Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2025 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac 2025 Togo série D

Durée : 4 heures

Coefficient : 3

8 points

exercice 1

En vue de réaliser un parc d'attraction, le conseil municipal d'une commune du TOGO a initié un concours d'architecture visant à recueillir les projets d'aménagement du parc. Chakira, architecte, décide d'y participer. Elle imagine un parc circulaire, traversé par une grande voie rectiligne, deux lampadaires géants et plusieurs voies secondaires.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$ , le pourtour $(C)$ du parc circulaire, la voie rectiligne $(\Delta)$ et les deux lampadaires sont définis de la façon suivante : soit donné un nombre complexe $z$ d'écriture algébrique $z=x+\text i y$ , avec $(x \, ; \, y) \in\mathbb R^2$ , différent de $-2-3\text i$ et en notant $f(z)$ le nombre complexe $\dfrac{z-4-3\text i}{z+2+3\text i}$ .

$\bullet\white w$ $(C)$ est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un nombre imaginaire.

$\bullet\white w$ $(\Delta)$ est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel.

$\bullet\white w$ Les deux lampadaires sont représentés par les points $A$ et $B$ d'affixes $z_A$ et $z_B$ tels que $z_A=f(-2-\text i)$ et $f(z_B)=-\text i$ .

Par ailleurs, l'une des voies secondaires a l'allure de la courbe $(\Gamma)$ , représentative dans le repère $(O,\vec u,\vec v)$ de la fonction $g$ de $\mathbb R$ vers $\mathbb R$ définie par $\left\lbrace\begin{matrix}g(x)=(x+1)\ln(x^2+2x+1),&\text{si }x\neq-1\\g(-1)=0\end{matrix}\right.$

Consigne 1 : construis $(\Delta)$ ; $(C)$ et les points $A$ et $B$ .

Consigne 2 : trace $(\Gamma)$ .

6 points

exercice 2

I. Choisis la bonne réponse parmi les propositions A), B), C) et D).

1. Une primitive sur $\mathbb R$ de la fonction : $x\mapsto\cos x-x\sin x$ est la fonction $x\mapsto$ :

$A)\ \cos x-\sin x \quad B)\ x\cos x \quad C)\ \cos x+\sin x \quad D)\ -x\cos x$

2. La distance du point $A(3;2;1)$ au plan $(P) : 2x-y+3z+5=0$ est :

$A)\ \sqrt6 \quad B)\ \sqrt{14} \quad C)\ \dfrac{6\sqrt{14}}{7} \quad D)\ \dfrac{6\sqrt7}{7}$

3. $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x+4)e^{-x}=$

$A)\ -\infty \quad B)\ +\infty \quad C)\ 0 \quad D)\ 4$

4. Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec u,\vec v)$ . Soit $s$ la similitude directe de centre $P(1+\text i)$ , de rapport $2$ et d'angle de mesure $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ . L'écriture complexe de $s$ est :

$A)\ z'=(1+\text i\sqrt3)z+\sqrt3-\text i\sqrt3 \quad B)\ z'=(\sqrt3+\text i)z+\sqrt3-\text i\sqrt3 \quad C)\ z'=(1+\text i\sqrt3)z-\sqrt3+\text i\sqrt3 \quad D)\ z'=(1-\text i\sqrt3)z+\sqrt3-\text i\sqrt3$

5. Soit $f$ la fonction numérique définie par

$f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{2\sqrt x-2}{x-1}&\text{si }x\in[0;1[\\ax^2+x+a-6&\text{si }x\in[1;+\infty[\end{matrix}\right.$ où $a$ est un nombre réel.

$f$ est continue en $1$ si et seulement si :

$A)\ a=-2 \quad B)\ a=0 \quad C)\ a=3 \quad D)\ a=1$

6. Soit $u$ la suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et de raison $\text e$ .

Le produit $P_n=u_0u_1u_2\ldots u_n$ est égal à :

$A)\ \text e^{\frac{n(n+1)}{2}} \quad B)\ \text e^{n(n+1)} \quad C)\ \text e^{\frac{n(n-1)}{2}} \quad D)\ \text e^{n(n-1)}$

II. Complète sans recopier le texte.

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle ouvert $K$ . Une primitive de $f$ sur $K$ est la fonction $F$ $\ldots a\ldots$ sur $K$ telle que pour tout $x\in K$ , $F'(x)=\ldots b\ldots$ . Une similitude plane directe est une transformation du plan dans lui-même, qui multiplie les $\ldots c\ldots$ par un nombre réel strictement positif $k$ . Le nombre réel positif $k$ est appelé $\ldots d\ldots$ de la similitude. Si le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé alors l'écriture complexe d'une similitude plane directe $s$ est $z'=az+b$ . Si $a=1$ alors $s$ est une $\ldots e\ldots$ . Si $a$ est un nombre réel non nul et différent de $1$ alors $s$ est une $\ldots f\ldots$ .

