Fiche de mathématiques

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Bac général spécialité mathématiques

Liban Jour 1

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5 points

exercice 1

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exercice 2

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exercice 3

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exercice 4

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Bac général spécialité maths 2024 Liban jour 1

5 points

exercice 1

Partie A

On définit la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle [0 ; 1] par : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}. }$

1. Déterminons la forme algébrique de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à [0 ; 1].

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur [0 ; 1] (fraction rationnelle).

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à [0 ; 1],

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\left(\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\right)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{(0,96x)'\times(0,93x+0,03)-0,96x\times(0,93x+0,03)'}{(0,93x+0,03)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{0,96\times(0,93x+0,03)-0,96x\times 0,93}{(0,93x+0,03)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{0,8928x+0,0288-0,8928x}{(0,93x+0,03)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{0,0288}{(0,93x+0,03)^2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,[0\;;\;1],\quad f'(x)=\dfrac{0,0288}{(0,93x+0,03)^2} }$

2. Nous devons déterminer le sens de variation de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle [0 ; 1].

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in[0\;;\;1],\quad\left\lbrace\begin{matrix}0,0288>0\phantom{WWW}\\ (0,93x+0,03)^2>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{0,0288}{(0,93x+0,03)^2} >0 }$

D'où pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in[0\;;\;1],\quad f'(x)>0.}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1].

Partie B

Lors d'une compétition rassemblant 1000 sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents.
On appelle $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ le réel compris entre 0 et 1 qui désigne la proportion de sportifs dopés.

On a pu déterminer que :
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il est dopé est égale à 0,96 ;
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il n'est pas dopé est égale à 0,03.

On note :
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ l'événement : ''le sportif est dopé''.
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ l'événement : ''le test est positif''.

1. Arbre des probabilités modélisant la situation.

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2. Nous devons déterminer, en fonction de $\overset{ { \white{ P. } } } { x, }$ la probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif, soit $\overset{ { \white{ . } } } { P(D\cap T). }$

${ \white{ xxi } }$ $P(D\cap T)=P(D)\times P_D(T) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(D\cap T)}=x\times 0,96} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(D\cap T)}=0,96x} \\\\\Longrightarrow \quad\boxed{P(D\cap T)=0,96x}$

3. Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { P(T). }$

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{D}$ et ${\overline{D}}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(T)=P(D\cap T)+P(\overline{D}\cap T) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(T)}=0,96x+P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(T)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(T)}=0,96x+(1-x)\times0,03} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(T)}=0,96x+0,03-0,03x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(T)}=0,93x+0,03} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(T)=0,93x+0,03}$

4. Pour cette question uniquement, on suppose qu'il y a 50 sportifs dopés parmi les 1000 testés.

Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ . } } } { P_T(D)=f(0,05). }$

${ \white{ xxi } }$ $P_T(D)=\dfrac{P(D\cap T)}{P(T)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P_T(D)}=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}} \\ \\ \phantom{P_T(D)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_T(D)=f(x)}$

Or on suppose qu'il y a 50 sportifs dopés parmi les 1000 testés.

Cela signifie que $\overset{ { \white{ . } } } { x=\dfrac{50}{1000}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x=0,05} }$
D'où nous obtenons $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P_T(D)=f(0,05)} }$

Par conséquent, la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { f(0,05). }$

5. On appelle valeur prédictive positive d'un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat est positif.

5. a) Nous devons déterminer à partir de quelle valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à 0,9.

Nous cherchons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } { P_T(D)\ge 0,9 }$ , soit la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)\ge 0,9 }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)\ge0,9\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\ge0,9 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)\ge0,9}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,96x\ge0,9\,(0,93x+0,03)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)\ge0,9}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,96x\ge0,837x+0,027} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)\ge0,9}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,123x\ge0,027} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)\ge0,9}\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge\dfrac{0,027}{0,123}}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{0,027}{0,123}\approx0,2195 }$

Par conséquent, la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à 0,9 si la proportion de sportifs dopés est supérieure ou égale à 0,22.

5. b) Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l'ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés.

Si nous supposons donc que les sportifs les plus performants sont plus fréquemment dopés, alors la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ va augmenter et être supérieure à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{50}{1000}. }$ .

Or nous savons que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1] (soir question 2 - Partie A).
Dès lors, la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } {f(x) }$ va également augmenter.

En conclusion, la décision du responsable de la compétition va améliorer la valeur prédictive positive du test.

5 points

exercice 2

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=2x\,\text e^{-x}. }$
On admet que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur [0 ; 1].

1. a) Nous devons résoudre sur l'intervalle [0 ; 1] l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x. }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=x\quad\Longleftrightarrow\quad 2x\,\text e^{-x}=x \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad 2x\,\text e^{-x}-x=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x(2\,\text e^{-x}-1)=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad2\,\text e^{-x}-1=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad2\,\text e^{-x}=1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad\text e^{-x}=\dfrac12} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad-x=\ln\left( \dfrac12\right)=-\ln(2)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=0\quad\text{ou}\quad x=\ln(2)}}$

Ces deux valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartiennent à l'intervalle [0 ; 1].
D'où l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{S=\lbrace 0\;;\;\ln(2)\rbrace }}$

1. b) Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1], calculons $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x). }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1],

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=2\left( x\,\text e^{-x}\right)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2\,[ x'\times\text e^{-x}+ x\times (\text e^{-x})']} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2\,[ 1\times\text e^{-x}+ x\times (-x)'\,\text e^{-x}]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2\,[\text e^{-x}+ x\times (-1)\,\text e^{-x}]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2\,(\text e^{-x}- x\,\text e^{-x})} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2\,(1-x)\,\text e^{-x}}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[0;\;;1],\;f'(x)=2(1-x)\,\text e^{-x}}$

1. c) Nous devons dresser le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle [0 ; 1].

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1],

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}2>0\\x<1\\\text e^{-x}>0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}2>0\\-x>-1\\\text e^{-x}>0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}2>0\\1-x>0\\\text e^{-x}>0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWW}\quad\Longrightarrow\quad 2(1-x)\,\text e^{-x}>0 \\\\\phantom{WWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'(x)>0}$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1].

D'où le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle [0 ; 1].

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}f(0)=2\times0\times\text e^0=0\phantom{WW}\\\\f(1)= 2\times1\times\text e^{-1}=2\,\text e^{-1}\end{matrix}$ ${\white{x}}\begin{matrix}\phantom{WWW}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&0&&&&1\\&&&&& \\\hline &&&&&\\f'(x)&&+&+&+&0\\&&&&&\\\hline&&&&&2\,\text e^{-1}\\f&&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\\&0&&&&\\\hline \end{array}$

On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=0,1 }$ et pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\; u_{n+1}=f(u_n). }$

2. a) Nous devons montrer par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\quad 0\le u_n< u_{n+1}\le 1. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{0\le u_0< u_{1}\le 1.}$
C'est une évidence car par définition de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n), }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}u_0=0,1\phantom{WWWW}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {u_1=f(u_0)=f(0,1)}\\\phantom{W}=2\times0,1\times \text e^{-0,1}\\\approx0,181\phantom{xxxx}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\le u_0< u_1\le1}$

Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{ 0\le u_n<u_{n+1}\le 1}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ 0\le u_{n+1}<u_{n+2}\le 1 .}$

En effet, puisque la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement croissante sur [0 ; 1],

${ \white{ xxi } }$ $0\le u_n<u_{n+1}\le 1\quad\Longrightarrow\quad f(0)\le f(u_n)< f(u_{n+1})\le f(1) \\\\\phantom{WWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad 0<u_{n+1}<u_{n+2}<2\,\text e^{-1}\quad\text{où }\; 2\,\text e^{-1}\approx0,736 \\\\\phantom{WWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0<u_{n+1}<u_{n+2}<1}$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\quad 0\le u_n<u_{n+1}\le 1. }$

2. b) Nous avons montré dans la question 2. a) que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est croissante et majorée par 1.
D'après le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente.

3. Nous devons démontrer que la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \ln(2). }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue sur $\overset{{\white{.}}}{[0\;;\;1]} .$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=f(u_n). }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{f(\ell)=\ell.}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \ell }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x. }$
Or nous avons montré dans la question 1. a) que les solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x }$ sont 0 et $\overset{ { \white{ . } } } { \ln(2). }$

Puisque la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est strictement croissante et que $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=0,1>0, }$ , il est impossible que $\overset{ { \white{ . } } } { \ell }$ soit égal à 0.

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\ell = \ln(2). }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ln(2)}}$

4. a) Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est croissante et converge vers $\overset{ { \white{ . } } } { \ln(2). }$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est donc majorée par $\overset{ { \white{ . } } } { \ln(2). }$

Dès lors, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\quad u_n\le \ln(2). }$
Par conséquent, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\quad \boxed{\ln(2) - u_n\ge 0}\,. }$

4. b) Ci-dessous, le script Python complété afin qu'il renvoie une valeur approchée de $\overset{ { \white{ . } } } { \ln(2) }$ par défaut à 10^-4 près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir.

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4. c) La valeur de la variable $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ renvoyée par la fonction seuil() est 11.

5 points

exercice 3

On considère l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } {(E_0):y'=y }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ est une fonction dérivable de la variable $\overset{ { \white{ . } } } { x.}$

1. Démontrons que l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E_0) }$ est la fonction nulle.

Soit la fonction constante $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=k. }$
Dans ce cas, pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x,\quad f'(x)=0. }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E_0)\quad\Longleftrightarrow\quad f'=f\quad\Longleftrightarrow\quad0=k}.$

Par conséquent, l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E_0) }$ est la fonction nulle.

2. Déterminons toutes les solutions de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E_0). }$

La solution générale d'une équation différentielle de la forme $\overset{{\white{.}}}{y'=Ay+B}$ est $y=C\,\text{e}^{Ax}-\dfrac{B}{A}\ \ \ \ \ (C\in\R).$
Dans le cas de $\overset{ { \white{ . } } } { (E_0), }$ A = 1 et B = 0.

D'où la solution générale de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E_0)}$ s'écrit $\boxed{y(x)=C\,\text{e}^{x}\ \ (C\in\R)}$

On considère l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } {(E):y'=y-\cos(x)-3\sin(x) }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ est une fonction dérivable de la variable $\overset{ { \white{ . } } } { x.}$

3. La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { h(x)=2\cos(x)+\sin(x). }$
On suppose qu'elle est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R. }$
Montrons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {h }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E).}$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x,\quad h(x)=2\cos(x)+\sin(x)\quad\Longrightarrow\quad h'(x)=-2\sin(x)+\cos(x) }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $h(x)-\cos(x)-3\sin(x)=2\cos(x)+\sin(x)-\cos(x)-3\sin(x) \\\phantom {h(x)-\cos(x)-3\sin(x)}=\cos(x)-2\sin(x) \\\phantom {h(x)-\cos(x)-3\sin(x)}=h'(x) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad h'(x)=h(x)-\cos(x)-3\sin(x)}$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {h }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E).}$

4. On considère une fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie et dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$
Nous devons démontrer que : '' $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ '' est équivalent à '' $\overset{ { \white{ . } } } { f-h }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E_0) }$ ''.

Nous avons montré dans la question 3 que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {h }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E).}$

Nous obtenons ainsi :

$f\;\text{est solution de }(E)\quad\Longleftrightarrow\quad f\;\text{et}\;h\;\text{sont solutions de }(E) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f\;\text{est solution de }(E)}\quad\Longleftrightarrow\quad\forall\,x\in\R:\left\lbrace\begin{matrix}f'(x)=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\\h'(x)=h(x)-\cos(x)-3\sin(x)\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f\;\text{est solution de }(E)}\quad\Longleftrightarrow\quad \forall\,x\in\R:f'(x)-h'(x)=f(x)-h(x)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f\;\text{est solution de }(E)}\quad\Longleftrightarrow\quad \forall\,x\in\R:\Big(f-h\Big)'(x)=\Big(f-h\Big)(x)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f\;\text{est solution de }(E)}\quad\Longleftrightarrow\quad f-h\;\text{est solution de }(E_0)}$

Nous avons donc démontré que : '' $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ '' est équivalent à '' $\overset{ { \white{ . } } } { f-h }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E_0) }$ ''.

5. Nous savons par la question 2 que la solution générale de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E_0)}$ s'écrit $\boxed{y(x)=C\,\text{e}^{x}\ \ (C\in\R)}$

Dès lors, '' $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ '' est équivalent à '' $\overset{ { \white{ . } } } { f-h }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E_0) }$ '', soit $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)-h(x)=C\,\text{e}^{x}\ \ (C\in\R). }$
Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=C\,\text{e}^{x}+h(x)\quad (C\in\R). }$

Par conséquent, toutes les solutions de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E)}$ sont les fonctions définies par : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f(x)=C\,\text{e}^{x}+2\cos(x)+\sin(x)\quad (C\in\R)}\,. }$

6. Déterminons l'unique solution $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } { g(0)=0. }$

$g(0)=0\quad\Longleftrightarrow\quad C\,\text{e}^{0}+2\cos(0)+\sin(0)=0 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{g(0)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad C\times1+2\times1+0=0} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{g(0)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad C+2=0} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{g(0)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{C=-2}}$

D'où, l'unique solution $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } { g(0)=0 }$ est définie par $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{g(x)=-2\,\text{e}^{x}+2\cos(x)+\sin(x)} }$

7. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_0^{\frac\pi 2}\Big(-2\,\text e^x+\sin(x)+2\cos(x)\Big)\,\text{d}x. }$

$\displaystyle\int_0^{\frac\pi 2}(-2\,\text e^x+\sin(x)+2\cos(x))\,\text{d}x=\Big[-2\,\text e^x-\cos(x)+2\sin(x)\Big]_0^{\frac\pi 2} \\\phantom{\displaystyle\int_0^{\frac\pi 2}(-2\,\text e^x+\sin(x)+2\cos(x))\,\text{d}x}=\Big(-2\,\text e^{\frac\pi 2}-\cos(\frac\pi 2)+2\sin(\frac\pi 2)\Big)-\Big(-2\,\text e^0-\cos(0)+2\sin(0)\Big) \\\phantom{\displaystyle\int_0^{\frac\pi 2}(-2\,\text e^x+\sin(x)+2\cos(x))\,\text{d}x}=\Big(-2\,\text e^{\frac\pi 2}-0+2\times1\Big)-\Big(-2\times1-1+0\Big) \\\phantom{\displaystyle\int_0^{\frac\pi 2}(-2\,\text e^x+\sin(x)+2\cos(x))\,\text{d}x}=-2\,\text e^{\frac\pi 2}+2+2+1 \\\phantom{\displaystyle\int_0^{\frac\pi 2}(-2\,\text e^x+\sin(x)+2\cos(x))\,\text{d}x}=-2\,\text e^{\frac\pi 2}+5 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_0^{\frac\pi 2}(-2\,\text e^x+\sin(x)+2\cos(x))\,\text{d}x=-2\,\text e^{\frac\pi 2}+5}$

5 points

exercice 4

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j,\vec k).$

On considère :

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ les points $\overset{ { \white{ . } } } { A(-2;0;2),\;B(-1;3;0),\;C(1;-1;2),\;D(0;0;3). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_1 }$ dont une représentation paramétrique est $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{WW}\\y=3t\phantom{Ww}\\z=3+5t\end{matrix}\right.\quad\text{avec}\quad t\in\R }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_2 }$ dont une représentation paramétrique est $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=1+3s\phantom{x}\\y=-1-5s\\z=2-6s\phantom{W}\end{matrix}\right.\quad\text{avec}\quad s\in\R }$

1. Nous devons démontrer que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\;B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ ne sont pas alignés.

Nous allons montrer que les vecteurs ${ \overrightarrow{AB} }$ et ${ \overrightarrow{AC} }$ ne sont pas colinéaires.

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}A(-2\;;\;0\;;\;2)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { B(-1\;;\;3\;;\;0)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}-1+2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 3-0} \\0-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 3}\\-2\end{pmatrix}}$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}A(-2\;;\;0\;;\;2)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { C(1\;;\;-1\;;\;2)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}1+2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -1-0} \\2-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}3\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -1}\\0\end{pmatrix}}$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$ ne sont pas colinéaires.

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\;B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ ne sont pas alignés.

2. a) Démontrons que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow {n}\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}}$ est orthogonal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \vec n }$ est orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}. }$
${ \white{ xxi } }$ Nous avons : $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=1\times1+3\times3+5\times(-2)=1+9-10=0\quad\Longrightarrow\quad\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0.$

${ \white{ xxi } }$ D'où $\boxed{\vec n\perp \overrightarrow{AB}}\,.$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \vec n}$ est orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}. }$
${ \white{ xxi } }$ Nous avons : $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=1\times3+3\times(-1)+5\times0=3-3+0=0\quad\Longrightarrow\quad\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0.$

${ \white{ xxi } }$ D'où $\boxed{\vec n\perp \overrightarrow{AC}}\,.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous venons de montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { \vec n }$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires ${ \overrightarrow{AB} }$ et ${ \overrightarrow{AC.} }$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

2. b) Déterminons une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

Nous avons montré que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC). }$
D'où l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {x+3y+5z+d=0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {d }$ est un nombre réel.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {A(-2\;;\;0\;;\;2) }$ appartient à ce plan.
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {-2+3\times0+5\times2+d=0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {d=-8. }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{x+3y+5z-8=0}\,. }$

2. c) Nous allons montrer que les points $\overset{ { \white{ . } } } {A ,\;B,\;C }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { D }$ ne sont pas coplanaires en montrant que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ n'appartient pas au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$
Les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ ne vérifient pas l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ car $\overset{ { \white{ . } } } { 0+3\times0+5\times3=15\neq0. }$
D'où le point $\overset{ { \white{ . } } } { D }$ n'appartient pas au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\;B,\;C }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { D }$ ne sont pas coplanaires.

3. a) Nous devons justifier que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_1 }$ est la hauteur du tétraèdre $\overset{ { \white{ . } } } { ABCD }$ issue de $\overset{ { \white{ _. } } } { D. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } {D(0;0;3) }$ appartient à $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_1. }$
Une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_1 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{WW}\\y=3t\phantom{Ww}\\z=3+5t\end{matrix}\right.\quad\text{avec}\quad t\in\R }$
Si $\overset{ { \white{ . } } } { t=0, }$ alors nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=3\end{matrix}\right.}$ , soit les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { D. }$

D'où le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ appartient à $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_1. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_1 }$ est perpendiculaire au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

La représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_1 }$ montre qu'un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_1 }$ admet comme coordonnées : $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix} }$ qui sont égales à celles du vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n }$ normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$
D'où le vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_1 }$ est normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$
Il s'ensuit que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_1 }$ est perpendiculaire au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_1 }$ est la hauteur du tétraèdre $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCD }$ issue de $\overset{ { \white{ _. } } } { D. }$

3. b) Résolvons le système $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{WWx}\\y=3t\phantom{Wwx}\\z=3+5t\phantom{x}\\x=1+3s\phantom{x}\\y=-1-5s\\z=2-6s \phantom{x}\end{matrix}\right.}$

$\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{WWx}\\y=3t\phantom{Wwx}\\z=3+5t\phantom{x}\\x=1+3s\phantom{x}\\y=-1-5s\\z=2-6s \phantom{x}\end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{WWWWx}\\y=3t\phantom{WwWWx}\\z=3+5t\phantom{xWW}\\t=1+3s\phantom{xWW}\\3t=-1-5s\phantom{Ww}\\3+5t=2-6s \phantom{x}\end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{WWWWWWW}\\y=3t\phantom{WwWWWwWx}\\z=3+5t\phantom{xWWWWw}\\t=1+3s\phantom{WWWWW}\\3(1+3s)=-1-5s\phantom{W}\\3+5(1+3s)=2-6s \phantom{}\end{matrix}\right.}$

${ \white{ xxi } }$ $\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{WWWWWx}\\y=3t\phantom{WwWWWx}\\z=3+5t\phantom{xWWW}\\t=1+3s\phantom{xWWW}\\3+9s=-1-5s\phantom{W}\\3+5+15s=2-6s \phantom{}\end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{WWW}\\y=3t\phantom{WwW}\\z=3+5t\phantom{xW}\\t=1+3s\phantom{W}\\14s=-4\phantom{Ww}\\21s=-6 \phantom{ww}\end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{WWW}\\y=3t\phantom{WwW}\\z=3+5t\phantom{xW}\\t=1+3s\phantom{W}\\s=-\dfrac27 \phantom{ww}\end{matrix}\right.}$

${ \white{ xxi } }$ $\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{WWW}\\y=3t\phantom{WwW}\\z=3+5t\phantom{xW}\\t=\dfrac17\phantom{WWWw}\\s=-\dfrac27 \phantom{wWw}\end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=\dfrac17\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { y=\dfrac37}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { z=\dfrac{26}{7}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { t=\dfrac17}\phantom{W}\\s=-\dfrac27\end{matrix}\right.}$

Par conséquent, les droites $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_2 }$ sont sécantes au point de coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } {\left(\dfrac17\;;\;\dfrac37\;;\;\dfrac{26}{7}\right). }$

4. a) Déterminons les coordonnées du projeté orthogonal $\overset{ { \white{ . } } } { H }$ du point $\overset{ { \white{ . } } } { D }$ sur le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC).}$

Le point $\overset{ { \white{ . } } } { H }$ est le point d'intersection de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{D}_1 }$ et du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$

Résolvons le système $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{WWWWWW}\\y=3t\phantom{WWWWWW}\\z=3+5t\phantom{WWWW}\\x+3y+5z-8=0\end{matrix}\right.}$

$\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{WWWWWW}\\y=3t\phantom{WWWWWW}\\z=3+5t\phantom{WWWW}\\x+3y+5z-8=0\end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{WWWWWWWWW}\\y=3t\phantom{WWWWWWWWW}\\z=3+5t\phantom{WWWWWWW}\\t+3\times3t+5(3+5t)-8=0\end{matrix}\right.}$

${ \white{ xxi } }$ $\quad\Longleftrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{WW}\\y=3t\phantom{WW}\\z=3+5t\phantom{}\\35t+7=0\end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=t\phantom{Wi}\\y=3t\phantom{W}\\z=3+5t\phantom{}\\t=-\dfrac{1}{5}\phantom{W}\end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=-\dfrac15\phantom{Wi}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { y=-\dfrac35\phantom{W}}\\z=2\phantom{WW}\\t=-\dfrac{1}{5}\phantom{W}\end{matrix}\right.}$

Par conséquent, les coordonnées du point $\overset{ { \white{ . } } } { H }$ sont $\overset{ { \white{ . } } } {\left(-\dfrac15\;;\;-\dfrac35\;;\;2\right). }$

4. b) Nous devons calculer la distance du point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC), }$ soit la distance $\overset{ { \white{ . } } } { DH. }$

Nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}D(0\;;\;0\;;\;3)\phantom{WW}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { H\left(-\dfrac15\;;\;-\dfrac35\;;\;2\right)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {DH}\begin{pmatrix}-\dfrac15\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -\dfrac35}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { -1}\end{pmatrix}} }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $DH=\sqrt{\left(-\dfrac15\right)^2+\left(-\dfrac35\right)^2+(-1)^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{HD}=\sqrt{\dfrac{1}{25}+\dfrac{9}{25}+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{HD}=\sqrt{\dfrac{35}{25}}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{HD}=\dfrac{\sqrt{35}}{5}\approx1,18} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{DH=\dfrac{\sqrt{35}}{5}\approx1,18}$

Publié par malou le 13-07-2024

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