Fiche de mathématiques

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Baccalauréat terminale générale spécialité Mathématiques

Polynésie 2024

4 points

exercice 1

Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes :

${\white{ww}}\bullet {\white{ww}}$ $60\%$ des plus de 15 ans ont l'intention de regarder les Jeux Olympiques et Paralympiques (JOP) de Paris 2024 à la télévision.

${\white{ww}}\bullet {\white{ww}}$ Parmi ceux qui ont l'intention de regarder les JOP, 8 personnes sur 9 déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les événements suivants :

${\white{ww}}\bullet {\white{ww}}J\;:$ « la personne choisie a l'intention de regarder les JOP Paris 2024 à la télévision »

${\white{ww}}\bullet {\white{ww}}S\;:$ « la personne choisie déclare pratiquer une activité sportive régulière »

On note $\overline J\text{ et } \overline S$ leurs événements contraires respectifs.

Dans les questions 1. et 2. , les probabilités seront données sous la forme d'une fraction irréductible.

1. Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}\;\cdot$

On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.

Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

2. a. Calculer la probabilité que la personne choisie n'ait pas l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.

$\white w$ b. En déduire la probabilité de $S$ sachant $\overline J$ notée $P_{\overline J}(S)\;\cdot$

Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis au millième.

3. Dans le cadre d'une opération de promotion, 30 personnes de plus de 15 ans sont choisies au hasard.

On assimile ce choix à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les 30 personnes.

$\white w$ a. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X\;\cdot$

$\white w$ b. Calculer la probabilité qu'exactement 16 personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

$\white w$ c. La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l'épreuve par équipe mixte de judo à l'Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces 30 personnes.

Le prix d'une place s'élève à $380\text{ \euro }$ et on dispose d'un budget de 10 000 euros pour cette opération.

Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant ?

5 points

exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend cinq questions. Les cinq questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.

Aucune justification n'est demandée.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte, ni n'enlève aucun point.

1. La solution $f$ de l'équation différentielle $y'=-3y+7$ telle que $f(0)=1$ est la fonction définie sur R par :

$\begin{aligned}A.\quad f(x)=\text e^{-3x}{\phantom{+\frac 73p}}&\quad \quad \quad \quad B. \quad f(x)=-\frac 43\text e ^{-3x}+\frac 73\\ C. \quad f(x)=\text e^{-3x}+\frac 73&\quad \quad \quad \quad D. \quad f(x)=\frac{10}{3}\text e^{-3x}-\frac 73 \end{aligned}$

2. La courbe d'une fonction $f$ définie sur $[0\;;+\infty[$ est donnée ci-dessous.
$\white{wwwww}$

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Un encadrement de l'intégrale $I=\begin{aligned}\int_1^5 f(x)\,\text dx\end{aligned}$ est :

$\begin{aligned}A.\quad ~0\le I\le 4&\quad \quad \quad \quad B. \quad 1\le I\le 5\\ C. \quad 5\le I\le 10&\quad \quad \quad \quad D. \quad 10\le I\le 15 \end{aligned}$

3. On considère la fonction $g$ définie sur R par $g(x)=x^2\ln (x^2+4)\;\cdot$

Alors $\begin{aligned}\int_0^2 g'(x)\,\text dx\end{aligned}$ vaut, à $10^{-1}$ près :

$\begin{aligned}A.\quad 4,9&\quad \quad \quad \quad B. \quad 8,3\\ C. \quad 1,7&\quad \quad \quad \quad D. \quad 7,5 \end{aligned}$

4. Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de 31 élèves de terminale.

Elle veut former un groupe de 5 élèves. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe de 5 élèves ?

$\begin{aligned}A.\quad 31^5{\phantom{31+30+29+28+}}&\quad \quad \quad \quad B. \quad 31\times 30\times 29\times 28\times 27\\ C. \quad 31+30+29+28+27&\quad \quad \quad \quad D. \quad {31\choose 5} \end{aligned}$

5. La professeure s'intéresse maintenant à l'autre spécialité des 31 élèves de son groupe :

${\white{ww}}\bullet {\white{ww}}$ 10 élèves ont choisi la spécialité physique-chimie ;

${\white{ww}}\bullet {\white{ww}}$ 20 élèves ont choisi la spécialité SES ;

${\white{ww}}\bullet {\white{ww}}$ 1 élève a choisi la spécialité LLCE espagnol.

Elle veut former un groupe de 5 élèves comportant exactement 3 élèves ayant choisi la spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe ?

$\begin{aligned}A.\quad {20\choose 3}\times {11\choose 2}&\quad \quad \quad \quad B. \quad {20\choose 3}+ {11\choose 2}\\ C. \quad {20\choose 3}{\phantom{wwwww}}&\quad \quad \quad \quad D. \quad 20^3\times 11^2 \end{aligned}$

6 points

exercice 3

On considère la suite $(u_n)$ , définie par :

$\white{wwwww}$ $u_0=8$ et pour tout entier naturel $n\;,u_{n+1}=u_n-\ln \left(\dfrac{u_n}{4}\right)\;\cdot$

1. a. Donner les valeurs arrondies au centième de $u_1$ et $u_2\;\cdot$

$\white w$ b. On considère la fonction $\text{ mystere }$ définie ci-dessous en Python. On admet que, pour tout réel strictement positif $a$ , $\log (a)$ renvoie la valeur du logarithme népérien de $a\;\cdot$

$\white{wwwww}$

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L'exécution de $\text{ mystere(10) }$ renvoie 58.44045206721732. Que représente ce résultat ?

Modifier la fonction précédente afin qu'elle renvoie la moyenne des $k$ premiers termes de la suite $(u_n)\;\cdot$

2. On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0\;;\;+\infty[$ par :

$\white{wwwww}$ $f(x)=x-\ln \left(\dfrac x 4\right)\;\cdot$

On donne ci-dessous une représentation graphique $\mathcal C_f$ de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre 0 et 6 :

$\white{wwwww}$

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Etudier les variations de $f$ sur $]0\;;\;+\infty[$ et dresser son tableau de variations.

On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0\;;\;+\infty[$ . Les limites ne sont pas demandées.

Dans la suite de l'exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $n\;,\; u_{n+1}=f(u_n)\;\cdot$

3. a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ , on a :

$\white{wwwww}$ $1\le u_{n+1}\le u_n\;\cdot$

$\white w$ b. En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle.

$\white www$ On note $\ell$ la valeur de cette limite.

$\white w$ c. Résoudre l'équation $f(x)=x\;\cdot$

$\white w$ d. En déduire la valeur de $\ell \;\cdot$

5 points

exercice 4

Une commune décide de remplacer le traditionnel feu d'artifice du 14 juillet par un spectacle de drones lumineux.

Pour le pilotage des drones, l'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\;;\; \overrightarrow i\;,\;\overrightarrow j\;,\; \overrightarrow k)$ dont l'unité est la centaine de mètres.

La position de chaque drone est modélisée par un point et chaque drone est envoyé d'un point de départ D de coordonnées (2 ; 5 ; 1).

On souhaite former avec des drones des figures en les positionnat dans un même plan $\mathcal P\;\cdot$

Trois drones sont positionnés aux points A(-1;-1; 17), B(4; -2; 4) et C(1; -3; 7).

1. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

Dans la suite, on note $\mathcal P$ le plan (ABC) et on considère le vecteur $\overrightarrow n \begin{pmatrix} 2\\-3 \\ 1 \end{pmatrix}\;\cdot$

2. a. Justifier que $\overrightarrow n$ est normal au plan $\mathcal P\;\cdot$

$\white w$ b. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal P$ est : $2x-3y+z-18=0\;\cdot$

3. Le pilote des drones décide d'envoyer un quatrième drone en prenant comme trajectoire la droite $d$ dont une représentation paramétrique est donnée par :

$\white{wwwww}$ $d : \left\lbrace\begin{matrix} x &= & 3t+2 & \\ y & = & t+5& \quad \text{avec } t\in \textbf R\,\cdot\\ z& =&4t+1 & \end{matrix}\right.$

$\white w$ a. Déterminer un vecteur directeur de la droite $d\,\cdot$

$\white w$ b. Afin que ce nouveau drone soit également placé dans le plan $\mathcal P$ , déterminer par le calcul les coordonnées du point E, intersection de la droite $d$ avec le plan $\mathcal P\,\cdot$

4. Le pilote des drones décide d'envoyer un cinquième drone le long de la droite deltamaj

qui passe par le point D et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal P$ . Ce cinquième drone est placé lui aussi dans le plan $\mathcal P$ , soit à l'intersection entre la droite deltamaj

et le plan $\mathcal P\,\cdot$ On admet que le point F(6; -1; 3) correspond à cet emplacement.

Démontrer que la distance entre le point de départ D et le plan $\mathcal P$ vaut $2\sqrt{14}$ centaines de mètres.

L'organisatrice du spectacle demande au pilote d'envoyer un nouveau drone dans le plan $\mathcal P$ (peu importe sa position dans le plan), toujours à partir du point D. Sachant qu'il reste 40 secondes avant le début du spectacle et que le drone vole en trajectoire rectiligne à $18,6\text{ m.s }^{-1}$ , le drone peut-il arriver à temps ?

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4 points

exercice 1

1.
${\white{ww}}\bullet {\white{ww}}$ 60\% des plus de 15 ans ont l'intention de regarder les Jeux Olympiques et Paralympiques (JOP) de Paris 2024 à la télévision.
${\white{ww}}\bullet {\white{ww}}$ Parmi ceux qui ont l'intention de regarder les JOP, 8 personnes sur 9 déclarent pratiquer une activité sportive régulière.
On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les événements suivants :
${\white{ww}}\bullet {\white{ww}}J:$ « la personne choisie a l'intention de regarder les JOP Paris 2024 à la télévision »
${\white{ww}}\bullet {\white{ww}}S:$ « la personne choisie déclare pratiquer une activité sportive régulière »

Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { P(J\cap S). }$

Nous savons que 60 % des plus de 15 ans ont l'intention de regarder les Jeux Olympiques et Paralympiques (JOP) de Paris 2024 à la télévision.

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(J)=0,6}\,. }$

Nous savons également que parmi ceux qui ont l'intention de regarder les JOP, 8 personnes sur 9 déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P_J(S)=\dfrac 89}\,. }$

$\text{D'où }\;P(J\cap S)=P(J)\times P_J(S) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\;P(J\cap S)}=0,6\times \dfrac89} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\;P(J\cap S)}=\dfrac{6}{10}\times \dfrac89} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\;P(J\cap S)}=\dfrac{48}{90}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\;P(J\cap S)}=\dfrac{8}{15}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(J\cap S)=\dfrac{8}{15}}$

Par conséquent, la probabilité que la personne choisie ait l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{8}{15}\cdot }$

2. a) Représentons la situation connue par un arbre pondéré.

${ \white{ xxi } }$

Bac général spécialité maths 2024 Polynésie jour 2 : image 12

Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { P(\overline{J}\cap S). }$

Nous savons que selon le sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière, ce qui signifie que $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{P(S)=\dfrac23}\,. }$

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{J}$ et $\overline{J}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(S)=P(J\cap S)+P(\overline{J}\cap S)\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac 23=\dfrac{8}{15}+P(\overline{J}\cap S) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(S)=P(J\cap S)+P(\overline{J}\cap S)}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\overline{J}\cap S)=\dfrac 23-\dfrac{8}{15}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(S)=P(J\cap S)+P(\overline{J}\cap S)}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\overline{J}\cap S)=\dfrac{10}{15}-\dfrac{8}{15}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(S)=P(J\cap S)+P(\overline{J}\cap S)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P(\overline{J}\cap S)=\dfrac{2}{15}}}$

Par conséquent, la probabilité que la personne choisie n'ait pas l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{2}{15}. }$

2. b) Nous devons en déduire $\overset{ { \white{ . } } } { P_{\overline J}(S)\,. }$

${ \white{ xxi } }$ $P_{\overline J}(S)=\dfrac{ P(\overline J\cap S)}{P(\overline J)}=\dfrac{\frac{2}{15}}{0,4}=\dfrac{\frac{2}{15}}{\frac{4}{10}}=\dfrac{\frac{2}{15}}{\frac{2}{5}}=\dfrac{2}{15}\times\dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ P_{\overline J}(S)=\dfrac13}$

3. Dans le cadre d'une opération de promotion, 30 personnes de plus de 15 ans sont choisies au hasard.
On assimile ce choix à un tirage avec remise.
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les 30 personnes.

3. a) Déterminons la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $\overset{ { \white{ _. } } } { X. }$

Lors de cette expérience, on répète 30 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « la personne déclare pratiquer une activité sportive régulière » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=\dfrac23. }$
Echec : « la personne déclare ne pas pratiquer d'activité sportive régulière » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { 1-p=1-\dfrac23=\dfrac13. }$
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les 30 personnes, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }(30\,;\,\dfrac23). }$
Cette loi est donnée par :

$\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}30\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac23\right)^k\times\left(\dfrac13\right)^{ 30-k } }$

3. b) Nous devons calculer la probabilité qu'exactement 16 personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière, soit $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=16). }$

${ \white{ xx } }$ $P(X=16)=\begin{pmatrix}30\\16\end{pmatrix}\times\left(\dfrac23\right)^{16}\times\left(\dfrac13\right)^{ 30-16 } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ P(X=16) }=\begin{pmatrix}30\\16\end{pmatrix}\times\left(\dfrac23\right)^{16}\times\left(\dfrac13\right)^{ 14 }} \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ P(X=16) }\approx0,046 } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ P(X=16)\approx0,046 }$
Par conséquent, la probabilité qu'exactement 16 personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière est environ égale à 0,046 (valeur arrondie à 10^-3 près).

3. c) La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l'épreuve par équipe mixte de judo à l'Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces 30 personnes.
Le prix d'une place s'élève à $\overset{ { \white{ . } } } { 380\text{ \euro } }$ et on dispose d'un budget de 10 000 euros pour cette opération.
Nous devons déterminer la probabilité que ce budget soit insuffisant.

Déterminons le nombre de personnes au-delà duquel le budget sera insuffisant.

Le prix d'une place s'élève à $\overset{ { \white{ . } } } { 380\text{ \euro } }$ et on dispose d'un budget de 10 000 euros pour cette opération.

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{10\,000}{380}\approx26,3. }$

Cela signifie qu'au-delà de 26 personnes, le budget sera insuffisant.

Déterminons la probabilité que ce budget soit insuffisant, soit $\overset{ { \white{ . } } } {P(X>26). }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { P(X>26)=1-P(X\le26). }$
Or par la calculatrice, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } {P(X\le26)\approx 0,99670275\approx0,997. }$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { P(X>26)=1-0,997=0,003. }$

Par conséquent, la probabilité que ce budget soit insuffisant est environ égale à 0,003.

5 points

exercice 2

1. Réponse B.

La solution $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { y'=-3y+7 }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } { f(0)=1 }$ est la fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{f(x)=-\dfrac43\text e^{-3x}+\dfrac73.}} }$
En effet, la solution générale d'une équation différentielle de la forme $\overset{{\white{.}}}{y'=ay+b}$ est $f(x)=c\,\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (c\in\R).$
Dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } { a=-3 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { b=7. }$

D'où la solution générale de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y'=-3y+7 }$ s'écrit $f(x)=c\,\text{e}^{-3x}+\dfrac73\quad(c\in\R)$

$\text{De plus, }\quad f(0)=1\quad\Longrightarrow\quad c\,\text e^{0}+\dfrac73=1 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{De plus, }\quad f(0)=1}\quad\Longrightarrow\quad c+\dfrac73=1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{De plus, }\quad f(0)=1}\quad\Longrightarrow\quad c=-\dfrac43}$

Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ _. } } } { {\red{f(x)=-\dfrac43\text e^{-3x}+\dfrac73.}} }$

2. Réponse C.

La courbe d'une fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;+\infty[ }$ est donnée ci-dessous.

Bac général spécialité maths 2024 Polynésie jour 2 : image 9

Un encadrement de l'intégrale $\overset{ { \white{ . } } } { I=\begin{aligned}\int_1^5 f(x)\,\text dx\end{aligned} }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{5\le I\le 10}}. }$

En effet, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est positive sur l'intervalle [1 ; 5].
Dès lors, l'intégrale $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ représente l'aire (en unité d'aire) du domaine situé sous la courbe et limité par l'axe des abscisses et les droite d'équations $\overset{ { \white{ . } } } { x=1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { x=5. }$ (voir figure ci-dessous)

Bac général spécialité maths 2024 Polynésie jour 2 : image 18

Les deux figures ci-dessous montrent d'une part que nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { I\ge 6 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { I\le 10. }$

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Dès lors, nous obtenons $\overset{ { \white{ . } } } { 6\le I\le10 }$ et donc a fortiori, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{5\le I\le10} }$

3. Réponse B.

On considère la fonction $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)=x^2\ln (x^2+4). }$
Alors $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{aligned}\int_0^2 g'(x)\,\text dx\end{aligned} }$ vaut, à ${ 10^{-1} }$ près : $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{8,3}}. }$

Nous savons qu'une primitive de la fonction dérivée g' est la fonction g.
Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle\int_{0}^{2}g'(x)\,\text{d}x=\Big[g(x)\Big]_0^2 \\\phantom{\displaystyle\int_{0}^{2}g'(x)\,\text{d}x}=\Big[x^2\ln (x^2+4)\Big]_0^2 \\\phantom{\displaystyle\int_{0}^{2}g'(x)\,\text{d}x}=2^2\ln (2^2+4)-0^2\ln (0^2+4) \\\phantom{\displaystyle\int_{0}^{2}g'(x)\,\text{d}x}=4\ln 8=4\ln 2^3=4\times3\ln 2 \\\phantom{\displaystyle\int_{0}^{2}g'(x)\,\text{d}x}=12\ln 2\approx8,3 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{0}^{2}g'(x)\,\text{d}x\approx8,3}$

4. Réponse D.

Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de 31 élèves de terminale.

Elle veut former un groupe de 5 élèves. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe de 5 élèves ?

Le nombre de groupes de 5 élèves que l'on peut former dans une classe de 31 élèves est égal à $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{\begin{pmatrix}31\\5\end{pmatrix}}}. }$

5. Réponse A.

La professeure s'intéresse maintenant à l'autre spécialité des 31 élèves de son groupe :

${\white{ww}}\bullet {\white{ww}}$ 10 élèves ont choisi la spécialité physique-chimie ;
${\white{ww}}\bullet {\white{ww}}$ 20 élèves ont choisi la spécialité SES ;
${\white{ww}}\bullet {\white{ww}}$ 1 élève a choisi la spécialité LLCE espagnol.

Elle veut former un groupe de 5 élèves comportant exactement 3 élèves ayant choisi la spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe ?

Le nombre de groupes de 3 élèves parmi les 20 élèves ayant choisi la spécialité SES est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}20\\3\end{pmatrix} }.$

A chacun de ces groupes, il faut adjoindre 2 élèves parmi les 11 (=31-20) élèves n'ayant pas choisi la spécialité SES.
Le nombre de ces groupes de 2 élèves est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}11\\2\end{pmatrix} }.$

Par conséquent, le nombre de groupes de 5 élèves comportant exactement 3 élèves ayant choisi la spécialité SES est égal à $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{ \begin{pmatrix}20\\3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}11\\2\end{pmatrix}}} }.$

6 points

exercice 3

On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ , définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=8 }$ et pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n\;,\quad u_{n+1}=u_n-\ln \left(\dfrac{u_n}{4}\right). }$

1. a) Nous devons donner les valeurs arrondies au centième de $\overset{ { \white{ . } } } {u_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { u_2. }$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad u_1=u_0-\ln \left(\dfrac{u_0}{4}\right) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\bullet\quad u_1}=8-\ln \left(\dfrac{8}{4}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\bullet\quad u_1}=8-\ln 2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\bullet\quad u_1}\approx7,31} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_1\approx7,31}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad u_2=u_1-\ln \left(\dfrac{u_1}{4}\right) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\bullet\quad u_1}=8-\ln 2-\ln \left(\dfrac{8-\ln 2}{4}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\bullet\quad u_1}\approx6,70} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_2\approx6,70}$

1. b) On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { \text{ mystere } }$ définie ci-dessous en Python.
On admet que, pour tout réel strictement positif $\overset{ { \white{ . } } } {a ,\; \log (a) }$ renvoie la valeur du logarithme népérien de $\overset{ { \white{ . } } } { a. }$

Bac général spécialité maths 2024 Polynésie jour 2 : image 17

L'exécution de $\overset{ { \white{ . } } } { \text{ mystere(10) } }$ renvoie 58.44045206721732.

Ce résultat représente la somme des 10 premiers termes de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n), }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } {\red{u_0+u_1+u_2+\cdots+u_9\approx58,44045206721732. }}}$

Modifions la fonction précédente afin qu'elle renvoie la moyenne des $\overset{ { \white{ . } } } { k }$ premiers termes de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)\,. }$

Bac général spécialité maths 2024 Polynésie jour 2 : image 13

2. On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie et dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x-\ln \left(\dfrac x 4\right)\,. }$

On donne ci-dessous une représentation graphique $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal C_f }$ de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ pour les valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { x}$ comprises entre 0 et 6 :

Bac général spécialité maths 2024 Polynésie jour 2 : image 14

Nous devons étudier les variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ et dresser son tableau de variations.

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[\,. }$
Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\, ]0\;;\;+\infty[\,,}$

${ \white{ WWxxi } }$ $f'(x)=\Big(x-\ln \left(\dfrac x 4\right)\Big)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f'(x)}=\Big(x-\ln x+\ln 4\Big)'} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f'(x)}=1-\dfrac1x} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f'(x)}=\dfrac{x-1}{x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\, ]0\;;\;+\infty[\,,\quad f'(x)=\dfrac{x-1}{x}}$

Puisque $\overset{ { \white{ . } } } { x}$ est strictement positif, le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } {(x-1). }$

Dès lors, nous pouvons dresser le tableau de signes de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ et de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

$\begin{matrix}x-1>0\quad \Longleftrightarrow\quad x>1\\\\x-1=0\quad \Longleftrightarrow\quad x=1\\\\x-1<0\quad \Longleftrightarrow\quad x<1\\\\\\f(1)=1-\ln\left(\dfrac14\right)\\ \phantom{XX}\overset{ { \phantom{ . } } } {=1-(-\ln 4)}\\ \phantom{i}\overset{ { \phantom{ . } } } {=1+\ln 4}\\ \phantom{i}\overset{ { \phantom{ . } } } {=1+2\ln 2}\end{matrix} {\white{x}}\begin{matrix}\phantom{WWW}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&0&&1&&+\infty\\&&&&& \\\hline &&&&&\\x-1&&-&0&+&&&&&&&\\\hline &&&&&\\f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f&&\searrow&&\nearrow&\\&&&1+2\ln2&&\\\hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement décroissante sur ]0 ; 1[ et strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;+\infty[\,. }$

Dans la suite de l'exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n\;,\; u_{n+1}=f(u_n)\,. }$

3. a) Démontrons, par récurrence, que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ , on a : $\overset{ { \white{ . } } } { 1\le u_{n+1}\le u_n. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{1\le u_1\le u_{0}.}$
C'est une évidence car par définition de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n), }$ et en utilisant les résultats de la question 1.a),

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}u_1\approx7,31\\\overset{ { \phantom{ . } } } {u_0=8\phantom{Wi}}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ {1\le u_1\le u_{0}.}}$

Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{ 1\le u_{n+1}\le u_n}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ 1\le u_{n+2}\le u_{n+1} .}$

En effet, puisque la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;+\infty[\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $1\le u_{n+1}\le u_n\quad\Longrightarrow\quad f(1)\le f(u_{n+1})\le f(u_n) \\\\\phantom{WWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad 1+2\ln 2\le u_{n+2}\le u_{n+1} \\\\\phantom{WWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1\le u_{n+2}\le u_{n+1}} \quad \text{car }\;1<1+2\ln 2$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ , nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { 1\le u_{n+1}\le u_n. }$

3. b) Nous devons en déduire que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ converge vers une limite réelle.

Nous avons montré dans la question précédente que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante et minorée par 1.
D'après le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente.

3. c) Nous devons résoudre l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x\,. }$

$f(x)=x\quad\Longleftrightarrow\quad x-\ln \left(\dfrac x 4\right)=x \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln \left(\dfrac x 4\right)=0} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac x 4=1} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x = 4}}$

3. d) Nous devons en déduire la valeur de la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n). }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[. }$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=f(u_n). }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{f(\ell)=\ell.}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \ell }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x. }$
Or nous avons montré dans la question 3. c) que sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[, }$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x }$ admet pour unique solution ${ x=4. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\ell=4}}$

5 points

exercice 4

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j,\vec k).$

On considère les points $\overset{ { \white{ . } } } { A(-1;-1;17),\;B(4;-2;4),\;C(1;-3;7),\;D(2;5;1). }$

1. Nous devons démontrer que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\;B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ ne sont pas alignés.

Nous allons montrer que les vecteurs ${ \overrightarrow{AB} }$ et ${ \overrightarrow{AC} }$ ne sont pas colinéaires.

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}A(-1\;;\;-1\;;\;17)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { B(4\;;\;-2\;;\;4)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}4+1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -2+1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { 4-17}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}5\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -1}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { -13}\end{pmatrix}}$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}A(-1\;;\;-1\;;\;17)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { C(1\;;\;-3\;;\;7)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}1+1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -3+1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { 7-17}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -2}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { -10}\end{pmatrix}}$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$ ne sont pas colinéaires.

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\;B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ ne sont pas alignés.

Dans la suite, on note $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P }$ le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ et on considère le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow n \begin{pmatrix} 2\\-3 \\ 1 \end{pmatrix}\,. }$
2. a) Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow n }$ est normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P \,.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \vec n }$ est orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\-1\\-13\end{pmatrix}. }$
${ \white{ xxi } }$ Nous avons : $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=2\times5-3\times(-1)+1\times(-13)=10+3-13=0\quad\Longrightarrow\quad\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0.$

${ \white{ xxi } }$ D'où $\boxed{\vec n\perp \overrightarrow{AB}}\,.$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \vec n}$ est orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\-2\\-10\end{pmatrix}. }$
${ \white{ xxi } }$ Nous avons : $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=2\times2-3\times(-2)+1\times(-10)=4+6-10=0\quad\Longrightarrow\quad\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0.$

${ \white{ xxi } }$ D'où $\boxed{\vec n\perp \overrightarrow{AC}}\,.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous venons de montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { \vec n }$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires ${ \overrightarrow{AB} }$ et ${ \overrightarrow{AC} }$ du plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P \,.}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P \,.}$

2. b) Déterminons une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P . }$

Nous avons montré que $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P \,.}$
D'où l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal P }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {2x-3y+z+d=0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {d }$ est un nombre réel.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {A(-1\;;\;-1\;;\;17) }$ appartient à ce plan.
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {2\times(-1)-3\times(-1)+17+d=0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {d=-18. }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {\mathcal P}$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{2x-3y+z-18=0}\,. }$

3. Soit la droite $\overset{ { \white{ . } } } { d }$ dont une représentation paramétrique est donnée par :

$d : \left\lbrace\begin{matrix} x &= & 3t+2 & \\ y & = & t+5& \quad \text{avec } t\in \textbf R\,\cdot\\ z& =&4t+1 & \end{matrix}\right.$

3. a) Nous devons déterminer un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { d. }$

