie C : Étude d'une suite récurrente 

On considère la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  définie par  \overset{ { \white{ . } } } { u_0=\dfrac12 }  et pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } {  n,} 

u_{n+1}=f(u_n)=u_n^2-u_n\ln(u_n).


1.  Montrons par récurrence que pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } {n,\quad \dfrac12\le u_n\le u_{n+1}\le1.  } 

Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que   \overset{{\white{.}}}{\dfrac12\le u_0\le u_{1}\le1.}
C'est une évidence car par définition de la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n), } 

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}u_0=\dfrac12\phantom{WWWWW}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {u_1=u_0^2-u_0\ln(u_0)}\\\phantom{iWW}=\dfrac14-\dfrac12\times\ln\left(\dfrac12\right)\\\approx0,597\phantom{xxxx}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\dfrac12\le u_0\le u_{1}\le1} 
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,   \overset{{\white{.}}}{ \dfrac12\le u_n\le u_{n+1}\le1}  , alors   \overset{{\white{.}}}{\dfrac12\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le1 .}

En effet, puisque la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est strictement croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ },

{ \white{ xxi } }\dfrac12\le u_n\le u_{n+1}\le1 \quad\Longrightarrow\quad  f\left(\dfrac12\right)\le f(u_n)\le f(u_{n+1})\le f(1)  \\\\\phantom{WWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad f(u_0)\le f(u_n)\le f(u_{n+1})\le 1\quad(\text{voir question 2 - Partie B}) \\\\\phantom{WWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad u_1\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 1 \\\\\phantom{WWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac12\le u_1\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 1\quad(\text{car }\dfrac12\le u_1 \longrightarrow\text{voir initialisation)} \\\\\phantom{WWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\dfrac12\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 1}
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies,
nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } {n,\quad \dfrac12\le u_n\le u_{n+1}\le1.  } 

2.  Nous avons montré dans la question 1. que la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  est croissante et majorée par 1.
D'après le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  est convergente.


On appelle  \overset{ { \white{ _. } } } {\ell  }  la limite de la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  et on admet que  \overset{ { \white{ _. } } } { \ell }  vérifie l'égalité  \overset{ { \white{ _. } } } { f(\ell)=\ell. } 
3.  Déterminons la valeur de  \overset{ { \white{ . } } } { \ell . } 

L'égalité  \overset{ { \white{ _. } } } { f(\ell)=\ell }  signifie que  \overset{ { \white{ _. } } } { \ell }  est une solution de l'équation  \overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=x. } 

Or nous avons montré dans la question 2 - Partie B que 1 est l'unique solution de l'équation  \overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=x. } 
Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\ell = 1}\,. } 



5,5 points

exercice 2

Léa estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne a suivante dans 70% des cas.
Si elle vient de subir une défaite, la probabilité qu'elle gagne la suivante est de 0,2.
De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première que de la perdre.

Pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n }  non nul, on définit les événements suivants :
{\white{x}}\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}G_n :  ''Léa gagne la n -ième partie de la journée'' ;
{\white{x}}\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}D_n :  ''Léa perd la n -ième partie de la journée''.

Pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n }  non nul, on note  \overset{ { \white{ . } } } { g_n  }  la probabilité de l'événement  \overset{ { \white{ . } } } { G_n. } 
On a donc  \overset{ { \white{ . } } } { g_1=0,5. } 

1.  Léa estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante avec une probabilité égale à 0,7.
Donc si Léa vient de gagner la première partie, elle perd la deuxième partie avec une probabilité égale à  \overset{ { \white{ . } } } { 1-0,7=0,3. } 

Nous obtenons ainsi :  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P_{G_1}(D_2)=0,3}\,. } 

2.  Arbre des probabilités modélisant la situation pour les deux premières parties de la journée.

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 15


3.  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ . } } } { g_2. } 

Les événements  \overset{{\white{_.}}}{G_1}  et  \overset{{\white{_.}}}{D_1}  forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

{ \white{ xxi } }g_2=P(G_2)=P(G_1\cap G_2)+P(D_1\cap G_2) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g_2=P(G_2)}=P(G_1)\times P_{G_1}(G_2)+P(D_1)\times P_{D_1}(G_2)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g_2=P(G_2)}=0,5\times0,7+0,5\times0,2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g_2=P(G_2)}=0,45} \\\\\Longrightarrow\boxed{g_2=0,45}

4.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { n }  un entier naturel non nul.

