Fiche de mathématiques

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Bac général spécialité maths 2024 Polynésie jour 1

Durée : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

4 points

exercice 1

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

Les quatre affirmations se placent dans la situation suivante :

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\,,\,\overrightarrow k)$ , on considère les points :

$A(2\;;\;1\;;\;-1)\;,\;B(-1\;;\;2\;;\;1) \text{ et } C(5\;;\;0\;;\;-3)$

On note $\mathcal P$ le plan d'équation cartésienne : $x+5y-2z+3=0.$

On note $\mathcal D$ la droite de représentation paramétrique : $\left\lbrace\begin{matrix} x&= & -t& + & 3& \\ y&= & t& + & 2 &,&t\in \textbf R \\ z& = & 2t &+ & 1& \end{matrix}\right.$

Affirmation 1 :

Le vecteur $\overrightarrow n\begin{pmatrix} 1\\0 \\ 2 \end{pmatrix}$ est normal au plan $(OAC).$

Affirmation 2 :

Les droites $\mathcal D$ et $(AB)$ sont sécantes au point $C.$

Affirmation 3 :

La droite $\mathcal D$ est parallèle au plan $\mathcal P.$

Affirmation 4 :

Le plan médiateur du segment $[BC]$ , noté $Q$ , a pour équation cartésienne : $3x-y-2z-7=0.$

On rappelle que le plan médiateur d'un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

5 points

exercice 2

Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à 210°C. On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l'aide d'une fonction $f$ donnant la température du matériau injecté en fonction du temps $t$ . Le temps est exprimé en seconde et la température est exprimée en degré Celsius. On admet que la fonction $f$ cherchée est solution d'une équation différentielle de la forme suivante où $m$ est une constante réelle que l'on cherche à déterminer :

$(E)\;:\;y'+0,02y=m$

Partie A

1. Justifier l'affichage suivant d'un logiciel de calcul formel :

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2. La température de l'atelier est de 30° C. On admet que la température $f(t)$ tend vers 30 lorsque $t$ tend vers l'infini. Démontrer que $m= 0,6$ .

3. Déterminer l'expression de la fonction $f$ cherchée en tenant compte de la condition initiale $f(0) = 210.$

Partie B

On admet ici que la température (exprimée en degré Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en seconde) est donnée par la fonction dont l'expression et une représentation graphique sont données ci-dessous :

$f(t)=180\text e^{-0,02t}+30$

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1. L'objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à 50° C.

$\white w$ a. Par lecture graphique, donner une valeur approchée du nombre $T$ de secondes à attendre avant de démouler l'objet.

$\white w$ b. Déterminer par le calcul la valeur exacte de ce temps $T$ .

2. À l'aide d'une intégrale, calculer la valeur moyenne de la température sur les 100 premières secondes.

5 points

exercice 3

Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles.

Partie A

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».

1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$ .

2. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ :

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Partie B

Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais :

${\white{w}}\bullet{\white{w}}$ On lance trois pièces équilibrées :

${\white{www}}$ o ${\white{w}}$ Si les trois pièces sont tombées du côté « Face », la partie est gagnée ;

${\white{www}}$ o ${\white{w}}$ Sinon, les pièces tombées du côté « Face » sont conservées et on relance celles tombées du côté « Pile ».

${\white{w}}\bullet{\white{w}}$ La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté « Face », sinon elle est perdue.

On considère les événements suivants :

${\white{www}}$ o ${\white{w}}$ $G$ : « la partie est gagnée ».

Et pour tout entier $k$ compris entre 0 et 3, les événements :

${\white{www}}$ o ${\white{w}}$ $A_k$ : « $k$ pièces sont tombées du côté « Face » au premier lancer ».

1. Démontrer que $P_{A_1}(G)=\dfrac 14.$

2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :

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3. Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p=\dfrac{27}{64}.$

4. La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?

5. Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse 0,95 ?

6 points

exercice 4

L'objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d'une suite.

Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et pour tout $n\in \textbf N$ :

$u_{n+1}=\dfrac{4}{5-u_n}.$

Partie A

1. Recopier et compléter la fonction Python suivante $\text{suite(n)}$ qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$ .

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2. L'exécution de $\text{suite(2)}$ renvoie 1.3333333333333333.

Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage.

3. À l'aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $(u_n)$ .

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Partie B

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]-\infty ; 5[$ par :

$f(x)=\dfrac{4}{5-x}.$

Ainsi, la suite $(u_n)$ est définie par $u_0= 3$ et pour tout $n\in \textbf N\,,\;u_{n+1}=f(u_n).$

1. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]-\infty ; 5[.$

2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :

$1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4.$

3. a. Soit $x$ un réel de l'intervalle $]-\infty ; 5[$ . Prouver l'équivalence suivante :

$f(x)=x\iff x^2-5x+4=0.$

$\white w$ b. Résoudre $f(x)=x$ dans l'intervalle $]-\infty ; 5[$ .

4. Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente. Déterminer sa limite.

5. Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial $u_0= 4$ au lieu de $u_0= 3$ ?

Voir la correction

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4 points

exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } { (O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\,,\,\overrightarrow k) \,, }$ on considère les points :

$\overset{ { \white{ . } } } { A(2\;;\;1\;;\;-1)\;,\;B(-1\;;\;2\;;\;1) \text{ et } C(5\;;\;0\;;\;-3) }$
On note $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P }$ le plan d'équation cartésienne : $\overset{ { \white{ . } } } { x+5y-2z+3=0. }$
On note $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal D}$ la droite de représentation paramétrique : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} x&= & -t& + & 3& \\ y&= & t& + & 2 &,&t\in \textbf R \\ z& = & 2t &+ & 1& \end{matrix}\right. }$

Affirmation 1 : Le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow n\begin{pmatrix} 1\\0 \\ 2 \end{pmatrix} }$ est normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (OAC). }$ - Affirmation fausse.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons d'abord que les points $\overset{ { \white{ . } } } { O, A \text{ et } C }$ déterminent un plan

${ \white{ xxi } }$ $A(2\;;\;1\;;\;-1)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {OA}\begin{pmatrix}2\\ 1\\-1\end{pmatrix}} \\\\C(5\;;\;0\;;\;-3)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {OC}\begin{pmatrix}5\\ 0\\-3\end{pmatrix}}$

Manifestement, les vecteurs ${ \overrightarrow{OA} }$ et ${ \overrightarrow{OC} }$ ne sont pas colinéaires car l'ordonnée de ${ \overrightarrow{OC} }$ est nulle alors que celle de ${ \overrightarrow{OA} }$   ne l'est pas.

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { O, A \text{ et } C }$ ne sont pas alignés.
Ils déterminent donc le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(OAC). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Vérifions si le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow n\begin{pmatrix} 1\\0 \\ 2 \end{pmatrix} }$ est orthogonal aux deux vecteurs ${ \overrightarrow{OA} }$ et ${ \overrightarrow{OC}. }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}\vec n\cdot\overrightarrow {OA} =1\times 2+0\times1+2\times(-1)\\\phantom{WWWxW}=2-2\\\phantom{WWWxW}=0 \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\vec n\perp\overrightarrow {OA}}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}\vec n\cdot\overrightarrow {OC} =1\times 5+0\times0+2\times(-3)\\\phantom{WWWxW}=5-6\\\phantom{WWWxW}=-1\,{\red{\neq 0}} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\vec n\not\perp\overrightarrow {OC}}$

Nous observons que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow n }$ n'est pas orthogonal aux deux vecteurs ${ \overrightarrow{OA} }$ et ${ \overrightarrow{OC}. }$
Par conséquent, le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow n\begin{pmatrix} 1\\0 \\ 2 \end{pmatrix} }$ n'est pas normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (OAC). }$
D'où l'affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2 : Les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal D }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (AB) }$ sont sécantes au point $\overset{ { \white{ _. } } } { C. }$ - Affirmation vraie.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons d'abord que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ appartient aux droites $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal D }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (AB). }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Une représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal D }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} x&= & -t& + & 3& \\ y&= & t& + & 2 &,&t\in \textbf R \\ z& = & 2t &+ & 1& \end{matrix}\right. }$

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal D }$ s'il existe un réel $\overset{ { \white{_. } } } { t }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} x_C&= & -t& + & 3& \\ y_C&= & t& + & 2 &\\ z_C& = & 2t &+ & 1& \end{matrix}\right. }$

$\text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix} x_C&= & -t& + & 3& \\ y_C&= & t& + & 2 &\\ z_C& = & 2t &+ & 1& \end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} 5&= & -t& + & 3& \\ 0&= & t& + & 2 &\\ -3& = & 2t &+ & 1& \end{matrix}\right. \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix} x_C&= & -t& + & 3& \\ y_C&= & t& + & 2 &\\ z_C& = & 2t &+ & 1& \end{matrix}\right.} \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} 2&= & -t& \\ -2&= & t &\\ -4& = & 2t &\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix} x_C&= & -t& + & 3& \\ y_C&= & t& + & 2 &\\ z_C& = & 2t &+ & 1& \end{matrix}\right.} \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} t&= & -2& \\ t&= & -2 &\\ t& = & -2 &\end{matrix}\right.}$

D'où le réel $\overset{ { \white{_. } } } { t }$ existe et vaut $\overset{ { \white{_. } } } { -2. }$
Nous en déduisons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal D. }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Déterminons une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AB).}$

La droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AB) }$ est dirigée par le vecteur $\overset{ { \white{ . } } }{ \overrightarrow{ AB }\begin{pmatrix}{\red{-3 } }\\ {\red{ 1 } }\\ {\red{ 2 } }\end{pmatrix} .}$
La droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AB) }$ passe par le point $\overset{ { \white{ . } } }{ A({ \blue{ 2 } }\,;\,{ \blue{ 1 } }\,;\,{ \blue{ -1 } }). }$
D'où une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AB) }$ est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={ \blue{2 } }+{ \red{ (-3) } }\times u\\y={ \blue{ 1 } }+{ \red{ 1 } }\times u\\z={ \blue{ -1 } }+{ \red{ 2} }\times u \end{array}\quad(u\in\mathbb{ R })$ , ${ \white{ xx } }$ soit $\overset{ { \phantom{ . } } }{ \boxed{ (AB):\left\lbrace\begin{matrix} x&=&2&-&3u&\\y&=&1&+&u&\\z&=&-1&+&2u&\end{array}\quad(u\in\mathbb{ R }) } }$

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AB) }$ s'il existe un réel $\overset{ { \white{. } } } { u }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} x_C&=&2&-&3u&\\y_C&=&1&+&u\\z_C&=&-1&+&2u&\end{matrix}\right. }$

$\text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix} x_C&= & 2& - & 3u& \\ y_C&= &1& + & u &\\ z_C& = & -1 &+ & 2u& \end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}5&= & 2& - & 3u& \\ 0&= &1& + & u &\\ -3& = & -1 &+ & 2u& \end{matrix}\right. \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix} x_C&= & -t& + & 3& \\ y_C&= & t& + & 2 &\\ z_C& = & 2t &+ & 1& \end{matrix}\right.} \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} 3&= & -3u& \\ -1&= & u &\\ -2& = & 2u &\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left\lbrace\begin{matrix} x_C&= & -t& + & 3& \\ y_C&= & t& + & 2 &\\ z_C& = & 2t &+ & 1& \end{matrix}\right.} \quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} u&= & -1& \\ u&= & -1&\\ u&= & -1&\end{matrix}\right.}$

D'où le réel $\overset{ { \white{_. } } } { u }$ existe et vaut $\overset{ { \white{_. } } } { -1. }$
Nous en déduisons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB). }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ appartient aux droites $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal D }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (AB). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons ensuite que les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal D }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (AB) }$ ne sont pas confondues.

Un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal D }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ d }\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix} . }$
Un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ AB }\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix} . }$
Manifestement, les vecteurs ${ \overrightarrow{d} }$ et ${ \overrightarrow{AB} }$ ne sont pas colinéaires car leurs abscisses sont différentes alors que leurs ordonnées sont égales.
Il s'ensuit que les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal D }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (AB) }$ sont sécantes.

En conclusion, les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal D }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (AB) }$ sont sécantes au point $\overset{ { \white{ _. } } } { C. }$

D'où l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3 : La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal D }$ est parallèle au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P. }$ - Affirmation vraie.

Montrons que le système composé par une représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal D }$ et par une équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P }$ n'admet pas de solution.

$\left\lbrace\begin{matrix} x=-t+3 \phantom{WWW}\\ y=t+2 \phantom{WWWW} \\ z=2t+1\phantom{WWWW} \\ x+5y-2z+3=0 \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x=-t+3\phantom{WWWWWWWWWW}\\ y=t+2 \phantom{WWWWWWWWWWW} \\ z=2t+1\phantom{WWWWWWWWWWW}\\ (-t+3)+5(t+2)-2(2t+1)+3=0 \end{matrix}\right. \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left\lbrace\begin{matrix} x=-t+3 \\ y=t+2 \\ z=t+1 \\ x+5y-2z+3=0 \end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x=-t+3\phantom{WWWWWWWWW}\\ y=t+2 \phantom{WWWWWWWWWW} \\ z=2t+1\phantom{WWWWWWWWWW} \\ -t+3+5t+10-4t-2+3=0 \end{matrix}\right. } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left\lbrace\begin{matrix} x=-t+3 \\ y=t+2 \\ z=2t+1 \\ x+5y-2z+3=0 \end{matrix}\right. }\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x=-t+3 \\ y=t+2 \\ z=t+1 \\ {\red{ 0\,t=-14}} \end{matrix}\right. }$

L'équation $\overset{ { \white{ . } } } {0\,t=-14 }$ est impossible.
Dès lors, le système n'admet pas de solution.

La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal D }$ et le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P }$ n'ont donc pas de point commun.

Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal D }$ est parallèle au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P. }$
L'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4 : Le plan médiateur du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [BC]\, }$ noté $\overset{ { \white{ _. } } } { Q\,, }$ a pour équation cartésienne :   $\overset{ { \white{ _. } } } { 3x-y-2z-7=0. }$ - Affirmation vraie.

On rappelle que le plan médiateur d'un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ est perpendiculaire à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (BC). }$

Donc le vecteur $\overrightarrow{BC}$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q\,. }$
Or    $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}B(-1\;;\;2\;;\;1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { C(5\;;\;0\;;\;-3)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {BC}\begin{pmatrix}5+1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { 0-2} \\-3-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {BC}\begin{pmatrix}6\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -2}\\-4\end{pmatrix}} }$

Dès lors, une équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {Q }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { 6x-2y-4z+d=0 }$ avec $\overset{ { \white{ . } } } { d\in\R. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ passe par le milieu $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [BC]. }$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}B(-1\;;\;2\;;\;1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { C(5\;;\;0\;;\;-3)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad M\left(\dfrac{-1+5}{2}\;;\;\dfrac{2+0}{2}\;;\;\dfrac{1-3}{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{M(2\;;\;1\;;\;-1)} }$

Les coordonnées de $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ vérifient l'équation du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q. }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $6x_M-2y_M-4z_M+d=0\quad\Longleftrightarrow\quad 6\times2-2\times1-4\times(-1)+d=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 6x_M-2y_M-4z_M+d=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 12-2+4+d=0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 6x_M-2y_M-4z_M+d=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 14+d=0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 6x_M-2y_M-4z_M+d=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{d=-14} }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { 6x-2y-4z-14=0\,, }$
En divisant les deux membres de cette équation par 2 , nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{(Q):3x-y-2z-7=0} }$
D'où l'affirmation 4 est vraie.

5 points

exercice 2

Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à 210°C.
On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l'aide d'une fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ donnant la température du matériau injecté en fonction du temps $\overset{ { \white{ . } } } {t. }$ Le temps est exprimé en seconde et la température est exprimée en degré Celsius.
On admet que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ cherchée est solution d'une équation différentielle de la forme suivante où $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ est une constante réelle que l'on cherche à déterminer :

$(E)\;:\;y'+0,02y=m$

Partie A

1. Nous devons justifier l'affichage suivant d'un logiciel de calcul formel :

$\begin{array}{|>{\columncolor{yellow}}c||cc|}\hline\text{Entrée :} &\text{Résoudre EquationDifférentielle}(y'+0,02y=m)& \\\hline\text{Sortie :} &y=k*\text{exp}(-0.02*t)+50*m & \\\hline\end{array}$

La solution générale d'une équation différentielle de la forme $\overset{{\white{.}}}{y'=ay+b}$ est $y=k\,\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).$

$\text{Or }\ y'+0,02y=m\Longleftrightarrow y'=-0,02y+m.$

Dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } { a=-0,02 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { b=m. }$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { -\dfrac b a =-\dfrac{m}{-0,02} =\dfrac{m}{0,02} =\dfrac{m}{\frac{2}{100}}=\dfrac{m}{\frac{1}{50}}=50m. }$

D'où la solution générale de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E)}$ s'écrit $\boxed{y(t)=k\,\text{e}^{-0,02t}+50m \ (k\in\R)}$

2. La température de l'atelier est de 30° C.
On admet que la température $\overset{ { \white{ . } } } { f(t) }$ tend vers 30 lorsque $\overset{ { \white{ . } } } { t }$ tend vers l'infini.
Démontrons que $\overset{ { \white{ . } } } { m= 0,6 . }$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{t\to+\infty}f(t).}$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=\lim\limits_{t\to+\infty}[k\,\text{e}^{-0,02t}+50m] \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{t\to+\infty}(-0,02t)=-\infty\\\lim\limits_{T\to-\infty}\text e^T=0\phantom{WWWx}\end{matrix}\right.\quad\underset{(T=-0,02t)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{t\to+\infty}\text e^{-0,02t}=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{t\to+\infty}(-0,02t)=-\infty\\\lim\limits_{T\to-\infty}\text e^T=0\phantom{WWWx}\end{matrix}\right.W}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{t\to+\infty}k\,\text e^{-0,02t}=0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{t\to+\infty}(-0,02t)=-\infty\\\lim\limits_{T\to-\infty}\text e^T=0\phantom{WWWx}\end{matrix}\right.W}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{t\to+\infty}[k\,\text e^{-0,02t}+50m]=50m }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=50m} }$

Or on admet que la température $\overset{ { \white{ . } } } { f(t) }$ tend vers 30 lorsque $\overset{ { \white{ . } } } { t }$ tend vers l'infini, soit que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=30} }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } {50m=30\,, }$

et par suite, $\overset{ { \white{ . } } } {50m=30\quad\Longleftrightarrow\quad m=\dfrac{30}{50}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{m=0,6}}$

3. Déterminer l'expression de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ cherchée en tenant compte de la condition initiale $\overset{ { \white{ . } } } { f(0) = 210. }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { m=0,6. }$
D'où la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est définie par $\overset{ { \white{ . } } } { f(t)=k\,\text{e}^{-0,02t}+50\times0,6 }$ , soit par $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f(t)=k\,\text{e}^{-0,02t}+30}\,. }$

$f(0)=210\quad\Longleftrightarrow\quad k\,\text{e}^{-0,02\times 0}+30=210 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(0)=210}\quad\Longleftrightarrow\quad k+30=210 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(0)=210}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{k=180 }}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est définie par $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f(t)=180\,\text{e}^{-0,02t}+30}\,. }$

Partie B

On admet ici que la température (exprimée en degré Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en seconde) est donnée par la fonction dont l'expression et une représentation graphique sont données ci-dessous :

$f(t)=180\text e^{-0,02t}+30$

Bac général spécialité maths 2024 Polynésie jour 1 : image 11

1. L'objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à 50° C.

1. a) Par lecture graphique, nous devons donner une valeur approchée du nombre $\overset{ { \white{ . } } } { T }$ de secondes à attendre avant de démouler l'objet.

Graphiquement, nous observons que $\overset{ { \white{ . } } } { f(t) }$ est inférieur à 50 si $\overset{ { \white{ . } } } { t }$ est supérieur à 110.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{T\approx 110}\,. }$

1. b) Déterminons par le calcul la valeur exacte de ce temps $\overset{ { \white{ . } } } { T\,. }$

${ \white{ xxi } }$ $f(t)<50\quad\Longleftrightarrow\quad 180\,\text{e}^{-0,02\,t}+30<50 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(t)<50}\quad\Longleftrightarrow\quad 180\,\text{e}^{-0,02\,t}<20 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(t)<50}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{-0,02\,t}<\dfrac{20}{180} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(t)<50}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{-0,02\,t}<\dfrac{1}{9} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(t)<50}\quad\Longleftrightarrow\quad -0,02\,t<\ln\left(\dfrac{1}{9}\right) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(t)<50}\quad\Longleftrightarrow\quad -0,02\,t<-\ln 9 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(t)<50}\quad\Longleftrightarrow\quad t>\dfrac{\ln 9}{0,02} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(t)<50}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{t>50\ln 9} }$

Par conséquent, la valeur exacte du temps $\overset{ { \white{ . } } } { T }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{T=50\ln 9} }$

2. À l'aide d'une intégrale, calculons la valeur moyenne de la température sur les 100 premières secondes.

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {[0\;;\;100]. }$

La valeur moyenne de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } {[0\;;\;100]}$ est le réel $\overset{ { \white{ . } } } {\mu=\dfrac{1}{100-0}\displaystyle\int_0^{100}f(t)\,\text dt. }$

${ \white{ xxi } }$ $\mu=\dfrac{1}{100}\displaystyle\int_0^{100}f(t)\,\text dt \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \mu}=\dfrac{1}{100}\displaystyle\int_0^{100}\Big(180\,\text{e}^{-0,02\,t}+30\Big)\,\text dt } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \mu}=\dfrac{1}{100}\left[\dfrac{180}{-0,02}\,\text{e}^{-0,02\,t}+30t\right] _0^{100}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \mu}=\dfrac{1}{100}\left[-9000\,\text{e}^{-0,02\,t}+30t\right] _0^{100}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \mu}=\dfrac{1}{100}\left[(-9000\,\text{e}^{-2}+3000)-(-9000\,\text{e}^{0}+0)\right]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \mu}=\dfrac{1}{100}(-9000\,\text{e}^{-2}+3000+9000) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \mu}=\dfrac{1}{100}(-9000\,\text{e}^{-2}+12000) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \mu}=-90\,\text{e}^{-2}+120 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mu=120-90\,\text e^{-2}\approx107,8}$

Par conséquent, la valeur moyenne de la température sur les 100 premières secondes est environ égale à 107,8 °C.

5 points

exercice 3

Partie A

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée.
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».

1. Nous devons préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $\overset{ { \white{ _. } } } { X\,. }$

Lors de cette expérience, on répète trois fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « la pièce est retombée du côté « Face » » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=\dfrac 1 2. }$
Echec : « la pièce est retombée du côté « Pile » » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=\dfrac 1 2. }$
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face », soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(3\,;\,\dfrac 12\right) }$ .
Cette loi est donnée par : $\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}3\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac 1 2\right)^k\times\left(\dfrac 1 2\right)^{ 3-k } }$

soit $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=k)=\begin{pmatrix}3\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac 1 2\right)^3 }$ ou encore : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}3\\k\end{pmatrix}\times\dfrac 1 8 } }$

2. Loi de probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$

${ \white{ xxi } }$ $P(X=0)=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\times\dfrac 1 8=1\times \dfrac 18 \quad\Longrightarrow\quad P(X=0)= \dfrac 18 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { P(X=1) =\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\times\dfrac 1 8=3\times \dfrac 18 \quad\Longrightarrow\quad P(X=1)= \dfrac 38 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { P(X=2) =\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\times\dfrac 1 8=3\times \dfrac 18 \quad\Longrightarrow\quad P(X=2)= \dfrac 38 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { P(X=3) =\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\times\dfrac 1 8=1\times \dfrac 18 \quad\Longrightarrow\quad P(X=3)= \dfrac 18 }$

D'où le tableau suivant résumant la loi de probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$

${ \white{ WWWWWWW} }\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&&k&&0&&&1&&&2&&&3 &&&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&\\P(X=k)&&\dfrac 18&&&\dfrac 3 8&&&\dfrac 3 8&&&\dfrac 1 8&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Partie B

Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais :

${\white{w}}\bullet{\white{w}}$ On lance trois pièces équilibrées :
${\white{www}}$ o ${\white{w}}$ Si les trois pièces sont tombées du côté « Face », la partie est gagnée ;
${\white{www}}$ o ${\white{w}}$ Sinon, les pièces tombées du côté « Face » sont conservées et on relance celles tombées du côté « Pile ».
${\white{w}}\bullet{\white{w}}$ La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté « Face », sinon elle est perdue.

On considère les événements suivants :
${\white{www}}$ o ${\white{w}}$ G : « la partie est gagnée ».
Et pour tout entier $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ compris entre 0 et 3, les événements :
${\white{www}}$ o ${\white{w}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { A_k }$ : « $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ pièces sont tombées du côté « Face » au premier lancer ».

1. Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { P_{A_1}(G)=\dfrac 14. }$

$\overset{ { \white{ _. } } } { P_{A_1}(G) }$ représente la probabilité de gagner sachant qu'une pièce est tombée du côté « Face ».

Nous savons qu'une pièce est tombée du côté « Face » lors du premier lancer.
La partie sera gagnée dans le cas où lors du deuxième lancer, les deux pièces tombent sur le côté « Face ».

Lors du deuxième lancer, quatre cas équiprobables sont possibles :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Pile - Pile
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Pile - Face
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Face - Pile
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Face - Face

Un seul cas est favorable : « Face - Face ».
Dès lors, la probabilité que lors du deuxième lancer, deux pièces tombent sur le côté « Face » est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 14\,. }$

Donc, si une pièce est tombée du côté « Face » lors du premier lancer, la probabilité de gagner la partie est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 1 4. }$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{P_{A_1}(G)=\dfrac 14}\,. }$

2. Arbre pondéré illustrant la situation.

Bac général spécialité maths 2024 Polynésie jour 1 : image 9

3. Démontrons que la probabilité $\overset{ { \white{ . } } } { p }$ de gagner à ce jeu est $\overset{ { \white{ . } } } { p=\dfrac{27}{64}. }$

Les événements   $\overset{{\white{.}}}{A_0,\,A_1,\,A_2}$ et   $\overset{{\white{.}}}{A_3}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $p=P(A_0\cap G)+P(A_1\cap G)+P(A_2\cap G)+P(A_3\cap G) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p}=P(A_0)\times P_{A_0}(G)+P(A_1)\times P_{A_1}(G)+P(A_2)\times P_{A_2}(G)+P(A_3)\times P_{A_3}(G)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p}=\dfrac 1 8\times\dfrac 1 8+\dfrac 3 8\times\dfrac 1 4+\dfrac 3 8\times\dfrac 1 2+\dfrac 1 8\times1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p}=\dfrac {1} {64}+\dfrac {3} {32}+\dfrac {3} {16}+\dfrac 1 8} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{p}=\dfrac {1+6+12+8} {64}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{p}=\dfrac {27} {64}} \\\\\Longrightarrow\boxed{p=\dfrac{27}{64}}$

4. La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?

Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { P_G(A_1). }$

${ \white{ xxi } }$ $P_G(A_1)=\dfrac{P(A_1\cap G)}{P(G)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_G(A_1)}=\dfrac{P(A_1)\times P_{A_1}(G)}{P(G)} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_G(A_1)}=\dfrac{\dfrac 3 8\times\dfrac 1 4 }{\dfrac{27}{64}} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_G(A_1)}=\dfrac{\dfrac {3}{32} }{\dfrac{27}{64}}=\dfrac{\dfrac {6}{64} }{\dfrac{27}{64}}=\dfrac{6}{27}=\dfrac{2}{9} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_G(A_1)=\dfrac 2 9}$

Par conséquent, sachant que la partie a été gagnée, la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 2 9 }.$

5. Déterminons combien de fois il faut jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse 0,95.

Lors de cette expérience, on répète $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « la partie est gagnée » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=\dfrac {27}{64}. }$
Echec : « la pièce est retombée du côté « Pile » » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=\dfrac {37}{64}. }$
Soit la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { Y }$    comptant le nombre de fois que la partie est gagnée sur les $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ lancers, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { Y }$    suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(n\,;\,\dfrac {27}{64}\right) }$ .
Cette loi est donnée par : $\boxed{ P(Y=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac {27}{64}\right)^k\times\left(\dfrac {37}{64}\right)^{ n-k } }$

« La probabilité de gagner au moins une partie dépasse 0,95 » peut se traduire par : $\overset{ { \white{ . } } } { P(Y\ge 1)>0,95. }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $P(Y\ge 1)>0,95\quad\Longleftrightarrow\quad 1- P(Y=0)>0,95 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad -P(Y=0)>-0,05} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad P(Y=0)<0,05} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times\left(\dfrac {27}{64}\right)^0\times\left(\dfrac {37}{64}\right)^{ n-0 }<0,05} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad 1\times1\times\left(\dfrac {37}{64}\right)^{ n }<0,05}$

${ \white{ WWWWWWWWWWWWWW } }$ $\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad \left(\dfrac {37}{64}\right)^{ n }<0,05} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln \left(\dfrac {37}{64}\right)^{ n }<\ln 0,05} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad n\times \ln \left(\dfrac {37}{64}\right)<\ln 0,05} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(Y\ge 1)>0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad n >\dfrac{\ln 0,05}{ \ln \left(\dfrac {37}{64}\right)}}\quad(\text{changement de sens de l'inégalité car } \ln \left(\dfrac {37}{64}\right)<0) \\\\\text{Or }\quad\dfrac{\ln 0,05}{ \ln \left(\dfrac {37}{64}\right)}\approx 5,47.$

Le plus petit nombre entier $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ vérifiant cette inégalité est $\overset{ { \white{ _. } } } { n=6. }$

Par conséquent, il faut jouer au moins 6 fois à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse 0,95.

6 points

exercice 4

On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=3 }$ et pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n\in \N : \quad u_{n+1}=\dfrac{4}{5-u_n}. }$

Partie A

1. Ci-dessous la fonction Python $\overset{ { \white{ . } } } { \text{suite(n)} }$ qui prend comme paramètre le rang $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ et renvoie la valeur du terme $\overset{ { \white{ . } } } { u_n . }$

Bac général spécialité maths 2024 Polynésie jour 1 : image 8

2. L'exécution de $\overset{ { \white{ . } } } { \text{suite(2)} }$ renvoie 1.3333333333333333.
Effectuons un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage.

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { \text{suite(2)} }$ renvoie la valeur du terme $\overset{ { \white{ M. } } } { u_2 . }$

Nous obtenons ainsi les calculs suivants :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{xx}u_0=3 \\\\ \bullet\phantom{xx}u_1=\dfrac{4}{5-u_0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{xx}u_1}=\dfrac{4}{5-3} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{xx}u_1}=\dfrac{4}{2} } \\ \\\Longrightarrow\quad \boxed{u_1=2} \\\\ \bullet\phantom{xx}u_2=\dfrac{4}{5-u_1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{xx}u_1}=\dfrac{4}{5-2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{xx}u_1}=\dfrac{4}{3} } \\ \\\Longrightarrow\quad \boxed{u_2=\dfrac 43=1,3333333333333333}$

3. À l'aide des affichages ci-dessous, émettons une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) . }$

Bac général spécialité maths 2024 Polynésie jour 1 : image 10

La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ semble être décroissante et converger vers 1.

Partie B

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie et dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\; ;\; 5[ }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\dfrac{4}{5-x}. }$

Ainsi, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=3 }$ et pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n\in \textbf N\,,\;u_{n+1}=f(u_n). }$

1. Montrons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\; ;\; 5[ . }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\; ;\; 5[ . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\; ]-\infty\; ;\; 5[\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\dfrac{4'\times(5-x)-4\times(5-x)'}{(5-x)^2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{0-4\times(-1)}{(5-x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{4}{(5-x)^2} >0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\; ]-\infty\; ;\; 5[\,,\quad f'(x)>0}$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\; ;\; 5[ . }$

2. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { 1\le u_{n+1}\le u_n\le 4. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ _. } } } { n=0 }$ , soit que $\overset{{\white{.}}}{1\le u_{1}\le u_0\le 4.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}u_0=3\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { u_1=2}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1\le u_{1}\le u_0\le 4}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ , alors elle est encore vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { (n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{ 1\le u_{n+1}\le u_n\le 4}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{1\le u_{n+2}\le u_{n+1}\le 4 .}$

En effet, puisque la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\; ;\; 5[\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $1\le u_{n+1}\le u_n\le 4\quad\Longrightarrow\quad f(1)\le f(u_{n+1})\le f(u_n)\le f(4) \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}f(1)=\dfrac{4}{5-1}=1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { f(u_{n+1})=u_{n+2}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { f(u_{n})=u_{n+1}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { f(4)=\dfrac{4}{5-4}=4}\end{matrix}\right.$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {f(1)\le f(u_{n+1})\le f(u_n)\le f(4)\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{1\le u_{n+2}\le u_{n+1}\le 4}}$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n, }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{1\le u_{n+1}\le u_n\le 4}\,. }$

3. a) Soit $\overset{ { \white{ . } } } { x}$ un réel de l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]-\infty ; 5[ \,. }$
Nous devons prouver l'équivalence suivante : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x \iff x^2-5x+4=0. }$

$f(x)=x\quad\iff\quad \dfrac{4}{5-x}=x \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=x}\quad\iff\quad 4=x(5-x) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=x}\quad\iff\quad 4=5x-x^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=x}\quad\iff\quad x^2-5x+4=0 }$

Par conséquent, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\; ]-\infty\; ;\; 5[\,,\quad \boxed{ f(x)=x \iff x^2-5x+4=0}\,.}$

3. b) Nous devons résoudre $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty ; 5[\, . }$

Nous savons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\; ]-\infty\; ;\; 5[\,,\quad f(x)=x \iff x^2-5x+4=0. }$

Résolvons dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty ; 5[\,, }$ l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x^2-5x+4=0\,. }$

Discriminant :

${ \white{ xxi } }$ $\Delta=(-5)^2-4\times1\times4 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \Delta}=25-16} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \Delta}=9>0}$

Racines :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{\white{x}}x_1=\dfrac{5-\sqrt9}{2}=\dfrac{5-3}{2}=\dfrac{2}{2}=1\quad\Longrightarrow\quad x_1=1\in\;]-\infty\;;\;5[\\\\ \bullet{\white{x}}x_2=\dfrac{5+\sqrt9}{2}=\dfrac{5+3}{2}=\dfrac{8}{2}=4\quad\Longrightarrow\quad x_2=4\in\;]-\infty\;;\;5[$

D'où l'ensemble des solutions dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty ; 5[ }$ de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x^2-5x+4=0 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{S=\lbrace 1\;;\;4\rbrace}}\,.$

4. Nous devons démontrer que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente et déterminer sa limite.

Nous déduisons de la question 2 que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante et minorée par 1.

D'après le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente.

Déterminons la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n). }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty ; 5[. }$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=f(u_n). }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{f(\ell)=\ell.}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \ell }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x. }$
Or nous avons montré dans la question 3.b. que sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty ; 5[, }$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x }$ admet pour les solutions ${ x=1 }$ et ${ x=4. }$

En outre, nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante avec $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=3. }$

Nous devons donc exclure la solution $\overset{ { \white{ _. } } } { x=4 }$ qui est supérieure à 3.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}}$

5. Déterminons si le comportement de la suite serait identique en choisissant comme terme initial $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=4 }$ au lieu de $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=3\,? }$

Calculons les premiers termes de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ avec $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=4. }$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{xx}\boxed{u_0=4} \\\\ \bullet\phantom{xx}u_1=\dfrac{4}{5-u_0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{xx}u_1}=\dfrac{4}{5-4} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{xx}u_1}=\dfrac{4}{1} } \\ \\\Longrightarrow\quad \boxed{u_1=4} \\\\ \bullet\phantom{xx}u_2=\dfrac{4}{5-u_1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{xx}u_1}=\dfrac{4}{5-4} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{xx}u_1}=\dfrac{4}{1} } \\ \\\Longrightarrow\quad \boxed{u_2=4}$

Nous pouvons conjecture que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est constante.

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\; u_n=4. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ _. } } } { n=0 }$ , soit que $\overset{{\white{.}}}{u_0=4}$
C'est une évidence par définition de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n). }$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ , alors elle est encore vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { (n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{ u_n=4}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=4 .}$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $u_{n+1}=\dfrac{4}{5-u_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=\dfrac{4}{5-4} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=\dfrac{4}{1} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=4 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_{n+1}=4}$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\; u_n=4. }$

Nous en déduisons que tous les termes de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ sont égaux à 4.

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ converge vers 4 et non pas vers 1.

D'où le comportement de la suite n'est pas identique en choisissant comme terme initial $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=4 }$ au lieu de $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=3\,. }$

Merci à Hiphigenie et Malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Publié par malou le 28-11-2024

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