Nous avons : $\overset{ { \phantom{ P. } } } { d : \left\lbrace\begin{matrix} x &= & 3t+2 & \\ y & = & t+5&\\ z& =&4t+1 & \end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad d : \left\lbrace\begin{matrix} x &= & {\red{3}}\times t+2 & \\ y & = & {\red{1}}\times t+5&\\ z& =& {\red{4}}\times t+1 & \end{matrix}\right.}$

Un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { d }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow d \begin{pmatrix} 3\\1 \\ 4 \end{pmatrix}. }$

3. b) Déterminons par le calcul les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ , intersection de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { d }$ avec le plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P. }$

Résolvons le système : $\left\lbrace\begin{matrix} x = 3t+2\phantom{WWWW} \\ y = t+5\phantom{WWWW}\\ z=4t+1\phantom{WWWW} \\2x-3y+z-18=0 \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} x = 3t+2\phantom{WWWW} \\ y = t+5\phantom{WWWW}\\ z=4t+1\phantom{WWWW} \\2x-3y+z-18=0 \end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x = 3t+2\phantom{WWWWWWWWWWW} \\ y = t+5\phantom{WWWWWWWWWWW}\\ z=4t+1\phantom{WWWWWWWWWWWW} \\2(3t+2)-3(t+5)+(4t+1)-18=0 \end{matrix}\right.$

$\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x = 3t+2\phantom{WWWWWWWWW} \\ y = t+5\phantom{WWWWWWWWW}\\ z=4t+1\phantom{WWWWWWWWW} \\6t+4-3t-15+4t+1-18=0 \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x = 3t+2 \\ y = t+5\\ z=4t+1 \\7t-28=0 \end{matrix}\right.$

$\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x = 3t+2 \\ y = t+5\\ z=4t+1 \\t=4\phantom{WW} \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} x = 14 \\ y = 9\\ z=17 \\t=4 \end{matrix}\right.$

Par conséquent, les coordonnées du point $\overset{ { \white{ . } } } { E }$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{E\,(14\;;\;9\;;\;17)} }$

4. En nous appuyant sur la définition du point $\overset{ { \white{ . } } } { F, }$ nous déduisons que la distance entre le point $\overset{ { \white{ . } } } { D }$ et le plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P }$ est donnée par $\overset{ { \white{ . } } } { DF. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}D(2\;;\;5\;;\;1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { F(6\;;\;-1\;;\;3)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {DF}\begin{pmatrix}6-2\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -1-5} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { 3-1}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {DF}\begin{pmatrix}4\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { -6}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { 2}\end{pmatrix}} \\\\\text{D'où }\quad DF=\sqrt{4^2+(-6)^2+2^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\quad DF}=\sqrt{16+36+4}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\quad DF}=\sqrt{56}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\quad DF}=2\sqrt{14}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{DF=2\sqrt{14}}$

Par conséquent, la distance entre le point de départ $\overset{ { \white{ . } } } { D }$ et le plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P }$ vaut $\overset{ { \white{ . } } } { 2\sqrt{14} }$ centaines de mètres.

La distance $\overset{ { \white{ . } } } { DF }$ est la plus petite distance du point $\overset{ { \white{ . } } } { D }$ au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P. }$

Déterminons le temps $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ utilisé par un drone pour parcourir la distance ${DF }$ à la vitesse $\overset{ { \white{ . } } } { v=18,6\text{ m.s }^{-1}. }$

Remarquons que $\overset{ { \white{ . } } } { 2\sqrt{14} }$ centaines de mètres correspondent à $\overset{ { \white{ . } } } { 200\sqrt{14} }$ mètres.

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { t=\dfrac{DF}{v}=\dfrac{200\sqrt{14}}{18,6}\Longrightarrow\quad \boxed{t\approx 40,2}\,. }$

Le nouveau drone prendra 40,2 secondes pour parcourir la distance entre le point de départ $\overset{ { \white{ . } } } { D }$ et le plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal P }$ alors qu'il reste 40 secondes avant le début du spectacle.

Ce drone ne pourra donc pas arriver à temps.

Publié par malou le 31-07-2024

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