4. a)  Arbre des probabilités modélisant la situation pour les n -ième et (n  + 1)-ième parties de la journée.

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 18


4. b)  Pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n }  non nul, les événements  \overset{{\white{.}}}{G_n}  et  \overset{{\white{.}}}{D_n}  forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

{ \white{ xxi } }g_{n+1}=P(G_{n+1})=P(G_n\cap G_{n+1})+P(D_n\cap G_{n+1}) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g_{n+1}=P(G_{n+1})}=P(G_n)\times P_{G_n}(G_{n+1})+P(D_n)\times P_{D_n}(G_{n+1})} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g_{n+1}=P(G_{n+1})}=g_n\times0,7+(1-g_n)\times0,2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{g_{n+1}=P(G_{n+1})}=0,7g_n+0,2-0,2g_n} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g_{n+1}=P(G_{n+1})}=0,5g_n+0,2} \\\\\Longrightarrow\boxed{g_{n+1}=0,5g_n+0,2}

5.  Pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n }  non nul, on pose  \overset{ { \white{ . } } } { v_n=g_n-0,4. } 

5. a)  Montrons que la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }  est une suite géométrique.

Pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n }  non nul,

{ \white{ xxi } }v_{n+1}=g_{n+1}-0,4 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=(0,5g_n+0,2)-0,4} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=0,5g_n-0,2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=0,5g_n-0,5\times0,4} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=0,5(g_n-0,4)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=0,5\,v_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,n\in\N^*,\quad v_{n+1}=0,5\,v_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:v_1=g_1-0,4=0,5-0,4=0,1\Longrightarrow\boxed{v_1=0,1}

Par conséquent, la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }  est une suite géométrique de raison  \overset{ { \white{ . } } } { q=0,5 }  dont le premier terme est  \overset{ { \white{ . } } } { v_1=0,1. } 

5. b)  Le terme général de la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }  est  \overset{{\white{.}}}{v_n=v_1\times q^{n-1}} .
Donc, pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n }  non nul,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{v_n=0,1\times0,5^{n-1}}}

Pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n }  non nul,

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}v_n=g_n-0,4{\white{wwi}}\\v_n=0,1\times0,5^{n-1}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad g_n-0,4=0,1\times0,5^{n-1} \\\\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N^*,\ g_n=0,1\times0,5^{n-1}+0,4}

6.  Nous devons étudier les variations de la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (g_n). } 

Pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n }  non nul,

{ \white{ xxi } }g_{n+1}-g_n=(0,1\times 0,5^n+0,4)-(0,1\times 0,5^{n-1}+0,4) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g_{n+1}-g_n}=0,1\times 0,5^n+0,4-0,1\times 0,5^{n-1}-0,4} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g_{n+1}-g_n}=0,1\times 0,5^n-0,1\times 0,5^{n-1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g_{n+1}-g_n}=0,1\times 0,5^{n-1}\times0,5-0,1\times 0,5^{n-1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g_{n+1}-g_n}=0,1\times 0,5^{n-1}\times(0,5-1)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g_{n+1}-g_n}=0,1\times 0,5^{n-1}\times(-0,5)\;{\red{<0}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N^*,\quad g_{n+1}-g_n<0}

Par conséquent, la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (g_n) }  est décroissante.

7.  Déterminons la limite de la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (g_n). } 

{ \white{ xxi } }0<0,5<1\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}0,5^{n-1}=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{0<0,5<1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}0,1\times0,5^{n-1}=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{0<0,5<1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}\Big(0,1\times0,5^{n-1}+0,4\Big)=0,4} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{0<0,5<1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}g_n=0,4}}
Cela signifie qu'à long terme, Léa gagnera sa partie de la journée dans 40% des cas.

