Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2025 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac Tunisie 2025

Série D

Durée : 3 heures

4,5 points

exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$ .

1. On considère dans $\mathbb C$ l'équation $(E) : z^2 - 2\text i z - 3 - 2\text i\sqrt3 = 0$ .

1. a. Vérifier que $(2\sqrt3 + 2\text i)^2 = 8 + 8\text i\sqrt3$ .

1. b. Résoudre l'équation $(E)$ .

On considère les points $I,~ A$ et $B$ d'affixes $z_I = 1$ , $z_A = -\sqrt3$ et $z_B = \sqrt3 + 2\text i$ .

Dans la figure 1 de l'annexe jointe, on a tracé le cercle $\zeta$ de centre $I$ et de rayon 2.

2. a. Justifier que $z_B - z_A = 4\text e^{\text i\frac{\pi}{6}}$ .

2. b. Montrer que $[AB]$ est un diamètre de $\zeta$ .

2. c. Placer les points $A$ et $B$ .

3. Soit H le point d'affixe $z_H = -\dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac{3}{4}\text i$ .

3. a. Montrer que les points $A,~ B~$ et $H$ sont alignés.

3. b. Justifier que $z_H = \dfrac{\sqrt3}{2}\text e^{\text i\frac{2\pi}{3}}$ .

3. c. Montrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur la droite $(AB)$ . Placer le point $H$ .

4. La perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par $B$ coupe $(OH)$ en un point $K$ d'affixe $z_K$ .

4. a. Justifier que $\text{Re}(z_K) = \sqrt3$ .

4. b. Déterminer alors $z_K$ .

5 points

exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k)$ .

On considère les points $A(1,1,3)$ , $B(-3,1,1)$ et $C(3,-2,1)$ .

1. a. Calculer les composantes du vecteur $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ .

En déduire que les points $A,~ B$ et $C$ déterminent un plan $P$ .

1. b. Montrer qu'une équation cartésienne de $P$ est $x+2y-2z+3=0$ .

2. a. Vérifier que le point $D(3,5,-1)$ n'appartient pas au plan $P$ .

2. b. Soit Q le plan passant par D et parallèle au plan P.

3. Soit $(S)$ l'ensemble des points $M (x, y, z)$ de l'espace tels que :

$x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y - 2z + 5 = 0$ .

3. a. Montrer que (S) est la sphère de centre $I(2, 3, 1)$ et de rayon $R = 3$ .

3. b. Montrer que $(S)$ est tangente au plan P en A et au plan Q en D.

4. Soit $t\in]1,+\infty[$ . On considère le point $J(2+t,3+2t,1-2t)$ .

4. a. Montrer que les points A, D et J sont alignés.

4. b. Vérifier que $d(J,P)=3t+3$ et $d(J,Q)=3t-3$ .

5. Soit $(S)$ la sphère de centre $J$ et tangente au plan $P$ .

Montrer que $(S)$ et $Q$ se coupent suivant le cercle de rayon $r=6\sqrt{t}$ et de centre D.

3 points

exercice 3

Une étude médicale faite sur une population donnée a montré que :

${\white{ww}}\bullet\white{ww}$ 20% des individus de la population sont diabétiques.

${\white{ww}}\bullet\white{ww}$ Parmi les individus diabétiques, 30% souffrent d'insuffisance rénale.

${\white{ww}}\bullet\white{ww}$ Parmi les individus non diabétiques, 5% souffrent d'insuffisance rénale.

On choisit au hasard une personne dans cette population et on considère les événements suivants :

${\white{ww}}\bullet\white{ww}$ $D$ : " La personne choisie est diabétique "

${\white{ww}}\bullet\white{ww}$ $R$ : " La personne choisie souffre d'insuffisance rénale "

1. a. Donner les probabilités $P (D)$ , $P (R|D)$ et $P (R|D)$ .

1. b. Montrer que $P (R) = 0.1$ .

1. c. Sachant que la personne choisie souffre d'insuffisance rénale, quelle est la probabilité qu'elle soit diabétique ?

2. L'étude a montré aussi que le coût estimé, par personne, des soins annuels relatifs aux deux maladies objets de l'étude est :

${\white{ww}}\bullet\white{ww}$ Zéro Dinars si la personne ne souffre d'aucune des deux maladies.

${\white{ww}}\bullet\white{ww}$ 2000 Dinars si la personne est uniquement diabétique.

${\white{ww}}\bullet\white{ww}$ 3000 Dinars si la personne souffre uniquement d'insuffisance rénale.

${\white{ww}}\bullet\white{ww}$ 6000 Dinars si la personne est diabétique et souffre d'insuffisance rénale.

On désigne par X la variable aléatoire donnant le coût estimé, par personne, des soins annuels relatifs aux deux maladies objets de l'étude.

2. a. Vérifier que $P (X = 0) = 0.76$ .

2. b. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

7,5 points

exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par : $f(x)=(x-1)\dfrac{\text e^x}{x^2}$ . On désigne par $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow i,\overrightarrow j)$ .

1. a. Calculer : $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)$ . Interpréter graphiquement.

1. b. Calculer : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ . Interpréter graphiquement.

2. a. Montrer que pour tout réel $x$ de $]0,+\infty[$ : $f'(x)=\dfrac{((x-1)^2+1)\text e^x}{x^3}$ .

2. b. Dresser le tableau de variation de $f$ .

3. a. Soit $F$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par : $F(x)=\dfrac{\text e^x}{x}$ et $(C_F)$ sa courbe représentative dans le repère $(O,\overrightarrow i,\overrightarrow j)$ .

3. b. Étudier la position relative de $(C_f)$ et $(C_F)$ .

3. c. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0,+\infty[$ .

II) Dans la figure 2 de l'annexe jointe, on a tracé $(C_F)$ et placé un réel $\alpha>1$ sur l'axe des abscisses.

1. a. En utilisant $(C_F)$ , construire les points $A(2,f(2))$ et $B\left(\dfrac{1}{2},f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)$ .

1. b. Tracer la courbe $(C_f)$ (on précisera le point d'abscisse 1).

2. Soit $t\in]0,+\infty[\backslash\lbrace1\rbrace$ et $S(t)$ la partie du plan limitée par $(C_f)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=t$ et $x=1$ . On note $A(t)$ l'aire de $S(t)$ .

2. a. Hachurer $S(\alpha)$ .

2. b. Vérifier que : $A(\alpha)=F(\alpha)-\text e$ .

2. c. Soit $t\in]0,1[$ . Montrer que : $A(t)=\text e-F(t)$ .

2. d. En utilisant $(C_F)$ , construire sur l'axe des abscisses le réel $t_0\in]0,1[$ tel que : $A(t_0)=A(\alpha)$ .

3. Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_n=\displaystyle\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}F(x)\,\text dx,\quad n\geqslant 1.$

3. a. Déterminer graphiquement le sens de variation de $F$ sur $]0,1[$ .

3. b. Montrer que pour tout entier $n\geqslant 1$ : $\dfrac{1}{n+1}\text e^{\frac{1}{n}}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{1}{n}\text e^{\frac{1}{n+1}}.$

3. c. Montrer que : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0$ et calculer : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}nu_n$ .

ANNEXE

Publié par malou le 07-03-2026

ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter

Merci à pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Cette fiche

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, Connectez vous
Forum de maths

forum de terminale
Plus de 147 449 topics de mathématiques en terminale sur le forum.