Fiche de mathématiques

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Ile mathématiques > maths bac > BAC 2025 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac Mathématiques Sénégal 2025

Séries S2-S2A-S4-S5

2e groupe

Durée : 2 heures

Coefficient : 5

10 points

exercice 1

Bac 2025 Sénégal séries S2-S4-S5 (2e groupe) : image 3

Bac 2025 Sénégal séries S2-S4-S5 (2e groupe) : image 10

4 points

exercice 2

Bac 2025 Sénégal séries S2-S4-S5 (2e groupe) : image 2

6 points

exercice 3

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Bac 2025 Sénégal

séries S2-S4-S5

(2e groupe)

10 points

exercice 1

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ une fonction dont le tableau de variations est donné ci-dessous.
On suppose que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue dans son domaine de définition.

1. Nous devons donner le domaine de définition de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ ainsi que les limites aux bornes.

${ \white{ xxxxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le domaine de définition de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \R\setminus\lbrace 1\rbrace }$ .
${ \white{ xxxxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=0 }$ .
${ \white{ xxxxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to 1}f(x)=-\infty }$ .
${ \white{ xxxxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0 }$ .

2. Nous devons étudier la dérivabilité de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ en 0, puis donner la ou les tangentes à $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ au point d'abscisse 0.

$\overset{ { \white{ . } } } {\begin{cases} \lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=-\dfrac 16 \\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=-\dfrac 12 }\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)\neq\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)} }$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ n'est pas dérivable en 0.

Nous devons donner les équations des tangentes à $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ au point d'abscisse 0.

Les coordonnées du point de $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ au point d'abscisse 0 sont $\overset{ { \white{ . } } } { (0\;;\;-1) }$ .
Donc l'ordonnée à l'origine de ces tangentes est égale à -1.
Dès lors,

${ \white{ xxxxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ une équation de la demi-tangente à gauche à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ au point d'abscisse 0 est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y=-\dfrac16x-1 } }$
${ \white{ xxxxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ une équation de la demi-tangente à droite à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ au point d'abscisse 0 est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ y=-\dfrac12x-1} }$ .

3. Nous devons donner le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f' }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement décroissante sur l'ensemble $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;1[\cup\,]4\;;\;+\infty[ }$ et est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;4[ }$ .

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxxxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\; ]-\infty\;;\;1[\cup\,]4\;;\;+\infty[\,,\quad f'(x)<0 }$ et
${ \white{ xxxxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\; ]1\;;\;4 [\,,\quad f'(x)>0 }$ .

4. Nous devons donner les équations des asymptotes.

Nous observons que $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=0 }$ et que $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0 }$ .
La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ admet alors une asymptote horizontale en $\overset{ { \white{ . } } } { -\infty }$ et en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=0 }$ .

Nous observons que $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to 1}f(x)=-\infty }$ .
La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ admet alors une asymptote verticale d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1 }$ .

5. Nous devons tracer $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } { (O ; \,\vec i,\,\vec j) }$

Bac 2025 Sénégal séries S2-S4-S5 (2e groupe) : image 8

6. Nous devons donner le nombre de solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }$ .

Les solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }$ sont les abscisses des points d'intersection entre la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(C_f) }$ et l'axe des abscisses.
Nous observons sur le graphique qu'un tel point est unique.
Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }$ admet une seule solution. Cette solution est comprise entre 1 et 2.

7. Soit $\overset{ { \white{ . } } } {g }$ la restriction de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ à l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;4] }$ .

Remarque : une coquille est présente dans l'énoncé. Il s'agit dans la suite de la fonction $\overset{ { \white{ w. } } } { g }$ et non de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ .

${ \white{ xx } }$ Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ g. } } } {g }$ est bijective et représenter la courbe de $\overset{ { \white{ _. } } } {g^{-1} }$ dans le repère $\overset{ { \white{ . } } } { (O ; \,\vec i,\,\vec j) }$

La fonction $\overset{ { \white{ g. } } } {g }$ est continue et strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } {]1\;;\;4] }$ .
Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {g }$ est une bijection de $\overset{ { \white{ . } } } { ]1\;;\;4] }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { g(]1\;;\;4]) }$ , soit sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;3] }$ .

Traçons la courbe de $\overset{ { \white{ _. } } } {g^{-1} }$ dans le repère $\overset{ { \white{ . } } } { (O ; \,\vec i,\,\vec j) }$

Les courbes $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_g) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_{g^{-1}})}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Delta) }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=x }$ .

Bac 2025 Sénégal séries S2-S4-S5 (2e groupe) : image 5

4 points

exercice 2

Modou et Abdoulaye préparent un marathon de 42 km.
Au premier jour Modou a couru 5km et chaque jour suivant, il court 2 km de plus.
Abdoulaye quant à lui a couru 5km le premier jour et chaque jour suivant il court 12% de plus que le jour précédent.
Nous devons déterminer qui de Modou ou de Abdoulaye arrivera le premier à atteindre les 42 km.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Analysons le parcours de Modou.

Soit la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ telle que $\overset{ { \white{ +. } } } { u_n }$ représente la distance parcourue le $\overset{ { \white{ } } } { n^{ième} }$ jour par Modou.
Au premier jour, Modou a couru 5km et chaque jour suivant, il court 2 km de plus.
Dès lors, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases} u_1=5\\u_{n+1}=u_n+2 \end{cases} }$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est une suite arithmétique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { r=2 }$ dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { u_1=5 }$ .
Le terme général de cette suite est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { u_n=u_1+(n-1)r }$ .
Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $u_n=5+(n-1)\times2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{u_n}=5+2n-2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{u_n}=2n+3 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{u_n=2n+3}$

Déterminons le nombre de jours nécessaires à Modou pour atteindre les 42 km.
Nous devons donc chercher le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { u_n\geq 42 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad u_n\geq42\quad\Longleftrightarrow\quad 2n+3\geq 42 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad u_n\geq42}\quad\Longleftrightarrow\quad 2n\geq 39} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad u_n\geq42}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{n\geq 19,5}}$

Le plus petit entier naturel vérifiant l'inégalité est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{n=20} }$
Par conséquent, au 20^ième jour, Modou a atteint les 42 km.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Analysons le parcours de Abdoulaye.

Soit la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } { v_n }$ représente la distance parcourue le $\overset{ { \white{ } } } { n^{ième} }$ jour par Abdoulaye.
Au premier jour, Abdoulaye a couru 5km et chaque jour suivant, il court 12% de plus.
Dès lors, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases} v_1=5\\v_{n+1}=1,12 v_n \end{cases} }$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { q=1,12 }$ dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { v_1=5 }$ .
Le terme général de cette suite est de la forme $\overset{ { \white{ } } } { v_n=v_1\times q^{n-1} }$ .
Nous obtenons ainsi : $\boxed{v_n=5\times1,12^{n-1}}$

Déterminons le nombre de jours nécessaires à Abdoulaye pour atteindre les 42 km.
Nous devons donc chercher le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { v_n\geq 42 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad v_n\geq42\quad\Longleftrightarrow\quad 5\times 1,12^{n-1}\geq 42 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad u_n\geq42}\quad\Longleftrightarrow\quad 1,12^{n-1}\geq \dfrac{42}{5}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad u_n\geq42}\quad\Longleftrightarrow\quad 1,12^{n-1}\geq 8,4} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad u_n\geq42}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(1,12^{n-1})\geq \ln(8,4)}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad u_n\geq42}\quad\Longleftrightarrow\quad (n-1)\ln(1,12)\geq \ln(8,4)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad u_n\geq42}\quad\Longleftrightarrow\quad n-1\geq \dfrac{\ln(8,4)}{\ln(1,12)}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad u_n\geq42}\quad\Longleftrightarrow\quad n\geq 1+\dfrac{\ln(8,4)}{\ln(1,12)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad u_n\geq42}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{n\geq 19,78}}$

Le plus petit entier naturel vérifiant l'inégalité est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{n=20} }$
Par conséquent, au 20^ième jour, Abdoulaye a atteint les 42 km.

Nous observons que Modou et Abdoulaye ont atteint les 42 km le 20^ième jour.