8.  Nous recherchons le plus petit entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n }  vérifiant l'inégalité  \overset{{\white{.}}}{g_n-0,4\le0,001.}

{ \white{ xxi } }g_n-0,4\le0,001\Longleftrightarrow 0,1\times0,5^{n-1}\le0,001 \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g_n-0,4\ge0,001}\Longleftrightarrow 0,5^{n-1}\le0,01 } \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g_n-0,4\ge0,001}\Longleftrightarrow \ln\left(0,5^{n-1}\right)\le\ln(0,01) } \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g_n-0,4\ge0,001}\Longleftrightarrow (n-1)\times\ln(0,5)\le\ln(0,01) } \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g_n-0,4\ge0,001}\Longleftrightarrow n-1\ge\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,5)} \quad(\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,5)<0)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g_n-0,4\ge0,001}\Longleftrightarrow n\ge1+\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,5)} }

\text{Or }\ 1+\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,5)}\approx7,64

Donc le plus petit entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n }  vérifiant l'inégalité est  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{n=8}\,. } 

9.  Ci-dessous la fonction écrite en langage Python renvoyant le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite  \overset{ { \white{ . } } } { (g_n) }  sont tous inférieurs ou égaux à  \overset{ { \white{ . } } } { 0,4+e }  où  \overset{ { \white{ . } } } { e }  est un nombre réel strictement positif.

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 17




4 points

exercice 3

1.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }  une suite définie pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n }  et vérifiant la relation suivante :
pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n,\quad \dfrac12<u_n\le\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}. } 


Affirmation 1 :  \overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\dfrac12.\quad\longrightarrow{ \white{ xx } }  }  Proposition vraie.

Pour tout entier naturel non nul  \overset{ { \white{ . } } } { n, } 

{ \white{ xxi } }\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}=\dfrac{n^2\left(3+\dfrac4n+\dfrac{7}{n^2}\right)}{n^2\left(6+\dfrac{1}{n^2}\right)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  \Longrightarrow\boxed{\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}=\dfrac{3+\dfrac4n+\dfrac{7}{n^2}}{6+\dfrac{1}{n^2}}}}

\text{Or }\;\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3+\dfrac4n+\dfrac{7}{n^2}}{6+\dfrac{1}{n^2}}=\dfrac36=\dfrac12 \\\\\text{D'où }\;\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}=\dfrac12}

Dès lors, en appliquant le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous obtenons :

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac12\le u_n\le\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}=\dfrac12}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\dfrac12}


2.  Soit  \overset{ { \white{ _. } } } { h }  une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [-4 ; 4].
La représentation graphique  \overset{ { \white{ . } } } { C_{h'} }  de sa fonction dérivée  \overset{ { \white{ _. } } } { h' }  est donnée ci-dessous.

Bac général spécialité maths 2024 Asie jour 2 : image 16


Affirmation 2 :  La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { h }  est convexe sur [-1 ; 3]\overset{ { \white{ . } } } { { \white{ xx } }\longrightarrow{ \white{ xx } }  }}  Proposition fausse.

La fonction   { h' }  semble être décroissante sur l'intervalle [1,5 ; 2,5].
Nous en déduisons que la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { h }  semble être concave sur l'intervalle [1,5 ; 2,5] qui est inclus dans l'intervalle [-1 ; 3].
Par conséquent, la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { h }  n'est pas convexe sur [-1 ; 3].


3.  Le code d'un immeuble est composé de 4 chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple : 1232BA).

Affirmation 3 :  Il existe 20 634 codes qui contiennent au moins un 0\overset{ { \white{ . } } } { { \white{ xx } }\longrightarrow{ \white{ xx } }  }}  Proposition vraie.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Déterminons le nombre de codes composés de 4 chiffres et deux lettres différentes parmi A, B et C.
Il y a 3 choix possibles pour la première lettre.
A chacun de ces choix, il y en a 2 pour la deuxième lettre.
Il y a donc  \overset{ { \white{ . } } } {3\times 2=6  }  portions de code à deux lettres différentes choisies parmi A, B et C.

Pour chacune de ces portions de code, nous avons 10 choix possibles pour chaque chiffre, soit  \overset{ { \white{ _. } } } {10^4=10\,000  }  codes de 4 chiffres.

Au total, il y a donc  \overset{ { \white{ _. } } } { 6\times10\,000=60\,000  }  codes composés de 4 chiffres suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Déterminons le nombre de codes composés de 4 chiffres non nuls et deux lettres différentes parmi A, B et C.
Le raisonnement est analogue en sachant qu'il y a 9 choix possibles pour chaque chiffre (puisque le zéro n'est pas autorisé), soit  \overset{ { \white{ _. } } } {9^4=6\,561  }  codes de 4 chiffres.

Au total, il y a donc  \overset{ { \white{ _. } } } { 6\times6\,561=39\,366  }  codes composés de 4 chiffres non nuls suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Par conséquent, le nombre de codes contenant au moins un zéro est égal à  \overset{ { \white{ . } } } { 60\,000-39\,366=\boxed{20\,434}\,. } 

4.  On considère la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  définie sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }  par  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x\ln x} 

Affirmation 4 :  La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est une solution sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }  de l'équation différentielle
 \overset{ { \white{ . } } } { xy'-y=x} \overset{ { \white{ . } } } { { \white{ xx } }\longrightarrow{ \white{ xx } }  }}  Proposition vraie.


La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ } comme produit de deux fonctions dérivables sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[. } 

Pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x>0, } 

{ \white{ xxi } }f'(x)=\Big(x\ln x\Big)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{f'(x)}=x'\times\ln x+x\times(\ln x)'} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{f'(x)}=1\times\ln x+x\times\dfrac1x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{f'(x)}=\ln x+1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;+\infty[,\quad f'(x)=\ln x+1}

Dès lors,

{ \white{ xxi } }x\,f'(x)-f(x)=x(\ln x+1)-x\ln x \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{x\,f'(x)-f(x)}=x\ln x+x-x\ln x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{x\,f'(x)-f(x)}=x} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;+\infty[,\quad x\,f'(x)-f(x)=x}

Par conséquent, la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est une solution sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }  de l'équation différentielle  \overset{ { \white{ . } } } { xy'-y=x.} 



5 points

exercice 4

Dans un repère orthonormé  \overset{ { \white{ . } } } { (O\;;\;\vec i,\vec j,\vec k) }  de l'espace, on considère le plan  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}) }  d'équation  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}):2x+2y-3z+1=0 } 

On considère les trois points  \overset{ { \white{ . } } } {A, B, C  }  de coordonnées :

A(1\;;\;0\;;\;1),\;B(2\;;\;-1\;;\;1),\;C(-4\;;\;-6\;;\;5).


Partie A

1.  Vérifions si ces trois points appartiennent au plan  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). } 

{ \white{ xxi } }A\in\mathscr{P}\quad\text{ car }\quad 2\times1+2\times0-3\times1+1=2-3+1=0 \\ B\in\mathscr{P}\quad\text{ car }\quad 2\times2+2\times(-1)-3\times1+1=4-2-3+1=0 \\C\notin\mathscr{P}\quad\text{ car }\quad 2\times(-4)+2\times(-6)-3\times5+1=-8-12-15+1=-34\neq0

2.  Nous devons montrer que le point  \overset{ { \white{ . } } } { C'(0\;;\;-2\;;\;-1) }  est le projeté orthogonal du point  \overset{ { \white{ . } } } {  C}  sur le plan  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). } 

Nous avons :  \left\lbrace\begin{matrix}C(-4\;;\;-6\;;\;5)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { C'(0\;;\;-2\;;\;-1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {CC'}\begin{pmatrix}0+4\\ -2+6 \\-1-5\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {CC'}\begin{pmatrix}4\\  4\\-6\end{pmatrix}}

Nous savons également qu'une équation cartésienne du plan  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}) }  est :  \overset{ { \white{ . } } } {2x+2y-3z+1=0.  } 
Dès lors, le vecteur  \overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {n}\begin{pmatrix}2\\  2\\-3\end{pmatrix}  }  est un vecteur normal au plan  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). } 
Or   { \overrightarrow {CC'} }=2\overrightarrow {n}. 
Nous en déduisons que   { \overrightarrow {CC'} }  est orthogonal au plan  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). } 

De plus le point  \overset{ { \white{ _. } } } { C' }  appartient au plan  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}) }  car  \overset{ { \white{ . } } } { 2\times0+2\times(-2)-3\times(-1)+1=-4+3+1=0. } 

Par conséquent, le point  \overset{ { \white{ _. } } } { C'}  est le projeté orthogonal du point  \overset{ { \white{ _. } } } { C }  sur le plan  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). } 

3.  Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (AB). } 

La droite  \overset{ { \white{ . } } } { (AB) }  est dirigée par le vecteur  \overrightarrow{ AB } .

\left\lbrace\begin{matrix}A(1\;;\;0\;;\;1)\\  \overset{ { \white{ . } } } { B(2\;;\;-1\;;\;1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ AB }\begin{pmatrix}2-1\\-1-0\\1-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} }

Donc la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (AB) }  est dirigée par le vecteur  \overset{ { \white{ . } } }{ \overrightarrow{ AB }\begin{pmatrix}{\red{1 } }\\ {\red{ -1 } }\\ {\red{ 0 } }\end{pmatrix} .}

La droite  \overset{ { \white{ . } } } { (AB) }  passe par le point  \overset{ { \white{ . } } }{ A({ \blue{ 1 } }\,;\,{ \blue{ 0 } }\,;\,{ \blue{ 1 } }). }
D'où une représentation paramétrique de la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (AB) }  est donnée par :

{ \white{ WWWWWWW} } \left\lbrace\begin{array}l x={ \blue{1 } }+{ \red{ 1 } }\times t\\y={ \blue{ 0 } }+{ \red{ (-1) } }\times t\\z={ \blue{ 1 } }+{ \red{ 0} }\times t \end{array}\quad(t\in\mathbb{ R }) ,

{ \white{ WWWWWWW} }soit \overset{ { \phantom{ . } } }{ \boxed{ (AB):\left\lbrace\begin{array}l x=1+t\\y=-t\\z=1 \end{array}\quad(t\in\mathbb{ R }) } }

4.  On admet l'existence d'un unique point  \overset{ { \white{ . } } } { H }  vérifiant les deux conditions :

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} \overset{ { \white{ . } } } {  H\in(AB)} 
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} \overset{ { \white{ . } } } { (AB) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (HC) }  sont orthogonales.

Nous devons déterminer les coordonnées du point  \overset{ { \white{ . } } } { H. } 

Notons  \overset{ { \white{ . } } } { (x_H\;;\;y_H\;;\;z_H) }  les coordonnées du point  \overset{ { \white{ . } } } { H. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}H\in(AB)\quad\Longleftrightarrow\quad \exists\;t\in\R:\boxed{\left\lbrace\begin{array}l x_H=1+t\\y_H=-t\\z_H=1 \end{array}}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} \overset{ { \white{ . } } } { (AB) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (HC) }  sont orthogonales.

Nous avons :  \overset{ { \white{ . } } } { \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ AB }\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} } }  et  \overset{ { \white{ . } } }  { \left\lbrace\begin{matrix}H(x_H\;;\;y_H\;;\;z_H)\\ \overset{ { \white{ . } } } { C(-4\;;\;-6\;;\;5)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ HC }\begin{pmatrix}-4-x_H\\-6-y_H\\5-z_H\end{pmatrix}} } 

Dès lors,

(AB)\perp (HC)\quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{ AB }\cdot\overrightarrow{ HC }=0 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(AB)\perp (HC)}\quad\Longleftrightarrow\quad 1\times(-4-x_H)+(-1)\times(-6-y_H)+0\times(5-z_H)=0} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(AB)\perp (HC)}\quad\Longleftrightarrow\quad -4-x_H+6+y_H=0} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(AB)\perp (HC)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x_H-y_H=2}}

Nous déterminerons les coordonnées  \overset{ { \white{ . } } } { (x_H\;;\;y_H\;;\;z_H) }  en résolvant le système :

\left\lbrace\begin{array}l x_H=1+t\\y_H=-t\\z_H=1\\x_H-y_H=2 \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}l x_H=1+t\\y_H=-t\\z_H=1\\ (1+t)-(-t)=2 \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}l x_H=1+t\\y_H=-t\\z_H=1\\1+t+t=2 \end{array}

\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l x_H=1+t\\y_H=-t\\z_H=1\\2t=1 \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l x_H=1+t\\y_H=-t\\z_H=1\\t=\dfrac12 \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l x_H=1+\dfrac12\\y_H=-\dfrac12\\z_H=1\\t=\dfrac12 \end{array}

Par conséquent, les coordonnées du point  \overset{ { \white{ _. } } } { H }  sont  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{H(x_H\;;\;y_H\;;\;z_H)=\left(\dfrac32\;;\;-\dfrac12\;;\;1\right)}\,. } 



Partie B
On admet que les coordonnées du vecteur  {\overrightarrow{ HC}  }  sont  \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ HC }\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{2}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -\dfrac{11}{2}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 4}\end{pmatrix} . } 

1.  Nous devons calculer la valeur exacte de  \overset{ { \white{ . } } } { \left|\left|\overrightarrow{ HC }\right|\right|. } 

{ \white{ xxi } }\left|\left|\overrightarrow{ HC }\right|\right|=\sqrt{\left(-\dfrac{11}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{11}{2}\right)^2+4^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left|\left|\overrightarrow{ HC }\right|\right|}=\sqrt{\dfrac{121}{4}+\dfrac{121}{4}+16}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left|\left|\overrightarrow{ HC }\right|\right|}=\sqrt{\dfrac{306}{4}}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left|\left|\overrightarrow{ HC }\right|\right|}=\dfrac{\sqrt{306}}{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\left|\left|\overrightarrow{ HC }\right|\right|=\dfrac{\sqrt{306}}{2}}

2.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { S }  l'aire du triangle  \overset{ { \white{ . } } } {ABC.  } 

Par définition du point  \overset{ { \white{ _. } } } { H } , nous déduisons que ce point  \overset{ { \white{ _. } } } { H }  est le projeté orthogonal du point  \overset{ { \white{ . } } } { C }  sur la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (AB). } 
D'où si  \overset{ { \white{ . } } } { [AB] }  est la base du triangle  \overset{ { \white{ . } } } { ABC, }  alors  \overset{ { \white{ . } } } { [HC] }  est la hauteur de ce triangle issue du point  \overset{ { \white{ . } } } { C. } 

Nous obtenons ainsi :  \overset{ { \white{ . } } } { S=\dfrac{AB\times HC}{2}. } 

Or  \overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}AB=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}\quad\Longrightarrow\quad AB=\sqrt 2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  HC=\dfrac{\sqrt{306}}{2}\phantom{WWWWWWWWWWWW}}\end{matrix}\right.  } 

Nous en déduisons que :  

\overset{ { \white{ . } } } { S=\dfrac{\sqrt2\times \dfrac{\sqrt{306}}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt2\times \dfrac{\sqrt 2\sqrt{153}}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{153}}{2}}{2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{S=\dfrac{\sqrt{153}}{2}} } 



Partie C

On admet que  \overset{ { \white{ . } } } {HC'=\sqrt{\dfrac{17}{2}}\,.  } 

1.  Soit   { \alpha=\widehat{CHC'}. } 

Nous devons déterminer la valeur de  \overset{ { \white{ . } } } { \cos(\alpha). } 

Le point  \overset{ { \white{ . } } } { C' }  est le projeté orthogonal du point  \overset{ { \white{ . } } } {  C}  sur le plan  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). } 
De plus le point  \overset{ { \white{ . } } } { H }  appartient à ce plan  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). } 
D'où le triangle  \overset{ { \white{ . } } } { CHC' }  est rectangle en  \overset{ { \white{ . } } } { C'. } 

Il s'ensuit que :

{ \white{ xxi } }\cos(\alpha)=\dfrac{HC'}{HC}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{17}{2}}}{\dfrac{\sqrt{306}}{2}}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{34}{4}}}{\dfrac{\sqrt{9\times34}}{2}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{34}}{2}}{\dfrac{3\sqrt{34}}{2}}=\dfrac13 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\cos(\alpha)=\dfrac13}

2. a)  Montrons que les droites  \overset{ { \white{ . } } } { (C'H) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (AB) }  sont perpendiculaires.

Nous avons :  \overset{ { \white{ . } } } { \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ AB }\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} } }  et  \overset{ { \phantom{ . } } }  { \left\lbrace\begin{matrix}C'(0\;;\;-2\;;\;-1)\\ \overset{ { \white{ . } } } { H\left(\dfrac32\;;\;-\dfrac12\;;\;1\right)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overset{ { \phantom{ . } } } { \overrightarrow{C'H }\begin{pmatrix}\dfrac32-0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  -\dfrac12+2}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  1+1}\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}\dfrac32\\\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  \dfrac32}\\\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  2}\end{pmatrix}}  

D'où  \overrightarrow{AB }\cdot\overrightarrow{C'H }=1\times\dfrac32-1\times\dfrac32+0\times2=0.

Par conséquent, les vecteurs  \overrightarrow{AB }  et  \overrightarrow{C'H }  sont orthogonaux et par suite, les droites  \overset{ { \white{ . } } } { (C'H) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (AB) }  sont orthogonales.
De plus, ces droites sont coplanaires car les points  \overset{ { \white{ . } } } { A,B,C' }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { H }  appartiennent au plan  \overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P}. } 

Donc les droites  \overset{ { \white{ . } } } { (C'H) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (AB) }  sont perpendiculaires.

2. b)  Nous devons calculer  { S' }  l'aire du triangle   {ABC'.  } 

Si  \overset{ { \white{ . } } } { [AB] }  est la base du triangle  \overset{ { \white{ . } } } { ABC, }  alors  \overset{ { \white{ . } } } { [HC'] }  est la hauteur de ce triangle issue du point  \overset{ { \white{ . } } } { C'. } 

Nous obtenons ainsi :  \overset{ { \white{ . } } } { S'=\dfrac{AB\times HC'}{2}. } 

Or  \overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}AB=\sqrt 2\phantom{xx}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  HC'=\sqrt{\dfrac{17}{2}}}\end{matrix}\right. } 

Nous en déduisons que :  

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } } { S'=\dfrac{\sqrt2\times \sqrt{\dfrac{17}{2}}}{2}=\dfrac{\sqrt2\times \dfrac{\sqrt{17}}{\sqrt 2}}{2}=\quad\Longrightarrow\quad \boxed{S'=\dfrac{\sqrt{17}}{2}} }  

2. b)  Nous devons donner une relation entre  \overset{ { \white{ . } } } { S, S' }  et  \overset{ { \white{ . } } } { \cos(\alpha). } 

Nous avons  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}S=\dfrac{\sqrt{153}}{2}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {  S'=\dfrac{\sqrt{17}}{2}}\\ \\153=17\times9\end{matrix}\right. } 
Dès lors,

{ \white{ xxi } }\dfrac{\sqrt{153}}{2}=\dfrac{\sqrt{9\times17}}{2}=\dfrac{3\,\sqrt{17}}{2}\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{\sqrt{17}}{2}=\dfrac13\times\dfrac{\sqrt{153}}{2} \\\\\phantom{\dfrac{\sqrt{153}}{2}=\dfrac{\sqrt{9\times17}}{2}=\dfrac{3\,\sqrt{17}}{2}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{S'= \cos(\alpha)\times S}
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Hiphigenie
/
malou Webmaster
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1689 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !