Fiche de mathématiques
> >

Bac 2025 Togo série D

Partager :



Durée : 4 heures

Coefficient : 3



8 points

exercice 1



En vue de réaliser un parc d'attraction, le conseil municipal d'une commune du TOGO a initié un concours d'architecture visant à recueillir les projets d'aménagement du parc. Chakira, architecte, décide d'y participer. Elle imagine un parc circulaire, traversé par une grande voie rectiligne, deux lampadaires géants et plusieurs voies secondaires.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct  (O,\vec u,\vec v) , le pourtour  (C)  du parc circulaire, la voie rectiligne  (\Delta)  et les deux lampadaires sont définis de la façon suivante : soit donné un nombre complexe  z  d'écriture algébrique  z=x+\text i y , avec   (x;y) \in\mathbb R^2 , différent de  -2-3\text i  et en notant  f(z)  le nombre complexe  \dfrac{z-4-3\text i}{z+2+3\text i} .

 \bullet\white w   (C)  est l'ensemble des points  M  d'affixe  z  tels que  f(z)  soit un nombre imaginaire.

 \bullet\white w   (\Delta)  est l'ensemble des points  M  d'affixe  z  tels que  f(z)  soit un nombre réel.

 \bullet\white w  Les deux lampadaires sont représentés par les points  A  et  B  d'affixes  z_A  et  z_B  tels que  z_A=f(-2-\text i)  et  f(z_B)=-\text i .

Par ailleurs, l'une des voies secondaires a l'allure de la courbe  (\Gamma) , représentative dans le repère  (O,\vec u,\vec v)  de la fonction  g  de  \mathbb R  vers  \mathbb R  définie par  \left\lbrace\begin{matrix}g(x)=(x+1)\ln(x^2+2x+1),&\text{si }x\neq-1\\g(-1)=0\end{matrix}\right. 

Consigne 1 : construis  (\Delta) ;  (C)  et les points  A  et  B .

Consigne 2 : trace  (\Gamma) .

6 points

exercice 2



I.   Choisis la bonne réponse parmi les propositions A), B), C) et D).

1.  Une primitive sur  \mathbb R  de la fonction :  x\mapsto\cos x-x\sin x  est la fonction  x\mapsto  :

 A)\ \cos x-\sin x \quad B)\ x\cos x \quad C)\ \cos x+\sin x \quad D)\ -x\cos x 

2.  La distance du point  A(3;2;1)  au plan  (P) : 2x-y+3z+5=0  est :

 A)\ \sqrt6 \quad B)\ \sqrt{14} \quad C)\ \dfrac{6\sqrt{14}}{7} \quad D)\ \dfrac{6\sqrt7}{7} 

3.   \displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x+4)e^{-x}= 

 A)\ -\infty \quad B)\ +\infty \quad C)\ 0 \quad D)\ 4 

4.  Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé  (O;\vec u,\vec v) . Soit  s  la similitude directe de centre  P(1+\text i) , de rapport  2  et d'angle de mesure  \theta=\dfrac{\pi}{3} . L'écriture complexe de  s  est :

 A)\ z'=(1+\text i\sqrt3)z+\sqrt3-\text i\sqrt3 \quad B)\ z'=(\sqrt3+\text i)z+\sqrt3-\text i\sqrt3 \quad C)\ z'=(1+\text i\sqrt3)z-\sqrt3+\text i\sqrt3 \quad D)\ z'=(1-\text i\sqrt3)z+\sqrt3-\text i\sqrt3 

5.  Soit  f  la fonction numérique définie par

 f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{2\sqrt x-2}{x-1}&\text{si }x\in[0;1[\\ax^2+x+a-6&\text{si }x\in[1;+\infty[\end{matrix}\right.  où  a  est un nombre réel.

 f  est continue en  1  si et seulement si :

 A)\ a=-2 \quad B)\ a=0 \quad C)\ a=3 \quad D)\ a=1 

6.  Soit  u  la suite géométrique de premier terme  u_0=1  et de raison  \text e .

Le produit  P_n=u_0u_1u_2\ldots u_n  est égal à :

 A)\ \text e^{\frac{n(n+1)}{2}} \quad B)\ \text e^{n(n+1)} \quad C)\ \text e^{\frac{n(n-1)}{2}} \quad D)\ \text e^{n(n-1)} 


II.  Complète sans recopier le texte.

Soit  f  une fonction continue sur un intervalle ouvert  K . Une primitive de  f  sur  K  est la fonction  F   \ldots a\ldots  sur  K  telle que pour tout  x\in K ,  F'(x)=\ldots b\ldots . Une similitude plane directe est une transformation du plan dans lui-même, qui multiplie les  \ldots c\ldots  par un nombre réel strictement positif  k . Le nombre réel positif  k  est appelé  \ldots d\ldots  de la similitude. Si le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé alors l'écriture complexe d'une similitude plane directe  s  est  z'=az+b . Si  a=1  alors  s  est une  \ldots e\ldots . Si  a  est un nombre réel non nul et différent de  1  alors  s  est une  \ldots f\ldots .

