On définit la fonction sur l'intervalle [0 ; 1] par :
1. Déterminons la forme algébrique de pour tout appartenant à [0 ; 1].
La fonction est dérivable sur [0 ; 1] (fraction rationnelle).
Pour tout appartenant à [0 ; 1],
2. Nous devons déterminer le sens de variation de la fonction sur l'intervalle [0 ; 1].
Pour tout
D'où pour tout
Par conséquent, la fonction est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1].
Partie B
Lors d'une compétition rassemblant 1000 sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents.
On appelle le réel compris entre 0 et 1 qui désigne la proportion de sportifs dopés.
On a pu déterminer que :
la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il est dopé est égale à 0,96 ;
la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il n'est pas dopé est égale à 0,03.
On note :
l'événement : ''le sportif est dopé''.
l'événement : ''le test est positif''.
1. Arbre des probabilités modélisant la situation.
2. Nous devons déterminer, en fonction de la probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif, soit
3. Nous devons déterminer
Les événements et forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
4. Pour cette question uniquement, on suppose qu'il y a 50 sportifs dopés parmi les 1000 testés.
Nous devons démontrer que
Or on suppose qu'il y a 50 sportifs dopés parmi les 1000 testés.
Cela signifie que
D'où nous obtenons
Par conséquent, la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à
5. On appelle valeur prédictive positive d'un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat est positif.
5. a) Nous devons déterminer à partir de quelle valeur de la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à 0,9.
Nous cherchons la valeur de telle que , soit la valeur de telle que
Or
Par conséquent, la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à 0,9 si
la proportion de sportifs dopés est supérieure ou égale à 0,22.
5. b) Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l'ensemble des sportifs,
mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés.
Si nous supposons donc que les sportifs les plus performants sont plus fréquemment dopés, alors la valeur de va augmenter et être supérieure à .
Or nous savons que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1] (soir question 2 - Partie A).
Dès lors, la valeur de va également augmenter.
En conclusion, la décision du responsable de la compétition va améliorer la valeur prédictive positive du test.
5 points
exercice 2
On considère la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par
On admet que la fonction est dérivable sur [0 ; 1].
1. a) Nous devons résoudre sur l'intervalle [0 ; 1] l'équation
Ces deux valeurs de appartiennent à l'intervalle [0 ; 1].
D'où l'ensemble des solutions de l'équation est
1. b) Pour tout appartenant à l'intervalle [0 ; 1], calculons
Pour tout appartenant à l'intervalle [0 ; 1],
1. c) Nous devons dresser le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle [0 ; 1].
Pour tout appartenant à l'intervalle [0 ; 1],
Nous en déduisons que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1].
D'où le tableau de variations de sur l'intervalle [0 ; 1].
On considère la suite définie par et pour tout entier naturel
2. a) Nous devons montrer par récurrence que pour tout entier naturel
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que
C'est une évidence car par définition de la suite
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet, puisque la fonction est strictement croissante sur [0 ; 1],
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel
2. b) Nous avons montré dans la question 2. a) que la suite est croissante et majorée par 1.
D'après le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite est convergente.
3. Nous devons démontrer que la limite de la suite est
La fonction est continue sur
La suite est définie par la relation de récurrence :
Nous savons que la suite est convergente vers une limite notée .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que vérifie la relation
Dès lors, est solution de l'équation
Or nous avons montré dans la question 1. a) que les solutions de l'équation sont 0 et
Puisque la suite est strictement croissante et que , il est impossible que soit égal à 0.
D'où
Par conséquent,
4. a) Nous savons que la suite est croissante et converge vers
La suite est donc majorée par
Dès lors, pour tout entier naturel
Par conséquent, pour tout entier naturel
4. b) Ci-dessous, le script Python complété afin qu'il renvoie une valeur approchée de par défaut à 10-4 près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir.
4. c) La valeur de la variable renvoyée par la fonction seuil() est 11.
5 points
exercice 3
On considère l'équation différentielle où est une fonction dérivable de la variable
1. Démontrons que l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle est la fonction nulle.
Soit la fonction constante définie sur par
Dans ce cas, pour tout réel
Dès lors, est solution de l'équation
Par conséquent, l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle est la fonction nulle.
2. Déterminons toutes les solutions de l'équation différentielle
La solution générale d'une équation différentielle de la forme est
Dans le cas de A = 1 et B = 0.
D'où la solution générale de l'équation différentielle s'écrit
On considère l'équation différentielle où est une fonction dérivable de la variable
3. La fonction est définie sur par
On suppose qu'elle est dérivable sur
Montrons que la fonction est solution de l'équation différentielle
Pour tout réel
Dès lors,
Nous en déduisons que la fonction est solution de l'équation différentielle
4. On considère une fonction définie et dérivable sur
Nous devons démontrer que : '' est solution de '' est équivalent à '' est solution de ''.
Nous avons montré dans la question 3 que la fonction est solution de l'équation différentielle
Nous obtenons ainsi :
Nous avons donc démontré que : '' est solution de '' est équivalent à '' est solution de ''.
5. Nous savons par la question 2 que la solution générale de l'équation différentielle s'écrit
Dès lors, '' est solution de '' est équivalent à '' est solution de '', soit
Nous en déduisons que
Par conséquent, toutes les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies par :
6. Déterminons l'unique solution de l'équation différentielle telle que
D'où, l'unique solution de l'équation différentielle telle que est définie par
7. Nous devons calculer
5 points
exercice 4
L'espace est muni d'un repère orthonormé
On considère :
les points
la droite dont une représentation paramétrique est
la droite dont une représentation paramétrique est
1. Nous devons démontrer que les points et ne sont pas alignés.
Nous allons montrer que les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
Manifestement, les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les points et ne sont pas alignés.
2. a) Démontrons que le vecteur est orthogonal au plan
Montrons que est orthogonal au vecteur
Nous avons :
D'où
Montrons que est orthogonal au vecteur
Nous avons :
D'où
Nous venons de montrer que est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires et
Par conséquent, est un vecteur normal au plan
2. b) Déterminons une équation cartésienne du plan
Nous avons montré que le vecteur est un vecteur normal au plan
D'où l'équation du plan est de la forme où est un nombre réel.
Nous savons que appartient à ce plan.
Donc soit
Par conséquent, une équation cartésienne du plan est
2. c) Nous allons montrer que les points et ne sont pas coplanaires en montrant que le point n'appartient pas au plan
Les coordonnées du point ne vérifient pas l'équation du plan car
D'où le point n'appartient pas au plan
Par conséquent, les points et ne sont pas coplanaires.
3. a) Nous devons justifier que la droite est la hauteur du tétraèdre issue de
Montrons que le point appartient à
Une représentation paramétrique de la droite est
Si alors nous obtenons : , soit les coordonnées du point
D'où le point appartient à
Montrons que la droite est perpendiculaire au plan
La représentation paramétrique de montre qu'un vecteur directeur de admet comme coordonnées : qui sont égales à celles du vecteur normal au plan
D'où le vecteur directeur de la droite est normal au plan
Il s'ensuit que la droite est perpendiculaire au plan
Par conséquent, la droite est la hauteur du tétraèdre issue de
3. b) Résolvons le système
Par conséquent, les droites et sont sécantes au point de coordonnées
4. a) Déterminons les coordonnées du projeté orthogonal du point sur le plan
Le point est le point d'intersection de la droite et du plan
Résolvons le système
Par conséquent, les coordonnées du point sont
4. b) Nous devons calculer la distance du point au plan soit la distance
Nous avons :
Dès lors,
Publié par malou
le
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