6 points

exercice 3

Les deux parties A) et B) sont indépendantes.

A)

Une urne contient $4$ boules blanches, $2$ boules noires et $5$ boules rouges.

On tire simultanément $3$ boules de cette urne.

1. Quel est le nombre total de tirages possibles ?

2. Quelle est la probabilité d'avoir une boule de chaque couleur ?

3. On définit la variable aléatoire $X$ indiquant le nombre de boules noires parmi les $3$ boules tirées simultanément.

3. a. Détermine les valeurs prises par $X$ .

3. b. Détermine la loi de probabilité de $X$ .

3. c. Calcule l'espérance mathématique de $X$ ainsi que son écart-type.

B)

On considère l'équation différentielle $(E_0) :~y'=y$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$ .

1. Résous l'équation différentielle $(E_0)$ .

2. On considère l'équation différentielle $(E) :~y'=y-\cos(x)-3\sin(x)$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$ .

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb R$ par $h(x)=2\cos(x)+\sin(x)$ .

2. a. Démontre que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ .

2. b. On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb R$ .

Démontre que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-h$ est solution de $(E_0)$ .

Déduis-en toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$ .

2. c. Détermine l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant $g(0)=0$ .

3. Calcule $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[-2e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right]\,\text dx$ .

Voir la correction

Bac 2025 Togo série D

8 points

exercice 1

Soit donné un nombre complexe $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ d'écriture algébrique $\overset{ { \white{ . } } } { z=x+\text i y }$ , avec $\overset{ { \white{ . } } } { (x;y) \in\R^2 }$ , différent de $\overset{ { \white{ . } } } { -2-3\text i }$ et notons $\overset{ { \white{ . } } } { f(z) }$ le nombre complexe $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{z-4-3\text i}{z+2+3\text i} }$ .

$\bullet\white w$ $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ est l'ensemble des points $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ tels que $\overset{ { \white{ . } } } { f(z) }$ soit un nombre imaginaire.

$\bullet\white w$ $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ est l'ensemble des points $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ tels que $\overset{ { \white{ . } } } { f(z) }$ soit un nombre réel.

$\bullet\white w$ Les deux lampadaires sont représentés par les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{_. } } } { B }$ d'affixes $\overset{ { \white{ . } } } { z_A }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { z_B }$ tels que $\overset{ { \white{ . } } } { z_A=f(-2-\text i) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { f(z_B)=-\text i }$ .

Consigne 1 : Nous devons construire $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta),\,(C) }$ et les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ .

Déterminons l'écriture algébrique du nombre complexe $\overset{ { \white{ . } } } { f(z) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $f(z)=\dfrac{z-4-3\text i}{z+2+3\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z) } =\dfrac{x+\text iy-4-3\text i}{x+\text iy+2+3\text i} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z) } =\dfrac{(x-4)+\text i(y-3)}{(x+2)+\text i(y+3)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z) } =\dfrac{\Big[(x-4)+\text i(y-3)\Big]\Big[(x+2)-\text i(y+3)\Big]}{\Big[(x+2)+\text i(y+3)\Big]\Big[(x+2)-\text i(y+3)\Big]} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z) } =\dfrac{\Big[(x-4)(x+2)+(y-3)(y+3)\Big]+\text i\Big[(x+2)(y-3)-(x-4)(y+3)\Big]}{(x+2)^2+(y+3)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z) } =\dfrac{(x^2+y^2-2x-17)+\text i(-6x+6y+6)}{(x+2)^2+(y+3)^2} } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{f(z)=\dfrac{x^2+y^2-2x-17}{(x+2)^2+(y+3)^2}+\text i\dfrac{-6x+6y+6}{(x+2)^2+(y+3)^2}}$

$\bullet\white w$ Déterminons $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ .

$\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ est l'ensemble des points $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ tels que $\overset{ { \white{ . } } } { f(z) }$ soit un nombre réel.

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $f(z)\in\R\quad\Longleftrightarrow\quad \text{Im}(f(z))=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z)\in\R}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{-6x+6y+6}{(x+2)^2+(y+3)^2}=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z)\in\R}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -6x+6y+6=0\\ (x\;;\;y)\neq (-2\;;\;-3)\end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z)\in\R}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\begin{cases} x-y-1=0\\ (x\;;\;y)\neq (-2\;;\;-3)\end{cases} } }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ est la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { x-y-1=0 }$ privée du point de coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } { (-2\;;\;-3) }$ .

$\bullet\white w$ Déterminons $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ .

$\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ est l'ensemble des points $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ tels que $\overset{ { \white{ . } } } { f(z) }$ soit un nombre imaginaire.

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $f(z)\in\text i\R\quad\Longleftrightarrow\quad \text{Re}(f(z))=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z)\in\R}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{x^2+y^2-2x-17}{(x+2)^2+(y+3)^2}=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z)\in\R}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x^2+y^2-2x-17=0\\ (x\;;\;y)\neq (-2\;;\;-3)\end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z)\in\R}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}(x^2-2x+1)+y^2-17=0+1\\ (x\;;\;y)\neq (-2\;;\;-3)\end{cases}} }$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z)\in\R}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\begin{cases}(x-1)^2+y^2=18\\ (x\;;\;y)\neq (-2\;;\;-3)\end{cases}} }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ est le cercle de centre $\overset{ { \white{ . } } } { \Omega(1) }$ et de rayon $\overset{ { \white{ . } } } { \sqrt{18}=3\sqrt 2 }$ privé du point de coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } { (-2\;;\;-3) }$ .

$\bullet\white w$ Déterminons l'affixe du point $\overset{ { \white{ . } } } { A }$ .

Par définition, $\overset{ { \white{ . } } } { z_A=f(-2-\text i) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $z_A=f(-2-\text i) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_A }= \dfrac{(-2-\text i)-4-3\text i}{(-2-\text i)+2+3\text i} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_A }= \dfrac{-6-4\text i}{2\text i} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_A }= \dfrac{-3-2\text i}{\text i} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_A }= \dfrac{(-3-2\text i)\times(-\text i)}{\text i\times(-\text i)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_A }= \dfrac{-2+3\text i}{1} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_A=-2+3\text i}$

$\bullet\white w$ Déterminons l'affixe du point $\overset{ { \white{ . } } } { B }$ .

Par définition, $\overset{ { \white{ . } } } { f(z_B)=-\text i }$ .

${ \white{ xxi } }$ $f(z_B)=-\text i\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{z_B-4-3\text i}{z_B+2+3\text i} =-\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)=-\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad z_B-4-3\text i =-\text i(z_B+2+3\text i)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)=-\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad z_B-4-3\text i =-\text iz_B-2\text i+3} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)=-\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad z_B+\text iz_B=-2\text i+3\text i +3+4}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)=-\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad (1+\text i)z_B=7+\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)=-\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad z_B=\dfrac{7+\text i}{1+\text i}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)=-\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad z_B=\dfrac{(7+\text i)(1-\text i)}{(1+\text i)(1-\text i)}}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)=-\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad z_B=\dfrac{7-7\text i+\text i+1}{1+1}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)=-\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad z_B=\dfrac{8-6\text i}{2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(z_B)=-\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z_B=4-3\text i}}$

Nous pouvons ainsi construire $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta),\,(C) }$ et les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ .

Consigne 2 : Nous devons tracer $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ .

$\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ est la courbe représentative dans le repère $\overset{ { \white{ . } } } { (O,\vec u,\vec v) }$ de la fonction $\overset{ { \white{ g. } } } { g }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ vers $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases}g(x)=(x+1)\ln(x^2+2x+1)&\text{si }x\neq-1\\g(-1)=0\end{cases} }$ .

$\bullet\white w$ Le domaine de définition de la fonction $\overset{ { \white{ g. } } } { g }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .

$\bullet\white w$ Déterminons les racines de $\overset{ { \white{ g. } } } { g }$ .

Vu que $\overset{ { \white{ _. } } } { g(-1)=0 }$ , une racine de $\overset{ { \white{ g. } } } { g }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { x=-1 }$ .

Déterminons les éventuelles racines différentes de -1.

${ \white{ xxi } }$ $(x+1)\ln(x^2+2x+1)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x^2+2x+1)=0\quad \text{ car }x\neq-1\Longrightarrow x+1\neq 0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x+1)\ln(x^2+2x+1)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+2x+1=1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x+1)\ln(x^2+2x+1)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+2x=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x+1)\ln(x^2+2x+1)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x(x+2)=0}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x+1)\ln(x^2+2x+1)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x+2=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x+1)\ln(x^2+2x+1)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=-2}$

Par conséquent, les racines de $\overset{ { \white{ g. } } } { g }$ sont 0, -1 et -2.

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{(\Gamma)\cap Ox=\lbrace(-2\;;\;0)\;,\;(-1\;;\;0)\;,\;(0\;;\;0)\rbrace} }$ et que $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{(\Gamma)\cap Oy=\lbrace(0\;;\;0)\rbrace} }$ .

$\bullet\white w$ Étudions la continuité de $\overset{ { \white{ g. } } } { g }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { -1 }$ .

Par définition, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ g(-1)=0 } }$ .

Calculons $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to -1}g(x) }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to -1}g(x)=\lim\limits_{x\to -1}(x+1)\ln(x+1)^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to -1}g(x)}=\lim\limits_{x\to -1}2(x+1)\ln|x+1| } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to -1}g(x)}=2\lim\limits_{X\to 0}X\ln|X| \qquad \text{avec }X=x+1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to -1}g(x)}=0\qquad(\text{croissances comparées})} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to -1}g(x)=0}$

Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to -1}g(x)=g(-1)} }$
Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ g. } } } { g }$ est continue en -1.

$\bullet\white w$ Déterminons $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to-\infty} g(x) }$ et $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty} g(x) }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\neq -1,\quad g(x)=(x+1)\ln(x^2+2x+1) }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{g(x)=(x+1)\ln\Big((x+1)^2\Big)} }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to-\infty} (x+1)=-\infty\\\begin{cases}\lim\limits_{x\to-\infty} (x+1)^2=+\infty\\\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\ln (x+1)^2=+\infty$

D'où $\overset{ { \white{ w. } } } { \lim\limits_{x\to-\infty} (x+1)\ln(x+1)^2=-\infty }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty} g(x)=-\infty} }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty} (x+1)=+\infty\\\begin{cases}\lim\limits_{x\to+\infty} (x+1)^2=+\infty\\\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\ln (x+1)^2=+\infty$

D'où $\overset{ { \white{ w. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty} (x+1)\ln(x+1)^2=+\infty }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} g(x)=+\infty} }$

$\bullet\white w$ Étudions la branche infinie de la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Gamma) }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty }$ et en $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty }$ .

Nous savons que $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to -\infty}g(x)=-\infty }$ .

Calculons $\overset{ { \white{ } } } { \lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{g(x)}{x} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{g(x)}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{(x+1)\ln(x^2+2x+1)}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x+1}{x}\,\ln(x^2+2x+1)$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or}\quad\begin{cases}\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\dfrac{x+1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\dfrac{x}{x}\right)=1\\\lim\limits_{x\to -\infty}\ln(x^2+2x+1)=\lim\limits_{x\to -\infty}\ln(x^2)=+\infty \end{cases} \\\\\phantom{Or } \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to -\infty}\left(\dfrac{x+1}{x}\right)\,\ln(x^2+2x+1)=+\infty \\\\\phantom{Or } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{g(x)}{x}=+\infty}$

Nous en déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Gamma) }$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty. }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=+\infty }$ .

Calculons $\overset{ { \white{ } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{g(x)}{x} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{g(x)}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{(x+1)\ln(x^2+2x+1)}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x}\,\ln(x^2+2x+1)$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or}\quad\begin{cases}\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x+1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{x}{x}\right)=1\\\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x^2+2x+1)=\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x^2)=+\infty \end{cases} \\\\\phantom{Or } \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{x+1}{x}\right)\,\ln(x^2+2x+1)=+\infty \\\\\phantom{Or } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{g(x)}{x}=+\infty}$

Nous en déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Gamma) }$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty. }$

$\bullet\white w$ Étudions la dérivabilité de $\overset{ { \white{ g. } } } { g }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ g. } } } { g }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R\setminus \lbrace -1\rbrace }$ (produit et composées de fonctions dérivables).

Étudions la dérivabilité de $\overset{ { \white{ g. } } } { g }$ en -1.

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{g(x)-g(-1)}{x+1}=\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{(x+1)\ln(x^2+2x+1)-0}{x+1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{g(x)-g(-1)}{x+1}}=\lim\limits_{x\to -1}\ln(x^2+2x+1)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{g(x)-g(-1)}{x+1}}=\lim\limits_{x\to -1}\ln(x+1)^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{g(x)-g(-1)}{x+1}}=-\infty} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{g(x)-g(-1)}{x+1}=-\infty}$
Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ g. } } } { g }$ n'est pas dérivable en -1.

$\bullet\white w$ Déterminons l'expression algébrique de $\overset{ { \white{ . } } } { g'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\neq -1 }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\neq -1 }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $g'(x)=(x+1)'\times\ln(x^2+2x+1)+(x+1)\times \Big(\ln(x^2+2x+1)\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)}=1\times\ln(x^2+2x+1)+(x+1)\times \dfrac{2x+2}{x^2+2x+1}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)}=\ln(x^2+2x+1)+(x+1)\times \dfrac{2(x+1)}{(x+1)^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)}=\ln(x^2+2x+1)+2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R\setminus\lbrace-1\rbrace,\quad f'(x)=\ln(x^2+2x+1)+2}$

$\bullet\white w$ Déterminons les variations de la fonction $\overset{ { \white{ g. } } } { g }$ sur son domaine de définition.

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { g'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\neq -1 }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\neq -1 }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $g'(x)\geq0\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x^2+2x+1)+2\geq 0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)\geq0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x^2+2x+1)\geq-2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)\geq0}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+2x+1\geq \text e^{-2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)\geq0}\quad\Longleftrightarrow\quad (x+1)^2\geq (\text e^{-1})^2}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)\geq0}\quad\Longleftrightarrow\quad |x+1|\geq |\text e^{-1}|} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)\geq0}\quad\Longleftrightarrow\quad x+1\geq \text e^{-1}\quad\text{ ou }\quad x+1\leq -\,\text e^{-1}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)\geq0}\quad\Longleftrightarrow\quad x\geq -1+\text e^{-1}\quad\text{ ou }\quad x\leq -1-\,\text e^{-1}} \\\\\text{D'où }\quad\boxed{g'(x)\geq0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\,]-\infty\;;\;-1-\text e^{-1}]\; \cup\;[-1+\text e^{-1}\;;\;+\infty[}$

et par suite, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{g'(x)<0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\,]-1-\text e^{-1}\;;\;-1+\text e^{-1}[\;\setminus\;\lbrace -1\rbrace} }$

Nous pouvons dresser le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ g. } } } { g }$ .

Nous pouvons ainsi construire $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ .

Remarque :

${ \white{ xxi } }$ $(-1-\text e^{-1}\;;\; 2\text e^{-1})\approx(-1,367\;;\;0,736) \\\overset{ { \white{ _. } } } { (-1+\text e^{-1}\;;\; -2\text e^{-1})\approx(-0,632\;;\;-0,736) }$

6 points

exercice 2

I. Choix multiple.

1. Une primitive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ de la fonction : $\overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto\cos x-x\sin x }$ est la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{x\mapsto x\cos x}} }$ .
La réponse correcte est la réponse B.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $(x\cos x)'=x'\times\cos x+x\times(\cos x)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x\cos x)'}=1\times\cos x+x\times(-\sin x)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x\cos x)'}=\cos x-x\sin x} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(x\cos x)'=\cos x-x\sin x}$

Dès lors, une primitive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ de la fonction : $\overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto\cos x-x\sin x }$ est la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { {x\mapsto x\cos x} }$ .

2. La distance du point $\overset{ { \white{ . } } } { A(3;2;1) }$ au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (P) : 2x-y+3z+5=0 }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{\dfrac{6\sqrt{14}}{7}}} }$ .
La réponse correcte est la réponse C.

En effet, la distance $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ d'un point $\overset{ { \white{ _. } } } {A\,(x_A\;;\;y_A\;;\;z_A) }$ à un plan $\overset{ { \white{ . } } } { (P) }$ d'équation cartésienne $\overset{ { \white{ . } } } { ax+by+cz+d=0 }$ est donnée par $\overset{ { \white{ . } } } { d(A,(P))=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} }$ .

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $d(A,(P))=\dfrac{|2\times3-2+3\times1+5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ d(A,(P)}=\dfrac{|6-2+3+5|}{\sqrt{4+1+9}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ d(A,(P)}=\dfrac{|12|}{\sqrt{14}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ d(A,(P)}=\dfrac{12\sqrt{14}}{14} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{d(A,(P))=\dfrac{6\sqrt{14}}{7} }$

3. $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}(x+4)\text e^{-x}= {\red{-\infty}} }$ .
La réponse correcte est la réponse A.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to-\infty}(x+4)=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text e^{-x} =\lim\limits_{X\to+\infty}\text e^{X} =+\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}(x+4)\text e^{-x}=-\infty }$

4. Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } { (O;\vec u,\vec v) }$ . Soit $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ la similitude directe de centre $\overset{ { \white{ . } } } { P(1+\text i) }$ , de rapport $\overset{ { \white{ . } } } { 2 }$ et d'angle de mesure $\overset{ { \white{ . } } } { \theta=\dfrac{\pi}{3} }$ .
${ \white{ xx } }$ L'écriture complexe de $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{ z'=(1+\text i\sqrt3)z+\sqrt3-\text i\sqrt3}} }$ .
${ \white{ xx } }$ La réponse correcte est la réponse A.

En effet, l'écriture complexe d'une similitude directe $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ de centre $\overset{ { \white{ . } } } { \Omega (\omega) }$ , de rapport $\overset{ { \white{ . } } } { k>0 }$ et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } { \theta }$ est donnée par : $\overset{ { \white{ _. } } } { z'-\omega=k\text e^{\text i\theta}(z-\omega) }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { \omega=1+\text i, k=2, \theta=\dfrac{\pi}{3} }$

Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ } } } { z'-(1+\text i)=2\text e^{\frac{\text i\pi}{3}}(z-(1+\text i)) }$ , soit $\overset{ { \white{ } } } { \boxed{z'-1-\text i=2\text e^{\frac{\text i\pi}{3}}(z-1-\text i)} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad 2\text e^{\frac{\text i\pi}{3}}=2\Big(\cos\dfrac{\pi}{3}+\text i\sin\dfrac{\pi}{3}\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad 2\text e^{\frac{\text i\pi}{3}}}=2\Big(\dfrac 12+\text i\dfrac{\sqrt 3}{2}\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad 2\text e^{\frac{\text i\pi}{3}}}=1+\text i\sqrt 3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{2\text e^{\frac{\text i\pi}{3}}=1+\text i\sqrt 3}$

Par conséquent,

${ \white{ xxi } }$ $z'-1-\text i=2\text e^{\frac{\text i\pi}{3}}(z-1-\text i)\quad\Longleftrightarrow\quad z'-1-\text i=(1+\text i\sqrt 3)(z-1-\text i) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{z'-1-\text i=2\text e^{\frac{\text i\pi}{3}}(z-1-\text i)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-1-\text i=(1+\text i\sqrt 3)z-(1+\text i)(1+\text i\sqrt 3)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{z'-1-\text i=2\text e^{\frac{\text i\pi}{3}}(z-1-\text i)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-1-\text i=(1+\text i\sqrt 3)z-1-\text i\sqrt 3-\text i+\sqrt 3} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{z'-1-\text i=2\text e^{\frac{\text i\pi}{3}}(z-1-\text i)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z'=(1+\text i\sqrt 3)z+\sqrt 3-\text i\sqrt 3}}$

5. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ la fonction numérique définie par :

$\overset{ { \white{ . } } } { }$ $f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{2\sqrt x-2}{x-1}&\text{si }x\in[0;1[\\ax^2+x+a-6&\text{si }x\in[1;+\infty[\end{matrix}\right.{\white{www}}$ où $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ est un nombre réel.

$\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue en 1 si et seulement si $\overset{ { \white{ } } } { {\red{a=3}} }$ .
La réponse correcte est la réponse C.

En effet, $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue en 1 si et seulement si $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=f(1) }$ .

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to 1^-}f(x) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{2\sqrt x-2}{x-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{2(\sqrt x-1)}{(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{2}{\sqrt x+1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=\dfrac{2}{1+1} =1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=1}$

De plus,

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=f(1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 1^+}f(x)}=a\times 1^2+1+a-6} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 1^+}f(x)}=2a-5} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=2a-5}$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=f(1)\quad\Longleftrightarrow\quad 1=2a-5 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=f(1)}\quad\Longleftrightarrow\quad 2a=6 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=f(1)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{a=3} }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue en 1 si et seulement si $\overset{ { \white{ } } } { {\red{a=3}} }$ .

6. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { u }$ la suite géométrique de premier terme $\overset{ { \white{ _. } } } { u_0=1 }$ et de raison $\overset{ { \white{ . } } } { \text e }$ .

Le produit $\overset{ { \white{ . } } } { P_n=u_0u_1u_2\ldots u_n }$ est égal à : $\underset{ { \white{ '' } } } { {\red{\text e^{\frac{n(n+1)}{2}} }} }$ .
La réponse correcte est la réponse A.

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { u }$ est donné par $\overset{ { \white{ . } } } { u_n=u_0\times q^n }$ .
Donc nous obtenons $\overset{ { \white{ . } } } { u_n=1\times \text e^n }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{u_n=\text e^n} }$ .

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P_n=u_0u_1u_2\ldots u_n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_n }= \text e^0\times\text e^1\times\text e^2\times\ldots \text e^n } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_n }= \text e^{0+1+2+\ldots +n} }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { S= 0+1+2+\cdots +n }$ représente la somme des $\overset{ { \white{ _. } } } { n+1 }$ premiers nombres entiers naturels formant une suite arithmétique $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { r=1 }$ et dont le premier terme est $\overset{ { \white{ _. } } } { v_0=0 }$ .

Cette somme est donnée par :

${ \white{ xxi } }$ $S=\text{nombre de termes}\times\dfrac{\text{premier terme }+\text{dernier terme}}{2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S}=(n+1)\times\dfrac{0+n}{2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S}=(n+1)\times\dfrac{n}{2} } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{S=\dfrac{n(n+1)}{2}}$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ } } } {P n=\text{e}^S }$ , soit $\underset{ { \white{ '' } } } { \boxed{P_n=\text e^{\frac{n(n+1)}{2}}} }$ .

II. Texte complété.

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ une fonction continue sur un intervalle ouvert $\overset{ { \white{ . } } } { K }$ .
Une primitive de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { K }$ est la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { F }$ dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { K }$ telle que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in K , F'(x)={\red{f(x)}} }$ .
Une similitude plane directe est une transformation du plan dans lui-même, qui multiplie les distances par un nombre réel strictement positif $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ .
Le nombre réel positif $\overset{ { \white{ . } } } { k }$ est appelé le rapport de la similitude.
Si le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé alors l'écriture complexe d'une similitude plane directe $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { z'=az+b }$ .
Si $\overset{ { \white{ . } } } { a=1 }$ alors $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ est une translation .
Si $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ est un nombre réel non nul et différent de $\overset{ { \white{ . } } } { 1 }$ alors $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ est une homothétie .

Le mots à compléter sont donc :

${ \white{ xxi } }a$ : dérivable ${ \white{ xxi } }b$ : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x) }$ ${ \white{ xxi } }c$ : distances ${ \white{ xxi } }d$ : le rapport ${ \white{ xxi } }e$ : translation ${ \white{ xxi } }f$ : homothétie

6 points

exercice 3

A)

Une urne contient 4 boules blanches, 2 boules noires et 5 boules rouges.
On tire simultanément 3 boules de cette urne.

1. Déterminons le nombre total de tirages possibles.

Nous tirons simultanément 3 boules parmi 11.
Le nombre de tirages possibles est donné par $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}11\\3\end{pmatrix} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{pmatrix}11\\3\end{pmatrix}=\dfrac{11!}{3!\,8!} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{pmatrix}11\\3\end{pmatrix}}=\dfrac{11\times10\times9}{3\times2\times 1}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{pmatrix}11\\3\end{pmatrix}}=165} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\begin{pmatrix}11\\3\end{pmatrix}=165}$

Il y a donc 165 tirages possibles de 3 boules parmi les 11 boules contenues dans l'urne.

2. Déterminons la probabilité d'avoir une boule de chaque couleur.

Il y a 4 choix possibles pour une boule blanche.
À chacun de ces choix, il y a 2 choix possibles pour une boule noire.
À chacun de ces nouveaux choix, il y a 5 choix possibles pour une boule rouge.
Au total, il y a donc $\overset{ { \white{ . } } } { 4\times 2\times2 = 40 }$ possibilités de tirer une boule de chaque couleur parmi les 165 cas possibles.

Par conséquent, la probabilité d'avoir une boule de chaque couleur est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{40}{165}=\dfrac{8}{33}\approx 0,242 }$ .

3. On définit la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ indiquant le nombre de boules noires parmi les 3 boules tirées simultanément.

3. a) L'ensemble des valeurs prises par $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ est l'ensemble $\overset{ { \white{ . } } } { \lbrace 0\;;\;1\;;\;2\rbrace }$ .

3. b) Déterminons la loi de probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { X=0 }$ signifie qu'aucune boule noire n'est tirée.
On tire donc 3 boules parmi les 9 boules qui ne sont pas noires.
Le nombre de ces tirages est égal à :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{pmatrix}9\\3\end{pmatrix}=\dfrac{9!}{6!\,3!} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{pmatrix}9\\3\end{pmatrix}}=\dfrac{9\times8\times7}{3\times2\times1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{pmatrix}9\\3\end{pmatrix}}=84} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\begin{pmatrix}9\\3\end{pmatrix}=84}$

Nous obtenons ainsi : ${ \white{ xxi } }$ $P(X=0)=\dfrac{84}{165}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=0)=\dfrac{28}{55}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { X=1 }$ signifie qu'on tire exactement une boule noire et deux boules d'autres couleurs.
On tire donc 1 boule noire parmi les deux noires et 2 boules parmi les 9 boules qui ne sont pas noires.
Le nombre de ces tirages est égal à :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix}=2\times\dfrac{9!}{7!\,2!} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{pmatrix}9\\3\end{pmatrix}}=9\times 8 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{pmatrix}9\\3\end{pmatrix}}=72} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix}=72}$

Nous obtenons ainsi : ${ \white{ xxi } }$ $P(X=1)=\dfrac{72}{165}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=1)=\dfrac{24}{55}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { X=2 }$ signifie qu'on tire les deux boules noires et une boule d'une autre couleur.
On tire donc 2 boules noires parmi les deux noires et 1 boule parmi les 9 boules qui ne sont pas noires.
Le nombre de ces tirages est égal à :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}9\\1\end{pmatrix}=1\times9 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}9\\1\end{pmatrix}=9}$

Nous obtenons ainsi : ${ \white{ xxi } }$ $P(X=2)=\dfrac{9}{165}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=2)=\dfrac{3}{55}}$

Nous pouvons résumer cette loi dans le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|}\hline&&&&&&&&&& x_i &&0&&&1&&&2&\\&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&& P(X=x_i) &&\dfrac{28}{55}&&&\dfrac{24}{55}&&&\dfrac{3}{55}&\\&&&&&&&&& \\\hline \end{array}$

3. c) Nous devons calculer l'espérance mathématique de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ ainsi que son écart-type.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Espérance mathématique $\overset{ { \white{ . } } } { E(X) }$

${ \white{ xxi } }$ $E(X)=0\times\dfrac{28}{55}+1\times\dfrac{24}{55}+2\times\dfrac{3}{55} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X) }=0+\dfrac{24}{55}+\dfrac{6}{55} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X) }=\dfrac{30}{55} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X) }=\dfrac{6}{11} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=\dfrac{6}{11}\approx0,545}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Écart-type $\overset{ { \white{ . } } } { \sigma(X) }$

Calculons d'abord la variance de $\overset{ { \white{ . } } } { X }$ .

${ \white{ xxi } }$ $V(X)=(0-\dfrac{6}{11})^2\times\dfrac{28}{55}+(1-\dfrac{6}{11})^2\times\dfrac{24}{55}+(2-\dfrac{6}{11})^2\times\dfrac{3}{55} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(X) }=\dfrac{216}{605} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{V(X)=\dfrac{216}{605}}$

Calculons ensuite l'écart-type de $\overset{ { \white{ . } } } { X }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\sigma(X)=\sqrt{V(X)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \sigma(X) }=\sqrt{\dfrac{216}{605} }} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{216}{605}}\approx0,598}$

B)

On considère l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_0) :y'=y }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ est une fonction dérivable de la variable réelle $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ .

1. Nous devons résoudre l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E_0) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $y'=y\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\text dy}{\text dx}=y \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{y'=y}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\text dy}{y}=\text dx} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{y'=y}\quad\Longleftrightarrow\quad \displaystyle\int\dfrac{\text dy}{y}=\displaystyle\int\text dx} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{y'=y}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln |y|=x+k \quad (k\in\R)}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{y'=y}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\pm\text e^{x+k}\quad(k\in \R)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{y'=y}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\pm\text e^{k}\text e^{x}\quad(k\in \R)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{y'=y}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{y=C\text e^{x}\quad(C\in \R)}}$

2. On considère l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) :~y'=y-\cos(x)-3\sin(x) }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ est une fonction dérivable de la variable réelle $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ .
Soit la fonction $\overset{ { \white{_{_.} } } } { h }$ définie sur $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { h(x)=2\cos(x)+\sin(x) }$ .

2. a) Nous devons démontrer que la fonction $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { h }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\R ,\quad h(x)=2\cos (x)+\sin (x)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{h'(x)=-2\sin(x)+\cos(x)} }$ .

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $h'(x)-h(x)=\Big(-2\sin(x)+\cos(x)\Big)-\Big(2\cos (x)+\sin (x)\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ h'(x)-h(x)}=-2\sin(x)+\cos(x)-2\cos (x)-\sin (x) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ h'(x)-h(x)}=-\cos (x)-3\sin (x) } \\\\\Longrightarrow\quad h'(x)-h(x)=-\cos (x)-3\sin (x) \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{h'(x)=h(x)-\cos (x)-3\sin (x)}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { h }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ .

2. b) On considère une fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie et dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .
Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ . } } } { f-h }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E_0) }$ , puis en déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ .

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { d=f-h }$ .
Nous avons ainsi : $\overset{ { \white{ . } } } { f=d+h }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $f\text{ est solution de }(E)\quad\Longleftrightarrow\quad f'(x)=f(x)-\cos(x)-3\sin(x) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f\text{ est solution de }(E)}\quad\Longleftrightarrow\quad(d+h)'(x)=(d+h)(x)-\cos(x)-3\sin(x)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f\text{ est solution de }(E)}\quad\Longleftrightarrow\quad d'(x)+h'(x)=d(x)+h(x)-\cos(x)-3\sin(x)}$

Or nous avons montré dans la question 2. a) que $\overset{ { \white{ . } } } { h'(x)=h(x)-\cos (x)-3\sin (x) }$ .

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $f\text{ est solution de }(E) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ } \quad\Longleftrightarrow\quad d'(x)+\Big(h(x)-\cos(x)-3\sin(x)\Big)=d(x)+h(x)-\cos(x)-3\sin(x)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ } \quad\Longleftrightarrow\quad d'(x)=d(x)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ } \quad\Longleftrightarrow\quad (f-h)'(x)=(f-h)(x)}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ . } } } { f-h }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E_0) }$

Nous en déduisons que les solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ sont les fonctions $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définies sur $\overset{ { \white{ . } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=C\text e^x+2\cos(x)+\sin(x) }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { C }$ est une constante réelle quelconque.

2. c) Nous devons déterminer l'unique solution $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ vérifiant $\overset{ { \white{ . } } } { g(0)=0 }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ signifie que $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)=C\text e^x+2\cos(x)+\sin(x) }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { C \in\R }$ .

${ \white{ xxi } }$ $g(0)=0\quad\Longleftrightarrow\quad C\text e^0+2\cos(0)+\sin(0)=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{g(0)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad C\times 1+2\times 1+0=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{g(0)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{C=-2}}$

Donc l'unique solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ vérifiant $\overset{ { \white{ . } } } { g(0)=0 }$ est la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{g(x)=-2\text e^x+2\cos(x)+\sin(x) } }$ .

3. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[-2e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right]\,\text dx }$ .

Par calcul direct, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[-2e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right]\,\text dx =\Big[-2\text e^x-\cos (x)+2\sin (x)\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[-2e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right]\,\text dx }=\Big(-2\text e^\frac{\pi}{2}-\cos (\frac{\pi}{2})+2\sin (\frac{\pi}{2})\Big)-\Big(-2\text e^0-\cos (0)+2\sin (0)\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[-2e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right]\,\text dx }=-2\text e^\frac{\pi}{2}-0+2+2+1-0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[-2e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right]\,\text dx }=5-2\text e^\frac{\pi}{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[-2e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right]\,\text dx =5-2\text e^\frac{\pi}{2}}$

Publié par malou le 05-04-2026

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