Fiche de mathématiques

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Bac général spécialité mathématiques 2024

Liban Jour 2

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5 points

exercice 1

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6 points

exercice 2

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5 points

exercice 3

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4 points

exercice 4

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Bac général spécialité maths 2024 Liban jour 2

5 points

exercice 1

Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 1 à 8, indiscernables au toucher.
A trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.
On appelle ''tirage'' la liste ordonnées des trois numéros obtenus.

1. Déterminons le nombre de tirages possibles.

Le joueur pioche un jeton dans ce sac, puis le remet dans le sac.
Pour le premier jeton, le joueur a 8 choix possibles.
À chacun de ces choix, le joueur a encore 8 choix possibles pour le second jeton.
De même pour le troisième jeton.
Donc le nombre de tirages possibles est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { 8^3=512. }$

2. a) Déterminons le nombre de tirages sans répétition de numéro..

Pour le premier jeton, le joueur a 8 choix possibles.
À chacun de ces choix, il reste 7 choix possibles pour le second jeton.
Les deux premiers jetons étant tirés, il reste 6 choix possibles pour le troisième jeton.
Donc le nombre de tirages sans répétition de numéro est alors égal à $\overset{ { \white{ . } } } { 8\times7\times6=336. }$

2. b) Déterminons le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.

Il suffit de déduire le nombre de tirages sans répétition de numéro du nombre total de tirages possibles.
Dès lors, le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro est égal à 512 - 336 = 176.

On note $\overset{ { \white{ . } } } { X_1 }$ la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, $\overset{ { \white{ . } } } { X_2 }$ celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et $\overset{ { \white{ . } } } {X_3 }$ celle égale au troisième jeton pioché.

Les variables aléatoires $\overset{ { \white{ . } } } {X_1,\;X_2 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { X_3 }$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.

3. Établissons la loi de probabilité de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ . } } } { X_1. }$

Les valeurs prises par $\overset{ { \white{ . } } } { X_1 }$ sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Nous sommes dans une situation d'équiprobabilité.

Nous pouvons alors dresser le tableau résumant la loi de probabilité de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ . } } } { X_1. }$

${ \white{ WWWWWWW} }$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &&&&&&&&&x_i&1&2&3&4&5&6&7&8\\&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&\\P(X_1=x_i)&\dfrac18&\dfrac18&\dfrac18&\dfrac18&\dfrac18&\dfrac18&\dfrac18&\dfrac18\\&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

4. Nous devons déterminer l'espérance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ . } } } { X_1. }$

${ \white{ xxi } }$ $E(X_1)=x_1\times P(X_1=x_1)+x_2\times P(X_1=x_2)+\cdots+x_8\times P(X_1=x_8) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(X_1)}=1\times \dfrac18+2\times \dfrac18+\cdots+8\times\dfrac18} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(X_1)}=(1+2+\cdots+8)\times\dfrac18} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(X_1)}=\dfrac92} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(X_1)=4,5}$

On note $\overset{ { \white{ . } } } { S=X_1+X_2+X_3 }$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.

5. Nous devons déterminer l'espérance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ . } } } { S. }$

Les variables aléatoires $\overset{ { \white{ . } } } {X_1,\;X_2 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { X_3 }$ suivent la même loi de probabilité.

Selon le principe de la linéarité de l'espérance, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $E(S)=E(X_1+X_2+X_3) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(S)}=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(S)}=E(X_1)+E(X_1)+E(X_1)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(S)}=3\times E(X_1)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(S)}=3\times4,5} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{E(S)}=13,5} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(S)=13,5}$

6. Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { P(S=24). }$

La somme des trois numéros ne peut valoir 24 que dans le cas de l'unique tirage où les trois jetons piochés portent le numéro 8.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(S=24)=\dfrac{1}{512}} }$

7. Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à 22, alors il gagne un lot.

7. a) Montrons qu'il existe exactement 10 tirages permettant de gagner un lot.

Déterminons les tirages dans lesquels la somme des numéros est supérieure ou égale à 22.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &&&&&&\text{trois }8&\text{deux 8}&\text{deux 8}&\text{un 8} &&&\text{un 7}&\text{un 6}&\text{deux 7}\\&&&& \\\hline &&&&\\\text{tirages}&{\red{8}}{\red{8}}{\red{8}}&{\red{8}}{\red{8}}7&{\red{8}}{\red{8}}6&{\red{8}}77\\&&{\red{8}}7{\red{8}}&{\red{8}}6{\red{8}}&7{\red{8}}7\\&&7{\red{88}}&6{\red{8}}{\red{8}}&77{\red{8}}\\&&&&\\\hline&&&&\\\text{Somme}&24&23&22&22\\&&&&\\\hline \end{array}$

Dans les autres cas, la somme est strictement inférieure à 22.
Ce tableau contient 10 tirages.

Par conséquent, il existe exactement 10 tirages permettant de gagner un lot.

7. b) Nous déduisons de la question précédente que la probabilité de gagner un lot est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{10}{512}=\dfrac{5}{256}\approx0,02. }$

6 points

exercice 2

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[ }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } {f(x)=\dfrac{\text e^x}{x-1} . }$
On admet que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[. }$
On appelle $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C} }$ sa courbe représentative dans un repère.

1. a) Déterminons la limite de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ en 1.

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to1^-}\text e^x=\text e^1=\text e\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to1^-}(x-1)=0^-}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{\text e^x}{x-1}=-\infty \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to1^-}\text e^x=\text e^1=\text e\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to1^-}(x-1)=0^-}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty}$

1. b) Nous en déduisons que la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { x=1 }$ est une asymptote verticale à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}. }$

2. Déterminons la limite de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ en $\overset{ { \white{ . } } } {-\infty . }$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\text e^x=0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}(x-1)=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\text e^x}{x-1}=0 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\text e^x=\text e^1=\text e\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}(x-1)=0^-}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0}$

3. a) Déterminons l'expression algébrique de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\left(\dfrac{\text e^x}{x-1} \right)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{\text (e^x)'\times (x-1)-\text e^x\times (x-1)'}{(x-1)^2} } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{\text e^x\times (x-1)-\text e^x\times 1}{(x-1)^2} } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{\text e^x\times (x-1-1)}{(x-1)^2} } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{\text e^x\times (x-2)}{(x-1)^2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]-\infty\;;\;1\,[,\quad f'(x)=\dfrac{(x-2)\,\text e^x}{(x-1)^2} }$

3. b) Dressons le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[. }$

${ \white{ xxi } }$ $\forall\,x\in\,]-\infty\;;\;1\,[\,,\quad x<1\quad\Longrightarrow x<2 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\,]-\infty\;;\;1\,[\,,\quad x<1}\quad\Longrightarrow x-2<0}$

$\text{D'où }\quad\forall\,x\in\,]-\infty\;;\;1\,[\,,\quad \left\lbrace\begin{matrix}x-2<0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \text e^x>0\phantom{WW}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { (x-1)^2>0}\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad\dfrac{(x-2)\,\text e^x}{(x-1)^2}<0 \\\phantom{\text{D'où }\quad\forall\,x\in\,]-\infty\;;\;1\,[\,,\quad \left\lbrace\begin{matrix}x-2<0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \text e^x>0\phantom{WW}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { (x-1)^2>0}\end{matrix}\right. }\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)<0}$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[. }$

Dressons alors le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[. }$

${ \white{ WWWWWWW} }$ $\begin{array}{|c|cccc|}\hline &&&&&x&-\infty&&&1 &&&&& \\\hline&&&&|| \\f'(x)&&-&-&||&&&&&||\\\hline&0&&&||\\f&&\searrow&\searrow&||\\&&&&-\infty\\\hline \end{array}$

4. On admet que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[, }$ on a : $\overset{ { \white{ . } } } {f''(x)=\dfrac{(x^2-4x+5)\,\text e^x}{(x-1)^3}.}$

4. a) Étudions la convexité de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[. }$

Pour ce faire, étudions le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f''(x) }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Étudions le signe de ${x^2-4x+5 }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[. }$

Le discriminant de ce trinôme est $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta=(-4)^2-4\times1\times5=16-20=-4<0. }$
Puisque ce discriminant est strictement négatif, le signe du trinôme ${x^2-4x+5 }$ est le signe de son coefficient principal.

Dès lors, pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[, }$ nous avons : ${x^2-4x+5>0.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ De plus, pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[, }$ nous avons : $\left\lbrace\begin{matrix}e^x>0\phantom{WW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { (x-1)^3<0}\end{matrix}\right.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'où, $\overset{ { \white{ . } } } { f''(x)<0 }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[. }$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est concave sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[. }$

4. b) Une équation de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { T }$ tangente à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C} }$ au point d'abscisse 0 est de la forme : $\overset{ { \white{ . } } } { y=f'(0)(x-0)+f(0), }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=f'(0)x+f(0)},.\ }$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}f(x)=\dfrac{\text e^x}{x-1}\phantom{Ww}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { f'(x)=\dfrac{(x-2)\,\text e^x}{(x-1)^2}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=\dfrac{\text e^0}{0-1}=\dfrac{1}{-1}\phantom{Ww}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { f'(0)=\dfrac{(0-2)\,\text e^0}{(0-1)^2}=\dfrac{-2}{1}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=-1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { f'(0)=-2}\end{matrix}\right. }$

Par conséquent, l'équation réduite de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { T }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ y=-2x-1} }$

4. c) Nous avons montré que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est concave sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[. }$

Dans ce cas, la courbe représentative de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est située en dessous de ses tangentes sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[. }$

Nous en déduisons que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[, }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)\le -2x-1\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{\text e^x}{x-1}\le -2x-1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)\le -2x-1}\quad\Longleftrightarrow\quad\text e^x\ge (-2x-1)(x-1)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)\le -2x-1WWWWWW}\quad\text{changement de sens de l'inégalité car }x-1<0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in ]-\infty\;;\;1\,[\,,\quad\text e^x\ge (-2x-1)(x-1)}$

5. a) Montrons que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=-2 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[.}$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1\,[.}$

De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to1}f(x)=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{-2\in\;]\lim\limits_{x\to 1}f\;;\;\lim\limits_{x\to-\infty}f\,[} }$

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha\in\,]-\infty\;;\;1\,[ }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=-2. }$
Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=-2 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]-\infty\;;\;1\,[.}$

5. b) Par la calculatrice, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}f(0,31)\approx-1,97>-2\\f(0,32)\approx-2,03<-2\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{0,31<\alpha<0,32}$

5 points

exercice 3

Le cube ABCDEFGH a pour arête 1 cm.
Le point $\overset{ { \white{ . } } } { I }$ est le milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [AB] }$ et le point $\overset{ { \white{ . } } } { J }$ est le milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } { CG }$

Bac général spécialité maths 2024 Liban jour 2 : image 8

On se place dans le repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } { (A\;;\;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}). }$

1. Les coordonnées du point $\overset{ { \white{ . } } } { I }$ sont $\overset{ { \white{ . } } } {(0,5\;;\;0\;;\;0)}$ et celle du point $\overset{ { \white{ . } } } { J }$ sont $\overset{ { \white{ . } } } {(1\;;\;1\;;\;0,5)}$

2. Nous devons montrer que le vecteur ${ \overrightarrow{EJ} }$ est normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (FHI). }$
Montrons que le vecteur ${ \overrightarrow{EJ} }$ est normal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (FHI). }$

Nous avons les points $\overset{ { \white{ . } } } {E(0\;;\;0\;;\;1),\;F(1\;;\;0\;;\;1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {H(0\;;\;1\;;\;1) }$

De plus,

$\left\lbrace\begin{matrix}E(0\;;\;0\;;\;1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { J(1\;;\;1\;;\;0,5)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {EJ}\begin{pmatrix}1-0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 1-0} \\0,5-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {EJ}\begin{pmatrix}1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 1}\\-0,5\end{pmatrix}}$

$\left\lbrace\begin{matrix}F(1\;;\;0\;;\;1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { H(0\;;\;1\;;\;1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {FH}\begin{pmatrix}0-1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {1-0} \\1-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {FH}\begin{pmatrix}-1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {1}\\0\end{pmatrix}}$

$\left\lbrace\begin{matrix}F(1\;;\;0\;;\;1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { I(0,5\;;\;0\;;\;0)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {FI}\begin{pmatrix}0,5-1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {0-0} \\0-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {FI}\begin{pmatrix}-0,5\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {0}\\-1\end{pmatrix}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Manifestement, les vecteurs ${ \overrightarrow{FH} }$ et ${ \overrightarrow{FI} }$ ne sont pas colinéaires.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que ${ \overrightarrow {EJ} }$ est orthogonal au vecteur $} { \overrightarrow{FH}. }$
${ \white{ xx } }$ Nous avons : $\overrightarrow {EJ}\cdot\overrightarrow{FH}=1\times(-1)+1\times1-0,5\times0=-1+1-0=0\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {EJ}\cdot\overrightarrow{FH}=0.$

${ \white{ xx } }$ D'où $\boxed{\overrightarrow {EJ}\perp \overrightarrow{FH}}\,.$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que ${ \overrightarrow {EJ}}$ est orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{FJ}. }$
${ \white{ xxi } }$ Nous avons : $\overrightarrow {EJ}\cdot\overrightarrow{FI}=1\times(-0,5)+1\times0-0,5\times(-1)=-0,5+0+0,5=0\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {EJ}\cdot\overrightarrow{FI}=0.$

${ \white{ xxi } }$ D'où $\boxed{\overrightarrow {EJ}\perp \overrightarrow{FI}}\,.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous venons de montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {EJ} }$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires ${ \overrightarrow{FH} }$ et ${ \overrightarrow{FI} }$ du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (FHI). }$
Par conséquent, le vecteur ${ \overrightarrow{EJ} }$ est normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (FHI). }$

3. Déterminons une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (FHI). }$

Nous avons montré que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {EJ}\begin{pmatrix}1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 1}\\-0,5\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(FHI). }$
D'où l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(FHI) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {x+y-0,5z+d=0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {d }$ est un nombre réel.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {I(0,5\;;\;0\;;\;0) }$ appartient à ce plan.
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {0,5+0+0+d=0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {d=-0,5. }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(FHI) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {x+y-0,5z-0,5=0. }$
En multipliant les deux membres de l'équation par (-2), nous obtenons :

${ \white{ WWWWWWW} }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{(FHI):-2x-2y+z+1=0}\,. }$

4. Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (EJ). }$

La droite $\overset{ { \white{ . } } } { (EJ) }$ est dirigée par le vecteur $\overset{ { \white{ . } } }{ \overrightarrow{ EJ }\begin{pmatrix}{\red{1 } }\\ {\red{ 1 } }\\ {\red{ -0,5 } }\end{pmatrix} .}$

La droite $\overset{ { \white{ . } } } { (EJ) }$ passe par le point $\overset{ { \white{ . } } }{ E({ \blue{ 0 } }\,;\,{ \blue{ 0 } }\,;\,{ \blue{ 1 } }). }$
D'où une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (EJ) }$ est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={ \blue{0 } }+{ \red{ 1 } }\times t\\y={ \blue{ 0 } }+{ \red{ 1 } }\times t\\z={ \blue{ 1 } }+{ \red{ (-0,5)} }\times t \end{array}\quad(t\in\mathbb{ R })$ , ${ \white{ xx } }$ soit $\overset{ { \phantom{ . } } }{ \boxed{ (EJ):\left\lbrace\begin{array}l x=t\\y=t\\z=1-0,5t\end{array}\quad(t\in\mathbb{ R }) } }$

5. a) On note $\overset{ { \white{ _. } } } { K }$ le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ . } } } { E }$ sur le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (FHI). }$

Ce point $\overset{ { \white{ _. } } } { K }$ est le point d'intersection entre la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (EJ) }$ et le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (FHI). }$

Nous trouverons les coordonnées de ce point $\overset{ { \white{ _. } } } { K }$ en résolvant le système :

$\left\lbrace\begin{array}l x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\-2x-2y+z+1=0 \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}l x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\-2t-2t+1-0,5t+1=0 \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}l x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\-4,5t+2=0\end{array}$

$\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\t=\dfrac{-2}{-4,5} \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\t=\dfrac49 \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac49\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { y=\dfrac49}\\z=1-0,5\times\dfrac49\\t=\dfrac12 \end{array}$

Par conséquent, les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { K }$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\left(\dfrac49\;;\;\dfrac49\;;\;\dfrac79\right)}\,. }$

5. b) Nous devons montrer que le volume $\overset{ { \white{ . } } } {\mathscr{V}_{EFHI} }$ de la pyramide $\overset{ { \white{ _. } } } { EFHI }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac16\;\text{cm}^2. }$
On pourra utiliser le point $\overset{ { \white{ . } } } { L, }$ milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [EF]. }$ On admet que ce point est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } {I }$ sur le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (EFH). }$

Prenons le triangle $\overset{ { \white{ . } } } { EFH }$ comme base de la pyramide et [IL] la hauteur relative à celle base.

Nous obtenons alors : $\overset{ { \white{ . } } } {\mathscr{V}_{EFHI}=\dfrac{\text{Aire du triangle }EFH\times IL}{3} }$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\text{Aire du triangle }EFH=\dfrac{EF\times EH}{2}=\dfrac{1\times1}{2}=\dfrac12\\IL=1\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW}\end{matrix}\right. }$
Par conséquent, $\underset{ { \white{ . } } } { \mathscr{V}_{EFHI}=\dfrac{\dfrac12\times 1}{3}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\mathscr{V}_{EFHI}=\dfrac16} }$

5. c) Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{V}_{EFHI}=\dfrac16. }$

Prenons le triangle $\overset{ { \white{ . } } } { FHI }$ comme base de la pyramide et [EK] la hauteur relative à celle base.

Nous obtenons alors : $\overset{ { \white{ . } } } {\mathscr{V}_{EFHI}=\dfrac{\text{Aire du triangle }FHI\times EK}{3}=\dfrac16 }$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}E(0\;;\;0\;;\;1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { K(\dfrac49\;;\;\dfrac49\;;\;\dfrac79)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {EK}\begin{pmatrix}\dfrac49-0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac49-0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac79-1} \end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {EK}\begin{pmatrix}\dfrac49\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac49}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { -\dfrac29} \end{pmatrix}}}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { EK=\sqrt{\left(\dfrac49\right)^2+\left(\dfrac49\right)^2+\left(-\dfrac29\right)^2}=\sqrt{\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{4}{81}}=\sqrt{\dfrac{36}{81}}=\dfrac69=\dfrac23. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{\text{Aire du triangle }FHI\times EK}{3}=\dfrac16 \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\text{Aire du triangle }FHI\times \dfrac23}{3}=\dfrac16 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{\text{Aire du triangle }FHI\times EK}{3}=\dfrac16 }\quad\Longleftrightarrow\quad \text{Aire du triangle }FHI\times \dfrac23=\dfrac12} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{\text{Aire du triangle }FHI\times EK}{3}=\dfrac16 }\quad\Longleftrightarrow\quad \text{Aire du triangle }FHI=\dfrac12\times\dfrac32} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\text{Aire du triangle }FHI=\dfrac34}$

4 points

exercice 4

Partie A

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\sqrt{x+1}. }$
On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.

1. Nous devons démontrer que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in[0\;;\;+\infty[, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\dfrac{(x+1)'}{2\sqrt{x+1}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}$

Nous observons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in[0\;;\;+\infty[,\quad f'(x)>0.}$
Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

2. Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in[0\;;\;+\infty[, }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)-x=\sqrt{x+1}-x \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)-x}=\dfrac{(\sqrt{x+1}-x)(\sqrt{x+1}+x)}{\sqrt{x+1}+x}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)-x}=\dfrac{(\sqrt{x+1})^2-x^2}{\sqrt{x+1}+x}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)-x}=\dfrac{(x+1)-x^2}{\sqrt{x+1}+x}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)-x}=\dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[0\;;\;+\infty[,\quad f(x)-x=\dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}}$

3. Résolvons l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

$f(x)=x\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)-x=0 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}=0} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad -x^2+x+1=0}$

Discriminant de l'équation : $\overset{ { \white{ . } } } {\Delta=1^2-4\times(-1)\times1=1+4=5>0. }$

Puisque le discriminant est strictement positif, l'équation admet deux solutions :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}x_1=\dfrac{-1-\sqrt5}{-2}=\dfrac{1+\sqrt5}{2}>0\\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}x_2=\dfrac{-1+\sqrt5}{-2}=\dfrac{1-\sqrt5}{2}<0$

La valeur $x_2=\dfrac{1-\sqrt5}{2}$ est à rejeter car $\dfrac{1-\sqrt5}{2}\notin [0\;;\;+\infty[.$

Par conséquent, sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[, }$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x }$ admet pour unique solution ${ \ell=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}. }$

Partie B

On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=5 }$ et pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n, \quad u_{n+1}=f(u_n). }$
On admet que la suite de terme général $\overset{ { \white{ o. } } } { u_n }$ est bien définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n. }$

1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n,\quad 1\le u_{n+1}\le u_n. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{1\le u_{1}\le u_0.}$
C'est une évidence car par définition de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n), }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}u_0=5\phantom{W}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {u_1=f(u_0)}\\\phantom{i}=f(5)\\\phantom{WWW}= \sqrt6\approx2,45\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1\le u_1\le u_{0}}$

Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{ 1\le u_{n+1}\le u_{n}}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{1\le u_{n+2}\le u_{n+1} .}$

En effet, puisque la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ },$

${ \white{ xxi } }$ $1\le u_{n+1}\le u_{n} \quad\Longrightarrow\quad f(1)\le f(u_{n+1})\le f(u_{n}) \\\\\phantom{WWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt 2\le u_{n+2}\le u_{n+1} \\\\\phantom{WWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad 1\le\sqrt 2\le u_{n+2}\le u_{n+1} \\\\\phantom{WWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1\le u_{n+2}\le u_{n+1}}$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies,
nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n,\quad 1\le u_{n+1}\le u_n. }$

2. Nous avons montré dans la question 1. que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante et minorée par 1.
D'après le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente.

3. Nous devons démontrer que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ converge vers ${ \ell=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}. }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=f(u_n). }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{f(\ell)=\ell.}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \ell }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x. }$
Or nous avons montré dans la question 3. - Partie A que sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[, }$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x }$ admet pour unique solution ${ \ell=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}}}$

4. On considère le script Python ci-dessous :

${ \white{ WWWWWWW} }$

Bac général spécialité maths 2024 Liban jour 2 : image 9

4. a) La valeur de la variable $\overset{ { \white{ _. } } } { i }$ renvoyée par la fonction seuil(2) est 5.

4. b) La valeur renvoyée par seuil(4) est 9.

Cela signifie que la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { u_9 }$ est une valeur approchée de la limite $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell }$ à moins de 10^-4 près.

Publié par malou le 19-07-2024

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