Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2025 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac 2025 Mauritanie

Séries Sciences Expérimentales et TSGE

Durée : 4 heures

3 points

exercice 1

On dispose, à l'intérieur d'un carton, de $120$ fleurs de deux types : parfumées et non parfumées. Certaines de ces fleurs sont blanches et les autres sont rouges. On sait que :

$\bullet\white w$ $25\%$ de fleurs sont parfumées.

$\bullet\white w$ $40\%$ de fleurs parfumées sont rouges.

$\bullet\white w$ $55\%$ de fleurs sont de couleur blanche.

On choisit, au hasard, une fleur et on suppose que toutes les fleurs ont la même probabilité d'être choisies. On considère les évènements suivants :

${\white w }}S$ : « La fleur choisie est parfumée » ;

${\white w }}R$ : « La fleur choisie est de couleur rouge » ;

${\white w }}B$ : « La fleur choisie est de couleur blanche ».

Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des réponses proposées est correcte.

$\begin{array}{|c|l|c|c|c|} \hline N^\circ & \text{Questions} & \text{Réponse A} & \text{Réponse B} & \text{Réponse C} \\ \hline 1 & \text{La probabilité } P(S) \text{ est} & 0,25 & 0,025 & 0,4 \\ \hline 2 & \text{La probabilité } P_S(R) \text{ est} & 0,1 & 0,25 & 0,4 \\ \hline 3 & \text{La probabilité } P(B) \text{ est} & 0,4 & 0,55 & 0,6 \\ \hline 4 & \text{La probabilité } P(B\cap S) \text{ est} & 0,15 & 0,55 & 0,6 \\ \hline 5 & \text{La probabilité } P(B\cap \overline S) \text{ est} & 0,25 & 0,4 & 0,55 \\ \hline 6 & \text{La probabilité } P(S\cap R) \text{ est} & 0,1 & 0,4 & 0,6 \\ \hline \end{array}$

Recopier sur la feuille de réponse et compléter le tableau ci-contre en choisissant la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Question n}^\circ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline \text{Réponse} & & & & & & \\ \hline \end{array}$

5 points

exercice 2

1. Pour tout nombre complexe $z$ on pose : $P(z)=z^3-(2+4\text i)z^2-(2-8\text i)z+4-12\text i$ .

1. a. Calculer les racines carrées du nombre complexe $-8+6\text i$ .

1. b. Résoudre, dans $\mathbb C$ , l'équation $z^2-(3+\text i)z+4=0$ .

1. c. Déterminer le nombre complexe $z_0$ tel que $\forall z\in\mathbb C,;P(z)=(z-z_0)(z^2-(3+\text i)z+4)$ .

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec u,\vec v)$ .

Placer les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=1-\text i$ , $z_B=2+2\text i$ et $z_C=-1+3\text i$ .

3. Pour tout nombre complexe $z\neq1-\text i$ , on pose : $f(z)=\dfrac{z+1-3\text i}{z-1+\text i}$ .

3. a. Vérifier que $f(z_B)=-\text i$ et en déduire la nature du triangle $ABC$ .

3. b. Déterminer et construire l'ensemble de points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit imaginaire pur.

4. Pour tout entier $n\in\mathbb N^*$ , on pose : $z_n=(z_A)^n$ et soit $M_n$ le point d'affixe $z_n$ .

4. a. Déterminer les entiers $n$ pour lesquels le point $M_n$ appartient à l'axe des abscisses.

4. b. Montrer que le point $M_{2025}$ appartient à la droite $(OA)$ .

6 points

exercice 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par : $f(x)=(e^x-x-2)e^{-x}$ .

On note $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$ .

1. a. Montrer que pour tout $x\in\mathbb R$ , $f(x)=1-\dfrac{x+2}{e^x}$ .

1. b. Justifier que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-\infty$ , puis interpréter graphiquement.

1. c. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et en déduire que la courbe $\Gamma$ possède une asymptote horizontale $D$ .

2. Montrer que $\forall x\in\mathbb R,; f'(x)=(x+1)e^{-x}$ . Dresser le tableau de variation de $f$ .

3. Soit $h$ la restriction de $f$ sur l'intervalle $I=[-1,+\infty[$ .

3. a. Montrer que $h$ est une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.

3. b. Dresser le tableau de variation de $h^{-1}$ .

4. a. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet, sur $\mathbb R$ , deux solutions $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha>\beta$ . Justifier que $1{,}1<\alpha<1{,}2$ .

4. b. Construire $D$ , $\Gamma$ et $\Gamma'$ , ( $\Gamma'$ étant la courbe représentative de $h^{-1}$ ).

5. a. À l'aide d'une intégration par parties, calculer la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_0^1 xe^{-x},\text dx$ .

5. b. Calculer l'aire $A$ du domaine délimité par la courbe $\Gamma$ , l'asymptote horizontale $D$ et les deux droites d'équations respectives $x=0$ et $x=1$ .

6 points

exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I=]0,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\ln x}{2x}$ , et soit $(\mathcal C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$ .

1. On considère la fonction $g$ définie sur $I$ par $g(x)=x^2-1+\ln x$ .

1. a. Calculer $g'(x)$ pour tout $x\in I$ et étudier les variations de $g$ .

1. b. Calculer $g(1)$ , puis en déduire le signe de $g$ sur $I$ .

2. a. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ .

2. b. Montrer que $(\mathcal C)$ admet deux asymptotes dont l'une est la droite $\Delta$ d'équation $y=\dfrac{x}{2}$ . Étudier la position relative de $(\mathcal C)$ et $\Delta$ .

3. a. Montrer que $\forall x>0,; f'(x)=\dfrac{g(x)}{2x^2}$ ( $g$ étant la fonction définie à la question 1.).

3. b. En déduire le signe de $f'$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$ .

4. a. Montrer que $(\mathcal C)$ admet une tangente $T$ parallèle à $\Delta$ et en donner une équation.

4. b. Construire la courbe $(\mathcal C)$ , l'asymptote $\Delta$ et la tangente $T$ dans le même repère.

4. c. Discuter graphiquement, suivant les valeurs du paramètre réel $m$ , le nombre de solutions de l'équation $\ln x+2mx=0$ .

5. Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $u_n=f\left(\dfrac{1}{n}\right)$ .

Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante et calculer sa limite.

Voir la correction

Bac 2025 Mauritanie ScEx et TSGE

3 points

exercice 1

On dispose, à l'intérieur d'un carton, de 120 fleurs de deux types : parfumées et non parfumées.
Certaines de ces fleurs sont blanches et les autres sont rouges.
On sait que :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ 25% de fleurs sont parfumées
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ 40% de fleurs parfumées sont rouges.
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ 55% de fleurs sont de couleur blanche.

On choisit, au hasard, une fleur et on suppose que toutes les fleurs ont la même probabilité d'être choisies.
On considère les événements suivants :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ : '' La fleur choisie est parfumée '' ;
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { R }$ : '' La fleur choisie est de couleur rouge '' ;
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ : '' La fleur choisie est de couleur blanche ''.

1. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(S) }$ , soit la probabilité que la fleur choisie soit parfumée .
L'énoncé précise que 25% de fleurs sont parfumées.
Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{P(S)=0,25} }$ .
La réponse correcte est la réponse A.

2. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P_S(R) }$ , soit la probabilité que la fleur choisie soit rouge sachant qu'elle est parfumée .
L'énoncé précise que 40% de fleurs parfumées sont rouges.
Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{P_S(R)=0,4} }$ .
La réponse correcte est la réponse C.

3. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(B) }$ , soit la probabilité que la fleur choisie soit de couleur blanche .
L'énoncé précise que 55% de fleurs sont de couleur blanche.
Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{P(B)=0,55} }$ .
La réponse correcte est la réponse B.

4. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(B\cap S) }$ , soit la probabilité que la fleur choisie soit de couleur blanche et soit parfumée .
Nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(B\cap S)=P(S)\times P_S(B) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(B\cap S)}=P(S)\times (1- P_S(R)}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(B\cap S)}=0,25\times (1- 0,4}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(B\cap S)}=0,15} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(B\cap S)=0,15}$
La réponse correcte est la réponse A.

5. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(B\cap \overline S) }$ , soit la probabilité que la fleur choisie soit de couleur blanche et ne soit pas parfumée .
Nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(B\cap S)+P(B\cap \overline S)=P(B)\quad\Longrightarrow\quad P(B\cap \overline S)=P(B)-P(B\cap S) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(B\cap S)+P(B\cap \overline S)=P(B)\quad\Longrightarrow\quad P(B\cap \overline S)}=0,55-0,15 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(B\cap S)+P(B\cap \overline S)=P(B)\quad\Longrightarrow\quad P(B\cap \overline S)}=0,40 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(B\cap \overline S)=0,4}$
La réponse correcte est la réponse B.

6. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(S\cap R) }$ , soit la probabilité que la fleur choisie soit parfumée et soit de couleur rouge .
Nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(S\cap R)=P(S)\times P_S(R) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(B\cap S)}=0,25\times0,4} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(B\cap S)}=0,10} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(S\cap R)=0,1}$
La réponse correcte est la réponse A.

Résumons les réponses dans un tableau.

${ \white{ xxi } }$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \overset{ { \white{ _. } } } { \text{Question n}^\circ } & \underset{ { \white{ } } } {1} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline \overset{ { \phantom{ _. } } }{\text{Réponse}} & \underset{ { \white{ } } } {{\red{A}}}&{\red{C}} &{\red{B}}&{\red{A}} &{\red{B}} &{\red{A}} \\ \hline \end{array}$

5 points

exercice 2

1. Pour tout nombre complexe $\overset{ { \white{ _. } } } { z }$ on pose : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(z)=z^3-(2+4\text i)z^2-(2-8\text i)z+4-12\text i }$ .

1. a) Nous devons calculer les racines carrées du nombre complexe $\overset{ { \white{ _. } } } { -8+6\text i }$ .

Nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $z=-8+6\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z }=1+6\text i -9 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z }=1+2\times1\times3\text i +(3\text i)^2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z }=(1+3\text i)^2 }$

D'où les racines carrées du nombre complexe $\overset{ { \white{ _. } } } { -8+6\text i }$ sont $\overset{ { \white{ _. } } } { 1+3\text i }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { -1-3\text i }$ .

1. b) Nous devons résoudre, dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \C }$ , l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { z^2-(3+\text i)z+4=0 }$ .

Calculons le discriminant de l'équation

${ \white{ xxi } }$ $\Delta=[-(3+\text i)]^2-4\times 1\times 4 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Delta}=(3+\text i)^2-16 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Delta}=9+6\text i -1-16 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Delta}=-8+6\text i } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \Delta}=(1+3\text i)^2 } \qquad(\text{voir question 1)}$

Calculons les racines de l'équation

${ \white{ xxi } }$ $z_1=\dfrac{3+\text i-1-3\text i}{2}=\dfrac{2-2\text i}{2}=\dfrac{2(1-\text i)}{2}=1-\text i\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_1=1-\text i} \\\\ z_2=\dfrac{3+\text i+1+3\text i}{2}=\dfrac{4+4\text i}{2}=\dfrac{2(2+2\text i)}{2}=2+2\text i\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_2=2+2\text i}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{S=\lbrace 1-\text i\;;\;2+2\text i\rbrace} }$

1. c) Nous devons déterminer le nombre complexe $\overset{ { \white{ . } } } { z_0 }$ tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { \forall z\in\mathbb C,\;P(z)=(z-z_0)(z^2-(3+\text i)z+4) }$ .

Nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $(z-z_0)(z^2-(3+\text i)z+4)=z^3-(3+\text i)z^2+4z-z_0z^2+z_0(3+\text i)z-4z_0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (z-z_0)(z^2-(3+\text i)z+4)}=z^3-(3+\text i+z_0)z^2+[4+z_0(3+\text i)]z-4z_0} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(z)=z^3-(3+\text i+z_0)z^2+[4+z_0(3+\text i)]z-4z_0}$

Dès lors, par identification des coefficients entre les deux expressions de $\overset{ { \white{ _. } } } { P(z) }$ , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}-(3+\text i+z_0)=-(2+4\text i)\\4+z_0(3+\text i)=-(2-8\text i)\\-4z_0=4-12\text i \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}3+\text i+z_0=2+4\text i\\4+3z_0+\text iz_0=-2+8\text i\\ {\red{z_0=-1+3\text i}} \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}-(3+\text i+z_0)=-(2+4\text i)\\4+z_0(3+\text i)=-(2-8\text i)\\-4z_0=4-12\text i \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}3+\text i-1+3\text i=2+4\text i\\4+3(-1+3\text i)+\text i(-1+3\text i)=-2+8\text i\\ {\red{z_0=-1+3\text i}} \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}-(3+\text i+z_0)=-(2+4\text i)\\4+z_0(3+\text i)=-(2-8\text i)\\-4z_0=4-12\text i \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}2+4\text i=2+4\text i\\-2+8\text i=-2+8\text i\\ {\red{z_0=-1+3\text i}} \end{cases} }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ z_0=-1+3\text i } }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\forall z\in\mathbb C,\;P(z)=(z+1-3\text i)(z^2-(3+\text i)z+4) } }$

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } {(O;\vec u,\vec v) }$ .
${ \white{ xx } }$ Nous devons placer les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ d'affixes respectives $\overset{ { \white{ . } } } { z_A=1-\text i,\, z_B=2+2\text i }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { z_C=-1+3\text i }$ .

Bac 2025 Mauritanie ScEx et TSGE : image 6

3. Pour tout nombre complexe $\overset{ { \white{ _. } } } { z\neq1-\text i }$ , on pose : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(z)=\dfrac{z+1-3\text i}{z-1+\text i} }$ .

3. a) Nous devons vérifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(z_B)=-\text i }$ et en déduire la nature du triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ .

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(z_B)=-\text i }$ .

${ \white{ xxi } }$ $f(z_B)=\dfrac{z_B+1-3\text i}{z_B-1+\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)}=\dfrac{2+2\text i+1-3\text i}{2+2\text i-1+\text i}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)}=\dfrac{3-\text i}{1+3\text i}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)}=\dfrac{(3-\text i)(1-3\text i)}{(1+3\text i)(1-3\text i)}}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)}=\dfrac{3-9\text i-\text i-3}{1+9}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)}=\dfrac{-10\text i}{10}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)}=-\text i} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{ f(z_B)=-\text i}$

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ Déterminons la nature du triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ .

Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}f(z)=\dfrac{z+1-3\text i}{z-1+\text i}\\z_C=-1+3\text i\\z_A=1-\text i\\\end{cases}\qud\Longrightarrow\quad \boxed{f(z_B)=\dfrac{z_B-z_C}{z_B-z_A}} }$ .

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $f(z_B)=-\text i\quad\Longrightarrow\quad |f(z_B)|=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(z_B)=-\text i}\quad\Longrightarrow\quad \left|\dfrac{z_B-z_C}{z_B-z_A}\right|=1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(z_B)=-\text i}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{|z_B-z_C|}{|z_B-z_A|}=1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(z_B)=-\text i}\quad\Longrightarrow\quad |z_B-z_C|=|z_B-z_A|} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(z_B)=-\text i}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{CB=AB}}$

Nous en déduisons d'une part que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ est isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ .

De plus,

${ \white{ xxi } }$ $f(z_B)=-\text i\quad\Longrightarrow\quad \arg(f(z_B))\equiv-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi] \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(z_B)=-\text i}\quad\Longrightarrow\quad\arg\left(\dfrac{z_B-z_C}{z_B-z_A}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(z_B)=-\text i}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\Big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}\Big)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]}}$

Nous en déduisons que l'angle en $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ est un angle droit.

Par conséquent, le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ est rectangle et isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ .

3. b) Nous devons déterminer et construire l'ensemble de points $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { M }$ d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ tels que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(z) }$ soit imaginaire pur.

$\overset{ { \white{ _. } } } { f(z) }$ est imaginaire pur si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { \arg(f(z))\equiv \dfrac{\pi}{2}\;[\pi] }$

$\text {Or }\quad\arg(f(z))\equiv-\dfrac{\pi}{2}\;[\pi] \quad\Longrightarrow\quad\arg\left(\dfrac{z-z_C}{z-z_A}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\;[\pi] \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text {Or }\quad\arg(f(z))\equiv-\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\Big(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{CM}\Big)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}}$

Nous en déduisons que l'ensemble cherché est l'ensemble des points $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { M }$ tels que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AMC }$ soit rectangle en $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { M }$ .

Dès lors, l'ensemble de points $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { M }$ d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ tels que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(z) }$ soit imaginaire pur est le cercle de diamètre $\overset{ { \white{ _. } } } { [AC] }$ privé du point $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ (pour que le dénominateur de $\overset{ { \white{ _. } } } { f(z) }$ soit non nul)

Construisons ce cercle.

Le diamètre est le segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AC] }$ .
Le centre de ce cercle est $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ , milieu de $\overset{ { \white{ _. } } } { [AC] }$ .
Donc l'affixe de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { z_\Omega=\dfrac{z_A+z_C}{2} }$

${ \white{ xxi } }$ $z_\Omega=\dfrac{z_A+z_C}{2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{z_\Omega}=\dfrac{1-\text i-1+3\text i}{2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{z_\Omega}=\dfrac{2\text i}{2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{z_\Omega}=\text{i}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_\Omega=\text i}$

D'où la construction du cercle.

Bac 2025 Mauritanie ScEx et TSGE : image 9

4. Pour tout entier $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\mathbb N^* }$ , on pose : $\overset{ { \white{ _. } } } { z_n=(z_A)^n }$ et soit $\overset{ { \white{ _. } } } { M_n }$ le point d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z_n }$ .

4. a) Nous devons déterminer les entiers $\overset{ { \white{ } } } { n\in\mathbb N^* }$ pour lesquels le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M_n }$ appartient à l'axe des abscisses, c'est-à-dire les entiers $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ pour lesquels $\overset{ { \white{ . } } } { z_n }$ est un nombre réel.

Déterminons une expression de $\overset{ { \white{ . } } } { z_n }$ .

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ Écrivons $\overset{ { \white{ . } } } { z_A }$ sous forme exponentielle.

${ \white{ xxi } }$ $z_A= 1-\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_A}= \sqrt 2\left( \dfrac{1}{\sqrt 2}- \dfrac{1}{\sqrt 2}\,\text i\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_A}= \sqrt 2\left( \dfrac{\sqrt 2}{2}- \dfrac{\sqrt 2}{2}\,\text i\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_A}= \sqrt 2\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\text i \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_A=\sqrt 2\,\text e^{-\text i\frac \pi 4}}$

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ Donnons une écriture de $\overset{ { \white{ . } } } { z_n }$ .

${ \white{ xxi } }$ $z_n=(z_A)^n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{z_n}=\left(\sqrt 2\,\text e^{-\text i\frac \pi 4}\right)^n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{z_n}=\left(\sqrt 2\right)^n\,\text e^{-\text i\frac {n\pi} {4}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_n=\left(\sqrt 2\right)^n\,\text e^{-\text i\frac {n\pi} {4}}}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { z_n }$ est un nombre réel si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { \arg(z_n)=k\pi\quad(k\in\Z) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\text {Or }\quad \arg(z_n)=k\pi\quad(k\in\Z)\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac {n\pi} {4}=k\pi\quad(k\in\Z) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text {Or }\quad \arg(z_n)=k\pi\quad(k\in\Z)}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac {n} {4}=k\quad(k\in\Z)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text {Or }\quad \arg(z_n)=k\pi\quad(k\in\Z)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{n=-4k}\quad(k\in\Z)}$

L'énoncé précise que $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N^* }$ .

Donc les entiers $\overset{ { \white{ } } } { n\in\mathbb N^* }$ pour lesquels le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M_n }$ appartient à l'axe des abscisses sont les entiers $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ multiples de 4 de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { n=4q\quad (q\in\N^*) }$ .

4. b) Nous devons montrer que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M_{2025} }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (OA) }$ .

Comparons $\overset{ { \white{ _. } } } { \arg(z_a) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \arg(z_{2025}) }$ .

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { z_A=\sqrt 2\,\text e^{-\text i\frac \pi 4}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\arg(z_A)\equiv-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]} }$ .

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ Déterminons $\overset{ { \white{ _. } } } { \arg(z_{2025}) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\arg(z_{2025})=\arg\left((z_A)^{2025}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \arg(z_{2025})}\equiv2025\times \arg(z_A)\;[2\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \arg(z_{2025})}\equiv2025\times \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\;[2\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \arg(z_{2025})}\equiv-\dfrac{2025\pi}{4}\;[2\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \arg(z_{2025})}\equiv-\dfrac{(8\times253+1)\pi}{4}\;[2\pi] }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \arg(z_{2025})}\equiv-\left(\dfrac{253\times8\pi}{4}+\dfrac\pi 4\right)\;[2\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \arg(z_{2025})}\equiv-\left(253\times2\pi+\dfrac\pi 4\right)\;[2\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \arg(z_{2025})}\equiv-\dfrac\pi 4\;[2\pi] } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\arg(z_{2025})\equiv-\dfrac\pi 4\;[2\pi] }$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \arg(z_A)=\arg(z_{2025}) }$

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ _. } } } { O,\,M_{2025} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ appartiennent à la même demi-droite d'origine $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ .
Dès lors, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M_{2025} }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (OA) }$ .

6 points

exercice 3

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=(\text e^x-x-2)e^{-x} }$ .
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma }$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O;\vec i,\vec j) }$ .

1. a) Nous devons montrer que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\mathbb R,\quad f(x)=1-\dfrac{x+2}{\text e^x} }$ .
Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } {x\in\R }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=(\text e^x-x-2)\text e^{-x} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)}=\text e^x\,e^{-x}-(x+2)\text e^{-x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)}=\text e^0-\dfrac{x+2}{\text e^{x}}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)}=1-\dfrac{x+2}{\text e^{x}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ f(x)=1-\dfrac{x+2}{\text e^{x}}}$

1. b) Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-\infty }$ , puis interpréter graphiquement.

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)}$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to-\infty} (x+2)=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty} \text e^x=0^+ \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x+2}{e^{x}}=-\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\begin{cases} \lim\limits_{x\to-\infty} (x+2)=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty} \text e^x=0^+ \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}\left(1-\dfrac{x+2}{e^{x}}\right)=+\infty} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\begin{cases} \lim\limits_{x\to-\infty} (x+2)=-\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}}$

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}}$ .

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac 1x-\dfrac{x+2}{x\,\text e^x}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac 1x-\left(\dfrac{x+2}{x}\right)\,\dfrac{1}{\text e^x}\right)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac 1x-\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\,\dfrac{1}{\text e^x}\right)}$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to-\infty}\;\dfrac{1}{x}=0\\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2}{x}=0}\\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{\text e^x}=+\infty} \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \lim\limits_{x\to-\infty}\;\dfrac{1}{x}=0\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)=1}\\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{\text e^x}=+\infty} \end{cases} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \\\overset{ { \phantom{ _. } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{\text e^x}=+\infty} \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac 1x-\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\,\dfrac{1}{\text e^x}\right)=-\infty}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \\\overset{ { \phantom{ _. } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{\text e^x}=+\infty} \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-\infty}}$

Nous en déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma }$ admet une branche parabolique de direction $\overset{ { \white{ _. } } } { (Oy) }$ au voisinage de $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty }$ .

1. c) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) }$ et en déduire que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma }$ possède une asymptote horizontale $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ .

Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=1-\dfrac{x+2}{e^{x}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{f(x)=1-\dfrac{x}{e^{x}}-\dfrac{2}{e^{x}}} }$ .

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to+\infty}\;\dfrac{x}{e^{x}}=0\quad(\text{croissances comparées})\\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\; \dfrac{2}{e^{x}}=0} \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\;\left(1-\dfrac{x}{e^{x}}-\dfrac{2}{e^{x}}\right)=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{x\to+\infty}\;\dfrac{x}{e^{x}}=0\quad(\text{croissances comparées})\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\; \dfrac{2}{e^{x}}=0} \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\;f(x)=1 }}$

Nous en déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma }$ possède une asymptote horizontale $\overset{ { \white{ _. } } } {D }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y=1 }$ .

2. Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { \forall x\in\mathbb R,\; f'(x)=(x+1)e^{-x} }$ et dresser le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\R }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(\text e^x-x-2)'\times \text e^{-x}+(\text e^x-x-2)\times (\text e^{-x})' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=(\text e^x-1)\times \text e^{-x}+(\text e^x-x-2)\times (-\text e^{-x})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=(\text e^x-1-\text e^x+x+2)\times \text e^{-x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=(x+1)\times \text e^{-x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad f'(x)=(x+1)\,\text e^{-x}}$

Le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { (x+1) }$ car $\overset{ { \white{ _. } } } { \text e^{-x}> 0 }$ pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ .

Nous pouvons ainsi dresser le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

$\begin{matrix}x+1> 0\quad\Longleftrightarrow\quad x>-1\\\\x+1= 0\quad\Longleftrightarrow\quad x=-1\\\\x+1 < 0\quad\Longleftrightarrow\quad x < -1\\\\f(-1)=1-\dfrac{-1+2}{\text e^{-1}}=1-\text e\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&-\infty&&-1&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\x+1&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &&&&&\\ f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &+\infty&&&&1\\ f&&\searrow&&\nearrow&\\&&&1-\text e&&\\\hline \end{array}$

3. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ la restriction de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { I=[-1,+\infty[ }$ .

3. a) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est une bijection de $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ sur un intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ que l'on déterminera.

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { I=[-1,+\infty[ }$ .
Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est une bijection de $\overset{ { \white{ . } } } { I=[-1\;;\;+\infty[ }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { J=[1-\text e\;;\;1[ }$ .

3. b) Nous devons dresser le tableau de variation de $\overset{ { \white{ } } } { h^{-1} }$ .

Les deux fonctions réciproques $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { h^{-1} }$ ont toujours le même sens de variation (toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes) sur leurs intervalles respectifs.

Puisque $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [-1\;;\;+\infty[ }$ , nous en déduisons que $\overset{ { \white{ } } } { h^{-1} }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [1-\text e\;;\;1[ }$ .

Nous obtenons ainsi le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { h^{-1} }$ .

Bac 2025 Mauritanie ScEx et TSGE : image 7

4. a) Nous devons montrer que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }$ admet, sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ , deux solutions $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \beta }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha>\beta }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]-\infty\;;\;-1] }$ .
De plus $\overset{ { \white{ _. } } } { f( ]-\infty\;;\;-1])=[1-\text e\;;\;+\infty[ }$ .
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { 0\in[1-\text e\;;\;+\infty[ }$
Nous en déduisons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ _. } } } { \beta }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]-\infty\;;\;-1] }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [-1\;;\;+\infty[ }$ .
De plus $\overset{ { \white{ _. } } } { f( [-1\;;\;+\infty[)=[1-\text e\;;\;1[ }$ .
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { 0\in[1-\text e\;;\;1[ }$ .
Nous en déduisons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [-1\;;\;+\infty[ }$ .

$\begin{cases} \alpha\in [-1\;;\;+\infty[\\\beta\in\;]-\infty\;;\;-1] \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\alpha>\beta}$

Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ admet, sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ , deux solutions $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \beta }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha>\beta }$ .

4. b) Nous devons construire $\overset{ { \white{ . } } } { D,\; \Gamma }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma' }$ ( $\overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma' }$ étant la courbe représentative de $\overset{ { \white{ _. } } } { h^{-1} }$ ).

Bac 2025 Mauritanie ScEx et TSGE : image 2

5. a) Nous devons calculer la valeur de l'intégrale $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,\text dx }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^{1}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]_0^{1}- \displaystyle\int_0^{1}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\\begin{cases}u(x)=x\quad\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=1 \\v'(x)=\text e^{-x}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=-\text e^{-x}\end{cases}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Dès lors, }\ \displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,\text dx= -\Big[x\,\text e^{-x}\Big]_0^1-\displaystyle\int_0^1 -e^{-x}\,\text dx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Dès lors, }\ \displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,\text dx}= -\Big[x\,\text e^{-x}\Big]_0^1 -\Big[\text e^{-x}\Big]_0^1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Dès lors, }\ \displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,\text dx}= -\Big(\text e^{-1}-0\Big) -\Big(\text e^{-1}-\text e^0\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Dès lors, }\ \displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,\text dx}=1-2\text e^{-1}}$
D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,\text dx=1-\dfrac{2}{\text e} } }$ .

5. b) Nous devons calculer l'aire $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ du domaine délimité par la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma }$ , l'asymptote horizontale $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ et les deux droites d'équations respectives $\overset{ { \white{ _. } } } { x=0 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $A=\displaystyle\int_0^{1}(1-f(x))\,\text{d}x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=\displaystyle\int_0^{1}\left(1-\left(1-\dfrac{x+2}{\text e^x}\right)\,\text{d}x\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{x+2}{\text e^x}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=\displaystyle\int_0^{1}\left(\dfrac{x}{\text e^x}+\dfrac{2}{\text e^x}\right)\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ A}=\displaystyle\int_0^{1}\left(x\,\text e^{-x}+2\,\text e^{-x}\right)\,\text{d}x}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=\displaystyle\int_0^{1}x\,\text e^{-x}\,\text{d}x +2\displaystyle\int_0^{1}\,\text e^{-x}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}= \left(1-\dfrac{2}{\text e}\right) -2\Big[\text e^{-x}\Big]_0^1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}= \left(1-\dfrac{2}{\text e}\right) -2\Big(\text e^{-1}-\text e^{0}\Big)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ A}= 1-\dfrac{2}{\text e} -2\Big(\dfrac{1}{\text e}-1\Big)}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}= 1-\dfrac{2}{\text e} -\dfrac{2}{\text e}+2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}= 3-\dfrac{4}{\text e}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{A=3-\dfrac{4}{\text e}\;\text{u.a.}\approx 1,53\;\text{u.a.}}$

6 points

exercice 4

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ la fonction définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { I=\;]0,+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\ln x}{2x} }$ , et soit $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O;\vec i,\vec j) }$ .

1. On considère la fonction $\overset{ { \white{ m. } } } { g }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x)=x^2-1+\ln x }$ .

1. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { g'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in I }$ et étudier les variations de $\overset{ { \white{ m. } } } { g }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\;]0\;;\;+\infty[,\quad \boxed{g'(x)=2x+\dfrac 1x} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty[,\quad x>0\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2x>0\\\dfrac 1x>0 \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty[,\quad x>0}\quad\Longrightarrow\quad 2x+\dfrac 1x>0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty[,\quad x>0}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g'(x)>0} }$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ m. } } } { g }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { I=\;]0\;;\;+\infty[}$ .

1. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { g(1) }$ , puis en déduire le signe de $\overset{ { \white{ m. } } } { g }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ .

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ _. } } } { g(1) }$

${ \white{ xxi } }$ $g(1)=1^2-1+\ln 1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g(1)}=1-1+0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g(1)}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{g(1)=0}$

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ Déterminons le signe de $\overset{ { \white{ m. } } } { g }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ m. } } } { g }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { I=\;]0\;;\;+\infty[}$ .
Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\forall\, x\in\;]0\;;\;1], \quad x\le1\quad\Longrightarrow\quad g(x)\le g(1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\, x\in\;]0\;;\;1], \quad x\le1}\quad\Longrightarrow\quad g(x)\le 0} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\, x\in\;]0\;;\;1], \quad g(x)\le 0}$

${ \white{ xxi } }$ $\forall\, x\in[1\;;\;+\infty[, \quad x\ge1\quad\Longrightarrow\quad g(x)\ge g(1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\, x\in[1\;;\;+\infty[, \quad x\ge1}\quad\Longrightarrow\quad g(x)\ge 0} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\, x\in[1\;;\;+\infty[, \quad g(x)\ge 0}$

2. a) Calculer $\overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle\lim_{x\to0^+} f(x) }$ et $\overset{ { \white{ M. } } } { \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac x2=0\\ \overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+} \ln x=-\infty}\\ \overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+} 2x=0^+}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac x2=0\\ \overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{\ln x}{2x}=-\infty}\end{cases} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \overset{ { \phantom{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+} \ln x=-\infty}\\ \overset{ { \phantom{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+} 2x=0^+}\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 0^+} \left(\dfrac x2-\dfrac{\ln x}{2x}\right)=+\infty } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \overset{ { \phantom{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+} \ln x=-\infty}\\ \overset{ { \phantom{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+} 2x=0^+}\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty } }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac x2=+\infty\\ \overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{2x}=0\quad(\text{croissances comparées})}\end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty} \left(\dfrac x2-\dfrac{\ln x}{2x}\right)=+\infty \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \overset{ { \phantom{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+} \ln x=-\infty}\\ \overset{ { \phantom{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+} 2x=0^+\quad(\text{croissances cocmparées})}\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty } }$

2. b) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ admet deux asymptotes dont l'une est la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y=\dfrac{x}{2} }$ , et ensuite étudier la position relative de $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous avons montré dans la question 2. a) que : $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty }$ .
Par conséquent, la droite d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x=0 }$ est une asymptote verticale.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y=\dfrac{x}{2} }$ est une asymptote oblique à $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ .

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to 0^+} \Big(f(x)-\dfrac{x}{2}\Big)= \lim\limits_{x\to 0^+} \left(\Big(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\ln x}{2x}\Big)-\dfrac{x}{2}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 0^+} \Big(f(x)-\dfrac{x}{2}\Big)}= \lim\limits_{x\to 0^+} \left(-\dfrac{\ln x}{2x}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 0^+} \Big(f(x)-\dfrac{x}{2}\Big)}= -\dfrac 12\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\ln x}{x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 0^+} \Big(f(x)-\dfrac{x}{2}\Big)}= 0\quad(\text{croissances comparées})} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{x\to 0^+} \Big(f(x)-\dfrac{x}{2}\Big)=0}$
Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y=\dfrac{x}{2} }$ est une asymptote oblique à $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Étudions la position relative de $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ .

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)-\dfrac x2 }$ , soit le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { -\dfrac{\ln x}{2x} }$ .

Dès lors sachant que $\overset{ { \white{ _. } } } { x>0 }$ , nous devons donc étudier le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } {-\ln x }$ .

$\overset{ { \white{ _. } } } { \checkmark }$ Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } {x\in\; ]0\;;\;1[ \,,\quad \ln x<0\quad\Longrightarrow \quad -\ln x >0 }$ et donc $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ est au-dessus de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ .
$\overset{ { \white{ _. } } } { \checkmark }$ Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } {x\in\; ]1\;;\;+\infty[ \,,\quad \ln x>0\quad\Longrightarrow \quad -\ln x <0 }$ et donc $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ est en dessous de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ .
$\overset{ { \white{ _. } } } { \checkmark }$ En $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1 }$ , la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma }$ coupe la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } {(\mathcal C) }$ .

3. a) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { \forall x>0\,; f'(x)=\dfrac{g(x)}{2x^2} }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x>0 }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\ln x}{2x}\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)' } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{(\ln x)'\times x-\ln x\times x'}{x^2}\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\dfrac 1x\times x-\ln x\times 1}{x^2}\right) }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1-\ln x}{x^2}\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1-\ln x}{2x^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{x^2-1+\ln x}{2x^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{g(x)}{2x^2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>0,\quad f'(x)=\dfrac{g(x)}{2x^2} }$

3. b) Nous devons en déduire le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

Le dénominateur de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ est strictement positif.
Donc le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x) }$ étudié à la question 1. b).

Nous obtenons ainsi le tableau de signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ et le tableau de variation de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}f(1)=\dfrac 12-0=\dfrac 12\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&1&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &||&&&&\\g(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline &||&&&&\\ f'(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline &+\infty&&&&+\infty\\ f&&\searrow&&\nearrow&\\&&&\underset{ { \white{ m } } } { \dfrac 12}&&\\\hline \end{array}$

4. a) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ admet une tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ parallèle à $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ et en donner une équation.

Le coefficient directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 12 }$ .
La tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ à $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ est parallèle à $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ si $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)=\dfrac 12 }$ .

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\dfrac 12\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{g(x)}{2x^2}=\dfrac 12 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)=\dfrac 12}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{g(x)}{x^2}=1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)=\dfrac 12}\quad\Longleftrightarrow\quad g(x)=x^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)=\dfrac 12}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-1+\ln x=x^2}$

${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)=\dfrac 12}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x=1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)=\dfrac 12}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{ x=\text e}}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ admet une tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ parallèle à $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ _. } } } { \text e }$ .

Une équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ est de la forme : $\overset{ { \white{ _. } } } { y=f'(\text e)(x-\text e)+f(\text e) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} f(x)=\dfrac x2-\dfrac{\ln x}{2x}\\\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)=\dfrac{x^2-1+\ln x}{2x^2}} \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} f(\text e)=\dfrac {\text e}{ 2}-\dfrac{\ln \text e}{2\text e}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { f'(\text e)=\dfrac{\text e^2-1+\ln\text e}{2\text e^2}} \end{cases} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} f(x)=\dfrac x2-\dfrac{\ln x}{2x}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { f'(x)=\dfrac{x^2-1+\ln x}{2x^2}} \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} f(\text e)=\dfrac {\text e}{ 2}-\dfrac{1}{2\text e}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { f'(\text e)=\dfrac{\text e^2-1+1}{2\text e^2}} \end{cases} }$

${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} f(x)=\dfrac x2-\dfrac{\ln x}{2x}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { f'(x)=\dfrac{x^2-1+\ln x}{2x^2}} \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}f(\text e)=\dfrac {\text e}{ 2}-\dfrac{1}{2\text e}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { f'(\text e)=\dfrac{1}{2}} \end{cases} }$

D'où une équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { y=\dfrac 12(x-\text e)+\dfrac{\text e}{2}-\dfrac{1}{2\text e} }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad y=\dfrac 12(x-\text e)+\dfrac{\text e}{2}-\dfrac{1}{2\text e}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac x2-\dfrac{\text e}{2}+\dfrac{\text e}{2}-\dfrac{1}{2\text e} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad y=\dfrac 12(x-\text e)+\dfrac{\text e}{2}-\dfrac{1}{2\text e}}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac x2-\dfrac{1}{2\text e}}$

Par conséquent, l'équation réduite de la $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{y=\dfrac x2-\dfrac{1}{2\text e}} }$ .

4. b) Nous devons construire la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ , l'asymptote $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ et la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ dans le même repère.

Bac 2025 Mauritanie ScEx et TSGE : image 4

4. c) Nous devons discuter graphiquement, suivant les valeurs du paramètre réel $\overset{ { \white{ -. } } } { m }$ , le nombre de solutions de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { \ln x+2mx=0 }$ .

Remarquons que :

${ \white{ xxi } }$ $\ln x+2mx=0\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x=-2mx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\ln x+2mx=0}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{\ln x}{2x}=m }$

Déterminer le nombre de solutions de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { -\dfrac{\ln x}{2x}=m }$ revient à chercher le nombre de points d'intersection des courbes $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ d'équations respectives $\overset{ { \white{ _. } } } { y=-\dfrac{\ln x}{2x} }$ et $\overset{ { \white{ m. } } } { y=m }$ .

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { h(x)=-\dfrac{\ln x}{2x} }$ .
Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } {h(x) }$ vérifie l'égalité $\overset{ { \white{ _. } } } { h(x)=f(x)-\dfrac x2 }$ et représente pour une valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ donnée, l'écart entre la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ et son asymptote oblique $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta:y=\dfrac x2 }$ .
Selon l'analyse de la position relative de $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ étudiée à la question 2. b) et en utilisant le graphique de $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ ci-dessus, nous pouvons en déduire que sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ , la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ décroît de $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty }$ vers un minimum négatif pour ensuite croître vers 0 (lorsque $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ se rapproche de l'asymptote $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ ).

Déterminons la valeur de ce minimum de $\overset{ { \white{ _. } } } {h }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x>0 }\,,\quad h'(x)=\dfrac{-(1-\ln x)}{2x^2}$ (voir question 3. a).

Précisons l'existence du minimum de $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$

${ \white{ xxi } }$ $h'(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad 1-\ln x=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ h'(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x=1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ h'(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\text e} \\\\h(\text e)=-\dfrac{\ln\text e}{2\text e}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{h(\text e)=-\dfrac{1}{2\text e}}$

Dressons le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ .

${ \white{ WWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&\text e&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &||&&&&\\h'(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline &+\infty&&&&0\\h&&\searrow&&\nearrow&\\&&& \underset{ { \white{ _. } } } { -\dfrac{1}{2\,\text e} }&&\\\hline \end{array}$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ admet donc un minimum égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { -\dfrac{1}{2\text e} }$ pour $\overset{ { \white{ . } } } { x=\text e }$ .

Ci-dessous la courbe représentative $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal H) }$ de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ et des droites $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=m }$ .

Bac 2025 Mauritanie ScEx et TSGE : image 10

Par conséquent,

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ _. } } } { m<-\dfrac{1}{2\text e} }$ , alors $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D_m }$ n'ont aucun point d'intersection et par suite, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { \ln x+2mx=0 }$ n'admet aucune solution.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ _. } } } { m=-\dfrac{1}{2\text e} }$ , alors $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D_m }$ ont un seul point d'intersection et par suite, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { \ln x+2mx=0 }$ admet une solution unique : $\overset{ { \white{ _. } } } { x=\text e }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ _. } } } { -\dfrac{1}{2\text e}<m<0 }$ , alors $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D_m }$ ont deux points d'intersection et par suite, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { \ln x+2mx=0 }$ admet deux solutions : $\overset{ { \white{ _. } } } { 1<x_1<\text e }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { x_2>\text e }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ _. } } } { m\geq 0 }$ , alors $\overset{ { \white{ _. } } } { (\mathcal C) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D_m }$ ont un seul point d'intersection et par suite, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { \ln x+2mx=0 }$ admet une solution unique : $\overset{ { \white{ _. } } } { 0<x\leq 1 }$ .

5. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ la suite définie, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ non nul, par $\overset{ { \white{ _. } } } { u_n=f\Big(\dfrac{1}{n}\Big) }$ .
Nous devons montrer que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est croissante et calculer sa limite.

Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (x_n)_{n\in\N^*} }$ définie par $\overset{ { \white{ _. } } } { x_n=\dfrac 1n }$ est une suite décroissante.
De plus, pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N^*,\quad 0<\dfrac 1n\leq 1 }$ .
Or nous avons montré dans la question 3. b) que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;1] }$ .
Rappelons que la composée de deux fonctions décroissantes est une fonction croissante.

Nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { \left(f\Big(\dfrac{1}{n}\Big)\right)_{n\in\N^*} }$ est une suite croissante.
Autrement dit, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est une suite croissante.

Déterminons la limite de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ _. } } } {\begin{cases} \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac 1n=0^+\\ \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=+\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \lim\limits_{n\to +\infty}f\Big(\dfrac 1n\Big)=+\infty\\ (\text{par composition})\end{cases} }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty} }$

Publié par malou le 24-04-2026

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