6 points

exercice 3



Les deux parties A) et B) sont indépendantes.

A)

Une urne contient  4  boules blanches,  2  boules noires et  5  boules rouges.

On tire simultanément  3  boules de cette urne.

1.  Quel est le nombre total de tirages possibles ?

2.  Quelle est la probabilité d'avoir une boule de chaque couleur ?

3.  On définit la variable aléatoire  X  indiquant le nombre de boules noires parmi les  3  boules tirées simultanément.

3. a.   Détermine les valeurs prises par  X .

3. b.   Détermine la loi de probabilité de  X .

3. c.   Calcule l'espérance mathématique de  X  ainsi que son écart-type.


B)

On considère l'équation différentielle  (E_0) :~y'=y  où  y  est une fonction dérivable de la variable réelle  x .

1.  Résous l'équation différentielle  (E_0) .

2.  On considère l'équation différentielle  (E) :~y'=y-\cos(x)-3\sin(x)  où  y  est une fonction dérivable de la variable réelle  x .

Soit la fonction  h  définie sur  \mathbb R  par  h(x)=2\cos(x)+\sin(x) .

2. a.   Démontre que la fonction  h  est solution de l'équation différentielle  (E) .

2. b.   On considère une fonction  f  définie et dérivable sur  \mathbb R .

Démontre que  f  est solution de  (E)  si et seulement si  f-h  est solution de  (E_0) .

Déduis-en toutes les solutions de l'équation différentielle  (E) .

2. c.   Détermine l'unique solution  g  de l'équation différentielle  (E)  vérifiant  g(0)=0 .

3.  Calcule  \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[-2e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right]\,\text dx .

Bac 2025 Togo série D

Partager :



Durée : 4 heures

Coefficient : 3



8 points

exercice 1



En vue de réaliser un parc d'attraction, le conseil municipal d'une commune du TOGO a initié un concours d'architecture visant à recueillir les projets d'aménagement du parc. Chakira, architecte, décide d'y participer. Elle imagine un parc circulaire, traversé par une grande voie rectiligne, deux lampadaires géants et plusieurs voies secondaires.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct  (O,\vec u,\vec v) , le pourtour  (C)  du parc circulaire, la voie rectiligne  (\Delta)  et les deux lampadaires sont définis de la façon suivante : soit donné un nombre complexe  z  d'écriture algébrique  z=x+\text i y , avec tex \in\mathbb R^2[/tex] , différent de  -2-3\text i  et en notant  f(z)  le nombre complexe  \dfrac{z-4-3\text i}{z+2+3\text i} .

 \bullet\white w   (C)  est l'ensemble des points  M  d'affixe  z  tels que  f(z)  soit un nombre imaginaire.

 \bullet\white w   (\Delta)  est l'ensemble des points  M  d'affixe  z  tels que  f(z)  soit un nombre réel.

 \bullet\white w  Les deux lampadaires sont représentés par les points  A  et  B  d'affixes  z_A  et  z_B  tels que  z_A=f(-2-\text i)  et  f(z_B)=-\text i .

Par ailleurs, l'une des voies secondaires a l'allure de la courbe  (\Gamma) , représentative dans le repère  (O,\vec u,\vec v)  de la fonction  g  de  \mathbb R  vers  \mathbb R  définie par  \left\lbrace\begin{matrix}g(x)=(x+1)\ln(x^2+2x+1),&\text{si }x\neq-1\\g(-1)=0\end{matrix}\right. 

Consigne 1 : construis  (\Delta) ;  (C)  et les points  A  et  B .

Consigne 2 : trace  (\Gamma) .

6 points

exercice 2



I.   Choisis la bonne réponse parmi les propositions A), B), C) et D).

1.  Une primitive sur  \mathbb R  de la fonction :  x\mapsto\cos x-x\sin x  est la fonction  x\mapsto  :

 A)\ \cos x-\sin x \quad B)\ x\cos x \quad C)\ \cos x+\sin x \quad D)\ -x\cos x 

2.  La distance du point  A(3;2;1)  au plan  (P) : 2x-y+3z+5=0  est :

 A)\ \sqrt6 \quad B)\ \sqrt{14} \quad C)\ \dfrac{6\sqrt{14}}{7} \quad D)\ \dfrac{6\sqrt7}{7} 

3.   \displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x+4)e^{-x}= 

 A)\ -\infty \quad B)\ +\infty \quad C)\ 0 \quad D)\ 4 

4.  Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé  (O;\vec u,\vec v) . Soit  s  la similitude directe de centre  P(1+\text i) , de rapport  2  et d'angle de mesure  \theta=\dfrac{\pi}{3} . L'écriture complexe de  s  est :

 A)\ z'=(1+\text i\sqrt3)z+\sqrt3-\text i\sqrt3 \quad B)\ z'=(\sqrt3+\text i)z+\sqrt3-\text i\sqrt3 \quad C)\ z'=(1+\text i\sqrt3)z-\sqrt3+\text i\sqrt3 \quad D)\ z'=(1-\text i\sqrt3)z+\sqrt3-\text i\sqrt3 

5.  Soit  f  la fonction numérique définie par

 f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{2\sqrt x-2}{x-1}&\text{si }x\in[0;1[\\ax^2+x+a-6&\text{si }x\in[1;+\infty[\end{matrix}\right.  où  a  est un nombre réel.

 f  est continue en  1  si et seulement si :

 A)\ a=-2 \quad B)\ a=0 \quad C)\ a=3 \quad D)\ a=1 

6.  Soit  u  la suite géométrique de premier terme  u_0=1  et de raison  \text e .

Le produit  P_n=u_0u_1u_2\ldots u_n  est égal à :

 A)\ \text e^{\frac{n(n+1)}{2}} \quad B)\ \text e^{n(n+1)} \quad C)\ \text e^{\frac{n(n-1)}{2}} \quad D)\ \text e^{n(n-1)} 


II.  Complète sans recopier le texte.

Soit  f  une fonction continue sur un intervalle ouvert  K . Une primitive de  f  sur  K  est la fonction  F   \ldots a\ldots  sur  K  telle que pour tout  x\in K ,  F'(x)=\ldots b\ldots . Une similitude plane directe est une transformation du plan dans lui-même, qui multiplie les  \ldots c\ldots  par un nombre réel strictement positif  k . Le nombre réel positif  k  est appelé  \ldots d\ldots  de la similitude. Si le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé alors l'écriture complexe d'une similitude plane directe  s  est  z'=az+b . Si  a=1  alors  s  est une  \ldots e\ldots . Si  a  est un nombre réel non nul et différent de  1  alors  s  est une  \ldots f\ldots .

6 points

exercice 3



Les deux parties A) et B) sont indépendantes.

A)

Une urne contient  4  boules blanches,  2  boules noires et  5  boules rouges.

On tire simultanément  3  boules de cette urne.

1.  Quel est le nombre total de tirages possibles ?

2.  Quelle est la probabilité d'avoir une boule de chaque couleur ?

3.  On définit la variable aléatoire  X  indiquant le nombre de boules noires parmi les  3  boules tirées simultanément.

3. a.   Détermine les valeurs prises par  X .

3. b.   Détermine la loi de probabilité de  X .

3. c.   Calcule l'espérance mathématique de  X  ainsi que son écart-type.


B)

On considère l'équation différentielle  (E_0) :~y'=y  où  y  est une fonction dérivable de la variable réelle  x .

1.  Résous l'équation différentielle  (E_0) .

2.  On considère l'équation différentielle  (E) :~y'=y-\cos(x)-3\sin(x)  où  y  est une fonction dérivable de la variable réelle  x .

Soit la fonction  h  définie sur  \mathbb R  par  h(x)=2\cos(x)+\sin(x) .

2. a.   Démontre que la fonction  h  est solution de l'équation différentielle  (E) .

2. b.   On considère une fonction  f  définie et dérivable sur  \mathbb R .

Démontre que  f  est solution de  (E)  si et seulement si  f-h  est solution de  (E_0) .

Déduis-en toutes les solutions de l'équation différentielle  (E) .

2. c.   Détermine l'unique solution  g  de l'équation différentielle  (E)  vérifiant  g(0)=0 .

3.  Calcule  \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[-2e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right]\,\text dx .
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
malou Webmaster pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !