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Ile mathématiques > maths bac > BAC 2025 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac 2025 Benin série D

Durée : 4 heures

$\bullet\white w$ Les trois problèmes sont obligatoires.

$\bullet\white w$ Seules les traces écrites figurant sur la copie seront prises en compte.

$\bullet\white w$ Une attention particulière sera portée à la clarté et à la précision des raisonnements.

$\bullet\white w$ Seules les calculatrices non-graphiques et non-programmables sont autorisées.

SITUATION D'ÉVALUATION

Contexte : « EcoTognon, la ville écologique »

Le conseil municipal de Tognon s'est lancé dans un projet pilote baptisé « EcoTognon », visant à faire de la ville un exemple d'optimisation de la gestion des déchets à l'aide d'outils technologiques et mathématiques de pointe. Trois axes d'innovation ont guidé ce projet :

$\bullet\white w$ La cartographie des points de dépôt.

$\bullet\white w$ La prévision et la maîtrise des coûts de collecte.

$\bullet\white w$ L'automatisation du centre de recyclage avec une grue robotisée.

Les zones de collecte sont assimilées aux points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ et le futur centre de recyclage au point $E$ .

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O\,;\,\vec u,\vec v)$ , les affixes $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ et $z_D$ des points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont les racines du polynôme complexe :

$P(z)=4z^4+(-4+9\text i)z^3+(-23+2\text i)z^2+(12-14\text i)z+36-52\text i$ ,

et soumises aux conditions : $z_A\in\mathbb R$ et $\text{Re}(z_C)<\text{Re}(z_D)<\text{Re}(z_B)$ .

Le point $E$ quant à lui est l'image du point $B$ par la rotation $\sigma$ de centre $A$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ .

Afin de moderniser le circuit des camions, la municipalité a développé un modèle de coût de collecte en fonction de la distance parcourue et le centre de recyclage a été équipé d'une grue capable de déplacer les déchets non recyclables.

Dans ce centre, la trajectoire de la grue modélise une portion d'une droite $(\Delta)$ .

Kodjo, le fils du maire, amateur de sciences et de nouvelles technologies, est impressionné par le projet. Il se préoccupe :

$\bullet\white w$ de connaitre la position des points de collecte et le centre de recyclage ;

$\bullet\white w$ de l'optimisation du coût de la collecte ;

$\bullet\white w$ de la trajectoire suivant laquelle la grue robotisée doit se déplacer.

Tâche : Tu es invité(e) à trouver des réponses aux préoccupations de Kodjo en résolvant les trois problèmes ci-après.

probleme 1

1- a- Calcule : $P(2)$ , $P(-2)$ et $P(2-2\text i)$ .

1- b- Détermine le polynôme $Q$ du second degré tel que pour tout nombre complexe $z$ , $P(z)=\left[z^2-(4-2\text i)z+4-4\text i\right]Q(z)$ .

1- c- Calcule : $(4+7\text i)^2$ .

1- d- Déduis-en la résolution dans l'ensemble des nombres complexes de l'équation : $P(z)=0$ .

2- a- Justifie que les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ ont respectivement pour affixes $2$ , $2-2\text i$ , $-2-\text i$ et $-1+\dfrac34\text i$ .

2- b- Place les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ dans le plan muni d'un repère, puis justifie que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze.

3- a- Détermine l'écriture complexe de la similitude $\sigma$ .

3- b- Construis le point $E$ sur la figure.

probleme 2

Pour optimiser le circuit des camions, la municipalité a élaboré un modèle de coût mensuel de collecte en fonction de la distance parcourue. Un programme informatique permet de suivre en temps réel l'évolution des coûts, grâce à l'analyse des données collectées par les capteurs installés sur les véhicules. L'objectif est de garantir que le budget de $500~000$ francs CFA alloué à la collecte ne soit pas dépassé.

La fonction $f$ modélisant ce coût est la la solution de l'équation différentielle $(E) :~y''-2y'+y=-x+8$

vérifiant $f(3)=3$ et $f'(3)=0$ .

$f(x)$ (en centaines de milliers de francs CFA) en fonction de la distance $x$ (en centaines de km) parcourue par les camions.

On désigne par $(\mathcal C_f)$ , la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(\Omega;\vec e_1,\vec e_2)$ .

4- a- Justifie que la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb R$ par $\varphi(x)=-x+6$ est solution de $(E)$ .

4- b- Démontre qu'une fonction $g$ dérivable sur $\mathbb R$ est solution de $(E)$ , si et seulement si, $g-\varphi$ est solution de l'équation différentielle $y''-2y'+y=0$ .

4- c- Déduis-en les solutions de l'équation $(E)$ .

4- d- Justifie que la fonction $f$ est définie par : $f(x)=(x-3)e^{x-3}-x+6$ .

5- a- Calcule $f'(x)$ et $f''(x)$ pour tout $x$ élément de $\mathbb R$ .

5- b- Étudie les variations de la fonction $f'$ .

5- c- Démontre que l'équation $f'(x)=0$ admet une solution unique que tu préciseras.

5- d- Détermine le signe de $f'(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$ .

5- e- Achève l'étude des variations de $f$ .

6- a- Étudie les branches infinies de la courbe $(\mathcal C_f)$ .

6- b- Construis $(\mathcal C_f)$ .

6- c- Précise le coût minimal du traitement des déchets et la distance parcourue par les camions correspondant à ce coût.

6- d- En utilisant la courbe $(\mathcal C_f)$ , indique l'intervalle dans lequel se situe la distance à parcourir par les camions pour que le budget ne soit pas dépassé.

probleme 3

Dans le nouveau centre de recyclage, la grue se déplace dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct.

$\bullet\white w$ La droite $(D)$ de représentation paramétrique : $\left\lbrace\begin{matrix}x=-1+t\\y=3-2t\\z=-1+3t\end{matrix}\right.\quad(t\in\mathbb R)$ est la trajectoire empruntée par des tapis roulants amenant les déchets vers la zone de tri.

$\bullet\white w$ la droite $(D')$ de système d'équations cartésiennes : $\left\lbrace\begin{matrix}x-y+2z-3=0\\x+y-z=0\end{matrix}\right.$ est la trajectoire suivant laquelle les conteneurs sont rechargés.

Pour des raisons d'ergonomie et d'optimisation énergétique, la direction de la grue doit être choisie de sorte qu'elle soit perpendiculaire aux droites $(D)$ et $(D')$ .

7- Démontre que les droites $(D)$ et $(D')$ sont non coplanaires.

8- a- Justifie qu'une équation cartésienne du plan $(P)$ contenant la droite $(D)$ et parallèle à la droite $(D')$ est : $13x+5y-z-3=0$ .

8- b- Justifie qu'une équation cartésienne du plan $(P')$ contenant la droite $(D')$ et perpendiculaire à $(P)$ est : $-13x+25y-44z+57=0$ .

8- c- Détermine les coordonnées du point d'intersection $I$ de $(P')$ et $(D)$ .

9- Soit $(D_1)$ la droite passant par le point $I$ et orthogonale à $(P)$ .

9- a- Démontre que la droite $(D_1)$ est perpendiculaire à $(D)$ et à $(D')$ .

9- b- Précise un repère de la droite $(\Delta)$ indiquant la direction du mouvement de la grue.

Publié par malou le 09-03-2026

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