Si nous analysons les résultats de manière stricte, nous constatons que Modou a atteint les 42 km avant Abdoulaye puisque Modou a atteint les 42 km lorsque $\overset{ { \white{ . } } } { n =19,5 }$ alors que Abdoulaye les a atteints lorsque $\overset{ { \white{ . } } } { n\approx 19,78 }$ .

Par conséquent, stricto sensu, Modou atteint le premier la distance de 42 km.

6 points

exercice 3

Pour tout nombre complexe $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ , on pose : $\overset{ { \white{ . } } } {P(z)=z^3-2z^2+3z-6 }$

1. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { P(2) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $P(2)=2^3-2\times 2^2+3\times2-6 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(2)}=8-2\times 4+3\times2-6 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(2)}=8-8+6-6 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(2)}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(2)=0}$

2. Nous devons déterminer les réels $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { b }$ tels que, pour tout nombre complexe $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ , on ait :

$P(z)=(z-2)(z^2+az+b).$

En développant $\overset{ { \white{ . } } } { (z-2)(z^2+az+b) }$ , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(z)=(z-2)(z^2+az+b)\quad\Longleftrightarrow\quad P(Z)=z^3+az^2+bz-2z^2-2az-2b \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(z)=(z-2)(z^2+az+b)}\quad\Longleftrightarrow\quad P(Z)=z^3+(a-2)z^2+(b-2a)z-2b}$

Par identification des coefficients, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $z^3-2z^2+3z-6=z^3+(a-2)z^2+(b-2a)z-2b\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases} a-2=-2\\b-2a=3\\-2b=-6 \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z^3-2z^2+3z-6=z^3+(a-2)z^2+(b-2a)z-2b}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\begin{cases} a=0\\b=3 \end{cases}}}$

Par conséquent, une forme factorisée de $\overset{ { \white{ . } } } { P(z) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{P(z)=(z-2)(z^2+3)} }$ .

3. Nous devons en déduire les solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {P(z)=0 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $P(z)=0\quad\Longleftrightarrow\quad (z-2)(z^2+3)=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(z)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad z-2=0\quad\text{ou}\quad z^2+3=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(z)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad z-2=0\quad\text{ou}\quad z^2=-3 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(z)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad z-2=0\quad\text{ou}\quad z^2=3\,\text i^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(z)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z=2\quad\text{ou}\quad z=\sqrt 3\,\text i\quad\text{ou}\quad z=-\sqrt3\,\text i } }$

4. On désigne par $\overset{ { \white{ . } } } {A, B, C }$ les points d'affixes respectives $\overset{ { \white{ _. } } } { z_A=2\;;\;z_B=\sqrt 3\,\text i\;;\;z_C=-\sqrt 3\,\text i }$ .

4. a) Plaçons $\overset{ { \white{ . } } } {A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ dans un repère orthogonal $\overset{ { \white{ . } } } {(O;\vec u,\vec v) }$ .

Bac 2025 Sénégal séries S2-S4-S5 (2e groupe) : image 11

4. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { AB,\, AC }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { BC }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{x}AB=|z_B-z_A| \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{x}AB }=|\sqrt 3\,\text i-2| } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{x} AB }=\sqrt{(-2)^2+(\sqrt 3)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{x} AB }=\sqrt{4+3} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{x} AB }=\sqrt{7} } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{AB=\sqrt 7}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{x}AC=|z_C-z_A| \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{x}AC }=|-\sqrt 3\,\text i-2| } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{x} AC }=\sqrt{(-2)^2+(-\sqrt 3)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{x} AC }=\sqrt{4+3} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{x} AC }=\sqrt{7} } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{AC=\sqrt 7}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{x}BC=|z_C-z_B| \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{x}BC }=|-\sqrt 3\,\text i-\sqrt 3\,\text i| } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{x} BC }=|-2\sqrt 3\,\text i| } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{x} BC }=2\sqrt 3 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{BC=2\sqrt 3}$

Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } {AB=AC }$ .
D'où le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ est isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ .
_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette contribution.}

Publié par malou le 24-03-2026

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