Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2025 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac 2025 Benin série D

Durée : 4 heures

$\bullet\white w$ Les trois problèmes sont obligatoires.

$\bullet\white w$ Seules les traces écrites figurant sur la copie seront prises en compte.

$\bullet\white w$ Une attention particulière sera portée à la clarté et à la précision des raisonnements.

$\bullet\white w$ Seules les calculatrices non-graphiques et non-programmables sont autorisées.

SITUATION D'ÉVALUATION

Contexte : « EcoTognon, la ville écologique »

Le conseil municipal de Tognon s'est lancé dans un projet pilote baptisé « EcoTognon », visant à faire de la ville un exemple d'optimisation de la gestion des déchets à l'aide d'outils technologiques et mathématiques de pointe. Trois axes d'innovation ont guidé ce projet :

$\bullet\white w$ La cartographie des points de dépôt.

$\bullet\white w$ La prévision et la maîtrise des coûts de collecte.

$\bullet\white w$ L'automatisation du centre de recyclage avec une grue robotisée.

Les zones de collecte sont assimilées aux points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ et le futur centre de recyclage au point $E$ .

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O\,;\,\vec u,\vec v)$ , les affixes $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ et $z_D$ des points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont les racines du polynôme complexe :

$P(z)=4z^4+(-4+9\text i)z^3+(-23+2\text i)z^2+(12-14\text i)z+36-52\text i$ ,

et soumises aux conditions : $z_A\in\mathbb R$ et $\text{Re}(z_C)<\text{Re}(z_D)<\text{Re}(z_B)$ .

Le point $E$ quant à lui est l'image du point $B$ par la rotation $\sigma$ de centre $A$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ .

Afin de moderniser le circuit des camions, la municipalité a développé un modèle de coût de collecte en fonction de la distance parcourue et le centre de recyclage a été équipé d'une grue capable de déplacer les déchets non recyclables.

Dans ce centre, la trajectoire de la grue modélise une portion d'une droite $(\Delta)$ .

Kodjo, le fils du maire, amateur de sciences et de nouvelles technologies, est impressionné par le projet. Il se préoccupe :

$\bullet\white w$ de connaitre la position des points de collecte et le centre de recyclage ;

$\bullet\white w$ de l'optimisation du coût de la collecte ;

$\bullet\white w$ de la trajectoire suivant laquelle la grue robotisée doit se déplacer.

Tâche : Tu es invité(e) à trouver des réponses aux préoccupations de Kodjo en résolvant les trois problèmes ci-après.

probleme 1

1- a- Calcule : $P(2)$ , $P(-2)$ et $P(2-2\text i)$ .

1- b- Détermine le polynôme $Q$ du second degré tel que pour tout nombre complexe $z$ , $P(z)=\left[z^2-(4-2\text i)z+4-4\text i\right]Q(z)$ .

1- c- Calcule : $(4+7\text i)^2$ .

1- d- Déduis-en la résolution dans l'ensemble des nombres complexes de l'équation : $P(z)=0$ .

2- a- Justifie que les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ ont respectivement pour affixes $2$ , $2-2\text i$ , $-2-\text i$ et $-1+\dfrac34\text i$ .

2- b- Place les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ dans le plan muni d'un repère, puis justifie que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze.

3- a- Détermine l'écriture complexe de la similitude $\sigma$ .

3- b- Construis le point $E$ sur la figure.

probleme 2

probleme 3

Dans le nouveau centre de recyclage, la grue se déplace dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct.

$\bullet\white w$ La droite $(D)$ de représentation paramétrique : $\left\lbrace\begin{matrix}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\end{matrix}\right.\quad(t\in\mathbb R)$ est la trajectoire empruntée par des tapis roulants amenant les déchets vers la zone de tri.

$\bullet\white w$ la droite $(D')$ de système d'équations cartésiennes : $\left\lbrace\begin{matrix}x-y+2z-3=0\\x+y-z=0\end{matrix}\right.$ est la trajectoire suivant laquelle les conteneurs sont rechargés.

Pour des raisons d'ergonomie et d'optimisation énergétique, la direction de la grue doit être choisie de sorte qu'elle soit perpendiculaire aux droites $(D)$ et $(D')$ .

7- Démontre que les droites $(D)$ et $(D')$ sont non coplanaires.

8- a- Justifie qu'une équation cartésienne du plan $(P)$ contenant la droite $(D)$ et parallèle à la droite $(D')$ est : $13x+5y-z-3=0$ .

8- b- Justifie qu'une équation cartésienne du plan $(P')$ contenant la droite $(D')$ et perpendiculaire à $(P)$ est : $-13x+25y-44z+57=0$ .

8- c- Détermine les coordonnées du point d'intersection $I$ de $(P')$ et $(D)$ .

9- Soit $(D_1)$ la droite passant par le point $I$ et orthogonale à $(P)$ .

9- a- Démontre que la droite $(D_1)$ est perpendiculaire à $(D)$ et à $(D')$ .

9- b- Précise un repère de la droite $(\Delta)$ indiquant la direction du mouvement de la grue.

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Bac 2025 Benin série D

SITUATION D'ÉVALUATION

Le conseil municipal de Tognon s'est lancé dans un projet pilote baptisé « EcoTognon », visant à faire de la ville un exemple d'optimisation de la gestion des déchets à l'aide d'outils technologiques et mathématiques de pointe.

Trois axes d'innovation ont guidé ce projet :

$\bullet\white w$ La cartographie des points de dépôt.
$\bullet\white w$ La prévision et la maîtrise des coûts de collecte.
$\bullet\white w$ L'automatisation du centre de recyclage avec une grue robotisée.

Les zones de collecte sont assimilées aux points $\overset{ { \white{ . } } } { A,B,C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ et le futur centre de recyclage au point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ .

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ . } } } { (O\,;\,\vec u,\vec v) }$ , les affixes $\overset{ { \white{ . } } } { z_A , z_B , z_C }$ et $\overset{ { \white{. } } } { z_D }$ des points $\overset{ { \white{ . } } } { A,B,C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sont les racines du polynôme complexe :

$\overset{ { \white{ . } } } { P(z)=4z^4+(-4+9\text i)z^3+(-23+2\text i)z^2+(12-14\text i)z+36-52\text i }$ ,
et soumises aux conditions : $\overset{ { \white{ . } } } { z_A\in\mathbb R }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \text{Re}(z_C)<\text{Re}(z_D)<\text{Re}(z_B) }$ .

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ quant à lui est l'image du point $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ par la rotation $\overset{ { \white{ . } } } { \sigma }$ de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } { -\dfrac{\pi}{2} }$ .

probleme 1

1. a) Nous devons calculer : $\overset{ { \white{ _. } } } {P(2) , P(-2)}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P(2-2\text i) }$ .

$\bullet\quad P(2) =4\times 2^4+(-4+9\text i)\times 2^3+(-23+2\text i)\times 2^2+(12-14\text i)\times 2+36-52\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad P(2) }=4\times 16+(-4+9\text i)\times 8+(-23+2\text i)\times 4+(12-14\text i)\times 2+36-52\text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad P(2) }=64-32+72\text i-92+8\text i+24-28\text i+36-52\text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad P(2) }=0} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(2)=0}$

$\bullet\quad P(-2) =4\times (-2)^4+(-4+9\text i)\times (-2)^3+(-23+2\text i)\times (-2)^2+(12-14\text i)\times (-2)+36-52\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad P(-2) }=4\times 16+(-4+9\text i)\times (-8)+(-23+2\text i)\times 4+(12-14\text i)\times (-2)+36-52\text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad P(-2) }=64+32-72\text i-92+8\text i-24+28\text i+36-52\text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad P(-2) }=16-88\text i} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(-2)=16-88\text i}$

Remarque : Il semblerait au vu des questions suivantes que le calcul à réaliser est : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(-2-\text i) }$ et non pas $\overset{ { \white{ _. } } } { P(-2) }$ .

$\bullet\quad P(-2-\text i) =4\times (-2-\text i)^4+(-4+9\text i)\times (-2-\text i)^3+(-23+2\text i)\times (-2-\text i)^2+(12-14\text i)\times (-2-\text i)+36-52\text i$

Calculons les différentes puissances de $\overset{ { \white{ _. } } } { -2-\text i }$ .

${ \white{ xxi } }$ $(-2-\text i)^2=(-2)^2-2\times(-2)\times\text i+(-1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (-2-\text i)^2}=4+4\text i-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (-2-\text i)^2}=3+4\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(-2-\text i)^2=3+4\text i}$

${ \white{ xxi } }$ $(-2-\text i)^3=(-2-\text i)^2\times(-2-\text i) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (-2-\text i)^3}=(3+4\text i)\times(-2-\text i)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (-2-\text i)^3}=-6-3\text i-8\text i+4} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (-2-\text i)^3}=-2-11\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(-2-\text i)^3=-2-11\text i}$

${ \white{ xxi } }$ $(-2-\text i)^4=\Big((-2-\text i)^2\Big)^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (-2-\text i)^4}=(3+4\text i)^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (-2-\text i)^4}=9+2\times3\times4\text i-16} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (-2-\text i)^4}=-7+24\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(-2-\text i)^4=-7+24\text i}$

Nous obtenons ainsi :

$P(-2-\text i) =4\times (-2-\text i)^4+(-4+9\text i)\times (-2-\text i)^3+(-23+2\text i)\times (-2-\text i)^2+(12-14\text i)\times (-2-\text i)+36-52\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(-2-\text i) }=4\times (-7+24\text i)+(-4+9\text i)\times (-2-11\text i)+(-23+2\text i)\times (3+4\text i)+(12-14\text i)\times (-2-\text i)+36-52\text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(-2-\text i) }=-28+96\text i+8+44\text i-18\text i+99-69-92\text i+6\text i-8-24-12\text i+28\text i-14+36-52\text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(-2-\text i) }=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(-2-\text i) =0}$

$\bullet\quad P(2-2\text i) =4\times (2-2\text i)^4+(-4+9\text i)\times (2-2\text i)^3+(-23+2\text i)\times (2-2\text i)^2+(12-14\text i)\times (2-2\text i)+36-52\text i$

Calculons les différentes puissances de $\overset{ { \white{ _. } } } { 2-2\text i }$ .

${ \white{ xxi } }$ $(2-2\text i)^2=4-2\times2\times2\text i+(-4) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (2-2\text i)^2}=4-8\text i-4} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (2-2\text i)^2}=-8\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(2-2\text i)^2=-8\text i}$

${ \white{ xxi } }$ $(2-2\text i)^3= (2-2\text i)^2\times (2-2\text i) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (2-2\text i)^3}=(-8\text i)\times (2-2\text i)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (2-2\text i)^3}=-16-16\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ (2-2\text i)^3=-16-16\text i}$

${ \white{ xxi } }$ $(2-2\text i)^4=\Big((2-2\text i)^2\Big)^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (2-2\text i)^4}=(-8\text i)^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (2-2\text i)^4}=-64} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(2-2\text i)^4=-64}$

Nous obtenons ainsi :

$P(2-2\text i) =4\times (-64)+(-4+9\text i)\times (-16-16\text i)+(-23+2\text i)\times (-8\text i)+(12-14\text i)\times (2-2\text i)+36-52\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(2-2\text i) }=-256+64+64\text i-144\text i+144+184\text i+16+24-24\text i-28\text i-28+36-52\text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(2-2\text i) }=0} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{P(2-2\text i) =0}$

1. b) Nous devons déterminer le polynôme $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ du second degré tel que pour tout nombre complexe $\overset{ { \white{ z } } } { z, }$ $\overset{ { \white{ _. } } } {P(z)=\left[z^2-(4-2\text i)z+4-4\text i\right]Q(z) }$ .

Rappelons que $\overset{ { \white{ . } } } { P(z)=4z^4+(-4+9\text i)z^3+(-23+2\text i)z^2+(12-14\text i)z+36-52\text i }$ .

Nous cherchons le polynôme $\overset{ { \white{ _. } } } { Q(z)=az^2+bz+c }$ tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { P(z)=[z^2-(4-2\text i)z+4-4\text i]\times (az^2+bz+c). }$

Procédons par identification des coefficients.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Identifions les coefficients des termes en $\overset{ { \white{ } } } { z^4 }$ .

Le terme en $\overset{ { \white{ } } } { z^4 }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { P(z) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { 4z^4 }$ .
Le terme en $\overset{ { \white{ } } } { z^4 }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { [z^2-(4-2\text i)z+4-4\text i]\times (az^2+bz+c) }$ est $\overset{ { \white{ } } } { az^4 }$ .
Nous en déduisons immédiatement que $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{a=4} }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Identifions les termes indépendants.

Le terme indépendant de $\overset{ { \white{ _. } } } { P(z) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { 36-52\text i }$ .
Le terme indépendant de $\overset{ { \white{ _. } } } { [z^2-(4-2\text i)z+4-4\text i]\times (az^2+bz+c) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { c(4-4\text i) }$ .
Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $c(4-4\text i)=36-52\text i\quad\Longleftrightarrow\quad c=\dfrac{36-52\text i}{4-4\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ c(4-4\text i)=36-52\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad c=\dfrac{9-13\text i}{1-\text i} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ c(4-4\text i)=36-52\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad c=\dfrac{(9-13\text i)(1+\text i)}{(1-\text i)(1+\text i)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ c(4-4\text i)=36-52\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad c=\dfrac{9+9\text i-13\text i+13}{1+1} }$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ c(4-4\text i)=36-52\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad c=\dfrac{22-4\text i}{2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ c(4-4\text i)=36-52\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{c=11-2\text i} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Identifions les coefficients des termes en $\overset{ { \white{ _. } } } { z^3 }$ .

Le terme en $\overset{ { \white{ _. } } } { z^3 }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { P(z) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { (-4+9\text i)z^3 }$ .
Le terme en $\overset{ { \white{ _. } } } { z^3 }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { [z^2-(4-2\text i)z+4-4\text i]\times (az^2+bz+c) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \Big(b-a(4-2\text i)\Big)z^3 }$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \Big(b-4(4-2\text i)\Big)z^3 }$ .
Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $b-4(4-2\text i)=-4+9\text i\quad\Longleftrightarrow\quad b-16+8\text i=-4+9\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ b-4(4-2\text i)=-4+9\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{b=12+\text i}}$

Par conséquent, pour tout nombre complexe $\overset{ { \white{ _. } } } { z,\quad \boxed{Q(z)=4z^2+(12+\text i)z+11-2\text i} }$ .

1. c) Nous devons calculer : $\overset{ { \white{ _. } } } { (4+7\text i)^2 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $(4+7\text i)^2=4^2+2\times4\times7\text i+7^2\,\text i^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{(4+7\text i)^2}=16+56\text i-49} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{(4+7\text i)^2}=-33+56\text i} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{(4+7\text i)^2=-33+56\text i}$

1. d) Nous devons en déduire la résolution dans l'ensemble des nombres complexes de l'équation : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(z)=0 }$ .

$P(z)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \Big(z^2-(4-2\text i)z+4-4\text i\Big)\Big(4z^2+(12+\text i)z+11-2\text i\Big)=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(z)=0 } \quad\Longleftrightarrow\quad z^2-(4-2\text i)z+4-4\text i=0\quad\text{ ou }\quad 4z^2+(12+\text i)z+11-2\text i=0 }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Résolvons l'équation : $\overset{ { \white{ _. } } } { z^2-(4-2\text i)z+4-4\text i=0 }$

Discriminant de l'équation :

${ \white{ xxi } }$ $\Delta=[-(4-2\text i)]^2-4\times1\times(4-4\text i) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Delta}=16-16\text i-4-16+16\text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Delta}=-4} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Delta}=(2\text i)^2}$

Solutions de l'équation :

${ \white{ xxi } }$ $\checkmark\checkmark\quad z_1=\dfrac{(4-2\text i)+2\text i}{2}=\dfrac{4}{2}=2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_1=2} \\\checkmark\checkmark\quad z_2=\dfrac{(4-2\text i)-2\text i}{2}=\dfrac{4-4\text i}{2}=2-2\text i\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_2=2-2\text i}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Résolvons l'équation : $\overset{ { \white{ _. } } } { 4z^2+(12+\text i)z+11-2\text i=0 }$

Discriminant de l'équation :

${ \white{ xxi } }$ $\Delta=(12+\text i)^2-4\times4\times(11-2\text i) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Delta}=144+24\text i-1-176+32\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Delta}=-33+56\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Delta}=(4+7\text i)^2}\quad\text{(voir question 1. c)}$

Solutions de l'équation :

${ \white{ xxi } }$ $\checkmark\checkmark\quad z_3=\dfrac{-(12+\text i)-(4+7\text i)}{2\times4}=\dfrac{-16-8\text i}{8}=-2-\text i\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_3=-2-\text i} \\\overset{ { \white{ _. } } } { \checkmark\checkmark\quad z_4=\dfrac{-(12+\text i)+(4+7\text i)}{2\times4}=\dfrac{-8+6\text i}{8}=-1+\dfrac 34\text i\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_4=-1+\dfrac 34\text i}}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { P(z)=0}$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\left\lbrace 2\; ,\; 2-2\text i\; ,\; -2-\text i\; ,\; -1+\dfrac34\text i\right\rbrace} }$

2. a) Nous devons justifier que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A , B , C }$ et $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { D }$ ont respectivement pour affixes $\overset{ { \white{ _. } } } {2 , 2-2\text i , -2-\text i }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { -1+\dfrac34\text i }$ .

Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { z_A\in\R }$ .
D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{z_A=2} }$ .

De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}\text{Re}(2-2\text i)=2\\\text{Re}(-2-\text i)=-2\\\text{Re}(-1+\dfrac 34\text i)=-1\\ \text{Re}(z_C)<\text{Re}(z_D)<\text{Re}(z_B)\\-2<-1<2 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\begin{cases}z_C=-2-\text i\\z_D=-1+\dfrac 34\text i\\z_B=2-2\text i \end{cases}} }$

Dès lors, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A , B , C }$ et $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { D }$ ont respectivement pour affixes $\overset{ { \white{ _. } } } {2 , 2-2\text i , -2-\text i }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { -1+\dfrac34\text i }$ .

2. b) Nous devons placer les points $\overset{ { \white{ . } } } { A , B , C }$ et $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { D }$ dans le plan muni d'un repère, puis justifier que le quadrilatère $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCD }$ est un trapèze.

Calculons l'affixe des vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AD} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{BC} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad z_{\overrightarrow{AD}}=z_D-z_A \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\quad z_{\overrightarrow{AD}}}=\left(-1+\dfrac 34\text i\right)-2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\quad z_{\overrightarrow{AD}}}=-3+\dfrac 34\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_{\overrightarrow{AD}}=-3+\dfrac 34\text i}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad z_{\overrightarrow{BC}}=z_C-z_B \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\quad z_{\overrightarrow{BC}}}=\left(-2-\text i\right)-(2-2\text i)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\quad z_{\overrightarrow{BC}}}=-4+\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_{\overrightarrow{BC}}=-4+\text i}$

Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { z_{\overrightarrow{AB}}=\dfrac 34\,z_{\overrightarrow{BC}} }$ .

Les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AD} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{BC} }$ sont donc colinéaires.
Dès lors, les droites $\overset{ { \white{ } } } { (AD) }$ et $\overset{ { \white{ } } } {(BC) }$ sont parallèles.

Par conséquent, le quadrilatère $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCD }$ est un trapèze.

3. a) Nous devons déterminer l'écriture complexe de la similitude $\overset{ { \white{ _. } } } { \sigma }$ .

L'écriture complexe d'une rotation de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ d'affixe $\overset{ { \white{ _. } } } { \omega }$ et d'angle $\overset{ { \white{ _. } } } { \theta }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { z' - \omega = \text e^{i\theta}(z - \omega) }$ .

Le centre de la similitude $\overset{ { \white{ _. } } } { \sigma }$ est le point $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ d'affixe $\overset{ { \white{ _. } } } { z_A=2 }$ .
L'angle de la similitude $\overset{ { \white{ _. } } } { \sigma }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \theta=-\dfrac{\pi}{2} }$ .

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $z'-z_A=\text e^{-\text i\frac{\pi}{2}}(z-z_A)\quad\Longleftrightarrow\quad z'-2=-\text i\,(z-2) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z'-z_A=\text e^{-\text i\frac{\pi}{2}}(z-z_A)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-2=-\text i\,z+2\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z'-z_A=\text e^{-\text i\frac{\pi}{2}}(z-z_A)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z'=-\text i\,z+2+2\text i}}$

L'écriture complexe de la similitude $\overset{ { \white{ _. } } } { \sigma }$ est donc similitude $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{z'=-\text i\,z+2+2\text i} }$

3. b) Nous devons construire le point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ sur la figure.

Par définition, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ est l'image du point $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ par la rotation $\overset{ { \white{ . } } } { \sigma }$ de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } { -\dfrac{\pi}{2} }$ .
Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $z_E = -\text{i}z_B + 2 + 2\text{i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_E }= -\text{i}(2-2\text i) + 2 + 2\text{i} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_E }= -2\text{i}-2 + 2 + 2\text{i} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_E }=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_E=0}$

Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ est l'origine $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ du repère.

La construction du point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ se réalise en appliquant la définition de ce $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ .

probleme 2

Pour optimiser le circuit des camions, la municipalité a élaboré un modèle de coût mensuel de collecte en fonction de la distance parcourue.
Un programme informatique permet de suivre en temps réel l'évolution des coûts, grâce à l'analyse des données collectées par les capteurs installés sur les véhicules.
L'objectif est de garantir que le budget de 500 000 francs CFA alloué à la collecte ne soit pas dépassé.
La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ modélisant ce coût est la solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) :~y''-2y'+y=-x+8 }$
vérifiant $\overset{ { \white{ _. } } } { f(3)=3 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(3)=0 }$ .
$\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) }$ (en centaines de milliers de francs CFA) en fonction de la distance $\overset{ { \white{ x. } } } { x }$ (en centaines de km) parcourue par les camions.
On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C_f) }$ , la courbe représentative de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Omega;\vec e_1,\vec e_2) }$ .

4. a) Nous devons justifier que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi(x)=-x+6 }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

Pour tout réel $\overset{ { \white{ x. } } } { x }$ , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\varphi(x)=-x+6\quad\Longrightarrow\quad \varphi'(x)=-1\quad\Longrightarrow\quad \varphi''(x)=0$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\varphi''(x)-2 \varphi'(x)+ \varphi(x)=0-2\times(-1)+(-x+6) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \varphi''(x)-2 \varphi'(x)+ \varphi(x)}=2-x+6 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \varphi''(x)-2 \varphi'(x)+ \varphi(x)}=-x+8} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad \varphi''(x)-2 \varphi'(x)+ \varphi(x)=-x+8}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi(x)=-x+6 }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

4. b) Nous devons démontrer qu'une fonction $\overset{ { \white{ g } } } { g }$ dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ si et seulement si $\overset{ { \white{g } } } { g-\varphi }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { y''-2y'+y=0 }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Démontrons d'une part que si $\overset{ { \white{ g } } } { g }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ , alors $\overset{ { \white{ g } } } { g-\varphi }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { y''-2y'+y=0 }$ .

Puisque nous supposons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $g''(x)-g'(x)+g(x)=-x+8$ .

De même, nous avons montré que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { \varphi }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ et par suite, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\varphi''(x)-\varphi'(x)+\varphi(x)=-x+8$ .

Soustrayons membre à membre les deux égalités.

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\Big(g''(x)-g'(x)+g(x)\Big)-\Big(\varphi''(x)-\varphi'(x)+\varphi(x)\Big)=(-x+8)-(-x+8) \\ {\white{\Big(g''(x)-g'(x)+g(x)\Big)-}}\Updownarrow \\\Big(g''(x)-\varphi''(x)\Big)-\Big(g'(x)-\varphi'(x)\Big)+\Big(g(x)-\varphi(x)\Big)=0 \\ {\white{\Big(g''(x)-g'(x)+g(x)\Big)-}} \Updownarrow \\ (g-\varphi)''(x)-(g-\varphi)'(x)+(g-\varphi)(x)=0$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { g-\varphi }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { y''-2y'+y=0 }$ .

Nous venons ainsi de démontrer que si $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ , alors $\overset{ { \white{ _. } } } { g-\varphi }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { y''-2y'+y=0 }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Démontrons d'autre part que si $\overset{ { \white{ _. } } } { g-\varphi }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { y''-2y'+y=0 }$ , alors $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

Puisque nous supposons que $\overset{ { \white{ _. } } } { g-\varphi }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { y''-2y'+y=0 }$ , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $(g-\varphi)''(x)-2(g-\varphi)'(x)+(g-\varphi)(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad g''(x)-\varphi''(x)-2g'(x)+2\varphi'(x)+g(x)-\varphi(x)=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (g-\varphi)''(x)-2(g-\varphi)'(x)+(g-\varphi)(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad g''(x)-2g'(x)+g(x)=\varphi''(x)-2\varphi'(x)+\varphi(x)}$

Or, nous avons montré dans la question 4. a) que $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi''(x)-2\varphi'(x)+\varphi(x)=-x+8 }$

Dès lors, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } {g''(x)-2g'(x)+g(x)=-x+8 }$ .

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

Nous venons ainsi de démontrer que si $\overset{ { \white{ _. } } } { g-\varphi }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { y''-2y'+y=0 }$ , alors $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, une fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { g-\varphi }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { y''-2y'+y=0 }$ .

4. c) Nous devons en déduire les solutions de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

Nous avons montré dans la question précédente que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { f-\varphi }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { y''-2y'+y=0 }$ .
Dès lors, les solutions de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ sont de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=h(x)+\varphi(x) }$ où la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est la solution générale de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y''-2y'+y=0 }$ .

Déterminons l'expression analytique de $\overset{ { \white{ _. } } } { h(x) }$ .

L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { y''-2y'+y=0 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { r^2-2r+1=0 }$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { (r-1)^2=0 }$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } { r=1 }$ est une racine double de l'équation caractéristique.
Il s'ensuit que la solution générale de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y''-2y'+y=0 }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { h(x)=(ax+b)\text e^x\qquad (a\in\R,b\in\R) }$

Par conséquent, les solutions de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ sont de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=(ax+b)\text e^x+\varphi(x) }$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{f(x)=(ax+b)\text e^x-x+6} }$ .

4. d) Nous devons justifier que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est définie par : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=(x-3)e^{x-3}-x+6 }$ .

Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(3)=3 }$ et que $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(3)=0 }$ .

Nous avons montré que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=(ax+b)\text e^x-x+6 }$ .
Calculons $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ .
Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x \in\R }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big((ax+b)\text e^x-x+6\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=(ax+b)'\times\text e^x+(ax+b)\times(\text e^x)'-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=a\times\text e^x+(ax+b)\times\text e^x-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=(a+ax+b)\times\text e^x-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=(ax+a+b)\,\text e^x-1}$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} f(3)=3\\f'(3)=0 \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}(3a+b)\,\text e^3-3+6=3\\ (3a+a+b)\,\text e^3-1=0 \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} f(3)=3\\f'(3)=0 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}(3a+b)\,\text e^3=0\\ (3a+a+b)\,\text e^3=1 \end{cases}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} f(3)=3\\f'(3)=0 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}(3a+b)\,\text e^3=0\\ (3a+b)\,\text e^3+a\text e^3=1 \end{cases}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} f(3)=3\\f'(3)=0 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}(3a+b)\,\text e^3=0\\a\text e^3=1 \end{cases}}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} f(3)=3\\f'(3)=0 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}(3a+b)\,\text e^3=0\\a=\text e^{-3} \end{cases}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} f(3)=3\\f'(3)=0 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}(3\text e^{-3}+b)\,\text e^3=0\\a=\text e^{-3} \end{cases}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} f(3)=3\\f'(3)=0 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}3+b\,\text e^3=0\\a=\text e^{-3} \end{cases}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} f(3)=3\\f'(3)=0 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}b=-3\,\text e^{-3}\\a=\text e^{-3} \end{cases}}$

Dès lors, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est définie par : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=(\text e^{-3}x-3\,\text e^{-3})e^{x}-x+6 }$ , soit par $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{f(x)=(x-3)e^{x-3}-x+6} }$ .

5. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ x } } } { x }$ élément de $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ élément de $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big((x-3)\text e^{x-3}-x+6\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=(x-3)'\times\text e^{x-3}+(x-3)\times(\text e^{x-3})'-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=1\times\text e^{x-3}+(x-3)\times\text e^{x-3}-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=(x-2)\times\text e^{x-3}-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=(x-2)\,\text e^{x-3}-1}$

${ \white{ xxi } }$ $f''(x)=\Big((x-2)\,\text e^{x-3}-1\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f''(x)}=(x-2)'\times \,\text e^{x-3}+(x-2)\times(\text e^{x-3})' } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f''(x)}=1\times \,\text e^{x-3}+(x-2)\times\text e^{x-3} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f''(x)}=(1+x-2)\times\text e^{x-3} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f''(x)}=(x-1)\times\text e^{x-3} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f''(x)=(x-1)\,\text e^{x-3} }$

5. b) Nous devons étudier les variations de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ .

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x) }$ .

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ , le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { (x-1) }$ .

De plus,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\lim\limits_{x\to-\infty}(x-2)=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text e^{x-3}=0 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}(x-2)\,\text e^{x-3}=0 \quad(\text{croissances comparées}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\lim\limits_{x\to-\infty}(x-2)=-\infty\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}\Big((x-2)\,\text e^{x-3}-1\Big)=-1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\lim\limits_{x\to-\infty}(x-2)=-\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f'(x)=-1} }$

$\begin{cases}\lim\limits_{x\to+\infty}(x-2)=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{x-3}=+\infty\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}(x-2)\,\text e^{x-3}=+\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\lim\limits_{x\to+\infty}(x-2=+\infty\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\Big((x-2)\,\text e^{x-3}-1\Big)=+\infty } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\lim\limits_{x\to+\infty}(x-2)=+\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=+\infty} }$

Nous pouvons ainsi dresser le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ .

$\begin{matrix}x-1> 0\quad\Longleftrightarrow\quad x>1\\\\x-1= 0\quad\Longleftrightarrow\quad x=1\\\\x-1 < 0\quad\Longleftrightarrow\quad x < 1\\\\f'(1)=-\text e^{-2}-1\approx -1,14\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&-\infty&&1&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\x-1&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &&&&&\\ f''(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &-1&&&&+\infty\\ f'&&\searrow&&\nearrow&\\&&&-\text e^{-2}-1&&\\\hline \end{array}$

5. c) Nous devons démontrer que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)=0 }$ admet une solution unique qu'il faudra préciser.

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]-\infty\;;\;1] }$ .
De plus $\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}f'(x)=-1<0 }$ .
Nous en déduisons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)=0 }$ n'admet pas de solution dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]-\infty\;;\;1] }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;+\infty[ }$ .
De plus $\overset{ { \white{ _. } } } { f'( [1\;;\;+\infty[)=[-\text e^{-2}-1\;;\;+\infty[ }$ .
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { 0\in=[-\text e^{-2}-1\;;\;+\infty[ }$
Nous en déduisons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)=0 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;+\infty[ }$ .

Précisons la valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } {\alpha }$ .
Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ appartient à l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;+\infty[ }$ .

Testons les valeurs successives de $\overset{ { \white{ _. } } } {f'(1), f'(2), f'(3) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $f'(1)=(1-2)\,\text e^{1-3}-1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(1) } =-\text e^{-2}-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(1) } \approx -1,14} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{f'(1)\approx-1,14<0}$

${ \white{ xxi } }$ $f'(2)=(2-2)\,\text e^{2-3}-1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(2) } =0-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(2) } =-1} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{f'(2)=-1<0}$

${ \white{ xxi } }$ $f'(3)=(3-2)\,\text e^{3-3}-1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(3) } =\text e^0-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(3) } =1-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(3) } =0} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{f'(3)=0}$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } {\alpha = 3 }$ .

Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)=0 }$ admet une solution unique $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\alpha=3} }$ .

5. d) Nous devons déterminer le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\R }$ .

Complétons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ dressé à la question 5. b).

Nous pouvons ainsi en déduire le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\R }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad \forall\,x\in\,]-\infty\;;\;3[,\quad f'(x)<0 \\\overset{ { \white{ _. } } } {\bullet\quad f'(3)=0 } \\\overset{ { \white{ _. } } } {\bullet\quad \forall\,x\in\,]3\;;\;+\infty[,\quad f'(x)>0 }$

5. e) Nous devons achever l'étude des variations de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,x\in\,]-\infty\;;\;3[,\quad f'(x)<0 }$
Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement décroissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } {]-\infty\;;\;3] }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,x\in\,]3\;;\;+\infty[,\quad f'(x)>0 }$
Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } {[3\;;\;+\infty[ }$ .

6. a) Nous devons étudier les branches infinies de la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C_f) }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Étudions les branches infinies de la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C_f) }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } {{\red{-\infty}}}$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to-\infty} (x-3)\,\text e^{x-3}=\lim\limits_{X\to-\infty}X\,\text e^{X} =0\\ {\white{WWWW}}(\text{croissances comparées)}\\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to-\infty} (-x+6)=+\infty} \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty} \Big((x-3)\,\text e^{x-3}-x+6\Big)=+\infty$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty } }$ .

De plus, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)-(-x+6))= \lim\limits_{x\to-\infty} (x-3)\,\text e^{x-3}=0$

Par conséquent, la droite d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y=-x+6 }$ est une asymptote oblique à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C_f) }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Étudions les branches infinies de la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C_f) }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } {{\red{+\infty}}} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ _. } } } {\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) =\lim\limits_{x\to+\infty} (x-3)\,\text e^{x-3}-x+6 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) }=\lim\limits_{x\to+\infty} (x-3)\Big(\text e^{x-3}-\dfrac{x-6}{x-3}\Big) }$

${ \white{ xxi } }$ Or $\begin{cases}\lim\limits_{x\to+\infty} (x-3)=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} \text e^{x-3}=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x-6}{x-3}=\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x}{x}=1\end{cases}$

${ \white{ xxi } }$ D'où $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) =+\infty}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ _. } } } {\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{(x-3)\,\text e^{x-3}-x+6}{x} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) }=\lim\limits_{x\to+\infty} \left(\dfrac{x-3}{x}\,\text e^{x-3}-\dfrac{x}{x}+\dfrac{6}{x}\right) }$

${ \white{ xxi } }$ Or $\begin{cases}\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x-3}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x}{x}=1\\\lim\limits_{x\to+\infty} \text e^{x-3}=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x}{x}=1\\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{6}{x}=0}\end{cases}$

${ \white{ xxi } }$ D'où $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x} =+\infty}$

Par conséquent, la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C_f) }$ admet une branche parabolique de direction $\overset{ { \white{ _. } } } { (Oy) }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty }$ .

6. b) Nous devons construire $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C_f) }$ .

6. c) Nous devons préciser le coût minimal du traitement des déchets et la distance parcourue par les camions correspondant à ce coût.

Le coût minimal du traitement des déchets est donné par le minimum de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ et la distance parcourue par les camions correspondant à ce coût est donnée par la valeur de $\overset{ { \white{ x } } } { x }$ pour laquelle ce minimum existe.

Nous avons montré dans la question 5. e) que pour $\overset{ { \white{ _. } } } { x=3 }$ , la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ cesse de décroître pour croître.
La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ admet donc un minimum pour $\overset{ { \white{ _. } } } { x=3 }$ .

Ce minimum est égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { f(3)=(3-3)e^{3-3}-3+6=3 } }$ .

Par conséquent, le coût minimal est de 3 centaines de milliers de francs CFA pour une distance parcourue de 3 centaines de km.

Autrement dit, le coût minimal est de 300 000 FCFA pour une distance parcourue de 300 km.

6. d) En utilisant la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C_f) }$ , nous devons indiquer l'intervalle dans lequel se situe la distance à parcourir par les camions pour que le budget ne soit pas dépassé.

Nous devons donc déterminer graphiquement l'ensemble des valeurs de $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ telles que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)\leq 5 }$ .

Avec la précision permise par le graphique, l'intervalle dans lequel se situe la distance à parcourir par les camions pour que le budget ne soit pas dépassé est l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0,8\;;\;4] }$ , ce qui signifie que cette distance est comprise entre 80 km et 400 km.

probleme 3

Dans le nouveau centre de recyclage, la grue se déplace dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct.

$\overset{ { \white{ _. } } } { \bullet\white w }$ La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ de représentation paramétrique : $\overset{ { \white{ _. } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\end{matrix}\right.\quad(t\in\mathbb R) }$ est la trajectoire empruntée par des tapis roulants amenant les déchets vers la zone de tri.
$\overset{ { \white{ _. } } } { \bullet\white w }$ la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ de système d'équations cartésiennes : $\overset{ { \white{ _. } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x-y+2z-3=0\\x+y-z=0\end{matrix}\right. }$ est la trajectoire suivant laquelle les conteneurs sont rechargés.

Pour des raisons d'ergonomie et d'optimisation énergétique, la direction de la grue doit être choisie de sorte qu'elle soit perpendiculaire aux droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ .

7. Nous devons démontrer que les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {(D') }$ sont non coplanaires.

$\overset{ { \white{ _. } } } { \longrightarrow\white w }$ Démontrons que les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {(D') }$ ne sont pas parallèles.

La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ admet une représentation paramétrique donnée par : $\overset{ { \white{ _. } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\end{matrix}\right.\quad(t\in\mathbb R) }$
Dès lors, un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow {u}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix} }$
Déterminons un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ .
La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ est définie par le système d'équations cartésiennes : $\overset{ { \white{ _. } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x-y+2z-3=0\\x+y-z=0\end{matrix}\right. }$
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { z=k }$ .

Le système d'équations s'écrit alors :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}x-y+2k-3=0\\x+y-k=0\\z=k\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x-y=3-2k\\x+y=k\\z=k\end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\begin{cases}x-y+2k-3=0\\x+y-k=0\end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}(x-y)+(x+y)=(3-2k)+k\\ (x-y)-(x+y)=(3-2k)-k\\z=k\end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\begin{cases}x-y+2k-3=0\\x+y-k=0\end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}2x=3-k\\-2y=3-3k\\z=k\end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\begin{cases}x-y+2k-3=0\\x+y-k=0\end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x=\dfrac 32-\dfrac 12k\\y=-\dfrac 32+\dfrac 32k\\z=k\end{cases} }$
Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ admet une représentation paramétrique de la forme :

$\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}x=\dfrac 32-\dfrac 12k\\y=-\dfrac 32+\dfrac 32k\\z=k\end{cases} \qquad(k\in\R) }$
Nous en déduisons qu'un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow {w}\begin{pmatrix}-\dfrac 12\\\overset{ { \white{ m. } } } { \dfrac 32}\\\overset{ { \white{ m. } } } { 1}\end{pmatrix} }$ ou ses multiples non nuls.
Dès lors un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow {v}\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix} }$ .
Les vecteurs $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow {u}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix} }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow {v}\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix} }$ ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.
En effet, $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{1}{-1}\neq \dfrac{-2}{3} }$

Par conséquent, les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ ne sont pas parallèles.

$\overset{ { \white{ _. } } } { \longrightarrow\white w }$ Démontrons que les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {(D') }$ ne sont pas sécantes.

Résolvons le système constitué par les équations des droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\x-y+2z-3=0\\x+y-z=0\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\ (-1+t)-(3-2t)+2(-1+3t)-3=0\\ (-1+t)+(3-2t)-(-1+3t)=0\end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\x-y+2z-3=0\\x+y-z=0\end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\-9+9t=0\\3-4t=0\end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\x-y+2z-3=0\\x+y-z=0\end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\ {\red{t=1}}\\ {\red{t=\dfrac 34}}\end{cases} }$

Le système est impossible puisque $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ ne peut pas prendre simultanément deux valeurs distinctes.
Les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ ne possèdent donc pas de point commun.
Par conséquent, les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ ne sont pas sécantes.

$\overset{ { \white{ _. } } } { \longrightarrow\white w }$ Puisque les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ ne sont ni parallèles, ni sécantes, nous en déduisons que ces droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ ne sont pas coplanaires.

8. a) Nous devons justifier qu'une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ contenant la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et parallèle à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { 13x+5y-z-3=0 }$ .

$\overset{ { \white{ _. } } } { \longrightarrow\white w }$ Vérifions que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ est incluse au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ .

Montrons que la représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ vérifie l'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ pour toutes les valeurs de $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\13x+5y-z-3=0\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 13(-1+t)+5(3-2t)-(-1+3t)-3=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\\13x+5y-z-3=0\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad -13+13t+15-10t+1-3t-3=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}13x+5y-z-3=0\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\,t=0}}$

Puisque l'égalité $\overset{ { \white{ _. } } } { 0\,t=0 }$ est vérifiée pour toute les valeurs de $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ , nous en déduisons que tous les points de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ appartiennent au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ .

Dès lors, le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ contient la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ .

$\overset{ { \white{ _. } } } { \longrightarrow\white w }$ Vérifions que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ est parallèle au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ .

La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ est parallèle au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ si un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ est orthogonal à un vecteur normal de $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ .

Nous avons montré dans la question 7. qu'un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow {v}\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix} } }$ .
Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { 13x+5y-z-3=0 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {n}\begin{pmatrix}13\\5\\-1\end{pmatrix} } }$ .
Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{v} }$ est orthogonal à $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}=-1\times13+3\times5+2\times(-1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}}=-13+15-2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}=0}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{v} }$ est orthogonal à $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n} }$ et par suite, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ est parallèle au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ .

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ contenant la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et parallèle à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { 13x+5y-z-3=0 }$ .

8. b) Nous devons justifier qu'une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P') }$ contenant la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ et perpendiculaire à $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { -13x+25y-44z+57=0 }$ .

$\overset{ { \white{ _. } } } { \longrightarrow\white w }$ Vérifions que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ est incluse au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P') }$ .

Montrons que deux points de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ appartiennent au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P') }$ .

Nous avons montré dans la question 7. qu'une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}x=\dfrac 32-\dfrac 12k\\y=-\dfrac 32+\dfrac 32k\qquad(k\in\R)\\z=k\end{cases} }$

Donnons deux valeurs à $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ pour déterminer les coordonnées de deux points de $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\bullet \quad k=0\quad\Longrightarrow \quad \begin{cases}x=\dfrac 32\\y=-\dfrac 32\\z=0\end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet \quad k=0}\quad\Longrightarrow \quad \boxed{A\,\left(\dfrac 32\;;\;-\dfrac 32\;;\;0\right)\in(D')} }$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet \quad k=2\quad\Longrightarrow \quad \begin{cases}x=\dfrac 32-1\\y=-\dfrac 32+3\\z=2\end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet \quad k=2}\quad\Longrightarrow \quad \begin{cases}x=\dfrac 12\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { y=\dfrac 32}\\z=2\end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet \quad k=2}\quad\Longrightarrow \quad \boxed{B\,\left(\dfrac 12\;;\; \dfrac 32\;;\;2\right)\in(D')} }$

Montrons que les coordonnées des points $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ vérifient l'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { (P') }$ .

${ \white{ xxi } }$ $-13\times\dfrac 32+25\times\left(-\dfrac 32\right)-44\times 0+57=-\dfrac{39}{2}-\dfrac{75}{2}+57 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{-13\times\dfrac 32+25\times\left(-\dfrac 32\right)-44\times 0+57 } }=-\dfrac{114}{2}+57 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -13\times\dfrac 32+25\times(-\dfrac 32)-44\times 0+57 } =0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{A\in (P')}$

${ \white{ xxi } }$ $-13\times\dfrac 12+25\times\dfrac 32-44\times 2+57=-\dfrac{13}{2}+\dfrac{75}{2}-88+57 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{-13\times\dfrac 12+25\times\dfrac 32-44\times 2+57 } }=31-88+57 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -13\times\dfrac 12+25\times\dfrac 32-44\times 2+57 } =0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{B\in (P')}$

D'où les deux points $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ appartiennent au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P') }$ .
Dès lors, le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P') }$ contient la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ .

$\overset{ { \white{ _. } } } { \longrightarrow\white w }$ Vérifions que le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P') }$ est perpendiculaire au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ .

Le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P') }$ est perpendiculaire au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ si un vecteur normal à $\overset{ { \white{ _. } } } { (P') }$ est orthogonal à un vecteur normal à $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ .

Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { 13x+5y-z-3=0 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow {n}\begin{pmatrix}13\\5\\-1\end{pmatrix} }$ .

Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P') }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { -13x+25y-44z+57=0 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow {n}'\begin{pmatrix}-13\\25\\-44\end{pmatrix} }$ .

Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n}' }$ est orthogonal à $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{n}'\cdot \overrightarrow{n}=-13\times13+25\times5-44\times(-1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n'}}=-169+125+44} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n'}}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{n}'\cdot \overrightarrow{n}=0}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n}' }$ est orthogonal à $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n} }$ et par suite, le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P') }$ est perpendiculaire au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ .

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P') }$ contenant la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ et perpendiculaire à $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { -13x+25y-44z+57=0 }$ .

8. c) Nous devons déterminer les coordonnées du point d'intersection $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { (P') }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ .

Résolvons le système d'équations constitué par la représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et l'équation cartésienne de $\overset{ { \white{ _. } } } { (P') }$ .

$\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\ -13x+25y-44z+57=0\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\-13(-1+t)+25(3-2t)-44(-1+3t)+57=0\end{cases}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\ -13x+25y-44z+57=0 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\189-195t=0\end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\ -13x+25y-44z+57=0 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\t=\dfrac{189}{195}=\dfrac{63}{65}\end{cases} }$
$.\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\ -13x+25y-44z+57=0 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x=-1+\dfrac{63}{65}\\y=3-2\times \dfrac{63}{65}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } {z=-1+3\times \dfrac{63}{65}}\\t=\dfrac{63}{65}\end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\\ -13x+25y-44z+57=0 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x=-\dfrac{2}{65}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } {y= \dfrac{69}{65}}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } {z=\dfrac{124}{65}}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { t=\dfrac{63}{65}}\end{cases} }$

Par conséquent, les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ sont $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\left(-\dfrac{2}{65}\;;\;\dfrac{69}{65}\;;\;\dfrac{124}{65}\right)} }$ .

9. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { (D_1) }$ la droite passant par le point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ et orthogonale à $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ .

9. a) Nous devons démontrer que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D_1) }$ est perpendiculaire à $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et à $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ .

La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D_1) }$ est orthogonale au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ .
Donc un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { (D_1) }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { 13x+5y-z-3=0 }$ .
Nous en déduisons qu'un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { (D_1) }$ est $\overset{ { \white{ .} } } { \overrightarrow {n}\begin{pmatrix}13\\5\\-1\end{pmatrix} }$ .

De plus, un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ est $\overset{ { \white{ } } } { \overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow {u}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix} } }$ et un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overset{ { \white{ . } } } { \overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {v}\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix} } } }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=13\times1+5\times(-2)-1\times3 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}}=13-10-3} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=0}$

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}=13\times(-1)+5\times3-1\times2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}}=-13+15-2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}=0}$

Nous en déduisons que le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n} }$ est orthogonal aux vecteurs $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{u} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{v} }$ .
Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D_1) }$ est perpendiculaire à $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et à $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ .

9. a) Nous devons préciser un repère de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Delta) }$ indiquant la direction du mouvement de la grue.

La direction du mouvement de la grue est donnée par la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Delta)=(D_1) }$ car la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (D_1) }$ est perpendiculaire aux deux trajectoires $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (D') }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { \overset{ { \white{ _. } } } { I\,\left(-\dfrac{2}{65}\;;\;\dfrac{69}{65}\;;\;\dfrac{124}{65}\right)} }$ appartient à $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Delta) }$ par définition de $\overset{ { \white{ _. } } } { (D_1) }$ .

L'origine du repère de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Delta) }$ est déterminée par le point $\overset{ { \white{ _. } } } { \overset{ { \white{ _. } } } { I\,\left(-\dfrac{2}{65}\;;\;\dfrac{69}{65}\;;\;\dfrac{124}{65}\right)} }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Delta) }$ .

Puisque la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Delta) }$ est orthogonale au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ , un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Delta) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {n}\begin{pmatrix}13\\5\\-1\end{pmatrix} }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, un repère de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Delta) }$ indiquant la direction du mouvement de la grue est $\overset{ { \white{ _. } } } { (I,\overrightarrow{n}) }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ a pour coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { \left(-\dfrac{2}{65}\;;\;\dfrac{69}{65}\;;\;\dfrac{124}{65}\right) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {n} }$ a pour coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{pmatrix}13\\5\\-1\end{pmatrix} }$ .
_{Merci à Hiphigenie et malou pour avoir élaboré cette fiche.}

Publié par malou le 25-05-2026

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